2018届湖南省衡阳市第八中学高三(实验班)上学期第二次月考数学(文)试题
【高三数学试题精选】衡阳八中2018秋高三数学上第二次月考检测(含答案理科)
衡阳八中2018秋高三数学上第二次月考检测（含答案理科）
5 c 衡阳八中 x，x∈(0，π/2) f’(x) = 1 - csx 0 g’(x) = (1/cs x) - 1 0 由
于f(x)和g(x)在(0，π/2)上都是单调递增函数所以f(x) f(0) = 0，g(x) g(0) = 0 == x - sinx
0 ， tanx - x 0 = x sinx ，tanx x ∴sinx x tanx，x∈(0，π/2) ………6分
（2）当x 0时，“sin xx a”等价于“sin x－ax 0”，“sin xx b”等价于“sin x－bx 0”．
令g(x)＝sin x－cx，则g′(x)＝cs x－c
讨论
当c≤0时，g(x) 0对任意x∈0，π2恒成立．
当c≥1时，因为对任意x∈0，π2，g′(x)＝cs x－c 0，所以g(x)在区间0，π2上单
调递减，从而g(x) g(0)＝0对任意x∈0，π2恒成立． (8)
分
当0 c 1时，存在唯一的x0∈0，π2使得g′(x0)＝cs x0－c ＝0
g(x)与g′(x)在区间0，π2上的情况如下
x(0，x0)x0x0，π2
g′(x)＋0－
g(x)递增递减
因为g(x)在区间(0，x0)上是增函数，所以g(x0) g(0)＝0 于是“g(x) 0对任意x∈0，π2恒
成立”当且仅当gπ2＝1－π2c≥0，即0 c≤2π ………11分综上所述，当且仅当c≤2π时，g(x) 0对任意x∈0，π2恒成立；当且仅当c≥1时，g(x) 0
对任意x∈0，π2恒成立．。
【高三】湖南衡阳市2018届高三《数学》上学期第二次月考试题实验班文(含答案)
2017年下期高三年级第二次月考试卷文数（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第二次月考试卷，分两卷。
其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm 签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.已知集合M={x|﹣2x+1＞0}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则a的范围是（）A．B．C．D．2.在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限3.已知a=8.10.51，b=8.10.5，c=log30.3，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a4.某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（）A．90 B．75 C．60 D．455.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，2a，2b，2c成等比数列，则sinAcosBsinC=（ ）A ．B ．C ．D ．6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（ ） A ．180 B ．200 C ．128 D ．1628.某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．9.函数y=e x x 2﹣1的部分图象为（ ）A．B．C．D．10.动点P（x，y）满足，点Q为（1，﹣1），O为原点，λ||=，则λ的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．11.已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，]C．[，1） D．[，1）12.若存在两个正实数x，y，使得等式3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．C．D．第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.若数列{a n}是等差数列，首项a1＞0，a2003+a2004＞0，a2003•a2004＜0，则使前n项和S n＞0成立的最大自然数n是．14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosC﹣3ccosB=a，则tan（B﹣C）的最大值为．15.已知四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD垂直于平面ABCD，在△PAD中，PA=PD=2，∠APD=120°，AB=4，则球O的表面积等于．16.已知椭圆与直线，，过椭圆上一点P作l1，l2的平行线，分别交l1，l2于M，N两点．若|MN|为定值，则的值是．三.解答题（共6题，共70分）17.（本题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，（Ⅰ）求△ABC的面积．（Ⅱ）已知等差数列{a n}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．18.（本题满分12分）某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表，（1）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；（2）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率．参考公式与临界值表：K2=．19.（本题满分12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥平面PAD；（2）取AB=2，在线段PD上是否存在点H，使得EH与平面PAD所成最大角的正切值为，若存在，请求出H点的位置，若不存在，请说明理由．