技巧练习题三解答

技巧练习题三解答
交换排序
【题目】
.
现在你是，请写一个程序，在通常平台上运行，对给定的一组数，求这个次数。

对每组数据，打印一行，包含一个正整数，表明将该组数据从小到大排序理论上需要的最少交换次数。

【解答】很抱歉，这题还不会做（初步确定了）；
括号配对
【题目】
又接了个新任务：处理。

中有一类被称为。

以下是的定义：
1．空表达式是；
2．如果是一个，则[] 与() 都是；
3．如果与都是，则是；
的任务是接收一个，通过增加最少的字符将其变成（当然，可能不需要增加字符）。

【解答】
本题是典型的题，据说可以优化（据说）。

然而对目前的数据结构，() 的已经足够。

设存在字符数组[] 中，记（，）为将[] 变为的最优值，状态转移方程为：
1
)
,0(
)
,1
(
])}}
[
]
[
(),1
,1
(
)1
,2
(
min{
,1
)1
,1
(
min{
)
,(
=
=
-
+
-
-
+
+
+
-
-
+
+
-
=
j
f
j
f
o
s
fits
j
s
if
o
o
i
j
f
j
j
o
f
j
i
f
j
i
f
这个方程的意思是[] 的最优方案，或者从[] 的最优方案，再给[] 强行添一个伴侣得到，或者是[] 与某个[] 配对以后分别求[] 与[] 综合后得到。

极品飞车
【题目】
星有许多城市，某些城市之间无法直接到达，但某些城市之间可以通过一种奇怪的高速公路（超级空中漫游结构）进行人员或物资的交流运输。

每条都对行驶在他上面的限了固定的速度。

同时星人对的“舒适度”也有特殊的要求。

他们认为乘坐一次过程中，达到的最高速与最低速之间的差越小，本次乘坐越舒适（可以理解，因为的限速要求，都必须瞬间提降速，痛苦啊）——星人对时间却没那么多要求。

因此的任务就明确了：为星上几乎垄断了市场的全星通用汽车公司（）设计新一代自动寻路，使得该能自动寻找两城市间最舒适的到达路径。

【解答】
本题是考察并查集数据结构的经典题目。

不会并查集的人用当然也能比较好的解决，但是理论上复杂度比并查集大；熟练运用并查集的人可以对基本的并查集算法进行改进得到更快一些的算法；当然使用了对优化后几乎能使算法逼近关于线性（）。

当然普通的比赛我们用一般并查集就够了；上面说的“更快的并查
集算法”实施证明并没有想象中的快（但还是快了很多），因此下面主要写一下基本的并查集算法，以及适合学弟学妹的算法。

1）
. 把所有边按照从小到大排序（当然从大到小也大致一样，只有细节上的不同而已）。

枚举；
. 对每个，在整个图中用寻找起点到终点的最短路（要求所有边的> ），这个“最短路”的意思是整条路的最高最小；
. 对中“每次寻找到源集距离最近的点”这一步，使用（二叉堆）优化；
这样总的复杂度是(**())。

（备注. 关于）
常常用来优化某些算法的子部分；这样的“某些算法”的共同点是：有一列数，这些数经常变动，且算法经常需要求这列数中间最大（最小）的一个的值。

这时候可以把这列数存在一个连续的内存空间中（也就是数组拉），并在初始化时将其修复为一个最大堆（或最小堆，以下都称为）。

这样每次变动数列内某个数的值时，只需要根据相应的变化方向（变大或变小）把这个变化的数在中进行相应的向上修复或向下修复就能在（）时间内恢复的性质；取数时也一样，只要把最后一个数放到空出的处，自向下修复一次就能恢复性质。

相对普通算法（改数据（），取数据（）），优势明显。

2）基本的并查集算法
. 同上面的；
. 对每个，将定为< ，这样当然不存在合法的边，更不存在从起点到终点的路径，这样可以把个顶点看成个连通分支；
．逐“边”增加，. 按照大小从小到大逐条增加合法边（当然> ），在增加合法边的同时连通分支也在逐渐减少，当起点与终点在同一个连通分支里时，与上面的相同的目的就达到了；
. 上面这个不断合并连通分支的过程用并查集实现；
这样总的复杂度为(*)；
3）并查集算法的优化
.同上面的；
. 令与都指向最慢边；
. 不断增加，直到找到路；
. 令，不断减少，直到找到路，此时得到一个可行解；
. 将微增；
. 回到，直到找不到路；
这个算法的复杂度从理论上讲是()，但是常数可能较大，另外正确性容易证明。

折叠说明书
【题目】
（略）
【解答】
本题初看非常难，其实只要冷静，就是弱智题。

如果两页书在初始时相邻，我们就说他们“黏着”；
把折叠后的说明书左右两边的“黏着”关系搞清楚；
判断一下是否存在“交叉”的黏着关系：是则，否则，搞定了；
具体算法看标程就能明白。

【题目】。