高中数学 空间中直线与直线之间的位置关系学案 苏教版必修2
苏教版数学高一《空间两条直线的位置关系2》 精品教案
（3）直线 与 的夹角是多少？
二 提高题
4．长方体 中， ，则异面直线 与
所成角的余弦值是_______________．
三 能力题
5．在空间四边形 中， 分别是 中点，且 ，
又 ．求 与 所成角的大小．
6．如图，已知 不共面， ，点
总 课 题
点、线、面之间的位置关系
总课时
第8课时
分 课 题
空间两条直线的位置关系
分课时
第2课时
教学目标
判断空间两直线为异面直线；异面直线所成角的定义、范围及应用．
重点难点
异面直线的判定，异面直线所成角的计算．
引入新课
1．两架飞机同时在天空飞过，其中一架从东向西飞行，另一架从南向北飞行，
它们各留下了一条白色的痕迹，这两条白色的痕迹一定相交吗？
2．下列说法正确的有________________．(填上正确的序号)
①．过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线．
②．过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直．
③．若 ，则 ．
④．若 ，则 ．
3．已知长方体 中， ．
（1）直线 与 所成的角；
（2）直线 与 所成的角．
课堂小结
异面直线的判定，异面直线所成角的计算．
例题剖析
例1已知 是棱长为 的正方体．
（1）正方体的哪些棱所在的直线与直线 是异面直线；
（2）求异面直线 与 所成的角；
（3）求异面直线 和 所成的角．
例2已知 为 所在平面外一点， ⊥ ， ， 分别
是 和 的中点．
（1）求证： 与 是异面直线；（2）求 与 所成的角．
巩固练习
1．在三棱锥所有的棱中互为异面直线的有_____________对．
高中数学必修二《空间中直线与直线的位置关系》优秀教学设计
课题空间中直线与直线的位置关系（第一课时）教学目标知识与技能:(1)掌握直线与平面之间的三种位置关系;(2)会判断两直线的异面关系,初步理解异面直线的衬托画法;(3)初步理解与运用公理4 解决问题。
过程与方法:(1)让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识;(2)通过学习经历异面直线的概念的形成过程,借助平面的衬托,体会异面直线的直观画法;(3)借助长方体的模型,发现与感知平行线的传递性。
情感、态度与价值观:(1)让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学习兴趣;(2)增强动态意识,培养学生观察、对比、分析的思维,通过平移转化渗透数学中的化归与辩证唯物主义思想;(3)把问题交给学生解决,让学生自主发现问题与解决问题,养成独立思考的习惯。
学情分析学生通过前面知识的学习,已经具备了一定的空间意识和空间想象能力,对空间数学的学习有一定的好奇与兴趣,能够积极参与研究,但在分析推理能力、空间想象能力方面有所欠缺,合作交流的意识也不够强,要均衡发展,各个方面的学习都有待加强,即使是在简单的计算问题上也不容马虎。
教学重难点重点:异面直线概念的理解,掌握并会应用平行线的传递性;难点:对异面直线的理解与求法。
教学方法策略采用问题驱动、实例分析、合作探究等方式组织教学活动。
问题——自主、合作——探究教学活动过程活动一【导入】温故知新师:同学们,上节课我们学习了平面的有关知识,那现在大家来齐背一下公理1至3.生:(背诵)【设计意图：检查学生对旧知的掌握情况，为新课作铺垫。
】师:其实除了上节课,早在初中的时候我们已经接触过平面了。
那大家是否还记得,同一平面内的两条直线有几种位置关系?它们分别有几个公共点?生:相交和平行。
相交的两条直线有一个公共点,平行的没有公共点。
【设计意图：唤起学生的记忆，让学生体会到知识的连续性。
】师:既然在平面里两条直线的位置关系只有这两种,那也就是说,平面内不平行的两条直线就一定会?生:相交。
高中数学必修二2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系导学案
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【教学目标】（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
【教学重难点】重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
【教学过程】（一）创设情景、导入课题问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）（二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB异面的有哪些？2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？生：平行。
再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线a∥b共面直线=>a∥cc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1空间四边形 A BCD 中，E.F.G.H 分别是AB.BC.CD.DA 的中点 求证：四边形EFGH 是平行四边形 证明：连接BD因为EH 是△A BD 的中位线，所以EH ∥BD 且EH=21BD 同理FG ∥BD 且FG=21BD 因为EH ∥FG 且EH=FG所以四边形 EFGH 是平行四边形点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用变式：在例1中如果加上条件AC=BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？ 4、组织学生思考教材P46的思考题 让学生观察、思考：∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
1.2.2空间两条直线的位置关系(2) 教案 高中数学 必修二 苏教版 Word版
1.2.2空间两条直线的位置关系(2)从容说课本课主要研究空间异面直线的概念、判定方法以及空间两条异面直线所成角的定义，前面已经学习的空间两条直线的位置关系以及空间平行直线的定义和判定方法，为本节课的学习做了方法上的准备.空间异面直线这种位置关系对于学生来说是比较陌生的，也是比较难以理解的，对于异面直线的概念教学，可组织学生借助于长方体模型，严格遵循由具体例子到抽象概念的顺序，观察、分析、抽象出异面直线的概念.教学中可结合正反两方面的例子，来加深学生对异面直线的概念的理解，说明“不同在任何一个平面内的两条直线”是指两条直线不能同在任何一个平面内，而不能由“l 1⊂α,l 2⊂β”就说l 1、l 2一定是异面直线.两条直线是异面直线等价于这两条直线既不共面也不平行.对于异面直线的图形表示，一定要以平面为衬托，才可以显示得更清楚.“过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线”可以作为判断两条直线异面的依据.教材上是用反证法证明这个结论的.教学时要引导学生理解反证法的证题步骤，即通过“反设”与“归缪”进而得到正确结论的方法.