考研数学一-概率论与数理统计大数定律和中心极限定理(一).doc
大数定律和中心极限定理
大数定律和中心极限定理1 大数定律这里强调的是总体与样本大数定律就是说：当随机事件发生的次数足够多时，发生的频率趋近于预期的概率大数定律说的是当随机事件重复多次时频率的稳定性，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋近于预期的“概率”2 赌徒缪误：1，2，4，8-----在赌钱时——输了就翻倍，一直到赢为止有人说：如果已经连续4次出现正面，接下来的第5次还是正面的话，就接连有5次“正面”，根据概率论，连抛5次正面的几率是1/25=1/32。
所以，第5次正面的机会只有1/32，而不是1/2。
以上混淆了“在硬币第1次抛出之前，预测接连抛5次均为正的概率”和“抛了4次正之后，第5次为正的概率”，既（11111）---- 1/32，(1111)1 ---- 1/2。
3 中心极限定理3.1 大数定律和中心极限定理的关系：上面通过赌徒谬误介绍了概率论中的大数定律。
大数定律说的是当随机事件重复多次时频率的稳定性，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋近于预期的“概率”。
但大数定律并未涉及概率之分布问题。
此外大数定律说明了在一定条件下，当系统的个体足够多时，系统的算数平均值会集中在期望位置。
从这个角度，中心极限定理包含了大数定律。
因为中心极限定理在于揭示系统在期望附近的统计性质，即“以何种方式”集中在期望。
总的来说就是——大数定律反映的是频率->概率（或者认为广义的期望）；而中心极限定理反映的是——在整体结果下，结果内部发生各种情况下的一个概率分布情况。
3.2 那什么是中心极限定理？中心极限定理指的是分别适用于不同条件的一组定理，但基本可以用一句通俗的话来概括它们：大量相互独立的随机变量，其求和后的平均值以正态分布（即钟形曲线）为极限。
Eg：以二项分布为例进行解释（抛硬币）对于抛n次硬币，出现正面k次的一个分布情况，如下：但是对于二项分布不一定是对对称的，除了受抛的次数n影响，还受对应的概率p的影响3.3 晋级再后来，中心极限定理的条件逐渐从二项分布推广到独立同分布随机序列，以及不同分布的随机序列。
考研数学一(大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念)历年
考研数学一（大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2002年] 设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，Sn=X1+X2+…+Xn，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1，X2，…，Xn( )．A．有相同的数学期望B．有相同的方差C．服从同一指数分布D．服从同一离散型分布正确答案：C解析：列维一林德伯格中心极限定理成立的条件之一是X1，X2， (X)具有相同的、有限的数学期望和非零方差，而选项A、B不能保证同分布．可排除．而选项D虽然服从同一离散型分布，但不能保证E(Xi)与D(Xi)均存在，也应排除．仅C入选．知识模块：大数定律和中心极限定理2．[2005年] 设X1，X2，…，Xn是独立同分布的随机变量序列，且均服从参数为λ(λ＞1)的指数分布．记ф(x)为标准正态分布函数，则( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：由于随机变量序列X1，X2，…，Xn独立同服从参数为λ的指数分布，有E(Xi)=1／λ，D(Xi)=1／λ2(i=1，2，…，n)，由列维一林德伯格中心极限定理知，当n→∞时，随机变量的极限分布为标准正态分布，即=P(Un≤x)=ф(x)．仅C入选．知识模块：大数定律和中心极限定理3．设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则( )．A．X+Y服从正态分布B．X2+Y2服从χ2分布C．X2和Y2都服从χ2分布D．X2／Y2服从F分布正确答案：C解析：因X～N(0，1)，Y～N(0，1)，故X2～χ2(1)，Y2～χ2(1)．仅C入选．知识模块：数理统计的基本概念4．[2017年] 设X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体N(μ，1)的简单随机样本，记，则下列结论不正确的是( )．A．(Xi一μ)2服从χ2分布B．2(Xn一X1)2服从χ2分布C．服从χ2分布D．n(—μ)2服从χ2分布正确答案：B解析：若总体X～N(μ，σ2)，则因为总体X～N(μ，1)，所以再由得，从而综上所述，不正确的是B．仅B入选．知识模块：数理统计的基本概念5．[2003年] 设随机变量X～t(n)(n＞1)，Y=1／X2，则( )．A．Y～χ2(n)B．Y～χ2(n一1)C．Y～F(n，1)D．Y～F(1，n)正确答案：C解析：因X～t(n)(n＞1)，故存在随机变量U～N(0，1)，V～χ2(n)，且U与V独立，使即因V～χ2(n)，U～N(0，1)，因而U2～χ2(1)，又V与U独立，得到．仅C入选．知识模块：数理统计的基本概念6．[2005年] 总体X～N(0，1)，X1，X2，…，Xn为来自总体X的一个简单随机样本，，S2分别为样本均值和样本方差，则( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：因X12～χ2(1)，Xi2～χ2(n一1)，且X12与相互独立，可知仅D 入选．知识模块：数理统计的基本概念7．[2013年] 设随机变量X～t(n)，Y~F(1，n)，给定α(0＜α＜0．5)，常数c满足P(X＞c)=α，则P(Y＞c2)=( )．A．αB．1一αC．2αD．1—2α正确答案：C解析：因X～t(n)，故X2～F(1，n)，因而Y=X2．因t分布的概率密度函数为偶函数，所以给定α(0＜α＜0．5)，存在c＞0使P(X＞c)=α时，必有P(X＞c)=P(X＜一c)=α，则P(Y＞c2)=P(X2＞c2)=P(X＞c)+P(X＜一c)=2P(X＞c)=2α．仅C入选．知识模块：数理统计的基本概念填空题8．