一类数列压轴题的求解探究

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利用＂等差、等比数列＂解答高考数列＂压轴题＂

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思路方法
刹甩 ¨ 等差◆ 等此数列＂解答高考数列 “ 压轴题＂
■ 徐德宝
由于高等数学学习的需要，自恢复高考以来，数
列问题一直是高考试题的六个大题之一，特别是近几年在一些自主命题的试题中出现了一些难以通过求通项来解答的压轴试题，考生得分率很低。现举几例浅谈如何化“ 无规，，变“ 有规 ” ，使问题得以解决。例１２００２年高考试题理科２２题
・．．
解：（Ｉ）略（ Ⅱ）先用数学归纳法证明第一个式子
１－ａａ＝ｃ（１－ｄ一）＝ｃ（１－ａｎ＿Ｉ）（１＋１＋一）
・
。
．０＜ｃ＜３，由（Ｉ）来自知，［０，１］，
ａ．当ｎ＝１时，ａｌ＞３ｔ＝１＋２，不等式成立
（３ｃ）
也就是说，当ｎ＝ｋ＋ｌ时，＋ｌ ≥（＋１）＋２。根据ａ，ｂ
对所有ｎ ≥１有％≥ｎ＋２
再证明第二个式子由，＝（一）＋１，对于ｋ ≥２时有
ａｋ＝ａｋ一１（吼一广ｋ＋１）＋１ ≥ 一１（一１＋２一ｋ＋１）＋１＝２吼一ｌ＋１
得出＋１ ≥２（ｌ＋１）＞２Ｉ（１＋ａ１）
・．
２（３ｃ）一１
・．．
＋＋ … ≥ｎ一１ — ２［３ｃ＋（３ｃ）＋ …（３ｃ）一］＝ｎ＋ｌ一