异面直线所成的角是由两条相交直线所成的角扩充而成的，由平移原理可知，当两条异面直线在空间的位置确定后，它们所成的角的大小也就确定了.异面直线所成的角，是指这两条直线经过平移后处于相交位置时所成的锐角或直角，因此，异面直线所成角的范围为(0,2π］.两条异面直线互相垂直，即它们所成的角是直角，这是两条异面直线的一种特殊的位置情况.同时应该明确空间两条直线垂直不一定相交，因为有异面垂直这种特殊的位置情况.在异面直线所成的角的教学中，只需结合正方体模型帮助学生深入理解概念，并结合课本配备例题巩固概念能在比较特殊的情境下识别所成角即可，对于异面直线所成角的度量问题，不必拓宽加深.教学重点1.异面直线及异面直线所成角的概念的理解.2.两条直线互为异面直线的判定依据的证明.教学难点1.异面直线及异面直线所成角的概念的理解.2.异面直线的判定;异面直线所成角的判断与求解.教具准备多媒体课件、投影仪、长方体模型、打印好的作业.课时安排1课时三维目标一、知识与技能1.理解异面直线以及异面直线所成角的概念.2.能在具体图形中识别并判断两条直线是否为异面直线.3.能根据异面直线所成角的定义在具体图形中能初步识别并求出异面直线所成的角.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间互相交流，培养学生做一个会与别人共同学习的人.2.通过探究、思考抽象出两条异面直线的概念以及异面直线所成角的概念，培养学生空间想象能力、理性思维能力、观察能力以及判断能力.三、情感态度与价值观1.通过学习异面直线的概念以及异面直线所成角的概念，使学生明确数学概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性.2.在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深学生对异面直线的概念以及异面直线所成的角的概念的理解，增强学生数学交流能力和数学地分析问题的能力.3.借助计算机来探求异面直线以及异面直线所成角的概念，使学生认识到现代信息技术是认识世界的有效手段和工具，并以此激发学生学习数学的热情.教学过程导入新课师上节课我们研究了空间两条直线之间的位置关系以及这三种位置关系的分类标准，你还记得它们吗?(生口答，师简单板书)师对于两条相交直线的具体位置，我们可以通过研究它们的夹角的大小来刻画它们的具体位置关系，请同学们观察如图所示的正方体中AB和B1C1，AB和A1C1的位置关系是怎样的?生它们都互为异面直线.师它们在空间的具体位置关系有什么不同吗?如何比较方便地判定空间两条直线是异面直线?能否找到一个几何量来刻画两条异面直线的具体位置关系?这就是我们本节课所要研究的内容.(引入新课，书写课题——异面直线)推进新课(一)异面直线的判定方法1.探究判断空间两条直线异面的方法师如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中，你能找出互为异面的几组直线吗?生直线A1C1和直线AB,直线A1C和直线AB,直线A1C1和直线BD均互为异面直线.师它们互为异面直线的依据是什么?生异面直线的定义.师能否有更方便的判定两条直线互为异面直线的依据呢?(生思考)师我们知道直线A1C和直线AB互为异面直线，请观察直线A1C和直线AB与平面ABCD的位置关系.生直线A1C和平面ABCD相交于点C，直线AB在平面ABCD内.师你能用你自己的语言把这两条直线的关系及其特征叙述出来吗?(生讨论交流，师适时归纳总结得出如下结论)结论:过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.师你能用你所学的知识证明这一结论吗?(生思考)合作探究:过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.师你能说出上面所要证明结论的已知、求证，并画出对应的图形吗?(生讨论交流，写出已知、求证并画出图形)已知:如图,A α,B∈α,B∉l,l⊂α，求证:直线AB与直线l互为异面直线.师在你的知识宝库中都储存了哪些判断两直线互为异面直线的依据呢?生异面直线的定义.师如何运用定义判断两直线互为异面直线?用起来方便吗?(生思考)师当我们直接运用定义来判断两直线互为异面直线比较困难时，还有没有其他的途径可以帮助我们来解决这一问题呢?(生思考，引出反证法，师生共同回顾反证法证题的步骤，并完成证明)师这样我们就有如下的结论:一般地，我们有:过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.师判断空间两条直线互为异面直线的依据和方法有哪些?(生讨论交流，师适时总结，得出如下结论)师证明两条直线异面的方法有两种.(1)用定义证明(即定义法).此时需借反证法，假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即这两条直线可能相交也可能平行，然后，推导出矛盾即可.(2)用定理证明(即定理法).用该法证明时，必须阐述出定理满足的条件:a⊂α，A∉α，B∉α，B∉a，然后可以推导出直线a与AB是异面直线.依据这一结论判定两条直线是异面直线时应注意以下几个方面,即“一个平面、两条直线(平面内一条，平面外一条)、两个点(面内一点，面外一点)”(通俗地称为“两在两不在”定理)，并明确它们之间的关系.(3)当一个问题正面叙述不容易说清楚时，我们通常采用反证法,其证明步骤为:反设(设出所证问题的反面)、归谬(推出与公理、定理、定义的矛盾或与已知条件的矛盾或自相矛盾)、下结论.(二)探究两条异面直线所成角定义师我们可以用“角”来刻画平面内两条直线的位置关系，那么对于空间两条异面直线能否找到一个几何量来刻画两条异面直线的具体位置关系呢?(生讨论交流引入异面直线所成角的概念，师板书两条异面直线所成角的概念)两条异面直线所成角:已知a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别作这两条直线的平行线a′、b′，我们把直线a′、b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a、b所成的角.师以上概念告诉你哪些信息?生两条异面直线所成角的范围为(0°,90°］.生概念告诉我如何求解两条异面直线所成角的步骤.师你能具体说说吗?生(1)在空间任找一点;(2)过该点分别作两条异面直线的平行线;(3)构造过该点的三角形，在所构造的三角形中运用平面几何知识求解.师如何快速简洁地找到两条异面直线所成的角呢?(生讨论交流得出如下结论)师根据定义作两条异面直线的所成角时，一般是在两条异面直线中的一条上选取一点，作出另外一条直线的平行线即可.师两条异面直线a、b所成的角的大小是否随空间任意点O的不同位置而改变?若异面直线a、b所成的角为90°时，又如何定义它们的位置关系?在求解异面直线所成角的过程中体现出了解决空间问题的哪些思想呢?(生讨论交流得出如下结论)师(1)当两条异面直线位置给定后，它们所成角的大小不会因为点O的位置选取不同而发生改变;(2)若异面直线a、b所成的角为90°,则称这两条直线垂直，记为:a⊥b.空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，但平行于同一直线的两条直线一定平行;(3)空间两条直线垂直不一定相交.