高考数学二轮专题测试 解析几何 理
高考数学二轮专题复习 解析几何 试题
解析几何【考纲解读】1.掌握直线斜率与倾斜角、直线方程、两条直线平行垂直、间隔等.2.掌握确定圆的几何要素、圆的HY方程与一般方程、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系;初步理解用代数方法处理几何问题的思想.3.掌握椭圆的定义、HY方程和椭圆的简单几何性质;理解数形结合的思想;理解圆锥曲线的简单应用.4.理解双曲线的定义、几何性质,掌握双曲线的HY方程,会利用定义、HY方程和几何性质解决一些简单的问题.5. 理解抛物线的定义、几何性质,掌握抛物线的HY方程,会利用定义、HY方程和几何性质解决一些简单的问题.6.理解圆锥曲线的简单应用，理解直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系.【考点预测】本章知识的高考命题热点有以下两个方面：1.直线与圆是历年高考的重点考察内容，在客观题中出现，一般只有一个选择或者填空，考察求圆的方程以及直线与圆的位置关系，难度较低；在解答题中出现，经常与圆锥曲线相结合。
2.圆锥曲线是高考的一个热点内容，多数考察圆锥曲线的定义、方程和性质。
在客观题中主要考察离心率、渐近线、定义和方程等，所以要纯熟它们根本量之间的关系，掌握它们之间转化的技巧与方法。
解答题多对圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系〔包括弦长、中点弦、曲线方程求法等〕综合考察，多在与其它知识的交汇点处〔如平面向量等〕命题，组成探究性及综合性大题，考察学生分析问题、解决问题的才能，难度较大。
【要点梳理】1.直线的倾斜角与斜率：tan (90)k αα=≠， 211221()y y k x x x x -=≠-.2.直线方程的几种形式:经常用的有点斜式、斜截式、一般式、截距式，注意其各自的适应条件.3.平行与垂直:掌握两直线平行与垂直的条件,同时要注意其各自的适应范围.4.间隔 : 纯熟点到直线的间隔 与两条件平行直线的间隔 公式.5.熟记圆的HY 方程与一般方程.6.位置关系：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系.7.熟记椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质.8.纯熟弦长公式、中点弦的求法(联立方程组与点差法). 【考点在线】考点一 两条直线的位置关系(平行与垂直)例1.(2021年高考卷文科4)过点〔1，0〕且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 〔A 〕x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 〔D 〕x+2y-1=0 【答案】.A【解析】设直线方程为20x y c -+=，又经过(1,0)，故1c =-，所求方程为210x y --=. 【名师点睛】本小题考察两直线平行关系及直线方程的求解.因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，所以设平行直线系方程为20x y c -+=，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也可以用验证法，判断四个选项里面方程哪一个过点〔1，0〕且与直线x-2y-2=0平行.【备考提示】：两条直线的位置关系是高考考察的重点之一,纯熟其根底知识是解答好本类题的关键.练习1: 〔2021年高考卷文科12)假设直线与直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，那么实数m =_______ 【答案】1 【解析】121212,,12k k k k m ==-∴⋅=-直线互相垂直,，即12()1,12m m⋅-=-∴=. 考点二 圆的方程例2.〔2021年高考卷文科16〕 圆C 过点〔1,0〕，且圆心在x 轴的正半轴上，直 线l ：1y x =-被该圆所截得的弦长为22，那么圆C 的HY 方程为 . 【答案】22(3)4x y -+=【解析】由题意，设圆心坐标为(a,0)，那么由直线l ：1y x =-被该圆所截得的弦长为22得，22|a-1|()+2=(a-1)2，解得a=3或者-1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为〔3，0〕，又圆C 过点〔1,0〕，所以所求圆的半径为2，故圆C 的HY 方程为22(3)4x y -+=。
高考数学二轮复习专题1.6解析几何(练)理
专题1.6 解析几何1.练高考1.【2017课标3，理5】已知双曲线C：22221x ya b-= (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为52y x=,且与椭圆221123x y+=有公共焦点，则C的方程为（）A．221810x y-=B．22145x y-=C．22154x y-=D．22143x y-=【答案】B故选B.2.【2017天津，文12】设抛物线24y x=的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若120FAC∠=︒，则圆的方程为 .【答案】22(1)(3)1x y++=【解析】3. 【2017山东，理14】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】22y x =±4.【2017课标1，理】已知双曲线C ：22221x y a b-=（a>0，b>0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN=60°，则C 的离心率为________.【答案】233【解析】试题分析：5.【2017天津，理19】设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △6AP 的方程. 【答案】 （1）22413y x +=， 24y x =.（2）3630x -=，或3630x -=. 【解析】（Ⅱ）解：设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点2(1,)P m --，故2(1,)Q m-.将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得22(34)60m y my ++=，解得0y =，或2634my m -=+.由点B 异于点A ，可得点222346(,)3434m m B m m -+-++.由2(1,)Q m-，可得直线BQ 的方程为22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m --+-+-+-=++，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223(,0)32m D m -+.所以2222236||13232m m AD m m -=-=++.又因为APD△6221626232||2m m m ⨯⨯=+，整理得2326|20m m -+=，解得6||m =，所以6m =.所以，直线AP 的方程为3630x +-=，或3630x --=.6.【2017山东，理21】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>2，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：13y k x =交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且122k k ，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.【答案】（I ）2212x y +=.（Ⅱ）SOT ∠的最大值为3π，取得最大值时直线l 的斜率为12k =±.（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程2211,23x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()2211424310k x k x +--=，由题意知0∆>，且()112122211231,21221k x x x x k k +==-++，所以22112112211181221k k AB kx x k ++=+-=+.由题意可知圆M 的半径r 为22112111822321k k r k ++=+ 由题设知1224k k =，所以2124k k =因此直线OC 的方程为124y x k =.联立方程2211,22,4x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2221221181,1414k x y k k ==++，因此 2221211814k OC x y k +=+=+.2.练模拟1.直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为23，则直线的倾斜角为（ ） A ．566ππ或B ．33ππ-或C ．66ππ-或D ．6π【答案】A【解析】圆()()22234x y -+-=的圆心()3,2，半径2=r ，圆心()3,2到直线3y kx =+的距离122+=k k d ，∵直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为32，∴由勾股定理得222232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=d r ，即314422++=k k ，解得33±=k ，故直线的倾斜角为6π或65π，故选A ．2.【2018届湖北省稳派教育高三上第二次联考】 已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的半焦距为c ，且满足220c b ac -+<，则该椭圆的离心率e 的取值范围是__________．【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】∵220c b ac -+<，∴()2220c a c ac --+<，即2220c a ac -+<，∴22210c c a a -+<，即2210e e +-<，解得112e -<<。