20.（本题满分12分）如图，椭圆C1： =1（a＞0，b＞0）和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，且圆C2的面积为π，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B，直线EA、EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P、M．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△EPM面积最大值．21.（本题满分12分）已知函数．（Ⅰ）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；（Ⅲ）设函数，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．选做题请考生从22、23两题中任选一题作答，并将选择的题号填涂在答题卡上，共10分。
湖南省衡阳市第八中学2018届高三(实验班)上学期第二次月考理科综合试题
衡阳八中2017年下期高三实验班第二次月考试卷理科综合（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高三实验班第二次月考试卷，分两卷。
其中共31题，满分300分，考试时间为150分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B 铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm 签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
第I 卷 选择题（每题6分，共126分）本卷共21题，每题6分。
其中物理部分为不定项选择题，全部选对得6分，部分选对得3分，错选，多选不得分。
化学部分和生物部分后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1．一质点由静止做匀加速直线运动，加速度大小为1α，经过时间一段后，加速度方向反向、大小变为2α，经过相同时间，恰好回到出发点，则两次的加速度大小之比12:αα为（ ）A. 1:2B. 1:3C. 1:4D. 1:52．如图所示，在高度不同的两水平台阶上放有质量分别为m 1、m 2的两物体，物体间用轻弹簧相连，弹簧与竖直方向夹角为θ。
在m 1左端施加水平拉力F ，使m 1、m 2均处于静止状态，已知m 1表面光滑，重力加速度为g ，则下列说法正确的是（ ）A. 弹簧弹力的大小为1cos m g θB. 地面对m 2的支持力可能为零C. 地面对m 2的摩擦力大小为FD. m 1与m 2一定相等3．同步卫星距地心距离为r ，运行速率为1v ，加速度为1a ，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为2a ，第一宇宙速度为2v ，地球的半径为R ，则下列比例正确的是（ ）A ．12a r a R =B ．212()a R a r =C ．12v r v R =D ．1122()v R v r= 4．如图所示，在倾角为θ的斜面上，轻质弹簧一与斜面底端固定，另一端与质量为M 的平板A 连接，一个质量为m 的物体B 靠在平板的右测，A 、B 与斜面的动摩擦因数均为μ．开始时用手按住物体B 使弹簧处于压缩状态，现放手，使A 和B 一起沿斜面向上运动距离L 时，A 和B 达到最大速度v ．则以下说法正确的是（ ）A. A 和B 达到最大速度v 时，弹簧是自然长度B. 若运动过程中A 和B 能够分离，则A 和B 恰好分离时，二者加速度大小均为()sin cos g θμθ+C. 从释放到A 和B 达到最大速度v 的过程中．弹簧对A 所做的功等于21sin cos 2MV MgL MgL θμθ++ D. 从释放到A 和B 达到最大速度v 的过程中，B 受到的合力对它做的功等于212MV 5．电荷量为q 1和q 2的两点电荷分别固定在x 轴上的O 、C 两点，规定无穷远处电势为零，一带正电的试探电荷在x 轴上各点具有的电势能随x 的变化关系如图所示。
湖南省衡阳市八中高三数学第二次月考(文科)试题卷
衡阳市八中高三第二次月考数学（文科）试题卷（2008、09、28）说明：本卷满分共150分、时量为120分钟一、选择题：（5 × 10 = 50分，每题均有唯一正确答案）1、 已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = （ ） A –4 B –6 C –8 D –102、 已知 M =｛x ｜y = x 2 + 1 ｝，N =｛y ｜y = x 2 – 1 ｝，那么M ∩N =( ) A. φ B. M C. N D. R3、 设全集=<==A C xx A R U u 则},01|{, （ ）A ．1{|0}x x ≥B ．}01|{>xx C ．{x|x ≥0} D ．{x |x ＞0}4、已知函数y = f(｜x ｜)的图象如图所示，则函数y = f(x)的图象不可能是( )5、 已知数列}{n a ，那么“对任意的*N n ∈，点),(n n a n P 都在直线12+=x y 是“}{n a 为等差数列”的 ( )A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6、 已知三个不等式，①x 2-4x+3<0，②x 2-6x+8<0，③2x 2-9x+m<0，要使同时满足①和②的所有x 的值都满足③，则实数m 的取值范围是( ) A.m>9 B.m=9 C.m ≤9 D.0＜m ≤97、 已知函数)1(log )(+=x x f a 的定义域和值域都是[0，1]，则a 的值是（ ）A ．22 B ．2 C ．2D ．