2019年高考三角函数考点预测
三角函数的图象和性质-2019届高考数学(文)提分必备30个黄金考点---精校解析Word版
【考点剖析】1.命题方向预测：(1)三角函数的最值以及三角函数的单调性是历年高考的重要考点. (2)利用三角函数的单调性求最值、利用单调性求参数是重点也是难点.(3)题型不限，选择题、填空题、解答题都有可能出现，常与多个知识点交汇命题. 2.课本结论总结：(1)由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，有两种变换方式：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)：；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．(2)x y sin =的性质：①定义域为R ，值域为[]1,1-；②是周期函数，最小正周期为π2；③在)(22,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ单调递增，在)(223,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ单调递减；④当Z k k x ∈+=,22ππ时，1m a x =y ；当Z k k x ∈+-=,22ππ时，1m i n -=y ；⑤其对称轴方程为)(2Z k k x ∈+=ππ,对称中心坐标为()Z k k ∈,0,π.(3)x y cos =的性质：①定义域为R ，值域为[]1,1-；②是周期函数，最小正周期为π2；③在[])(2,2Z k k k ∈+-πππ单调递增，在[])(2,2Z k k k ∈+πππ单调递减；④当Z k k x ∈=,2π时，1max =y ；当Z k k x ∈+=,2ππ时，1m i n -=y ；⑤其对称轴方程为)(Z k k x ∈=π,对称中心坐标为Z k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+,0,2ππ.（4）x y tan =的性质：①定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2|ππ，值域为R ；②是周期函数，最小正周期为π；③在)(2,2Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ单调递增；④其对称中心坐标为Z k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛,0,2π.3名师二级结论：（1）由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． （2）在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m2，k ＝M ＋m2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定．(3)作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： ①首先要确定函数的定义域；②对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象.(4)求三角函数值域(最值)的方法： ①利用sin x 、cos x 的有界性；②形式复杂的函数应化为k x A y ++=)sin(ϕω的形式逐步分析ϕω+x 的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；③换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．5.)sin(ϕω+=x A y 、)cos(ϕω+=x A y 、)tan(ϕω+=x A y 的性质： ①周期性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.②奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式． ③研究函数的单调性、最值、对称性等问题，要注意整体意识，即将ϕω+x 看作一个整体. 4.考点交汇展示：1.【2018年理北京卷】设函数f （x ）=，若对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 【答案】【解析】2.【2017北京，文16】已知函数())2sin cos 3f x x -x x π=-.（I ）f (x )的最小正周期； （II ）求证：当[,]44x ππ∈-时，()12f x ≥-． 【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题解析：（Ⅰ）31π()2sin 2sin 2sin 22sin(2)223f x x x x x x x =+-=+=+. 所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==. （Ⅱ）因为ππ44x -≤≤， 所以ππ5π2636x -≤+≤.所以ππ1sin(2)sin()362x +≥-=-.所以当ππ[,]44x ∈-时，1()2f x ≥-.【2017课标II ，理14】函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 。
2019年高考三角函数考点预测
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2019年高考三角函数考点预测
作者：袁海军
来源：《广东教育·高中》2019年第02期
三角函数是高中数学的重要内容，也是高考考查的重要内容之一. 三角函数在高考考查中一般有两种情形：其一，三道选择、填空题，共15分;其二，一道选择、填空题和一道解答题，共2道题，分值为17分. 近5年来全国卷考题如下表：
可见高考对这一部分的考查难度相对稳定，只考选择、填空题时，常有一道稍难题;解答题必在第17题位置，难度适中. 高考对三角函数的考查主要是基本概念、基本公式的理解和应用以及运算求解能力，侧重考查任意角三角函数概念和正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，突出考查形如y=Asin（？棕x+？渍）的图像与性质，考查两角和与差的三角函数公式及简单的三角恒等变换，重点考查正弦定理和余弦定理及其应用.
在2019年数学高考中，有关三角函数的主要考点有哪些呢？本文谈谈个人浅见，仅供考生们参考.。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题07三角函数图象与性质热点难点突破文含解析
三角函数图象与性质1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的最小正周期和振幅分别是( )A ．π， 2B ．π，2C ．2π，1D ．2π， 2答案 B解析 ∵y ＝s in ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴T ＝2π2＝π，振幅为2.2．已知函数f ()＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2－cos 2，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数f ()的图象() A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度答案 C解析 由题意可得，函数f ()＝3sin 2－cos 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，设平移量为θ，得到函数g ()＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6，又g ()为奇函数，所以2θ－π6＝π，∈，即θ＝π12＋k π2，∈.3．已知函数f ()＝－2cos ω(ω>0)的图象向左平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为( )A.π6B.5π6C.π12D.5π12答案 C4．已知函数f ()＝2sin(ω＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2，f (1)＝2，f (2)＝0，若|1－2|的最小值为12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，则f ()的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16＋2k ，56＋2k ，∈ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k ，16＋2k ，∈ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k π，16＋2k π，∈ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16＋2k ，76＋2k ，∈ 答案 B解析 由f (1)＝2，f (2)＝0，且|1－2|的最小值为12，可知T 4＝12，∴T ＝2，∴ω＝π， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，则φ＝±π3＋2π，∈， ∵0<φ<π2，∴φ＝π3， ∴f ()＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π3. 令－π2＋2π≤π＋π3≤π2＋2π，∈， 得－56＋2≤≤16＋2，∈. 故f ()的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k ，16＋2k ，∈. 5．已知函数f ()＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(∈R ，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.为了得到函数g ()＝cos ω的图象，只要将y ＝f ()的图象( )A ．向左平移3π20个单位长度 B ．向右平移3π20个单位长度 C ．向左平移π5个单位长度 D ．向右平移π5个单位长度 答案 A解析 由于函数f ()图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则其最小正周期T ＝π， 所以ω＝2πT ＝2，即f ()＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5，g ()＝cos 2. 把g ()＝cos 2变形得g ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π20＋π5，所以要得到函数g ()的图象，只要将f ()的图象向左平移3π20个单位长度即可．故选A. 6．如图，函数f ()＝A sin(ω＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，|φ|≤π2 与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为( )A.83 3B.1633 C ．8 D ．16 答案 B解析 由题意设Q (a ,0)，R (0，－a )(a >0)．