高三高三数学第二轮复习专题练习题解析几何高考题型
题复习六解析几何高考题型解析几何中的基本量 如直线方程、点到直线的距离、圆及圆锥曲线的各种基本量。
[例1] 对于每个自然数n ，抛物线22()(21)1y n n x n x =+-++与x 轴交于n A 、n B 两点，以n n A B 表示该两点间的距离，则112219991999A B A B A B +++的值是（ ）（A ）19981999 （B ）20001999 （C ）19991998 （D ）19992000[例2] （97年高考题〈文〉）已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3∶1；③圆心到直线:20l x y -= 1．过点(2,4)M -作圆22:(2)(1)25C x y -+-=的切线1,l 已知直线 2:320l ax y a ++=与1l 平行，则1l 与2l 之间的距离为（ ）（A ）85 （B ）25 （C ）285（D ）125 2．已知两直线1:s i n10l x y θ+-=和2:2sin 10,l x y θ++=当12∥l l 时，θ=__________________;当12l l ⊥时，θ=____________________.3．已知双曲线的一条准线与渐近线的交点为A 、B ，这条准线的相应焦点为F ，是等边三角形，那么此双曲线的离心率为________.椭圆的第一定义12122(2)MF MF a a F F +=>；双曲线的第一定义12122(02)MF MF a a F F -=±<<；统一定义MF e d=（d 为动点M 到相应准线的距离）01e <<时为椭圆：1e >时为双曲线：1e =时为抛物线。
[例3] P 是椭圆2212516x y +=上一点，1F 、2F 是焦点，若1230F PF ∠=则12PF F ∆的面积是_______________.[例4]过双曲线22145x y -=的右焦点F 作一条长为AB （A 、B 均在双曲线的的右支上），将双曲线绕右准线旋转90，则弦AB 扫过的面积为（ ）（A ）32π （B ）16π （C ）8π （D ）4π[例5]已知点(2,6),A P 为抛物线216y x =上任一点，P 到y 轴上的距离为d ，则PA +d 的4．P 是长轴在x 轴上的椭圆22221x y a b+=上的点，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦c ，则12PF PF ⋅的最大值与最小值之差一定是（ ）（A ）1 （B ）2a （C ）2b （D ）2c5．抛物线21:4C y x =与椭圆222(5):11680x y C -+=在x 轴上方的交点为A 、B ，设2C 的左顶点为F ，则________.AF BF +=6．设1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，P 是双曲线上一点，且1290F PF ∠=，已知双曲线的离心率为54，12Rt F PF ∆的面积是9，则a b +=（ ）（B ）5 （C ）6 （D ）7 直线与圆锥曲线 联立直线与圆锥曲线的方程，再结合函数与方程的思想来解决问题。
高考数学第二轮复习 解析几何解答题专项训练(理科)
1.已知椭圆 ：
x2 a2
y2 b2
1（a
b
0 ）的焦距为 4 ，且椭圆 过点
A(2
,
2) ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 P 、 Q 为椭圆 上关于 y 轴对称的两个不同的动点，求 AP AQ 的取值范围．
2（. 本题满分 13 分）已知直线 l 与抛物线 x2 4 y 相交于 A ，B 两点，且与圆 ( y 1)2 x2 1
并且 F1P F1Q ，证明：当 a 变化时，点 p 在某定直线上。
8.（本小题满分 13 分）
x2 已知椭圆 C 的方程为 a2
y2 b2
1(a
b
0)
离心率
e=
1 2
，设
A(0, b),
B(a,
0),
F1,
F2
分
别是椭圆的左、右焦点且 SF2AB
3. 2
（I）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）过 F1 线与以 F2 焦点，顶点在坐标原点的抛物线交于 P、Q 两点，设 F1P F1Q ，
(ⅱ)求线段 MN 的长度的最AO
B
x
N
2
7.（本小题满分 12 分）
设椭圆
E
:
x2 a2
y2 1 a2
1的焦点在 x 轴上
（Ⅰ）若椭圆 E 的焦距为 1，求椭圆 E 的方程；
（Ⅱ）设 F1, F2 分别是椭圆的左、右焦点， P 为椭圆 E 上的第一象限内的点，直线 F2P 交 y 轴与点 Q ，
2
2
PA、PB 的斜率分别为 kPA、kPB ，求 kPA kPB 的数值；
(3)试问：是否存在一个定圆 N ，与以动点 M 为圆心，以 MD 为半径的圆相内切？若存在，
高考数学二轮复习 解析几何解答题专题训练(含解析)
高考数学二轮复习 解析几何解答题专题训练（含解析）1．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p 4. 由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4，知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.2．已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3x －4y ＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C 的面积小于13.(1)求圆C 的标准方程；(2)设过点M (0,3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB .是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；如果不存在，请说明理由．解 (1)设圆C ：(x －a )2＋y 2＝R 2(a >0)，由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧ |3a ＋7|32＋42＝R ，a 2＋3＝R解得a ＝1或a ＝138， 又S ＝πR 2<13，∴a ＝1，R ＝2.∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.(2)当斜率不存在时，直线l 为x ＝0，不满足题意．当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又l 与圆C 相交于不同的两点，联立得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋3 x －1 2＋y 2＝4，消去y 得(1＋k 2)x 2＋(6k －2)x ＋6＝0，∴Δ＝(6k －2)2－24(1＋k 2)＝12k 2－24k －20>0，解得k <1－263或k >1＋263. x 1＋x 2＝－6k －21＋k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋6＝2k ＋61＋k2， OD →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC →＝(1，－3)，假设OD →∥MC →，则－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2，∴3×6k －21＋k 2＝2k ＋61＋k2， 解得k ＝34∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋263，＋∞，假设不成立， ∴不存在这样的直线l .3．已知A (－2,0)，B (2,0)，点C ，点D 满足|AC →|＝2，AD →＝12(AB →＋AC →)． (1)求点D 的轨迹方程；(2)过点A 作直线l 交以A ，B 为焦点的椭圆于M ，N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程．解 (1)设C ，D 点的坐标分别为C (x 0，y 0)，D (x ，y )，则AC →＝(x 0＋2，y 0)，AB →＝(4,0)，则AB →＋AC →＝(x 0＋6，y 0)，故AD →＝12(AB →＋AC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02＋3，y 02. 又AD →＝(x ＋2，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧ x 02＋3＝x ＋2，y 02＝y .解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2x －2，y 0＝2y .代入|AC →|＝ x 0＋2 2＋y 20＝2，得x 2＋y 2＝1，即所求点D 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.(2)易知直线l 与x 轴不垂直，设直线l 的方程为 y ＝k (x ＋2)，①设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a 2>4)．② 将①代入②整理，得(a 2k 2＋a 2－4)x 2＋4a 2k 2x ＋4a 2k 2－a 4＋4a 2＝0.③因为直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切， 故|2k |k 2＋1＝1，解得k 2＝13. 