数学模拟南师大(数学之友2)
江苏省南京师范大学苏州实验学校2025届高考仿真模拟数学试卷含解析
江苏省南京师范大学苏州实验学校2025届高考仿真模拟数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线y bx a =+近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )A ．线性相关关系较强，b 的值为1.25B ．线性相关关系较强，b 的值为0.83C ．线性相关关系较强，b 的值为－0.87D ．线性相关关系太弱，无研究价值2．已知集合{}{}3,*,2,*nM x x n N N x x n n N ==∈==∈，将集合M N ⋃的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列{}n c ，则12335...c c c c ++++=（ ） A ．1194B ．1695C ．311D ．10953．已知双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2214x y -=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为( )A ．2214y x -=B ．221520y x -=C ．221205x y -=D ．2214x y -=4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为F ，点,A B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F 且交C 的左支于,M N 两点，若|MN|=2，ABF ∆的面积为8，则C 的渐近线方程为（ ）A ．3y x =B ．33y x =± C ．2y x =±D ．12y x =±5． “2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--（α为常数）为幂函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 6．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．7．设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩ ,则(5)f =( )A ．10B ．11C ．12D ．138．设集合{}2A x x a =-<<，{}0,2,4B =，若集合A B 中有且仅有2个元素，则实数a 的取值范围为A ．()0,2B ．(]2,4C ．[)4,+∞D ．(),0-∞9．函数()()241xf x x x e =-+⋅的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知集合{}2(,)|1A x y y x ==-，{}(,)|2B x y y x ==，则AB 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．011．已知双曲线2222:10,0()x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为12A A 、，点P 是双曲线C 上与12A A 、不重合的动点，若123PA PA k k =， 则双曲线的离心率为( )A ．2B ．3C ．4D ．212．函数()xf x e ax =+（0a <）的图像可以是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
数学模拟南师大(数学之友2)
2021高考数学模拟试题（2）南师大《数学之友》数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 参考公式：球体的体积公式：V ＝334R π，其中 R 为球体的半径．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合},02/{2R x x x x M ∈=+=，},02/{2R x x x x N ∈≤-=， 则=N M ▲ ．2．已知复数z 满足z3＋2i＝i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为 ▲ ．3．某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩的频率分布直方图如图所示．成绩分组为[50，60)，[60，70)，…，[90，100]，则在本次竞赛中，得分不低于80分的人数为▲．4．在标号为0，1，2，4的四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为 奇数的概率是▲ ．5．运行如图所示的流程图，则输出的结果S 是▲．5060 70 80 90 100成绩(第3题)6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 15＝30，a 7＝1，则S 10的值为▲________． 7．已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的 解集为▲．8．在直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 23＝1的左准线为l ，则以l 为准线的抛物线的标准方程是 ▲ ．9．四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥平面ABC ，且1cm AB BC CD ===，则四面体ABCD 的外接球的表面积为▲2cm .10. 已知0πy x <<<，且tan tan 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -=▲.11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：20x y +=与圆C ：22()()5x a y b -+-=相切， 且圆心C 在直线l 的上方，则ab 的最大值为 ▲．12．正五边形ABCDE 的边长为3AE AC ⋅的值为 ▲．13．设0a ≠，e 是自然对数的底数，函数2,0,(),0x ae x x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩有零点，且所有零点的和不大于6，则a 的取值范围为 ▲ ．14．若对任意实数x 和任意θ∈[0，π2]，恒有(x +2sin θcos θ)2+(x +a sin θ+a cos θ)2≥18， 则实数a 的取值范围是▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，开始S ←2，i ←1 i ≥201811S S←-i ←i +1结束输出S YN（第5题）请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且(,)62ππα∈.将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). （1）若113x =，求2x ； （2）分别过A ，B 作x 轴的垂线，垂足依次为C ，D ， 记△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2，若122S S =， 求角α的值. .16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，BC =BB 1，D 为AB 的中点. （1）求证：BC 1∥平面A 1CD ； （2）求证：BC 1⊥平面AB 1C .17．(本小题满分14分)某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为nE cv T=，其中v为探测器在静水中行进时的速度，T为行进时的时间（单位：小时），c为常数，n为能量次级数．如果水的速度为4 km/h，该生物探测器在水中逆流行进200 km．（1）求T关于v的函数关系式；（2）(i)当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量；(ii)当能量次级数为3时，试确定v的大小，使该探测器消耗的能量最少．18．(本小题满分16分)如图，椭圆22:143x yC+=的右焦点为F，右准线为l，过点F且与x轴不重合的直线交椭圆于A，B两点，P是AB的中点，过点B作BM⊥l于M，连AM交x轴于点N，连PN.（1）若165AB=，求直线AB的倾斜角；（2）当直线AB变化时，求PN长的最小值.19．(本小题满分16分)设函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ，其图象与x 轴交于1(0)A x ，，2(0)B x ，两点，且x 1＜x 2． （1）求a 的取值范围； （2）证明：0f '<（()f x '为函数()f x 的导函数）； （3）设点C 在函数()y f x =的图象上，且△ABCt =， 求(1)(1)a t --的值．20．(本小题满分16分)已知数列{n a }满足*111,||,.nn n a a a p n N +=-=∈（1）若{n a }是递增数列，且12,3,23a a a 成等差数列，求p 的值； （2）若12p =，且{21n a -}是递增数列，{2n a }是递减数列，求数列{n a }的通项公式．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题．．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，圆O 的直径AB ＝8，C 为圆周上一点，BC ＝4，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，求线段AE 的长．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 x 的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及对应的一个特征向量．A(第21题A)C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知点P 是曲线C ：⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x （θ为参数，πθπ2≤≤）上一点，O 为原点．若直线OP 的倾斜角为3π，求点P 的直角坐标．D ．选修4—5：不等式选讲已知实数x ，y ，z 满足x + y + z = 2，求22232z y x ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某小组共10人，利用暑期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3， 4，现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A ，求事件A 的发生的概率； （2）设X 为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）在集合{A =1，2，3，4，…，2n }中，任取m （m n ≤，m ，n ∈N *）元素构成集合m A ．若m A 的所有元素之和为偶数，则称m A 为A 的偶子集，其个数记为()f m ；若m A 的所有元素之和为奇数，则称m A 为A 的奇子集，其个数记为()g m ．令()()()F m f m g m =-． （1）当2n =时，求(1)F ，(2)F ，的值； （2）求()F m ．。
2021届江苏省南京师范大学高三下学期二模数学试题(解析版)