318、正项等比数列｛a n ｝与等差数列｛b n ｝满足7711,b a b a ==且71a a ≠，则4a ，4b 的大小关系为 （ ） （A ） 4a =4b（B ）4a ＜4b （C ）4a ＞4b （D ）不确定9、函数f(x)是定义在实数集R 上的奇函数，且f(x)=-f(x+2)，当0≤x ≤1时，f(x)= ，若已知n ∈Z ，则使f(x)=- 成立的x 值为( )A.2nB.2n-1C.4n+1D.4n-110、设a 1,a 2,…，a 50是从-1，0，1这三个整数中取值的数列，若a 1+a 2+…+a 50=9，且（a 1+1）2+（a 2+1）2+…+（a 50+1）2=107，则： a 1,a 2, …，a 50中为0的个数有（ ） A 、10 B 、11 C 、12 D 、13二、填空题：（5×5 = 25分）11、夏季某高山上的温度从山脚起，每升高100米降低0.7℃，已知山顶处的温度是14.8℃，山脚温度是26℃，则这山的山顶相对于山脚处的高度是 ；12、二次函数y = x 2 + 2ax + b 在[－1，+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围.13、不等式0)31(||>-x x 的解集是14、设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，，则{}n a 的通项公式为 ．15、某同学在电脑中打出如下若干个圈:●○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前2008个圈中的●的个数是 ．三、解答题：（12+10+12+13+14+14=75分） 16、若函数f(x) = 2x-a+ 3的反函数的图象经过点P （5，2），试求f(x)反函数，并解不等式：f -1(x)＞ log 2x + log 2(x -5)；17、已知：数列｛a n ｝是等比数列，前n 项的和为S n ，若 S m = 20，S 2m = 60，212x试求S 4m 的值；18、设函数y = x 3 + ax 2 + bx + c 的图象如图所示，且与y = 0在原点相切，若函数的极小值为－4，（1）求a 、b 、c 的值；（2）求函数的递减区间。
湖南省衡阳八中2018学年高二上学期第二次月考数学试卷
2018-2018学年湖南省衡阳八中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0 B．∃x0∈R，2x18+1＞0C．∃x0∈R，2x18+1＜0 D．∃x0∈R，2x18+1≤02．问题：①某地区10000名中小学生，其中高中生2000名，初中生4500名，小学生3500名，现从中抽取容量为200的样本；②从1018件同一生产线生产的产品中抽取20件产品进行质量检查．方法：Ⅰ、随机抽样法Ⅱ、分层抽样法Ⅲ、系统抽样法．其中问题与方法配对较适宜的是（）A．①Ⅰ，②ⅡB．①Ⅲ，②ⅠC．①Ⅱ，②ⅢD．①Ⅲ，②Ⅱ3．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少1名女生”与事件“全是男生”（）A．是互斥事件，不是对立事件B．是对立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是对立事件D．既不是互斥事件也不是对立事件4．双曲线=1的焦距为（）A．2B．4C．2D．45．若函数f（x）=x3﹣x2+1，则（）A．最大值为1，最小值为B．最大值为1，无最小值C．最小值为，无最大值D．既无最大值也无最小值6．若f′（x0）=2，则等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．7．有5个不同的社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加的社团不同的概率为（）A．B．C．D．已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85，则m的值为（）A．1 B．0.85 C．0.7 D．0.59．如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，4 D．85，1.610．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的“”附：参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过l%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B．在犯错误的概率不超过l%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”11．函数f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则的最小值是（）A．10 B．9 C．8 D．12．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，与双曲线的其中一个交点为P，设O为坐标原点，若（m，n∈R），且mn=，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，乙获胜的概率为，甲获胜的概率是，甲不输的概率．14．在区间[﹣2，2]上任取一个实数，则该数是不等式x2＜1的解的概率为．15．抛物线y2=﹣4x的准线方程是．5]，部分对应值如下表．下列关于f（x）的命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）在[0，2]是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=x3+．求函数f（x）在点P（2，4）处的切线方程．18．已知p：（x+2）（x﹣6）≤0，q：|x﹣2|＜5，命题“p∨q”为真，“¬p”为真，求实数x的取值范围．19．2018年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：（60，65），[65，70），[70，75），[80，85），[85，90）后得到如图的频率分布直方图．（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．