实验四续1 MATLAB在线性代数中的应用
Matlab在线性代数中的应用
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现在的MATLAB新版本早已不只停留在工程计 算的功能上了，它由主包、Simulink以及功能各异 的工具箱组成，以矩阵运算为基础，把计算、可视 化、程序设计融合到了一个简单易用的交互式工作
环境中。在这里可以实现工程计算、算法研究、符
号运算、建模和仿真、原型开发、数据分析及可视
化、科学和工程绘图、应用程序设计(包括图形用户
2018年11月20日星期二
Matlab 软件在线性代数的应用
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（3）矩阵的输入 A=[2,3,5;1,3,5;6,9,4] %行之间要用分号隔开 A= 2 3 5 1 3 5 6 9 4 m=input('请输入初始量，m=')； 请输入初始量，m= 问题：输入A(2,3)，结果如何？输入A(7)又如何？ 注意：变量名开头必须是英文字母，变量名对字母 大小写是区分的.
士在New Mexico大学讲授线性代数课程时，看到了
用高级语言编程解决工程计算问题的诸多不便，因
而构思开发了MATLAB软件(MATrix LABoratory,矩
阵实验室)，该软件利用了Moler博士在此前开发的
LINPACK(线性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数软件包)和EOSPACK(基于特征
值计算的软件包)中可靠的子程序，用Fortran语言编 写而成，集命令翻译、工程计算功能于一身。
Matlab以矩阵运算为基础，把计算、可视化、
程序设计融合到一个简单易用的交互式工作环境中，
可实现工程计算、算法研究、符号运算、建模和仿
真、原型开发、数据分析及可视化、科学和工程绘
图、应用程序设计等功能．
2018年11月20日星期二
Matlab 软件在线性代数的应用
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浅谈MATLAB软件在线性代数教学中的应用
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ Ｉ ｎ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｔ ｏ ｉ ｍｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｔ ｈ ｅ ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ ｅ ｆｅ ｃ ｔ ｏ ｆ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ａ ｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ． Ｔｈ ｅ ｎ ｓ ｔ ｕ ｄ ｅ ｎ ｔ ｓ ｃ ａ ｎ ｕ ｎ ｄ ｅ ｒ ｓ ｔ ａ ｎ ｄ ｃ ｏ ｎ ｃ ｅ ｐ ｔ ｓ ｏ ｆ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ａ ｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ． Ｔｈ ｅ
ａ ｓ ｓ ｉ ｓ ｔ ｅ ｄ ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ ｏ ｆ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ａ ｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｓ ｏ ｆ Ｌ ｖ ａ ｒ ｅ ｉ ｓ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｄ ｂ ｙ
ｓ ｅ ｖ ｅ ｒ ａ ｌ ｅ ｘ ａ ｍｐ ｌ ｅ ｓ ， ｗｈ ｉ ｃ ｈ ｃ ｕｌ ｔ ｉ ｖ ａ ｔ ｅ ｓ ｓ ｔ ｕ ｄｅ ｎｔ ｓ ’ ｐ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ． Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｄ ｓ ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ； ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ａ ｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ； ａ ｓ ｓ ｉ ｓ ｔ ｅ ｄ ｉ ｎｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ
文 章编 号 ：１ ６ ７ １ — ４ ８ ９ Ｘ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ４ — ０ ０ ９ ２ — ０ ４
Ｄｉ ｓ ｃ ｕｓ ｓ ｉ ｏ ｎ ｏ ｎ Ｔｅ ａ ｃ ｈｉ ｎｇ ｏ ｆ Ｌｉ ｎｅ ａ ｒ Ａｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ｗｉ ｔ ｈ Ｍ ＡＴＬＡ Ｂ／ ／ Ｄｉ ｎ ｇ Ｘｉ ａ ｏｘ ｉ ｎｇ
MATLAB软件在线性代数教学中的应用
MATLAB软件在线性代数教学中的应用【摘要】MATLAB软件在线性代数教学中的应用日益重要。
本文从向量和矩阵运算、线性方程组求解、特征值和特征向量计算、线性代数可视化教学以及矩阵分解和奇异值分解等方面探讨了MATLAB的应用。
通过实际案例展示了MATLAB在教学中的实际应用，有助于学生更好地理解线性代数的概念和应用。
结合结论部分讨论了MATLAB在线性代数教学中的重要性以及未来的发展方向，强调了MATLAB在提升学生学习效果和培养解决实际问题能力方面的巨大潜力。
MATLAB在线性代数教学中的应用有着广阔的发展前景，为教学提供了更加丰富和多样化的教学手段。
【关键词】MATLAB, 线性代数, 教学应用, 向量, 矩阵运算, 线性方程组, 特征值, 特征向量, 可视化教学, 矩阵分解, 奇异值分解, 重要性, 发展方向1. 引言1.1 MATLAB软件在线性代数教学中的应用概述MATLAB是一种强大的数学软件，广泛应用于高等教育领域，尤其在线性代数教学中发挥着重要作用。
在在线性代数教学中，MATLAB可以帮助学生更好地理解抽象的数学概念，提高他们的数学建模和问题求解能力。
通过MATLAB软件，学生可以直观地进行向量和矩阵运算，求解线性方程组，计算特征值和特征向量，进行矩阵分解和奇异值分解等操作。
MATLAB软件提供了丰富的数学函数和工具箱，使得学生可以方便地进行各种数学计算和仿真实验。
通过MATLAB的可视化功能，学生可以直观地观察数学概念的几何意义，加深对数学知识的理解。
MATLAB还支持编程功能，学生可以通过编写脚本和函数来实现复杂的数学运算和算法，培养他们的编程能力。
在线性代数教学中，MATLAB软件的应用不仅可以帮助学生更好地掌握数学知识，提高数学建模和问题求解能力，还可以激发学生的学习兴趣，培养他们的创新思维和实践能力。
MATLAB软件在线性代数教学中的应用具有重要意义，对提升教学效果和培养学生的数学素养具有积极作用。
Matlab在线性代数中的应用
利用Matlab的控制设计方法，如PID控制、状态反馈控制等，可以 设计出有效的控制系统。
THANKS
感谢观看
利用Matlab的图像处理函数，可以从图像中提取 特征，如边缘、角点等，用于目标检测和识别。
在控制系统中的应用
系统建模
使用Matlab的控制系统工具箱，可以对系统进行建模，如线性时 不变系统、非线性系统等。
系统分析和仿真
通过Matlab的控制系统函数，可以对系统进行稳定性分析、控制 性能分析和仿真测试。
向量运算
向量的基本运算
包括向量的加法、减法、数乘、向量的模等。
向量的内积和外积
内积和外积是描述向量之间关系的运算，用于计算向量的长度、角 度等。
向量运算的实际应用
向量运算在物理、工程等领域有广泛应用，如描述物体运动轨迹、计 算力的合成等。
特征值与特征向量
01
特征值和特征向量 的定义
特征值和特征向量是描述矩阵特 性的重要概念，用于描述矩阵变 换的性质。
04
Matlab在线性代数中的优势与 局限性
优势
高效计算能力
Matlab提供了强大的矩阵运算 和数值计算功能，使得线性代
数问题的求解更加高效。
可视化工具
Matlab内置了丰富的可视化工 具，可以直观地展示线性代数 中的向量、矩阵和线性变换等 概念。
易于学习和使用
Matlab的语法相对简单，使得 线性代数运算变得容易理解和 实现。
解的精度和稳定性
Matlab在线性方程组求解过程中考虑了精 度和稳定性问题，能够提供可靠的解。
向量运算和特征值问题
向量运算
Matlab支持向量的基本运算 ，如加法、减法、数乘、点 积等。
#实验1 MATLAB续：MATLAB在线性代数中的应用
6 x3 5 x3
6
x4
0 0
x3 5x4 6x5 0
x4 5x5 1
A=[5 6 0 0 0 15600 01560 00156 0 0 0 1 5];
B=[1 0 0 0 1]'; R_A=rank(A) %求秩 X=A\B %求解
例2
求解方程组
3xx112xx2253xx333xx44
>>B=null(A,'r') %求解空间的有理基
得到：B =
2
5/3
-2 -4/3
1
0
0
1
MATLAB初步
于是，我们得到原线性方程组的解：
syms k1 k2 % 定义两个符号 X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2) %写出方程组的通解 pretty(X) %让通解表达式更加精美
求解的完整代码如下：
%V已经被归一化为单位向量了
例 4： 求矩阵
MATLAB初步
2 1 1
A
0 4
2 1
0 3
的特征值和特征向量.