故③式可整理为(a 2－3)x 2＋a 2x －34a 4＋4a 2＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－a 2a 2－3. 由题意有a 2a 2－3＝2×45(a 2>4)， 解得a 2＝8，经检验，此时Δ>0.故椭圆的方程为x 28＋y 24＝1. 4．已知点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一点，且|F 1F 2|＝2，∠F 1PF 2＝π3，△F 1PF 2的面积为33. (1)求椭圆C 的方程；(2)点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，过点F 2且斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，对于任意的k ∈R ，MA →·MB →是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．解 (1)设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n .在△PF 1F 2中，由余弦定理得22＝m 2＋n 2－2mn cos π3，化简得，m 2＋n 2－mn ＝4.由S △PF 1F 2＝33，得12mn sin π3＝33.化简得mn ＝43.于是(m ＋n )2＝m 2＋n 2－mn ＋3mn ＝8.∴m ＋n ＝22，由此可得，a ＝ 2.又∵半焦距c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝1.因此，椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由已知得F 2(1,0)，直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －1 ，x22＋y 2＝1消去y ，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2 k 2－12k 2＋1.∵MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－54，y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－54，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－54⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－54＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－54⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－54＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝(k 2＋1)x 1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋54(x 1＋x 2)＋2516＋k 2＝(k 2＋1)2k 2－22k 2＋1－4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋542k 2＋1＋2516＋k 2＝－4k 2－22k 2＋1＋2516 ＝－716.由此可知MA →·MB →＝－716为定值．5．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线x －y ＋6＝0相切．(1)求双曲线E 的方程； (2)已知点F 为双曲线E 的左焦点，试问在x 轴上是否存在一定点M ，过点M 任意作一条直线交双曲线E 于P ，Q 两点(P 在Q 点左侧)，使FP →·FQ →为定值？若存在，求出此定值和所有的定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意知|6|12＋ －1 2＝a ，∴a ＝ 3. 又∵2c ＝4，∴c ＝2，∴b ＝c 2－a 2＝1.∴双曲线E 的方程为x 23－y 2＝1.(2)当直线为y ＝0时， 则P (－3，0)，Q (3，0)，F (－2,0)，∴FP →·FQ →＝(－3＋2,0)·(3＋2,0)＝1.当直线不为y ＝0时，可设l ：x ＝ty ＋m (t ≠±3)，代入E ：x 23－y 2＝1，整理得(t 2－3)y 2＋2mty ＋m 2－3＝0(t ≠±3)．(*)由Δ>0，得m 2＋t 2>3.设方程(*)的两个根为y 1，y 2，满足y 1＋y 2＝－2mtt 2－3， y 1y 2＝m 2－3t 2－3，∴FP →·FQ →＝(ty 1＋m ＋2，y 1)·(ty 2＋m ＋2，y 2)＝(t 2＋1)y 1y 2＋t (m ＋2)(y 1＋y 2)＋(m ＋2)2＝t 2－2m 2－12m －15t 2－3.当且仅当2m 2＋12m ＋15＝3时，FP →·FQ →为定值，解得m 1＝－3－3，m 2＝－3＋3(舍去)．综上，过定点M (－3－3，0)任意作一条直线交双曲线E 于P ，Q 两点，使FP →·FQ →＝1.。
高考数学二轮滚动检测 解析几何试卷 理含解析 试题
解析几何本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部，一共150分，考试时间是是120分钟．第一卷一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)1．(2021·模拟)假设k，－1，b三个数成等差数列，那么直线y＝kx＋b必经过定点() A．(1，－2)kB．(1,2)C．(－1,2) D．(－1，－2)【解析】依题意，k＋b＝－2，∴b＝－2－k，∴y＝kx＋b＝k(x－1)－2，∴直线y＝k(x－1)－2必过定点(1，－2)．【答案】 A2．(2021·高考)集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，那么“a＝3”是“A⊆B〞的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或者3，∴“a＝3〞是“A⊆B〞的充分而不必要条件．【答案】 A3．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－3y＝0的间隔是()A．2 3 B．2C. 3 D．1【解析】抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，由点到直线的间隔公式得F(2,0)到直线x－3y＝0的间隔d＝|2－3×0|12＋(－3)2＝22＝1.【答案】 D4．(2021·高考)设z1，z2是复数，那么以下命题中的假．命题是()A．假设|z1－z2|＝0，那么z1＝z2B．假设z1＝z2，那么z1＝z2C．假设|z1|＝|z2|，那么z1·z1＝z2·z2D．假设|z1|＝|z2|，那么z21＝z22【解析】A，|z1－z2|＝0⇒z1－z2＝0⇒z1＝z2⇒z1＝z2，真命题；B，z1＝z2⇒z1＝z2＝z2，真命题；C，|z1|＝|z2|⇒|z1|2＝|z2|2⇒z1·z1＝z2·z2，真命题；D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z21＝1，z22＝－1，即z21≠z22，假命题．【答案】 D5．假设圆心在x轴上、半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，那么圆O的方程是()A．(x－5)2＋y2＝5 B．(x＋5)2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5【解析】设圆心为(a,0)(a<0)，那么r＝|a＋2×0|12＋22＝5，解得a＝－5，所以，所求圆的方程为：(x＋5)2＋y2＝5，应选D.【答案】 D6．(2021·高考)假设双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为3，那么其渐近线方程为()A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x【解析】 ∵e ＝3，∴ca ＝3，即a 2＋b 2a 2＝3，∴b 2＝2a 2，∴双曲线方程为x 2a 2－y 22a 2＝1， ∴渐近线方程为y ＝±2x . 【答案】 B7．点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，那么△ABM 的周长为( )A ．4B ．8C ．12D ．16【解析】 因为直线过椭圆的左焦点(－3，0)，所以△ABM 的周长为|AB |＋|AM |＋|BM |＝4a ＝8.【答案】 B8．(2021·课标全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p ≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MFMF 为直径的圆过点(0,2)，那么C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或者y 2＝8xB ．y 2＝2x 或者y 2＝8xC ．y 2＝4x 或者y 2＝16xD ．y 2＝2x 或者y 2＝16x【解析】 设M (x 0，y 0)，A (0,2)，MF 的中点为N . 由y 2＝2px ，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，∴N 点的坐标为x 0＋p22，y 02. 由抛物线的定义知，x 0＋p2＝5，∴x 0＝5－p2.∴y 0＝2p ⎝⎛⎭⎫5－p 2. ∵|AN |＝|MF |2＝52，∴|AN |2＝254. ∴x 0＋p222＋y 02－22＝254.即⎝⎛⎭⎫5－p 2＋p 224＋2p ⎝⎛⎭⎫5－p 22－22＝254.