（3）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率．20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+b2=0，其中a，b∈R．若a随机选自区间[0，4]，b随机选自区间[0，3]，求方程有实根的概率．21．已知椭圆=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点F1，F2距离之和为4，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．点P（2，1）为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．22．已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=﹣时，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）a=时，令h（x）=f（x）﹣3lnx+x﹣．求h（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若函数f（x）≤x﹣1对∀x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．2018-2018学年湖南省衡阳八中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0 B．∃x0∈R，2x18+1＞0C．∃x0∈R，2x18+1＜0 D．∃x0∈R，2x18+1≤0【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是：∃x0∈R，2x18+1≤0．故选：D．2．问题：①某地区10000名中小学生，其中高中生2000名，初中生4500名，小学生3500名，现从中抽取容量为200的样本；②从1018件同一生产线生产的产品中抽取20件产品进行质量检查．方法：Ⅰ、随机抽样法Ⅱ、分层抽样法Ⅲ、系统抽样法．其中问题与方法配对较适宜的是（）A．①Ⅰ，②ⅡB．①Ⅲ，②ⅠC．①Ⅱ，②ⅢD．①Ⅲ，②Ⅱ【考点】收集数据的方法．【分析】根据分层抽样和系统抽样的定义即可得到结论【解答】解：对于①因为地区10000名中小学生，分为高中，初中，小学，所以应该采用分层抽样，故①Ⅱ搭配，对于②，从1018件同一生产线生产的产品中抽取20件产品，应该根据系统抽样法，故②Ⅲ搭配．故选：C3．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少1名女生”与事件“全是男生”（）A．是互斥事件，不是对立事件B．是对立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是对立事件D．既不是互斥事件也不是对立事件【考点】随机事件．【分析】互斥事件是两个事件不包括共同的事件，对立事件首先是互斥事件，再就是两个事件的和事件是全集，本题所给的两个事件不可能同时发生，且和是全集．【解答】解：“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两个女生”两种情况，这两种情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故互为对立事件，故选C．4．双曲线=1的焦距为（）A．2B．4C．2D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】直接利用双曲线方程，求出c，即可得到双曲线的焦距．【解答】解：双曲线=1，可知a2=10，b2=2，c2=12，∴c=2，2c=4．双曲线=1的焦距为：4．故选：D．5．若函数f（x）=x3﹣x2+1，则（）A．最大值为1，最小值为B．最大值为1，无最小值C．最小值为，无最大值D．既无最大值也无最小值【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=x3﹣x2+1，∴f′（x）=3x2﹣3x=3x（x﹣1），则由f′（x）=3x（x﹣1）＞0，解得x＞1或x＜0，此时函数单调递增，由f′（x）=3x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1，此时函数单调递减，即函数在x=0处取得极大值，在x=1处取得极小值，无最大值和最小值．故选：D．6．若f′（x0）=2，则等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．【考点】极限及其运算．【分析】首先应该紧扣函数在一点导数的概念，由概念的应用直接列出等式，与式子对比求解．【解答】解析：因为f′（x0）=2，由导数的定义即=2⇒=﹣1所以答案选择A．7．有5个不同的社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加的社团不同的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】分别求出甲、乙两名同学各自参加其中1个社团的总事件个数，及这两位同学参加的社团不同的事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：有5个不同的社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个社团，共有5×5=25种不同的情况；其中这两位同学参加的社团共有5×4=20不同的情况；故这两位同学参加的社团不同的概率P==，故选：D．已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85，则m的值为（）A．1 B．0.85 C．0.7 D．0.5【考点】线性回归方程．【分析】求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出m的值．