2021届江苏省南京师范大学高三下学期二模数学试题一、单选题1．已知集合(){}214,A x x x R =-<∈，{}2,1,0,1,2B =--，则A B =（ ） A ．1,0,1,2B ．{}0,1,2C ．{}0,1D ．{}1,2【答案】B【分析】先化简集合A ，再求交集，即可得出结果.【详解】(){}{}214,13A x x x R x x =-<∈=-<<，{}2,1,0,1,2B =--，因此{}0,1,2A B =. 故选：B.2．若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12z i =-，则复数12z z =（ ） A ．1- B ．1C ．3455i -+D ．3455-i【答案】C【分析】根据1z ，2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，可得22z i =--，根据复数除法运算法则可得结果.【详解】因为12z i =-，1z ，2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称， 则22z i =--，所以()()212222443434255555i i z i i i i i z i --+--+--+=====-+-- 故选：C .【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的几何意义，属于基础题. 3．已知命题p ：x R ∀∈，0x x +≥，则（ ） A ．p ⌝：x R ∀∈，0x x +≤ B ．p ⌝：x R ∃∈，0x x +≤ C ．p ⌝：x R ∃∈，0x x +< D ．p ⌝：x R ∀∈，0x x +<【答案】C【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行否定即可得答案.【详解】解：因为全称命题的否定为特称命题，所以命题p ：x R ∀∈，0x x +≥的否定为：p ⌝：x R ∃∈，0x x +<. 故选：C.4．水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为2cm 的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成某饰品，则该饰品的表面积为（单位：cm 2）（ ）A ．123+B ．1643+C ．1233+D ．1633+【答案】A【分析】截去8个四面体后，还剩6个正方形，8个正三角形，只需求出对应面边长，即可求解【详解】设截去8个四面体后，该几何体棱长为a ，则有22112a +=， 此时，该几何体表面由8个正三角形和6个正方形构成，6个正方形的面积为：62212，8个正三角形面积为：23823=123+故选：A5．2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动.市民可以通过济南地铁APP 抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为 A ．16B ．13C ．23 D ．56【答案】D【分析】可以找事件的反面，即小王和小李都被选中的概率，然后用1减去，得到结果.【详解】设小王和小李都被选中为事件M ，则()16P M =，则小王和小李至多一人被选中的概率为15166-=，故选D. 【点睛】对于至多，至少之类的概率题，可以找其反面概率，然后用1减去后得到结果，古典概型.属于简单题.6．在直角三角形ABC 中，,22ACB AC BC π∠===，点P 是斜边AB 上一点，且BP =2PA ，则CP CA CP CB ⋅+⋅=（ ） A ．4- B ．2- C ．2 D ．4【答案】D【分析】如图所示：以CB 为x 轴，CA 为y 轴建立直角坐标系，计算得到答案. 【详解】如图所示：以CB 为x 轴，CA 为y 轴建立直角坐标系，则()0,2A ，()2,0B ，24,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()()242484,0,2,2,04333333CP CA CP CB ⎛⎫⎛⎫⋅+⋅=⋅+⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.【点睛】本题考查了向量的数量积的计算，建立直角坐标系可以简化运算，是解题的关键.7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，A ，B 为双曲线的左､右顶点，渐近线上的一点P 满足OP OF =，且3APB π∠=，则双曲线的离心率为（ ）A 3B 7C 21D 23【答案】C【分析】由双曲线的渐近线方程和两点的距离公式，求得点P 的坐标和,PA PB AB ，在APB △中，利用余弦定理，求得,a b 的关系式，再由离心率公式，计算即可求解.【详解】由题意，双曲线2222:1x y C a b-=，可得(,0),(,0),A a B a OP OF c -==，设(,)P m n 在渐近线0bx ay -=上，且点P 在第一象限内，由2220bm an m n c -=⎧⎨+=⎩，解得,m a n b ==，即点(,)P a b ，所以,2PA PB b AB a ===，在APB △中，由余弦定理可得2222222cos 2PA PB ABAPB PA PB+-∠==⋅12==，可得2243a b =，即b a =所以双曲线的离心率为c e a ==. 故选：C.【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.8．已知(),0,αβπ∈，αβ≠，若cos 2cos e e αβαβ-=-，则下列结论一定成立的是（ ）A ．cos cos αβ>B ．cos cos αβ<C ．sin sin αβ>D ．sin sin αβ<【答案】D 【分析】由02πβ<<时，cos 2cos cos cos e e αβαβαβ-=-<-，构造函数()cos x f x e x =-，可判断()f x 在(0,)π上单调递增，从而有2παβ<<，当2πβ=时，可得2παβ==，不合题意，由2πβπ<<时，则cos 2cos cos cos e e αβαβαβ-=->-，可得2παβ>>，从而可得sin sin αβ< 【详解】解：当02πβ<<时，则cos 2cos cos cos e e αβαβαβ-=-<-，所以cos cos e e αβαβ-<-，令()cos x f x e x =-，则'()sin 0x f x e x =+>， 所以()f x 在(0,)π上单调递增，所以2παβ<<，所以sin sin αβ<；当2πβ=时，则cos 2cos cos cos e e αβαβαβ-=-=-，所以2παβ==，不合题意；当2πβπ<<时，则cos 2cos cos cos e e αβαβαβ-=->-，所以cos cos e e αβαβ->-，所以2παβ>>，所以sin sin αβ<，综上可得sin sin αβ<， 故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查由函数的单调性的应用，考查三角函数的应用，解题的关键是分02πβ<<和2πβπ<<，利用放缩法对cos 2cos e e αβαβ-=-变形，然后构造函数()cos x f x e x =-，利用导数判断其在(0,)π上单调递增，考查转化思想和计算能力，属于较难题二、多选题9．已知0a >，0b >，且221a b +=，则（ ）A ．a b +≤B ．1222a b -<<C ．221log log 2-D ．221a b ->-【答案】ABD【分析】根据已知条件，利用基本不等式可以证明A 正确；根据已知条件，求得,a b 的取值范围，结合不等式的基本性质和指数函数的单调性判定BD ；利用对数函数的单调性对C 进行等价转化，通过举例可以否定C.【详解】()()()2222222,2,2a b ab a b a b a b +≥∴+≥+∴+≤，又0,0,a b a b >>∴+≤故A 正确；0a >，0b >，且221a b +=，01,01,11,a b a b ∴<<<<∴-<-<∴1222a b -<<，故B 正确；2221a b b ->->-,故D 正确；C 等价于21log 2-，即2211log ,log 122a b b a ≥-≥-，等价于12ab ≥,但当34,55a b ==时，满足条件0a >，0b >，且221a b +=，121252ab =<,故C 错误； 故选：ABD .【点睛】本题考查不等式的基本性质，基本不等式，涉及指数对数函数的单调性，属中档题.关键是要熟练掌握不等式的基本性质和基本不等式，掌握指数对数函数的单调性.注意使用等价分析法，举反例否定法进行判定.10．引入平面向量之间的一种新运算“⊗”如下：对任意的向量()11,m x y =，()22,n x y =，规定1212m n x x y y ⊗=-，则对于任意的向量a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A ．a b b a ⊗=⊗ B ．()()a b a b λλ⊗=⊗ C ．()()a b c a b c ⋅⊗=⊗⋅ D ．||||||a b a b ⋅≥⊗【答案】ABD【分析】根据坐标运算计算出每个等式等号左右两边的值，由此判断出AB 是否正确；理解C 选项中“”的含义，由此可判断是否正确；将不等号两边同时平方结合坐标形式下向量的模长公式，采用作差法判断是否正确.【详解】A ．因为12122121,a b x x y y b a x x y y ⊗=-⊗=-，所以a b b a ⊗=⊗，故正确； B ．因为()()()()()12121212a b x x y y x x y y a b λλλλλ⊗=-=-=⊗，故正确；C ．()()()()23231212,a b c x x y y a a b c x x y y c ⋅⊗=-⊗⋅=-，此时()()a b c a b c ⋅⊗=⊗⋅不恒成立，故错误；D ．因为()(2222222222112121221||||a b x x x y y x y x y ⋅==+++，2222212121212||=2a b x x y y x x y y ⊗+-，所以()()2222222122112121221||||||20a b a b x y x y x x y y x y x y ⋅-⊗=++=+≥， 所以()22||||||0a b a b ⋅-⊗≥，且||||0a b ⋅≥，||0a b ⊗≥，所以||||||a b a b ⋅≥⊗，故正确， 故选：ABD.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解新运算的运算方法，将其与坐标形式下向量的数量积公式区分开来，通过坐标运算达到判断的目的.11．某港口一天24h 内潮水的高度S （单位：m ）随时间t （单位：h ，0≤t ≤24）的变化近似满足关系式5()3sin()126S t t ππ=+，则下列说法正确的有（ ）A ．()S t 在[0，2]上的平均变化率为34m/h B ．相邻两次潮水高度最高的时间间距为24h C ．当t ＝6时，潮水的高度会达到一天中最低 D ．18时潮水起落的速度为8πm/h 【答案】BD【分析】利用导数的概念及几何意义、求导法则，逐个判断选项即可【详解】由题意，对于选项A ，()5303sin62S π==，()523sin 20126S ππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭， 所以()S t 在[0，2]上的平均变化率为()()3020322024S S --==--m/h ，故A 选项错误； 对于选项B ，相邻两次潮水高度最高的时间间距为一个周期，而22412T ππ==h ，故B 选项正确；对于选项C ，当t ＝6时，()563sin 63126S ππ⎛⎫=⨯+=≠- ⎪⎝⎭， 所以潮水的高度会达到一天中最低为错误说法，即C 选项错误； 对于选项D ，()553os os 126124126S t c t c t ππππππ⎛⎫⎛⎫=+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'， 所以()518os 1841268S c ππππ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭'， 则选项D 正确；综上，答案选BD . 故选：BD【点睛】关键点睛：解题关键在于利用导数的概念及几何意义、求导法则，求出题中函数的单调性、周期和最值，进而判断选项，属于基础题12．已知数列{}n a 满足：111 ,1n n n a a a a +=+=，设(n )l n n b a n N *=∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则下列选项正确的是ln 20. 693 ,ln3(9)1.09≈≈（ ） A ．数列{}21n a -单调递增，数列{}2n a 单调递减 B ．+1ln 3n n b b +≤C ．2020693S >D ．212n n b b ->【答案】ABC【分析】由给定条件可得2211n n n a a a ++=+，由此构造函数21()1x g x x +=+，利用导数研究其单调性而判断选项A ，利用不等式性质探求出2n a ≤可判断选项B ，由n a 的范围探求出12n n n b b b ++++的范围而判断选项C ，取特值说明而判断选项D.【详解】因11a =，11n n n a a a +=+，则11n n n a a a ++=，即2211n n na a a ++=+， 令21()(0)1x g x x x +=>+，则21()0(1)g x x '=>+，()g x 在(0,)+∞上单调递增， 点2,()n n a a -与2)(,n n a a +(,3)n N n *∈≥是函数()g x 图象上的两点，于是有220(3)n nn n a a n a a +-->≥-，则2{}n a ，21{}n a -都单调，又11a =，则234352,,23a a a ===，即13a a <，24a a >，所以21{}n a -单调递增，2{}n a 单调递减，A 正确；显然0n a >，1111n na a +=+>，而11a =，即,1n n N a *∀∈≥，则101na <≤，112n a +<≤， 于是12n a ≤≤，则有113n n n a a a +=≤+，所以111ln ln ln()ln3n n n n n n b b a a a a ++++=+=≤，B 正确；112122ln ln ln ln()n n n n n n n n n b a a a a a a b b +++++++++=+=，而121212131n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++=⋅⋅=+≥+， ln 0n n b a =≥，21ln3n n n b b b +++≥+所以202020192019ln 3 1.099673739.6276933S S ≥≥⋅≈⨯=>，C 正确； 若212n n b b ->，则212212ln ln n n n n a a a a -->⇔>，而2134352,231,,a a a a ====，即212n na a ->对1n =和2n =都不成立，D 不正确. 