高考数学导数、数列压轴题的破解策略数列创试题素材

高考数学导数、数列压轴题的破解策略数列创新试题例1. 〔2021高考，理〕数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a 〔n ∈*N 〕〔1〕证明：112nn a a +≤≤〔n ∈*N 〕；〔2〕设数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++〔n ∈*N 〕. 【解析】〔1〕首先根据递推公式可得12n a ≤，再由递推公式变形可知 211[1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--，从而得证；〔2〕由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +≤≤得，11112n n a a +≤-≤，从而可得*111()2(1)2n a n N n n +≤≤∈++，即可得证. 试题解析：〔1〕由题意得，210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，12n a ≤，由11(1)n n n a a a --=- 得1211(1)(1)(1)0n n n a a a a a --=--⋅⋅⋅->，由102n a <≤得， 211[1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--，即112n n a a +≤≤；〔2〕由题意得21n n n a a a +=-， ∴11n n S a a +=-①，由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +≤≤得，11112n na a +≤-≤， ∴11112n n n a a +≤-≤，因此*111()2(1)2n a n N n n +≤≤∈++②，由①②得 112(2)2(1)n S n n n ≤≤++. 例2：将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如下图的01-三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是．第1行 1 1 第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ………………………………………【解析】第1次全行的数都为1的是第121-行，第2次全行的数都为1的是第221-行，第3次全行的数都为1的是第321-行， ……，第n 次全行的数都为1的是第21n -行(可用数学归纳法或者递推关系证明)；第62163-=行数都为1，从而逆推出第61行为1,1,0,0,1,1,0,0,1,1,,1,1,0,0,1,1，一共有32个1．例3：〔2021高考，理〕设*n N ∈，n x 是曲线221n y x +=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标.〔Ⅰ〕求数列{}n x 的通项公式；〔Ⅱ〕记2221321n n T x x x -=，证明14n T n≥. 【解析】〔Ⅰ〕对题中所给曲线的解析式进展求导，得出曲线221n y x +=+在点(12)，处的切线斜率为22n +.从而可以写出切线方程为2(22)(1)y n x -=+-.令0y =.解得切线与x 轴交点的横坐标1111n nx n n =-=++. 〔Ⅱ〕要证14n T n≥，需考虑通项221n x -，通过适当放缩可以使得每项相消即可证明.思路如下：先表示出22222213211321()()()242n n n T x x x n --==，求出初始条件当1n =时，114T =.当2n ≥时，单独考虑221n x-，并放缩得222222122221(21)(21)1441()2(2)(2)(2)n n n n n n n xn n n n n-------==>==，所以211211()2234n n T n n ->⨯⨯⨯⨯=，综上可得对任意的*n N ∈，均有14n T n≥. 试题解析：〔Ⅰ〕解：2221'(1)'(22)n n y xn x ++=+=+，曲线221n y x +=+在点(12)，处的切线斜率为22n +.从而切线方程为2(22)(1)y n x -=+-.令0y =，解得切线与x 轴交点的横坐标1111n nx n n =-=++. 〔Ⅱ〕证：由题设和〔Ⅰ〕中的计算结果知22222213211321()()()242n n n T x x x n--==. 当1n =时，114T =. 当2n ≥时，因为222222122221(21)(21)1441()2(2)(2)(2)n n n n n n n xn n n n n-------==>==，所以211211()2234n n T n n->⨯⨯⨯⨯=. 综上可得对任意的*n N ∈，均有14n T n≥. 例4：将杨辉三角中的每一个数rn C 都换成1(1)rnn C +，就得到一个如右图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出1111(1)(1)r x rn n n n C n C nC -+=++，其中x = ；令()22111113121n n n a nC n C -=+++++，那么lim n n a →∞= ．【解析】∵11111(1)(1)r r rn n n n C n C nC +-+=++ ∴1x r =+；∵()()()212111n n n C n n n -=++- 111111n n n n ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，∴012234111345n a C C C =+++()321111n n n n nC n C ---+++ 111121n n =--++， ∴1lim 2n n a →∞=．例5：〔2021高考〕设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列〔1〕证明：31242,2,2,2a a a a依次成等比数列；〔2〕是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由；〔3〕是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得k n k n k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说明理由.【解析】〔1〕根据等比数列定义只需验证每一项与前一项的比值都为同一个不为零的常数即可〔2〕此题列式简单，变形较难，首先令1dt a =将二元问题转化为一元，再分别求解两个高次方程，利用消最高次的方法得到方程：27+430t t +=，无解，所以不存在〔3〕同〔2〕先令1dt a =将二元问题转化为一元，为降次，所以两边取对数，消去n,k 得到关于t 的一元方程4ln(13)ln(1)ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)0t t t t t t ++-++-++=，从而将方程的解转化为研究函数()4ln(13)ln(1)ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)g t t t t t t t =++-++-++零点情况，这个函数需要利用二次求导才可确定其在(0,)+∞上无零点试题解析：〔1〕证明：因为112222n n n na a a d a ++-==〔1n =，2，3〕是同一个常数，所以12a ，22a ，32a ，42a 依次构成等比数列．〔2〕令1a d a +=，那么1a ，2a ，3a ，4a 分别为a d -，a ，a d +，2a d +〔a d >，2a d >-，0d ≠〕．假设存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列，那么()()34a a d a d =-+，且()()6422a d a a d +=+．令d t a =，那么()()3111t t =-+，且()()64112t t +=+〔112t -<<，0t ≠〕，化简得32220t t +-=〔*〕，且21t t =+．将21t t =+代入〔*〕式，()()21212313410t t t t t t t t +++-=+=++=+=，那么14t =-．显然14t =-不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列．〔3〕假设存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1na ，2n ka +，23n ka +，34n ka +依次构成等比数列，那么()()()221112n kn k n a a d a d +++=+，且()()()()32211132n kn kn k a d a d a d +++++=+．分别在两个等式的两边同除以()21n k a +及()221n k a +，并令1d t a =〔13t >-，0t ≠〕，那么()()()22121n kn k t t +++=+，且()()()()32211312n kn kn k t t t +++++=+．将上述两个等式两边取对数，得()()()()2ln 122ln 1n k t n k t ++=++，且()()()()()()ln 13ln 1322ln 12n k t n k t n k t +++++=++．化简得()()()()2ln 12ln 12ln 1ln 12k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，且()()()()3ln 13ln 13ln 1ln 13k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．令()()21t t ϕϕ'=，那么()()()()212011213t t t t ϕ'=>+++．由()()()()1200000g ϕϕϕ====，()20t ϕ'>，知()2t ϕ，()1t ϕ，()t ϕ，()g t 在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上均单调．故()g t 只有唯一零点0t =，即方程〔**〕只有唯一解0t =，故假设不成立．所以不存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1na ，2n ka +，23n ka +，34n ka +依次构成等比数列．例6：假设数列{}n a 满足212n na p a +=〔p 为正常数，n *∈N 〕，那么称{}n a 为“等方比数列〞．甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，那么〔〕A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解析】取{}n a 为1,2,4,8,---，2124n na a +=，那么数列{}n a 是等方比数列，但，不是等比数列；假设数列{}n a 是等比数列，设公比为q ，那么222112n n n n a a q a a ++⎛⎫== ⎪⎝⎭为正常数，那么数列{}n a 是等方比数列，应选B ．例7:对数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()1n n n a a a n N ++∆=-∈；对正整数k ，规定{}k n a ∆为数列{}n a 的k 阶差分数列，其中111k k k n n n a a a --+∆=∆-∆()1k n a -=∆∆．〔1〕数列{}n a 的通项公式()2n a n n n N+=+∈，试判断{}{}2nna a ∆∆、是否为等差数列或者等比数列？为什么？〔2〕数列{}n a 首项11a =，且满足212nn n n a a a +∆-∆+=-，求数列{}n a 的通项公式．【解析】〔1〕∵()2n a n n n N +=+∈，∴()121n n n a a a n +∆=-=+，212n n n a a a +∆=∆-∆=，∴数列{}n a ∆是等差数列，{}2n a ∆是常数列，既是等差数列，又是等比数列．〔2〕∵212nn n n a a a +∆-∆+=-，∴()112n n n n n a a a a ++∆-∆-∆+=-，∴122nn n a a +=+，两边同时除以12n +，得：111222n n n n a a ++=+ 令2n n na b =，那么： 112n n b b +-=， ∴2n n b =，即12n n a n -=⋅．例8：假设有穷数列12,...n a a a 〔n 是正整数〕，满足1211,,....,n n n a a a a a a -===，即1i n i a a -+=〔i 是正整数，且1i n ≤≤〕，就称该数列为“对称数列〞．〔1〕数列{}n b 是项数为7的“对称数列〞，且1234,,,b b b b 成等差数列，142,11b b ==，试写出{}n b 的每一项；〔2〕{}n c 是项数为()211k k -≥的对称数列，且121,...k k k c c c +-构成首项为50，公差为4-的等差数列，数列{}n c 的前21k -项和为21k S -，那么当k 为何值时，21k S -取到最大值？最大值为多少？〔3〕对于给定的正整数1m >，试写出所有项数不超过2m 的对称数列，使得211,2,2...2m -成为数列中的连续项；当1500m >时，试求其中一个数列的前2021项和2008S ．【解析】〔1〕设数列{}n b 的公差为d ，那么：1132314=+=+=d d b b ，解得： 3=d ，∴数列{}n b 为25811852，，，，，，．〔2〕由对称数列的定义知：12121k k k k c c c c c c +-+++=+++，∴()211212k k k k k S c c c c -+-=+++-()()12504502k k k -⎡⎤=⨯+⨯--⎢⎥⎣⎦2410450k k =-+-()2413626k =--+，∴当13k =时，21k S -取到最大值626．〔3〕∵211,2,2 (2)m -成为项数不超过2m 的对称数列中的连续项，∴该数列只可能是：21121,2,,2,2,2,2,,2,1m m m m ----；或者2121,2,,2,2,2,,2,1m m m ---；或者12212,2,,2,1,1,2,,2,2m m m m ----；或者12212,2,,2,1,2,,2,2m m m m ----；下面计算2121,2,,2,2,2,,2,1m m m ---的前2021项和2008S ：①当15002008m <<时，()()2009232008222m m m m m S S ----=++++()()1220092122m m m --=-+-1220093221m m --=⨯--；②当2008m ≥时，2008200821S =-；故2121,2,,2,2,2,,2,1m m m ---的前2021项和为：()()20082008122009212008322115002008m m m S m --⎧-≥⎪=⎨⨯--<<⎪⎩ ．例9：在()2m m ≥个不同数的排列12n p p p 中，假设1i j m ≤<≤时i j p p >〔即前面某数大于后面某数〕，那么称i p 与j p 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为n a ，如排列21的逆序数11a =，排列321的逆序数36a =.〔Ⅰ〕求45a a 、，并写出n a 的表达式；〔Ⅱ〕令nn n n n a aa ab 11+++=，证明: 32221+<++<n b b b n n ．【解析】〔Ⅰ〕15,1054==a a ，2)1(12)1(+=+++-+=n n n n a n 〔Ⅱ〕 ∵1122n n n n n a a n n b a a n n+++=+=++2>=，1,2,n=∴n b b b n 221>+++ . 又∵222222n n n b n n n n +=+=+-++, ∴12n b b b +++111122[()()]132n n n =+-++-+ =32221232+<+-+-+n n n n . 综上，12223n n b b b n <++<+.例10：11211222,,,a A a A A ==+12n n n n n a A A A =+++，当,2n N n *∈≥时，求证：〔1〕)1(1+=-n n a n a ；〔2〕12111(1)(1)(1)3na a a +++<．证明：〔1〕当2n k ≥≥时，()!!k n n A n k =-()()()111!11!k n n n nA n k ---==---⎡⎤⎣⎦，∴12n n n n n a A A A =+++()121111n n n n n n A A A ----=++++)1(1-+=n a n ；〔2〕由〔1〕na a nn =+-11， ∴12311111111n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭nn a a a a a a a a 1111332211+⨯⨯+⨯+⨯+= )!1()1(32112312+=+⨯⨯⨯=++n a a n a a a a a n n n ()1211111(1)!n n n n A A A n ++++=++++ 11111!(1)!2!n n =+++++- 11121223(1)n n <++++⨯⨯-⨯313112<-=-+=nn ．例11：假设定义在区间D 上的函数()f x 对于D 上的任意n 个值1231,,,,,n n x x x x x -，总满足：()()()12n f x f x f x n+++12n x x x f n +++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭称函数()f x 为D 上的凸函数，那么在锐角三角形ABC ∆中，cos cos cos A B C ++的最大值是．解：∵函数()cos f x x =为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的凸函数， ∴cos cos cos 3A B C ++1cos32A B C ++≤=，故3cos cos cos 2A B C ++≤．例12：在)(n m f ，中，m 、n 、)(n m f ，均为非负整数，且对任何n m ，有：①1)0(+=n n f ，；②)1()01(，，m f m f =+；③()()111f m n f m f m n ++=+⎡⎤⎣⎦，，，；试求：〔1〕)01(，f 的值；〔2〕)1(n f ，关于n 的表达式；〔3〕)3(n f ，关于n 的表达式．解：〔1〕)01(，f )10(，f =211＝＝+；〔2〕))11(0()1(-=n f f n f ，，，()(11)11f n n =-+≥，，故数列{}()(11)1f n n -≥，成等差数列，其中首项2)01(=，f ，公差11=d ，∴2)01()1(1+=+=⋅n d n f n f ，，．〔3〕))12(1()2(-=n f f n f ，，，()(21)21f n n =-+≥，，故数列{}()(21)1f n n -≥，也成等差数列，其中首项(20)(11)213f f ==+=，，，公差22=d ，∴322)02()2(+=+=⋅n n f n f ，，．∵))13(2()3(-=n f f n f ，，，()2(31)31f n n =-+≥⋅，，可变形为：()(3)32[(31)3]1f n f n n +=-+≥，，．故数列{}3)13(+-n f ，n (≥)1成等比数列，其中首项为8353)12(3)03(=+=+=+，，f f ，公比2=q ．∴32)3(3-=+n n f ，四季寄语情感寄语在纷繁的人群中/牵手走过岁月/就像走过夏季/拥挤的海滩在我居住的江南/已是春暖花开季节/采几片云彩/轻捧一掬清泉/飘送几片绿叶/用我的心/盛着寄给/北国的你不要想摆脱冬季/看/冰雪覆盖的世界/美好的这样完整/如我对你的祝福/完整地这样美好挡也挡不住的春意/像挡也挡不住的/想你的心情/它总在杨柳枝头/泄露我的秘密往事的怀念/爬上琴弦/化作绵绵秋雨/零零落落我诚挚的情怀/如夏日老树下的绿荫/斑斑驳驳虽只是一个小小的祝福/却化做了/夏季夜空/万点星辰中的一颗对你的思念/温暖了/我这些个漫长的/冬日从春到夏,从秋到冬......只要你的帘轻动,就是我的思念在你窗上走过.在那个无花果成熟的季节,我才真正领悟了你不能表达的缄默.我又错过了一个花期/只要你知道无花也是春天/我是你三月芳草地燕子声声里,相思又一年朋友,愿你心中,没有秋寒.一到冬天,就想起/那年我们一起去吃的糖葫芦/那味道又酸又甜/就像......爱情.谢谢你/在我孤独时刻/拜访我这冬日陋室只要有个窗子/就拥有了四季/拥有了世界愿你:俏丽如三春之桃,清素若九秋之菊没有你在身边,我的生活永远是冬天!让我们穿越秋天/一起去领略那收获的喜悦!在冬天里,心中要装着春天;而在春天,却不能忘记冬天的寒冷.落红不是无情物,化作春泥更护花.愿是只燕,衔着春光,翩翩向你窗.请紧紧把握现在/让我们把一种期翼/或者是一种愿望/种进大地/明春/它就会萌生绿色的叶片.此刻又是久违的秋季/又是你钟爱的季节/于是/秋风秋雨秋云秋月/都化作你的笑颜身影/在我的心底落落起起.此刻已是秋季/你可体验到/收获怀念的感觉/和秋雨一样真实动人.一条柳枝/愿是你生活的主题/常绿常新/在每一个春季雨声蝉鸣叶落风啸/又一个匆匆四季/在这冬末春初/向遥远的你/问安!又是夏季/时常有暴雨雷鸣/此刻/你可以把我当作大雨伞/直至雨过天晴/留给你一个/彩虹的夏季!。