利用平移来确定平面，作出两条异面直线所成的角，是将空间问题转化为平面问题的一条重要途径.也是我们求解空间角和距离问题的一条重要途径.【例1】判断下列命题是否正确，并说明理由.(1)空间两条直线可以确定一个平面;(2)垂直于两条异面直线的直线有且只有一条;(3)垂直于同一条直线的两条直线平行;(4)直线a与b平行，b与c平行，则a与c平行;(5)直线a与b相交，b与c相交，则a与c相交;(6)直线a与b异面，b与c异面，则a与c异面;(7)一条直线与两条平行线中的一条垂直，必和另一条也垂直.(师投影显示，生讨论交流完成解答)师该题从多方面、多角度对空间直线的位置关系进行考察，加深我们对空间直线位置关系的理解，在解决有关空间直线位置的判断问题时，总可以借助于正方体来直观地帮助我们理解判断.解析:(1)不正确.两条异面直线不能确定一个平面.(2)不正确.垂直于两条异面直线的直线有无数多条，这无数条直线都与这两条异面直线的公垂线平行.但两条异面直线的公垂线(和两条异面直线垂直且相交的直线)有且只有一条.(3)不正确.垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面.(4)正确.由公理4可知.(5)不正确.a、c可能平行，还可能异面.(6)不正确.a、c可能异面，但也可能平行或相交.(7)正确.因为直线与两条平行线所成的角相等.【例2】如图，已知不共面的三条直线a、b、c相交于O点，M、P是直线a上的两点，N、Q分别是b、c上的一点.求证:MN和PQ是异面直线.(师投影显示，生讨论交流完成，得出如下多种解答)师对于异面直线我们现在只知道它的定义和一个一般性的结论,而要直接根据定义证明MN和PQ是异面直线是相当困难的,因此,在这里可以考虑用反证法和这个一般性的结论来尝试证明.证法一:(反证法)假设MN和PQ不是异面直线，则MN与PQ在同一平面内，设为α.∵M、P∈a，M、P∈α,∴a⊂α.又O∈a，∴O∈α.∵N∈α且O∈b，N∈b，∴b⊂α.同理c⊂α.∴a、b、c共面于α，与已知a、b、c不共面相矛盾.∴MN、PQ是异面直线.证法二:∵a∩c=O，∴直线a、c确定一个平面设为β.∵P∈a，Q∈c，∴P∈β，Q∈β.∴PQ⊂β且M∈β，M∉PQ.又a、b、c不共面，N∈b，∴N∉β.∴MN与PQ为异面直线.【例3】在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=a.(1)求异面直线AA1与BC所成的角;(2)求异面直线BC1与AC所成的角.(师组织学生回顾几何异面直线所成角的定义及求解方法，完成解答，师生共同进行解题回顾)师根据异面直线所成角的定义求解异面直线所成角的一般步骤是:平移→构造三角形→解三角形→作答.在几何体中进行平移构造异面直线所成角时，一般选择两条异面直线中的一条上的一点，或选择几何体顶点、某条棱的中点等这些特殊的点.求两条异面直线所成角的过程中,若求出的角的余弦值或正切值是负值时,两异面直线所成角应取其补角,且不可直接取这个钝角.(三)目标检测1.课本第28页练习第1、2、3、4、5、6题.2.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=a,E、F分别是棱BC、DC的中点，求异面直线AD1和EF所成角的大小.课堂小结1.异面直线的判定方法.2.异面直线所成角的定义以及求解方法.布置作业课本第29页习题1.2(1)第9题、第12题、第13题.板书设计1.2.2空间两条直线的位置关系(2)1.异面直线的判定方法2.异面直线所成角的定义以及求解方法例题及学生练习课堂小结与布置作业活动与探究1.正方体ABCD—A1B1C1D1的12条棱中，与体对角线BD1成异面直线的棱的条数有_______条.2.如图，已知平面α、β交于直线l，AB、CD分别在平面α、β内，且与l分别交于B、D两点.若∠ABD＝∠CDB，试问AB、CD能否平行?并说明理由.参考答案:1.62.解:直线AB、CD不能平行.若AB∥CD,则AB与CD共面,记这个平面为γ.∴AB、CD⊂γ.∴AB⊂α,D∈γ.由题知,AB⊂α,D∈α,且D∉AB,根据过一条直线及这条直线外一点,有且仅有一个平面,α与γ重合.同理,β与γ重合.∴α与β重合,这与题设矛盾.∴AB、CD不能平行.备课资料典型习题1.下列四个命题:①分别在两个平面内的两条直线是异面直线;②和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条;③和两条异面直线都相交的两条直线必异面;④若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c也异面.其中真命题的个数为()A.3B.2C.1D.02.若直线a、b与直线l所成的角相等，则a、b的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.相交、平行、异面均可能3.长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=2，AB=2,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_________.4.如图，已知P为△ABC所在平面外一点，P C⊥AB，P C＝AB＝2，E、F分别为P A和BC的中点.(1)求证:EF与P C是异面直线;(2)求EF与P C所成的角.参考答案:61.D2.D3.64.(1)用反证法．假设EF与P C共面于α，则直线P E、CF共面α，则A∈α，B∈α，于是P与A、B、C共面于α，这与已知“P是平面ABC外一点”矛盾．故EF与P C是异面直线.（2）取P B中点G，连结EG、FG，由E、F分别是线段P A、BC中点，有EG21，GF 21P C. ∴∠GFE 为异面直线EF 与P C 所成的角，∠EGF 是异面直线P C 与AB 所成的角. ∵P C⊥AB，∴EG ⊥GF，即∠EGF＝90°．∵ P C ＝AB ＝2，∴ EG＝1，GF ＝1.故△EFG 是等腰直角三角形.∴ ∠GFE＝45°，即EF 与P C 所成的角是45°.。
高中数学第1章立体几何初步1.2.2空间两条直线的位置关系讲义苏教版必修2
1.2.2 空间两条直线的位置关系1．空间两直线的位置关系2．公理4及等角定理(1)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c .(2)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．3．异面直线的判定及其所成的角 (1)异面直线的判定定理提示：(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a α，b β，即a 、b 分别在两个不同的平面内，但是因为a ∩b ＝O ，所以a 与b 不是异面直线．(2)异面直线所成的角①定义：a 与b 是异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把直线a ′和b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角．②异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°．