[2001年] 设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式估计P(｜X—E(X)｜≥2)≤______．正确答案：解析：由切比雪夫不等式即得知识模块：大数定律和中心极限定理9．[2003年] 设总体X服从参数为2的指数分布，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n→∞时，Yn=依概率收敛于______．正确答案：1/2解析：利用辛钦大数定律求之．由于X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机变量样本，X1，X2，…，Xn相互独立，且都服从参数为2的指数分布．因而知X12，X22，…，Xn2也相互独立，且同分布．又X服从参数为2的指数分布，故E(Xi)=E(X)=1／2，D(Xi)=D(X)=(1／2)2=1／4 (i=1，2，…，n)，则E(Xi2)=D(Xi)+[E(Xi)]2=1／4+(1／2)2=1／2 (i=1，2，…，n)．根据辛钦大数定律知，一组相互独立、同分布且数学期望存在的随机变量X12，X22，…，Xn2，其算术平均值依概率收敛于数学期望：即表示依概率收敛于)，亦即依概率收敛于1／2．知识模块：大数定律和中心极限定理10．设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，X=a(X1一2X2)2+6(3X3-4X4)2，则当a=______，b=______时，统计量X服从χ2分布，自由度为______．正确答案：a=1／20，b=1／100，χ2解析：因X1，X2，X3，X4为正态总体的简单随机样本，故X1，X2，X3，X4相互独立，且X1-2X2与3X3-4X4都服从正态分布：X1—2X2～N(0.5×22)=N(0，20)，3X3—4X4～N(0，100)，因独立，由题目知，即所以a=1／20，b=1／100，且X服从自由度为2的χ2分布．知识模块：数理统计的基本概念11．设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0，32)，而X1，X2，…，X9和Y1，Y2，…，Y9分别为来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量服从______分布，参数为______．正确答案：t，9解析：将U的分子分母同除以9，则分子为=(X1+X2+…+X9)／9～N(0，9／9)=N(0，1)．或由X1，X2，…，X9相互独立且Xi～N(0，32)知，X1+X2+…+X9～N(0，9×32)=N(0，92)，故(X1+X2+…+X9)／9～N(0，1)．而分母为又(Y1／3)2+(Y2／3)2+…+(Y9／3)2～χ2(9)．这是因为Yi／3～N(0，1)，且Y1，Y2，…，Y9相互独立；又由X，Y相互独立知，(X1+X2+…+X9)／9与(Y1／3)2+(Y2／3)2+…+(Y9／3)2相互独立．于是由t分布的典型模式知，即U服从t分布，参数为9．知识模块：数理统计的基本概念解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一-概率论与数理统计（一）
考研数学⼀-概率论与数理统计（⼀）考研数学⼀-概率论与数理统计(⼀)(总分：100.00，做题时间：90分钟)⼀、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.设随机变量X服从正态分布N(1，σ2 )，其分布函数为F(x)，则对任意实数x，有______（分数：4.00）A.F(x)+F(-x)=1．B.F(1+x)+F(1-x)=1．√C.F(x+1)+F(x-1)=1．D.F(1-x)+F(x-1)=1．解析：[解析] 由于X～N(1，σ2 )，所以X的密度函数f(x)的图形是关于x=1对称的，⽽可知正确答案是B．2.设X～P(λ)，P 1，P 2分别为随机变量X取偶数和奇数的概率，则______（分数：4.00）A.P1=P2．B.P1＜P2．C.P1＞P2．√D.P1，P2⼤⼩关系不定．解析：[解析] 若X～P(λ)，则，其中X取偶数的概率为X取奇数的概率为于是应选C．3.设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(-x)=f(x)，F(x)是X的分布函数，则对于任意实数a，有______ A．B．C．F(-a)=F(a)．D．F(-a)=2F(a)-1．（分数：4.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 概率密度f(x)为偶函数，于是对于任意实数a，有F(-a)=1-F(a)成⽴；利⽤区间可加性得结合上⾯的等式，于是得应选B．4.设⼆维随机变量(X，Y)在区域D:x 2 +y 2≤9a 2 (a＞0)上服从均匀分布，p=P{X 2 +9Y 2≤9a 2 }，则A．p的值与a⽆关，且B．p的值与a⽆关，且C．p的值随a值的增⼤⽽增⼤．D．p的值随a值的增⼤⽽减⼩．（分数：4.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 因为(X，Y)在区域D：x 2 +y 2≤9a 2上服从均匀分布，所以(X，Y)的联合密度函数为故选B．5.设随机变量X与Y服从正态分布N(-1，2)与N(1，2)，并且X与Y不相关，aX+Y与X+by亦不相关，则______（分数：4.00）A.a-b=1．B.a-b=0．C.a+b=1．D.a+b=0．√解析：[解析] X～N(-1，2)，Y～N(1，2)，于是D(X)=2，D(Y)=2．⼜Cov(X，Y)=0，Cov(aX+Y，X+bY)=0，由协⽅差的性质有故选D．6.已知总体X的期望E(X)=0，⽅差D(X)=σ2．X 1，…，X n是来⾃总体X的简单随机样本，其均值为，则下⾯可以作为σ2⽆偏估计量的是______A．B．C．D．（分数：4.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 由于E(X)=0，D(X)=E(X 2 )=σ2，则所以选择C．对于A，B选项，由E(S 2 )=σ2，知均不是σ2的⽆偏估计量．7.