【解答】解：∵==，=，∴这组数据的样本中心点是（，），∵关于y与x的线性回归方程=2.1x+0.85，∴=2.1×+0.85，解得m=0.5，∴m的值为0.5．故选：D．9．如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，4 D．85，1.6【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【分析】由茎叶图可知评委打出的最低分为79，最高分为93，去掉最高分和最低分，其余得分为84，84，86，84，87，求出平均数，再求出方差．【解答】解：由茎叶图可知评委打出的最低分为79，最高分为93，其余得分为84，84，86，84，87，故平均分为=85，方差为 [3×（84﹣85）2+（86﹣85）2+（87﹣85）2]=1.6．故选D．10．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的附：参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过l%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B．在犯错误的概率不超过l%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”【考点】独立性检验．【分析】通过图表读取数据，代入观测值公式计算，然后参照临界值表即可得到正确结论．【解答】解：由2×2列联表得到a=45，b=10，c=30，d=15．则a+b=55，c+d=45，a+c=75，b+d=25，ad=675，bc=300，n=100．代入，得k2的观测值k=．因为2.718＜3.180＜3.841．所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．故选C．11．函数f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则的最小值是（）A．10 B．9 C．8 D．【考点】导数的运算；基本不等式．【分析】求出原函数的导函数，由f′（1）=2a+b=2，得，把变形为后整体乘以1，展开后利用基本不等式求最小值．【解答】解：由f（x）=ax2+bx，得f′（x）=2ax+b，又f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，所以f′（1）=2a+b=2，即．则=．当且仅当，即时“=”成立．所以的最小值是9．故选B．12．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，与双曲线的其中一个交点为P，设O为坐标原点，若（m，n∈R），且mn=，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质；平面向量的基本定理及其意义．【分析】求出A、C坐标，然后求出P的坐标，代入双曲线方程，利用，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意可知，代入=，得，代入双曲线方程，得，所以4e2mn=1，因为，即可得；故选C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，乙获胜的概率为，甲获胜的概率是，甲不输的概率．【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】甲获胜和乙不输是对立互斥事件，甲不输与乙获胜对立互斥事件，根据概率公式计算即可．【解答】解：甲获胜和乙不输是对立互斥事件，∴甲获胜的概率是1﹣（）=，甲不输与乙获胜对立互斥事件．∴甲不输的概率是1﹣=，故答案为：，．14．在区间[﹣2，2]上任取一个实数，则该数是不等式x2＜1的解的概率为．【考点】几何概型．【分析】由题意，本题符合几何概型，只要求出对应区间的长度，利用长度比得到概率．【解答】解：由已知，区间[﹣2，2]长度为4，而不等式x2＜1的解是（﹣1，1），区间长度为2，由几何概型公式得到在区间[﹣2，2]上任取一个实数，则该数是不等式x2＜1的解的概率为；故答案为：．15．抛物线y2=﹣4x的准线方程是x=1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的标准方程及基本概念，结合题中数据加以计算，可得答案．【解答】解：∵抛物线的方程y2=﹣4x，∴2p=4，得=1，因此，抛物线的焦点为F（﹣1，0），准线方程为x=1．故答案为：x=15]，部分对应值如下表．下列关于f（x）的命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）在[0，2]是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是②⑤．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的周期性；函数的零点；利用导数研究函数的单调性．【分析】先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对五个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案．【解答】解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象可由以下两种代表形式，如图：由图得：①为假命题．函数f（x）不能断定为是周期函数．②为真命题，因为在[0，2]上导函数为负，故原函数递减；③为假命题，当t=5时，也满足x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2；④为假命题，当a离1非常接近时，对于第二个图，y=f（x）﹣a有2个零点，也可以是3个零点．⑤为真命题，动直线y=a与y=f（x）图象交点个数可以为0、1、2、3、4个，故函数y=f （x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．