图论的习题
图论习题
习题八8.1 设V={u,v,w,x,y}, 画出图G: (V ,E).(1) E={(u,v),(u,x),(v,w),(v,y),(x,y)} (2) E={(u,v),(v,w),(w,x),(w,y),(x,y)} 再求每个结点的次数。
8.2 设G 是具有4个结点的完全图：(1) 写出G 的所有子图； (2) 写出G 的所有生成子图。
8.3 画出一个多重图，使它们的邻接矩阵为1300301101220120⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 8.4 对于图1，试求(1) 从a 到h 的所有基本通路； (2) 从a 到h 的所有简单通路； (3) 从a 到h 的距离。
he d图18.5 图2中哪个有欧拉通路、有欧拉回路、有汉密尔顿通路、有汉密尔顿回路？b ce图28.6 图G 1，G 2的邻接矩阵分别为A 1，A 2，试求：(1) 23231122,,,A A A A ;(2) 在G 1内列出每两个结点间的距离； (3) 列出G 1，G 2中的所有基本回路。
10011000001100101010001001A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭，20001100000001100010001010100100100001000000100000A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭8.7 设有向图D 如下，试求：(1) 每个结点的入次与出次； (2) 它的邻接矩阵M D ； (3) D 是强连通、弱连通还是单向连通？ (4) 求从a 到c 长度小于或等于3的通路数。
8.8 D 是具有结点v 1、v 2、v 3、v 4的有向图，它的邻接矩阵表示如下：0111011011011000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(1) 画出这个图； (2) D 是强连通还是单向连通？(3) 求从v 1到v 1长度是3的回路，从v 1到v 2、v 1到v 3、v 1到v 4长度是3的通路数。
习题九9.4 设有代数表示式如下：42(35)(2)x y a b c -+，试画出这个表示式的树. 第四篇1. 在图G=(V,E)中，结点次数与边数的关系是下面4个中的哪一个？ (1) deg()2||i v E = (2) deg()||i v E = (3)deg()2||v Vv E ∈=∑ (4) deg()||v Vv E ∈=∑2. 设G 是n 个结点的无向完全图，则图G 的边数是多少？设D 是n 个结点的有向完全图，则图D 的边数又是多少？3. 仅有一个结点是图称为什么图？4. 设G=(V ,E)为无向简单图，|V|=n ，∆(G)为G 中结点的最大次数，请指出下面4个中哪个不等式是正确的。
图论习题
9. 若图G=(V, E)是连通图，且eE，证 明：
(1)e属于每一棵生成树的充要条件是{e} 为G的割集；
(2)e不属于G的任何一棵生成树的充要条 件是e为G中的环。
提示：反证
分析： (1) e属于每一棵生成树, 要证G删去e后
0
P(G2) ......
0
...... ...... ...... 0
0
0 ...... P(Gr )
因为Gi是连通图，Gi的秩是连通分支Gi的 结点个数-1，所以 rank(G)=rank(Gi)=n-r。
本题背景：
1 线性相关/线性无关
如果对m个向量1, 2, …., mFm，
（3）1，2，3，4，5，5
（4）2，2，2，3，3，4
（西南交大1995考研）
(1) V1={a, c, e}, V2={b, d, f}. (2) 不可能画出图。(顶点度数之和为偶数)
(3) 不可能画出图和二分图。由于有两个结点 的度数为5，则该两个结点的度数必与其余5个 结点有边相连（因为是简单图），所以其余4 个结点度数至少为2，但有一个结点的度数为1。
1. n个结点的简单图G，n>2且n奇数，G 和G补图中度数为奇数的结点个数是否相 等？请证明或给出反例。
（西南交大2001考研）
解：一定相等。
因为n>2且n奇数，则对于奇数个结点的 完全图，每个结点的度数必为偶数。若G 中度数为奇数的结点个数是m，则G的补 图中m个结点的度数为（偶数-奇数）=奇 数。 G中度数为偶数的结点，在G的补图 中这些结点的度数仍为（偶数-偶数）=偶 数。
图论500题
=============================以下是最小生成树+并查集======================================【HDU】1213 How Many Tables 基础并查集★1272 小希的迷宫基础并查集★1325&&poj1308 Is It A Tree? 基础并查集★1856 More is better 基础并查集★1102 Constructing Roads 基础最小生成树★1232 畅通工程基础并查集★1233 还是畅通工程基础最小生成树★1863 畅通工程基础最小生成树★1875 畅通工程再续基础最小生成树★1879 继续畅通工程基础最小生成树★3371 Connect the Cities 简单最小生成树★1301 Jungle Roads 基础最小生成树★1162 Eddy's picture 基础最小生成树★1198 Farm Irrigation 基础最小生成树★1598 find the most comfortable road 枚举+最小生成树★★1811 Rank of Tetris 并查集+拓扑排序★★3926 Hand in Hand 同构图★3938 Portal 离线+并查集★★2489 Minimal Ratio Tree dfs枚举组合情况+最小生成树★4081 Qin Shi Huang's