③当θ＝π2时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b ．1.思考辨析(1)如果a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .( )(2)如果a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 也是异面直线．( ) (3)如果a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 也相交． ( ) (4)如果a ，b 共面，b ，c 共面，则a ，c 也共面． ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．已知棱长为a 的正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则MN 与A ′C ′的位置关系是________．平行 [如图所示，MN 12AC ，又∵ACA ′C ′， ∴MN 12A ′C ′.]3．已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于__________．30°或150° [∠ABC 的两边与∠PQR 的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，所以∠PQR ＝30°或150°.]4．已知a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ，则c 与b 的位置关系是________． 相交或异面 [a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ，因而c 不平行于b ，若c ∥b ，则a ∥b ，与已知矛盾，因而c 不平行于b .]①两条直线无公共点，则这两条直线平行；②两条不重合的直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的直线与平面内的任意一条直线均构成异面直线； ④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线． (2)a ，b ，c 是空间中三条直线，下列给出几个说法： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②a ∥b 是指直线a ，b 在同一平面内且没有公共点；③若a ，b 分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．其中正确的有__________．(填序号)思路探究：根据空间两直线位置关系的有关概念及公理4进行判断．(1)② (2)①② [(1)对于①，空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面，因此①不正确；对于②，因为空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，所以②正确；对于③，过平面外一点与平面内一点的直线和过平面内这点的直线是相交直线，因此③不正确；对于④，和两条异面直线都相交的两直线可能是相交直线，也可能是异面直线，因此④不正确．(2)由公理4知①正确；由平行线的定义知②正确；若α∩β＝l ，a α，b β，a ∥l ，b ∥l ，则a ∥b ，③错误．]空间两直线的位置关系为相交、平行、异面，若两直线有交点则为相交，若两直线共面且无交点则为平行，若以上情况均不满足则为异面．1．如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是________； ②直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是________； ③直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是________； ④直线AB 与直线B 1C 的位置关系是________．①平行 ②异面 ③相交 ④异面 [直线A 1B 与直线D 1C 在平面A 1BCD 1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A 1，B ，B 1在一个平面A 1BB 1内，而C 不在平面A 1BB 1内，则直线A 1B 与直线B 1C 异面．同理，直线AB 与直线B 1C 异面，所以②④都应该填“异面”；直线D 1D 与直线D 1C 显然相交于D 1点，所以③应该填“相交”．]1．如图所示，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，若E ，F ，G ，H 分别为PA ，PB ，PC ，PD 的中点．那么四边形EFGH 是什么四边形？为什么？[提示] 平行四边形．因为在△PAB 中， ∵E ，F 分别是PA ，PB 的中点， ∴EF 12AB ，同理GH 12DC .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ABCD ，∴EFGH ，∴四边形EFGH 是平行四边形．2．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么由等角定理能推出什么结论？ [提示] 这两条直线所成的锐角(或直角)相等．【例2】 如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，E 1，F 1分别为棱AD ，AB ，B 1C 1，C 1D 1的中点．求证：∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.思路探究：解答本题时，可先证明角的两边分别平行，即A 1E ∥CE 1，A 1F ∥CF 1，然后根据等角定理，得出结论．[证明] 如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点M ，连结BM ，MF 1， 则BF ＝A 1M ＝12AB .又BF ∥A 1M ，∴四边形A 1FBM 为平行四边形， ∴A 1F ∥BM .而F 1，M 分别为C 1D 1，A 1B 1的中点，则F 1MC 1B 1. 而C 1B 1BC ，∴F 1M ∥BC ，且F 1M ＝BC . ∴四边形F 1MBC 为平行四边形， ∴BM ∥F 1C .又BM ∥A 1F ， ∴A 1F ∥CF 1.同理取A 1D 1的中点N ，连结DN ，E 1N ，则A 1NDE ， ∴四边形A 1NDE 为平行四边形， ∴A 1E ∥DN .又E 1N ∥CD ，且E 1N ＝CD ， ∴四边形E 1NDC 为平行四边形， ∴DN ∥CE 1，∴A 1E ∥CE 1.∴∠EA 1F 与∠E 1CF 1的两边分别对应平行． 即A 1E ∥CE 1，A 1F ∥CF 1， ∴∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.运用公理4的关键是寻找“中间量”即第三条直线．证明角相等的常用方法是等角定理，另外也可以通过证明三角形相似或全等来实现．