图论习题

习题八
8.1 设V={u,v,w,x,y}, 画出图G: (V ,E).
(1) E={(u,v),(u,x),(v,w),(v,y),(x,y)} (2) E={(u,v),(v,w),(w,x),(w,y),(x,y)} 再求每个结点的次数。

8.2 设G 是具有4个结点的完全图：
(1) 写出G 的所有子图； (2) 写出G 的所有生成子图。

8.3 画出一个多重图，使它们的邻接矩阵为
1300301101220
120⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
. 8.4 对于图1，试求
(1) 从a 到h 的所有基本通路； (2) 从a 到h 的所有简单通路； (3) 从a 到h 的距离。

h
e d
图1
8.5 图2中哪个有欧拉通路、有欧拉回路、有汉密尔顿通路、有汉密尔顿回路？
b c
e
图2
8.6 图G 1，G 2的邻接矩阵分别为A 1，A 2，试求：
(1) 2323
1122,,,A A A A ;
(2) 在G 1内列出每两个结点间的距离； (3) 列出G 1，G 2中的所有基本回路。

100110000011
00101010001001A ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪= ⎪ ⎪
⎪⎝
⎭，
20
0011000
0000110001000101010010010000
1000000100000A ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
8.7 设有向图D 如下，试求：
(1) 每个结点的入次与出次； (2) 它的邻接矩阵M D ； (3) D 是强连通、弱连通还是单向连通？ (4) 求从a 到c 长度小于或等于3的通路数。

8.8 D 是具有结点v 1、v 2、v 3、v 4的有向图，它的邻接矩阵表示如下：
0111011011011
00
0⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
(1) 画出这个图； (2) D 是强连通还是单向连通？
(3) 求从v 1到v 1长度是3的回路，从v 1到v 2、v 1到v 3、v 1到v 4长度是3的通路数。

习题九
9.4 设有代数表示式如下：4
2
(35)(2)
x y a b c -+，试画出这个表示式的树. 第四篇
1. 在图G=(V,E)中，结点次数与边数的关系是下面4个中的哪一个？ (1) deg()2||i v E = (2) deg()||i v E = (3)
deg()2||v V
v E ∈=∑ (4) deg()||v V
v E ∈=∑
2. 设G 是n 个结点的无向完全图，则图G 的边数是多少？设D 是n 个结点的有向完全图，则图D 的边数又是多少？
3. 仅有一个结点是图称为什么图？
4. 设G=(V ,E)为无向简单图，|V|=n ，∆(G)为G 中结点的最大次数，请指出下面4个中哪个不等式是正确的。

(1) ∆(G)<n (2) ∆(G )≤n, (3) ∆(G)>n (4) ∆(G )≥n.
5. 图G 与G ’的结点和边分别存在一一对应关系是G 与G ’同构的充分必要条件吗？说明之。

(1)充分条件 (2)必要条件 (3)充要条件 (4)非充分也非必要条件
6. 设V={a ,b ,c ,d }, 则与V 能构成强连通图的边集合是下面4个中哪一个？ (1) E ={(a ,d ),(b ,a ),(b ,d ),(c ,b ),(d ,c )}; (2) E ={(a ,d ),(b ,a ),(b ,c ),(b ,b ),(d ,c )}; (3) E ={(a ,c ),(b ,a ),(b ,c ),(d ,a ),(d ,c )}; (4) E ={(a ,d ),(b ,c ),(a ,d ),(b ,d ),(c ,d )};
7.设图G=<V ,E>和G ’=<V ’,E ’>, 若_______，则G ’是G 的真子图，若_________，则G ’是G 的生成子图。

8. 在无向图中，结点间的连通关系具有_______性， _______性，______ 性，是_____关系。

9. 图的通路中边的数目称为___，结点不重复的通路是___通路，边不重复的通路是___通路。

10.设G 是一个无向图，V={v 1,…,v 8 }, E ={(v 1,v 2),(v 2,v 3), (v 3,v 1) , (v 1,v 5), (v 5,v 4), (v3,v4), (v 1,v 8)}. (1) 出G 的图解；
(2) 图是否有孤立结点？ (3) 出各结点的次数。

11. 有21条边的无向图中有多少个结点？其中3个结点次数为4，其余均为3. 12. 给定图G=(V ,E )，如图
(1) 找一条长度为7的通路； (2) 找一条长度为4的简单通路.
(3) G 中找出一条长度为4的简单回路。

2
v 3
13. 设简单图G i =(V ,E i ),i=1,2…,6, V={a,b,c,d,e }
E 1={(a,b),(b,c),(c,d),(a,e)} E 2={(a,b),(b,e),(e,b),(a,e),(d,e)}
E 3={(a,b),(b,e),(e,d),(c,c)} E 4={(a,b),(b,c),(c,a),(a,d),(d,a),(d,e)} E 5={(a,b),(b,a),(b,c),(c,d),(d,e),(e,a)} E 6={(a,a),(a,b),(b,c),(e,c),(e,d)}. 作出各图，试问：
(1) 哪些图是有向图？哪些图是无向图？
(2) 哪些图是强连通图？哪些图是单向连通图？哪些是弱连通图？ 14.求上题中：
(1) G 2和G 6各结点的次数；
(2) G 5邻接矩阵以及从b 到c 、d 长度为3的通路条数，从b 到b 长度为2的回路条数，
以及长度为3的通路共有多少，长度不超过3的通路条数好回路的条数； (3) G 5的可达矩阵.
15. 当且仅当为下面4个中的哪一个是，无向图G 是欧拉图？
(1) G 的所有结点的次数为偶数； (2) G 的所有结点的次数为奇数； (3) G 连通且所有结点的次数为偶数； (4) G 连通且所有结点的次数为奇数。

19. 下图是下面哪种？
(1) 完全图 (2) 欧拉图 (3) 汉密尔顿图
25. 下列各图是否可以一笔画出？有是欧拉图吗？若是，试写出一个回路。

1
v v 3
5
v v 4
3
(a )(b )(c )
26.下列各图是否是汉密尔顿图，有无汉密尔顿通路或回路？
(a )
(b )
(c )。