压轴题01 数列压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)

压轴题01数列压轴题题型/考向一：等差数列、等比数列性质的综合题型/考向二：以古文化、实际生活等情境综合题型/考向三：数列综合应用一、等差数列、等比数列的基本公式1.等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；2.等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1.3.等差数列的求和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d ；4.等比数列的求和公式：S na 1－a n q1－q ，q ≠1，二、等差数列、等比数列的性质1.通项性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则对于等差数列，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ，对于等比数列，有a m a n ＝a p a q ＝a 2k .2.前n 项和的性质(m ，n ∈N *)：对于等差数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列；对于等比数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列(q ＝－1且m 为偶数情况除外).三、数列求和的常用方法热点一分组求和与并项求和1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，或c nn ，n 为奇数，n ，n 为偶数，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列的通项公式中有(－1)n 等特征，根据正负号分组求和.热点二裂项相消法求和裂项常见形式：(1)分母两项的差等于常数1（2n －1）（2n ＋1）＝1n （n ＋k ）＝(2)分母两项的差与分子存在一定关系2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1；n ＋1n 2（n ＋2）2＝141n 2－1（n ＋2）2.(3)分母含无理式1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .热点三错位相减法求和如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，那么求数列{a n ·b n }的前n 项和S n 时，可采用错位相减法.用其法求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写“S n ”和“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“S n －qS n ”的表达式.○热○点○题○型一等差数列、等比数列性质的综合1．已知等比数列{}n a 满足123434562,4a a a a a a a a +++=+++=，则11121314a a a a +++=（）A ．32B ．64C ．96D ．128【答案】B【详解】设{}n a 的公比为q ，则()234561234a a a a q a a a a +++=+++，得22q =，所以()()1051112131412341234264a a a a a a a a q a a a a +++=+++⨯=+++⨯=．故选:B2．已知等比数列{}n a 的公比0q >且1q ≠，前n 项积为n T ，若106T T =，则下列结论正确的是（）A ．671a a =B ．781a a =C ．891a a =D ．9101a a =【答案】C3．已知等差数列n 满足15，36，数列n 满足12n n n n ++=⋅⋅．记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则使0n S <的n 的最小值为（）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由1536446a a a a =⎧⎨=+⎩得：111141624206a a da d a d =+⎧⎨+=++⎩，解得：1163a d =⎧⎨=-⎩，()1631319n a n n ∴=--=-+，则当6n ≤时，0n a >；当7n ≥时，0n a <；∴当4n ≤时，0n b >；当5n =时，0n b <；当6n =时，0n b >；当7n ≥时，0n b <；11613102080b =⨯⨯= ，213107910b =⨯⨯=，31074280b =⨯⨯=，474128b =⨯⨯=，()54128b =⨯⨯-=-，()()612510b =⨯-⨯-=，()()()725880b =-⨯-⨯-=-，()()()85811440b =-⨯-⨯-=-，()()()9811141232b =-⨯-⨯-=-，()()()101114172618b =-⨯-⨯-=-，532900S ∴=>，915480S =>，1010700S =-<，100S < ，当10n ≥时，0n b <，∴当10n ≥时，0n S <，则使得0n S <的n 的最小值为10.()()()()()()102120232022k k k k k k k T f a f a f a f a f a f a =-+-++- ，1,2k =，则1T ，2T 的大小关系是（）A ．12T >TB ．12T T <C ．12T T =D ．1T ，2T 的大小无法确定()()101322022...a f a +-)()22023f a -1=125．数列n 满足12，21n n n ++=+∈N ，现求得n 的通项公式为n nn F A B ⎛=⋅+⋅ ⎝⎭⎝⎭，,A B ∈R ，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则812⎡⎤⎛⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为（）A ．43B ．44C ．45D ．46○热○点○题○型二以古文化、实际生活等情境综合6．小李年初向银行贷款M 万元用于购房，购房贷款的年利率为P ，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还（）万元.A ．10MB ．()()1010111MP P P ++-C ．()10110M P +D ．()()99111MP P P ++-7．传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为（）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3）A．105B．107C．1012D．1015次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程是（）A．7里B．8里C．9里D．10里【答案】A【详解】设第六天走的路程为1a，第五天走的路程为2a……第一天走的路程记为6a，9．2022年10月16日上午10时，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕.某单位组织全体党员在报告厅集体收看党的二十大开幕式，认真聆听习近平总书记向大会所作的报告.已知该报告厅共有10排座位，共有180个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（）A ．23B ．25C ．27D ．2910次差成等差数列的高阶等差数列.现有一个高阶等差数列的前6项分别为4,7,11,16,22,29，则该数列的第18项为（）A ．172B ．183C ．191D ．211【答案】C【详解】设该数列为{}n a ，则11,(2)n n a a n n --=+≥，○热○点○题○型三数列综合应用11．在数列{}n a 中，11a =，11n n a a n +=++，则122022111a a a +++= （）A ．20211011B ．40442023C ．20212022D ．2022202312．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()()1133n nn n n n S S S S ++-=+，则2023S =（）A ．202331-B ．202331+C ．2022312+D ．2023312+13．已知一族曲线n ．从点向曲线n 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y ．则下列结论错误的是（）A ．数列{}n x 的通项为1n nx n =+B ．数列{}n y 的通项为n yC ．当3n >时，1352111nn nx x x x x x--⋅⋅⋅>+ Dnnxy <故D 正确.故选：B.14．在数列{}n a 中给定1a ，且函数()()311sin 213n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一零点，函数()()()112πcos π2g x x x x =-且()()()12918g a g a g a +++= ，则5a =（）．A ．14B ．13C ．16D ．1915．已知函数()()*ln N f x nx x n =+∈的图象在点,fn n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为n a ，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n S 为（）A ．11n +B ．()()235212n nn n +++C ．()41nn +D ．()()235812n nn n +++。