故选：ABC【点睛】关键点睛：涉及单调性的某些数列问题，数列是一类特殊的函数，准确构造相应的函数，借助函数导数研究其单调性是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件.三、填空题13．()6312x x⎛+ ⎝的展开式中3x 项的系数是____________.(用数字作答)【答案】300【分析】求出62x⎛ ⎝展开式中的常数项和含3x 的项，分别与3x 和1相乘，即可求解.【详解】62x⎛ ⎝展开式的通项为36662166(2)2k k k k k k k T C x C x---+==⋅， 0,1,6k =，令360,42k k -==，363,22k k -==，62x⎛ ⎝展开式中，常数项为4256260T C =⋅=， 含3x 项为2433362240T C x x =⋅=，()6312x x⎛+ ⎝的展开式中3x 项系数为60240300+=.故答案为：300.【点睛】本题考查二项展开式定理，熟练掌握二项展开式通项是解题的关键，属于基础题.14．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，点P 在直线x a =上，直线PA 交椭圆于点Q ，若2AQ QP =，0AQ QF ⋅=，则椭圆C 的离心率为___________.【分析】设(,)P a m ，00(,)Q x y ，根据比值关系可得03a x =，代入可得22089y b =，由220448()()033339a a AQ QF a c y a cb ⋅=--=--=，整理即可得解. 【详解】由题意可得：(,0)A a -，(c,0)F ，设(,)P a m ，00(,)Q x y 由2AQ QP =，可得02123a a ax -+==+， 代入可得：2222()31ay a b +=，解得22089y b =， 220448()()033339a a AQ QF a c y a cb ⋅=--=--=， 整理可得：222330c ac a +-=， 所以22330e e +-=，所以e =或e =（舍）. 15．已知函数()2f x x 2ax =+，()2g x 4a lnx b =+，设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在P 点处的切线相同，当()a 0,∞∈+时，实数b 的最大值是______．【答案】【分析】由题意可得()()00f x g x =，()()00''f x g x =，联立后把b 用含有a 的代数式表示，再由导数求最值得答案． 【详解】设()00,P x y ， ()'22f x x a =+，()24'a g x x=．由题意知，()()00f x g x =，()()00''f x g x =，即2200024x ax a lnx b +=+，①200422a x a x +=，②解②得0x a =或02(x a =-舍)，代入①得：2234b a a lna =-，()0,a ∞∈+，()'684214b a alna a a lna =--=-，当140,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0b >，当14,a e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，'0b <．∴实数b 的最大值是1144b e elne ⎛⎫== ⎪⎝⎭．故答案为【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题．四、双空题16．托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC 、BD 是其两条对角线，4BD =，且△ACD 为正三角形，则△ABC 面积的最大值为___________，四边形ABCD 的面积为________________.（注：圆内接凸四边形对角互补）【分析】先利用托勒密定理得出AB 与BC 的关系，然后利用基本不等式求解出AB BC ⋅的最值，得出△ABC 面积最值，再利用11sin sin 22ABCD ABD BCD S S S AB AD ABD BC BD CBD ∆=+=⋅⋅⋅∠+⋅⋅∠求解四边形的面积.【详解】如图所示，设△ACD 的边长为a ，则根据托勒密定理可得： 4a a AB a BC =⋅+⋅，得4AB BC +=，根据基本不等式得()244AB BC AB BC +⋅≤=，当且仅当2AC BC ==时等号成立.又△ACD 为等边三角形，则3ADC π∠=，根据圆内接凸四边形对角互补得23ABC π∠=.所以△ABC 的面积121sin 4232S AC BC π=⋅⋅≤⨯=; 又因为3ABD ACD π∠=∠=，3CBD CAD π∠=∠=，所以11sin sin 22ABCD ABD BCD S S S AB AD ABD BC BD CBD ∆=+=⋅⋅⋅∠+⋅⋅∠()1sin 4323BD AB BC π=⋅⋅+=. 故答案为：3；43.【点睛】解答的关键在于根据托勒密定理得出4AB BC +=，然后利用基本不等式求出AB BC ⋅的最大值.五、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足222cos cos sin sin sin B C A A B --=-.（1）求角C ；（2）若7c =，___________________（从下列问题中任选一个作答，若选择多个条件分别解答，则按选择的第一个解答计分）. ①ABC 的面积为3ABC 的周长； ②ABC 的周长为21，求ABC 的面积. 【答案】（1）3C π=（2）①周长为18②493【分析】（1）根据同角三角函数关系和正弦定理可化简已知等式为222c b a ab --=-，从而配凑出cos C ，从而求得C ；（2）①由三角形面积公式求得ab ，结合（1）中等式可求得a b +，进而得到结果； ②根据周长，结合（1）中等式可求得ab ，代入三角形面积公式可求得结果. 【详解】（1）由222cos cos sin sin sin B C A A B --=-得：()()2221sin 1sin sinsin sin B C A A B ----=-，即222sin sin sin sin sin C B A A B --=-.由正弦定理得：222c b a ab --=-，即2221cos 22a b c C ab +-==，()0,C π∈，3C π∴=.（2）①由三角形面积公式得：11sin sin 223ab C ab π===24ab =.由（1）知：222492473a b c ab +=+=+=，11a b ∴+====，ABC ∆∴的周长为11718a b c ++=+=.②21a b c ++=，21714a b ∴+=-=，由（1）得：()22223c a b ab a b ab =+-=+-，()22223147147ab a b c ∴=+-=-=，解得：49ab =，ABC ∆∴的面积11sin 49sin 223S ab C π==⨯=. 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边、余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用等知识；关键是能够熟练利用余弦定理将a b +与ab 进行转化，属于常考题型.18．设非常数数列{}n a 满足12n nn a a a αβαβ+++=+，*n N ∈，其中常数α，β均为非零实数，且0αβ+≠.（1）证明：数列{}n a 为等差数列的充要条件是20αβ+=； （2）已知1α=，14β=，11a =，252a =，求证：数列{}()*11,2n n a a n N n +--∈≥与数列()*12n n ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭N 中没有相同数值的项.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据得出数列的等差中项公式和等差数列的通项公式，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解； （2）由（1）和求得[]21115n n n n a a a a +++--=-，得到数列{}()*1n n a a n +-∈N 为等比数列，求得数列的通项公式2116155n n n a a -+-⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，结合指数函数的单调性得到{}11n n a a +--中项均小于等于65，进而得到结论.【详解】（1）由题意，数列{}n a 满足12n nn a a a αβαβ+++=+，①充分性：若2αβ=-，则有12122n n n n n a a a a a βββ+++-+==--，可得211n n n n a a a a +++-=-，所以{}n a 为等差数列.②必要性：若{}n a 为非常数等差数列，可令()0n a kn b k =+≠，代入12n n n a a a αβαβ+++=+，可得()()()12k n b kn b k n b αβαβ++++⎡⎤⎣⎦++=+， 化简得2k k ααβ=+，即20αβ+=.因此，数列{}n a 为等差数列的充要条件是20αβ+=. （2）由1α=，14β=，11a =，252a =，可得[]21115n n n n a a a a +++--=-， 又因为21302a a -=≠，可知数列{}()*1n n a a n +-∈N 为等比数列， 所以()()11*121131525n n n n a a a a n --+--⎛⎫⎛⎫-=-=⋅∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭N ，从而有2n ≥时，113125n n n a a -+-⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，213125n n n a a ---⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，由上述两式，可得()21161255n n n a a n -+-⎛⎫-=⋅≥ ⎪⎝⎭，由指数函数的单调性可知，对于任意2n ≥，222116161655555n n n a a --+-⎛⎫⎛⎫-=⋅≤⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以数列{}()*11,2n n a a n n +--∈≥N 中项均小于等于65，而对于任意的1n ≥时，1161225n +≥+>，所以数列()*1N 2n n ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭中项均大于65，因此数列{}()*11,2n n a a n N n +--∈≥与数列()*12n n N ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭中没有相同数值的项.【点睛】数列与函数、不等式综合问题的求解策略：1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前n 项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性；2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.19．年前某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500家食品生产企业进行考核，然后通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩（单位：分），并制成如下频率分布直方图.（1）求这50家食品生产企业考核成绩的平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）及中位数a （精确到0.01）（2）该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这50家食品生产企业中随机抽取4家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在[]92,100的企业数为X ，求X 的分布列与数学期望（3）若该市食品生产企业的考核成绩X 服从正态分布()2,N μσ其中μ近似为50家食品生产企业考核成绩的平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，经计算得227.68s =，利用该正态分布，估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于90.06分的有多少家?（结果保留整数）. 附参考数据与公式：27.68 5.26()2,X N μσ-则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈.()330.9973P X μσμσ-<≤+≈【答案】（1）84.80x =，84.67a ≈；（2）分布列见解析，()2E X =；（3）79家 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质能求出这50家食品生产企业考核成绩的平均数和中位数；（2）这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有10家，其中考核成绩在[]92,100内的企业有5家，得出随机变量X 的可能取值，分别求出相应的概率，得出分布列，求得数学期望； （3）根据题意得()84.80,27.68XN ，由此能求出估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于90.06分的有多少家.【详解】（1）由题意，这50家食品生产企业考核成绩的平均数为：740.04780.12820.28860.36900.10940.06x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯980.0484.90+⨯=（分）,由频率分布图可知[]84,88a ∈内，所以()0.040.120.280.09840.5a +++⨯-=， 解得84.67a ≈分.（2）根据题意，这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有: ()500.10.060.0410⨯++=（家），其中考核成绩在[]92,100内的企业有()500.060.045⨯+=（家）， 所以X 可能取值有0，1，2，3，4则()454101042C P X C ===，()13554105121C C P X C ===，()225541010221C C P X C ===，()31554105321C C P X C ===，()454101442C P X C ===，所以X 的分布列为所以()1510510123424221212142E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）由题意得()84.80,27.68X N ，所以84.80 5.2690.06μσ+≈+=，所以()10.68270.158722P X μσ>+≈-≈，所以5000.158779⨯≈（家）， 所以500家食品生产企业质量管理考核成绩高于90.06分的有79家.【点睛】本题主要考查了平均数、中位数、离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，以及正态分布等知识的综合应用，注重考查了分析问题和解答问题的能力，以及运算、求解能力.20．如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=︒，2AC BC ==，AC 的中点为D .且1A D ⊥面ABC ，1A D（1）求证：11A B AC ⊥；（2）在线段1CC 上找一点M ，使得直线1A B 与平面11MA B 所成角的正弦值为31520. 【答案】（1）证明见解析；（2）13CM CC '=.【分析】（1）建立如图空间直角坐标系，利用直线的方向向量证明线线垂直； （2）利用空间向量法，求出平面11MA B 的法向量和直线1A B 方向向量，利用向量的夹角公式，即可得解.【详解】（1）作DE AC ⊥交AB 于点E ，分别以DE ，DC ，1DA 所在直线为x ，y ，z 轴建系()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，(13A ，(10,3C所以，(12,1,3A B =，(13AC =110330A B AC ⋅=+-=，所以11A B AC ⊥（2）设()10,3CM CC λλλ==，()112,2,0A B AB ==，(110,33A M AC CM λλ=+=设面11MA B 的一个法向量为(),,n x y z =有1110A B n A M n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ∴()22010x y y z λ+=⎧⎪⎨++=⎪⎩∴1x y y z λ=-⎧⎪+⎨=⎪⎩∴1,1,n⎛=- ⎝因为(12,1,A B =若直线1A B 与平面11MA B 13cos ,20n A B ==解得13λ=.所以当13CM CC'=时，直线1A B 与平面11MA B . 【点睛】本题考查了立体几何的线线垂直的证明，考查了求二面角的大小，有一定的计算量，属于中档题，本题的关键有：（1）建系直接利用直线的方向向量证明线线垂直；（2）求所求面的法向量并利用方程求法向量，利用向量的夹角公式求解. 21．已知函数3222()3f x x mx m x =-+(m ∈R )的导函数为()f x '． （1）若函数()()()g x f x f x =-'存在极值，求m 的取值范围；（2）设函数()(e )(ln )x h x f f x ='+'（其中e 为自然对数的底数），对任意m ∈R ，若关于x 的不等式22()h x m k ≥+在(0，+∞)上恒成立，求正整数k 的取值集合． 【答案】（1）(2,2)m ∈-（2）{1，2}．【分析】（1）求解导数，表示出()g x ，再利用()g x 的导数可求m 的取值范围； （2）表示出()h x ，结合二次函数知识求出2222()2(ln )22(ln )x x F m m e x m e x k =-+++-的最小值，再结合导数及基本不等式求出()ln x G x e x =-的最值，从而可求正整数k 的取值集合．【详解】（1）因为3222()3f x x mx m x =-+，所以22()22f x x mx m '=-+， 所以32222()()()(2)(2)3g x f x f x x m x m m x m '=-=-+++-，则22()22(2)2g x x m x m m '=-+++，由题意可知224(2)8(2)0m m m ∆=+-+>，解得(2,2)m ∈-； （2）由（1）可知，22()22f x x mx m '=-+， 所以222()222(ln )2ln 2x x h x e me x m x m =-+-+因为22222()222(ln )2ln 2x x h x e me x m x m m k =-+-+≥+ 整理得22222(ln )22(ln )0x x m e x m e x k -+++-≥，设()ln x H x e x =+，则1()0x H x e x'=+>，所以()H x 单调递增， 又因为11()1m m eH e e m m --=+->，所以存在()11,x m em x ee ---∈，使得()ln x H x e x m =+=， 设2222()2(ln )22(ln )x x F m m e x m e x k =-+++-，是关于m 开口向上的二次函数，则22min ()(ln )(ln )x x F m F e x e x k =+=+-，设()ln x G x e x =-，则1()xG x e x'=-，令1()x L x e x '=-，则21()0xL x e x '=+>，所以()G x '单调递增，因为1()202G '=<，(1)10G e '=->所以存在01(,1)2x ∈，使得0()0G x '=，即001x e x =，当0(0,)x x ∈时，()0G x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0G x '>， 所以()G x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，所以0min 00001()()ln x G x G x e x x x ==-=+， 因为01(,1)2x ∈，所以0015()(2,)2G x x x =+∈， 又由题意可知22(())0G x k -≥，所以2222min 0(())(())0G x k G x k -=-≥，解得0()k G x ≤，所以正整数k 的取值集合为{1，2}．【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数研究极值问题一般转化为导数的零点问题，恒成立问题要逐步消去参数，转化为最值问题求解，适当构造函数是转化的关键，本题综合性较强，难度较大，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养. 22．在平面直角坐标系xOy 内，已知抛物线2y x 的焦点为F ，P 为平面直角坐标系内的点，若抛物线2yx 上存在点A ，使得AF AP ⊥，则称A 为P 的一个“垂足点”.（1）若P 点有两个“垂足点”为()1,1M 和()2,4N ，求P 点的坐标；（2）是否存在P 点，使得P 点有且仅有三个不同的“垂足点”，且P 点也是双曲线22182-=y x 上的点？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）4162,129⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）存在，P 点坐标为1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭或1,32⎛⎫⎪⎝⎭或（3217()884，5132或（3217()884-5132．. 【分析】（1）设P (),s t ，根据“垂足点”的定义，应用向量垂直的坐标表示求s 、t ，即可得P 点的坐标；（2）假设存在(),P s t ，一个垂足点为()200,A x x ，由定义易得4200031044x t x x s t ⎛⎫+--+= ⎪⎝⎭，又P 有三个“垂足点”，则4231044x t x sx t ⎛⎫+--+= ⎪⎝⎭有三个不相等的实根，将其化为()()220x m x ax b -++=并展开，根据多项式相等列方程求各参数的数量关系，由点在双曲线上代入求参数s 、t 即可. 【详解】（1）设P (),s t ，由抛物线2y x 的焦点10,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且()1,1M 和()2,4N 是P 的“垂足点”，∴MF MP ⊥且NF NP ⊥，又31,4FM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,1MP s t =--，152,4FN ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2,4NP s t =--，∴()()()311041522404s t s t ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，解得4112629s t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴P 为4162,129⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）假设存在(),P s t 满足条件，设其中的一个“垂足点”为()200,A x x .由AF AP ⊥，且2001,4FA x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()200,PA x s x t =--.∴()()220000104x x s x x t ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭，即4200031044x t x x s t ⎛⎫+--+= ⎪⎝⎭.若P 有三个“垂足点”，即关于x 的方程4231044x t x sx t ⎛⎫+--+= ⎪⎝⎭有三个不相等的实根.∴方程4231044x t x sx t ⎛⎫+--+= ⎪⎝⎭可化为()()220x m x ax b -++=形式，且2240a b m am b ⎧->⎨++≠⎩， 而()()()()()224322222220x m x ax b x a m x m b ma x am mb x m b -++=+-++-+-+=.∴22220324214a m m b ma tam mb s m b t -=⎧⎪⎪+-=-⎪⎨-=-⎪⎪=⎪⎩，即32,23,43,43.4a m a a s t a b ⎧=⎪⎪-⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩若P 点在双曲线号22182-=y x 上，则2341913181624a a a ⎛⎫-⨯-⨯= ⎪⎝⎭，化简得642433361280a a a -++=，即（a 2﹣4）（4a 4﹣17a 2﹣32）＝0， 解得a ＝±2或a ＝m ＝±1或m ＝22400.a b m am b ⎧-⎨++≠⎩＞，所以存在P 点，其坐标为132⎛⎫- ⎪⎝⎭，或132⎛⎫ ⎪⎝⎭，或（3217()884，5132或（3217()884-5132． 【点睛】关键点点睛：第二问，设点坐标，根据垂足点定义结合向量垂直坐标表示得到方程4200031044x t x x s t ⎛⎫+--+= ⎪⎝⎭，根据三个垂足点知：上述关于0x 的方程的实根有三个，进而可得()()220x m x ax b -++=形式，利用多项式相等求参数.。
江苏省南京师范大学《数学之友》2016年高考数学模拟试题(1-2)(PDF)