National Road System 最小生成树+DFS★★4126 Genghis Khan the Conqueror 枚举+最小生成树+DFS(难)★★★★1829&&poj2492 A Bug's Life 基础种类并查集★1558 Segment set 计算几何+并查集★3461 Code Lock 并查集(有点难想到)★★3367 Pseudoforest 最大生成树★2473 Junk-Mail Filter 并查集+设立虚父节点(马甲)★★3172 Virtual Friends 带权并查集★3635 Dragon Balls 带权并查集★3047 Zjnu Stadium 带权并查集★3038 How Many Answers Are Wrong 种类并查集★★2818 Building Block 带权并查集★3234 Exclusive-OR 异或并查集(难)★★★2121 Ice_cream’s world II 最小树形图(要输出根有点恶心)★★4009 Transfer water 最小树形图(模板题)★3311 Dig The Wells 斯坦纳树(状压DP)(模板题)★★4085 Peach Blossom Spring 斯坦纳树(状压DP)(有可能是森林...)★★★2586 How far away ？LCA★2874 Connections between cities LCA★3486 Interviewe RMQ★2888 Check Corners 二维RMQ★3183 A Magic Lamp RMQ(有点难想到,有点难联系到RMQ)★★【POJ】1258 最经典的MST★1789 Truck History 最小生成树★1287 Networking 简单★2349 Arctic Network 简单★1611 The Suspects 并查集★2377 kruskal★2524 Ubiquitous Religions 并查集★2236 Wireless Network 并查集+计算几何★2560 Kruskal 并查集★1861 Kruskal ★3625 prim★1679 - The Unique MST(基础) 判断MST是否唯一★3522 - Slim Span(基础) 求一颗生成树，让最大边最小边差值最小★2485 Highways MST中的最长边★2395 最小生成树的最长边★1751 Highways 求出方案★POJ-1182 食物链种类并查集★★POJ 1456 Supermarket 贪心+区间合并★POJ-1703 种类并查集★POJ-1988 种类并查集★POJ-1733 Parity game 种类并查集，先要离散化一下，不影响结果★POJ-1417 True Liars(难) 并查集+DP 种类并查集★★POJ-2912 Rochambeau(难) baidu的题,很不错...是食物链的加强版.判断裁判比较难想.★★★POJ 2728 Desert King(中等) 最优比率生成树★★POJ 1639 Picnic Planning(较难) 顶点度数有限制的最小生成树★★POJ 3164 Command Network(难) 最小树形图★★poj3723 好题!!! ★★poj3228 好好题!!! ★★【ZOJ】ZOJ-3261 逆向并查集★★===============================以下是最短路系列====================================【HDU】1548 A strange lift 基础最短路(或bfs)★2544 最短路基础最短路★3790 最短路径问题基础最短路★2066 一个人的旅行基础最短路(多源多汇,可以建立超级源点和终点)★2112 HDU Today 基础最短路★1874 畅通工程续基础最短路★1217 Arbitrage 货币交换Floyd (或者Bellman-Ford 判环)★1245 Saving James Bond 计算几何+最短路★1317 XYZZY Bellman-Ford判环,有负权★1535 Invitation Cards 有向图的来回最短路,(反向建图)★1546 Idiomatic Phrases Game 最短路★2680 Choose the best route 最短路★2923 Einbahnstrasse 最短路★3339 In Action 最短路+背包★2224 The shortest path 双调旅行商问题★★2807 The Shortest Path 矩阵运算+最短路(floyd)★★1595 find the longest of the shortest枚举+最短路(删掉任意一条边的最长最短路)★★3986 Harry Potter and the Final Battle 枚举+最短路(删掉任意一条边的最长最短路)★★1599 find the mincost route floyd求最小环★1839 Delay Constrained... 