2．如图，已知棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点．(1)求证：四边形MNA 1C 1是梯形； (2)求证：∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. [证明] (1)在△ADC 中， ∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ADC 的中位线．∴MN 12AC .由正方体性质知，ACA 1C 1， ∴MN 12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1.∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1， 又因为ND ∥A 1D 1，而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.11111111DB 1与EF 所成角的大小．思路探究：先根据异面直线所成角的定义找出角，再在三角形中求解．[解] 法一：如图(1)，连结A 1C 1，B 1D 1，并设它们相交于点O ，取DD 1的中点G ，连结OG ，A 1G ，C 1G ，则OG ∥B 1D ，EF ∥A 1C 1，(1)∴∠GOA 1为异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角． ∵GA 1＝GC 1，O 为A 1C 1的中点． ∴GO ⊥A 1C 1.∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.法二：如图(2)，连结A 1D ，取A 1D 的中点H ，连结HE ，HF ，则HE ∥DB 1，且HE ＝12DB 1.(2)于是∠HEF 为异面直线DB 1与EF 所成的角或补角．设AA 1＝1.则EF ＝22，HE ＝32， 取A 1D 1的中点I ，连结IF ，IH ，则HI ⊥IF ， ∴HF 2＝HI 2＋IF 2＝54，∴HF 2＝EF 2＋HE 2.∴∠HEF ＝90°，∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.法三：如图(3)，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连结DQ ，B 1Q ，则B 1Q ∥EF .(3)于是∠DB 1Q 为异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角．设AA 1＝1，则DQ ＝22＋1＝5，B 1D ＝12＋12＋12＝3，B 1Q ＝12＋12＝2，所以B 1D 2＋B 1Q 2＝DQ 2，从而异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.求两条异面直线所成角的步骤(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角． (2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)．(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．(4)给出结论：若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角．3.如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．[解] 如图所示，取BD 的中点G ，连结EG ，FG . ∵E ，F ，G 分别为BC ，AD ，BD 的中点，AB ＝CD ， ∴EG 12CD ，GF 12AB .∴∠GFE 就是EF 与AB 所成的角或其补角． ∵AB ⊥CD ，∴EG ⊥GF ， ∴∠EGF ＝90°. ∵AB ＝CD ，∴EG ＝GF ， ∴△EFG 为等腰直角三角形，∴∠GFE ＝45°，即EF 和AB 所成的角为45°.1．本节课的重点是会判断空间两直线的位置关系，理解异面直线的定义，会求两异面直线所成的角，能用公理4和等角定理解决一些简单的相关问题．难点是求异面直线所成的角．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两条直线位置关系的方法．(2)证明两条直线平行的方法．(3)求异面直线所成角的解题步骤．3．本节课的易错点是将异面直线所成的角求错．1．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能[答案] D2．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是________．平行或异面[若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．]3．空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________．70°或110°[∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.]4．如图，已知长方体ABCDA′B′C′D′中，AB＝23，AD＝23，AA′＝2.(1)BC和A′C′所成的角是多少度？(2)AA′和BC′所成的角是多少度？[解](1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝23，B′C′＝23，所以∠B′C′A′＝45°.(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝23，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 1.2.2 空间两条直线的位置关系》
空间两条直线的位置关系教材分析本节内容选自苏教版普通高中课程标准实验教科书数学必修二空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最根本的位置关系，学生在前面已经学习了平面的相关概念及性质, 这为本节内容作了一个铺垫异面直线是立体几何中十分重要的概念．研究空间点、直线和平面之间的各种位置关系必须从异面直线开始．直线的异面关系是本节的重点和难点异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否认形式给出的，因此异面直线的判定以及它的证明方法也就与众不同公理4是空间等角定理的根底，而等角定理又是定义两异面直线所成角的根底，准确掌握各个知识点之间的相互关系，才能把握好两异面直线所成角的概念学情分析知识技能根底：学生在初中已经学过平面中两条直线的位置关系，直观认识了角、平行与垂直，而在前面一节已经学过平面的相关概念和性质，这为本节课的学习奠定了良好的知识技能根底学生活动经验根底：在前面知识的学习过程中，学生已经经历了一些探索、发现的数学活动经验，学会借助长方体模型来研究空间几何问题，并初步学习了在直观认识的根底上进行简单的论证，但由于学生的根底知识储藏不够，在论证的过程中会存在一些问题，教学过程中要注意引导教学目标1正确理解空间中两条直线的位置关系，特别是两直线的异面关系2以公理4和等角定理为根底，正确理解两异面直线所成角的概念以及会求两条异面直线所成的角的大小3进一步培养学生的空间想象能力，渗透化归思想以及培养学生有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质教学重点异面直线的概念以及异面直线所成的角教学重点异面直线的判定及异面直线所成角的求解教学过程导入新课复习回忆平面内两条直线的位置关系，并提出问题：空间中两条直线的位置关系有哪些呢？