2017_2018学年高中数学第二章统计2.3变量间的相关关系课件新人教A版必修3
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高中高中数学第二章统计2.3.1变量之间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关课件新人教A版必修3
解:(1)画出散点图.
(2)判断变量x,y是否具有相关关系?如果具有相关关系,那么是正相关还是 负相关?
解:(2)具有相关关系.根据散点图,左下角到右上角的区域,变量x的值由小 变大时,另一个变量y的值也由小变大,所以它们具有正相关关系.
方法技巧 两个随机变量x和y是否具有相关关系的确定方法: (1)散点图法:通过散点图,观察它们的分布是否存在一定规律,直观地判断 (如本题); (2)表格、关系式法:结合表格或关系式进行判断; (3)经验法:借助积累的经验进行分析判断.
4
4
解:(2)由表中的数据得: xi yi =52.5, x =3.5, y =3.5, xi2 =54,
i 1
i 1
n
所以 b =
xi yi n x y
i 1
n
xi2
2Hale Waihona Puke nx=52.5 4 3.5 3.5 54 4 3.52
=0.7,
i 1
a = y - b x =3.5-0.7×3.5=1.05,
年份x
储蓄存款 y(千亿元)
2013 5
2014 6
2015 7
2016 8
2017 10
为了研究计算的方便,工作人员将上表的数据进行了处理,t=x-2 012,z=y-5 得到表2:
时间代号t
1
2
3
4
5
z
0
1
2
3
5
(1)求z关于t的线性回归方程;
5
5
解:(1) t =3, z =2.2, ti zi=45, ti2 =55,
知识探究
1.相关关系与函数关系不同 函数关系中的两个变量间是一种确定性关系,相关关系是一种不确定性关系. 2.正相关和负相关 (1)正相关 在散点图中,点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关 关系,我们就称它为正相关. (2)负相关 在散点图中,点散布在从左上角到右下角的区域,对于两个变量的这种相关 关系,我们就称它为负相关.
高中数学第二章统计23变量间的相关关系课件新人教A版必修3(2)
总费用y/万元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
(1)根据表格数据，画出散点图；
(2)求线性回归方程y^＝b^x＋a^的系数a^，b^； (3)估计使用年限为 10 年时，车的使用总费用是多少？
【解题探究】(1)利用描点法作出散点图； (2)把数据代入公式，可得回归方程的系数； (3)把x＝10代入回归方程得y值，即为总费用的估计 值．
【答案】A 【解析】在A中，若b确定，则a，b，c都是常数，Δ＝ b2－4ac也就唯一确定了，因此，这两者之间是确定性的函数 关系；一般来说，光照时间越长，果树亩产量越高；降雪量越 大，交通事故发生率越高；施肥量越多，粮食亩产量越高，所 以B，C，D是相关关系．故选A．
两个变量x与y相关关系的判断方法 1．散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在 一定规律，直观地判断．如果发现点的分布从整体上看大致在 一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受 个别点的位置的影响． 2．表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断． 3．经验法：借助积累的经验进行分析判断．
变量之间的相关关系的判断
【 例 1】 下 列 变 量 之 间 的 关 系 不 是 相 关 关 系 的 是 ()
A．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a，c是已知常数，取b 为自变量，因变量是判别式Δ＝b2－4ac
B．光照时间和果树亩产量 C．降雪量和交通事故发生率 D．每亩田施肥量和粮食亩产量
【解题探究】判断两个变量之间具有相关关系的关键是 什么？
①反映^y与 x 之间的函数关系；
②反映 y 与 x 之间的函数关系；
③表示^y与 x 之间的不确定关系；
④表示最接近 y 与 x 之间真实关系的一条直线．
A．①②
高中数学人教A版必修3课件：2-3-2《线性回归方程》
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
2.3 变量间的相关关系
2.3.2 线性回归方程
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
本课主要学习变量间的相关关系的相关内容，具体 包括线性回归方程的求解。 本课开始回顾了上节课所学变量间的相关关系与散 点图的相关内容，紧接着引入回归直线的定义及特征， 回归直线方程的定义及求法（最小二乘法），并且通过 例题和习题进行讲解。最后通过习题进行加深巩固。
y
500 450 400 350
水稻产量
300 10
(施化肥量)
20
30
40
50
x
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
3、最小二乘法 假设我们已经得到两个具有线性相关的变量的一组数 据（x1，y1），（x2,y2），…（xn,yn）.
n n ( xi x)( yi y ) xi yi nxy i 1 i 1 b n n 2 2 2 ( xi x) xi nx i 1 i 1 a y bx
注意：求回归直线方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整 体上看各点与此直线的距离最小”，即最贴近已知的数据点，最 能代表变量x与y之间的关系.
