连续小波变换在使用中应满足的条件

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因此
!T =
1-
EN E
(
6)
这样, 给定了 !T 就可确定 N 。
以 M or let 小波 为例具体介 绍这种方 法的运用。
M o rlet 小波
∫∞
( t) =
e e E = , i t - t 2/ 2 0
e- t2 dt =
∀
-∞
∫ EN =
N
e-
t
2
d
t
=
-N
2
N-
1 1!
58
电 工 技术 学报
1998 年 10 月
架 条件问题。在讨论 连续小波变换的框架条件时, 常 限 定 a = am0 ( a0 > 1) , b = nb0am0 ( b0 ∈ R) , m, n ∈ Z。 这样 得到的 小波框 架条件 实际应 用起 来比较 复杂。 因此, 本文从小波能量误差[ 5] 角度及 Ny quist 条件[ 6] 出 发, 首次考虑了连 续小波的时频域窗、采样率 和伸 缩因 子等参 数的选 取原则 及它们 之间 的相互 关系, 提出了一 种可使尺度因子选 择基本不受限制并 且使 用方便 的连续 小波离 散化的 方法, 这 种方法 具有 很 大的实 际意义, 它 将为正 确应用 连续 小波变 换提 供 了方法和依据。
一般而言, 平方可积函数 f ( t) ∈ L 2( R) 的小波 变换可定义为
∫ W f ( a, b) =
1 a
f ( t) *
ta
b
dt =
〈f ( t) , ab( t) 〉 ( 1)
式中 ( t) —— 基本小波或母 小波( M o ther w avelet)
a—— 伸缩因子, a > 0
叙词: 变换 分析 使用 条件
A bs tract
T his paper discusses the pr oblem of apply ing CW T and presents how to chose the paramet ers of CW T such as widt h of timefrequency domia n w indo w , sampling inter val and scaling facto r based on bo th ener gy er r or o f co ntinuous w av elet and N yquist cr it erio n, meanw hile, w e also show ex amples to acco unt fo r t hese. It pr ov ides basis fo r cor r ect ly applying CWT .
前提, 因此是非常重要的。
由于连续小波变 换实际计算时只能 在离散的格
点( an, bn) 上进行。如 何对 a、b 采样而 能以尽 可能高 的精度重建原信号是一个重要问题, 这就是所谓框
1997-09-24 收到初稿, 1998-01-29 收到修改稿。 覃 剑 1967 年生, 西安交通大学电器专业毕业, 1995 年清华大学高电压技术专业获硕士学位, 现为博士研究生, 从事小 波在电力系统的应用及电力设备局部放电检测和输电线故障定位等方面的研究。 陈祥训 教授级 高工, 主要研 究范 围为: 特种 电子 材料 与元器 件, 半导 体物 理与器 件, 光纤 传感器, 电 测量 仪器, 快速 Fourier 变换技术, 小波变换技术, 发表论文 20 多篇。
第 13 卷第 5 期
电工技术学报
1998 年 10 月
连续小波变换在使用中应满足的条件
Requirement of Applying Continuous Wavelet Transform
覃 剑 陈祥训 郑健超 ( 电力部 电力科学研究院) Qi n Jian Chen Xiangxun Zheng Jianchao
个值得研 究的问 题。这里我 们提出 采用 选取与 频域
窗相同的原则, 即由 允许的时 域能量误差 !T 确定时 域窗的方案。设
E=
‖s(
t)
2
‖2
,
s( t)
=
1
a
t a
小波 s( t) 的时域窗口宽度为 2T = 2aN , 其中 2N 为
小波 s( t) 在尺度 a = 1 时的时域窗宽度, 则
( Elect ric P ow er Research Institute , M inistry of Electr ic Po wer )
摘 要