高考压轴题之数列

数列及其通项例1设{}n a 是首项为1的正项数列,且()011221=+-+++n n n n a na na a n n =1,2,3,…,则它的通项公式是n a = ．分析本题由递推式求通项公式,考虑到填空题特点：即只要结果不要过程,故采用不完全归纳法由特殊到一般.也可化简递推式,从而求得通项公式. 解法一：由条件,11=a ()011221=+-+++n n n n a na na a n ,可得212=a ,313=a ,414=a ,负值舍去由此可猜想nan1=.解法二：由()011221=+-+++n n n n a na na a n ,可得()0)](1[11=+-+++n n n n a a na a n因为0>n a ,所以0)(1>++n n a a 故只有()011=-++n n na a n ,即11+=+n na a n n 所以=na1-n n a a ⋅⋅--21n n a a ⋅--32n n a a …112a a a ⋅=n 1链接 ①形如)(1n q a a nn +=+的递归式,其通项公式求法为：1111111()()n n n k k k k a a a a a q k --+===+-=+∑∑②形如nn an p a )(1=+的递归式,其通项公式求法为：3211121(1)(2)(1)nn n a a a a a a p p p n a a a -=⋅⋅⋅=⋅⋅-例2 . 已知a n =错误! n ∈N ,则在数列{a n }的前20项中,最大项和最小项分别是,a 8 . ,a 9 . ,a 9 . ,a 10 .分析因为a n =1+错误! 所以a 1,a 2 ,…,a 9 组成递减数列,a 1最大,a 10最小; a 10,a 11 ,…,a 20组成递减数列,a 10,最大,a 20,最小,计算a 1＜ a 10, a 9＜ a 20. 所以在数列{ a n }前20项中,最大项为a 10,最小项为a 9,故选B.说明要确定数列{ a n }的最大项和最小项,一种思路是先判断数列的单调性,另一种思路是画图观察.等差数列与等比数列例1.设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n . Ⅰ若首项=1a 错误!,公差1=d ,求满足2)(2k k S S =的正整数k ；Ⅱ求所有的无穷等差数列{a n },使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S =成立.答案解：I 当1,231==d a 时,n n n n n d n n na S n +=-+=-+=21212)1(232)1( 由22422211(), ()22k k S S k k k k =+=+得,即0)141(3=-k k ;又0, 4k k ≠=所以;II 设数列{a n }的公差为d,则在2)(2n n S S =中分别取k =1,2,得2211112211421(), ?43214(2) 2()22a a S S a d a d S S ⎧=⎧=⎪⎪⎨⎨⨯⨯+=+=⎪⎪⎩⎩（）即（）; 解得111100110602a a a a d d d d ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩或或或; 若2210, 0, 0, 0, ()n n k k a d a S S S =====则从而成立；若21330, 6, 6(1), 18, ()324, 216n n a d a n S S S ===-===则由知,)(239S s ≠ 故所得数列不符合题意;若2211,0,1,,()n n k k a d a S n S S =====则从而成立；若2211,2,21, 13(21), ()n n n a d a n S n n S S ===-=+++-==则从而成立;综上,共有3个满足条件的无穷等差数列： ①{a n } : a n =0,即0,0,0,…； ②{a n } : a n =1,即1,1,1,…； ③{a n } : a n =2n －1,即1,3,5,…;考点等差数列的通项公式,等差数列的性质;分析I 利用等差数列的求和公式表示出前n 项的和,代入到2)(2k k S S =求得k ;Ⅱ设数列{a n }的公差为d,在 Sn2=Sn2中分别取k =1,2求得1a ,代入到前n 项的和中分别求得d,进而对1a 和d 进行验证,最后综合求得答案; 例2 ΔOBC 的在个顶点坐标分别为0,0、1,0、 0,2,设P 1为线段BC 的中点,P 2为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,对于每一个正整数n,P n+3为线段P n P n+1坐标为x n,y n ,.2121++++=n n n n y y y aⅠ求321,,a a a 及n a ; Ⅱ证明;,414*+∈-=N n yy n nⅢ若记,,444*+∈-=N n y y b n n n 证明{}n b 是等比数列．分析本题主要考查数列的递推关系、等比数列等基础知识,考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的创新能力．利用图形及递推关系即可解决此类问题．解 Ⅰ因为43,21,153421=====y y y y y , 所以2321===a a a ,又由题意可知213+-+=n n n y y y ∴321121++++++=n n n n y y y a =221121++++++n n n n y y y y =,2121n n n n a y y y =++++ ∴{}n a 为常数列．∴.,21*∈==N n a a n Ⅱ将等式22121=++++n n n y y y 两边除以2,得,124121=++++n n n y y y 又∵2214++++=n n n y y y , ∴.414nn y y -=+Ⅲ∵)41()41(44444341n n n n n y y y y b ---=-=+++-=)(41444n n y y --+ =,41n b -又∵,041431≠-=-=y y b ∴{}n b 是公比为41-的等比数列．说明本题符号较多,有点列{P n },同时还有三个数列{a n },{y n },{ b n },再加之该题是压轴题,因而考生会惧怕,而如果没有良好的心理素质,或足够的信心,就很难破题深入．即使有的考生写了一些解题过程,但往往有两方面的问题：一个是漫无目的,乱写乱画；另一个是字符欠当,丢三落四．最终因心理素质的欠缺而无法拿到全分．例3．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11,6,1321===a a a ,且,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n ,其中为常数⑴求A 与B 的值；2分⑵证明：数列{}n a 为等差数列；6分⑶证明：不等式15>-n m mn a a a 对任何正整数n m ,都成立6分答案解：1由已知,得111==a S ,7212=+=a a S ,183213=++=a a a S ,由B An S n S n n n +=+--+)25()85(1,知⎩⎨⎧+=-+=--B A S S B A S S 2122732312,即⎩⎨⎧-+-=+48228B A B A ,解得8,20-=-=B A ; 2由1得820)25()85(1--=+--+n S n S n n n ① ∴2820)75()35(12--=+--++n S n S n n n ② ②－①得,20)25()110()35(12-=++---++n n n S n S n S n ③ ∴20)75()910()25(123-=+++-++++n n n S n S n S n ④④－③得 0)25()615()615()25(123=+-+++-++++n n n n S n S n S n S n ; ∵n n n S S a -=++11,∴0)75()410()25(123=+++-++++n n n a n a n a n ; ∵ 0)25(≠+n ,∴ 02123=+-+++n n n a a a ;∴ 1223++++-=-n n n n a a a a ,1≥n ;又∵ 51223=-=-a a a a ,∴数列}{n a 为等差数列;3由2 可知,45)1(51-=-+=n n a n ,要证15>-n m mn a a a ,只要证n m n m mn a a a a a 215++>; 因为45-=mn a mn ,16)(2025)45)(45(++-=--=n m mn n m a a n m , 故只要证>-)45(5mn n m a a n m mn 216)(20251+++-+, 即只要证n m a a n m 2372020>-+; 因为372020)291515(8558552-+=-++-+<-+=+≤n m n m n m n m a a a a n m n m ,由于以上过程是可逆的,所以命题得证;考点数列的应用; 分析1由题意知⎩⎨⎧+=-+=--BA S S BA S S 2122732312,从而解得A=－20,B=－8;2由Ⅰ得820)25()85(1--=+--+n S n S n n n ,所以在式中令1n n =+,可得2820)75()35(12--=+--++n S n S n n n ．由此入手能够推出数列{an}为等差数列;3由2可知,45)1(51-=-+=n n a n ,然后用分析法可以使命题得证;例 4.已知 {}n a 是等差数列,{}n b 是公比为q 的等比数列,11221,a b a b a ==≠,记n S 为数列{}n b 的前n 项和,1若(,k m b a m k =是大于2的正整数),求证：11(1)k S m a -=-；4分2若3(i b a i =是某一正整数),求证：q 是整数,且数列{}n b 中每一项都是数列{}n a 中的项；8分3是否存在这样的正数q ,使等比数列{}n b 中有三项成等差数列若存在,写出一个q 的值,并加以说明；若不存在,请说明理由；4分答案解：设{}n a 的公差为d ,由11221,a b a b a ==≠,知0,1d q ≠≠,()11d a q =-10a ≠1证：∵k m b a =,∴()()111111k a q a m a q -=+--,()()()111121k q m q m m q -=+--=-+-; ∴()()()()1111111111k k a q a m m q S m a qq------===--;2证：∵()()23111,11i b a q a a i a q ==+--,且3i b a =, ∴()()()()22111,120,q i q q i q i =+----+-= 解得,1q =或2q i =-,但1q ≠,∴2q i =-; ∵i 是正整数,∴2i -是整数,即q 是整数; 设数列{}n b 中任意一项为()11n n b a q n N -+=∈,设数列{}n a 中的某一项m a =()()1111a m a q +--()m N +∈,现在只要证明存在正整数m ,使得n m b a =,即在方程()()111111n a q a m a q -=+--中m 有正整数解即可;∵()()11221111,111n n n q qm q m q q q q ----=+---==+++-,∴222n m q q q -=+++;若1i =,则1q =-,那么2111222,n n b b a b b a -==== ; 当3i ≥时,∵1122,a b a b == ,只要考虑3n ≥的情况, ∵3i b a =,∴3i ≥,∴q 是正整数;∴m 是正整数;∴数列{}n b 中任意一项为()11n n b a q n N -+=∈与数列{}n a 的第222n q q q -+++项相等,从而结论成立;3设数列{}n b 中有三项(),,,,,m n p b b b m n p m n p N +<<∈成等差数列,则有 2111111n m p a q a q a q ---=+;设(),,,n m x p n y x y N +-=-=∈,则21yx q q=+;令1,2x y ==,则3210,q q -+=()()2110q q q -+-=;∵1q ≠,∴210q q +-=,解得12q =()舍去负值;即存在q ={}n b 中有三项()13,,m m m b b b m N +++∈成等差数列; 考点数列的求和,等差数列的性质,等比数列的性质分析1设{}n a 的公差为d ,由11a b =,把k m b a =代入11k m a q a -=,即可表示出1k S -,题设得证;2利用()()23111,11i b a q a a i a q ==+--,可得()()()()22111,120q i q q i q i =+----+-=即,整理即可求得2q i =-,从而可判定2i -是整数,即q 是整数;设数列{}n b 中任意一项为()11n n b a q n N -+=∈,设数列{}n a 中的某一项m a =()()1111a m a q +--()m N +∈,只要证明存在正整数m ,使得n m b a =,即在方程()()111111n a q a m a q -=+--中m 有正整数解即可;3设数列{}n b 中有三项(),,,,,m n p b b b m n p m n p N +<<∈成等差数列,利用等差中项的性质建立等式,设(),,,n m x p n y x y N +-=-=∈,从而可得以21y x q q=+,令1,2x y ==,求得q ;例5.1设12,,,n a a a 是各项均不为零的n 4n ≥项等差数列,且公差0d ≠,若将此数列删去某一项后得到的数列按原来的顺序是等比数列．i 当4n =时,求1a d的数值； ii 求n 的所有可能值．2求证：对于给定的正整数n 4n ≥,存在一个各项及公差均不为零的等差数列12b b ，，，n b ,其中任意三项按原来的顺序都不能组成等比数列．答案解：1i 当n =4时, 1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成等比数列,则推出d =0;若删去2a ,则2314a a a =⋅,即2111(2)(3)a d a a d +=⋅+化简得140a d +=,得14a d=-; 若删去3a ,则2214a a a =⋅,即2111()(3)a d a a d +=⋅+化简得10a d -=,得11a d=; 综上,得14a d =-或11ad=; ii 当n =5时, 12345,,,,a a a a a 中同样不可能删去1245,,,a a a a ,否则出现连续三项; 若删去3a ,则1524a a a a ⋅=⋅,即1111(4)()(3)a a d a d a d +=+⋅+化简得230d =,因为0≠d ,所以3a 不能删去；当n ≥6时,不存在这样的等差数列;事实上,在数列12321,,,,,,n n n a a a a a a --中,由于不能删去首项或末项,若删去2a ,则必有132n n a a a a -⋅=⋅,这与0≠d 矛盾；同样若删去1n a -也有132n n a a a a -⋅=⋅,这与0≠d 矛盾；若删去32,,n a a -中任意一个,则必有121n n a a a a -⋅=⋅,这与0≠d 矛盾;或者说：当n ≥6时,无论删去哪一项,剩余的项中必有连续的三项;综上所述,4n =;2假设对于某个正整数n ,存在一个公差为d 的n 项等差数列n b b b ,......,21, 其中111,,x y z b b b +++01x y z n ≤<<≤-为任意三项成等比数列,则2111y x z b b b +++=⋅,即2111()()()b yd b xd b zd +=+⋅+,化简得221()(2)y xz d x z y b d -=+-由10b d ≠知,2y xz -与2x z y +-同时为0或同时不为0; 当2y xz -与2x z y +-同时为0时,有x y z ==与题设矛盾；故2y xz -与2x z y +-同时不为0,所以由得212b y xzd x z y-=+-;∵01x y z n ≤<<≤-,且x 、y 、z 为整数,∴上式右边为有理数,从而1b d为有理数; ∴对于任意的正整数)4(≥n n ,只要1b d为无理数,相应的数列就是满足题意要求的数列;例如n 项数列1,11+……,1(n +-;考点等差数列的性质,等比关系的确定,等比数列的性质分析1根据题意,对n =4,n =5时数列中各项的情况逐一讨论,利用反证法结合等差数列的性质进行论证,从而推广到n ≥4的所有情况．2利用反证法结合等差数列的性质进行论证即可;数列的求和本节主要内容有S n 与a n 的关系；两个常用方法：倒写与错项；各种求和：平方和、立方和、倒数和等；∑符号的运用. 掌握数列前n 项和常用求法,数列求和的方法主要有：倒序相加法、错位相减法、转化法、裂项法、并项法等． 1.重要公式 ①1+2+…+n =21nn +1 ②12+22+…+n 2=61nn +12n +12.数列{a n }前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧≥-=-2,1,11n S S n S n n3. 在等差数列中S m +n =S m +S n +mnd,在等比数列中S m +n =S n +q n S m =S m +q m S n ．4.裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和,即a n =fn +1－fn ,然后累加时抵消中间的许多项．5.错项相消法6.并项求和法例1. 已知数列{a n }是首项为a 且公比q 不等于1的等比数列,S n 是其前n 项的和,a 1,2a 7,3a 4 成等差数列．I 证明 12S 3,S 6,S 12－S 6成等比数列； II 求和T n =a 1+2a 4+3a 7+…+n a 3n －2．分析 1对于第l 问,可先依据等比数列的定义与等差数列的条件求出等比数列的公比,然后写出12S 3,S 6,S 12－S 6,并证明它们构成等比数列．对于第2问,由于 T n =a 1+2a 4+3a 7+…+n a 3n －2．所以利用等差数列与等比数列乘积的求和方法即“乘公比错位相减法”解决此类问题．解 Ⅰ证明由4713,2,a a a 成等差数列, 得41734a a a+=,即 .3436aq a aq += 变形得 ,0)1)(14(33=-+q q所以14133=-=q q 或舍去．由 .1611211)1(121)1(123316136=+=----=q qq a qq a S S得.12661236S S S S S -= 所以12S 3,S 6,S 12－S 6成等比数列． Ⅱ解：.3232)1(36323741--++++=++++=n n nnaq aq aq a na a a a T即 .)41()41(3)41(212a n a a a T n n --⋅++-⋅+-⋅+= ①①×)41(-得： a n a n a a a T n n n )41()41()41(3)41(24141132---⋅++-⋅+-⋅+=--所以 .)41()542516(2516a n a T n n -⋅+-=说明本题是课本例题：“已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 3,S 9,S 6成等差数列,求证：a 2,a 8,a 5成等差数列”的类题,是课本习题：“已知数列{an}是等比数列,S n 是其前 n 项的和,a 1,a 7,a 4 成等差数列,求证2 S 3,S 6,S 12－S 6成等比数列”的改编．例2 设),2,1(,3235,35,11221=-===++n a a a a an n n 1令1,(1,2......)n n n b a a n +=-=求数列{}n b 的通项公式； 2求数列{}n na 的前n 项和n S .分析利用已知条件找n b 与1+n b 的关系,再利用等差数列与等比数列之积的错位相差法来解决此类问题. 解 1因121+++-=n n n a a bn n n n n n b a a a a a 32)(323235111=-=--=+++ 故{b n }是公比为32的等比数列,且故,32121=-=a a b),2,1()32( ==n b n n2由得n n n na ab )32(1=-=+注意到,11=a 可得),2,1(3231 =-=-n a n nn记数列}32{11--n n n 的前n 项和为T n ,则说明本题主要考查递推数列、数列的求和,考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.数列的递推本节主要内容两个基本递推：a n ＋1＝a n ＋d ,a n ＝qa n ；线性递推,二阶或高阶递推的特征方程与特征根；其他递推．1．基本概念：①递归式：一个数列}{n a 中的第n 项n a 与它前面若干项1-n a ,2-n a ,…,k n a -n k <的关系式称为递归式．②递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列． 2．常用方法：累加法,迭代法,代换法,代入法等． 3．思想策略：构造新数列的思想． 4．常见类型：类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11一阶递归其特例为：1)0(1≠+=+p q pa a n n 2)0()(1≠+=+p n q pa a n n 3)0()(1≠+=+p qa n p a n n解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列．①形如)(1n q a a nn +=+的递归式,其通项公式求法为：1111111()()n n n k k k k a a a a a q k --+===+-=+∑∑②形如nn a n p a )(1=+的递归式,其通项公式求法为：3211121(1)(2)(1)nn n a a a a a a p p p n a a a -=⋅⋅⋅=⋅⋅-③形如)1()(1≠+=+p n q pa a nn 的递推式,两边同除以1+n p 得111)(++=+=n n n n n p n q p a p a ,令n nnb pa =则句可转化为①来处理.例 1 一给定函数)(x f y =的图象在下列图中,并且对任意)1,0(1∈a ,由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)N (*1∈>+n a a n n ,则该函数的图象是解 n a 例2已知数列1}{1=a a n 中,且a 2k =a 2k －1+－1K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……． I 求a 3, a 5；II 求{ a n }的通项公式．分析由于给出两个递推关系与奇数项、偶数项有关,因此因从奇数项或偶数项之间的关系入手.解I a 2=a 1+－11=0, a 3=a 2+31=3．a 4=a 3+－12=4, a 5=a 4+32=13, 所以,a 3=3,a 5=13． II a 2k+1=a 2k +3k = a 2k －1+－1k +3k ,所以a 2k+1－a 2k －1=3k +－1k ,同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+－1k －1, …… a 3－a 1=3+－1．