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产 量影响的试验，得到如下表所示的一组数据（单位：kg）：
施化肥量x 水稻产量y 15 330 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455
第四步：写出直线方程.
二倍角的正弦、余弦、 正切公式 解：1、列表
3.1.3
2、代入公式计算
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
2.3 变量间的相关关系
2.3.2 线性回归方程
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
本课主要学习变量间的相关关系的相关内容，具体 包括线性回归方程的求解。 本课开始回顾了上节课所学变量间的相关关系与散 点图的相关内容，紧接着引入回归直线的定义及特征， 回归直线方程的定义及求法（最小二乘法），并且通过 例题和习题进行讲解。最后通过习题进行加深巩固。
y
500 450 400 350
水稻产量
300 10
(施化肥量)
20
30
40
50
x
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
3、最小二乘法 假设我们已经得到两个具有线性相关的变量的一组数 据（x1，y1），（x2,y2），…（xn,yn）.
n n ( xi x)( yi y ) xi yi nxy i 1 i 1 b n n 2 2 2 ( xi x) xi nx i 1 i 1 a y bx
注意：求回归直线方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整 体上看各点与此直线的距离最小”，即最贴近已知的数据点，最 能代表变量x与y之间的关系.
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产 量影响的试验，得到如下表所示的一组数据（单位：kg）：
施化肥量x 水稻产量y 15 330 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455
第四步：写出直线方程.
二倍角的正弦、余弦、 正切公式 解：1、列表
3.1.3
2、代入公式计算
高中数学第二章直线和圆的方程2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.1两条直线的交点坐标课件新人教A版
解 (1)联立
解得
= 2,
5 + 2 + 6 = 0,
所以直线 l1 与 l2 的交点为(-2,2).
-3
由两点式方程可得所求直线的方程为
2-3
即 x-4y+10=0.
=
-2
,
-2-2
=
2-3-3 = 0,
(2)由方程组
得
+ + 2 = 0,
=3- ,5 Nhomakorabea7
- ,
5
因为所求直线和直线 3x+y-1=0 垂直,
试求入射光线和反射光线所在直线的方程.
解 设点A(2,3)关于直线l的对称点为A'(x0,y0),
则
2+0
2
0 -3
0 -2
+
3+0
2
+ 1 = 0,
= 1,
解得A'(-4,-3).
由于反射光线经过点A'(-4,-3)和B(1,1),
所以反射光线所在直线的方程为
即 4x-5y+1=0.
1+3
变式训练1
已知直线l1:3x+4y-5=0与l2:3x+5y-6=0相交,则它们的交点是(
A.
1
-1, 3
C.
1
1, 3
答案 B
B.
1
,1
3
D.
1
-1,- 3
)
探究点二 过两直线交点的直线系方程
【例2】 (1)求经过点P(1,0)和两直线l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交点的直线
y-1= ·(x-1),
解得
= 2,
5 + 2 + 6 = 0,
所以直线 l1 与 l2 的交点为(-2,2).
-3
由两点式方程可得所求直线的方程为
2-3
即 x-4y+10=0.
=
-2
,
-2-2
=
2-3-3 = 0,
(2)由方程组
得
+ + 2 = 0,
=3- ,5 Nhomakorabea7
- ,
5
因为所求直线和直线 3x+y-1=0 垂直,
试求入射光线和反射光线所在直线的方程.
解 设点A(2,3)关于直线l的对称点为A'(x0,y0),
则
2+0
2
0 -3
0 -2
+
3+0
2
+ 1 = 0,
= 1,
解得A'(-4,-3).
由于反射光线经过点A'(-4,-3)和B(1,1),
所以反射光线所在直线的方程为
即 4x-5y+1=0.
1+3
变式训练1
已知直线l1:3x+4y-5=0与l2:3x+5y-6=0相交,则它们的交点是(
A.
1
-1, 3
C.
1
1, 3
答案 B
B.
1
,1
3
D.