给出一组生活中的事物图片，从实物抽象出直线，发现空间中存在既不平行又不相交的直线推进新课教师说明这一种直线位置关系叫做异面直线，并让学生归纳异面直线的概念，在学生归纳的过程中教师适时引导新知探究一异面直线1提出问题①什么叫做异面直线？②总结空间中直线与直线的位置关系③两异面直线的画法活动：先让学生思考问题并动手画图，教师再进行归纳总结讨论结果：①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线关键词是“任何〞②空间两条直线的位置关系有且只有三种:相交、平行和异面，并从共面情况和公共点个数对这三种位置关系进行分析，相交直线和平行直线在同一个平面内，异面直线不同在任何一个平面内；相交直线有且只有一个公共点，平行直线和异面直线没有公共点③学生画图，教师再次强调画两条异面直线时为了突出异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下列图：由异面直线的第一种画法引导学生归纳出：平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线教师指出这是异面直线的判定，学生从直观上容易感觉出这两条直线是异面直线，但在论证上可能缺乏思路,教师适时引导学生逆向思维加以证明2稳固练习判断：〔1〕直线和m 是异面直线吗？〔2〕假设，那么是异面直线〔3〕不同在平面，那么是异面直线设计意图：主要让学生掌握异面直线的概念，以到达教学目标1，同时到达设置此内容为教学重点的目的新知探究二 平行公理〔公理4〕探究：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行，在空间中，是否也有类似的规律？思考：如图，在长方体中，β m m m吗？通过观察得出结论：再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行符号表示为：a∥b,b∥ca∥c强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用公理4的作用：判断空间两条直线平行的依据新知探究三等角定理〔1〕提出问题我们知道，在平面内两条相交直线成4个角，其中不大于的角称为它们的夹角。
苏教版数学高一-高一 必修二学案 6空间两直线的位置关系(1)
空间两条直线的位置关系（1） 导学案 学习目标（1）了解空间中两条直线的位置关系，培养学生的作图能力和空间想象能力；（2）理解并掌握公理4及等角定理，培养学生将空间问题转化为平面问题的能力和逻辑思维能力． 课堂学习一、重点难点重点：异面直线的概念；公理4及等角定理．难点：公理4及等角定理的应用．二、建构数学问题一：长方体1111ABCD A B C D -的棱1AA ，与棱AB 和1BB 所在直线的位置关系；棱1AA 与棱CD 所在的直线位置关系.异面直线的概念：注意：不要把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线.空间两条直线的位置关系：位置关系共面关系 公共点个数问题二：观察长方体1111ABCD A B C D -，1AA 1BB ，1BB 1CC ，则1AA 1CC .公理4 ：符号表示：公理4即 ，这个性质在平面、空间都适用.公理4作用：观察例1中的BEF ∠和111B AC ∠的两边 ，大小关系是 .猜想：推导证明：思考：若定理中将“方向相同”这一条件去掉，会有什么样的结论？三、数学应用例1.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知,E F 分别是,AB AC 的中点.求证：11//EF AC变式训练：已知空间四边形ABCD ，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形.例 2. 如图. 已知1,E E 分别为正方体1111ABCD A B C D -的棱11,AD A D 的中点, 求证: 111C E B CEB ∠=∠.课后复习1. 设1AA 是正方体的一条棱，这个正方体中与1AA 平行的棱有 条.2. ①对于不重合的三条直线,,a b c ，若//a b ，//b c ，则,a c 可确定一个平面；②空间中，过直线外一点可作多条直线与这条直线平行；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④四条边均相等的四边形是平面图形.上述命题正确的序号有 .3. ①没有公共点的两条直线是平行直线；②两条直线不相交就平行；③两条直线有既不相交又不平行的情况；④一条直线和两条相交直线中的一条平行，它也可能和另一条平行.期中正确的是 .4. 如果角α和角β的两边分别平行，50α=，则β= .5. 如图在一个长方体木块的11AC 面上有一点P ，过P 点画一直线和棱CD 平行，应怎样画？ .若要求过P 点画一直线和BD平行，应怎样画？ .6. 已知：棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为1111,C D A D 的中点，求证：四边形MNAC 是梯形．7. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为棱1CC ，1BB ，1DD 的中点，证明： 1BFC GD E ∠=∠.。
1.2.2空间两条直线的位置关系 教案 高中数学 必修二 苏教版 Word版
A B 1B C 1CE 1ED 1DA 1§1.2.2 空间两条直线的位置关系(1)教学目标：1．了解空间两条直线的三种位置关系2．掌握公理4，并能熟练运用公理4证明两直线平行 3．了解等角定理，并能简单运用定理证明空间两角相等教学重点：空间两直线的三种位置关系；等角定理及公理4及其简单应用．教学难点：等角定理及公理4的简单应用．教学过程：1．问题情境(1)情境：回顾平面内两条直线的位置关系：平行和相交． (2)问题：在空间中，两直线的位置关系又有几种呢？ 2．空间两直线的位置关系 (1)异面直线的概念不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行．（也即空间平行线的传递性） 推理模式：//,////a b b c a c ⇒．思考：经过直线外一点，有几条直线和这条直线平行？（答案：有且只有一条）． 4．等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． 已知：BAC ∠和B A C '''∠的边//,//AB A B AC A C ''''，并且方向相同， 求证：BAC B A C '''∠=∠．