2016高考数学模拟题(1)南师大《数学之友》一. 填空题1. 在边长为6的正三角形中，ABC 21=；AC 31AE =.AD 与BE 相交于点P ，PD PB ⋅的值为 ▲ .2. 设函数的定义域为R ，且为奇函数，当时，. 若在区间[上是单调递增函数，则的取值范围是)(x f 0>x x x x f 2)(2+−=)(x f ]21−−a ，a ▲ . 3. 已知曲线e xy =（x ∈R ，e 是自然对数的底数）在1−=x 处的切线和它在处的切线互相垂直，设0x x =)00≠x （01,44m m x +⎛⎞∈⎜⎟⎝⎠m ，是整数，则=m ▲ ． 4. 在中，角ABC ΔA ，B ，所对的边分别是，，，已知，且，当C a b c 2=b 1)cos(cos 2cos =−++C A B B c a 2+取得最小值时，最大边所对角的余弦值是___▲_____．5. 设集合，.若则实数的取值范围为}012|),{(22=−++=x y x y x A })(|),{(22y t x y x B ≥+=,B A ⊆t ▲ .6.已知函数(且n ma ax f x x−+=2)(0>a 1≠a ）,若存在实数x 使得,则的最小值为_2)()(−=−+x f x f 224n m + ▲ .二、解答题7. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(x y E a a b +=>>0)b的离心率为2，点12,33A ⎛⎞⎜⎟⎝⎠在椭圆E 上，射线与椭圆AO E 的另一交点为B ，点在椭圆(4,)P t t −E 内部，射线,AP BP 与椭圆E 的另一交点分别为.,CD （1）求椭圆E 的方程；（2）求证：CD ∥.AB8. 如图，某城市有一个五边形的地下污水管通道，四边形是矩形，其中km ,km ；△ABCDE BCDE 8=CD 3=BC ABE 是以BE 为底边的等腰三角形，5=AB km .现欲在BE 的中间点处建地下污水处理中心，为此要过点建一个“直线型”的地下水通道接通主管道，其中接口处P P MN M 点在矩形的边或CD 上.BCDE BC (1) 若点M 在边上，设∠BC θ=BPM ，用θ表示BM 和的长； NE (2) 点M 设置在哪些地方，能使点M ,平分主通道的周长？请说明理由. NABCDE9．数列的前项和为且满足}{n a n n S 11=a ，pa a n n +=+221...)3,2,1=n p 为常数，（. （1）若数列是等比数列，求实数的值；}{n a p （2）是否存在实数p ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a 1满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的值；若不存在，请说明理由.10. 设),0(,ln )(+∞∈−−=x k x x x f . （1）若求实数k 的取值范围；,0)]1([<f f （2）设函数的单调递增区间为D ，对任意给定的，均有(a 为与无关的常数），求证：的最小值为1.2)()(kx x f x g −=0>k ],0(a D ⊆k a （3）求证：在区间上有两个零点的充要条件为)(x f ），（e 0).1,1(−−∈e k理科加试11. 某班从6名志愿者中(其中男生4人，女生2人)，选出3人参加学校的义务劳动. （1）设所选3人中女生人数ξ，求ξ的分布列及数学期望； （2）求男生甲或女生乙被选中的概率；（3）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.12. 设整数，集合，是的两个非空子集.记为所有满足3≥n },,3,2,1{n P L =B A ，P n a A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对的个数. ),(B A （1）求； 3a （2）求. n a参考答案一、填空题1.答案：427. 解：根据题意为的中点，为的三分之一点，以所在的直线为x 轴，以线段的中垂线为轴建立图示的直角坐标系，则，D BC E AC BC BC y )0,3(B −233,0(P 所以)233,3(−−=.233,0(−=. 所以427PD PB =⋅.2. 答案：.31≤<a 解：因为为)(x f R 上的奇函数，所以的图形关于原点成中心对称，图形如图.)(xf 由图像可知函数在区间上为单调递增函数，所以，解得1. )x []1,1≤<a (f −⎩⎨⎧≤−−>−1212a a 33. 答案： 2.解：当时，0<x xe x xf 1)('−=，且e f 2)1('−=−，及即：1)2()(0−=−⋅e x f 021)(0>=e x f ，可以得到.当时，00>x 0>x x e xx f -1)('=所以0001)('x e x x f −=，即1)2100−=−−e ex x （，即，设，显然在02200=−+e ex e x )0(22)(>−+=x e ex e x g x )(x g ()∞+，0上单调递增，0)21(<−=e e g ，0162)43(444343>−=−=e e e e g ，所以⎟⎠⎞⎜⎝⎛∈43,420x ，所以 .2=m4. 答案：42−. 解：根据题意，B C A C A 2cos 1)cos()cos(−=−++−，化简得：，即. 因为B C A 2sin sin sin =42==ac b 24222=≥+ac c a ，当且仅当22=a ，2=c 时取等号. 又，所以角2=b A 最大，从而.42222824cos −=⋅⋅−+=A5. 答案：或3≥t 1−≤t .解：集合A 表示圆上的点，又2)1(22=++y x B ∈）（0,0Q，∴集合B 表示两条直线所组成的含有原点的对顶区域，中心为)(t x y +±=)0,(t −.因为所以圆心到直线的距离即,B A ⊆,r d ≥,22|1-t |≥因此或3≥t 1−≤t . 6. 答案：516. 解：根据题意得：，则2-22=−++−+−−n ma a n ma a x x x x 02)(2=−+++−−n a a m a a x x x x ）（，令，当且仅当2≥+=−x x a a t 0=x 时，取“=”，，即点在直线上，可以看成是点到原点的距离的平方，所以022=−+n mt t )2,n m （02=+−t y tx 224n m +)2,n m （min 224）（n m +1)124222+=+=t t tt （是增函数，当时，取得最小值2=t 224n m +516.二、解答题7. 解：（1）易得222212331,a b ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠+=,2= 解得，21a =212b =， 所以，椭圆E 的方程为：2221x y +=. （2）32,31(A Q ，32,31(−−∴B . 设，，),(11y x C ),(D 22y x 1AP P λ=uuu r uuu r C ，2BP PD λ=uuur uuu r ，其中， ）（，0,121∈λλ则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−+=−−+=11111132)1(31)4)(1(λλλλt y t x 代入椭圆方程并整理得，1t 181121−λ=⋅+λ）（,同理得,1t 181222−λ=⋅+λ）（，相减得0)1t 18(-221=−⋅λλ）（. 1t 182<Q ,∴12λλ=，从而CD ∥.AB8. 解：（1）当点M 在边上，设∠BC θ=BPM 43tan 0(≤≤θ， 在△Rt BPM 中，θθtan 4tan =⋅=BP BM . 在△中,不妨设∠PEN α=PEN ,其中54cos ,53sin ==αα，则θαθπsin )sin(NE PE =−−， 即3tan 4tan 20cos 3sin 4sin 20)sin(sin 4+=+=+=θθθθθαθθNE ；（2）当点M 在边上，由BC EN DE CD MC AN AB BM +++=++,; 2=−NE BM 即13tan 4tan 10tan 2=+−θθθ；即,解得03tan 8tan 82=−−θθ.4102tan ±=θQ 434102tan 04102tan >+=<−=θθ，与43tan 0≤≤θ矛盾，点只能设在CD 上. 当点M 在边上，设中点为Q ,由轴对称不妨设CD CD M 在CQ 上，此时点在线段N AE上；设∠ θ=MPQ )34tan 0(≤≤θ，在△MPQ 中，Rt θθtan 3tan =⋅=PQ MQ ； 在△中，不妨设∠PAN β=PAE ，其中;53cos ,54sin ==ββ则θβθπsin )sin(AN PA =−−，即4tan 3tan 15cos 4sin 3sin 15)sin(sin 3+=+=+=θθθθθβθθAN；由EN DE QD MQ AN BA CB MC +++=+++,得，即MQ AN =4tan 3tan 15tan 3+=θθθ；解得0tan =θ或31tan =θ； 故当，或者4=CM 33134=×−=CM 时，符合题意. 答：当点M 位于中点Q 处，或点CD M 到点C 的距离为时，才能使点km 3M ,平分地下水总通道的周长.N ABCDE9. （1）若数列是等比数列，则.}{n a 3122a a a = 因为，，所以11=a p a a n n +=+221p p a a +=+=22212，p p a a 222223+=+=.所以,)1(1212p p +×=+（，. 0=p （2）当时，由（1）及，所以0=p 11=a 11=n a ...)3,2,1=n （，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a 1是一个无穷等差数列.所以当0=p ，满足题意.当时，因为，0≠p 11=a p a a n n +=+221，即21pa a n n =−+.下面用反证法证明，当，从数列0≠p ⎩⎨⎧⎭⎫n a 1不能取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列.假设存在，从数列00≠p ⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a 1可以取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列.不妨记为，设数列的公差为d . }{n b }{n b （1）当时，，00>p ...)3,2,1(0=>n a n 所以，数列是各项为正数的递减数列，所以}{n b 0<d . 因为，，...)3,2,1()1(1=−+=n d n b b n 所以,当db n 11−>,即d bn 11−>−，即时，，这与矛盾.1)1b d n −<−（0)1(111=−<−+=b b d n b b n 0>n b （2）当时，令00<p 021200<−+p n p ，解得，021p n −>， 当021p n −>时，恒成立， 0<n a 所以，数列是各项为负数的递增数列，所以,. }{n b 0>d 因为，...)3,2,1()1(1=−+=n d n b b n >−+=d n b b n )1(10)11(11=−−+d db b ，与矛盾.0<n b综上所述，是唯一满足条件的0=p p 的值.10.（1）即,0)]1([<f f ,0)1(<−−k f 即,0)1()1ln(<−−−−−−k k k 即 ,1)1ln(−<−−k 所以).1,1(−+−∈ee k （2）0211)('>−−=kx xx g 得注意到,0122<−+x kx ,48110,0k k x x ++−<<>得所以的单调递增区间为)(x g .48110），（k k ++−若10<<a ，则令a kk>++−4811，得,212a a k −<这说明当给定的221a ak −<时，不成立. ],0a D （⊆所以，又时，1≥a 1=a 0148114811],0(2≥⇔+≤+⇔≤++−⇔⊆k k k kka D ，这显然正确，所以满足条件，故a 的最小值为1. 1=a （3）设),,0(,ln )(e x k x x x f ∈−−=则,111)('xx x x f −=−=所以在上单调递增，在上单调递减，)(x f )1,0(),1(e k e e f k f −−=−−=1)(,1)1(,因此在区间上有两个零点的必要条件为，即)(x f ),0(e ⎩⎨⎧<>0f(e)0f(1)11−<<−k e .当，即时，因为，结合在上单调递增，得在区间在上存在唯一零点，而，及在上单调递减，得在区间上存在唯一零点，故在区间上有两个零点的充要条件为.⎩⎨⎧<>0f(e)0f(1)11−<<−k e 1,0)(<<−=k k k e e e f )(x f )1,0()(x f )1,0(⎩⎨⎧<>0f(e)0f(1))(x f ),1(e )(x f ),1(e )(x f ),0(e 11−<<−k e 故所求的k 的取值范围为. )1,1(−−e理科加试11. 解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，依题意得：P (ξ=0)= C 34 C 36 =15 ，P (ξ=1)= C 34C 12 C 36 =3 5 ，P (ξ=2)= C 14C 22 C 36 =1 5.∴ ξ的分布列为∴ E ξ=0×15+1×3 5+2×1 5 =1.（2）设“男生甲、女生乙都不被选中”为事件C ，则P (C )= C 34 C 36 =15∴所求概率为P (C —)=1-P (C )= 45 .（3）设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，则 P (A )= C 25 C 36=12 ，P (AB )= C 14 C 36 =1 5，∴在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为P (B |A )= P (AB ) P (A ) =25.12. 解：（1）当3=n 时，，其非空子集为：{1}，{2}，{3}，，，，，则所有满足题意的集合对为({，，，，共5对，所以}3,2,1{=P 2}{1，3}{1，3}{2，3}2{1，，),(B A })2{},1})3{},1({})3{},2({})32{},1({，})3{},21({，53=a .