离散随机性动态规划模型求解
利用MATLAB求解离散动态规划问题
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三、动态规划求解函数-算例1求解过程分析
1. 阶段变量k： 将问题按工程分为4个阶段，即k = 1, 2, 3, 4 2. 状态变量sk ： 状 态 变 量sk 表 示 第k个 工 程 至 第4个 工 程 可 用 的 投 资 总 额 ， 显 然 有s1 = 60
穷举所有可能的结果，找出其中最优值及对应的策略
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二、穷举法：算例1-算法与程序
对 于上 述 问 题 ， 在 穷 举 求 解 时 应 注 意 投 资 额 不 多 于60万 元 的 约 束。稍加分析便知道60万元必须全部用完没有剩余，否则结果一 定不会是最优解。因此可以写出以下程序: 输入利润函数： V 1 = [0, 20, 50, 65, 80, 85, 85]; V 2 = [0, 20, 40, 50, 55, 60, 65]; V 3 = [0, 25, 60, 85, 100, 110, 115]; V 4 = [0, 25, 40, 50, 60, 65, 70];
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二、穷举法：算例2-算法与程序（续）
n = size(R, 1); Path = zeros(50, 5); Path(1 : 50, 1) = 1; Path(1 : 50, 5) = n; D = inf ∗ ones(50, 1); m = 1; for i = 1 : n; if R(1, i) ∼= inf for j = 1 : n if R(i, j) ∼= inf for k = 1 : n if R(j, k) ∼= inf Path(m, 2 : 4) = [i, j, k]; D(m) = 0; D(m) = D(m)+ R(1, i)+ R(i, j)+ R(j, k)+ R(k, n); m = m + 1; end ...
适合解决离散问题的算法
适合解决离散问题的算法
适合解决离散问题的算法有很多种，以下是一些常见的算法：
枚举法：对于一些规模较小的问题，可以通过枚举所有可能的解来找到最优解。
分支限界法：通过设置搜索的优先级和边界条件，可以在搜索过程中剪枝，提高搜索效率。
回溯法：通过递归地搜索所有可能的解，并在搜索过程中进行剪枝，可以找到问题的所有解。
动态规划法：通过将问题分解为子问题，并利用子问题的解来求解原问题，可以避免重复计算，提高效率。
贪心算法：通过选择当前状态下的最优解，逐步逼近全局最优解，可以在一些问题上得到较好的近似解。
模拟退火算法：通过模拟物理中的退火过程，在搜索过程中引入随机性，可以在一些问题上找到全局最优解。
以上算法在离散问题中都有广泛的应用，具体选择哪种算法取决于问题的特点和要求。
经济学动态规划
d2(B2,C1)+f3(C1)=4+11=15 d2(B2,C2)+f3(C2)=4+15=19 d2(B2,C3)+f3(C3)=6+8=14
=14
最小费用路线为B2-C3－D2－E
相应的最优决策u2(B2)=C3
f2(B3)=min
d2(B3,C1)+f3(C1)=1+11=12 d2(B3,C3)+f3(C3)=6+8=14
4 3
A
11
3
B1 4
4
4
B2
6
1
6
B3
C1
9
7
8
C2
12
5
C3
D1
5
3
E
D2
A-B1-C2-D1-E A-B2-C1-D2-E
均为策略
第一节 动态规划原理和模型
允许策略集合：可供选择策略的范围 最优策略：允许策略集合中最优的一个策略 在例1中最优策略为： A-B1-C3-D2-E
4 3
A
11
3
B1 4
=12
最小费用路线为B3-C1－D2－E
相应的最优决策u2(B3)=C1