则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a 2，由两点间距离公式，得 PM ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝25， 解得a 1＝8，a 2＝－4(舍去)，由此得T2＝8－2＝6，即T ＝12，故ω＝π6， 由P (2,0)得φ＝－π3， 代入f ()＝A sin(ω＋φ)，得f ()＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3， 从而f (0)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－8，得A ＝163 3.7.如图，单位圆O 与轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，∠AOC ＝α，若BC ＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为( )A.45B.35 C ．－45 D ．－35答案 B8．已知函数f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)的图象在区间(1,2)上不单调，则ω的取值范围为() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫7π8，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，7π8∪⎝ ⎛⎭⎪⎫7π4，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，＋∞答案 B解析 因为当∈(1,2)时，ω－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ω－π4，2ω－π4，又因为函数f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)的图象在区间(1,2)上不单调，所以存在∈，使得π＋π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ω－π4，2ω－π4，即得ω－π4<π＋π2<2ω－π4(∈)，即k π2＋3π8<ω<π＋3π4(∈)，因为ω>0，所以≥0，当＝0时，3π8<ω<3π4；当＝1时，7π8<ω<7π4；当＝2时，11π8<ω<11π4；…， 因此ω的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫7π8，7π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8，11π4∪…∪⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋3π8，4k π＋3π4∪… ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫7π8，＋∞. 9．函数f ()＝12－x 的图象与函数g ()＝2sin π2(0≤≤4)的图象的所有交点为(1，y 1)，(2，y 2)，…，(n ，y n )，则f (y 1＋y 2＋…＋y n )＋g (1＋2＋…＋n )＝________.答案 12解析 如图，画出函数f ()和g ()的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y 1＋y 2＋y 3＋y 4＝0，1＋2＋3＋4＝8，所以f (y 1＋y 2＋y 3＋y 4)＋g (1＋2＋3＋4)＝f (0)＋g (8)＝12＋0＝12.10．在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点P (－3，－1)，则tan α＝________，cos α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝________. 答案 330 解析 ∵角α的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点P (－3，－1)， ∴＝－3，y ＝－1，∴tan α＝y x ＝33，cos α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝cos α－cos α＝0. 11．已知tan α＝2，则sin 22α－2cos 22αsin 4α＝________. 答案 112解析 ∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43， ∴sin 22α－2cos 22αsin 4α＝sin 22α－2cos 22α2sin 2αcos 2α＝tan 22α－22tan 2α＝169－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝112. 12．设函数f ()(∈R )满足f (－π)＝f ()－sin ，当－π<≤0时，f ()＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018π3＝________. 答案 3213．已知向量m ＝(3sin ω,1)，n ＝(cos ω，cos 2ω＋1)，设函数f ()＝m ·n ＋b .(1)若函数f ()的图象关于直线＝π6对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f ()的单调递增区间； (2)在(1)的条件下，当∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，函数f ()有且只有一个零点，求实数b 的取值范围． 解 m ＝(3sin ω,1)，n ＝(cos ω，cos 2ω＋1)，f ()＝m ·n ＋b ＝3sin ωcos ω＋cos 2ω＋1＋b ＝32sin 2ω＋12cos 2ω＋32＋b＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b . (1)∵函数f ()的图象关于直线＝π6对称， ∴2ω·π6＋π6＝π＋π2(∈)， 解得ω＝3＋1(∈)，∵ω∈[0,3]，∴ω＝1，∴f ()＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b ， 由2π－π2≤2＋π6≤2π＋π2(∈)， 解得π－π3≤≤π＋π6(∈)， ∴函数f ()的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(∈)． (2)由(1)知f ()＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b ， ∵∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12，∴2＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，4π3， ∴当2＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，函数f ()单调递增； 当2＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，4π3，即∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π12时，函数f ()单调递减． 又f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， ∴当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>0≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0时，函数f ()有且只有一个零点， 即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0， ∴b 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－52. 14．已知a >0，函数f ()＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f ()≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g ()＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g ()>0，求g ()的单调区间． 解 (1)∵∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f ()∈[b ,3a ＋b ]，又∵－5≤f ()≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得f ()＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， ∴g ()＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. 又由lg g ()>0，得g ()>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2π＋π6<2＋π6<2π＋5π6，∈， 其中当2π＋π6<2＋π6≤2π＋π2，∈， 即π<≤π＋π6，∈时，g ()单调递增； 当2π＋π2<2＋π6<2π＋5π6，∈， 即π＋π6<<π＋π3，∈时，g ()单调递减． ∴g ()的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，∈， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，∈.15．已知函数f ()＝cos 4－2sin cos －sin 4.(1)若是某三角形的一个内角，且f ()＝－22，求角的大小； (2)当∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f ()的最小值及取得最小值时的值． 解 (1)∵f ()＝cos 4－2sin cos －sin 4＝(cos 2＋sin 2)(cos 2－sin 2)－sin 2＝cos 2－sin 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫22cos 2x －22sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴f ()＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－22， 可得cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－12. 由题意可得∈(0，π)，∴2＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，9π4，可得2＋π4＝2π3或4π3， ∴＝5π24或13π24. (2)∵∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22， ∴f ()＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈[－2，1]． ∴f ()的最小值为－2，此时2＋π4＝π， 即＝3π8.。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题07三角函数图象与性质热点难点突破理含解析