所以a 2k+1－a 2k －1+a 2k －1－a 2k －3+…+a 3－a 1 =3k +3k －1+…+3+－1k +－1k －1+…+－1, 由此得a 2k+1－a 1=233k －1+21－1k －1,于是a 2k+1=.1)1(21231--++k k a 2k = a 2k －1+－1k=2123+k －1k －1－1+－1k =2123+k－1k =1． {a n }的通项公式为：当n 为奇数时,a n=;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n为偶数时,.121)1(2322-⨯-+=nn n a说明这种给出递推关系,求通项公式问题,一般是转化为等差数列或等比数列,或者通过观察、归纳,或者通过顺次迭代,以求通项公式.例3设0a >,如图,已知直线:l y ax =及曲线2:,C y x C =上的点1Q 的横坐标为11(0).(1)n a a a C Q n <<≥从上的点作直线平行于x 轴,交直线11n n l P P ++于点，再从点作直线平行于y 轴,交曲线1.(1,2,3,n n C Q Q n +=于点 …）的横坐标构成数列{}n aⅠ试求1n n a a +与的关系,并求{}n a 的通项公式；Ⅱ当111,2a a =≤时,证明1211()32n k k k k a a a ++=-<∑Ⅲ当1a =时,证明1211()3nk k k k a a a ++=-<∑答案解：Ⅰ∵222241112111(,), (,), (,)n n n n n n n n n Q a a P a a Q a a a a a-++⋅⋅, ∴211n n a a a+=⋅ ;∴2222122221)1()1(11-+--=⋅=⋅=n n n n a aa a a a a a ==⋅=-++-+3222222122321)1()1()1(n n a aa a a =1111221211221221)()1()1(---+-==-+++n n n n n aa a a a a a ; ∴121()n n a a a a-=;Ⅱ证明：由a =1知,21nn a a =+ ∵,211≤a ∴2311 , 416aa ≤≤; ∵当 1k ≥时,23116k a a +≤≤,∴1211111111()()()161632n n k k k k k n k k a a a a a a a ++++==-≤-=-<∑∑; Ⅲ证明：由Ⅰ知,当a =1时,,121-=n a a n ∴∑∑∑=++-==++-≤-=-+-nk i i i i nk k k k a a a aa aa a a n k k k 1221111121212121121)()()(11∑-=-⋅-<-=1213131211312111)1()1(n i i a a a a a a a = 51211113a a a <++; 考点数列递推式,不等式的证明;分析Ⅰ根据n Q ,+1n P ,+1n Q 的坐标求得211n n a a a+=⋅,从而通过公式法求得n a 的通项公式;Ⅱ把a =1代入211n n a a a +=⋅,根据,211≤a 可推断2311 , 416a a ≤≤;由于当1k ≥时,23116k a a +≤≤．从而可知1211()32nk k k k a a a ++=-<∑;Ⅲ由Ⅰ知,当a =1时,,121-=n aa n 代入121()nk k k k a a a ++=-∑中,从而根据∑∑∑=++-==++-≤-=-+-nk i i i i nk k k k a a a a a aa a a n k k k 1221111121212121121)()()(11证明原式;例4．设M 为部分正整数组成的集合,数列}{n a 的首项11=a ,前n 项和为n S ,已知对任意整数k 属于M,当n >k 时,)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立.1设M=｛1｝,22=a ,求5a 的值；2设M=｛3,4｝,求数列}{n a 的通项公式. 答案解：1由题设知,当2≥n 时,)(2111S S S S n n n +=+-+即1112)()(S S S S S n n n n =----+,∴2211==-+a a a n n ;又22=a ,∴当2≥n 时,22)2(22-=-+=n n a a n ,∴5a 的值为8;2 由题设知, 当{}4,3=∈M k ,且k n >时,)(2k n k n k n S S S S +=+-+且)(2111k n k n k n S S S S +=++-+++, 两式相减得1112+-+++=-n k n k n a a a ,即1111+-++++-=-n k n n k n a a a a ,∴当8≥n 时,6336,,,,++--n n n n n a a a a a 成等差数列,且6226,,,++--n n n n a a a a 也成等差数列;∴当8≥n 时,332-++=n n n a a a 66-++=n n a a )(*,且22-++n n a a 66-++=n n a a ;∴当8≥n 时,222-++=n n n a a a ,即22-+-=-n n n n a a a a ;∴当9≥n 时,3113,,,++--n n n n a a a a 成等差数列,从而33-++n n a a 11-++=n n a a ; ∴由)(*式知=n a 211-++n n a a ,即11-+-=-n n n n a a a a ;∴当9≥n 时,设1--=n n a a d ,当82≤≤m 时,86≥+m ,从而由)(*式知1262+++=m m m a a a∴13172++++=m m m a a a ,从而1213167()(2+++++-+-=-m m m m n n a a a a a a , ∴d d d a a m m =-=-+21;∴d a a n n =-+1,对任意都2≥n 成立; 又由k n k n k n S S S S 22=-+-+{})4,3∈k 可知k k n n n k n S S S S S 2)()(=----+, ∴329S d =且4216S d =;解得d a 274=; ∴d a 232=,d a 211=;∴数列{}n a 为等差数列,由11=a 知2=d ,所以数列{}n a 的通项公式为12-=n a n ;考点数列递推式,数列与函数的综合;分析1由集合M 的元素只有一个1,得到k =1,所以当n 大于1即n 大于等于2时)(2k n k n k n S S S S +=+-+,都成立,变形后,利用11=a 化简,得到当n 大于等于2时,此数列除去首项后为一个等差数列,根据第2项的值和确定出的等差写出等差数列的通项公式,因为5大于2,所以把n =5代入通项公式即可求出第5项的值；2由)(2k n k n k n S S S S +=+-+,利用数列递推式得到k k n n n k n S S S S S 2)()(=----+,从而求出2=d ,得到数列{}n a 的通项公式;例5．设整数4n ≥,(,)P a b 是平面直角坐标系xOy 中的点,其中,a b ∈{}1,2,3,,n …,a b >．1记n A 为满足3a b -=的点P 的个数,求n A ； 2记n B 为满足1()3a b -是整数的点P 的个数,求n B ．答案解：1∵点P 的坐标满足条件331-≤-=≤n a b ,∴3-=n A n ;2设k 为正整数,记)(k f n 为满足条件以及k b a 3=-的点P 的个数;只要讨论1)(≥k f n 的情形;由k n k a b 331-≤-=≤,知k n k f n 3)(-=,且31-≤n k , 设r m n +=-31,其中{}2,1,0,∈∈*r N m ,则m k ≤, ∴∑∑==-==mk mk n n k n k f B 11)3()(2)332(2)1(3--=+-=m n m m m mn , 将31r n m --=代入上式,化简得6)1(6)2)(1(----=r r n n B n , ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=不是整数是整数3,6)2)(1(3,6)3(n n n nn n B n ;考点计数原理,数列递推式;分析1n A 为满足3a b -=的点P 的个数,显然(,)P a b 的坐标的差值,与n A 中元素个数有关,直接写出n A 的表达式即可;2设k 为正整数,记)(k f n 为满足题设条件以及k b a 3=-的点P 的个数,讨论)(k f n ≥1的情形,推出k n k f n 3)(-=,根据k 的范围 31-≤n k ,说明1n -是3的倍数和余数,然后求出n B ;例6．已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：221nn n n n b a b a a ++=+,*N n ∈,1设n n n a b b +=+11,*N n ∈,求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列； 2设nnn a b b •=+21,*N n ∈,且{}n a 是等比数列,求1a 和1b 的值．答案解：1∵n n n a b b +=+11,∴112221n n n n n n n n a a b b a ++=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴2111n n n n b b a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;∴()222221111*n n n n n n n n b b b b n N a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭; ∴数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是以1 为公差的等差数列;2∵00n n a >b >，,∴()()22222n n n n n n a b a b <a b +≤++;∴12212n n n n n<a a b +=≤+﹡设等比数列{}n a 的公比为q ,由0n a >知0q >,下面用反证法证明=1q若1,q >则212=2a a <a q≤∴当12log q n >时,112n n a a q +=与﹡矛盾;若01,<q <则212=1a a >a >q ,∴当11log q n >a 时,111n n a a q <+=,与﹡矛盾;∴综上所述,=1q ;∴()1*n a a n N =∈,∴112<a ≤ 又∵1122n n n n b b b a +=•()*n N ∈,∴{}n b 是公比是12的等比数列;若1a ≠11>,于是123b <b <b ; 又由221nn n n n b a b a a ++=+即1a =,得11n b a -;∴123b b b ，，中至少有两项相同,与123b <b <b 矛盾;∴1a ; ∴1n b -∴ 12=a b ;考点等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法; 解析1根据题设221nn n n n b a b a a ++=+和n n n a b b +=+11,求出11n n ba ++=从而证明22111n n n n b b a a ++⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而得证; 2根据基本不等式得到11n <a +=≤用反证法证明等比数列{}n a 的公比=1q ;从而得到()1*n a a n N =∈的结论,再由11n n nn b b b a +=知{}n b 1数列;最后用反证法求出12=a b。