（2）设A 中的最大数为k ，其中11−≤≤n k ，整数，则3≥n A 中必含元素k ，另元素可在1,,2,1−k L A 中，故A 的个数为：，11111012−−−−−=+++k k k k k C C C L B 中必不含元素，另元素k 可在k ,,2,1L n k ,,2,1L ++B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：, 1221−=+++−−−−−−kn k n k n k n k n C C C L 从而集合对的个数为，),(B A 11122)12(2−−−−−=−⋅k n k n k 所以，12)2(21212)1()22(1111111+⋅−=−−−⋅−=−=−−−−=−−∑n n n n k k n n n n a .2016高考数学模拟题(2)南师大《数学之友》一. 填空题1.直线l ：t y x =+与圆O ：交于点2022=+y x A ，B ，且OAB Δ的面积为整数，则所有满足条件的正整数t 的和为OAB S Δ ▲ .2. 若4,0(πθ∈，且412sin =θ，则4sin(πθ−的值为 ▲ .3. 设正三棱锥BCD A −的底面边长和侧棱长均为4，点E ,,,F G H 分别为棱AB ,,CD ,BC BD 的中点，则三棱锥FGH E −的体积为 ▲ .4.平面内四点,O A ,B ,满足C 4=OA ,52=OB ,5=OC ,0=⋅,则面积的最大值为ABCΔ ▲ .5.已知函数若关于,1,21|,12|)(⎩⎨⎧≥−<−=x x x x f x x 的函数有个不同的零点，则实数b 的取值范围是1)(2)(22++=x bf x f y 6 ▲ .6.正数数列的前n 项和为，}{n a n S 12−=n n S a ，设为实数，对任意的三个成等差数列的不等的正整数,,，不等式c m k n k n m cS S S >+恒成立，则实数c 的取值范围是 ▲ ．二、解答题7.如图，某水域两条直线型岸边和成定角，该水域中位于该角平分线上且与顶点1l 2l °120A 相距1km 的处有一固定桩.现某渔民准备经过该桩安装一直线型的隔离网（分别在和上）围出三角形的养殖区，且D BC C B ,1l 2l ABC AB 的长不超过5km ，由于条件的限制km ，a AC =]3,23[∈a ，设km ，问该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？x AB=8. 已知直线，圆:1l y x =+223:2O x y +=,直线被圆截得的弦长与椭圆l 2222:1(x y C a a b +=>>0)b的短轴长相等，椭圆的离心率2e =. （1）求椭圆的方程；C （2）过点1(0)3M −，的动直线交椭圆C 于两点,试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ,使得无论l 如何转动，以l A B 、AB 为直径的圆恒过定点？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由. T9.设)0(ln )(>−+=a x x b ax x f ，212)(x xx g +=，若直线x e y −=是曲线C：的一条切线（其中是自然对数的底数）且)(x f y =e 1)1(=f . （1）求的值；b a ,（2）设10<<<m n ，证明. )()(n g m f >10.定义：从一个数列中抽取若干项（不少于三项）按其在中的次序排列的一列数叫做的子数列.成等差（等比）的子数列叫做的等差（等比）子列.}{n a }{n a }{n a }{n a （1）记数列的前项的和为，已知，求证：数列是数列的等差子列；}{n a n n S 2n S n =}{3n a }{n a （2）设等差数列的各项均为整数，公差}{n a 0≠d ，65=a .若数列是数列的等比子列，求的值；1,,53n a a a }{n a 1n （3）设数列是各项均为实数的等比数列，且公比}{n a 1≠q .若数列存在无穷多项的等差子列，求公比所有的值. }{n a q理科加试11. 某篮球运动员每次在罚球线投篮投进的概率是0.8，且各次投篮的结果互不影响. （1）假设这名运动员投篮3次，求恰有2次投进的概率；（2）假设这名运动员投篮3次，每次投进得1分，未投进得0分；在3次投篮中，若有2次连续投进，而另外一次未投进，则额外加1分；若3次全投进，则额外加3分，记ξ为该篮球运动员投篮3次后的总分数，求ξ的分布列及数学期望)(ξE .12.设，集合}1,0,1{−=M },,3,2,1,),,,{(21n i M x x x x A i n n L L =∈=，集合中满足条件“n A m x x x n ≤+++≤L 211”(m ∈N *)的元素的个数记为.nm S （1）求，的值；22S 42S （2）当时，求证：.n m <111223+++−+<n m n n m S参考答案一. 填空题1.答案：8.解：2t d =，22022t AB −=，所以224022220221t tt t S OAB −=×−×=Δ，当或时，为整数，故所有满足条件的正整数t 的和为8. 2=t 6=t OAB S Δ2.答案：46−. 解：因为)4,0(πθ∈，所以θθcos sin <，因此434112sin 1)cos (sin 2=−=−=−θθ，所以23cos sin −=−θθ，故46)cos (sin 22)4sin(−=−=−θθπθ. 3.答案:322. 解：322)436()443(3181812=×××××==−−BCD A FGH E V V .4.答案：15.解：以,为正交基底建立平面直角坐标系（,的方向为y x ,轴的正方向），则，直线的方程为5=BC BC 0522=−+y x ，点A 在圆上，设1622=+y x )sin 4,cos 4(ααA ，则A 到直线的距离为BC 655284552sin 8cos 422=−+−≤−+=ααd ，所以1521≤⋅=Δd BC S ABC .5.答案：)2,23(−−.解：由函数的图像可得，)(x f 使得函数有个不同的零点，1)(2)(22++x bf x f =y 6必须保证方程在上有两个不同的根，0122)(2=++=bx x x g )1,0(,0840231202⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>−>+<−<b b b解得223−<<−b .6.答案:].2,(−∞解：nS 4)12+=n a （，当时，2≥n 1−−=n n n S S a 4)14)1212+−+=−n n a a （（即化简得212)1)1+=−−n n a a （（）（111+±=−−n n a a 所以21=−−n n a a 或1（舍去），令，解得−−=n n a a 1=n 11=a .所以.根据题意2n S n =222222)()(4n m n m k n m S S S c k n m ++=+=+<，又0)()(22)()(422222>+−=−++n m n m n m n m ，所以2>+knm S S S ，所以2≤c .二、解答题7. 解：根据题意，△ABC △ACD △ABD S S S =+即°⋅⋅=°⋅⋅+°⋅⋅120sin 2160sin 12160sin 121AC x AC x ，解得：1−=x x AC . 令a x x ≤−<10，解得：1−≥a ax . 又014551<−−=−−a a a a ，所以51≤≤−x a a . 令△的面积为ABC y ，则]211)1[(43143120sin 212+−+−=−⋅=°⋅⋅=x x x x AC x y .c 当21≤−a a ，即时，32≤≤a 3)22(43=+≥y ，当且仅当2=x 时取; ""=d 当21>−a a ，即223<≤a 时，令1−=x t ，]4,11[−∈a t . 再令)21(43)(++=t t t f ，)11(43)(2'tt f −=. 0)(,111'>∴>−t f a Q即在)(t f ]4,11[−∈a t 上为单调递增函数， 所以)1(43)11()(2min −=−=a a a f t f .答：当时，养殖区面积的最小值为32≤≤a 3平方公里，当223<≤a 时，养殖区面积的最小值为)1(432−a a 平方公里.8. 解：(1)由题设，可知1212322=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=b ，又2e =,a =, 所以椭圆的方程是C 2212x y +=.(2)法一：假设存在点，若直线的斜率存在，设其方程为(,)T u v l 13y kx =−， 将它代入椭圆方程，并整理，得22189)12160kx kx +−−=（.设点的坐标分别为,A B 1122(,),(,)A x y B x y ，则36492222,1++±=k k k x . 因为TA 及1122(,),(,)x u y v TB x u y v =−−=−−uu r uur 112211,,33y kx y kx =−=−所以，))(())((2121v y v y u x u x −−+−−=⋅ 9132))(31()1(2221212+++++++−+=v v u x x kv k u x x k 36)5233(4)666(222222+−+++−−+=k v v u ku k v u ， 当且仅当恒成立时，以0=⋅→→TB TA AB 为直径的圆恒过定点,T 所以22226660,0,0, 1.33250.u v u u u v v ⎧+−=⎪==⎨⎪++−=⎩解得v =此时，以AB 为直径的圆恒过定点. (0,1)T 当直线l 的斜率不存在时，l 与y 轴重合， 以AB 为直径的圆为，也过点.221x y +=(0,1)T 综上可知，在坐标平面上存在一个定点，满足条件. (0,1)T 法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是221x y +=.若直线l 垂直于轴，则以y AB 为直径的圆是2211+39x y +=（）6. 222210.1161+.39x y x y x y ⎧+==⎧⎪⎨⎨=+=⎩⎪⎩由解（）得） 由此可知所求点如果存在，只能是.T 0,1（ 事实上点就是所求点，证明如下： (0,1)T 当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时， 以AB 为直径的圆为，过点； 221x y +=(0,1)T 当直线l 的斜率存在，设直线方程为13y kx =−，代入椭圆方程， 并整理得 22189)12160k x kx +−−=（.设点的坐标分别为，则,A B 1122(,),(,)A x y B x y 12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩Q 及()()112211−=−=→→y ,x TB ,y ,x TA 112211,,33y kx y kx =−=− ()()()()()0916918123491811691634111222212122121=++⋅−++−=++−+=−−+=⋅∴→→k k kk k x x k x x k y y x x TB TA所以AB 为直径的圆恒过定点.(0,1)T 即证明了点就是所求以(0,1)T AB 为直径的圆恒过的定点. (0,1)T9.解：（1）设切点坐标为)ln ,0000x x b ax x −+（, 根据题意得，，⎩⎨⎧−+=−−=−−00000ln 11ln x x b ax x e x a 所以，.⎩⎨⎧−==00ln x e b x a 又00ln 1)1(x e x b a f −+=+== ，因为，所以. 0>a 10>x 令，)1(1ln )(>−+−=x e x x x h 11)('−=xx h ，所以在)(x h ），（∞+1为单调递减函数， 又，所以0)(=e h e x =，即，所以e x =00,1==b a . 即.x x x x f ln )(−=（2）因为x x x x f ln )(−=)10<<x （，，0ln 1ln 1)('>−=−−=x x x f 所以在上为单调递增函数；)(x f ），（10因为，所以，又10<<<m n )()(n f m f >n n n n f ln )(−=，下面证明.)()(n g n f >要证上式成立，只要证12ln 2+>−n n n n n ，即证011--ln 22<+n n n ，令)1011--ln (22<<+=n n n n n r （），0)1()1-((2222'>+=n n n n r ）， 所以在为单调递增函数，所以）n r (），（100)1((=<r n r ）， 所以011--ln 22<+n n n ，综上，命题得证.10. 证明：（1）当时，2≥n 121−=−=−n S S a n n n ，又112111−×===S a ， 所以.12−=n a n 故，当时，161323−=−⋅=n n a n 2≥n 63)1(3=−+n n a a ， 所以数列是数列的等差子列.}{3n a }{n a（2）根据题意，d d a a 26253−=−=，公比dq 266−=，所以da n 26661−⋅=.又， d n d n a a n )5(6)5(1151−+=−+=所以d n d )5(626631−+=−，即dn −+=3651. 