三角函数图象与性质1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的最小正周期和振幅分别是( )A ．π， 2B ．π，2C ．2π，1D ．2π， 2 【答案】B【解析】∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π2 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴T ＝2π2＝π，振幅为2.2．已知函数f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(∈R ，ω>0)的最小正周期为π，将y ＝f ()的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是( ) A.π2 B.3π8 C.π4 D.5π8 【答案】D3．已知函数f ()＝3sin ω－2cos 2ωx2＋1(ω>0)，将f ()的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度，所得函数g ()的部分图象如图所示，则φ的值为( )A.π12B.π6C.π8D.π3 【答案】A【解析】∵f ()＝3sin ω－2cos 2ωx2＋1＝3sin ω－cos ω＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6，则g ()＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx －φπ6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωφ－π6. 由图知T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2，g ()＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ－π6，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π6－2φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2φ＝2，即2π3－2φ＝π2＋2π，∈， ∴φ＝π12－π，∈.又0<φ<π2，∴φ的值为π12.4．已知函数f ()＝2sin(ω＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2，f (1)＝2，f (2)＝0，若|1－2|的最小值为12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，则f ()的单调递增区间为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16＋2k ，56＋2k ，∈B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k ，16＋2k ，∈C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k π，16＋2k π，∈ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16＋2k ，76＋2k ，∈【答案】B【解析】由f (1)＝2，f (2)＝0，且|1－2|的最小值为12，可知T 4＝12，∴T ＝2，∴ω＝π，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，则φ＝±π3＋2π，∈，∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f ()＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π3.令－π2＋2π≤π＋π3≤π2＋2π，∈，得－56＋2≤≤16＋2，∈.故f ()的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k ，16＋2k ，∈.5．函数f ()＝3sin ω＋cos ω(ω>0)图象的相邻对称轴之间的距离为π2，则下列结论正确的是( )A ．f ()的最大值为1B ．f ()的图象关于直线＝5π12对称C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2的一个零点为＝－π3D ．f ()在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减【答案】D【解析】因为f ()＝3sin ω＋cos ω＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的相邻的对称轴之间的距离为π2，所以2πω＝π，得ω＝2，即f ()＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f ()的最大值为2，所以A 错误； 当＝5π12时，2＋π6＝π，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝0，所以＝5π12不是函数图象的对称轴，所以B 错误；由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π6＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当＝－π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2≠0，所以＝－π3不是函数的一个零点，所以C 错误；当∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2时，2＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，7π6，f ()单调递减，所以D 正确．6.如图，单位圆O 与轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，∠AOC ＝α，若BC ＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为( )A.45B.35 C ．－45 D ．－35 【答案】B7．已知函数f ()＝2sin(ω＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为π，若f ()>2对∀∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，π3恒成立，则φ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6 【答案】D【解析】因为函数f ()＝2sin(ω＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为π，所以函数周期为T ＝π，ω＝2，当∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，π3时，2＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋φ，2π3＋φ，且|φ|≤π2，由f ()>2知，sin(2＋φ)>12，所以⎩⎪⎨⎪⎧π6≤π12＋φ，2π3＋φ≤5π6，解得π12≤φ≤π6.8．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin(π－2α)＝( ) A.2425 B.1225 C ．－1225 D ．－2425【解析】由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin2α＝2sin αcos α＝－2425，故选D. 【答案】D9．若将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0 【解析】将函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，得y ＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π2＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，由2＋π6＝π＋π2(∈)，得＝k π2＋π6(∈)，当＝0时，＝π6，所以平移后图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，故选A. 【答案】A10．已知tan α＝－34，则sin α·(sin α－cos α)＝( )A.2125B.2521C.45D.54【解析】sin α·(sin α－cos α)＝sin 2α－sin α·cos α＝sin 2α－sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1，将tan α＝－34代入，得原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－342－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋1＝2125，故选A.【答案】A11．已知函数f ()＝sin ω－3cos ω(ω>0)在(0，π)上有且只有两个零点，则实数ω的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43B.⎝ ⎛⎦⎥⎤43，73C.⎝ ⎛⎦⎥⎤73，103D.⎝ ⎛⎦⎥⎤103，133【解析】f ()＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3，设t ＝ω－π3，因为0<<π，所以－π3<t <ωπ－π3，因为函数f ()在(0，π)上有且仅有两个零点，所以π<ωπ－π3≤2π，解得43<ω≤73，故选B.【答案】B12．如图是函数y ＝A sin(ω＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，A >0，ω>0，0<φ<π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将函数y ＝sin(∈R )的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原的2倍，纵坐标不变B ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原的12，纵坐标不变C ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原的2倍，纵坐标不变D ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原的12，纵坐标不变【解析】由图象可知，A ＝1，最小正周期T ＝π，所以ω＝2.将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0代入y ＝sin(2＋φ)可得φ＝π3，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故只需将y ＝sin 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原的12即可．