∴2p ⎝⎛⎭⎫5－p 22p 2－10p ＋16＝0.解得p ＝2或者p ＝8.∴抛物线方程为y 2＝4x 或者y 2＝16x . 【答案】 C9．假设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，那么z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为( ) A ．4和3 B ．4和2 C ．3和2D ．2和0【解析】 作直线2x ＋y ＝0，并向右上平移，过点A 时z 取最小值，过点B 时z 取最大值，可求得A (1,0)，B (2,0)，∴z min ＝2，z max ＝4.【答案】 B10．(2021·高考)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，那么l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43B ．2C.83D.1623【解析】 由C ：x 2＝4y ，知焦点P (0,1)． 直线l 的方程为y ＝1.所求面积S ＝⎠⎛2－2⎝⎛⎭⎫1－x 24d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －x 3122－2＝83. 【答案】 C11．(2021·皖南八校联考)双曲线x 2m －y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4mx 的焦点重合，那么n 的值是( )A ．1B ．4C ．8D ．12 【解析】 抛物线焦点F (m,0)为双曲线的一个焦点， ∴m ＋n ＝m 2.又双曲线离心率为2， ∴1＋nm＝4，即n ＝3m .所以4m ＝m 2，可得m ＝4，n ＝12. 【答案】 D12．(2021·质检)椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)，假如直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，那么m 的值是( )A ．2B ．2 2C ．8D ．2 3【解析】 根据条件c ＝16－m 2，那么点(16－m 2，2216－m 2)在椭圆x 216＋y 2m2＝1(m＞0)上，∴16－m 216＋16－m 22m 2＝1，可得m ＝2 2.【答案】 B第二卷二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在题中横线上) 13．l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的间隔 最大时，直线l 1的方程是________．【解析】 当AB ⊥l 1，且AB ⊥l 2时，l 1与l 2间的间隔 最大．又k AB ＝－1－10－1＝2， ∴直线l 1的斜率k ＝－12，那么l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.【答案】 x ＋2y －3＝014．(2021·高考改编)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的间隔 等于________．【解析】 由x 24－y 2＝1知顶点(2,0)，渐近线x ±2y ＝0，∴顶点到渐近线的间隔 d ＝25＝255.【答案】25515．执行如图5－1所示的程序框图，假设输入n 的值是4，那么输出s 的值是________．图5－1【解析】 i ＝1，s ＝1→s ＝1，i ＝2→s ＝2，i ＝3→s ＝4，i ＝4→s ＝7，i ＝5完毕． 【答案】 716．三角形ABC 中，AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－6，且角C 为直角，那么角C 的对边c 的长为__________．【解析】 由AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－6， 得AB →·(BC →＋CA →)＋BC →·CA →＝－6， 即AB →·BA →＋BC →·CA →＝－6， ∵C ＝90°，∴－c 2＝－6，c ＝ 6. 【答案】6三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤)17．(本小题满分是10分)圆C 的方程为：x 2＋y 2－2mx －2y ＋4m －4＝0(m ∈R )． (1)试求m 的值，使圆C 的面积最小；(2)求与满足(1)中条件的圆C 相切，且过点(1，－2)的直线方程． 【解】 圆C 的方程：(x －m )2＋(y －1)2＝(m －2)2＋1. (1)当m ＝2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小．(2)当m ＝2时，圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1， 设所求的直线方程为y ＋2＝k (x －1)， 即kx －y －k －2＝0，由直线与圆相切，得|2k －1－k －2|k 2＋1＝1，k ＝43，所以切线方程为y ＋2＝43(x －1)，即4x －3y －10＝0，又因为过点(1，－2)且与x 轴垂直的直线x ＝1与圆也相切， 所以所求的切线方程为x ＝1或者4x －3y －10＝0.18．(本小题满分是12分)(2021·高考改编)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)设A ，B 是椭圆C 上的两点，△AOB 的面积为64.假设A 、B 两点关于x 轴对称，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P .假如OP →＝tOE →，务实数t 的值．【解】 (1)设椭圆C 的方程为：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，那么⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝a 2－b 2，c a ＝22，2b ＝2，解得a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由于A 、B 两点关于x 轴对称，可设直线AB 的方程为x ＝m (－2＜x ＜2，且m ≠0)．将x ＝m 代入椭圆方程得|y |＝2－m 22， 所以S △AOB ＝|m |2－m 22＝64. 解得m 2＝32或者m 2＝12.①又OP →＝tOE →＝12t (OA →＋OB →)＝12t (2m,0)＝(mt,0)，又点P 在椭圆上，所以(mt )22＝1.②由①②得t 2＝4或者t 2＝43.又因为t ＞0，所以t ＝2或者t ＝233.19．(本小题满分是12分)如图5－2，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.图5－2(1)证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D ；(2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小．【证明】 (1)方法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立如下图的空间直角坐标系．∵AB ＝AA 1＝2， ∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)． 由A 1B 1→＝AB →，易得B 1(－1,1,1)．∵A 1C →＝(－1,0，－1)，BD →＝(0，－2,0)，BB 1→＝(－1,0,1)， ∴A 1C →·BD →＝0，A 1C →·BB 1→＝0， ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1，又BD ∩BB 1＝B ，A 1C ⊄平面BB 1D 1D ， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .方法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD .又∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C . 又OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1C ＝2，且AC ＝2，∴AC 2＝AA 21＋A 1C 2，∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C . 又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .(2)【解】 设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵OC →＝(－1,0,0)，OB 1→＝(－1,1,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·OC →＝－x ＝0，n ·OB 1→＝－x ＋y ＋z ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－z .取n ＝(0,1，－1)，由(1)知，A 1C →＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量，∴cos θ＝|cos 〈n ，A 1C →〉|＝12×2＝12. 又∵0≤θ≤π2，∴θ＝π3. 20．(本小题满分是12分)(2021·高考)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．(1)证明：a 2＝4a 1＋5；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12. 