设随机变量序列X 1，…，X n，…相互独⽴，则根据⾟钦⼤数定律，当n→∞时，于其数学期望，只要{X n，n≥1}满⾜______（分数：4.00）A.有相同的数学期望．B.服从同⼀离散型分布．C.服从同⼀泊松分布．√D.服从同⼀连续型分布．解析：[解析] ⾟钦⼤数定律的应⽤条件为：“独⽴同分布且数学期望存在”，选项A缺少同分布条件，选项B、D虽然服从同⼀分布但不能保证期望存在，只有C符合该条件．故选C．8.设X 1，X 2，…，X n是来⾃总体X的简单随机样本，是样本均值，C为任意常数，则______A．B．C．D．（分数：4.00）A.B.C. √D.解析：[解析故选C．9.设总体X服从正态分布N(0，σ2 )，X 1，X 2，…，X 10是来⾃X的简单随机样本，统计量从F分布，则i等于______（分数：4.00）A.4．B.2．√C.3．D.5．解析：[解析] 因为X 1，X 2，…，X 10是来⾃X的简单随机样本，故独⽴同分布于N(0，σ2 )因此，则有⼜与相互独⽴，故故选B．10.在假设检验中，如果待检验的原假设为H 0，那么犯第⼆类错误是指______（分数：4.00）A.H0成⽴，接受H0．B.H0不成⽴，接受H0．√C.H0成⽴，拒绝H0．D.H0不成⽴，拒绝H0．解析：[解析] 直接应⽤“犯第⼆类错误”=“取伪”=“H 0不成⽴，接受H 0”的定义，选择B．⼆、解答题(总题数：10，分数：60.00)11.每次从1，2，3，4，5中任取⼀个数，且取后放回，⽤b i表⽰第i次取出的数(i=1，2，3)，三维列向量b=(b 1 ,b 2 ,b 3 ) T，三阶⽅阵，求线性⽅程组Ax=b有解的概率．（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：对增⼴矩阵作初等⾏变换有于是Ax=b有解的充要条件是，即b 3 -2b 2 +b 1 =0，其中b 1，b 2，b 3相互独⽴，且分布律相同：，k=1，2，3，4，5，i=1，2，3．所以Ax=b有解的概率为甲、⼄两个⼈投球，甲先投，当有任⼀⼈投进之后便获胜，⽐赛结束．设甲、⼄命中率分别为p 1，p 2，0＜p 1，p 2＜1．求：（分数：6.00）(1).甲、⼄投球次数X 1与X 2的分布；（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：每次投篮是相互独⽴的与其他⼏次⽆关．事件X 1 =n表⽰“甲投了n次”，即“甲、⼄各⾃在前n-1次没有投进，在第n次时甲投进或⼄投进”，所以P{X 1 -n}=(q 1 q 2 ) n-1 (p 1 +q 1 p 2 )，n=1，2，…其中：q i =1-p i，i=1，2．事件“X 2=m”表⽰“⼄投了m次”，即“甲、⼄前m-1次均没有投进，甲在第m次也没有投进，⼄在第m 次投进”，或“甲、⼄前m次均没有投进，甲在第m+1次投进”．特殊地，当m=0时，表⽰甲第⼀次就投中，所以P{X 2 =m}=(q 1 q 2 ) m-1 (q 1 p 2 +q 1 q 2 p 1 )=q 1 (p 2 +q 2 p 1 )(q 1 q 2 ) m-1，m=1，2，…(2).若使甲、⼄两⼈赢得⽐赛的概率相同，则p 1，p 2满⾜什么条件?（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设事件A表⽰“甲获胜”，则总投篮次数为奇数．当X 1 +X 2 =2n-1时，意味着甲、⼄前n-1次都未投进，甲在第n次投进，于是有P{X 1 +X 2 =2n-1}=p 1 (q 1 q 2 ) n-1，则若甲、⼄两⼈赢得⽐赛的概率相同，则12.设随机变量X在区间(0，1)上服从均匀分布，⼜求Y的概率密度f Y (y)与分布函数F Y (y)．（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解法⼀：应⽤单调函数公式法先求Y的概率密度f Y (y)．由于X在(0，1)内取值所以的值域为(0，+∞)，且y=g(x)在(0，1)单调．因此其反函数在(0，+∞)内单调可导，其导数h"(y)=2e -2y，在其定义域(0，+∞)内恒不为零．⼜因为X的概率密度所以Y的概率密度因此可见Y服从参数为2的指数分布，其分布函数为解法⼆：⽤分布函数法先求出Y的分布函数F Y (y)．当y≤0时，F Y (y)=0；当y＞0时，0＜x=1-e -2y＜1，最后⼀步是由于X服从(0，1)上的均匀分布．故所求Y的分布函数为将F Y (y)对y求导，得设随机变量(X，Y)的概率密度为试求：（分数：6.00）(1).(X，Y)的分布函数；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：①当x≤0或y≤0时，f(x，y)=0，故F(x，y)=0．②当0＜x≤1，0＜y≤2时，③当0＜x≤1，y＞2时，④当x＞1，0＜Y≤2时，⑤当x＞1，y＞2时，综上所述，分布函数为(2).(X，Y)的边缘分布密度；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：当0≤x≤1时，当0≤y≤2时，(3).概率P{X+Y＞1}，P{Y＞X} 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：如下图所⽰，如下图所⽰，所以设(X，Y)服从D={(x，y)|y≥0，x 2 +y 2≤1}上的均匀分布，定义（分数：6.00）(1).求(U，V)的联合分布律；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由题设可知，故(U，V)的可能值为(0，0)，(0，-1)，(0，1)，(1，-1)，(1，0)，(1，1)．则(U．V)的联合分布律为(2).求关于V的边缘分布律；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由(U，V)的联合分布律得V的边缘分布律为(3).求在U=1的条件下V的分布律．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：，所以所以所求V的分布律为13.设随机变量X的概率密度为，求随机变量 F Y (y)．（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：记如下图所⽰，φ(x)在[0，+∞)内最⼩值为-1，⽆最⼤值，在[0，+∞)左端点处的值为0．