故选D. 【答案】D13．已知函数f ()＝sin(ω＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，且函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12是偶函数，下列判断正确的是( ) A ．函数f ()的最小正周期为2πB ．函数f ()的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，0对称C ．函数f ()的图象关于直线＝－7π12对称D ．函数f ()在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递增【解析】由题意得函数f ()＝sin(ω＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为2×π2＝π，所以2πω＝π，解得ω＝2.因为函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12是偶函数，所以2×π12＋φ＝π2＋π，∈，即φ＝π3＋π，∈，因为|φ|<π2，所以φ＝π3，f ()＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.函数f ()的最小正周期为π，A 错误；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋π3＝－1≠0，所以B 错误；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12＋π3＝－12≠±1，所以C 错误；由－π2＋2π≤2＋π3≤π2＋2π，∈得－5π12＋π≤≤π12＋π，∈，即函数f ()的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，∈，令＝1得函数f ()的一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π12，13π12，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π12，13π12，所以D 正确．综上所述，故选D. 【答案】D14．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边在直线2－y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋cos θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin θ＝________.【解析】设点P (a,2a )(a ≠0)为角θ终边上任意一点，根据三角函数的定义有tan θ＝yx＝2，再根据诱导公式，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋cos θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin θ＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝2. 【答案】215．若函数f ()＝3sin(2＋θ)＋cos(2＋θ)(0<θ<π)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，则函数f ()在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为________．【解析】f ()＝3sin(2＋θ)＋cos(2＋θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π6，则由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋θ＋π6＝0，又因为0<θ<π，所以7π6<π＋θ＋π6<13π6，所以π＋θ＋π6＝2π，所以θ＝5π6，所以f ()＝－2sin2，又因为函数f ()在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上是减函数，所以函数f ()在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－2sin π3＝－ 3.【答案】－ 316．已知函数f ()＝3sin ω－cos ω＋m (ω>0，∈R ，m 是常数)图象上的一个最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1，且与点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1距离最近的一个最低点是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，－3，则函数f ()的解析式为__________________．【解析】f ()＝3sin ω－cos ω＋m ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋m ，因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，－3分别是函数f ()图象上的最高点和最低点，且它们是相邻的，所以T 2＝2π2ω＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，且m ＝132，所以ω＝2，m ＝－1.所以函数f ()的解析式为f ()＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1.【答案】f ()＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－117．设函数f ()(∈R )满足f (－π)＝f ()－sin ，当－π<≤0时，f ()＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018π3＝________.【答案】3218．已知向量m ＝(3sin ω,1)，n ＝(cos ω，cos 2ω＋1)，设函数f ()＝m ·n ＋b . (1)若函数f ()的图象关于直线＝π6对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f ()的单调递增区间；(2)在(1)的条件下，当∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，函数f ()有且只有一个零点，求实数b 的取值范围．解 m ＝(3sin ω,1)，n ＝(cos ω，cos 2ω＋1)，f ()＝m ·n ＋b ＝3sin ωcos ω＋cos 2ω＋1＋b＝32sin 2ω＋12cos 2ω＋32＋b ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b .(1)∵函数f ()的图象关于直线＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝π＋π2(∈)，解得ω＝3＋1(∈)，∵ω∈[0,3]，∴ω＝1， ∴f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b ，由2π－π2≤2＋π6≤2π＋π2(∈)，解得π－π3≤≤π＋π6(∈)，∴函数f ()的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(∈)． (2)由(1)知f ()＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b ， ∵∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12，∴2＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，4π3， ∴当2＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，函数f ()单调递增； 当2＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，4π3，即∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π12时，函数f ()单调递减． 又f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， ∴当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>0≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0时，函数f ()有且只有一个零点， 即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0， ∴b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－52. 19．已知函数f ()＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求函数f ()的定义域；(2)设β∈(0，π)，且f (β)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，求β的值． [解] (1)由＋π4≠π＋π2，∈，得≠π＋π4，∈. 所以函数f ()的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫xx ≠k π＋π4，k ∈Z . (2)依题意，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4. 整理得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4－1＝0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝0或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝12. 因为β∈(0，π)，所以β＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4. 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝0，得β＋π4＝π，即β＝3π4； 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝12，即β＋π4＝π3，即β＝π12. 所以β＝π12或β＝3π4. 20．已知函数f ()＝2cossin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋3sin 2＋sincos. (1)求函数f ()的最小正周期．