A=[-2 1 1;0 2 0;-4 1 3]; [V,D]=eig(A)
V=
-0.7071 -0.2425
0
0
-0.7071 -0.9701
0.3015 0.9045 0.3015
1 2
有否解? 2x1 x2 2x3 2x4 3
MATLAB初步
A=[1 -2 3 -1;3 -1 5 -3;2 1 2 -2];%输入系数矩阵A的值
% first,input the coefficient matrix A
matlab在线性代数中的应用
A(2,:) = -A(2,1)/A(1,1)*A(1,:)+A(2,:); A1=A, A(3,:) = -A(3,1)/A(1,1)*A(1,:)+A(3,:); A2=A, A(3,:) = -A(3,2)/A(2,2)*A(2,:)+A(3,:); A3=A,
得 A1 =
A2=
A3=
1 0 2 1 0 0 1 0 0
0 1 -1 0 1 -1 0 1 0
7 -23 9 7 -23 -5 7 -23 -28
B1= 1 -4 0 B2 = 1 0 -2 B3 = 1 0 0 B0 = 1 -4 -6
0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
请读者从三次消元中归纳出消元法的语法规则.如果选第i 行为基准行,其第k列的元素为基准元素,则要把第j行第k列的 元素消元为零,应该执行下列程序: A(j,:)=-A(j,k)/A(i,k)*A(i,:)+A(j,:) 可以专门编成一个消元子程序. 读者还可以观察这几个初等变换矩阵的构成特点.不难验证 B0=B3*B2*B1.要注意,这几个乘子相乘的次序是不能颠倒的.
解这个矩阵方程可以用下列几种方法.
方法一: 用消元法将其增广矩阵[A,b]化为最简行阶梯形 式(Reduced Row Echelon Form) .MATLAB用它第一个字母的缩 写rref作为命令.程序如下: A=[6,1,6,-6; 1,-1,9,9; -2,4,0,-4; 4,2,7,-5]; b=[7; 5; -7; -9] U=rref([A,b]) 程序运行的结果为: 1.00
0 3 0 1 0 2 0 0 1 8 (柠檬酸) , (小苏打) , (碳酸钠) , (水) , (二氧化碳) 6 0 1 6 1 2 7 1 3 8
利用Matlab进行线性代数问题求解的方法与案例
利用Matlab进行线性代数问题求解的方法与案例引言线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于工程、物理、计算机科学等领域。
而Matlab作为一种功能强大的数值计算软件，提供了各种实用的工具和函数，可以方便地解决线性代数问题。
本文将介绍一些常用的线性代数问题求解方法，并通过具体的案例来展示Matlab在实际应用中的效果。
一、线性方程组的求解线性方程组是线性代数中最基础的问题之一。
Matlab提供了多种求解线性方程组的函数，如“backslash”操作符（\）和“linsolve”函数等。
下面通过一个实例来说明Matlab的线性方程组求解功能。
案例：假设有以下线性方程组需要求解：2x + 3y - 4z = 53x - 2y + z = 8x + 5y - 3z = 7在Matlab中输入以下代码：A = [2 3 -4; 3 -2 1; 1 5 -3];b = [5; 8; 7];x = A\b;通过以上代码，我们可以得到线性方程组的解x=[1; -2; 3]。
这表明在满足以上方程组的条件下，x=1，y=-2，z=3。
可以看出，Matlab在求解线性方程组时，使用简单且高效。
二、矩阵的特征值和特征向量求解矩阵的特征值和特征向量也是线性代数中的重要概念。