y=-1，0将y轴分成(-∞，-1)，[-1，0)，[0，+∞)三个区间．当y∈(-∞，-1)时，F Y (y)=0．当y∈[-1，0)时，纵坐标为y的⽔平直线关于曲线y=φ(x)内的集合在x轴上的投影与[0，+∞)的交集为F Y (y)=f X (x)在上的积分为当y∈[0，+∞)时，纵坐标为y的⽔平直线关于曲线y=φ(x)内的集合在x轴的投影与[0，+∞)的交集为，此时F Y (y)=f X (x)在上的积分为综上所述，y的分布函数为设随机变量X在区间(0，2)上随机取值，在X=x(1＜x＜2)条件下，随机变量Y在区间(1，x)上服从均匀分布．（分数：6.00）(1).求(X，Y)的联合概率密度，并问X与Y是否独⽴；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：根据题设X在(0,2)上服从均匀分布，其密度函数为⽽变量Y，在X=x(1＜-x＜2)的条件下，在区间(1，x)上服从均匀分布，所以其条件概率密度为再根据条件概率密度的定义，可得联合概率密度⼜所以由于f X (x)f Y(y)≠f(x，y)，所以X与Y不独⽴．(2).求P{3Y≤2X}；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：如下图所⽰，(3).记Z=X-Y，求Z的概率密度f Z (z)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：已知(x，y)～f(x，y)，则Z=X-Y的取值范围为0＜Z＜1．当0＜z＜1时，Z=X-Y的分布函数为则故设随机变量X与Y相互独⽴，X的概率分布为，Y的概率密度函数为Z=X+Y．求：（分数：6.00）3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(2).Z的概率密度函数．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：F Z(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}=P{X=-1，Y≤z+1}+P{X=0，Y≤z}+P{X=1，Y≤z-1}．因为X与Y相互独⽴，故①当z+1＜0(z-1＜-2)，即z＜-1时，f Y (y)=0，从⽽F Z (z)=0；②当0≤z+1＜1(-2≤z-1＜-1)，即-1≤z＜0时，③当-1≤z-1＜0(1≤z+1＜2)，即0≤z＜1时，④当0≤z-1＜1(2≤z+1＜3)，即1≤z＜2时，⑤当1≤z-1(3≤z+1)，即z≥2时，综上故设⼆维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为U=X+Y，V=X-Y．求：（分数：6.00）(1).U的分布函数F 1 (u)；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：当u＜0时，F 1 (u)=0；当u≥0时，故U的分布函数F 1 (u)为(2).V的分布函数F 2 (v)；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：当v＜0时，F 2 (v)=0；当v≥0时，故V的分布函数F 2 (v)为(3).P{U≤u，V≥v}(u＞v＞0)，并判断U与V是否独⽴．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()当u＞0，v＞0时，P{U≤u}P{V≥v}=F 1(u)·[1-F 2 (v)]=e -2v (1-e -u ) 2≠P{U≤u，V≥v}，从⽽可知，U与V不独⽴．设⼆维随机变量(X，Y)在矩形区域D={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2}上服从⼆维均匀分布，随机变量求：（分数：6.00）(1).U和V的联合概率分布；（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(U，V)的可能取值为(-1,-1)，(-1,1)，(1,-1,)，(1,1)，如下图．依题意知，X与Y的联合概率密度为则有同理类似地可以计算出其他P ij的值：(2).讨论U和V的相关性和独⽴性．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：从(U，V)的联合分布与边缘分布可以计算出所以E(UV)=E(U)·E(V)，U与V不相关；⼜因为P{U=u，V=v}=P{U=u}·P{V=v}，所以U与V相互独⽴．。
概率论与数理统计 第五章 大数定律与中心极限定理
的概率很小” ，用数学语言表达，就是要证明： 0 ，有
nA nA lim P p 0 lim P p 1 n ，或 n n ． n
另一种提法是：研究随机变量 n A 的分布的极限行为，即讨 论分布函数
nA lim P p 0 lim P n n 或 n
nA p 1 ． n
证 引入
1 , 第i次试验中事件A发生 Xi ，i 1 , 2 , , n ， 0 , 第i次试验中事件A不发生
下面我们进一步来讨论贝努利试验．若记 n A 为 n 次贝努利试
nA 验中事件 A 发生的次数， 则事件 A 发生的频率为 n ． 所谓 “频 率的稳定性” ，无非是指当试验次数 n 无限增大(即 n )时，
nA 频率 n 无限接近于某个固定常数．这个固定的常数就是“事 件 A 在一次试验中发生的的概率 p” ． nA 由此可见，讨论频率 n 的极限行为，是理解概率论中最基本
2019年1月14日星期一
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§5.1
大数定律
作为预备知识，我们先明确随机变量序列收敛的
相关概念，同时给出一个重要的不等式，它是以下理 论证明所用的主要工具之一．
定 义 1.1 设 a 是常数，对于随机变量序列 ，如果 0 ，有
X1 , X 2 ,
, Xn ,
lim P
n
个常数，即在这个常数的附近摆动，这就是所谓的“频
率稳定性”．但对这一点，至今为止我们尚未给予理论 上的说明．另外，在第二章我们给出了二项分布的泊松 逼近，那么更一般的近似计算方案又是怎样呢?