【解】 (1)证明：由4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，得4S 1＝a 22－4－1，即4a 1＝a 22－4－1，所以a 22＝4a 1＋5. 因为a n >0，所以a 2＝4a 1＋5.(2)因为4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，①所以当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1，②由①－②得4a n ＝a 2n ＋1－a 2n －4，即a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2(n ≥2)．因为a n >0，所以a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)．因为a 2，a 5，a 14成等比数列，所以a 25＝a 2a 14，即(a 2＋3×2)2＝a 2(a 2＋12×2)，解得a 2＝3.又由(1)知a 2＝4a 1＋5，所以a 1＝1，所以a 2－a 1＝2.综上知a n ＋1－a n ＝2(n ∈N *)，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列．所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(3)证明：由(2)知1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝12－14n ＋2<12. 21．(本小题满分是12分)(2021·高考)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上． (1)假设椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1、F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．【解】 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上且焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58. 故椭圆E 的方程为8x 25＋8y 23＝1. (2)证明 设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝2a 2－1.由题设知x 0≠c ，那么直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c ，直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c. 故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c(x －c )． 当x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，cy 0c －x 0. 因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0. 由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1. 化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．22．(本小题满分是12分)在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，点Q到抛物线C 的准线的间隔 为34. (1)求抛物线C 的方程；(2)是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？假设存在，求出点M 的坐标；假设不存在，说明理由．【解】 (1)依题意知F (0，p 2)，圆心Q 在线段OF 的垂直平分线y ＝p 4上， 因为抛物线C 的准线方程为y ＝－p 2， 所以3p 4＝34，即p ＝1. 因此抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)假设存在点M (x 0，x 202)(x 0>0)满足条件，抛物线C 在点M 处的切线斜率为y ′|x ＝x 0＝(x 22)′|x ＝x 0＝x 0， 所以直线MQ 的方程为y －x 202＝x 0(x －x 0)． 令y ＝14得x Q ＝x 02＋14x 0， 所以Q (x 02＋14x 0，14)． 又|QM |＝|OQ |，故(14x 0－x 02)2＋(14－x 202)2＝(14x 0＋x 02)2＋116， 因此(14－x 202)2＝916. 又x 0>0，所以x 0＝2，此时M (2，1)．故存在点M (2，1)，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M .四季寄语情感寄语在纷繁的人群中/牵手走过岁月/就像走过夏季/拥挤的海滩在我居住的江南/已是春暖花开季节/采几片云彩/轻捧一掬清泉/飘送几片绿叶/用我的心/盛着寄给/北国的你不要想摆脱冬季/看/冰雪覆盖的世界/美好的这样完整/如我对你的祝福/完整地这样美好挡也挡不住的春意/像挡也挡不住的/想你的心情/它总在杨柳枝头/泄露我的秘密往事的怀念/爬上琴弦/化作绵绵秋雨/零零落落我诚挚的情怀/如夏日老树下的绿荫/斑斑驳驳虽只是一个小小的祝福/却化做了/夏季夜空/万点星辰中的一颗对你的思念/温暖了/我这些个漫长的/冬日从春到夏,从秋到冬......只要你的帘轻动,就是我的思念在你窗上走过.在那个无花果成熟的季节,我才真正领悟了你不能表达的缄默.我又错过了一个花期/只要你知道无花也是春天/我是你三月芳草地燕子声声里,相思又一年朋友,愿你心中,没有秋寒.一到冬天,就想起/那年我们一起去吃的糖葫芦/那味道又酸又甜/就像......爱情.谢谢你/在我孤独时刻/拜访我这冬日陋室只要有个窗子/就拥有了四季/拥有了世界愿你:俏丽如三春之桃,清素若九秋之菊没有你在身边,我的生活永远是冬天!让我们穿越秋天/一起去领略那收获的喜悦!在冬天里,心中要装着春天;而在春天,却不能忘记冬天的寒冷.落红不是无情物,化作春泥更护花.愿是只燕,衔着春光,翩翩向你窗.请紧紧把握现在/让我们把一种期翼/或者是一种愿望/种进大地/明春/它就会萌生绿色的叶片.此刻又是久违的秋季/又是你钟爱的季节/于是/秋风秋雨秋云秋月/都化作你的笑颜身影/在我的心底落落起起.此刻已是秋季/你可体验到/收获怀念的感觉/和秋雨一样真实动人.一条柳枝/愿是你生活的主题/常绿常新/在每一个春季雨声蝉鸣叶落风啸/又一个匆匆四季/在这冬末春初/向遥远的你/问安!又是夏季/时常有暴雨雷鸣/此刻/你可以把我当作大雨伞/直至雨过天晴/留给你一个/彩虹的夏季!。
2022年高考数学二轮专题测试 解析几何 理
解析几何专题测试一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过两点－1,1和0,3的直线在轴上的截距为A．－错误!C．3 D．－3解析：由两点式，得错误!＝错误!，即2－＋3＝0，令＝0，得＝－错误!，即在轴上的截距为－错误!答案：A2．与直线－－4＝0和圆2＋2＋2－2＝0都相切的半径最小的圆的方程是A．＋12＋＋12＝2 B．＋12＋＋12＝4C．－12＋＋12＝2 D．－12＋＋12＝4解析：圆2＋2＋2－2＝0的圆心为－1,1，半径为错误!，过圆心－1,1与直线－－4＝0垂直的直线方程为＋＝0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B，圆心－1,1到直线－－4＝0的距离为错误!＝3错误!，则所求的圆的半径为错误!，故选C答案：C3．双曲线m2＋2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于A．－错误!B．－4C．4解析：双曲线方程化为标准形式：2－错误!＝1则有：a2＝1，b2＝－错误!，∴2a＝2,2b＝2错误!，∴2×2＝2错误!，∴m＝－错误!答案：A4．2022年青岛质检以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆2＋2－2＋6＋9＝0圆心的抛物线方程是A．＝32或＝－32B．＝32C．2＝－9或＝32D．＝－32或2＝9解析：2＋2－2＋6＋9＝0，－12＋＋32＝1，圆心1，－3，故选D答案：D5．2022年北京海淀区期末若直线与直线＝1，＝7分别交于点2－2m－8＝0，得m＝4或m＝－2，即M2,4 1F1F1F2M1M22M1F2M2M1F2M1F2M1F1F1F1F1F2c1F2m＝错误!，即m或M2，－2，显然M2,4在抛物线上，不合题意，舍去，∴M2，－2，得AB＝－2，∴AB＝－2＋，消去，得2－4＋1＝0，于是|AB|＝错误!·|1－2|＝错误!·错误!＝错误!×错误!＝2错误!答案：2错误!14．2022年重庆高考已知以F为焦点的抛物线2＝4上的两点A、B满足错误!＋1，A1，1、B2，2，则由错误!消去得2＝4m＋1，2－4m－4＝0，所以1＋2＝4m，12＝－4m＋1＝错误!＋1＝错误!答案：错误!15．2022年江南十校联考设F1、F2分别是椭圆错误!＋错误!＝1的左、右焦点，4a错误!，把直线的方程＝错误!＋4代入双曲线方程，整理得32－8－16－4m＝0，则A＋B＝错误!，AB＝－错误!*∵|＝28，∴双曲线的方程为错误!－错误!＝13由题可设椭圆S的方程为错误!＋错误!＝1a>2错误!，设垂直于的平行弦的两端点分别为M1，1，N2，2，MN的中点为、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．解：1由已知e＝错误!＝错误!，即c2＝错误!a2，b2＝a2－c2＝错误!a2，所以，椭圆方程为错误!＋错误!＝1，将A1，错误!代入得：错误!＋错误!＝1，解得a2＝4，可知b2＝1，所以，椭圆C的方程为错误!＋2＝12因为直线经过椭圆内的点B－1,0，所以直线与椭圆恒有两个不同的交点M，N当直线的斜率不存在时，其方程是：＝－1，代入错误!＋2＝1得＝±错误!，可知M－1，错误!，N－1，－错误!，所以以MN为直径的圆不经过坐标原点O当直线的斜率存在时，可设的方程为：＝＋1，两交点M1，1，N2，2．由错误!得1＋422＋82＋42－4＝0，1＋2＝错误!，1·2＝错误!，因为，以MN为直径的圆经过坐标原点O，所以错误!·错误!＝0可得12＋12＝12＋1＋1·2＋1＝1＋212＋21＋2＋2＝0即1＋2错误!＋2·错误!＋2＝0，解得＝±2综上所述，存在过点B－1,0的直线，使得以被椭圆C截得的弦为直径的圆经过原点O，的方程为＝2＋2或＝－2－2。