综上得：真命题只有②⑤．故答案为：②⑤三、解答题（本大题共6小题，共70分，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=x3+．求函数f（x）在点P（2，4）处的切线方程．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程，即可得到所求切线方程．【解答】解：函数f（x）=x3+的导数为f′（x）=x2，则函数f（x）在点P（2，4）处的切线斜率为k=f′（2）=4，即有函数f（x）在点P（2，4）处的切线方程为y﹣4=4（x﹣2），即为4x﹣y﹣4=0．18．已知p：（x+2）（x﹣6）≤0，q：|x﹣2|＜5，命题“p∨q”为真，“¬p”为真，求实数x的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】利用不等式的解法分别化简命题p，q，由命题“p∨q”为真，“¬p”为真，可知：p假q真，即可得出．【解答】解：p：由（x+2）（x﹣6）≤0，解得﹣2≤x≤6，q：由|x﹣2|＜5，解得﹣3≤x≤7．由命题“p∨q”为真，“¬p”为真，可知：p假q真，由，∴实数x的取值范围是[﹣3，﹣2）∪（6，7]．19．2018年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：（60，65），[65，70），[70，75），[80，85），[85，90）后得到如图的频率分布直方图．（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．（3）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率．【考点】等可能事件的概率；用样本的频率分布估计总体分布．【分析】（1）这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样；（2）选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴的左边即为中位数；利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数．（3）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数和车速在[65，70）的车辆数．从车速在（60，70）的车辆中任抽取2辆，设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，列出各自的基本事件数，从而求出相应的概率即可．【解答】解：（1）由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样．故调查公司在采样中，用到的是系统抽样，（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：0.01×5+0.18×5+0.18×5+0.18×（x﹣75）=0.5，解得x=77.5，即中位数的估计值为77.5（3）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数为：m1=0.01×5×40=2（辆），车速在[65，70）的车辆数为：m2=0.18×5×40=4（辆）设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，则所有基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种其中车速在[65，70）的车辆至少有一辆的事件有：（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共14种所以，车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率为．20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+b2=0，其中a，b∈R．若a随机选自区间[0，4]，b随机选自区间[0，3]，求方程有实根的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由a∈[0，4]，b∈[0，3]，求出试验的全部结果构成区域Ω的面积为μΩ=3×4=12，事件A所构成的区域Ω={（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3，a≥b}，由此能示出方程有实根的概率．【解答】解：设事件A表示“方程有实根”，因为a∈[0，4]，b∈[0，3]，则试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3}，Ω的面积为μΩ=3×4=12，事件A所构成的区域Ω={（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3，a≥b}，A的面积为，所以方程有实根的概率．21．已知椭圆=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点F1，F2距离之和为4，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．点P（2，1）为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为常数2a=，得，离心率，于是，从而可得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程为，把其与椭圆的方程联立，求出弦长，即为△PAB的底，由点线距离公式求出△PAB的高，然后用基本不等式求最值．【解答】解：（1）由条件得：，解得，所以椭圆的方程为（2）设l的方程为，点A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y得x2+2mx+2m2﹣4=0．令△=4m2﹣8m2+16＞0，解得|m|＜2，由韦达定理得．