1
-1,- 3
)
探究点二 过两直线交点的直线系方程
【例2】 (1)求经过点P(1,0)和两直线l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交点的直线
y-1= ·(x-1),
高一数学人教A版必修3课件：2.3变量间的相关关系(一、二)
思考 1：观察上表中的数据，大体上看，随着 年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？
知识探究（二） ：散点图
年龄 脂肪 年龄 脂肪 23 9.5 53 29.6 27 17.8 54 30.2 39 21.2 56 31.4 41 25.9 57 30.8 45 27.5 58 33.5 49 26.3 60 35.2 50 28.2 61 34.6
问题提出
1. 函数是研究两个变量之间的依存关系的一种 数量形式.对于两个变量， 如果当一个变量的取值 一定时，另一个变量的取值被唯一确定，则这两 个变量之间的关系就是一个函数关系.
问题提出
1. 函数是研究两个变量之间的依存关系的一种 数量形式.对于两个变量， 如果当一个变量的取值 一定时，另一个变量的取值被唯一确定，则这两 个变量之间的关系就是一个函数关系.
知识探究（三） ：回归直线
思考 1：一组样本数据的平均数是样本数据的 中心，那么散点图中样本点的中心如何确定？ 它一定是散点图中的点吗？
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0
(x , y )
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
知识探究（三） ：回归直线 思考 2：在各种各样的散点图中，有些散点图中 的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有 一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据 的散点图中的点的分布有什么特点？
自变量取值一定时，因变量的取值带有 一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相 关关系.
知识探究（一） ：变量之间的相关关系
思考 4：函数关系与相关关系之间的区别与联系.
知识探究（一） ：变量之间的相关关系
思考 4：函数关系与相关关系之间的区别与联系.
高中数学第2章 2.3.2两点间的距离公式课件新人教A版选择性必修第一册
1.直线x＋y＝5与直线x－y＝3交点坐标是( )
A．(1,2)
B．(4,1)
C．(3,2)
D．(2,1)
B [解方程组xx＋ －yy＝ ＝53， ， 得xy＝＝41 ，因此交点坐标为(4,1)，故 选B．]
知识点 2 两直线的位置关系和方程组解的个数的关系
直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1 不同时为 0)；l2：A2x＋B2y＋ C2＝0(A2，B2 不同时为 0)的位置关系如表所示．
(2)由题意知，直线l1⊥l2. ①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝ 0显然垂直．
②若2a＋3＝0，即a＝－32时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x －4＝0不垂直．
③若1－a≠0且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1 ＝－a1＋－2a，k2＝－2aa－＋13.
(1)A (2)15x＋5y＋16＝0 [(1)方程mx－3y＋2m＋3＝0可化为 m(x＋2)－3y＋3＝0，
令x3＋－23＝y＝0， 0， 得xy＝ ＝－ 1，2， 即直线mx－3y＋2m＋3＝0过定点(－2,1)，故选A．
2x－3y－3＝0， (2)法一：解方程组x＋y＋2＝0，
得 xy＝＝－－3575，，
A．－24
B．24
C．6
D．±6
(1)D (2)A [(1)解方程组54xx－＋63yy－＋127＝＝00，， 得xy＝ ＝1－，2， 则直线x＋by＋9＝0经过点(1，－2)， 所以1－2b＋9＝0，解得b＝5，故选D．
(2)设交点坐标为(a,0)，则有
2a－k＝0， a＋12＝0，
解得ak＝＝－－2142，，
知识点3 两条直线的位置关系
高中数学必修第二章统计复习课件新人教
B. ①用分层抽样法，②用简单随机抽样法
C. ①用系统抽样法，②用分层抽样法
D. ①用分层抽样法，②用系统抽样法
金例4太. 阳题为教育—了网—解ww1w高.jtyj一年级系5统00品抽名质来样同自专（学业 信等的赖源距视于诚抽力信样情）况，试用系统抽 样从中抽取50名同学进行检查。
编号
S1：把500人从1到500编号；
义乌国际小商品博览会”上宣布正式对外发布。
• “义乌·中国小商品指数”是E依v据a统lu计at指io数n与o统nl计y.评价理论，采用多层双
ted向进在w加行权综it终合合h成处A极指理s数，p的编用o制以s分方e全法.析S面，选l反i中d择映e一s，义系列f乌o一反小r映.切商义N乌品E知小价T商识格品3批.和5都发市市C是场场li运e景历行n气状t史活况P的跃r；o指程f标il，e 5.2 度在的综抽C合象o指p数的yr，i意g主h要义t由2小0下商0品4，价-格2一指0数1切和1小A科商s品p学市o场s都景e气是P指数ty数及L若学t干d单.；独监测
简单随机抽E样valuation only. Aspose.Slides f随or机.N数E表T法3.5
总体个数较少
Client Profile
5.2
概 率 抽
Co第 单py随一ri机段gh抽用t 样简200系4-统20抽11样Aspose
Pty Ltd.