因为d 为整数，为正整数，1n 所以或或8,11==n d 11,21==n d 6,3-1==n d ， 所以.11,8,61=n （3）所有可能的取值为-1.q 设数列为的等差子列，公差为，则，，}{k n a }{n a d 11−⋅=k k n n q a a 1111−++⋅=k k n n qa a 所以11111−⋅⋅=−−−++k k k k k n n n n n q q a a a .当1>q 时，111−≥−−+q q kk n n ，所以)1(111−⋅⋅≥−=−+q q a a a d k k k n n n .取)1(log 11−⋅+>q a d n qk ，所以d a a k k n n >−+1，即d d >，矛盾.当1<q 时，1111112)1(111−−−−−⋅<+⋅⋅≤−⋅⋅=++k k k k k k k n n n n n n n q a q q a q q a d ，取12log 1a dn qk +>，所以d a a k k n n <−+1，即d d <矛盾. 所以1=q ，又，所以. 1≠q 1−=q理科加试11. 解：（1）设X 为该运动员在3次投篮中投进的次数，则. 在3次投篮中，恰有2次投进的概率;)8.0,3(~X 384.0)8.01(8.0)2(223=−⋅⋅==C X P （2）由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6.008.02.0)0(3===ξP ,;096.0)8.01(8.0)1(213=−⋅⋅==C P ξ128.0)8.01(8.0)2(2=−⋅==ξP ;; 256.02)8.01(8.0)3(2=⋅−⋅==ξP 512.08.0)3(3===ξP .所以ξ的分布列是ξ0 1 2 3 6 P 0.008 0.096 0.128 0.256 0.512192.46512.03256.02128.01096.00008.0)(=×+×+×+×+×=ξE .12. 解：（1），.822=S 3242=S （2）根据题意，n x x x +++L 21的取值可能是m m ,1,,3,2,1−L .若k x x x n =+++L 21（），只要中有个取1或-1其余均取0即可，共有，所以 m k ≤≤1n x x x ,,,21L k kn k k k n C C C ⋅=⋅2)(12m m n n n n m C C C S 222221+++=L n n n m m n m m n n n n C C C C C C 2)1(2)1(222211221100−++−+++++<++L L )222(222221221100n m m n n n n n n C C C C +++−++++=++L L1111223)22()21(+++++−=−−+=m n n m n n ，所以命题成立.。
-度江苏省南京师范大学附属实验学校高三数学第二学期模拟试卷(为《数学之友命题》)
南京师范大学附属实验学校2008-2009第二学期模拟试卷（为《数学之友》命题）科目高三数学命题人高三备课组班级姓名得分一．填空题（每题5分，共70分）1．若(bia+)i (RbRa∈∈,)是实数,则=a．2．命题“对任意Rx∈，都有12+x≥x2”的否定是．3．设集合}32|),{(=-=yxyxA，}42|),{(=+=yxyxB，则满足BAM⊆的集合M的个数是．4.若平面向量ba与)1,1(-=的夹角是180°，且bb则,22||=等于 .5．某校有教师200人,男学生1300人,女学生1200人,现用分层抽样的方法从所有师生中取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n的值为 .6．已知函数3110log)2(2-=xxf，则(5)f的值是 .7.一个正三棱柱的三视图如右图所示，则这个正三棱柱的表面积是．8.下列程序运算后的结果是 .第7题图第8题9.若,6sin)(xxfπ=则=++++)2009()5()3()1(ffff .10.在数列{}na中，如果对任意*n N∈都有211n nn na aka a+++-=-（k为常数），则称{}na为等差比数列，k称为公差比，现给出下列命题：⑴等差比数列的公差比一定不为0；⑵等差数列一定是等差比数列；⑶若32n n a =-+,则数列{}n a 是等差比数列； ⑷若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比. 其中正确的命题的序号为______________.11.已知f (x )、g (x )都是奇函数，f (x )＞0的解集是(a 2，b )，g (x )＞0的解集是(22a ，2b)，则f (x )·g (x )＞0的解集是____ _____.12．设点O 在△ABC 的内部且满足:04=++OC OB OA ，现将一粒豆子随机撒在△ABC 中，则豆子落在△OBC 中的概率是______________13.对于非零的自然数n,抛物线1)12()(22++-+=x n x n n y 与x 轴相交于n n B A ,两点,若以|n n B A |表示这两点间的距离,则|11B A |+|22B A |+|33B A |+ ┅ +|20092009B A | 的值 等于______ ______ 14．如图所示，已知D 是面积为1的△ABC 的边AB 的中点，E 是 边AC 上任一点，连结DE ，F 是线段DE 上一点，连结BF ，设，1λ=DEDF ，2λ=AC AE ，且2121=+λλ，记△BDF 的面积为S ＝f (,,21λλ)， 则S 的最大值是 二、解答题：15. 如图A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆与x 轴正半轴的交 点，A 点的坐标为)54,53(，三角形AOB 为正三角形． （Ⅰ）求COA ∠sin ；（Ⅱ）求2||BC 的值．（14分）16.下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面.(14分)（1）请画出四棱锥S-ABCD 的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；（2）若SA ⊥面ABCD ，E 为AB 中点，求证⊥SEC 面面SCD17. 如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，a a a a a aa 2a2a 第15题图且对角线MN 过C 点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，（15分）（1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ （2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积．18.已知圆C ：224x y +=.（15分）（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B两点，若||AB =l 的方程；（2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.19. 设()2ln q f x px x x=--，（e 为自然对数的底数）且f （e ） = = qe －pe －2（ 16分）（1）求p 与q 的关系；（2）若()f x 在其定义域内为单调递增函数，求p 的取值范围； （3）设()2eg x x=且0p >，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得()()00f x g x >成立，求实数p 的取值范围。
2022年江苏省南京师大附中集团中考数学二模试题及答案解析
2022年江苏省南京师大附中集团中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若1<√a<2，则a可以是( )A. 1B. 3C. 5D. 72. 数a，b在数轴上的位置如图所示，则a+b是( )A. 正数B. 零C. 负数D. 都有可能3. 若一个扇形的半径是18cm，这个扇形围成的圆锥的底面半径是6cm，则这个扇形的圆心角等于( )A. 110°B. 120°C. 150°D. 100°4. 下列计算结果正确的是( )A. a⋅a3=a3B. a3÷a=a3C. −a2−2a2=−3a2D. (−a2)3=−a55. 如图，把平面内一条数轴x绕点O逆时针旋转角θ(0°<θ<90°)得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P是平面斜坐标系中任意一点，过点P作y轴的平行线交x轴于点A，过点P作x轴的平行线交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对(a,b)为点P的斜坐标．在平面斜坐标系中，若θ=45°，点P的斜坐标为(1,2√2)，点G的斜坐标为(8,−3√2)，连接PG，则线段PG的长度是( )A. √29B. 3√14C. √41D. 2√56. 若a，b互为相反数，m，n互为倒数，k的平方等于4，则100a+99b+mnb+k2的值为( )A. −4B. 4C. −96D. 104二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）7. 若a、b为实数，且b=√a2−1+√1−a2a+7，则a+b=______ ．8. 把10.4万写成科学记数法是______ ；−23的倒数为______ ．9. 方程3x −2x+1=0的解为______．10. 若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2−(2k+ 3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，当k=______时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．11. 某校随机抽取80名同学进行关于“创全”的调查问卷，通过调查发现其中76人对“创全”了解的比较全面，由此可以估计全校的1500名同学中，对于“创全”了解的比较全面的约有______人．12. 如图，是利用刻度尺和三角尺测得圆的直径的一种方法，从图中可知圆的直径是______cm，这样测量直径的依据是______．13. 平面直角坐标系xOy中，点A，B，C，D的位置如图所示，当k>0且b<0时，A，B，C，D四点中，一定不在一次函数y=kx+b图象上的点为______ ．14. 设A、B为自然数，且满足A11+B3=1733，A+B=______．15. 如图，菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为______ ．16. 如图，P 为反比例函数y =k x 的图象上的点，过P 分别向x 轴和y 轴引垂线，它们与两条坐标轴围成的矩形面积为2，这个反比例函数解析式为______．三、计算题（本大题共1小题，共7.0分） 17. 化简：(3a−2−1a+2)⋅(a 2−4)．四、解答题（本大题共10小题，共80.0分。
江苏省南京市南京师大附中2025届高考仿真卷数学试卷含解析
江苏省南京市南京师大附中2025届高考仿真卷数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x2．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ<D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>3．已知()()11,101,012x f x f x x x ⎧--<<⎪+⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是( )A ．{}()81,-⋃+∞B ．{}()116,12,2⎛⎤-⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦C ．{}()18,12,2⎡⎤-⋃⋃+∞⎢⎥⎣⎦D ．{}[]()321,24,-⋃⋃+∞4．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x 的值为( )A ．3B ．3.4C ．3.8D ．45．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．53π B ．43π C ．223π+D ．243π+6．设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若1243F F =则12PF PF +=（ ） A ．4B ．8C ．42D ．477．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B R = C ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅8．已知数列{}n a 中，121,2a a ==，且当n 为奇数时，22n n a a +-=；当n 为偶数时，()2131n n a a ++=+．则此数列的前20项的和为（ ）A ．1133902-+B ．11331002-+C ．1233902-+D ．12331002-+9．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( ) A ．20x =B ．20x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=10．已知集合{}23100A x x x =--<，集合{}16B x x =-≤<，则AB 等于（ ）A ．{}15x x -<< B ．{}15x x -≤< C ．{}26x x -<<D ．{}25x x -<<11．射线测厚技术原理公式为0tI I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ） （注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001） A ．0.110B ．0.112C ．0.114D ．0.11612．若复数z 满足i 2i z -=，则z =（ ） A ．2B ．3C ．2D ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017届高考数学模拟卷二(南师大)(含答案)