第二节 动态规划求解方法
(4) S1={A} f1(A)=min
d1(A,B1)+f2(B1)=4+12=16 d2(A,B2)+f2(B2)=3+14=17 d3(A,B3)+f2(B2)=11+12=22
=16
最小费用路线为A-B1-C3－D2－E 相应的最优决策u1(A)=B1 所以整个问题的最小费用路线为A-B1-C3-D2-E 最优策略为{u1(A)=B1,u2(B1)=C3,u3(C3)=D2,u4(D2)=E}
动态规划算法
动态规划算法
动态规划算法（Dynamic Programming）是一种解决多阶段最优化决策问题的算法。
它将问题分为若干个阶段，并按照顺序从第一阶段开始逐步求解，通过每一阶段的最优解得到下一阶段的最优解，直到求解出整个问题的最优解。
动态规划算法的核心思想是将问题划分为子问题，并保存已经解决过的子问题的解，以便在求解其他子问题时不需要重新计算，而是直接使用已有的计算结果。
即动态规划算法采用自底向上的递推方式进行求解，通过计算并保存子问题的最优解，最终得到整个问题的最优解。
动态规划算法的主要步骤如下：
1. 划分子问题：将原问题划分为若干个子问题，并找到问题之间的递推关系。
2. 初始化：根据问题的特点和递推关系，初始化子问题的初始解。
3. 递推求解：按照子问题的递推关系，从初始解逐步求解子问题的最优解，直到求解出整个问题的最优解。
4. 得到最优解：根据子问题的最优解，逐步推导出整个问题的最优解。
5. 保存中间结果：为了避免重复计算，动态规划算法通常会使
用一个数组或表格来保存已经求解过的子问题的解。
动态规划算法常用于解决最优化问题，例如背包问题、最长公共子序列问题、最短路径问题等。
它能够通过将问题划分为若干个子问题，并通过保存已经解决过的子问题的解，从而大大减少计算量，提高算法的效率。
总之，动态规划算法是一种解决多阶段最优化决策问题的算法，它通过将问题划分为子问题，并保存已经解决过的子问题的解，以便在求解其他子问题时不需要重新计算，从而得到整个问题的最优解。
动态规划算法能够提高算法的效率，是解决最优化问题的重要方法。
离散型动态规划问题(举例)
表1 利润增长额 gi (x j ) （百元）
投资额
(j) 0 100 200 300 400 500 600
工厂(i)
2
0 25 45 57 65 70 73
f2 (600) max{g2 (0) f3(600), g2 (100) f3(500), g2 (200) f3(400), g2 (300) f3(300), g2 (400) f3(200), g2 (500) f3(100) g2 (600) f3(0)}
工厂(i)
4
0 28 47 65 74 80 85
自然问：现在还有多少钱？即 s4 =？ s4 =0，100，200，300，400，500，600都有可能。 下面分情况讨论：
s4 0
表1 利润增长额 gi (x j ) （百元）
投资额
(j) 0 100 200 300 400 500 600
工厂2
状态 s3
投资x3
工厂3
投资x4
状态 s4 工厂4 s5
g1 (x1 )
s2 s1 x1 g 2 (x2 ) s3 s2 x2
s4 s3 x3 g3 (x3 )
g4 (x4 )
状态变量 sk ：可用于第k, k+1,…n个工厂的投资额。
决策变量 xk ：第 k 阶段对第 k 个工厂的投资额。 允许决策集 Dk ： Dk {0, 100, , sk }
投资额
(j) 0 100 200 300 400 500 600
工厂(i)
4
0 28 47 65 74 80 85
f4 (s4 )
max {g
0x4 s4
马尔可夫决策过程中的连续时间建模方法(四)
马尔可夫决策过程（Markov Decision Process, MDP）是用来描述随机决策过程的数学框架，它包括一个状态空间、一个动作空间和一个奖励函数。
MDP可以应用于很多领域，比如人工智能、运筹学和经济学等。