总体个数较多
每一层用简 单随机抽样
分层抽样
各部分差异明显
浙江省义乌中学
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
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C. ①用系统抽样法，②用分层抽样法
D. ①用分层抽样法，②用系统抽样法
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2014高中数学 2.3 变量间的相关关系课件(2)新人教A版必修3
诱思探究1
一组样本数据的平均数是样本数据的中心，那 么散点图中样本点的中心如何确定？它一定是散点 图中的点吗？
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
样本点的中心的 坐标为样本数据 的平均数； 它不一定是散点 图中的点。
n
i
nx y nx
2
ˆx ˆ y b a
( x x)
x
i 1
2
i
2 ˆ Q ( y y ) i i 为最小，这样就得到了 时，总体偏差 i 1
回归方程，这种求回归方程的方法叫做最小二乘 ˆx a 法.回归方程 y ˆ b ˆ ˆ 分别表示回归方程的斜率，截距。 中，a ˆ, b
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
在直角坐标系中，任何一条直线都有相应的方程， 回归直线的方程称为回归方程.对一组具有线性相关 关系的样本数据，如果能够求出它的回归方程，那么 我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内 在联系，并根据回归方程对总体进行估计.
1 1 (5 0 36) 169 15.367 11 11
xi (5)2 02 362 4335
2 i 1
11
11
x y
i 1 i
11
i
5 156 0 150 36 54 14828
i i
ˆ b
x y 11x y
温故知新
一.变量之间的相关关系: 1.变量间相关关系的定义:自变量取值一定时,因变 量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫 做相关关系. 2.相关关系与函数关系的异同点: （1）相同点:两者均是指两个变量间的关系。 （2）不同点:①函数关系是一种确定的关系;相关关系 是一种非确定的关系. 函数关系是两个非随机变量的 关系,而相关关系是非随机变量与随机变量间的关系. ②函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果 关系,也可能是伴随关系.
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2 .3
变量间的相关关系
课 标 阐 释 1.理解两个变量间的相关关系的概念. 2.会作散点图,并利用散点图判断两个变 量之间是否具有相关关系. 3.会求回归直线方程,并能用回归直线方 程解决有关问题.
思 维 脉 络
一、变量间的相关关系 【问题思考】 1.当一个变量的取值一定时,另一个变量有唯一的确定值与之相 对应,则这两个变量之间存在怎样的关系? 提示这两个变量之间存在函数关系. 2.考察下列问题中两个变量之间的关系,想一想,它们之间的关系 是函数关系吗?为什么? (1)商品销售收入与广告支出经费; (2)粮食产量与施肥量; (3)人体脂肪含量与年龄. 提示都不是函数关系.因为当其中一个变量变化时,另一个变量 的变化还受其他因素的影响.
3.问题2中所给两个变量之间的关系都是相关关系,那么函数关 系与相关关系之间的区别与联系是怎样的? 提示函数关系中的两个变量间是一种确定性关系;相关关系是一 种非确定性关系.函数关系是一种因果关系而相关关系不一定是因 果关系,也可能是伴随关系,函数关系与相关关系之间有着密切联 系,在一定条件下可以互相转化.
∑ ������2 ������ -������������
2
,
������ = ������-������ ������ .
^
5.回归方程中,������ , ������ 的的斜率,������ 是回归直线在 y 轴上的截距.
6.填空:通过求 Q= ∑ (yi-bxi-a)2 的最小值而得出回归直线的方法,
50 28.2 61 34.6
观察上表中的数据,大体上看,随着年龄的增加,人体脂肪含量怎 样变化? 提示随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也有所增加.
2.为了对问题1中两个变量之间的关系有一个直观上的印象和判 断,我们可以以x轴表示年龄,y轴表示脂肪含量,在直角坐标系中描 出样本数据所对应的点,得到相应的散点图,你能画出问题1中的散 点图吗?观察图形,人体脂肪含量随着年龄的增加是不是也有所增 加?