利用特征值和特征向量可以得到矩阵的许多性质和信息。
在Matlab中，我们可以通过“eig”函数来求解矩阵的特征值和特征向量。
案例：假设有一个2x2矩阵A，需要求解其特征值和特征向量。
在Matlab中输入以下代码：A = [2 3; 1 4];[V, D] = eig(A);通过以上代码，我们可以得到矩阵A的特征向量矩阵V和特征值矩阵D。
具体结果如下：特征向量矩阵V = [0.8507 -0.5257; 0.5257 0.8507]特征值矩阵D = [1.5858 0; 0 4.4142]由结果可知，矩阵A的特征向量矩阵V和特征值矩阵D可以提供有关该矩阵的很多信息，如相关线性变换、对称性等。
探究Matlab在线性代数教学中的运用
探究Matlab在线性代数教学中的运用摘要：线性代数为高校工、管、理科所有专业数学科目的必修课程，为之后专业课程的学习工具，具有非常重要的作用。
然而线性代数具有明显的特征，如课本中的概念、理论、计算方式都非常抽象，不重视工具的利用，导致学生难以理解。
本文主要介绍了Matlab的概念，并对当前线性代数教学状况及原因进行了探究，继而在此基础上提出了Matlab在线性代数教学中的运用，如图像与矩阵关系的运用、求方阵的逆和行列式等。
关键词：Matlab；线性代数；教学1.引言线性代数为高校工、管、理科所有专业数学科目的必修课程，为之后专业课程的学习工具，此外还为国内研究生入学必考科目之一，可见这门课程的重要性。
线性代数具有明显的特征，如课本中的概念、理论、计算方式都非常抽象，不重视工具的利用，导致学生难以理解。
在以往的线性代数教学进程中，会涉及到大量的数据信息，往往需要教师对某一道题目展开大量的计算与推导，致使一些学生感觉枯燥无趣，极易出现课堂上走神的情况，极大影响了课堂教学效率。
Matlab源自Matrix Laboratory（矩阵实验室）的缩写。
此软件来自美国Mathworks企业的研发成果，能够把数据计算、可视化以及编辑功能融合于易于操作的条件之下，为一款将矩阵数据计算作为前提用以科学与工程计算的软件。
在国外发达国家或地区的高校内，Matlab软件为最基础的辅助教学工具，利用它几乎可以实现对所有线性代数内容的运算与编程。
将Matlab运用于线性代数的教学环节，在课程进行得过程中不仅有利于吸引学生的注意力，利于提高学生学习的兴趣，进而促进教学效果的提升，还有助于学生在之后专业课得学习及日后的工作中能够灵活运用此软件处理相关问题。
2.当前线性代数教学状况及原因探究线性代数为高校工、管、理科所有专业数学科目的必修课程，为之后专业课程的学习工具，具有非常重要的作用。
然而当前线性代数的教学状况非常不好，最主要的表现为：（1）线性代数当前为公共基础课程，因此难以获得学生足够的关注，然而此科目的知识点之间联系非常密切，假如学生某一段时间出现学习上的懈怠，很容易导致难以跟上老师的节奏，长此以往，必将导致学生失去学习此课程的兴趣，特别是在文科学生中此现象尤为突出。
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MATLAB初步
%指定有理式格式输出，适用于 ％数据较少，要求精确的场合; >>B=null(A,‘r’) %求解空间的有理基，和手算 结果一致
得到：B = 2 5/3 -2 -4/3 1 0 0 1 于是，我们得到原线性方程组的解： syms k1 k2 pretty(X) % 定义两个符号
MATLAB初步
MATLAB初步
（2） 使用函数rref rref是用来将一个矩阵化成行阶梯最简形，从 而求解。 对上例，还可以使用如下方法求解： >>B=rref(A) B= 1 0 0 0 1 0 -2 2 0 -5/3 4/3 0
请同学们编程将它的通解写出来!