证明：在BAC ∠和B A C '''∠的两边分别截取 ,AD A D AE A E ''''==， ∵//,AD A D AD A D ''''=，∴A D DA ''是平行四边形，∴//,AA DD AA DD ''''=，同理//,AA EE AA EE ''''=， ∴//,EE DD EE DD ''''=，即D E ED ''是平行四边形，∴ED E D ''=，∴ADE A D E '''∆≅∆，所以，BAC B A C '''∠=∠．思考：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的关系如何呢？ 答案：相等或互补 5．例题讲解EDBC B 1C 1D 1A 1AFDA B C EG HADBCB 1A 1C 1D 1E 1E 例1．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知,EF 分别是,AB BC 的中点， 求证：11//EF AC ．证明：连结AC ，在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点， ∴//EF AC ，又∵1111////,AA BB BB CC ==，∴11//AA CC =， ∴四边形11AAC C 是平行四边形，∴11//AC AC ， 所以，11//EF AC ． 例2．已知,,,E F G H 分别是空间四边形四条边,,,AB BC CD DA 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形． 证明：连结,AC BD ，∵,E F 是ABC ∆的边,AB BC 上的中点，∴//EF AC ， 同理，//HG AC ，∴//EF HG ，同理，//EH FG ，所以，四边形EFGH 是平行四边形．思考：空间中“两组对边分别平行”，“一组对边平行且相等”，“两组对边都相等”的四边形是否为平行四边形？为什么？(前两种成立，后一种不成立) 提高：若,,,E F G H 分别是空间四边形四条边,,,AB BC CD DA 的点，且AE AHm AB AD==， CF CGn CB CD==，什么时候四边形EFGH 是平行四边形？梯形？菱形？ 例3．如图，已知1,E E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11,AD A D 的中点，求证：111C E B CEB ∠=∠．分析：设法证明1111//,//E C EC E B EB 即可．证明：连结1EE ，∵1,E E 分别是棱11,AD A D 的中点，∴11//A E AE =， ∴四边形11A E EA 是平行四边形，∴11//A A E E =． 又∵11//A A B B =，∴11//E E B B =，故四边形11EE B B 是平行四边形． ∴11//E B EB ，同理11//E C EC ， 又∵111C E B ∠、CEB ∠两边的方向相同，所以，111C E B CEB ∠=∠．6．课堂小结(1) 空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面； (2) 公理4及等角定理的简单应用．C B AD C B A D C B A Dabab b a §1.2.2 空间两条直线的位置关系(2)教学目标：1．掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面2．掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角3．体会空间问题化归为平面问题求解的策略教学重点：异面直线的判定、异面直线所成角的寻求及其计算教学难点：异面直线概念的理解教学过程：1．问题情境(1) 垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？(三种：平行、相交、异面) (2) 已知,a b 是异面直线，,a c 是异面直线，那么,b c 也是异面直线吗？ (不一定，可以相交、平行或异面)(3) 长方体ABCD A B C D ''''-中，直线AB 与1AC 具有怎样的位置关系？为什么？(异面) 学生尝试证明直线AB 与1AC 是异面直线． 教师引导：用反证法．2．异面直线的判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．推理模式：,,,A B l B l ααα∉∈⊂∉⇒AB 与l 是异面直线．(两内两外) 证明 ：假设 直线AB 与l 共面，∵,,B l B l αα∈⊂∉，∴点B 和l 确定的平面为α，∴直线AB 与l 共面于α，∴A α∈，与A α∉矛盾， 所以，AB 与l 是异面直线．3．异面直线的画法4．异面直线所成角设a ，b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，作直线//a a '，//b b '，我们把直线a '和b 'c b OaQ NP MA DB CA'D'B'C'说明：○1为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上； ○2异面直线所成角的范围(0,90]θ∈︒︒．5．例题讲解例1．判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)空间两条直线可以确定一个平面．(不正确) (2)垂直于两条异面直线的直线只有一条．(不正确) (3)垂直于同一条直线的两条直线平行．(不正确)(4)直线a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 平行．(正确) (5)直线a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交．(不正确) (6)直线a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 异面．(不正确)(7)一条直线于两条平行线中的一条垂直，必和另一条也垂直．(正确)注：与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线有且只有一条．例2．如图，已知不共面的直线,,a b c 相交于O 点，,M P 是直线a 上的两点，,N Q 分别是,b c 上的一点．求证：MN 和PQ 是异面直线．证：(法一)假设MN 和PQ 不是异面直线， 则MN 与PQ 在同一平面内，设为α，∵,,,M P a M P α∈∈，∴a α⊂，又O a ∈，∴O α∈，∵,,N O b N b α∈∈∈，∴b α⊂， 同理c α⊂，∴,,a b c 共面于α，与已知,,a b c 不共面相矛盾， 所以，MN 和PQ 是异面直线．(法二)：∵a c O = ，∴直线,a c 确定一平面设为β， ∵,P a Q c ∈∈，∴,P Q ββ∈∈， ∴PQ β⊂且,M M PQ β∈∉，又,,a b c 不共面，N b ∈，∴N β∉， 所以，MN 与PQ 为异面直线．例3．正方体ABCD A B C D ''''-中．(1)正方体的哪些棱所在的直线与直线BC '是异面直线？ (2)求异面直线AA '与BC 所成的角． (3)求异面直线BA '与CC '所成的角． (4)求异面直线BC '与AC 所成的角．