二、两个变量的线性相关 【问题思考】 1.在一次对人体脂肪含量和年龄的关系的研究中,研究人员获得 了一组样本数据:
年龄 脂肪含量 年龄 脂肪含量
23 9.5 53 29.6
27 17.8 54 30.2
39 21.2 56 31.4
41 25.9 57 30.8
45 27.5 58 33.5
49 26.3 60 35.2
^ ^
^
解析:线性回归方程一定过样本中心(������ , ������). 由������ =
提示 从散点图可以看出,体内脂肪含量随着年龄的增加也有所增加.
3.你能说明什么是正相关,什么是负相关吗? 提示对于两个变量之间的相关关系,一个变量随另一个变量的增 大而增大,成正相关,在散点图中,点散布在从左下角到右上角的区 域.一个变量随另一个变量的增大而减小,成负相关,在散点图中,点 散布在从左上角到右下角的区域.
4.做一做1:下列关系中,属于相关关系的是 .(填序号) ①正方形的边长与面积之间的关系; ②农作物的产量与施肥量之间的关系; ③人的身高与年龄之间的关系; ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系. 解析:在①中,正方形的边长与面积之间的关系是函数关系;在② 中,农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系,但具有相 关关系;在③中,人的身高与年龄之间具有相关关系;在④中,降雪量 与交通事故的发生率之间具有相关关系. 答案:②③④
2.对两个具有线性相关关系的变量的一组数 据:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),如何刻画点(xi,yi)到回归直线y=bx+a的远 近程度? 提示可以用|yi-(bxi+a)|(i=1,2,3,…,n)表示点(xi,yi)到回归直线 y=bx+a的远近,如图:
3.为了从整体上刻画各点与回归直线y=bx+a的接近程度,选用哪 个数量关系来刻画各点到直线y=bx+a的“整体距离”比较合适? ������ 提示用 ∑ |yi-(bxi+a)|来刻画各点到直线y=bx+a的“整体距离”是 ������ =1 比较合适的.由于绝对值使得计算不方便,在实际应用中可用Q=(y1bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2表示. 4.当a,b取什么值时,各点到直线y=bx+a的“整体距离”最小? 提示a,b的值可由下列公式给出
������ =1 ������
^
^
即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做 最小二乘法. 7.利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据 的回归方程为 y =0.577x-0.448,由此我们可以根据一个人的年龄预 测他的体内脂肪含量的百分比.若某人 37 岁,则他的体内脂肪含量的 百分比约为多少?
4.做一做2:下列图形中,两个变量具有线性相关关系的是(
)
答案:B
三、回归直线与回归方程 【问题思考】 1.什么是回归直线?什么是回归方程? 提示如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,就 称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.回 归直线对应的方程叫回归直线方程,简称回归方程.
^ ^
������ = ������=1 n
∑ (xi -x)(yi -y)
i=1
������
∑ (������������ -������)2
= ������=1 ������
∑ ������������ ������������ -������������ ������
������=1
������
^
提示将 x=37 代入方程������ =0.577x-0.448,得 0.577×370.448=20.901.所以他的体内脂肪含量的百分比约为 20.901%.
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8.做一做 3:已知 x 与 y 之间的一组数据: x y 0 1 1 3 2 5 3 7 4 9
则 y 与 x 的线性回归方程������ = b x+������ 必过点( ) A.(1,2) B.(5,2) C.(2,5) D.(2.5,5)
变量间的相关关系
课 标 阐 释 1.理解两个变量间的相关关系的概念. 2.会作散点图,并利用散点图判断两个变 量之间是否具有相关关系. 3.会求回归直线方程,并能用回归直线方 程解决有关问题.
思 维 脉 络
一、变量间的相关关系 【问题思考】 1.当一个变量的取值一定时,另一个变量有唯一的确定值与之相 对应,则这两个变量之间存在怎样的关系? 提示这两个变量之间存在函数关系. 2.考察下列问题中两个变量之间的关系,想一想,它们之间的关系 是函数关系吗?为什么? (1)商品销售收入与广告支出经费; (2)粮食产量与施肥量; (3)人体脂肪含量与年龄. 提示都不是函数关系.因为当其中一个变量变化时,另一个变量 的变化还受其他因素的影响.