全国高考数学第二轮复习 专题升级训练30 解答题专项训练解析几何 理.docx
1.设有半径为3千米的圆形村落，A, B两人同时从村落中心出发，B向北直行，/先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B相遇.设A, B两人速度一定，其速度比为3 : 1,问两人在何处相遇？2.已知圆C-. / + y-2^+4y-4 = 0.问是否存在斜率为1的直线1,使得/被圆C截得的弦为血?，且以血?为直径的圆经过原点？若存在，写出直线/的方程；若不存在，说明理由.3.设直线厶：y=k.x+\, L, y=k,x~\,其中实数人，民满足血民+ 2 = 0.⑴证明厶与Z相交；(2)证明厶与<2的交点在椭圆2A-12 + y = 1上.4.已知过抛物线y = 2px(p>0)的焦点，斜率为2応的直线交抛物线于JU，yO，B(xt, 72)(X1VX2)两点，且丨AB\ =9.(1)求该抛物线的方程；(2)0为坐标原点，C为抛物线上一点，^OC = OA+AOB,求A的值.5.己知椭圆C的中心为坐标原点0, —个长轴端点为(0,2),短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线/与y轴交于点AO, ni),与椭圆C交于相异两点B,且4片2PB.(1)求椭圆方程；(2)求加的取值范围.r K26.设椭圆C： -+^=l(a>A>0)的右焦点为尺过F的直线/与椭圆C相交于B两a b点，直线/的倾斜角为60° , AF=2FB.(1)求椭圆C的离心率；1 5⑵如^z\AB\ =—,求椭圆C的方程.x2 /7.己知点凡尺分别为椭圆C： -+^=l(a>6>0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，a b且\F X F2\ =2, /F\PF2=+，△幷序的面积为申.(1)求椭圆C的方程；⑵点〃的坐标为& 0)过点A且斜率为k的直线1与椭圆C相交于A, B两点，对于任意的kER, MAMB是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.8.己知抛物线G： r=y,圆G : x2 + (y—4)J = 1的圆心为点必1 求点〃到抛物线G的准线的距离；2 己知点P是抛物线G上一点(异于原点)，过点P作圆G的两条切线，交抛物线G于/, B 两点，若过必0两点的直线/垂直于血?，求直线/的方程.参考答案1.解：建立如图所示平面直角坐标系，由题意，可设力，〃两人速度分别为3卩千米/时, 卩千米/时，再设出发必小时后，/在点户改变方向，又经过対小时，在点0处与〃相遇.则P, 0两点坐标为(3 K¥o, 0), (0,^\OP\2+\OQ\2=\PQ\2知，(3vxo)2+ (vxo+ vyo)2= (3 vyo)2, 即(xo+yo) (5^b—4jo) =0. V Ab+7b＞0, .*.5Ao=4jo.①将①代入k P Q=—十严，得加=一£ 又已知〃与圆相切，直线〃在y轴上的截距就是两人相遇的位置.3设直线卩=一犷+b(方＞0)与圆/+/=9相切，I —4AI 1 斤则有箱話=3,解得1 5答：A, B相遇点在离村中心正北才千米处.2.解：假设/存在，设其方程为y=x+m,代入/+y — 2^r+4y—4 = 0,得2#+2(加+ 1) x-\~m +4 刃一4=0.再设力(孟，yj , B(X2,乃)，〒曰 , / I八就+4加一4十是X\-\~X2=—(加十1),孟卫='锐2 +心Y\k2-k x)8 + kj + + 2£&2 kj + k? + 4 〔+ kj - 2 上&2 kj + + 4此即表明交点户匕，力在椭圆2/+/=l±.2 °以力〃为直径的圆经过原点，即直线必与仞互相垂直，也就是也4・k°B=_\, ^..xi+/n X2~\~m所以---- •---- :1,即2/1卫+加(xi+z) +/ = 0,W X1~\~X2=—(777+ 1) J X1X2m +4/Z7—42 ，代入整理得/n +3/Z7—4 = 0,解得刃=一4或刃=1. 故所求的直线存在，且有两条，其方程分别为Ly+l = 0, x—y—4=0.3.证明：⑴假设/i与＜2不相交，则Z与＜2平行，有血=%,代入&1&2十2 = 0,得血?+2 =0,这与*1为实数的事实相矛盾.从而血工&2,即/1与厶相交.由方程组(2)方法一:|y=kix+l, ［卩=曲一1,解得交点户的坐标为Iki—k\ k—k\j / \22 \而2x +y =2[y — \ = k\Xi方法二：交点P 的坐标(x, y)满足| 故知xKO.{y-\-\=k'ix,从而< y — 1 y~\~ 1代入血％+2 = 0, 得 ------ • --- +2 = 0.x x整理后，得2x+y = \.所以交点戶在椭圆2/+y = 1 ±.从而有4/—5p^+p=0,所以益+屍=¥・ 由抛物线定义得M 方| =总+屍+刀=9,所以p=4,从而抛物线方程是y=8x.（2）由 p=4,知 4/—= 0 可化为 x —5x+4 = 0, 从而xi = l,屍=4,乃=一2、问，乃=4、问， 从而水1, -2^2）, B （4, 4萌.设OC =（易，乃）= （1, — 2寸^） +久（4,低也）=（4久+1, 4寸^人一2寸^）, 又 y/ = 8x3,所以[2寸^（2 久一1）『=8（4 久+ 1）,即（2 久一1）2 = 4 久+1, 解得久=0,或久=2.5. 解：（1）由题意，知椭圆的焦点在y 轴上， 、 / /设椭圆方程为飞+左=1 @>0>0）,a b由题意，知a=2, b= c,又a=l ）+c ,则b=蟲, 所以椭圆方程为$+另=】•⑵设水孟，乃），Bk,乃），由题意，知直线/的斜率存在， 设其方程为y=kx+m,与椭圆方程联立，\y-\~2x =4,即| 消去卩则（2+护）/十2皿匕+/—4 = 0,[y=kx-\-m,△ = （2加）2—4（2+#）（駢一4）>0,由根与系数的关系，知S 又 AP = 2PB ,即有(一xi, /Z7—yi) =2(x 2f y?—金，：• 一X \=2X 2.兀]+吃—_兀2_ 4 丿 2mk ) r r _ _o Y 2 • • 2+护•Aq •A/。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解析几何 专题测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－32B.32 C ．3D ．－3解析：由两点式，得y －31－3＝x －0－1－0，即2x －y ＋3＝0，令y ＝0，得x ＝－32，即在x 轴上的截距为－32.答案：A2．与直线x －y －4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝4解析：圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0的圆心为(－1,1)，半径为2，过圆心(－1,1)与直线x －y －4＝0垂直的直线方程为x ＋y ＝0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A 、B ，圆心(－1,1)到直线x －y －4＝0的距离为62＝32，则所求的圆的半径为2，故选C.答案：C3．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14B ．－4C ．4D.14解析：双曲线方程化为标准形式：y 2－x 2－1m＝1则有：a 2＝1，b 2＝－1m ， ∴2a ＝2,2b ＝2－1m，∴2×2＝2－1m ，∴m ＝－14. 答案：A4．(2011年青岛质检)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0圆心的抛物线方程是( )A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2B ．y ＝3x 2C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x解析：x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0，(x －1)2＋(y ＋3)2＝1，圆心(1，－3)，故选D.答案：D5．(2011年北京海淀区期末)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2b ＋1＝－2解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13，选B.答案：B6．(2011年福建高考)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：由椭圆x 24＋y 23＝1可得点F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →· FP→＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3(1－x 24)＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.答案：C7．(2011年济南)已知点P 在焦点为F 1，F 2的椭圆上运动，则与△PF 1F 2的边PF 2相切，且与边F 1F 2，F 1P 的延长线相切的圆的圆心M 一定在( )A ．一条直线上B ．一个圆上C ．一个椭圆上D ．一条抛物线上解析：设⊙M 与F 1F 2的延长线切于M 1点，与F 1P 的延长线切于M 2点，与PF 2切于Q 点．