[精品]2014-2015年辽宁省实验中学分校高一下学期期末数学试卷及解析答案word版

2014-2015学年辽宁省实验中学分校高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）不等式2x2﹣x﹣3＞0的解集为（）A．B．C．D．2．（5分）若x1，x2，x3，…，x2013的方差为3，则3（x1﹣2），3（x2﹣2），3（x3﹣2），…，3（x2013﹣2）的方差为（）A．3 B．9 C．18 D．273．（5分）已知=﹣5，那么tanα的值为（）A．﹣2 B．2 C．D．﹣4．（5分）下表为某班5位同学身高x（单位：cm）与体重y（单位kg）的数据，若两个量间的回归直线方程为=1.16x+a，则a的值为（）A．﹣122.2 B．﹣121.04 C．﹣91 D．﹣92.35．（5分）如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为S=720，则在判断框中应填入关于k的判断条件是（）A．k≥6？B．k≥7？C．k≥8？D．k≥9？6．（5分）已知x，y为正数，且x+y=2，则+的最小值为（）A．2 B．+C．D．2﹣7．（5分）已知向量=（3cosα，2）与向量=（3，4sinα）平行，则锐角α等于（）A．B．C．D．8．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（﹣）D．y=2sin（2x﹣）9．（5分）已知点A=（﹣1，1）、B=（1，2）、C=（﹣3，2），则向量在方向上的投影为（）A．﹣ B．C．﹣D．10．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若2c2=2a2+2b2+ab，则△ABC是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形11．（5分）已知cos（α﹣）+sinα=，则sin（α+）的值是（）A．B．C．D．12．（5分）已知x，y满足条件，则z=的最小值（）A．﹣ B．C．D．4二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填入答题纸相应位置）13．（5分）在△ABC中，若∠A=120°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积S=．14．（5分）若关于x的不等式ax＞b的解集为（﹣∞，），则关于x的不等式ax2+bx﹣a＞0的解集为．15．（5分）一只昆虫在边长分别为5，12，13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为．16．（5分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m ≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m ≥2，m∈N*），则m的最小值为．三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）17．（10分）已知||=4，||=8，与夹角是120°．（1）求的值及||的值；（2）当k 为何值时，？18．（12分）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标（m，n），求：（1）点P在直线x+y=7上的概率；（2）点P在圆x2+y2=25外的概率．19．（12分）已知sin2α=，．（1）求cos2α及cosα的值；（2）求满足条件sin（α﹣x）﹣sin（α+x）+2cosα=的锐角x．20．（12分）为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值；（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．21．（12分）已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2．（1）求角A的值；（2）若a=，则求b+c的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=s inωx•cosωx+3cos2ωx﹣（ω＞0），且f（x）的最小周期为（1）求函数f（x）的解析式及函数f（x）的对称中心；（2）若3sin2﹣m[f（﹣）﹣1]≥m+2对任意x∈[0，2π]恒成立，求实数m的取值范围．2014-2015学年辽宁省实验中学分校高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）不等式2x2﹣x﹣3＞0的解集为（）A．B．C．D．【解答】解：因式分解得：（x+1）（2x﹣3）＞0，∴不等式2x2﹣x﹣3＞0的解集为{}，故选：A．2．（5分）若x1，x2，x3，…，x2013的方差为3，则3（x1﹣2），3（x2﹣2），3（x3﹣2），…，3（x2013﹣2）的方差为（）A．3 B．9 C．18 D．27【解答】解：若y=3（x﹣2）=3x﹣6，则D（y）=9D（x），因为D（x）=3，所以D（y）=9D（x）=9×3=27．故选：D．3．（5分）已知=﹣5，那么tanα的值为（）A．﹣2 B．2 C．D．﹣【解答】解：由题意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，得=﹣5，∴tanα=﹣．故选：D．4．（5分）下表为某班5位同学身高x（单位：cm）与体重y（单位kg）的数据，若两个量间的回归直线方程为=1.16x+a，则a的值为（）A．﹣122.2 B．﹣121.04 C．﹣91 D．﹣92.3【解答】解：由题意可得：==169．==75．因为回归直线经过样本中心．所以：75=1.16×169+a，解得a=﹣121.04．故选：B．5．（5分）如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为S=720，则在判断框中应填入关于k的判断条件是（）A．k≥6？B．k≥7？C．k≥8？D．k≥9？【解答】解：S=720=1×10×9×8所以循环体执行三次则判断框中应填入关于k的判断条件是k≥8或k＞7故选：C．6．（5分）已知x，y为正数，且x+y=2，则+的最小值为（）A．2 B．+C．D．2﹣【解答】解：∵x，y为正数，且x+y=2，则，∴+=（）（+）=1++．当且仅当时上式“=”成立．故选：B．7．（5分）已知向量=（3cosα，2）与向量=（3，4sinα）平行，则锐角α等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵=（3cosα，2），=（3，4sinα），且∥；∴3cosα•4sinα﹣2×3=0，解得sin2α=1；∵α∈（0，），∴2α∈（0，π），∴2α=，即α=．故选：A．8．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（﹣）D．y=2sin（2x﹣）【解答】解：由已知可得函数y=Asin（ωx+ϕ）的图象经过（﹣，2）点和（﹣，2）则A=2，T=π即ω=2则函数的解析式可化为y=2sin（2x+ϕ），将（﹣，2）代入得﹣+ϕ=+2kπ，k∈Z，即φ=+2kπ，k∈Z，当k=0时，φ=此时故选：A．9．（5分）已知点A=（﹣1，1）、B=（1，2）、C=（﹣3，2），则向量在方向上的投影为（）A．﹣ B．C．﹣D．【解答】解：由已知可得，=（2，1），=（﹣2，1），∴=2×（﹣2）+1×1=﹣3，||=，设，的夹角为θ，则向量在方向上的投影为：==．故选：C．10．