3.问题2中所给两个变量之间的关系都是相关关系,那么函数关 系与相关关系之间的区别与联系是怎样的? 提示函数关系中的两个变量间是一种确定性关系;相关关系是一 种非确定性关系.函数关系是一种因果关系而相关关系不一定是因 果关系,也可能是伴随关系,函数关系与相关关系之间有着密切联 系,在一定条件下可以互相转化.
∑ ������2 ������ -������������
2
,
������ = ������-������ ������ .
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5.回归方程中,������ , ������ 的的斜率,������ 是回归直线在 y 轴上的截距.
6.填空:通过求 Q= ∑ (yi-bxi-a)2 的最小值而得出回归直线的方法,
50 28.2 61 34.6
观察上表中的数据,大体上看,随着年龄的增加,人体脂肪含量怎 样变化? 提示随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也有所增加.
2.为了对问题1中两个变量之间的关系有一个直观上的印象和判 断,我们可以以x轴表示年龄,y轴表示脂肪含量,在直角坐标系中描 出样本数据所对应的点,得到相应的散点图,你能画出问题1中的散 点图吗?观察图形,人体脂肪含量随着年龄的增加是不是也有所增 加?
二、两个变量的线性相关 【问题思考】 1.在一次对人体脂肪含量和年龄的关系的研究中,研究人员获得 了一组样本数据:
年龄 脂肪含量 年龄 脂肪含量
23 9.5 53 29.6
27 17.8 54 30.2
39 21.2 56 31.4
41 25.9 57 30.8
45 27.5 58 33.5
49 26.3 60 35.2
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解析:线性回归方程一定过样本中心(������ , ������). 由������ =
提示 从散点图可以看出,体内脂肪含量随着年龄的增加也有所增加.
3.你能说明什么是正相关,什么是负相关吗? 提示对于两个变量之间的相关关系,一个变量随另一个变量的增 大而增大,成正相关,在散点图中,点散布在从左下角到右上角的区 域.一个变量随另一个变量的增大而减小,成负相关,在散点图中,点 散布在从左上角到右下角的区域.
4.做一做1:下列关系中,属于相关关系的是 .(填序号) ①正方形的边长与面积之间的关系; ②农作物的产量与施肥量之间的关系; ③人的身高与年龄之间的关系; ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系. 解析:在①中,正方形的边长与面积之间的关系是函数关系;在② 中,农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系,但具有相 关关系;在③中,人的身高与年龄之间具有相关关系;在④中,降雪量 与交通事故的发生率之间具有相关关系. 答案:②③④
2.对两个具有线性相关关系的变量的一组数 据:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),如何刻画点(xi,yi)到回归直线y=bx+a的远 近程度? 提示可以用|yi-(bxi+a)|(i=1,2,3,…,n)表示点(xi,yi)到回归直线 y=bx+a的远近,如图:
3.为了从整体上刻画各点与回归直线y=bx+a的接近程度,选用哪 个数量关系来刻画各点到直线y=bx+a的“整体距离”比较合适? ������ 提示用 ∑ |yi-(bxi+a)|来刻画各点到直线y=bx+a的“整体距离”是 ������ =1 比较合适的.由于绝对值使得计算不方便,在实际应用中可用Q=(y1bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2表示. 4.当a,b取什么值时,各点到直线y=bx+a的“整体距离”最小? 提示a,b的值可由下列公式给出
������ =1 ������
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即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做 最小二乘法. 7.利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据 的回归方程为 y =0.577x-0.448,由此我们可以根据一个人的年龄预 测他的体内脂肪含量的百分比.若某人 37 岁,则他的体内脂肪含量的 百分比约为多少?
4.做一做2:下列图形中,两个变量具有线性相关关系的是(
)
答案:B
三、回归直线与回归方程 【问题思考】 1.什么是回归直线?什么是回归方程? 提示如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,就 称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.回 归直线对应的方程叫回归直线方程,简称回归方程.
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������ = ������=1 n
∑ (xi -x)(yi -y)
i=1
������
∑ (������������ -������)2
= ������=1 ������
∑ ������������ ������������ -������������ ������
������=1
������
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提示将 x=37 代入方程������ =0.577x-0.448,得 0.577×370.448=20.901.所以他的体内脂肪含量的百分比约为 20.901%.
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8.做一做 3:已知 x 与 y 之间的一组数据: x y 0 1 1 3 2 5 3 7 4 9
则 y 与 x 的线性回归方程������ = b x+������ 必过点( ) A.(1,2) B.(5,2) C.(2,5) D.(2.5,5)