(2)若f ()－m ＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3恰有一实数根，求m 的取值范围． [解] (1)函数f ()＝2cossin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋3sin 2＋sincos ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π3－cos x sin π3＋3sin 2＋sincos ＝2cos ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x ＋3sin 2＋sincos ＝2sincos －3cos 2＋3sin 2＝sin2－3cos2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 故函数f ()的最小正周期为2π2＝π. (2)在∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3时，f ()＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象如下．∵f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝2s in ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－π3＝0， ∴当方程f ()－m ＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3恰有一实数根时，m 的取值范围为[－3，0)∪{2}． 21．已知函数f ()＝sin(2π－)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x －3cos 2＋ 3. (1)求f ()的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)当∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，求f ()的最小值和最大值．22．函数f ()＝12－x 的图象与函数g ()＝2sin π2(0≤≤4)的图象的所有交点为(1，y 1)，(2，y 2)，…，(n ，y n )，则f (y 1＋y 2＋…＋y n )＋g (1＋2＋…＋n )＝________.【答案】12【解析】如图，画出函数f ()和g ()的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y 1＋y 2＋y 3＋y 4＝0，1＋2＋3＋4＝8，所以f (y 1＋y 2＋y 3＋y 4)＋g (1＋2＋3＋4)＝f (0)＋g (8)＝12＋0＝12.23．已知a >0，函数f ()＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f ()≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g ()＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且l g g ()>0，求g ()的单调区间．解 (1)∵∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f ()∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f ()≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得f ()＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， ∴g ()＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. 又由lg g ()>0，得g ()>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2π＋π6<2＋π6<2π＋5π6，∈， 其中当2π＋π6<2＋π6≤2π＋π2，∈， 即π<≤π＋π6，∈时，g ()单调递增； 当2π＋π2<2＋π6<2π＋5π6，∈， 即π＋π6<<π＋π3，∈时，g ()单调递减． ∴g ()的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，∈， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，∈.。
押题3 三角函数-2019年高考数学真题回顾与精准押题含答案
押题3 三角函数-2019年高考数学真题回顾与精准押题含答案【高考考纲】1.求三角函数的值域或最值2.根据值域或最值求参数3.根据图象或周期公式求三角函数的周期、单调区间或判断奇偶性4.根据单调性、奇偶性、周期性求参数5.考查三角函数的图象变换6.根据图象求解析式或参数7.根据三角函数的定义、诱导公式及同角公式化简、求值 8.应用诱导公式或同角公式进行三角恒等变换 9.利用和、差角公式、二倍角公式化简、求值或求角 10.与三角函数图象与性质交汇考查11.在三角形中利用正、余弦定理进行边角计算 12.结合正、余弦定理进行面积计算13.利用正、余弦定理解决距离、高度、角度等实际问题 【真题感悟】例1．(2018·全国卷Ⅰ，8)已知函数f ()x ＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f ()x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．f ()x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．f ()x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f ()x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B【解析】f (x )＝2cos 2x －(1－cos 2x )＋2＝3cos 2x ＋1 ＝32cos2x ＋52，所以最小正周期为π，最大值为4. 【名师点睛】三角函数的奇偶性(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z)，是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z)；(2)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z)，是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z)；(3)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z)．【变式探究】(2018·全国卷Ⅱ，10)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π【答案】C【解析】f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上单调递减， 所以[0，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，故0<a ≤3π4. 【变式探究】(2018·全国卷Ⅱ，10)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π例2．(2018·浙江卷，5)函数y ＝2|x |sin2x 的图象可能是( )【答案】D【解析】因为f (－x )＝2|－x |sin(－2x )＝－2|x |sin2x ＝－f (x )，所以该函数为奇函数，排除A ，B ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin2x >0,2|x |sin2x >0，所以图象在x 轴的上方，当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，sin2x <0,2|x |sin2x <0，所以图象在x 轴的下方，排除C ，故选D ．【名师点睛】三角函数的对称性(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)解得，对称中心的横坐标由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)解得；(2)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)解得，对称中心的横坐标由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)解得；(3)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象的对称中心由ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z)解得．【变式探究】 (2018·全国卷Ⅲ，15)函数f ()x ＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[]0，π的零点个数为 . 【答案】3【解析】令f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＝0，得3x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z)，即x ＝π9＋13k π(k ∈Z)， 当k ＝0时，x ＝π9∈[0，π]，当k ＝1时，x ＝4π9∈[0，π]，当k ＝2时，x ＝7π9∈[0，π]，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]上零点的个数为3. 押题 1．函数图像向左平移个单位后图像关于轴对称，则的值可能为（ ）. A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】函数,将其图象向左平移a 个单位（a ＞0），所得图象的解析式为：y ＝2sin[2（x+a ）﹣]， 由平移后所得图象关于y 轴对称，则2a ﹣＝k π，即a ＝，又，当k ＝0时，a ． 故选：B ． 2．已知锐角的角，，的对边分别为，，，且，三角形的面积，则的取值范围为（）A． B．C．D．【答案】D【解析】设边上的高为，则，则.以为直径作圆，显然在圆外，故为锐角，又、为锐角，设，因为已证为锐角，所以的取值因，为锐角限定，所以，所以，对称轴为，由，对称轴时取得最小值，两端是最大值（不能取得），可得的取值范围为.故选D.3．已知，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，得，而.故选A.4．将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则的最小正周期是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题,∴T==故选：B5．的内角所对的边分别是.已知，则的取值范围为（）A．B．C． D．【答案】D【解析】因为，得，所以，所以当且仅当取等号，且为三角形内角，所以.故选：D6．若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，由诱导公式得，所以.故选：B7．函数的部分图像如图所示，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知A＝2，T＝＝π，T=ω＝2，当x时取得最大值2，所以2＝2sin（+φ），所以φ，故选：D8．已知的内角，，的对边分别是，，，且，若的外接圆半径为，则的周长的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，，，,因此.