压轴题型13 数列压轴大题的处理策略(原卷版)-2023年高考数学压轴题专项训练

压轴题13数列压轴大题的处理策略高考数列这类问题虽然没有解析几何那样大的计算量，没有太多需要理解的东西，也不需要立体几何中的空间想象力，然而数列中涉及到的的递推思想、函数思想、分类讨论思想以及数列求和、求通项公式的各种方法和技巧贯穿与整个高中数学之中，高中最常见的数列题型就是求通项公式和数列求和两种了，数列作为数学中的一个重要概念，常常出现在各种数学竞赛中，其重要性不言而喻。

在数列中，我们需要掌握其定义、性质和求和公式等知识点，才能够有效地解决各种数列相关的问题。

对于求和问题，我们可以通过数学归纳法或递推公式等方法进行求解。

同时，我们还需要掌握数列的通项公式，以便于我们更直观地理解数列的规律和性质。

而在数列压轴题中，我们需要将所学的数列知识灵活运用，解决各种复杂的数列问题。

例如，我们可能需要使用数学归纳法证明某个数列的性质，或者需要通过构造新的数列来解决问题。

总的来说，数列作为数学中的一个重要概念，在数学竞赛中经常出现，是我们必须掌握的知识点之一。

通过不断练习和总结，我们可以更好地掌握数列的求和、通项公式和数列压轴题等知识，从而在数学高考中获得好成绩。

○热○点○题○型1数列中的不动点问题○热○点○题○型2数列与数学史○热○点○题○型3数列与生活○热○点○题○型4数列与不等式1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*n S n n =∈N ，数列{}n b 为等比数列，且21a +，41a +分别为数列{}n b 第二项和第三项．(1)求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；(2)若数列()()1322(1)11+⋅-=+-⋅--n nn n n n n c a b b b ，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；(3)求证：()2131n i i i b b =<-∑．2．已知有穷数列()*12:,,,,3N A a a a N N ∈≥N 满足{}()1,0,11,2,,i a i N ∈-= ．给定正整数m ，若存在正整数s ，()t s t ≠，使得对任意的{}0,1,2,,1k m ∈- ，都有s k t k a a ++=，则称数列A 是m -连续等项数列．(1)判断数列:1,1,0,1,0,1,1A --是否为3-连续等项数列？是否为4-连续等项数列？说明理由；(2)若项数为N 的任意数列A 都是2-连续等项数列，求N 的最小值；(3)若数列12:,,,N A a a a 不是4-连续等项数列，而数列112:,,,,1N A a a a - ，数列212:,,,,0N A a a a 与数列312:,,,,1N A a a a 都是4-连续等项数列，且30a =，求N a 的值．3．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项的和，21511S S =，112n n na a a ++=-.(1)求1a ，2a 的值，并证明11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；(2)证明：11111222n n n n S n +-+<<-.4．已知数列{}n a ，设()12*n n a a a m n N n+++=∈ ，若{}n a 满足性质Ω：存在常数c ，使得对于任意两两不等的正整数i ､j ､k ，都有()()()k i j i j m j k m k i m c -+-+-=，则称数列{}n a 为“梦想数列”.(1)若()2*n n b n N =∈，判断数列{}n b 是否为“梦想数列”，并说明理由；(2)若()21*n c n n N =-∈，判断数列{}n c 是否为“梦想数列”，并说明理由；(3)判断“梦想数列”{}n a 是否为等差数列，并说明理由.5．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，2t X -，1t X -，t X ，1t X +，…，那么1t X +时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态t X ，即()()1211,,,t t t t t t P X X X X P X X +--+⋅⋅⋅=．现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B 元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为()*N ,A A A B ∈<，赌博过程如下图的数轴所示．当赌徒手中有n 元（0n B ≤≤，N n ∈）时，最终输光的概率为．．．．．．．．()P n ，请回答下列问题：(1)请直接写出()0P 与()P B 的数值．(2)证明(){}P n 是一个等差数列，并写出公差d ．(3)当100A =时，分别计算200B =，1000B =时，()P A 的数值，并结合实际，解释当B →∞时，()P A 的统计含义．6．求符合条件的序列12,,n a a a L 的个数，满足如下条件：（1）{}0,1,1,2,i a i n ∈= ；（2）{}1,2,,2|i n i ∀∈ ，有{}11max ,i i i a a a -+≥.7．已知无穷数列A ：1a ，2a ，…满足：①1a ，2a ，…N i a ∈且0(1,2,)i a i >= ；②(1,2,;1,2,;31)i j i j i j a a a a a i j i j ++≤≤+=+=+≥ ，设*i a 为(1,2,)i a i = 所能取到的最大值，并记数列*A ：*1a ，*2a ，….(1)若数列A 为等差数列且11a =，求其公差d ；(2)若121a a ==，求*4a 的值；(3)若11a =，22a =，求数列*A 的前100项和.8．若数列{an }满足“对任意正整数i ，j ，i ≠j ，都存在正整数k ，使得ak ＝ai •aj ”，则称数列{an }具有“性质P ”.(1)判断各项均等于a 的常数列是否具有“性质P ”，并说明理由；(2)若公比为2的无穷等比数列{an }具有“性质P ”，求首项a 1的值；(3)若首项a 1＝2的无穷等差数列{an }具有“性质P ”，求公差d 的值.9．已知数列A ：1a ，2a ，…，n a 满足：{}0,1i a ∈（1i =，2，…，n ，2n ≥），从A 中选取第1i 项、第2i 项、…、第m i 项（12m i i i <<< ，2m ≥）称数列1i a ，2i a ，…，m i a 为A 的长度为m 的子列.记()T A 为A 所有子列的个数.例如A ：0，0，1，其()3T A =.(1)设数列A ：1，1，0，0，写出A 的长度为3的全部子列，并求()T A ；(2)设数列A ：1a ，2a ，…，n a ，A '：n a ，1n a -，…，1a ，A ''：11a -，21a -，…，1n a -，判断()T A ，()T A '，()T A ''的大小，并说明理由；(3)对于给定的正整数n ，k （11k n ≤≤-），若数列A ：1a ，2a ，…，n a 满足：12n a a a k ++⋅⋅⋅+=，求()T A 的最小值.10．某辖区组织居民接种新冠疫苗，现有A ，B ，C ，D 四种疫苗且每种都供应充足.前来接种的居民接种与号码机产生的号码对应的疫苗，号码机有A ，B ，C ，D 四个号码，每次可随机产生一个号码，后一次产生的号码由前一次余下的三个号码中随机产生，张医生接种A 种疫苗后，再为居民们接种，记第n 位居民（不包含张医生）接种A ，B ，C ，D 四种疫苗的概率分别为(),(),(),()n n n n P A P B P C P D .(1)第2位居民接种哪种疫苗的概率最大；(2)证明：()()()n n n P B P C P D ==；(3)张医生认为，一段时间后接种A ，B ，C ，D 四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计算第10位居民接种A ，B ，C ，D 四种的概率，解释张医生观点的合理性.参考数据：910910553411115.110, 1.710, 2.010,9.810.3322----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≈⨯≈⨯≈⨯≈⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11．在如图所示的平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是CBD △面积的两倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，()()1122n n n n BD a BA a BC --=++- ，记2n n n a b =．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求证：2221211154n b b b +++< ．12．已知函数()y f x =是定义在()(),00,∞-+∞U 上的偶函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，()n a f n =（n 为正整数）.(1)当20x -≤<时，求()y f x =的解析式；(2)若函数()()g x f x m =-存在零点，且零点个数不超过10，求实数m 的取值范围；(3)求数列{}n a 的前n 项和为,n n S S 是否存在极限？若存在，求出这个极限；若不存在，请说明理由13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 与4-n 的等差中项为n n S a -.(1)证明：数列{}2n a +是等比数列；(2)设32log 2n n a b +=，证明：1352111111111n b b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++> ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .14．已知数列:A 1a ，2a ，…，()3N a N ≥的各项均为正整数．设集合，{}|,1j i T x x a a i j N ==-≤≤≤记T 的元素个数为()P T ．(1)若数列:A 1，1，3，2，求集合T ，并写出()P T 的值；(2)若A 是递增数列，求证：“()1P T N =-”的充要条件是“A 为等差数列”；(3)若23N =，数列A 由1，2，3，…，11，22这12个数组成，且这12个数在数列A 中每个至少出现一次，求()P T 的最大值．15．已知递增数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足211,441n n a S n a =-+=，设11n n n b a a +=，*n ∈N ，且数列{}n b 的前n 项和为n T ．(1)求证：数列{}n a 为等差数列；(2)试求所有的正整数m ，使得222121m m m m m a a a a a ++++-为整数；(3)若对任意的*N n ∈，不等式118(1)n n T n λ+<+-恒成立，求实数λ的取值范围．16．若无穷数列{}n a 的各项均为整数．且对于,,i j i j *∀∈<N ，都存在k j >，使得k j i j i a a a a a =--，则称数列{}n a 满足性质P ．(1)判断下列数列是否满足性质P ，并说明理由．①n a n =，1n =，2，3，…；②2n b n =+，1n =，2，3，…．(2)若数列{}n a 满足性质P ，且11a =，求证：集合{}3∣n n a *∈=N 为无限集；(3)若周期数列{}n a 满足性质P ，请写出数列{}n a 的通项公式（不需要证明）．17．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a ，b ，c 经过第n 次“和扩充”后所得数列的项数记为n P ，所有项的和记为n S ．(1)若1,2,3a b c ===，求2P ，2S ；(2)设满足2023n P ≥的n 的最小值为0n ，求0n 及03n S ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（其中[x ]是指不超过x 的最大整数，如[]1.21=，[]2.63-=-）；(3)是否存在实数a ，b ，c ，使得数列{n S }为等比数列？若存在，求,a b ，c 满足的条件；若不存在，请说明理由．18．已知函数2()x f x ax b =+，(1)1f =，1223f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．令112x =，()1n n x f x +=．(1)求数列{}n x 的通项公式；(2)证明：12112en x x x +⋅⋅⋅>．19．已知有穷数列()*12:,,,,3N A a a a N N ∈≥N 满足{}()1,0,11,2,,i a i N ∈-= ．给定正整数m ，若存在正整数s ，()t s t ≠，使得对任意的{}0,1,2,,1k m ∈- ，都有s k t k a a ++=，则称数列A 是m -连续等项数列．(1)判断数列:1,1,0,1,0,1,1A --是否为3-连续等项数列？是否为4-连续等项数列？说明理由；(2)若项数为N 的任意数列A 都是2-连续等项数列，求N 的最小值；(3)若数列12:,,,N A a a a 不是4-连续等项数列，而数列112:,,,,1N A a a a - ，数列212:,,,,0N A a a a 与数列312:,,,,1N A a a a 都是4-连续等项数列，且30a =，求N a 的值．。

初中解数学压轴题技巧

初中解数学压轴题技巧初中解数学压轴题技巧一、解数学压轴题的策略解数学压轴题可分为五个步骤：1.认真默读题目，全面审视题目的所有条件和答题要求，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，理解好题意;2.利用重要数学思想探究解题思路;3.选择好解题的方法正确解答;4.做好检验工作，完善解题过程;5.当思维受阻、思路难觅时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃.二、解动态几何压轴题的策略近几年的数学中考试卷中都是以函数和几何图形的综合作为压轴题，用到圆、三角形和四边形等有关知识，方程与图形的综合也是常见的压轴题.动态几何问题是一种新题型，在图形的变换过程中，探究图形中某些不变的因素，把操作、观察、探求、计算和证明融合在一起.动态几何题解决的策略是：把握运动规律，寻求运动中的特殊位置;在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律.通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质.简析：本题是一个双动点问题，是中考动态问题中出现频率最高的题型，这类题的解题策略是化动为静，注意运用分类思想.三、巧用数学思想方法解分类讨论型压轴题数学思想和方法是数学的灵魂，是知识转化为能力的桥梁 .近几年的各省市中考数学试题，越来越注重数学思想和数学方法的考查，这已成为大家的共识，为帮助读者更好地理解和掌握常用的基本数学思想和数学方法解初中数学压轴题的方法和技巧代数与几何有机结合，掌握解题策略中考压轴题主要体现在综合运用方程(组)、不等式、三角形、四边形、圆、函数知识上，对于这些内容，学生要做到一题多解、多题一解，将代数、几何知识融会贯通，会用代数的观点分析几何问题，用代数方法(方程、不等式、函数等)解决几何问题。