考研数学一(大数定律和中心极限定理)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学一（大数定律和中心极限定理）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设随机变量X1，X2，...，Xn相互独立，Sn=X1+X2+...+Xn，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当n充分大时Sn近似服从正态分布，只要X1，X2， (X)A．有相同期望和方差．B．服从同一离散型分布．C．服从同一均匀分布．D．服从同一连续型分布．正确答案：C解析：因为列维一林德伯格中心极限定理的条件是，X1，X2，…，Xn独立同分布而且各个随机变量的数学期望和方差存在．显然4个选项中只有选项(C)满足此条件：均匀分布的数学期望和方差都存在．选项(A)不成立，因为X1，X2，…，Xn有相同期望和方差，但未必有相同的分布，所以不满足列维-林德伯格中心极限定理的条件；而选项(B)和(D)虽然满足同分布，但数学期望和方差未必存在，因此也不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件，故选项(B)和(D)一般也不能保证中心极限定理成立．知识模块：大数定律和中心极限定理2．假设随机变量X1，X2，…相互独立且服从同参数λ的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律条件的是A．X1，X2，…，Xn，…B．X1+1，X2+2，…，Xn+n，…C．X1，2X2，…，nXn，…D．X1，Xn，…正确答案：C解析：切比雪夫大数定律的条件有三个：第一个条件要求构成随机变量序列的各随机变量是相互独立的．显然无论是X1，…，Xn，…，还是X1+1，X2+2，…，Xn+n，…，X1，2X2，…，nXn，…以及X1，Xn，…都是相互独立的；第二个条件要求各随机变量的期望与方差都存在．由于EXn=λ，DXn=λ，E(Xn+n)=λ+n，D(Xn+n)=λ，E(nXn)=nλ，D(nXn)=n2λ，E，．因此四个备选答案都满足第二个条件；第三个条件是方差DX1，DXn，…有公共上界，即DXn＜c，c 是与n无关的常数．对于(A)：DXn=λ＜λ+1；对于(B)：D(Xn+n)=DXn=λ＜λ+1；对于(C)：D(nXn)=n2DXn=n2λ没有公共上界；对于(D)：Dλ＜λ+1．综上分析，只有(C)中方差不满足方差一致有界的条件，因此应选(C)．知识模块：大数定律和中心极限定理3．设随机变量序列X1，…，Xn，…相互独立，根据辛钦大数定律，当n →∞时Xi依概率收敛于其数学期望，只要{Xn，n≥1}A．有相同的数学期望．B．服从同一离散型分布．C．服从同一泊松分布．D．服从同一连续型分布．正确答案：C解析：辛钦大数定律要求：{Xn，n≥1；独立同分布且数学期望存在．选项(A)缺少同分布条件，选项(B)、(D)虽然服从同一分布但不能保证期望存在，因此选(C)．知识模块：大数定律和中心极限定理4．设Xn表示将一枚匀称的硬币随意投掷n次其“正面”出现的次数，则A．B．C．D．正确答案：C解析：于Xn～B(n，，因此根据“二项分布以正态分布为极限分布”定理，有故选(C)．知识模块：大数定律和中心极限定理5．设随机变量X的方差存在，并且满足不等式P{｜X—EX｜≥3}≤，则一定有A．DX=2．B．P{｜X—EX｜＜3}＜C．DX≠2．D．P{｜X—EX｜＜3}≥正确答案：D解析：因事件{｜X—EX｜＜3}是事件{｜X—EX｜≥3}的对立事件，且题设P{｜X—EX｜≥3}≤，因此一定有P{｜X—EX｜＜3}≥，即选项(D)正确．进一步分析，满足不等式P{｜X—EX｜≥3}≤的随机变量，其方差既可能不等于2，亦可以等于2，因此结论(A)与(C)都不能选．比如：X服从参数为p的0-1分布，DX=pq＜1，显然DX≠2，但是P{｜X—EX｜≥3}=P{．因此(A)不成立．若X 服从参数n=8，p=0．5的二项分布，则有EX=4，DX=2．但是P{｜X—EX｜≥3} =P{｜X一4｜≥3} =P{X=0}+P{X=1}+P{X=7}+P{X=8}=因此(B)也不成立．知识模块：大数定律和中心极限定理6．设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…相互独立，则根据辛钦大数定律，当n→∞时Xi依概率收敛于其数学期望，只要{Xn，n≥1}A．有相同的期望．B．有相同的方差．C．有相同的分布．D．服从同参数P的0-1分布．正确答案：D解析：由于辛钦大数定律除了要求随机变量X1，X2，…，Xn，…相互独立的条件之外，还要求X1，X2，…，Xn，…同分布与期望存在，只有选项(D)同时满足后面的两个条件，应选(D)．知识模块：大数定律和中心极限定理7．设随机变量X1，…，Xn，…相互独立，记Yn=X2n一X2n－1(n≥1)，根据大数定律，当n→∞时依概率收敛到零，只要{Xn，n≥1}A．数学期望存在．B．有相同的数学期望与方差．C．服从同一离散型分布．D．服从同一连续型分布．正确答案：B解析：由于Xn相互独立，所以Yn相互独立．选项(A)缺少“同分布”条件；选项(C)、(D)缺少“数学期望存在”的条件，因此它们都不满足辛钦大数定律，所以应选(B)．事实上，若EXn=μ，DXn=σ2存在，则根据切比雪夫大数定律：对任意δ＞0有即依概率收敛到零．知识模块：大数定律和中心极限定理8．设X1，X2，…，Xn，…相互独立且都服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，则当n→∞时以Ф(x)为极限的是A．B．C．D．正确答案：C解析：由于X1，X2，…，Xn，…相互独立同分布，其期望和方差都存在，且E=nλ．D以Ф(x)为极限，故应选(C)．知识模块：大数定律和中心极限定理9．设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且DXi=1，i=1，…，n，则对任意ε＞0．根据切比雪夫不等式直接可得A．B．C．D．正确答案：C解析：由题意知EXi=0，i=1，…，n．记．根据切比雪夫不等式，有故选(C)．知识模块：大数定律和中心极限定理填空题10．将一颗骰子连续重复掷4次，以X表示4次掷出的点数之和，则根据切比雪夫不等式，P{10＜X＜18}≥_________．正确答案：解析：以Xk(k=1，2，3，4)表示第k次掷出的点数，则Xk独立同分布：P{Xk=i}=(i=1，2，…，6)．所以又由于X=X1+X2+X3+X4，而Xk(k=1，2，3，4)相互独立，所以因此，根据切比雪夫不等式，有P{10＜X＜18}=P{一4＜X一14＜4}=P{｜X一14｜＜4}=P{｜X—EX｜＜4}≥1一知识模块：大数定律和中心极限定理11．设随机变量X1，…，Xn相互独立同分布，EXi=μ，DXi=8(i=1，2，…，n)，则概率P{μ一4＜＜p+4}≥__________，其中正确答案：解析：由于X1，…，Xn相互独立同分布，因此有E．