即,因为,所以,选B.9．函数（ω＞0）的图像过点（1，2），若f（x）相邻的两个零点x1，x2满足|x1－x2|＝6，则f（x）的单调增区间为（）A．[－2＋12k，4＋12k]（k∈Z）B．[－5＋12k，1＋12k]（k∈Z）C．[1＋12k，7＋12k]（k∈Z）D．[－2＋6k，1＋6k]（k∈Z）【答案】B【解析】由题意得，∵相邻的两个零点，满足，∴函数的周期为，∴，∴．又函数图象过点，∴，∴，∴，∴．由，得，∴的单调增区间为．故选B．10．某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好，那么的值为（）（）A．B．C．或 D．或【答案】C【解析】如图，AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°．由余弦定理得9＝x2+27﹣2×3x×cos30°．解得x＝3或x＝6．故答案为：3或6．11．设的内角、、所对边的长分别为、、，且.（Ⅰ）证明：、、成等差数列；（Ⅱ）若，，求的面积.【答案】（Ⅰ）见详解；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由余弦定理知，又所以，即，所以，因此、、成等差数列.（Ⅱ）因为，，由（Ⅰ）可得，所以，因此，所以的面积.12．设函数，.（Ⅰ）求的最大值及最小正周期；（Ⅱ）讨论在区间上的单调性.【答案】（Ⅰ）最大值为，最小正周期为；（Ⅱ）在区间上单调递增，在区间上单调递减.【解析】（Ⅰ）因为，所以的最大值为，最小正周期为.（Ⅱ）因为，所以.所以当，即时，单调递增；当，即时，单调递减.综上可知在区间上单调递增，在区间上单调递减.13．在中，内角所对的边分别为，已知. （Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积，且，求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ），，由正弦定理得，即，，,.（Ⅱ）,,,,, 即.14．锐角中，角的对边分别为，的面积为，（1）求的值；（2）若，，求的最大值.【答案】（1）（2）6【解析】依题意，得，即由正弦定理得：∵，∴∴（2）∵，∴∵为锐角，∴，由余弦定理得，即，∴，整理得：，即，当且仅当时取等号,故的最大值为6.15．在平面四边形中，已知,.（1）若,求的面积；（2）若,求的长．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，即,解得.所以.（2）因为,所以，,.在中，,.所以.16．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积. （Ⅰ）求；（Ⅱ）作角的平分线交边于点，记和的面积分别为，，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）.因此，又，所以.（Ⅱ），由正弦定理，知.因为，所以.17．在中，点在边上，，，．(1)(2)若，求的长及的面积．【答案】（1）（2）28（2）在中，由，得所以．18．在平面直角坐标系中，设向量=，= ，其中．（1）若∥，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为∥，所以，所以．因为，所以．于是解得．（2）因为，所以，又，故．因为，所以，又，解得．因此，．19．设的内角所对边的长分别是，且. (Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】(Ⅰ)由可得，结合正弦定理可得：，即：，据此可得.(Ⅱ)由余弦定理可得：，由同角三角函数基本关系可得，故，，.20．如图所示，某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB的公路，现要修一条地铁L，在OA，OB上各设一站A，B，地铁在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为，设地铁在AB部分的总长度为．按下列要求建立关系式：设，将y表示成的函数；设，用m，n表示y．把A，B两站分别设在公路上离中心O多远处，才能使AB最短？并求出最短距离．【答案】y=，；（2）【解析】过O作于H由题意得，且即,即；由等面积原理得即选择方案一：当时，此时，而所以选择方案二：因为，由余弦定理得，即当且仅当时取等号。
专题03 三角函数与解三角形-2019年高考数学满分考前考点回扣系列(解析版)
2019年高考数学满分考前考点回扣系列专题03 三角函数与解三角形一、临考知识对点回扣：【友情提示1】α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2kπ(k ∈Z)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P(x ，y)是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＞0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关.【回扣问题1】已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________. 【答案】 －15【解析】由三角函数的定义可得341sin cos ().555αα+=+-=-【友情提示2】同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限【回扣问题2】 已知sin ⎝⎛⎭5π2＋α＝15，则sin α的值为( ) A.15B.－15C.±265D.256【答案】 C【解析】由诱导公式得1cos sin 5αα=⇒=【友情提示3】三角函数的图象与性质 (1)五点法作图；(2)对称轴：y ＝sin x ，x ＝kπ＋π2，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝kπ，k ∈Z ；对称中心：y ＝sin x ，(kπ，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝⎛⎭⎫kπ＋π2，0，k ∈Z ；y ＝tan x ，⎝⎛⎭⎫kπ2，0，k ∈Z.(3)单调区间：y ＝sin x 的增区间：⎣⎡⎦⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k ∈Z)， 减区间：⎣⎡⎦⎤π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k ∈Z)； y ＝cos x 的增区间：[]－π＋2kπ，2kπ(k ∈Z)， 减区间：[2kπ，π＋2kπ](k ∈Z)；y ＝tan x 的增区间：⎝⎛⎭⎫－π2＋kπ，π2＋kπ(k ∈Z). (4)周期性与奇偶性：y ＝sin x 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2 π，为偶函数；y ＝tan x 的最小正周期为π，为奇函数.易错警示 求y ＝Asin(ωx ＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误： (1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反； (2)忘掉写＋2kπ，或＋kπ等，忘掉写k ∈Z ；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起，如[0，90°]应写为⎣⎡⎦⎤0，π2. 【回扣问题3】(1)把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A.x ＝－π2B.x ＝－π4C.x ＝π8D.x ＝π4(2)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的递减区间是________. 【答案】 (1)A (2)⎣⎡⎦⎤kπ－π12，kπ＋5π12(k ∈Z) 【解析】（1）sin()6y x π=+各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到sin(2)6y x π=+，再将图象向右平移π3个单位长度得到sin(2())sin(2)cos2,362y x x x πππ=-+=-=-所得图象的一条对称轴方程为.x ＝－π2 .(2)有公式可得（注意负号）。
2019年高考数学(理)：专题08-三角函数的图像与性质(命题猜想)
【考向解读】1.三角函数y ＝Asin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象变换，周期及单调性是高考热点．2.备考时应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象与性质，并熟练掌握函数y ＝Asin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的值域、单调性、周期性等．3.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.4.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.【命题热点突破一】 三角函数的概念、同角三角函数关系、诱导公式例1、（2018年全国Ⅲ卷理数）若，则A. B. C. D.【答案】B 【解析】，故答案为B.【变式探究】(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________. 【答案】－79【解析】(2)由题意知α＋β＝π＋2k π(k ∈Z )， ∴ β＝π＋2k π－α(k ∈Z )， sin β＝sin α，cos β＝－cos α. 又sin α＝13，∴ cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1 ＝2×19－1＝－79.【变式探究】若，则sin 2α=（ ）（A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D【解析】，且，故选D.【感悟提升】在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点，角的始边在x 轴正半轴上时，角的终边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值．如果不是在单位圆中定义的三角函数，那么只要把角的终边上点的横、纵坐标分别除以该点到坐标原点的距离就可转化为单位圆上的三角函数定义．【变式探究】 当x ＝π4时，函数f(x)＝Asin(x ＋φ)(A>0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x 是( )A ．奇函数且图像关于点⎝⎛⎭⎪⎫π2，0对称B ．偶函数且图像关于点(π，0)对称C ．奇函数且图像关于直线x ＝π2对称D ．偶函数且图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称【答案】C【命题热点突破二】 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像与解析式 例2、（2018年天津卷）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知： 将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得一个单调递增区间为：.函数的单调递减区间满足：， 即，令可得一个单调递减区间为：.