本文讨论了连续小波变换使用中应 注意的问题, 提出了从连续小波能量误差的角 度及 N yquist 条件出发选择连续小 波变换的时频域窗, 小波采样率及伸缩因子等参数, 并给出了具体的例子加以 说明, 为正确应用连续小波变换提供了 一种依据。
2 小波时频窗的选取原则
确 定小波的时 频域窗, 采样 率和尺度 因子 a 不 能 任意选取, 它们之 间相互联系, 必须满足一定 关系 条件。为了便于理解, 下面各部分用 M or let 小波
( t) = ei e 0t - t2/ 2, 0 = 5. 336 作为复 小波的 例子, 说明 连续小 波在 使用中 应如 何 选择有关参数及它们之间应遵循的原则 。 2. 1 频域窗的选取
!T E =
‖s ( t)
-
sT
(
t)
‖2 2
=
∫∞
1
-∞
a
t a
-
1
t
T
a
a
2
dt =
∫ ∫ ∞
∞
-∞ ( t) - N ( t) 2dt = -∞ ( t) 2dt -
∫N ( t) 2dt = E - EN ( 5) -N
第 13 卷第 5 期
覃 剑等 连续小波变换在使用中应满足的条件
连续小 波一般 都是 非带限 的, 它 们的最 高频 率 h 原则上可以取非常大, 但 h 取得 过大也没有实际 意义, 因此采用加频域窗的方法限定 h。频域窗的宽 窄 如何选择, 是一个 有待解决的问题。这里我们 提出 按能量 误差原 则选取 频域窗 的方案, 即加频 域窗 后 的小波能 量与原小波能量的 相对误差在所允许 的误 差要求 !B 以内。
任一 小波只 要确 定了采 样间 隔 #, 即可 求出 所 需的抽样频率 s = 2∀/ # 。由小波频 域能量误差的取 值范围要求 可求出频域窗宽度 2B , 也 即求出了小 波 频 率上限 h , 再根据采样定理即 可确定最小伸缩 因 子 amin 。反之, 若确定 了小波的最小伸缩 因了 amin, 也 可反推 出小 波所 需采样 间隔 # 。下面 通过例 子具 体 加以说明。
=
( a ) - B ( a ) 2da
‖
即 !B =
a
(a ) - a
‖
(
)
2
‖2
B( a
)
‖2 2
=
1-
EB E
=
1-
‖
a
‖(
B( a )
)
2
‖2
‖2 2
(
4)
以 M o rlet 小波为例 具体介绍这 种方法的 运用。
设窗的中心为
0/ a, ( a ) =
2∀
- a2( - / a) 2
e
Key words: Co nt inuo us w av elet t ransfor m W avelet energ y er ro r N iquist cr iter ion
1 前言
80 年代后期发展起来 的小波变换, 是集泛函分 析、傅里叶分析 、样条分析、调和分析、数值分析于 一体的综合性学科, 在科学与技术的许多领域, 被认 为是近 年来在工具及方法 上的重大突破, 得到广 泛 应用[ 1～ 4] 。
最高频率, 它既与小波 的伸缩因子 a 有关, 对非带 限 小波还与小波频域窗的窗口宽度 2B 有关。对任 一小 波而言, a 越小或 B 越大, h 也就越大。在 #、B 已 给 定的情况下, a 不能太小, 否则不能满足以上条件。下 面讨论如何具体选择所用小波的 # 与 a。 3. 1 小波采样率和最小伸缩因子 amin 的选取
3. 2 最大伸缩因子 amax 的选取 由 3. 1 可和, amin 可由采样间隔 # 确定, a 的最大
值 amax 也不可 随意选 取, 须由选 用小 波及被 分析 信 号的采样点 数 M 确定。一般 要求小波 的采样点数 小 于被分析信号的数据 点数 M , 即 2 × 〈aN / #〉+ 1 ≤ M , 则 a ≤ ( M - 1) #/ ( 2N ) , 即 amax = ( M 1) #/ 2( N ) 。
…
若取 B = 3. 25, 则 !B = 4. 3 × 10- 6, 能量误差仅为十 万 分之几。因此, 从所选小波频域能量误差可求出小
波频 域 窗, 即 可 求 出 小 波 最 高 频 率 h = 0/ a + B/ a。2. 2 时域窗的选取
连续小波一般都是 非时限的, 实际应用时, 应选
时 域窗以便分析。时域窗的宽窄如何确定, 同样是一
- a2 2

-B
2
B-
1 1!
B3 3
+
1 2!
B5 5
-
1 3!
B7 7
+
…( -
1)
P
1 P!
B2P+ 2P +
1
1
+
…
所以
!B =
1-
EB E
=
1-
2 ∀
B-
1 1!
B3 3
+