在这篇文章中，我们将讨论马尔可夫决策过程中的连续时间建模方法。
首先，让我们回顾一下标准的离散时间马尔可夫决策过程。
在离散时间模型中，状态和动作空间是有限的，时间步长是离散的。
然而，在现实世界中，许多决策问题的时间是连续的，比如股票交易、机器人控制等。
因此，我们需要将马尔可夫决策过程扩展到连续时间模型。
在连续时间模型中，状态和动作空间通常是无限的。
为了解决这个问题，我们可以使用随机微分方程（Stochastic Differential Equations, SDE）来建模状态的演化。
SDE是一种描述随机过程的微分方程，它可以用来描述状态在连续时间内的变化。
在连续时间马尔可夫决策过程中，我们可以将SDE和MDP结合起来，得到一个连续时间的马尔可夫决策过程模型。
为了解决连续时间MDP的求解问题，我们可以使用一些数值方法，比如蒙特卡洛方法、动态规划和近似方法等。
蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的求解方法，它可以用来估计价值函数和策略函数。
动态规划是一种递归求解方法，它可以用来求解最优策略和价值函数。
近似方法是一种用来处理大规模问题的方法，它可以用来近似求解连续时间MDP模型。
在实际应用中，连续时间MDP模型可以应用于很多领域。
比如，在金融领域，我们可以使用连续时间MDP模型来建立股票交易策略。
在工程领域，我们可以使用连续时间MDP模型来设计自动控制系统。
在医疗领域，我们可以使用连续时间MDP 模型来制定治疗方案。
总之，连续时间MDP是马尔可夫决策过程的一个重要扩展，它可以应用于很多实际问题，并且可以通过数值方法来求解。
希望本文可以对读者理解马尔可夫决策过程中的连续时间建模方法有所帮助。
第15讲随机型动态规划及软件介绍
态转移方程为
0.6xk
p(sk1 1) 0.6xk p(sk1 0) 1 0.6xk
用C(xk)表示第k阶段的费用，第k阶段的费用包 括制造成本和装配费用，故有
C(
xk
)
2 0
xk
xk 0 xk 0
根据状态转移方程以及C(xk)，可得到
f
k
(1)
min xk
{c( xk
)
(1
0.6
xk
Sk∈{500,600,700}
当k=5时
f5(S5)＝S5 S5∈{500,600,700} f5(500)＝500 f5(600)＝600 f5(700)＝700
即在第五周，不论原材料的市场价格如何，都必须
购买。
当k=4时
f4(S4)＝min{S4，X4E} X4E=0.3 f5(500)+0.3 f5(600)+ 0.4f5(700)＝610 f4(500)＝500 f4(600)＝600 f4(700)＝610
)
f k1
(0)
0.6 xk
f k 1 (1)}
min xk
{c(
xk
)
0.6
xk
f k 1 (1)}
如果3个月后没有试制出一件合格品，则要承担 2000元的罚金，因此有f4(1)=20。
当k=3时，计算如下表：
x3
C(x3)+20×0.6x3
s3
0 1 2 3 4 5 6 f3(s3) x3*
0 0— — — — — — 0 0
第6章 动态规划
➢ 动态规划的基本理论
（2学时）
➢ 确定型动态规划
（2学时）
➢ 随机型动态规划
ASA共有十一门必修课 (1)
ASA共有十一门必修课：1．微积分和线性代数（100）；2．概率论与数理统计（110）；3．应用统计方法（120）；4．复利数学（140）；5．精算数学（150）；6.风险理论（151）；7．生存模型（160）；8．经济保障计划概论（200）；9．精算实务概论（210）；10．资产管理和公司财务概论（220）；11．资产和负债管理原理（230）。
以上十一门课共255学分，其余45学分要在另外24门选修课（略）中任选三～四门获得。
考生在获得ASA资格证书后方可参加FSA课程考试，通常把FSA考试分为若干方向，如：团体和健康保险、个人寿险和年金、财务、投资等，每个方向下设若干门课程,取得FSA 资格必须通过某一专门方向的所有课程，再选考其它若干门课程，使学分达到150分，连同ASA共450学分即可成为FSA。