本题选择A 选项.(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．解析：(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3.由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，所以ω＝6k ＋2，k ∈Z . 又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3. 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.【变式探究】函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 解析：根据图象上点的坐标及函数最值点，确定A ，ω与φ的值．由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.答案：A【变式探究】已知函数f(x)＝2cos 2x ＋2 3sin xcos x ＋a ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f(x)的最小值为2.(1)求a 的值，并求f(x)的单调递增区间；(2)先将函数f(x)的图像上的点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，再将所得的图像向右平移π12个单位长度，得到函数g(x)的图像，求方程g(x)＝4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上所有根之和．【解析】解：（1）f （x ）＝cos 2x ＋1＋3sin 2x ＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴f （x ）min ＝f （π2）＝－1＋a ＋1＝2，得a ＝2，故f （x ）＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3. 令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴函数f （x ）的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .（2）由题意得g （x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＋3， 由g （x ）＝4，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6＝12，解得4x －π6＝2k π＋π6或4x －π6＝2k π＋5π6，k ∈Z ，即x ＝k π2＋π12或x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x ＝π12或π4，故所有根之和为π12＋π4＝π3.【感悟提升】三角函数综合解答题的主要解法就是先把三角函数的解析式化为y ＝Asin(ωx ＋φ)的形式，再结合题目要求，利用函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像与性质解决问题． 【高考真题解读】1.（2018年全国Ⅲ卷理数）若，则A. B. C. D.【答案】B 【解析】，故答案为B.2. （2018年天津卷）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得一个单调递增区间为：.函数的单调递减区间满足：，即，令可得一个单调递减区间为：.本题选择A选项.3. （2018年北京卷）设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．【答案】【解析】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，所以，因为，所以当时，ω取最小值为.4. （2018年江苏卷）已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】由题意可得，所以，因为，所以5. （2018年全国Ⅲ卷理数）函数在的零点个数为________．【答案】【解析】由题可知，或解得,或故有3个零点。
2019年高考数学高频考点揭秘与仿真测试专题20三角函数三角函数的概念文含解析
专题20 三角函数 三角函数的概念【考点讲解】一、具本目标：1.了解任意角、弧度制的概念，能正确进行弧度与角度的互化； 2. 会判断三角函数值的符号，理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；考点分析：高考对任意角三角函数定义的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求学生深刻认识利用坐标法定义任意角三角函数的背景和目的．近几年的高考试题，主要考查以下两个直接利用任意角三角函数的定义求三角函数值，或者根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标． 二、知识概述：1.任意角：（1)角的分类：任意角可按旋转方向分为正角、负角、零角. （2)象限角.第一象限角的集合为，∈k Z }第二象限角的集合为，∈k Z }第一象限角的集合为，∈k Z }第一象限角的集合为，∈k Z }（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合2.弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值l r与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关． 3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．4.三角函数的定义1）任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y ，co s α＝x ，tan α＝yx，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．2）三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 3）三角函数线：设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos α，sin α)，即P (cos α，sin α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.利用三角函数线可以判断角的三角函数值的符号或比较角的大小.5. 扇形的弧长及面积公式弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.【真题分析】1．（2018春沂水县期中）下列角α位于第三象限的是（ ） A.3=α B.πα32= C.3-=α D. 210-=α【答案】C【变式】下列三角函数值的符号判断错误的是( )A ．sin165°＞0B ．cos280°＞0C ．tan170°＞0D ．tan310°＜0【解析】165°是第二象限角，因此sin165°＞0正确；280°是第四象限角，因此cos280°＞0正确；170°是第二象限角，因此tan170°＜0，故C 错误；310°是第四象限角，因此tan310°＜0正确． 【答案】C2.【2018北京卷7】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为.A. 1B. 2C. 3D.4【答案】C3．（宁夏，海南）已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） A.()A :p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥是真命题B.:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥是真命题C.()C :p x ⌝∃∈R ，sin 1x > 是假命题D.:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >是假命题 【解析】本题考查的是命题的否定及真假性的判断，同时也考查了三角函数值的性质.由题意可知原命题是全称命题，命题的否定要先改变名称，将全称改成特称，同时要将结论否定，即为:p x ⌝∃∈R ，sin 1x > ，由三角函数的性质可知，任意角的正弦值都不大于1，所以命题是假命题.【答案】C4【2017山东高三测试】下列说法中正确的是( ) A ．第一象限角一定不是负角 B ．－831°是第四象限角C ．钝角一定是第二象限角D ．终边与始边均相同的角一定相等【解析】本题考查的是象限角，由象限角的范围可以直接判断，本题可用特殊角来判断选项的正确与错误.比如：－330°＝－360°＋30°，所以－330°是第一象限角，所以A 错误；－831°＝(－3)×360°＋249°，所以－831°是第三象限角，所以B 错误；0°角，360°角终边与始边均相同，但它们不相等，所以D 错误．【答案】C.5.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)D ．[－2,3]【解析】 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.故选A.【答案】A6.已知点1(,)22P -在角θ的终边上，且[0,2)θπ∈，则θ的值为 （ ） A ．56π B.23π C.116π D ．53π【解析】因为点1)2P -在角θ的终边上，由三角函数的定义可知，且点1)2P -在第四象限，所以116πθ=. 【答案】C7.角α的终边上一个点P 的坐标为，求的值.8.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455 -，-）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=513，求cosβ的值．解：（Ⅰ）由角α的终边过点34(,)55P--得4sin5α=-，所以.（Ⅱ）由角α的终边过点34(,)55P--得3cos5α=-，由得.由得，所以或.。
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仔 12
（k∈Z）
解析： 思路 1： 求出平移以后的函数解析式为 y=4sin2
（x+
仔 12
数公式及简单的三角恒等变换， 重点考查正弦定理和余弦定
理及其应用．
在 2019 年数学高考中， 有关三角函数的主要考点有哪些
呢？ 本文谈谈个人浅见， 仅供考生们参考．
考点一、 三角函数的概念及运算
三角函数概念表现在三角函数的定义、 诱导公式、 同角
基本关系式及三角恒等变换相关公式.
预测题 1.1 在平面直角坐标系中， 若角 琢 的终边经过点
）
B． y=2sin
（2x-
仔 3
）
-仔 O 6
仔x 3
C． y=2sin （2x+ 仔 ） 6
D． y=2sin
（2x+
仔 3
）
-2
解析：
由图中可知 A＝2，
又由
12仔 棕
＝2[ 仔 3
-（- 仔 6
）]，
sin＝（
仔 3
棕+渍）＝1，
解得：
棕＝2，
渍＝-
仔 6
．
选 A．
点评: 本题以呈现函数 y＝Asin （棕x+渍）的部分图像上两个
３
３2
22
1
由三角函数的定义可得： sin琢=
2
＝1，
姨（- 姨 3
2
）
+（
1
2
）
2
2
2
则
sin（仔+琢）＝-sin琢＝-
1 2
.