应用切比雪夫不等式，有即P{μ一4＜知识模块：大数定律和中心极限定理12．已知随机变量X与Y的相关系数ρ=，且EX=EY，DX=DY，则根据切比雪夫不等式有估计式P{｜X—Y｜≥≤_________．正确答案：解析：由于E(X—Y)=EX—EY=0，D(X—Y)=DX+DY一2Cov(X，Y)=DY+DY 一2.ρ所以知识模块：大数定律和中心极限定理13．将一枚骰子重复掷n次，则当n→∞时，n次掷出点数的算术平均值依概率收敛于__________．正确答案：7／2解析：设X1，X2，…，Xn是各次掷出的点数，它们显然独立同分布，每次掷出点数的数学期望等于21／6=7／2．因此，根据辛钦大数定律，依概率收敛于7／2．知识模块：大数定律和中心极限定理14．设随机变量序列X1，…，Xn，…相互独立且都服从正态分布N(μ，σ2)，记Yn=X2n－X2n－1，根据辛钦大数定律，当n→∞时依概率收敛于_________．正确答案：2σ2解析：由于{Xn，n≥1}相互独立，故Yn=X2n一X2n－1(n≥1)相互独立并且都服从N(0，2σ2)，所以{，n≥1}独立同分布且=DYn+(EYn)2=2σ2，根据辛钦大数定律，当n→∞时依概率收敛于2σ2．知识模块：大数定律和中心极限定理15．设随机变量序列X1，…，Xn，…相互独立且都在(一1，1)上服从均匀分布，则Xi≤1)=__________(结果用标准正态分布函数Ф(x)表示)．正确答案：解析：由于Xn相互独立且都在(一1，1)上服从均匀分布，所以EXn=0，DXn=，根据独立同分布中心极限定理，对任意x∈R有知识模块：大数定律和中心极限定理16．设随机试验成功的概率p=0．20，现在将试验独立地重复进行100次，则试验成功的次数介于16和32次之间的概率α=_________．正确答案：0．84解析：以X表示“在100次独立重复试验中成功的次数”，则X服从参数为(n，p)的二项分布，其中n=100，p=0．20，且由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，知随机变量近似服从标准正态分布N(0，1)．因此试验成功的次数介于16和32次之间的概率≈Ф(3)一Ф(一1)=Ф(3)一[1一Ф(1)]=0．9987一(1一0．8413)=0．84，其中Ф(u)是标准正态分布函数．知识模块：大数定律和中心极限定理17．设随机变量X与Y相互独立，且X～B(5，0．8)，Y～N(1，1)，则P{0＜X+Y＜10}≥__________．正确答案：0．928解析：由于EX=4，DX=0．8，EY=1，DY=1，所以E(X+Y)=EX+EY=5，D(X+Y)=DX+DY=1．8根据切比雪夫不等式．P{0＜X+Y＜10}=P{｜X+Y一5｜＜5}≥1一即P{0＜X+Y＜10}≥0．928．知识模块：大数定律和中心极限定理18．设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…相互独立，EXi=μi，DXi=2，i=1，2，…，则当n→∞时，(Xi一μi)依概率收敛于__________．正确答案：0解析：由于X1，X2，…相互独立，其期望、方差都存在，且对所有i=1，2，…，DYi=2＜l(l＞2)，因此根据切比雪夫大数定律，当n→∞时(Xi一μi)依概率收敛于0．知识模块：大数定律和中心极限定理19．随机从数集{1，2，3，4，5}中有返回的取出n个数X1，X2，…，Xn，则当n→∞时Xi依概率收敛于__________；依概率收敛于__________．正确答案：3 11解析：依题意X1，…，Xn相互独立且有相同的概率分布：P{Xi=k}=(k=1，2，3，4，5)，与相同的数学期望：EXi=(1+2+3+4+5)=3．根据辛钦大数定律，当n→∞时，Xi依概率收敛于3．同理，(1+4+9+16+25)=11，当n→∞时依概率收敛于11．知识模块：大数定律和中心极限定理解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2024研究生入学考试数学一
2024年全国硕士研究生入学统一考试数学一考试内容主要包括
高等数学、线性代数、概率论与数理统计、离散数学、常微分方程、数学分析、复变函数等。
数学一的总分是150分，考试时间一般为
3小时，难度相对较高。
具体来说，数学一主要考察的内容有：
1. 高等数学：主要包括极限、一元函数微积分学、常微分方程、无穷级数、多元函数微积分学以及空间解析几何等。
2. 线性代数：主要包括行列式、矩阵、向量、线性方程组、特
征值和特征向量以及实二次型等。
3. 概率论与数理统计：主要包括随机事件和概率、随机变量及
其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征以及大数定
律和中心极限定理等。
4. 离散数学：主要包括图论基础、组合计数和概率基础、集合
论基础、逻辑基础等。
5. 数学分析：主要包括极限理论、实数理论、导数与微分、积分、级数等内容。
6. 复变函数：主要包括复数与复变函数、导数与微分、积分、
级数等内容。
在备考研究生入学考试数学一时，建议考生系统学习数学基础
知识，多做真题和模拟题，掌握解题技巧和方法，同时也要注重数
学思维和逻辑推理能力的培养。
概率论与数理统计：大数定律与中心极限定理ppt课件
123456 7 14916 25 36 91 2 E x ,E x 6 2 6 6 91 49 182 147 35 2 2 D x E x (E x) 6 4 12 12 D x 35 2 7 1: 2 P (|x |1 ) 12 3 2 D x 35 35 1 7 2: 2 P (|x |2 ) 4 12 48 3 2
X ,X , ,X 1 2 n 相互独立， nA X k
n k 1
1n pq 记Y Xk , E ( Y ) p , D ( Y ) n n n n k1 n
由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故
0 . 1875 n P |X 0 . 75 n | 0 . 01 n 1 2 ( 0 . 01 n )
令
0 .1875 n 1 0 .90 2 (0 .01 n )
解得 n 18750
若 E(X ) = , D(X ) = 2, 类似于正态分布的3 原理，由 Chebyshev 不等式可估计 1 P |X | 3 0 . 1111 9 1 P |X | 2 0 . 25 4 由 Chebyshev 不等式，可看出 D (X) 反映了 X 偏离 E(X ) 的程度. 固定 ， 较小者，
实际精确计算：
X 1 P 0 . 01 P 940 X 1060 6 6000
1 5 C 6 6
k 1059 k 6000 k 941
6000 k
0 . 959036
用Poisson 分布近似计算：
5.1
大数定律
概率论与数理统计19 5 大数定律与中心极限定理
贝努利大数定理说明:当n很大时,事件A 贝努利大数定理说明: 很大时,事件A 接近于事件A 的频率 ηA / n 接近于事件A的概率的可能 性接近于1. 性接近于1.