会从几何的角度理解代数问题，寻找几何基本图形，通过数形结合，将归纳、类比、化归、分类等方法运用到解题过程中。

平常学习中要善于归纳、总结，避免盲目的机械重复，这样我们就能找到解决问题的切入点!做好整体分析和思考，善于总结压轴题中蕴含的知识点做压轴题必须要进行全局性分析，对压轴题中蕴含的数学知识点进行剖析。

广东高考数列压轴试题训练和分析

广东高考数列压轴试题训练和分析数列压轴题目：一、通过递推公式,有的数列可以通过构造新数列的方法,构造出一个我们一个较熟悉的数列,从而求出通项公式。

（这也是一种化归能力的体现）.二、通过递推公式，有的数列题目虽不能求出通项公式,但我们可以研究其隐含的性质如单调性等来解决问题.三、证明数列不等式的方法：（1）放缩法：虽然技巧性较强,但多数均是一些常用的放缩手段.此类问题考查了学生的灵活性与分析问题及运用知识解决问题的能力.也正为此,这种类型的题目越来越受到高考命题者的青睐。

（2）数学归纳法（3）反证法（4）其他四、不等式的放缩法证明：（1）通过条件和结论感受放缩法的技巧和操作过程（2）重点是方法和技巧的积累（3）信心的积累也很重要典型例题例1、已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n nnn b b b T a b +++==21,2，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值；（3）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a n对一切*N n ∈均成立的最大实数p .例2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*n N ∈，点,n S n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭都在函数()2na f x x x=+的图象上．（Ⅰ）求123,,a a a 的值，猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明；（Ⅱ）将数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（1a ），（2a ，3a ），（4a ，5a ，6a ），（7a ，8a ，9a ，10a ）；（11a ），（12a ，13a ），(14a ，15a ，16a ），（17a ，18a ，19a ，20a ）；（21a ），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{}n b ，求5100b b +的值；（Ⅲ）设n A 为数列1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项积，是否存在实数a ，使得不等式31()2n n n a A a f a a++<-对一切*n N ∈都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．例3、已知点列()0,n n x A 满足：1110-=∙+a A A A A n n ，其中N n ∈，又已知10-=x ，111>=a x ，.(1)若()()*+∈=N n x f x n n 1，求()x f 的表达式；(2)已知点B()0a ，，记()*∈=N n BA a n n ，且n n a a <+1成立，试求a 的取值范围；(3)设（2）中的数列{}n a 的前n 项和为n S ，试求：aa S n --<21。

九年级数学下册常考【压轴题】类型+解题思路

九年级数学下册常考【压轴题】类型+解题思路中考数学常考压轴题类型1、线段、角的计算与证明中考的解答题一般是分两到三部分的。

第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。

第二部分往往就是开始拉分的中难题了。

对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。

2、一元二次方程与函数在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。

几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。

相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。

中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。

一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。

但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合。

3、多种函数交叉综合问题初中数学所涉及的函数就一次函数，反比例函数以及二次函数。

这类题目本身并不会太难，很少作为压轴题出现，一般都是作为一道中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的掌握。

所以，在中考中面对这类问题，一定要做到避免失分。

4、列方程(组)解应用题在中考中，有一类题目说难不难，说不难又难，有的时候三两下就有了思路，有的时候苦思冥想很久也没有想法，这就是列方程或方程组解应用题。

方程，可以说是初中数学当中最重要的部分，所以也是中考中必考内容。

从近年来的中考来看，结合时事热点考的比较多，所以还需要考生有一些生活经验。

实际考试中，这类题目几乎要么得全分，要么一分不得，但是也就那么几种题型，所以考生只需多练多掌握各个题类，总结出一些定式，就可以从容应对了。

5、动态几何与函数问题整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。

而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。

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公式为３ｘ２例３：各项均为正偶数的数列ａ。，ａ，ａ，ａ中，前三项依次成公差为ｄ（ｄ＞０）的等差数列，后ｉ项依次成公比为ｑｉｆ￣Ｊ等比数列．：￣ａ４－ａ。＝８８，则ｑ的所有可能的值构成的集合为
于是，猜￣ｌｊａ（ｎ＋１）・“ ～．由于第ｎ行的数从左到右排列２
＝
ｎ
＋２ｄ）＝（ａ１＋ｄ）（ａ１＋８８），整理：
用“ ａ＞Ｏ ” 而不用“ ａ。 ≥２ ” 的好处）．）￣１）２（ｄ－２２）（３ｄ一８８）＜Ｏ，１ｆ０２２＜ｄ＜８８
解析：依题设，有ｂ＋。－ｂ＝ａ：一ａ＝１，从而数列｛ｂ｝是１．２２￣酋
项，１为公差的等差数列．同理可得，｛ａ）是以１为首项，１为公差的等差数列．
中矩题，难度亦较大，一般地靠猜或用特殊化手段是不易解决的．笔者探究了近几年江苏十三大市各模考中的数列压轴题．现成就此拙文．以方便广大师生交流．例１：如图１是一个数表，第ｌ行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方．得到下一行．数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第ｌ３行第１０个数为．
变式２：已知数列（ａ｝，（ｂ）满足ａ．＝１，ａ２＝２，ｂｌ＝２，且对任意的正整数ｉ，ｊ，ｋ，１，当ｉ＋ｊ－ｋ＋ｌ时都有ａ．ｂ．＝ａｋｂ，记ｃ＝
图ｌ
解法１：记第ｎ行第ｍ个数为ａ，ｍ．为了得到ａ。。，则第１行
２０１５年第４４期考试周千ｑ
一
类数列压轴题
王东阳
（沭阳如东中学，江苏沭阳
的求解探究
２２３６００）
在江苏高考数学试卷中，填空题共有ｌ４道，其中基础题大致５ —７道，中档题有５ —７道，每年高考中总有两道压轴题，亦即把关题。在此类问题中，数列又占有很大的比重这部分习题直接影响着考生能否考入一流大学．这些压轴题并非中规
必须写满２２个数．观察可得：ａｌ＋ａｔＬｍ＝２（ａＩ２．Ｉ＋ａｌ２＝２（ａｌｌｌｌ＋ａｕ１２）｜１）
，，
弋／
是
— —
丁
．
再
一
而
ａ２
：一
，
，则数列ｃ｝的通项公式
故ｂ：２．同理，ａ：２，通项
１２３４５６７ … ３５７９ｌ１１３ …
所以，ＹＯ｛ａ＋ｂ｝是以３为首项，２为公差的等差数列．
所以，丽１￣（ａｉ＋ｂ１）＝丽１（２０１１￣３＋
，
＞０（注意体会这里
成公差为２的等差数列．故第１３行第１０个数为：１４ × ２ＩＩ＋９ × ２
：２．
所以ｄ的所有可能值为
３
解法３：记第ｎ行的第１个数为，数列ｆａｎ｝的前ｎ项和为Ｓ，
１＝… ＝２。
略解由ａ２ｂ：ａｂｎ＋Ｉ，得ｂｎ＋ｌ
（ａＪｌ＋ａｌ２２）＝２３ × ２。工．
ｏ＝２３×２１２另一方面，ｌ３ｌｌ。＝ｌ＋９Ｘ２１２所以，ａｌ３ｌｌ＋ａ１３１联立
．
一
解法２：记第ｎ行的第１个数为ａ
ｌ２３４５
解析：设ａｌ，ａｌ＋ｄ，ａ￣＋２ｄ，ａ，＋８８，其中ａｌ，ｄ均为正偶数，则（ａｌ
ａ．，＝ｚ × ÷ ３＝３ × ｌ８＝４ × ２２Ｏ＝５ × ４４８＝６ × ８
是
．，
。
．
．
８１２１６２０２４ … ２Ｏ２８３６４４ … ４８６４８０．．．
略解：依题设，有ａ一ｂｊ＝ａｉ — ｂ于是ａ＋ｎ＝＋ｂｊ，所以ａ＋ｎ：３，
∑（ａ。＋ｂ）＝３．
２０１３．
＝
变式１：已知数列｛ａ），｛ｂｌ满足ａ＝１，ａ２＝２，ｂ。＝２，且对任意的
正整数ｉ，Ｊ，ｋ，１，当ｉ＋ｊ－ｋ＋１时都有ａｌ－ｂ￣＝ａｋ－ｂｌ，则一（ａ－ｂ．）的值
则ａＪ — Ｓ＝２ “