∵|PF 1|＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PQ |＋|QF 2|＝|PF 1|＋|PM 2|＋|F 2M 1|＝|F 1M 2|＋|F 2M 1|＝|F 1F 2|＋|F 2M 1|＋|F 2M 1|＝|F 1F 2|＋2|F 2M 1|＝定值．又|F 1F 2|＝定值，∴|F 2M 1|为定值．由此可知M 点在一条直线上．故选A.答案：A8．(2011年东北三校联考)已知双曲线x 29－y 216＝1，过其右焦点F 的直线交双曲线于P 、Q两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF ||PQ |的值为( )A.53B.56C.54D.58解析：采用特殊值法：右焦点(5,0)，设PQ 的斜率为1联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －5x 29－y216＝1得7x 2＋90x －369＝0x 1＋x 2＝－907，x 1x 2＝－3697|PQ |＝1＋1x 1－x 22＝1927中点(－457，－807)，中垂线y ＋807＝－(x ＋457)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －1257y ＝0，x ＝－1257∴M (－1257，0)，|MF |＝1607∴|MF ||PQ |＝56，故选B. 答案：B9．(2011年广西百所重点中学阶段检测)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点P 在抛物线C 上，若点P 到l 的距离等于点P 与坐标原点O 的距离，则tan ∠POF 等于( )A ．3B ．2 C. 2D ．2 2解析：设P (x P ，y P )，由题易知|PO |＝|PF |，∴x P ＝p 4，得y P ＝±p2，∴tan ∠POF ＝p2p 4＝2 2.答案：D11．(2011年福州质检)已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M 有( )个．( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：|MF 1|＋|MF 2|＝11，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，|F 1F 2|＝6 设内切圆半径为r ，则2πr ＝3π，r ＝32∴16×32＝|F 1F 2|·|y M |，|y M |＝4，∴M 点有两个，即：短轴的端点，故选C. 答案：C11．(2011年湖北八市3月调考)已知F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，OF 1为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，则当△PF 1F 2的面积等于a 2时，双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.62D ．2解析：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，|F 1F 2|＝2c⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2x 2a 2－y 2b2＝1S △PF 1F 2＝2c ·y P 2＝a 2，y P 2＝b 4a 2＋b 2＝b 4c 2.c ·b 2c＝a 2，a 2＝b 2∴此双曲线为等轴双曲线，e ＝ 2. 答案：A12．(2011年重庆第一次诊断)已知椭圆x 24＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1且倾斜角为45°的直线l 交椭圆于A ，B 两点．以下结论：①△ABF 2的周长为8；②原点O 到直线l 的距离为1；③|AB |＝83.其中正确结论的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：依题意得|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝8，即△ABF 2的周长是8；易知点F 1(－2，0)，故直线l 的方程是y ＝x ±2，即x －y ＋2＝0，则原点O 到直线l 的距离是22＝1；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2x 24＋y 22＝1得3x 2＋42x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－423，故|AB |＝1＋12×0＋4232＝83. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上．) 13．(2011年昆明)过点P (0,2)的直线和抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点横坐标为2，则弦AB 的长为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M ，则M (2，y 1＋y 22)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝8x 1y 22＝8x 2，相减得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝8(x 1－y 2)，即k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝8y 2＋y 1，又k AB ＝k MP＝y 1＋y 22－22－0，设y 1＋y 2＝2m ，则4m ＝m －22，即m 2－2m －8＝0，得m ＝4或m ＝－2，即M (2,4)或M (2，－2)，显然M (2,4)在抛物线上，不合题意，舍去，∴M (2，－2)，得k AB ＝－2，∴l AB y＝－2x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2y 2＝8x，消去y ，得x 2－4x ＋1＝0，于是|AB |＝1＋－22·|x 1－x 2|＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5×42－4＝215.答案：21514．(2010年重庆高考)已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A 、B 满足AF →＝3FB →，则弦AB 的中点到准线的距离为________．解析：依题意，设直线AB 的方程是x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1y 2＝4x 消去x 得y 2＝4(my ＋1)，y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.又AF →＝3FB →，于是有0＝y 1＋3y 21＋3，y 1＝－3y 2，y 22＝43，(4m )2＝(y 1＋y 2)2＝4y 22＝163，弦AB 的中点到准线的距离等于x 1＋x 22＋1＝y 12＋y 228＋1＝y 1＋y 22－2y 1y 28＋1＝16m 2＋88＋1＝163＋88＋1＝83.答案：8315．(2011年江南十校联考)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：|PF 1|＋|PF 2|＝11，|PF 1|＝11－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝11＋|PM |－|PF 2|易知M 点在椭圆外，连结MF 2并延长交椭圆于P 点，此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM |＋|PF 1|的最大值为11＋|MF 2|＝11＋6－32＋42＝15.答案：1516．(2011年江苏省苏州六校联合高三调研考试)直线x ＝t 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若原点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：由题意，当原点恰好在圆上时，双曲线的两条渐近线相互垂直，此时，双曲线的离心率为 2.若原点在圆内，则双曲线的离心率大于 2.答案：(2，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题11分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．求经过7x ＋8y ＝38及3x －2y ＝0的交点且在两坐标轴上截得的截距相等的直线方程． 解：易得交点坐标为(2,3)设所求直线为7x ＋8y －38＋λ(3x －2y )＝0， 即(7＋3λ)x ＋(8－2λ)y －38＝0， 令x ＝0，y ＝388－2λ，令y ＝0，x ＝387＋3λ，由已知，388－2λ＝387＋3λ，∴λ＝15，即所求直线方程为x ＋y －5＝0.又直线方程不含直线3x －2y ＝0，而当直线过原点时，在两轴上的截距也相等，故3x －2y ＝0亦为所求．18．设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．解：设所求圆的圆心为(a ，b )，半径为r ，∵点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点A ′仍在这个圆上， ∴圆心(a ，b )在直线x ＋2y ＝0上， ∴a ＋2b ＝0，① (2－a )2＋(3－b )2＝r 2②又直线x －y ＋1＝0截圆所得的弦长为22， ∴r 2－(a －b ＋12)2＝(2)2③解由方程①、②、③组成的方程组得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，a ＝6，r 2＝52.