二分下限+最短路(带限制最短路)★★3631 Shortest Path Floyd插点法★★4114 Disney's FastPass 最短路+二维状压DP(难)★★★3832 Earth Hour 三点连通(斯坦纳树)★3873 Invade the Mars Dij变体(好题!,带限制最短路)★★★4063 Aircraft 几何构图+最短路★★★★hdu4179 Difficult Routes dis[][]开二维状态的最短路(带限制最短路)★★1869 六度分离Floyd最短路★1385 Minimum Transport Cost 最短路+输出路径(输出字典序最小路径,有点恶心)★★1224 free DIY Tour 最短路+输出路径★1142 A Walk Through the Forest 最短路+记忆搜索★★1596 find the safest road 乘积最小的最短路★1598 find the most comfortable road 二分速度差+最短路(带限制最短路)★★2722 Here We Go(relians) Again 最短路★2962 Trucking 二分+最短路(带限制最短路)★★1690 Bus System 最短路★2433 Travel 删边+最短路之和(预处理桥边)★★★2363 Cycling 二分+最短路(带限制最短路)★★2377 Bus Pass 最短路(寻找一个点的最长最短路最小)★★2833 WuKong 最短路+记忆化搜索(求两条最短路的最多公共点)★★1688 Sightseeing 最短次短路条数★★3191 How Many Paths Are There 次短路条数★★2482 Transit search 最短路★★★3768 Shopping 最短路+dfs(或最短路+状压DP)★★3035 War 平面图最小割(建图麻烦)★★3870 Catch the Theves 平面图最小割(建图麻烦)★★3860 Circuit Board 平面图最小割(建图麻烦)★★【POJ】1062 昂贵的聘礼竟然可以和最短路联系起来★★1094 Sorting It All Out Floyd判环+拓扑排序★1125 Stockbroker Grapevine Floyd★1135 Domino Effect 最短路,比较有意思★★1161 Walls 最短路(图太恶心了)★★1502 MPI Maelstrom Floyd★1511 Invitation Cards 来回最短路★1556 The Doors 计算几何+最短路★★1724 ROADS 带限制的最短路,dis[][]开二维来记录信息(或广搜)★★1734 Sightseeing trip floyd最小环路径★1797 Heavy Transportation 二分枚举+最短路★1847 Tram 简单最短路★1860 Currency Exchange 货币兑换★1949 Chores 反向建边,求最长路★★2139 Six Degrees of Cowvin Bacon Floyd★2240 Arbitrage 货币兑换★2253 Frogger 二分+最短路★2312 坦克大战spfa最短路本质变形-->广搜★2387 Til the Cows Come Home 基础最短路★2394 Checking an Alibi 最短路★2449 Remmarguts' Date A*求第K短路★★2457 Part Acquisition 最短路(输出路径)★★2472 106 miles to Chicago 乘积最短路(log一下,乘变加)★★2502 Subway2570 Fiber Network floyd3013 圣诞树3037 Skiing3072 Robot3114 Countries in War 强联通+最短路3160 Father Christmas flymouse 强联通+最长路3255 Roadblock3259 Wormholes （寻找负权回路）3268 Silver Cow Part3311 Hie with the Pie floyd+状压3328 Cliff Climbing3439 Server Relocation3463 Sightseeing 次短路条数31593521 Geometric Map 计算几何+最短路3549 GSM phone 计算几何+最短路3594 Escort of Dr. Who How3613 Cow Relays 经过N条边的最短路// floyd + 二分矩阵3615 Cow Hurdles3621 最优比率环3635 full tank?3660 传递闭包3662 Telephone Lines============================以下是差分约束系列============================ 【HDU】1384 Intervals1529 Cashier Employment1531 King1534 Schedule Problem3440 House Man3592 World Exhibition3666 THE MATRIX PROBLEM【POJ】120112751364171629492983315931693687============================以下是二分匹配系列============================ 普通匹配,多重匹配【HDU】1068 Girls and Boys1150 Machine Schedule1151 Air Raid1179 Ollivanders: Makers of Fine Wands since 382 BC.1281 棋盘游戏1498 50 years, 50 colors1507 Uncle Tom's Inherited Land*1528 Card Game Cheater1845 Jimmy’s Assignment2063 过山车2119 Matrix2444 The Accomodation of Students2768 Cat vs. Dog3081 Marriage Match II3360 National Treasures1045 也可搜索1350 最小路径覆盖3118 类似二分匹配3729238910542819 完全匹配1668 二分+多重匹配3605 多重匹配3861 强连通+二分匹配2236 无题IIhdu3468hdu4185 奇偶匹配【POJ】1087 A Plug for UNIX1274 The Perfect Stall1469 COURSES1486 Sorting Slides 二分图的必须边1548 Robots1698 Alice's