考试在每年五月、十一月进行，考生每次报考门数自定，考完为止。
有关考试信息推荐您去{环球网校-精算师}频道查询准精算师部分的考试内容包括：科目名称科目代码科目名称科目代码中国精算师资格考试数学基础Ⅰ 01 生命表基础 06中国精算师资格考试数学基础Ⅱ 02 寿险精算实务 07中国精算师资格考试复利数学 03 非寿险精算数学与实务 08中国精算师资格考试寿险精算数学 04 综合经济基础 09中国精算师资格考试风险理论 05精算师部分的考试内容包括：科目代码课程名称备注中国精算师资格考试011 保险公司财务管理必考中国精算师资格考试012 保险法及相关法规必考中国精算师资格考试013 个人寿险与年金精算实务必考中国精算师资格考试014 社会保障选考中国精算师资格考试015 资产负债管理选考中国精算师资格考试016 高级非寿险精算实务选考中国精算师资格考试017 团体寿险选考中国精算师资格考试018 意外伤害和健康保险选考中国精算师资格考试019 高级投资学选考中国精算师资格考试020 养老金计划选考中国精算师资格考试021 精算职业后续教育（PD）必修，精算师部分要求完成3门必考课程，2门选考课程及精算职业后续教育后，并具有三年以上的精算工作经验，方可具备资格。
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(4)状态转移律为：
(8.15)
(5)第k阶段的费用支出为c(uk)，有
cxk
250
100xk 0
xk 0 xk 0
6
(6)设fk(sk)为从状态sk、决策xk出发的k阶段以后的最小期望费用。因有fk(0)=0， 故有
fk 1
xk
min
Dk sk
c
xk
2 xk 3
f
k少台，使总试制费用(包括 可能发生的赔偿损失)的期望值最小。
4
解：(1)合同期为三个月，投产一批的周期为一个月，故可将整个合同期划分为 三个阶段。
(2)状态变量sk。假定尚没一台合格品时sk =1，已得到一台以上合格品时sk =0。故 签订合同时只有一种情况s1 =1。
(3)决策变量xk为每个阶段的投产试制台数Dk(sk)={1,2,…,N}(当sk =1时) Dk(sk)={0} (当sk =0时)。
◆该公司的最优决策为第一批投产3台；如果无合格品，第二批 再投产3台；如果仍全部不合格，第三批投产4台。这样使总的期 望研制费用(包括三批均不合格时的赔偿费)为最小，共计796元。
10
感谢下 载
第四节 离散随机性动态规划模型求解
◆掌握离散随机性动态规划模型的求解
1
一、随机性动态规划基本结构
2
二、基本方程
fk sk
max E
xk Dk sk
v
sk , xk
fk1 sk1
(8.14)
其中E{}表示括弧内数量的期望值。
3
例5：某公司承担一种新产品试制任务，合同要求三个月内交出一台合格的样品， 否则将负担1500元的赔偿费。据有经验的技术人员估计，试制时每投产一台合 格概率为1/3，投产一批的准备结束费用为250元，每台试制费用为100元。若投 产一批后全部不合格，可再投一批试制，但每投一批周期需一个月。要求确定
2 3
xk
f k 1 0
xk
min
Dk sk
c
xk
2 xk 3
f
k
1
1
(8.16)
7
当k=3时，
表8-10
x3 c(x3)+(2/3) ×1500 s3 0 1 2 3
f3(s3) x3* 45
00
00
1 1500 1350 1117 994 946 948 946 4
8
当k=2时，
表8-11
x2 c(x2)+(2/3) ×946
s2
01
2
3
f2(s2) x2* 4
0
0
0
0
1
946 981 870 830 837 830 3
9
当k=1时，
表8-12
x1 s1 0
c(x1)+(2/3) ×830 1234
f1(s1) x1*
1 830 903 819 796 814 796 3