南师大2017高考数学模拟卷二一、填空题1． 已知集合(]2 1A =-，，[)1 2B =-，，则A B =U ▲ ． 2. 设复数z 满足(34i)50z ++=（i 是虚数单位），则复数z 的模为 ▲ ．3. 射击运动员打靶，射5发，环数分别为9，10，8，10，8，则该数据的方差为 ▲ .4． 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．5． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为 ▲ ．6． 从集合{}1 2 3 4 5 6 7 8 9，，，，，，，，中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为 ▲ ．7． 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，3x －y －3≤0，则当2x －y 取得最小值时，x 2＋y 2的值为 ▲ ．8. 已知函数[]),0(sin )(π∈=x x x f 和函数x x g tan 31)(=的图像相交于C B A ,,三点，则ABC ∆的面积为▲ .9． 在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线C ：y ＝e x 上一点，直线l ：x ＋2y ＋c ＝0经过点P ，且与曲线C 在P 点处的切线垂直，则实数c 的值为 ▲ ．（第4题）10. 如图，在ABC ∆中，→→→→====EB AE DC AD BC AC AB 21,,2,.若21-=⋅→→AC BD ，则=⋅→→AB CE ▲ ．11．已知f (x )是定义在区间[－1，1]上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝x (x －1)．则关于m 的不等式f (1－m )＋f (1－m 2)＜0的解集为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：22(1)4x y -+=上的任意一点，点Q (2a ，3a -)(a ∈R )，则线段PQ 长度的最小值为 ▲ ．13. 公比为q (q ≠1)的等比数列a 1，a 2，a 3，a 4，若删去其中的某一项后，剩余的三项（不改变原有顺序）成等差数列，则所有满足条件的q 的取值的代数和为 ▲ ．14. 设常数1>k ，函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<≤--==1,)1(,10,1)(2x kx x kf x x x x f y ，则)(x f 在区间)2,0[上的取值范围为▲ ．二、解答题15. 已知角α的终边上有一点)2,1(p ， （1）求)4tan(πα+的值；（2）求)652sin(πα+的值.16. 如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知平面⊥C C AA 11平面,ABCD 且3===CA BC AB ,1==CD AD .（1） 求证：;1AA BD ⊥（2） 若E 为棱BC 的中点，求证：//AE 平面11D DCC .17．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右准线的方程为924x =，左、右两个焦点分别为12(22,0),(22,0)F F -. （1）求椭圆E 的方程；（2）过12,F F 两点分别作两条平行直线1F C 和2F B 交椭圆E 于,C B 两点（,C B 均在x 轴上方），且12F C F B +等于椭圆E 的短轴的长，求直线1F C 的方程.18. 如图扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中AOB ∠为23π，半径OA 为1km ，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B 的观光道路，道路由圆弧AC 、线段CD 及线段BD 组成。
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2018高考数学模拟试题（2）
南师大《数学之友》
数学I
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．
4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 参考公式：
球体的体积公式：V ＝3
3
4R π，其中
为球体的半径．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在
答题纸的指定位置上）
1．已知集合},02/{2
R x x x x M ∈=+=，},02/{2
R x x x x N ∈≤-=， 则=N M ▲ ．
2．已知复数z 满足z
3＋2i
＝i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为 ▲ ．
3．某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩的频率分布直方图如图所示．成绩分组为[50，60)，[60，70)，…，[90，100]，则在本次竞赛中，得分不低于80分的人数为 ▲ ．
4．在标号为0，1，2，4的四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为 奇数的概率是 ▲ ．
0.030 0.025 0.015
频率
组距 0
50
60 70 80 90 100
成绩
(第3题)
5．运行如图所示的流程图，则输出的结果S 是 ▲ ．
6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 15＝30，a 7＝1，则S 10的值为▲________． 7．已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的 解集为 ▲ ． 8．在直角坐标系xOy 中，双曲线
x 2－
y 2
3
＝1的左准线为l ，则以l 为准线的抛物线的标准方程是 ▲ ．
9．四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥平面ABC ，且1cm AB BC CD ===，则四面
体ABCD 的外接球的表面积为 ▲ 2cm .
10. 已知0πy x <<<，且tan tan 2x y =，1sin sin 3
x y =，则x y -= ▲ .
11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：20x y +=与圆C ：22()()5x a y b -+-=相切， 且圆心C 在直线l 的上方，则ab 的最大值为 ▲ ．
12．正五边形ABCDE
的边长为AE AC ⋅的值为 ▲ ．
13．设0a ≠，e 是自然对数的底数，函数2,0,
(),0
x ae x x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩有零点，且所有零点的
和不大于6，则a 的取值范围为 ▲ ．
14．若对任意实数x 和任意θ∈[0，π2]，恒有(x +2sin θcos θ)2+(x +a sin θ+a cos θ)2
≥1
8， 则实数a 的取值范围是 ▲ ．
（第5题）
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，
请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．(本小题满分14分)
如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且(,)62ππ
α∈. 将角α的终边按逆时针方向旋转3
π
，
交单位圆于点B ，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). （1）若11
3
x =
，求2x ； （2）分别过A ，B 作x 轴的垂线，垂足依次为C ，D ， 记△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2，若122S S =， 求角α的值. .
16.（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，BC =BB 1，D 为AB 的中点. （1）求证：BC 1∥平面A 1CD ； （2）求证：BC 1⊥平面AB 1C .
17．(本小题满分14分)
某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为n
E cv T
=，其中v为探测器在静水中行进时的速度，T为行进时的时间（单位：小时），c为常数，n为能量次级数．如果水的速度为4 km/h，该生物探测器在水中逆流行进200 km．
（1）求T关于v的函数关系式；
（2）(i)当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量；
(ii)当能量次级数为3时，试确定v的大小，使该探测器消耗的能量最少．
18．(本小题满分16分)
如图，椭圆
22
:1
43
x y
C+=的右焦点为F，右准线为l，过点F且与x轴不重合的直线交椭
圆于A，B两点，P是AB的中点，过点B作BM⊥l于M，连AM交x轴于点N，连PN.
（1）若
16
5
AB=，求直线AB的倾斜角；
（2）当直线AB变化时，求PN长的最小值.
19．(本小题满分16分)
设函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ，其图象与x 轴交于1(0)A x ，，2(0)B x ，两点，且x 1＜x 2． （1）求a 的取值范围； （2
）证明：0f '
<（()f x '为函数()f x 的导函数）
； （3）设点C 在函数()y f x =的图象上，且△ABC
t =， 求(1)(1)a t --的值．
20．(本小题满分16分)
已知数列{n a }满足*
111,||,.n
n n a a a p n N +=-=∈
（1）若{n a }是递增数列，且12,3,23a a a 成等差数列，求p 的值； （2）若1
2
p =，且{21n a -}是递增数列，{2n a }是递减数列，求数列{n a }的通项公式．
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题．．
卡指定区域内．．．．．．
作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲
如图，圆O 的直径AB ＝8，C 为圆周上一点，BC ＝4，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，求线段AE 的长．
B ．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 x 的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及对应的一个特征向量．
A
(第21题
A)
C ．选修4—4：坐标系与参数方程
已知点P 是曲线C ：⎩⎨⎧==θ
θ
sin 3cos 2y x （θ为参数，πθπ2≤≤）上一点，O 为原点．若直
线OP 的倾斜角为3
π
，求点P 的直角坐标．
D ．选修4—5：不等式选讲
已知实数x ，y ，z 满足x + y + z = 2，求2
2
2
32z y x ++的最小值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
某小组共10人，利用暑期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3， 4，现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．
（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A ，求事件A 的发生的概率； （2）设X 为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．
23．（本小题满分10分）
在集合{A =1，2，3，4，…，2n }中，任取m （m n ≤，m ，n ∈N *）元素构成集合m A ．若m A 的所有元素之和为偶数，则称m A 为A 的偶子集，其个数记为()f m ；若m A 的所有元素之
和为奇数，则称m A 为A 的奇子集，其个数记为()g m ．令()()()F m f m g m =-． （1）当2n =时，求(1)F ，(2)F ，的值； （2）求()F m ．。