Chance1719 Shooting Contest1904 King's Quest 求二分图所有可能的匹配边2060 Taxi Cab Scheme 最小路径覆盖2112 Optimal Milking 二分+多重匹配2226 Muddy Fields 行列的覆盖2239 Selecting Courses2289 Jamie's Contact Groups 二分+多重匹配2446 Chessboard2536 Gopher II2584 T-Shirt Gumbo2594 Treasure Exploration 可相交最小路径覆盖2672 Hotkeys2724 Purifying Machine3020 Antenna Placement3041 Asteroids 简单行列匹配3189 Steady Cow Assignment 二分+多重匹配3207 Ikki's Story IV - Panda's Trick3216 Repairing Company3343 Against Mammoths3692 Kindergarten2771 最大独立集============================以下是KM算法系列============================ 【HDU】2255 奔小康赚大钱1533 Going Home1853 Cyclic Tour3488 Tour3435 A new Graph Game2426 Interesting Housing Problem2853 Assignment3718 Similarity3722 Card Game3395 Special Fish2282 Chocolate2813 One fihgt one2448 Mining Station on the Sea3315 My Brute3523 Image copy detection【POJ】2195 Going Home 最小权值匹配2400 Supervisor, Supervisee 输出所有最小权匹配2516 Minimum Cost 最小权值匹配或最小费用流3565 Ants3686 The Windy's 最小权值匹配============================以下是最大团&稳定婚姻系列============================【HDU】1530 Maximum Clique1435 Stable Match3585 maximum shortest distance 二分+最大团1522 Marriage is Stable1914 The Stable Marriage Problem【POJ】1129 四色定理着色问题1419 最大独立集2989 极大团3487 The Stable Marriage Problem 稳定婚姻============================以下是强双联通系列============================ 【HDU】强连通:1269 迷宫城堡判断是否是一个强连通2767 Proving Equivalences 至少加几条边让整个图变成强连通3836 Equivalent Sets 至少加几条边让整个图变成强连通1827 Summer Holiday 传递的最小费用3072 Intelligence System 传递的最小费用3861 The King’s Problem 强连通+二分匹配3639 Hawk-and-Chicken 强连通缩点+ 树形dp（累加子节点的总权值）3594 Cactus 仙人掌图双连通:2242 考研路茫茫——空调教室双联通缩点+树形DP2460 Network 边双连通3849 By Recognizing These Guys, We Find Social Networks Useful 双连通求桥3896 Greatest TC 双连通4005 The war 边双连通LCA:2586 How far away ？2874 Connections between cities3078 Network LCA+排序3830 Checkers 二分+LCA【POJ】强连通:1236 Network of Schools2553 The Bottom of a Graph 好题！找出度为0的集合2186 Popular Cows 好题！找出度为0的，其他分量都指向它的集合2375 Cow Ski Area 强连通2762 Going from u to v or from v to u? 缩点+拓扑排序3160 Father Christmas flymouse 强连通+最短路3180 The Cow Prom 判断有几个环，分量中元素大于1的个数3114 Countries in War 强连通+最短路3592 Instantaneous Transference 强连通分量+最长路1904 King's Quest 强连通+并查集双连通：3694 Network 边双连通(同hdu2460)3177 Redundant Paths 构造边双连通3352 Road Construction 构造边双连通2942 Knights of the Round Table (点双连通经典题)1515 Street Directions (无向图改有向图)1438 One-way Traffic (混合图改有向图)LCA:1330 Nearest Common Ancestors1470 Closest Common Ancestors1986 Distance Queries3417 Network3728 The merchant LCA+并查集,更新询问2763 Housewife Wind LCA+树状数组============================以下是2-SAT系列============================ 