1.3.2 非齐次线性方程组 AX=b
MATLAБайду номын сангаас初步
则显示结果为 P= 1.0000 0 0 0 0.7071 -0.7071 0 0.7071 0.7071 Q= 1.0000 0 0 0 1.0000 0 0 0 1.0000
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x1 2 x2 3 x3 x4 1 例2 求解方程组 3 x1 x2 5 x3 3 x4 2 有否解? 2 x x 2 x 2 x 3 2 3 4 1
MATLAB初步
A=[1 -2 3 -1;3 -1 5 -3;2 1 2 -2];%输入系数矩阵A的值 % first,input the coefficient matrix A b=[1 2 3]'; %输入b的值 B=[A, b]; %得到增广矩阵 n=4; %未知变量为4个 R_A=rank(A); %求得系数矩阵A的秩 R_B=rank(B); %求得增广矩阵的秩 format rat %以有理数的形式显示数据 if R_A==R_B & R_A==n %判断有唯一解 disp('It has only one solution!') X=A\b %直接用除法求该唯一解. elseif R_A==R_B&R_A<n %判断有无穷解 disp('It has infinitely many solutions!') X=A\b %求特解 C=null(A,'r') %求AX=0的基础解系 else X='equition no solve' %判断无解，注意该处输出字符串X. end
MATLAB初步
例 4： 求矩阵
2 1 1 A 0 2 0 的特征值和特征向量. 4 1 3
A=[-2 1 1;0 2 0;-4 1 3]; [V,D]=eig(A) V= -0.7071 -0.2425 0.3015 0 0 0.9045 -0.7071 -0.9701 0.3015
X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)
%写出方程组的通解
%让通解表达式更加精美
MATLAB初步
求解的完整代码如下： A=[1 2 2 1;2 1 -2 -2;1 -1 -4 -3]; format rat; B=null(A,'r'); syms k1 k2; X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2) pretty(X)
例 1 求解方程组的通解： x1 2 x2 2 x3 x4 0 2 x1 x2 2 x3 2 x4 0 x x 4x 3x 0 2 3 4 1 >>A=[1 2 2 1;2 1 -2 -2;1 -1 -4 -3]; >>format rat
MATLAB初步
MATLAB在线性代数中的应用 (供学习过线性代数课程的同学们 学习)
1. 线性方程组的求解 2. 特征值、特征向量
MATLAB初步
1. 1 齐次线性方程组 AX=0
若A有n列，如果R(A)=n ,则X只有零解 若A有n列，如果R(A)<n ,则X有无穷多 解，求出其通解即可。 （1） 使用函数null 函数null用来求解零空间，即满足Ax=0的解空 间，实际上是求出解空间的一组基（基础解系） 格式: z null ( A, r ) % z的列向量是方程Ax=0的有理基
非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解， 若有解，再去求通解。 因此，步骤为： 第一步：判断AX=b是否有解，若有解则进行 第二步； 第二步：求AX=b的一个特解； 第三步：求AX=0的通解 第四步：AX=b的通解= AX=0的通解+AX=b的一个 特解。
MATLAB初步
利用矩阵除法求线性方程组的特解（或唯一解） 方程：Ax=b 解法：x=A\b 在系数矩阵不满秩时，求特解可能存在误差 A=[5 6 0 0 0 1 5x1 6x2 x 5x 6x 1 5 6 0 0 0 1 2 3 0 1 5 6 0 x2 5x3 6x4 0 0 0 1 5 6 x3 5x4 6x5 0 0 0 0 1 5]; x4 5x5 1 B=[1 0 0 0 1]'; R_A=rank(A) %求秩 X=A\B %求解
例3
x1 x2 3 x3 x4 1 3 x1 x2 3 x3 4 x4 4 求解方程组的通解： x 5x 9x 8x 0 2 3 4 1
只需修改例2的系数矩阵和常数项向量即可！ 原方程组的通解为X=
3/ 2 3 / 4 3/ 2 7/4 +k k1 2 1 0 0 1 试用rref求解？ 0 0 + 8 / 15 3/ 5
D= -1 0 0
MATLAB初步
0 2 0
0 0 2
即：特征值为－1，2，2。 -1对应特征向量(-0.7071 0 -0.7071)T 特征值2对应特征向量(-0.2425 0 -0.9701)T 和(-0.3015 0.9045 -0.3015)T
(2)正交规范化
MATLAB初步
格式 B=orth(A) %将矩阵A正交规范化， B的列与A的列具有相同的空间，B的列向量 是正交向量，且满足：B'*B = eye(rank(A))。 例 5 将矩阵 4 0 0 A 0 3 1 正交规范化。 0 1 3 A=[4 0 0; 0 3 1; 0 1 3]; B=orth(A) Q=B'*B
2 特征值与二次型
（1）特征值求解 函数 ：eig 最常见的两种形式： d = eig(A)
MATLAB初步
%求矩阵A的特征值d，以向量 ％形式存放d。
[V,D] = eig(A) %计算A的特征值对角阵D ％和特征向量V，使AV=VD成立 %V已经被归一化为单位向量了
求通解 的通用 函数：
试用 《线性代数》 课程的例子 调用该函数