正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像

)
的定义域是__________，值域是________，周期是________，振幅是________，频率是
________，初相是_________．
7．如果函数
y=sin2x+acos2x
的图象关于直线
π x=-8
对称，那么 a=_________．
8．函数 y=sin2x 的图象向左平移
π 6
A．－sin x B．sin x C．－cos x D．cos x
解析 由图象的平移得 g(x)＝cosx＋2π＝－sin x.
答案 A
4．设 ω＞0，函数 y＝sinωx＋π3＋2 的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则 ω 的最小值是( )．
2 A.3
4 B.3
3 C.2
D．3
解析 y＝sinωx＋π3＋2 向右平移43π个单位后得到 y1＝sinωx－43π＋π3＋2＝sinωx＋π3－43πω＋2，又 y 与 y1 的图象
π y=4cos(2x-6
);
（2）y=f(x )是以 2π 为最小正周期的周期函数；
（3）y=f(x ) 的图象关于点(-π6 ,0)对称;
（4）y=f(x )
的图象关于确的命题序号是___________．
一、选择题：
1．函数
π y=sin(2x+6
)的图象可看成是把函数 y=sin2x 的图象做以下平移得到（
）
A.向右平移π6
B.
向左平移
π 12
C.
向右平移
π 12
D. 向左平移π6
2．函数
π y=sin(4
-2x)的单调增区间是（
）
3π 3π A. [kπ- 8 , kπ+ 8 ]
(k∈Z)
B.
π 5π [kπ+8 , kπ+ 8 ]
例题讲解
1．(人教 A 版教材习题改编)y＝2sin2x－π4 的振幅、频率和初相分别为( )．
A．2，1π，－π4
B．2，21π，－π4
C．2，1π，－π8
D．2，21π，－π8
答案 A
2.已知简谐运动 f(x)＝Asin(ωx＋φ)|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为( )．
综上知，存在 a＝32符合题意．
课上练习
一、选择题
1.为了得到函数 y=cos(x+ )，x∈R 的图象，只需把余弦曲线 y=cosx 上的所有的点 ( ) 3
(A) 向左平移 个单位长度 3
(B) 向右平移 个单位长度 3
(C) 向左平移 1 个单位长度 3
(D) 向右平移 1 个单位长度 3
(k∈Z)
π 3π C. [kπ-8 , kπ+ 8 ]
(k∈Z)
D.
3π 7π [kπ+ 8 , kπ+ 8 ]
(k∈Z)
3．函数
3π y=sin(x+ 2
)的图象是（
A. 关于 x 轴对称
C. 关于原点对称
）
B. 关于 y 轴对称
D.
关于
3 x=-2
π 对称
4．函数 f（x）=cos（3x+φ）的图像关于原点中心对称的充要条件是（ ）
13.已知函数 y=2sin( k x+5)周期不大于 1，求正整数 k 的最小值. 3
*14. 已知 N(2, 2 )是函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的最高点，N 到相邻最低点的图象曲线与 x 轴交于 A、B，其 中 B 点的坐标(6,0),求此函数的解析表达式.