(5)已知,E F 分别为,CC AD '的中点，求异面直线 A F '与BE 所成角．(6)已知,,,M N P Q 分别为,,,A D A B AB BB '''''的中点，求异面直线MN 与PQ 所成角．解：(1)正方体的12条棱中，除去与BC '相交的6条棱，其余6条棱：,,,,,A A A B A D DA DC DD '''''' 都与直线BC '是异面直线． (2) 90︒；说明一：○1若两条异面直线所成角是直角，则称这两条异面直线互相垂直，用符号表示为a b⊥．○2还有哪些棱所在的直线与直线AA'垂直呢？(答案：还有直线,,,,,,AB CD DA A B B C C D D A''''''''与直线AA'垂直)(3)45︒；(4)60︒；(5) 90︒；(6) 60︒．说明二：○1作异面直线所成角时，点O的选取的原则是尽量要使求角方便．○2求异面直线所成角的一般步骤是：“作—证—算—答”．例4．空间四边形ABCD中，AD BC==,E F分别是,AB CD的中点，1EF=，求异面直线,AD BC所成的角．解：取BD中点G，连结,,EG FG EF，∵,E F分别是AB∴//,//,EG AD FG BC且11,222EG AD FG BC====∴异面直线,AD BC所成的角即为,EG FG所成的角，在EGF∆中，222EG FG EF+=，∴90EGF∠=︒，异面直线,AD BC所成的角为90︒．思考：EF与()12AD BC+的大小关系是什么？答：()12EF AD BC EG FG<+=+练习：(1)空间四边形ABCD中，边长与对角线的长都相等，,E F分别是,AB CD的中点，，求异面直线,EF AD所成的角．(45︒)(2)在空间四边形ABCD中，8AB CD==，,M N分别是,BC AD的中点，如异面直线AB与CD成60︒角，求MN的长．(60MPN∠=︒或120︒，4MN=或6．课堂小结(1)判断两直线是否异面的一般方法是：○1利用反证法；○2用判定定理．(2)求异面直线所成角的一般步骤是：“作—证—算—答”．。
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浙江省临海市第六中学高中数学空间中直线与直线之间的位置关系学案苏教
版必修2
一、学习目标
1．了解空间中两条直线的位置关系．
2．理解异面直线的概念、画法．
3．理解并掌握公理4及等角定理．
4．掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角．
二、重点、难点
１．异面直线的概念、画法，求异面直线所成的角．
２．求异面直线所成的角．
三、预习导引
1．空间两条直线的位置关系有且只有三种：、、．
2．异面直线的定义：的两条直线叫做异面直线．
3．公理4：平行于同一条直线的两条直线．
4．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应，那么这两个角或．
四、精讲点拨
探究点一空间两直线的位置关系
问题1在同一平面内，两条直线有几种位置关系？
问题2观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？
问题3如何判断两条直线是异面直线？
问题4分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
问题5为了体现异面直线不共面的特点，如何借助平面衬托来画异面直线呢？
探究点二公理4
问题1在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．在空间中，是否有类似的规律？现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的．
问题2 公理4有什么作用？如何用符号语言表示公理4?
探究点三等角定理
导引在平面上，我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”，在空间中，结论是否仍然成立呢？
问题 1 观察图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
问题2如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么由等角定理能推出什么结论？
探究点四异面直线所成的角
问题1在平面内，两条直线相交成四个角，其中不大于90度的角称为它们的夹角，用以刻画两直线的错开程度，如图在正方体ABCD－EFGH中，异面直线AB与HF的错开程度怎样来刻画？这种刻画应用的是什么数学思想？
问题2异面直线所成的角的大小与O点的位置有关吗？即O点位置不同时，这一角的大小是否改变？
问题3异面直线所成角的范围如何？什么是异面直线垂直？
问题4如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直吗？为什么？问题5 垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
五、典题训练
例1 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、
CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
例2 如右图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.
(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？
(3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
例3如图所示，正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求异面直线DB1与EF 所成角的大小．
问：求两条异面直线所成的角的一般步骤：
六、归纳小结
1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．
2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．
３．作异面直线所成的角．可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线).
七、当堂检测
1．异面直线是指( )
A．空间中两条不相交的直线 B．分别位于两个平面内的两条直线
C．平面内的一条直线与平面外的一条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线
2．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．异面或平行 B．异面或相交 C．异面 D．相交、平行或异面
3．下列四个结论中假命题的个数是( )
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
A．1 B．2 C．3 D．4
４．如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．
八、作业布置
必修２校本作业Ｐ１０－１１．。