【HDU】3062 Party1824 Let's go home3622 Bomb Game3715 Go Deeper1815 Building roads2723 Get Luffy Out1816 Get Luffy Out *1814 Peaceful Commission4115 Eliminate the Conflict【POJ】2296 Map Labeler2723 Get Luffy Out2749 Building roads3207 Ikki's Story IV - Panda's Trick3648 Wedding3678 Katu Puzzle3683 Priest John's Busiest Day3905 Perfect Election============================以下是欧拉回路系列============================ 【HDU】1878 欧拉回路判断3018 Ant Trip 一笔画问题11162894 兹鼓欧拉回路19563472 混合欧拉【POJ】2513 欧拉路1041 John's trip 欧拉回路1386 Play on Words 单词接龙2230 Watchcow 欧拉回路2513 Colored Sticks 无向图欧拉路2337 Catenyms 欧拉路径1392 Ouroboros Snake 兹鼓欧拉回路1780 code1637 混合欧拉【zoj】1992============================以下是拓扑排序系列============================ 【HDU】1285 确定比赛名次2094 产生冠军2647 Reward3342 Legal or Not1811 Rank of Tetris 拓扑+并查集3231 三维拓扑【POJ】1094 Sorting It All Out Floyd+拓扑2367 Genealogical tree3660 Cow Contest3687 Labeling Balls 神奇的拓扑1128 Frame Stacking DFS版拓扑1270 Following Orders 拓扑+回溯1420 Spreadsheet 模拟拓扑2762 Going from u to v or from v to u? 强连通+拓扑3553 Task schedule============================以下是竞赛图系列============================ 竞赛图下的哈密顿问题Strange Country II ZOJ-3332Task Sequences POJ-1776The book SGU-122Tour Route POJ-3780Tour Route HDOJ-3414============================以下是网络流系列============================ 【HDU】1532 Drainage Ditches(基础) [最大流]3549 Flow Problem(基础) [最大流]3572 Task Schedule [最大流]任务分配,判断满流2732 Leapin' Lizards(难) [最大流]3338 Kakuro Extension [最大流][数和]神奇最大流行进列出2883 kebab [最大流]判断满流3605 Escape [最大流](多重匹配3081 Marriage Match II [二分最大流]+并查集3277 Marriage Match III [二分最大流]同上,多了拆点3416 Marriage Match IV [最大流]最短路+最大流2485 Destroying the bus stations [最大流]最短路+最大流3468 Treasure Hunting [最大流](二分匹配)+最短路3551 Hard Problem [最大流]3998 Sequence(难) [DP+最大流]最长上升子序列3917 Road constructions [最大权闭包]3879 Base Station [最大权闭包]3061 Battle [最大权闭包]3996 Gold Mine [最大权闭包]3472 HS BDC [混合欧拉]hdu4183 来回走不重复点的网络流.-------------------------1533 Going Home(基础) [费用流]3488 Tour [费用流]圈3435 A new Graph Game [费用流]圈1853 Cyclic Tour [费用流]圈2686 Matrix [费用流]3376 Matrix Again [费用流]3667 Transportation [费用流]拆边3315 My Brute [费用流](可用KM)3395 Special Fish [费用流](可用KM匹配)2448 Mining Station on the Sea [费用流](可用最短路+KM匹配)4067 Random Maze(难) [费用流]3947 River Problem(难) [费用流]神奇费用流,流量不等式建图3046 Pleasant sheep and big big wolf [最小割]1565 方格取数(1) [最小割]1569 方格取数(2) [最小割]3820 Golden Eggs [最小割]方格加强3491 Thieves [最小割]最小点割集3657 Game [最小割]最大点权独立集3313 Key Vertex [最小割]3251 Being a Hero [最小割]3157 Crazy Circuits [上下流]3002 King of Destruction [全局最小割]3691 Nubulsa Expo [全局最小割]【POJ】1087 A Plug for UNIX [最大流](可用二分匹配)1274 The Perfect Stall [最大流](可用二分匹配)1325 Machine Schedule [最大流](可用二分匹配)1698 Alice's Chance [最大流](可用二分匹配)2239 Selecting Courses [最大流](可用二分匹配)2446 Chessboard [最大流](可用二分匹配) 好题啊2536 Gopher II [最大流](可用二分匹配)2771 Guardian of Decency [最大流]二分匹配最大独立集3041 Asteroids [最大流](简单二分匹配)2584 T-Shirt Gumbo [最大流](多重匹配)3189 Steady Cow Assignment(中等) [二分最大流](多重匹配)1149 PIGS [最大流] 绝对经典的构图题1273 Drainage Ditches [最大流](基础)1459 Power Network(基础) [最大流]3281 Dining [最大流]2112 Optimal Milking(基础) [二分最大流]2289 Jamie's Contact Groups [二分最大流]2391 Ombrophobic Bovines(中等) [二分最大流]2455 Secret Milking Machine(基础) [二分最大流]3228 Gold Transportation [二分最大流](并查集)2699 The Maximum Number of Strong Kings(较难) [枚举人数+ 最大流]3498 March of the Penguins(中等) [最大流]枚举汇点,满足点容量限制的网络流2987 Firing(较难) [最大权闭包]1637 Sightseeing tour(Crazy) [混合欧拉]2135 Farm Tour [费用流] (来回最短路)2175 Evacuation Plan(中等) [费用流] 消圈2195 Going Home [费用流]2516 Minimum Cost [费用流]3422 Kaka's Matrix Travels(中等) [费用流]拆点3680 Intervals(较难) [费用流]经典,费用流+离散化3686 The Windy's [费用流](KM匹配)3762 The Bonus Salary! [费用流]1815 Friendship(中等) [最小割]最小点割集1966 Cable TV Network(中等) [最小割]最小点割集2125 Destroying The Graph(难) [最小割]最小点权覆盖3084 Panic Room(中等，好题) [最小割]边连通度3204 Ikki's Story I - Road Reconstruction(基础) [最小割]求关键边3308 Paratroopers(较难) [最小割]乘积取对数,最小点权覆盖3436 ACM Computer Factory [最小割]收集流,残留搜集找边3469 Dual Core CPU(中等) [最小割]收集流3921 Destroying the bus stations [最小割]点连通2396 Budget(中等) [有源汇的上下界可行流]3155 Hard Life(很挑战一题) [最大密度子图]2914 Minimum Cut [无向图最小割]============================以下是dancing links系列============================ 1001 Easy Finding POJ-37401002 Power Stations HDOJ-36631003 Treasure Map ZOJ-32091004 Lamp HDOJ-28281005 whosyourdaddy HDOJ-34981006 Bomberman - Just Search! HDOJ-35291007 Square Destroyer POJ-10841008 Matrix HDOJ-21191009 Divisibility HDOJ-33351010 Radar HDOJ-22951011 Fire station HDOJ-36561012 Repair Depots HDOJ-31561013 Dominoes HDOJ-25181014 Street Fighter HDOJ-39571015 Sudoku Killer HDOJ-14261016 Sudoku POJ-26761017 Sudoku POJ-30741018 Sudoku POJ-30761019 Su-Su-Sudoku HDOJ-27801020 Sudoku HDOJ-31111021 Sudoku HDOJ-39091022 Squiggly Sudoku HDOJ-40691023 Triangle War II ZOJ-30381024 A Puzzling Problem HDOJ-16031025 Maximum Clique HDOJ-1530hust1017 精确覆盖。
图论习题答案
习题一1.一个工厂为一结点；若两个工厂之间有业务联系，则此两点之间用边相联；这样就得到一个无向图。
若每点的度数为3,则总度数为27,与图的总度数总是偶数的性质矛盾。
若仅有四个点的度数为偶数，则其余五个点度数均为奇数，度数总是偶数的性质矛盾。
2. 若存在孤立点，则m不超过K n-i的边数,故m <= (n-1)( n-2)/2,与题设矛盾。
3.记a i为结点v i的正度数，a；为结点v i的负度数，则n na i 2「［(n-1)-a「］2二n(n-1)2i 4 i』n因为Z a；=c2 = n(n—1)/2,所以i =14.用向量(a i,a2,a3)表示三个量杯中水的量，其中a i为第i杯中水的量,i = 1,2,3.以满足a1+a2+a3 = 8 (a1,a2,a3为非负整数)的所有向量作为各结点，如果⑻砂厲)中某杯的水倒满另一杯得到(a' a' a'),则由结点到结点画一条有向边。