课后练习
3．当函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做振幅，T＝2ωπ叫做周期，f＝T1叫 做频率，ωx＋φ 叫做相位，φ 叫做初相．
4．图象的对称性 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下： (1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线 x＝xk(其中 ωxk＋φ＝kπ＋2π，k∈Z)成轴对称图形． (2)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中 ωxk＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形． 一种方法 在由图象求三角函数解析式时，若最大值为 M，最小值为 m，则 A＝M－2 m，k＝M＋2 m，ω 由周期 T 确定，即由2ωπ ＝T 求出，φ 由特殊点确定． 一个区别 由 y＝sin x 的图象变换到 y＝Asin (ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的
基础梳理
1．用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示
x
0－φ ω
π2－φ ω
ωx＋φ
0
π 2
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
2．函数 y＝sin x 的图象变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤
π－φ ω
π 0
32π－φ ω
3π 2
－A
2π－φ ω
2π 0
解决这类问题常常借助三角函数的有界性或转化为我们所熟悉的函数，如二次函数等来解决．
【试一试】 是否存在实数 a，使得函数 y＝sin2x＋acos x＋58a－32在闭区间0，π2上的最大值是 1？若存在，求出对应
的 a 值？若不存在，试说明理由．
[尝试解答] y＝－cos x－21a2＋a42＋58a－12，
量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|ωφ|(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变 换都是针对 x 而言，即 x 本身加减多少值，而不是依赖于 ωx 加减多少值．
两个注意
作正弦型函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域； (2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数 的图象．
(A) f(x)=sin(3x+6)+2 (B) f(x)=sin(3x-6)-2 (C) f(x)=sin(3x+2)+2 (D) f(x)=sin(3x-2)-2
二. 填空题
7.函数 y=3sin(2x-5)的对称中心的坐标为
;
8.函数 y=cos( 2 x+ )的最小正周期是
;
34
9.函数 y=2sin(2x+ )(x∈[-π,0］)的单调递减区间是
(B) y=3cos(2x+ ) (C) y=3cos(2x+ 2 ) (D) y= 1 cos( 1 x+ )
3
3
3 26
5.已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在同一周期内,当 x= 时,ymax=2;当 x= 7 时，,ymin=-2.那么函数的解析式为
12
12
()
(A) y=2sin(2x+ ) 3
π A. φ=2
B. φ= kπ(k∈Z)
π C. φ= kπ+2
(k∈Z)
π D. φ= 2kπ-2
(k∈Z)
5．函数
1 y=5
sin2x 图象的一条对称轴是（
π A.x= - 2
π B. x= - 4
π C. x = 8
） 5π
D. x= - 4
二、填空题：
6．函数
1 y=5
π sin(3x-3
，所得的曲线对应的函数解析式是__________．
9．要得到 y=sin2x-cos2x 的图象，只需将函数 y=sin2x+cos2x 的图象沿 x 轴向____移___________个单位．
10．关于函数
π f(x)=4sin(2x+3
)
(x∈R)，有下列命题：
（1）y=f(x
)的表达式可改写为
(B) y=2sin( x - ) 26
(C) y=2sin(2x+ ) 6
(D) y=2sin(2x- ) 3
*6. 把 函 数 f(x) 的 图 象 沿 着 直 线 x+y=0 的 方 向 向 右 下 方 平 移 2 2 个 单 位 , 得 到 函 数 y=sin3x 的 图 象 ， 则
()
2.函数 y=5sin(2x+θ)的图象关于 y 轴对称，则 θ=
(A) 2kπ+ (k∈Z) 6
(B) 2kπ+ π(k∈Z)
(C) kπ+ (k∈Z) 2
() (D) kπ+ π(k∈Z)
3. 函数 y=2sin(ωx+φ)，|φ|< 的图象如图所示，则 2
(A) ω= 10 ,φ= 11 6
当 0≤x≤π2时，0≤cos x≤1，令 t＝cos x，则 0≤t≤1，
∴y＝－t－21a2＋a42＋58a－12，0≤t≤1.
当 0≤a2≤1，即 0≤a≤2 时，则当 t＝a2，即 cos x＝a2时． ymax＝a42＋58a－12＝1，解得 a＝32或 a＝－4(舍去)． 当a2＜0，即 a＜0 时，则当 t＝0，即 cos x＝0 时， ymax＝58a－12＝1，解得 a＝152(舍去)． 当a2＞1，即 a＞2 时，则当 t＝1，即 cos x＝1 时， ymax＝a＋58a－32＝1，解得 a＝2103(舍去)．
;
6
*10.函数 y=sin2x 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位，得到的图象恰好关于直线 x= 对称，则 φ 的最小值是
.
6
三. 解答题
11.写出函数 y=4sin2x (x∈R)的图像可以由函数 y=cosx 通过怎样的变换而得到.(至少写出两个顺序不同的变换)