故选 B.
点评： 任意角的三角函数值仅与角 琢 的终边位置有关，
而与角 琢 终边上点 P 的位置无关． 若角 琢 已经给出， 则无论点
P 选择在 琢 终边上的什么位置， 角 琢 的三角函数值都是确定
3
3
10
cos2兹= 9 ， 由此可选择余弦函数二倍角公式的任一种形式解 10
决问题， 如 cos2兹=1-2sin2兹= 4 ， 选 D． 5
Байду номын сангаас
方 法 2： 由 tan （兹 + 仔 ） ＝ 1 圯 tan兹 ＝- 1 ， 再 由 cos2兹 =
42
3
cos2兹-sin2兹 cos2兹+sin2兹
＝
1-tan2兹 1+tan2兹
=
4 5
，
选 D.
点评: 本题考查了同角三角函数关系、 和差公式， 倍角公
式等基本知识． 三角恒等变换是高考对三角函数考查的重点内
容． 在三角恒等变换中， （1） 要熟悉公式正用、 逆用， 也要
注 意 公 式 的 变 形 ， 如 1 +cos2琢 ＝2cos2琢， 1 -cos2琢 ＝2sin2琢，
填空题时， 常有一道稍难题； 解答题必在第 17 题位置， 难度
适中． 高考对三角函数的考查主要是基本概念、 基本公式的理
解和应用以及运算求解能力， 侧重考查任意角三角函数概念
和正弦函数、 余弦函数、 正切函数的图像和性质， 突出考查
形如 y=Asin（棕x+渍）的图像与性质， 考查两角和与差的三角函
而导致结果的错误， 属中档题.
预测题 2.2
若将函数
y＝4sin2x
的图像向左平移
仔 12
个单
位长度， 再向上平移 2 个单位长度， 则平移后图像的对称轴
为（ ）
A． x= k仔 - 仔 （k∈Z） 26
B． x= k仔 + 仔 （k∈Z） 26
C．
x=
k仔 2
-
仔 12
（k∈Z）
D．
x=
k仔 2
+
应考方略 数学有数
2019 年高考三角函数考点预测
■ 厦门大学附属实验中学 袁海军
三角函数是高中数学的重要内容， 也是高考考查的重要 内容之一． 三角函数在高考考查中一般有两种情形： 其一， 三 道选择、 填空题， 共 15 分； 其二， 一道选择、 填空题和一道 解答题， 共 2 道题， 分值为 17 分． 近 5 年来全国卷考题如下表：
P（sin
5仔 3
，
cos
5仔 3
），则 sin（仔+琢）＝（
）
A．
-
姨3 2
B．
-
1 2
C．
1 2
D．
姨3 2
解析：由诱导公式可得：
sin
5仔 3
=
sin
（2仔
-
仔 ３
）
＝-
sin
仔 ３
＝-
姨3 2
，
cos 5仔 ＝cos（2仔- 仔 ）＝cos 仔 ＝ 1 ， 即 P（- 姨 3 ， 1 ）.
3
的．在本题中必须先用诱导公式求出点 P 的坐标， 再用三角函
数定义和诱导公式求解.
预测题 1.2
若
tan（兹+
仔 4
）=
1 2
，
则 cos2兹＝
（
）
A． - 4 5
B． - 1 5
C． 1 5
D． 4 5
解析:
方法 1：
由
tan（兹+
仔 4
）=
1 2
圯tan兹＝-
1 3
，
可知
sin兹 cos兹
=- 1 ， 即 sin兹=- 1 cos兹， 又由 sin2兹+cos2兹=1， 解得 sin2兹= 1 ，
换的核心是角的变化， 注意角的变化， 灵活地选用三角公式
34 广东教育·高中 2019 年第 2 期
是正确进行三角恒等变换的关键．
考点二、 三角函数的图像与性质
三角函数图像与性质主要表现在： 1. 主要考查由给出的
三角函数图像或以文字形式给出图像特征， 要求出三角函数
的解析式或与此解析相关的问题. 2. 直接考查三角函数的图像
年份、题号 2018 2017 全国 1 卷 16，17 9，17 全国 2 卷 6，10，15 14，17 全国 3 卷 4，9，10 6，17
2016 12，17 7，9，13 5，8，14
2015 2014 2，8，16 6，8，16 10，17 4，12，14
可见高考对这一部分的考查难度相对稳定， 只考选择、
1+tan琢 1-tan琢
=tan
（
仔 4
+琢），
tan琢±tan茁=tan（琢±茁）[1芎tan琢茁]等；
（2）
要注意拆角、 拼角的方法和技巧， 如 琢=（琢+茁）-茁， 2琢＝（琢+茁）+
（琢-茁）， 2茁=（琢+茁）-（琢-茁） 等； （3） 要关注常用的解题思路，
如 “1” 的代换、 “正切为弦”、 “化异为同” 等．三角恒等变
特殊点坐标的方式设问， 考查三角函数与三角变换的基本知
识与方法， 考查识图、 读图能力． 解题的关键是根据图像， 读
出或求出 y＝Asin（棕x+渍）中参数 A， 棕， 渍 的取值， 从而选出符
合条件的函数解析式． 考查形式属于由图定式类型， 应注意函
数三种表征的联系， 避免由于特殊点或特殊数值的选择不当
与性质： 如平移变换、 伸缩变换 （奇偶性、 周期性、 单调性、
对称性及最值问题）， 突出对三角函数的数形结合思想的运
用， 尤其是识图、 用图能力.
预测题 2.1 已知函
y
数 ｆ（x）＝Asin（棕x+渍）（A＞0，
2
棕＞0， 渍
＜
仔 2
）的部分图像
如图所示， 则 （ ）
A． y=2sin
（2x-
仔 6