第二节 中心极限定理 大数定律研究了随机变量和的极限问题, 大数定律研究了随机变量和的极限问题, 下面研究随机变量和的分布的极限问题. 下面研究随机变量和的分布的极限问题. 一 独立同分布中心极限定理 定理:设随机变量序列 X1, X2 ,L, Xn ,L 定理: 相互独立同分布, 相互独立同分布,期望值 和方差 σ 2 都存在, 都存在,则对一切 x 都有
X1 , X2 ,LXn相互独立
ηA = ∑Xk
k=1
n
于是 X1 , X2 ,L, Xn 相互独立且具有相同的 期望与方差,据切比雪夫大数定理, 期望与方差,据切比雪夫大数定理,对于 任给的 ε > 0 , 有 ηA lim P{| p |< ε } =
n 1 n lim P{| ∑Xk p |< ε } = 1 n→∞ n k=1
ηn np
npq
近似~ N(0,1)
ηn近似~ N(np, npq)
例 某单位有240台电话机,每台电话机约 某单位有240台电话机, 240台电话机 5%的时间要使用外线通话 的时间要使用外线通话, 有5%的时间要使用外线通话,设各电话机 使用外线是相互独立的, 使用外线是相互独立的,问这个单位需要 按装多少条外线才能以99% 99%以上的概率保 按装多少条外线才能以99%以上的概率保 证每台电话机需要外线时不占线 解 将每台电话机是否使用外线看作一次 独立试验,240 ,240台电话机是否使用外线看 独立试验,240台电话机是否使用外线看 240次贝努利试验 次贝努利试验. 作240次贝努利试验. 设 η240 为同时使用外线的电话机台数, 为同时使用外线的电话机台数,
概率论与数理统计PPT课件第四章大数定律及中心极限定理(1)
因此，正态分布完全可由它的数学期望 和方差所确定
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16
例1 甲 、 乙 两 人 射 击 ， 他 们 的 射 击 水 平 由 下 表 给 出 ：
X： 甲 击 中 的 环 数 ； Y： 乙 击 中 的 环 数 ；
X
8
9
10
P
0.3 0.2 0.5
Y
8
9
10
P
0.2 0.4 0.4
（3）若随机变量X的方差Var(X)存在， 则
V a r(X )E (X 2) [E (X )]2
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8
证明： Var(X)=E(X2)-[E(X)]2 证：Var(X)=E[X-E(X)]2
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2
•
••
甲炮射击结果
••中• •• 心••••• 乙炮射击结果
乙炮
你认为哪门炮射击效果好一些呢?
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，
所以乙炮的射击效果好.
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3
为此需要引进另一个数字特征， 用它来度量随机变量取值相对于其 中心的离散程度. 这个数字特征就是下面要介绍的
方差
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4
方差的概念
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10
(2)二项分布B(n, p)
分布列为： P (X k ) C n kp k q n k , k 0 ,1 , ,n .
已计算过：E(X)=np，又
E (X2)E [X(X1)]E X
n
k(k1)Cnkpkqnknp
k0
n
考研概率论复习-大数定律和中心极限定理
大数定律和中心极限定理一．车贝雪夫不等式若随机变量X 的数学期望EX 和方差DX 存在,则对于任意给定的0>ε,必有 2)(εεDX EX X P ≤≥- 或21)(εεDXEX X P -><-二．大数定律1. 辛钦大数定律设 ,,,,21n X X X 为一列互相独立的随机变量,服从相同的分布，μ=i EX ，2σ=i DX ,),2,1( =i ,则对于任意正数ε，有1}|1{|lim 1=<-∑=∞→εμni i n X n P 2. 贝努利大数定律设n u 是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数,p 是事件A 在每次试验中出现的概率,则对于任意给定的0>ε,必有1}|{|lim =<-∞→εp nu P n n 三．中心极限定理1. Levy-Lindeberg 中心极限定理：设 ,,,,21n X X X 为独立同分布的随机变量序列，若μ=i EX ，2σ=i DX ,),2,1( =i ，则当n 充分大时，∑=ni i X 1近似服从正态分布),(2σμn n N ， 即lim )n i n X n P x μ→∞-≤=∑du e xu ⎰∞--2221π。
2. 德莫佛尔-拉普拉斯极限定理：在贝努利试验中，若事件A 发生的概率为p 又设X 为n 次独立重复试验中事件A 发生的频数，则当n 充分大时，X 近似服从正态分布),(npq np N 。
例1：某保险公司有10000个同一年龄的人参加人寿保险,在一年里这些人的死亡率为1‰,参加保险的人在一年的头一天交付保险费10元,死亡时,家属可以从保险公司领取元2000抚恤金求(1) 险公司一年中获利不小于40000元的概率。
(2) 保险公司亏本的概率。
(9993.0)163.3(,1)3271.6(=Φ=Φ,9993.0)164.3(,1)654.12(=Φ=Φ)解：一年中死亡的人数为X ,则X ～)001.0,10000(B(1) 保险公司一年中获利不小于40000元的概率}30{≤=X P }3271.6999.0001.01000010{≤⨯⨯-=X P)3271.6(Φ=1=。
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考研数学一-概率论与数理统计大数定律和中心极限定理(一)
(总分：48.00，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：9，分数：9.00)
1.假设随机变量序列X1，…，X n…独立同分布且EX n=0
(A) 0． 1.00）
A.