这样可得一个有向图。
本题即为在此图中找一条由(8, 0, 0 )到(4, 4, 0 )的一条有向路，以下即是这样的一条：5.可以。
7.同构。
同构的双射如下:V V1V2V3V4V5V6f (V)b a c e d f8.记e1=(V1,V2), e2= ( V1,V4), e3=(V3,V1), e4=(V2,V5), e5=(V6,V3), e6=(V6,V4), e7=(V5,V3), e8=(V3,V4), e9 =(V6,V1),贝y-0 1 0 1 0 01-'1 1 -1 0 0 0 0 0 -110 0 0 0 1 0 _ 1 0 0 1 0 0 0 0 0 邻接矩阵为： 1 0 0 1 0 0 关联矩阵为：0 0 1 0 _ 1 0 _ 1 1 00 0 0 0 0 0 ,0 _ 1 0 0 0 _ 1 0 -1 00 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 01 0 1 1 0 0一[0 0 0 0 1 1 0 0 1一从而总度数为奇数，仍与图的总n n-2(n-1)二a j a j ,i A i =n n亠2 人•一2' a j a j 。
图论习题
课前练习一、填空题1、图G 是简单图当且仅当 。
2、简单图G 是二部图当且仅当 。
3、若简单图G 满足(G)δ≥3，则G 中存在长度至少为 的圈。
4、连通图G 具有欧拉通路，而无欧拉回路的充要条件为 。
5、一颗树有两个2度分支点，一个3度分支点，三个4度分支点，则该树有 片树叶。
6、设T 为高为k 的二叉树，则T 最多有 个顶点。
7、设图G 是具有6条边、4个顶点的平面图,则图G 的面数为 。
8、一个图为非平面图当且仅当 。
9、S V ⊂，S 是图G 的极大独立集，则()V G S -是图G 的 。
10、带权为1，3，5，7，8，11，13的最优二叉树T 的权W(T)= 。
二、解答题1、求下图G 1的色多项式，并指出其色数、点连通度和边连通度。
图G 12、（1）证明自补图的阶数n 4k =或者n 4k 1=+，k 为某个自然数。
（2）找出所有4阶的自补图。
3、（1）证明：设G 是有v 个顶点ε条边，且G 是自对偶平面图，则2v 2ε=-。
（2）已知一颗无向树T 有三个3度结点，一个二度结点，其余都是1度结点。
①T 有几个1度结点？②试画出两棵满足上述度数要求的非同构的无向树。
4、通过布尔变量的运算，求下图3的全部极小支配集。
V 16 图3图G 25、用破圈法求下图G 3中的一颗最小生成树,写出具体过程，并计算生成树的权。
图G 36、设简单图,, |V|=n, |E|=m,G V E =<> 若有212n m C -≥+，则G 是哈密尔顿图。
7、证明：5K 不是平面图.8、证明：若,(,1)m n K m n ≥是哈密顿图，则必有.m n = 9、若,m n K 是树，求,m n 应满足的条件.132411253e 6e 1e 2e 3e 4e 5e 7e 8e 9。
图论习题参考答案
二、应用题题0：（1996年全国数学联赛）有n（n≥6）个人聚会，已知每个人至少认识其中的[n/2]个人，而对任意的[n/2]个人，或者其中有两个人相互认识，或者余下的n-[n/2]个人中有两个人相互认识。
证明这n个人中必有3个人互相认识。
注：[n/2]表示不超过n/2的最大整数。
证明将n个人用n个顶点表示，如其中的两个人互相认识，就在相应的两个顶点之间连一条边，得图G。
由条件可知，G是具有n个顶点的简单图，并且有（1）对每个顶点x，)(xN G≥[n/2]；（2）对V的任一个子集S，只要S＝[n/2]，S中有两个顶点相邻或V-S中有两个顶点相邻。
需要证明G中有三个顶点两两相邻。
反证，若G中不存在三个两两相邻的顶点。
在G中取两个相邻的顶点x1和y1,记N G(x1)＝{y1,y2,……,y t}和N G(y1)={x1,x2,……,x k},则N G(x1)和N G(y1)不相交，并且N G(x1)（N G(y1)）中没有相邻的顶点对。
情况一；n=2r：此时[n/2]＝r，由（1）和上述假设，t=k=r且N G(y1)＝V-N G(x1)，但N G(x1)中没有相邻的顶点对，由（2），N G(y1)中有相邻的顶点对，矛盾。
情况二；n=2r+1: 此时[n /2]＝r ，由于N G (x 1)和N G (y 1)不相交，t ≥r,k ≥r,所以r+1≥t,r+1≥k 。
若t=r+1,则k=r ，即N G (y 1)=r ，N G (x 1)＝V-N G (y 1)，由（2），N G (x 1)或N G (y 1)中有相邻的顶点对，矛盾。
故k ≠r+1，同理t ≠r+1。
所以t=r,k=r 。
记w ∈V- N G (x 1) ∪N G (y 1),由（2），w 分别与N G (x 1)和N G (y 1)中一个顶点相邻，设wx i0∈E, wy j0∈E 。
若x i0y j0∈E ，则w ，x i0, y j0两两相邻，矛盾。
图论测试题及答案
图论测试题及答案一、选择题1. 在图论中，如果一个图的每个顶点的度数都是偶数，那么这个图一定存在欧拉路径吗？A. 是的B. 不一定C. 没有欧拉路径D. 无法确定答案：B2. 图论中的哈密顿路径是指什么？A. 经过图中所有顶点的路径B. 经过图中所有顶点的回路C. 经过图中某些顶点的路径D. 经过图中某些顶点的回路答案：A3. 如果一个图是完全图，那么它的边数是多少？A. 顶点数的一半B. 顶点数的平方C. 顶点数的两倍D. 顶点数减一答案：B二、填空题4. 在无向图中，如果存在一条路径，使得每个顶点只被经过一次，并且起点和终点相同，这样的路径被称为________。