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若2c2=2a2+2b2+ab，则△ABC是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【解答】解：∵2c2=2a2+2b2+ab，由余弦定理知c2=a2+b2﹣2abcosC，∴可解得cosC=﹣．∵0＜C＜π，∴．故选：D．11．（5分）已知cos（α﹣）+sinα=，则sin（α+）的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴，∴．故选：C．12．（5分）已知x，y满足条件，则z=的最小值（）A．﹣ B．C．D．4【解答】解：因为z===1+，即为求的最大值问题，等价于求可行域中的点与定点B（﹣3，1）的斜率的最小值，根据可行域可知，点C与点（﹣3，1）的斜率最小，由，解得，即C（3，﹣3），此时k==﹣，则z的最小值为1﹣=，故选：B．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填入答题纸相应位置）13．（5分）在△ABC中，若∠A=120°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积S=．【解答】解：据题设条件由余弦定理得|BC|2=|AB|2+|AC|2﹣2|AB||AC|cosA即49=25+|AC|2﹣2×5×|AC|×（﹣），即AC|2+5×|AC|﹣24=0解得|AC|=3故△ABC的面积S=×5×3×sin120°=故应填14．（5分）若关于x的不等式ax＞b的解集为（﹣∞，），则关于x的不等式ax2+bx﹣a＞0的解集为．【解答】解：∵关于x的不等式ax＞b的解集为（﹣∞，），∴a＜0，．∴不等式ax2+bx﹣a＞0可化为，即，解得：．∴不等式ax2+bx﹣a＞0的解集为．故答案为：．15．（5分）一只昆虫在边长分别为5，12，13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为．【解答】解：昆虫活动的范围是在三角形的内部，三角形的边长为5，12，13，是直角三角形，∴面积为30，而“恰在离三个顶点距离都小于2”正好是一个半径为2的半圆，面积为π×22=4π×，∴根据几何概型的概率公式可知其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为=．故答案为：；16．（5分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m）﹣f（x m）|=12（m ≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1≥2，m∈N*），则m的最小值为8．【解答】解：∵y=sinx对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣）﹣f（x m）|=12，1按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8．故答案为：8．三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）17．（10分）已知||=4，||=8，与夹角是120°．（1）求的值及||的值；（2）当k为何值时，？【解答】解：（1）=cos120°==﹣16．||===4．（2）∵，∴•=+=0，∴16k﹣128+（2k﹣1）×（﹣16）=0，化为k=﹣7．∴当k=﹣7值时，．18．（12分）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标（m，n），求：（1）点P在直线x+y=7上的概率；（2）点P在圆x2+y2=25外的概率．【解答】解：（1）列表如图；由上表格可知，所有的点P坐标（m，n）共计36个，其中满足x+y=7的有6个，所以P点在直线x+y=7上的概率为=．（2）在圆x2+y2=25内的点P有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4）（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），共计13个，在圆上的点P有（3，4），（4，3），共计2个，上述共有15个点在圆内或圆上，可得点P在圆x2+y2=25外的概率为1﹣=．19．（12分）已知sin2α=，．（1）求cos2α及cosα的值；（2）求满足条件sin（α﹣x）﹣sin（α+x）+2cosα=的锐角x．【解答】解：（1）因为，所以．…（1分）又sin2α=．因此cos2α=﹣=．…（4分）由cos2α=2cos2α﹣1，得cosα=﹣．…（7分）（2）因为sin（α﹣x）﹣sin（α+x）+2cosα=﹣，所以2cosα（1﹣sinx）=﹣，所以sinx=．…（10分）因为x为锐角，所以x=．…（14分）20．（12分）为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值；（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，再结合频率分布直方图可知n=，∴a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27，；（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人；第3组：人；第4组：人（Ⅲ）设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1．则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1）共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：．21．（12分）已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2．（1）求角A的值；（2）若a=，则求b+c的取值范围．【解答】解：（1）在锐角△ABC中，根据（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2=a﹣2a•，利用正弦定理可得（sinB﹣2sinC）cosA=sinA（﹣cosB），即sinBcosA+cosBsinA=2sinCcosA，即sin（B+A）=2sinCcosA，即sinC=2sinCcosA，∴cosA=，∴A=．（2）若a=，则由正弦定理可得==2，∴b+c=2（sinB+sinC）=2[sinB+sin（﹣B）]=3sinB+cosB=2sin（B+）．由于，求得＜B＜，∴＜B+＜．∴sin（B+）∈（，1]，∴b+c∈（3，2]．22．（12分）已知函数f（x）=sinωx•cosωx+3cos2ωx﹣（ω＞0），且f（x）的最小周期为（1）求函数f（x）的解析式及函数f（x）的对称中心；（2）若3sin2﹣m[f（﹣）﹣1]≥m+2对任意x∈[0，2π]恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=sinωx•cosωx+3cos2ωx﹣，=sin2ωx+﹣=sin2ωx+cos2ωx+1=（sin2ωx+cos2ωx）+1=sin（2ωx+）+1，∵f（x）的最小周期为，∴=，∴ω=2，∴f（x）=sin（4x+），由4x+=kπ可得x=π﹣，∴函数的对称中心为（π﹣，1）（k∈Z）；（2）∵3sin2﹣m[f（﹣）﹣1]≥m+2对任意x∈[0，2π]恒成立，∴3sin2﹣m[sin+1﹣1]≥m+2，即3sin2﹣3msin≥m+2对任意x∈[0，2π]恒成立，即m≤，令sin=t（0≤t≤1），设y=，∴=显然，该函数在[0，1]上为增函数，故它的最小值为﹣2，∴m﹣2，∴实数m的取值范围（﹣∞，﹣2]．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。