或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－7，a ＝14，r 2＝244，∴所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244.19．(2011年北京海滨区期末)已知抛物线W ：y ＝ax 2经过点A (2,1)，过A 作倾斜角互补的两条不同的直线l 1，l 2.(1)求抛物线W 的方程及其准线方程；(2)设直线l 1，l 2分别交抛物线W 于B ，C 两点(均不与A 重合)若以线段BC 为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC 的方程．解：(1)由于点A (2,1)在抛物线W ：y ＝ax 2上，所以1＝4a ，即a ＝14.故所求抛物线W 的方程为y ＝14x 2，其准线方程为y ＝－1.(2)不妨设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2)(k >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －2y ＝14x 2，得x 2－4kx ＋8k －4＝0，解得x ＝2或x ＝4k －2，所以点B 的坐标为(4k －2,4k 2－4k ＋1)，易知直线BC 的斜率为－k ， 故同理可得点C 的坐标为(－4k －2,4k 2＋4k ＋1)， 所以|BC |＝ [4k －2－－4k －2]2＋[4k 2－4k ＋1－4k 2＋4k ＋1]2＝8k2＋－8k 2＝82k ，线段BC 的中点坐标为(－2,4k 2＋1)，因为以BC 为直径的圆与准线y ＝－1相切， 所以4k 2＋1－(－1)＝42k ，由于k >0，解得k ＝22. 此时，点B 的坐标为(22－2,3－22)，点C 的坐标为(－22－2,3＋22)． 故直线BC 的斜率为3＋22－3－22－22－2－22－2＝－1，所以，直线BC 的方程为y －(3－22)＝－[x －(22－2)]，即x ＋y －1＝0.20．(2011届上海春招改编)已知抛物线F ：x 2＝4y .(1)△ABC 的三个顶点在抛物线F 上，记△ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在直线的斜率分别为k AB 、k BC 、k CA ，若点A 在坐标原点，求k AB －k BC ＋k CA 的值；(2)请你给出一个P (2,1)为顶点，且其余各顶点均为抛物线F 上的动点的多边形，写出多边形各边所在直线的斜率之间的关系式，并说明理由．解：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)． ∵x 12＝4y 1，x 22＝4y 2， ∴k AB －k BC ＋k CA ＝y 1x 1－y 2－y 1x 2－x 1＋y 2x 2＝14x 1－14(x 1＋x 2)＋14x 2＝0. (2)①研究△PBC .k PB －k BC ＋k CP ＝y B －y P x B －x P －y C －y B x C －x B ＋y P －y C x P －x C ＝x P ＋x B 4－x B ＋x C 4＋x C ＋x P 4＝x P2＝1. ②研究四边形PBCD .k PB －k BC ＋k CD －k DP ＝x P ＋x B 4－x B ＋x C 4＋x C ＋x D 4－x D ＋x P4＝0.③研究五边形PBCDE .k PB －k BC ＋k CD －k DE ＋k EP ＝x P ＋x B 4－x B ＋x C 4＋x C ＋x D 4－x D ＋x E 4＋x E ＋x P4＝x P2＝1. ④研究n ＝2k 边形P 1P 2…P 2k (k ∈N ，k ≥2)，其P 1＝P . 有kP 1P 2－kP 2P 3＋kP 3P 4－…＋(－1)2k －1kP 2k P 1＝0.证明：左边＝14(xP 1＋xP 2)－14(xP 2＋xP 3)＋…＋(－1)2k －114(xP 2k ＋xP 1)＝xP 14[1＋(－1)2k －1]＝1＋－12k －12＝0＝右边．⑤研究n ＝2k －1边形P 1P 2…P 2k －1(k ∈N ，k ≥2)，其中P 1＝P . 有kP 1P 2－kP 2P 3＋kP 3P 4－…＋(－1)2k －2kP 2k －1P 1＝1.证明：左边＝14(xP 1＋xP 2)－14(xP 2＋xP 3)＋…＋(－1)2k －114(xP 2k －1＋xP 1)＝xP 14[1＋(－1)2k －1－1]＝1＋－12k －1－12＝1＝右边．⑥研究n 边形P 1P 2…P n (n ∈N ，n ≥3)，其中P 1＝P . 有kP 1P 2－kP 2P 3＋kP 3P 4－…＋(－1)n －1kP n P 1＝1＋－1n －12.证明：左边＝14(xP 1＋xP 2)－14(xP 2＋xP 3)＋…＋(－1)n －114(xP n ＋xP 1)＝xP 14[1＋(－1)n －1]＝1＋－1n －12＝右边．21．(2011年湖南十二校联考)已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆x 2＋y 2－11x ＋20＝0相切．过点P (－4，0)作斜率为14的直线l ，使得l 和G 交于A ，B 两点，和y 轴交于点C ，并且点P 在线段AB 上，又满足|PA |·|PB |＝|PC |2.(1)求双曲线G 的渐近线的方程； (2)求双曲线G 的方程；(3)椭圆S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴，如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程．解：(1)设双曲线G 的渐近线的方程为y ＝kx ， 则由渐近线与圆x 2＋y 2－11x ＋20＝0相切可得|5k |k 2＋1＝5，所以k ＝±12，即双曲线G 的渐近线的方程为y ＝±12x .(2)由(1)可设双曲线G 的方程为x 2－4y 2＝m ， 把直线l 的方程y ＝14(x ＋4)代入双曲线方程，整理得3x 2－8x －16－4m ＝0， 则x A ＋x B ＝83，x A x B ＝－16＋4m3.(*)∵|PA |·|PB |＝|PC |2，P 、A 、B 、C 共线且P 在线段AB 上， ∴(x P －x A )(x B －x P )＝(x P －x C )2，即(x B ＋4)(－4－x A )＝16， 整理得4(x A ＋x B )＋x A x B ＋32＝0. 将(*)代入上式得m ＝28， ∴双曲线的方程为x 228－y 27＝1.(3)由题可设椭圆S 的方程为x 228＋y 2a2＝1(a >27)，设垂直于l 的平行弦的两端点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为P (x 0，y 0)，则x 1228＋y 12a 2＝1，x 2228＋y 22a2＝1， 两式作差得x 1－x 2x 1＋x 228＋y 1－y 2y 1＋y 2a2＝0.由于y 1－y 2x 1－x 2＝－4，x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0， 所以x 028－4y 0a2＝0，所以，垂直于l 的平行弦中点的轨迹为直线x 28－4ya2＝0截在椭圆S 内的部分．又由已知，这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，所以a 2112＝12，即a 2＝56，故椭圆S 的方程为x 228＋y 256＝1.22．(2011年石家庄质量检测一)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (1，32)，且离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点B (－1,0)能否作出直线l ，使l 与椭圆C 交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆经过坐标原点O ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)由已知e ＝c a ＝32，即c 2＝34a 2，b 2＝a 2－c 2＝14a 2， 所以，椭圆方程为x 2a 2＋4y 2a2＝1，将A (1，32)代入得：1a 2＋124a2＝1， 解得a 2＝4，可知b 2＝1， 所以，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)因为直线l 经过椭圆内的点B (－1,0)，所以直线l 与椭圆恒有两个不同的交点M ，N . 当直线l 的斜率不存在时，其方程是：x ＝－1，代入x 24＋y 2＝1得y ＝±32，可知M (－1，32)，N (－1，－32)，所以以MN 为直径的圆不经过坐标原点O . 当直线l 的斜率存在时，可设l 的方程为：y ＝k (x ＋1)，两交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝k x ＋1得(1＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－4＝0， x 1＋x 2＝－8k 21＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－41＋4k2，因为，以MN 为直径的圆经过坐标原点O ，所以OM →·ON →＝0.可得x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k (x 1＋1)·k (x 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝0. 即(1＋k 2)4k 2－41＋4k 2＋k 2·－8k 21＋4k2＋k 2＝0，解得k ＝±2.综上所述，存在过点B(－1,0)的直线l，使得以l被椭圆C截得的弦为直径的圆经过原点O，l的方程为y＝2x＋2或y＝－2x－2.。