答案：欧拉回路5. 图论中的二分图是指图中的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一个集合内的顶点之间没有边，而不同集合之间的顶点之间有边，这种图也被称为________。
答案：二部图三、简答题6. 请简述图论中的最短路径问题，并给出解决该问题的一种算法。
答案：最短路径问题是在图中找到两个顶点之间的最短路径的问题。
解决该问题的一种算法是迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm），该算法通过维护一个顶点集合来记录已经找到最短路径的顶点，并迭代更新距离，直到找到从起点到所有顶点的最短路径。
7. 描述图论中的图着色问题，并说明其在实际生活中的应用。
答案：图着色问题是将图的顶点着色，使得任何两个相邻的顶点颜色不同。
在实际生活中，图着色问题可以应用于时间表的安排、频率分配、电路设计等领域，其中每个顶点代表一个任务或频道，而颜色则代表不同的时间段或频率。
结束语：以上是图论测试题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握图论的基本概念和算法。
图论试题及答案解析图片
图论试题及答案解析图片一、选择题1. 图论中，图的基本元素是什么？A. 点和线B. 点和面C. 线和面D. 点和边答案：A2. 在无向图中，如果两个顶点之间存在一条边，则称这两个顶点是：A. 相邻的B. 相连的C. 相等的D. 相异的答案：A3. 在有向图中，如果从顶点A到顶点B有一条有向边，则称顶点A是顶点B的：A. 父顶点B. 子顶点C. 邻接顶点D. 非邻接顶点答案：B4. 一个图的度是指：A. 图中顶点的总数B. 图中边的总数C. 一个顶点的边数D. 图的连通性答案：C5. 一个图是连通的，当且仅当：A. 图中任意两个顶点都是相邻的B. 图中任意两个顶点都可以通过边相连C. 图中任意两个顶点都可以通过路径相连D. 图中任意两个顶点都可以通过子顶点相连答案：C二、填空题1. 在图论中，一个顶点的度数是该顶点的________。
答案：边数2. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过边相连，则称该图为________。
答案：完全图3. 一个图中，如果存在一个顶点到其他所有顶点都有边相连，则称该顶点为________。
答案：中心顶点4. 图论中，最短路径问题是指在图中找到两个顶点之间的________。
答案：最短路径5. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过有向路径相连，则称该图为________。
答案：强连通图三、简答题1. 请简述图论中的欧拉路径和哈密顿路径的定义。
答案：欧拉路径是指在图中经过每条边恰好一次的路径，而哈密顿路径是指在图中经过每个顶点恰好一次的路径。
2. 什么是图的着色问题？答案：图的着色问题是指将图中的顶点用不同的颜色进行标记，使得相邻的两个顶点颜色不同。
四、计算题1. 给定一个无向图G，顶点集为{A, B, C, D, E}，边集为{AB, BC, CD, DE, EA}，请画出该图，并计算其最小生成树的权重。
答案：首先画出图G的示意图，然后使用克鲁斯卡尔算法或普里姆算法计算最小生成树的权重。
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证明: 若简单无向图G中恰有两个奇结点,则两 个结点一定可达.(国防科大,01年) 并请判断: 若简单无向图G中恰有两个奇结点,则G中 任意两个结点u和v之间必存在一条基本 路径.
同构的判断
关于欧拉,哈密尔顿图
二部图K2,3是()(北京理工,02年) A.欧拉图B. 哈密尔顿图C.非平面图 D.平面图
关于有向连通图的可达性
设D是n(n>=2)阶有向连通图,则D的可达 性距阵的所有元素之和至少为—— (北京大学,00年)
一个无向图有4个结点,其中3个的度数 为2,3,3,则第4个结点的度数不可能 是————(北京理工,99年) A.0 B. 1 C. 2 D. 4
握手定理
简单无向图有21条边,3个4度结点,其余均 为3度结点,则G有___个结点. (东北大学,02年)
下列命题中( )是正确的. 1.欧拉图的子图一定是欧拉图 2.哈密顿图的子图一定是哈密顿图 3.平面图的子图一定是平面图 4.树的子图一定是树. (北京理工,00年)
关于彼得森图
证明: 1.不是二部图 2.不是欧拉图 3.不是平面图 (大连理工,01年)
平面图的判定
问:K4,3与 K4,4是否为平面图?为什么? (南京理工,01年)
Hale Waihona Puke 一个简单图G=<V,E>,若G不连通,则它的 补图一定连通.(南京理工,01年)
至少要删除多少条边,才能是Kn(n>2)不连 通,且其中有一个连通分支恰有k个结点. (复旦,02年)
判断: 设G为无向图,若G恰有n个结点,n-1条边, 则G必为一棵树. 下面图中恰有两棵不同够的生成树. (西安交大,97年)
T=〈V,E〉是一个图,证明: 1.若T是一棵树,则T是一个二部图; 2设(V1,V2)是T的结点的一个二分类,且 |V1|> |V2|,证明V1中一定有树叶. (南京理工,99年)
设G是任意6阶简单无乡图,证明G中或G 的补图中必有一个子图为3阶完全无向图.
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图论的习题课
判断: 1.设G是具有6个结点的简单无向图,则 G或G的补图中存在3个结点彼此相邻. 2.设G是n个结点m条边的简单有向连通 图,那么n-1<=m<=(n-1)*n/2 3.存在7个结点的自补图. (西安交大,99年)
证明:设G为由n个结点组成的简单有向 图,而且任何两个结点之间有且只有一 条有向边相连,证明该图中所有结点入 度的平方和与所有结点出度的平方和一 定相等. (西安交大,00年)