B.
C.
D.
2.设X1，…，X n…是相互独立的随机变量序列，X n服从参数为n的指数分布(n=1，2，…)，则下列随机变量序列中不服从切比雪夫大数定律的是
(A) X1，X2/2，…，X n/n，…． (B) X1，X2，…，X n，…．
(C) X1，2X2，…，nX n，…． (D) X1，22X2，…，n2X n，…．
（分数：1.00）
A.
B.
C.
D.
3.假设X n，n≥1n充分大时，可以用正态分布作为S n的近似分布，如果
(A) X n，n≥1相互独立、同分布．
(B) X n，n≥I
(C) X n，n≥1
(D) X n，n≥1 1.00）
A.
B.
C.
D.
4.设X n，n≥1为相互独立的随机变量序列且都服从参数为λ的指数分布，则
1.00）
A.
B.
C.
5.设随机变量X1，…，X n-林德伯格中心极限定理，当n充分大时，S n近似服从正态分布，只要X1，…，X n
(A) PX i=m=p m q1-m，m=0，1，…(1≤i≤n)．
≤i≤n)．
≤i≤n) 1.00）
A.
B.
C.
D.
6.假设X1，…，X n，…为独立同分布随机变量序列，且EX n=0，DX n=σ2
(A) 0． 1.00）
A.
B.
C.
D.
7.下列命题正确的是
(A) 由辛钦大数定律可以得出切比雪夫大数定律．
(B) 由切比雪夫大数定律可以得出辛钦大数定律．
(C) 由切比雪夫大数定律可以得出伯努利大数定律．
(D) 由伯努利大数定律可以得出切比雪夫大数定律．
（分数：1.00）
A.
B.
C.
D.
8.设随机变量X1，X2，…，X n，…独立同分布，EX i=μ(i=1，2，…)，则根据切比雪夫大数定律，X1，X2，…，X n，…依概率收敛于μ，只要X1，X2，…，X n，…
(A) 共同的方差存在． (B) 服从指数分布．
(C) 服从离散型分布． (D) 服从连续型分布．
（分数：1.00）
A.
B.
C.
D.
9.假设天平无系统误差．将一质量为10克的物品重复进行称量，则可以断定“当称量次数充分大时，称量结果的算术平均值以接近于1的概率近似等于10克”，其理论根据是
(A) 切比雪夫大数定律． (B) 辛钦大数定律．
(C) 伯努利大数定律． (D) 中心极限定理．
（分数：1.00）
A.
C.
D.
二、填空题(总题数：4，分数：4.00)
10.设某种电气元件不能承受超负荷试验的概率为0.05．现在对100个这样的元件进行超负荷试验，以X 表示不能承受试验而烧毁的元件数，则根据中心极限定理P5≤X≤10≈______．
（分数：1.00）
填空项1:__________________
11.将一枚骰子重复掷n次，则当n→∞时，n 1.00）
填空项1:__________________
12.设随机变量序列X1，…，X n，…相互独立且都在(-1，1)上服从均匀分布， 1.00）
填空项1:__________________
13.设X1，X2，…，X100是独立同服从参数为4则
数：1.00）
填空项1:__________________
三、解答题(总题数：7，分数：35.00)
14.设某种元件使用寿命(单位：小时)服从参数为λ的指数分布，其平均使用寿命为40小时，在使用中，当一个元件损坏后立即更换另一个新的元件，如此继续下去，已知每个元件进价为a元，试求在年计划中应为购买此种元件作多少预算，才可以有95%的把握保证一年够用．(假定一年按2000个工作小时计算，Ф(1.64)=0.95．)
（分数：5.00）
__________________________________________________________________________________________ 15.假设每人每次打电话通话时间X(单位：分)服从参数为l的指数分布，试求800人次通话中至少有3次超过6分钟的概率α，并利用泊松定理与中心极限定理分别求出α的近似值(e-2=0.1353，e-6=0.00248，Ф(0.707)=0.7611，Ф(1.41)=0.9207)．
（分数：5.00）
__________________________________________________________________________________________
16.假设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为λ与μ 5.00）
__________________________________________________________________________________________
17.编号为1，2，3的三个球随意放入编号为1，2，3的三个盒子中，每盒仅放一个球，令X i
数：5.00）
__________________________________________________________________________________________
18.已知随机变量X，Y的概率分布分别为 5.00）
__________________________________________________________________________________________
19.已知随机变量X与Y0-1分布，即
5.00）
__________________________________________________________________________________________
20.下列表格给出二维随机变量(X，Y)的联合分布、边缘分布的部分值，并已知
试将其余数值填入空白处．
5.00）
__________________________________________________________________________________________。