则由弦长公式得|AB|=•=•．又点P到直线l的距离，∴，当且仅当m2=2，即时取得最大值．∴△PAB面积的最大值为2．22．已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=﹣时，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）a=时，令h（x）=f（x）﹣3lnx+x﹣．求h（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若函数f（x）≤x﹣1对∀x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）先求导，根据导数和函数的单调性即可求出单调区间；（Ⅱ）先求导，根据导数和函数的最值的关系即可求出；（Ⅲ）构造函数，转化为设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），则g（x）max≤0，x∈[1，+∞），根据导数和函数最值的关系分类讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣时，f（x）=﹣（x﹣1）2+lnx，（x＞0）…f'（x）=﹣x++=﹣，…①当0＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（0，2）单调递增；②当x＞2时，f'（x）＜0，f（x）在（2，+∞）单调递减；所以函数的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．…（Ⅱ）当a=时，h（x）=f（x）﹣3lnx+x﹣=x2﹣2lnx，∴h′（x）=x﹣令h′（x）=0解得x=，…当x∈[1，]时，h′（x）＜0，当x∈[，e）时，h′（x）＞0，故x=是函数h（x）在[1，e]上唯一的极小值点，…故h（x）min=h（）=1﹣ln2，又h（1）=，h（e）=e2﹣2，所以h（x）max=e2﹣2．…（Ⅲ）由题意得a（x﹣1）2+lnx≤x﹣1对x∈[1，+∞）恒成立，…设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），则g（x）max≤0，x∈[1，+∞），∴，…①当a≤0时，若x＞1，则g′（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）单调递减，∴g（x）max=g（1）=0≤0成立，得a≤0；…②当时，，g（x）在[1，+∞）单调递增，所以存在x＞1，使g（x）＞g（1）=0，则不成立；…③当时，x=＞1，则f（x）在[1，]上单调递减，[，+∞）单调递增，则存在∈[，+∞），有g（）=a（﹣1）2+ln﹣+1=﹣lna+a﹣1＞0，所以不成立，…综上得a≤0．…2018年11月15日。
数学---湖南省衡阳八中2018届高三(上)第二次月考试卷(理)(解析版)
湖南省衡阳八中2018届高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合M={1，2，3，4}，则集合P={x|x∈M，且2x∉M}的子集个数为（）A．2 B．3 C．4 D．82．（5分）下列说法正确的是（）A．在三角形ABC中，A＞B是sin A＞sin B的充要条件；B．已知α，β是两个平面，a，b是两条直线，若α∩β=a，b⊂α，b⊥α，则α⊥β；C．已知命题p，q，若p∧q为假命题，则p∨q是假命题；D．命题“∃x∈（﹣∞，0），3x＜5x”是真命题．3．（5分）已知=3，则tanα=（）A．2 B．3 C．D．4．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且a3=1，a5a6a7=8，则a9=（）A．2 B．4 C．6 D．85．（5分）已知点P是椭圆=1上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若成立，则λ的值为（）A．B．C．D．26．（5分）将函数向右平移个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）与，，x轴围成的图形面积为（）A．B．C．D．7．（5分）已知f（x）=（x﹣2017）（x+2018）的图象与x轴、y轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，）D．（0，）8．（5分）已知函数f（x）=2017x﹣2017﹣x+2，则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）9．（5分）在直角坐标平面内，过定点P的直线l：ax+y﹣1=0与过定点Q的直线m：x﹣ay+3=0相交于点M，则|MP|2+|MQ|2的值为（）A．B．C．5 D．1010．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．9（+1）π+8B．9（+2）π+4﹣8C．9（+2）π+4D．9（+1）π+8﹣811．（5分）如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，C为弧上且与A，B不重合的一个动点，且=x+y，则关于x+y的最值说法正确的是（）A．最小值和最大值分别为﹣，B．最小值和最大值分别为1，C．最大值为，无最小值D．最小值为1，无最大值12．（5分）已知函数f（x）=，则函数F（x）=f[f（x）]﹣f（x）﹣1（e 为自然对数的底数）的零点个数是（）A．3 B．4 C．6 D．8二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知||=4，||=2，且||=，则与的夹角为．14．（5分）已知x，y满足，z=2x+y的最大值是m，若正数a，b满足a+b=m，则的最小值为．15．（5分）已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD⊥底面ABC，G为△ABC的重心，且直线DG与底面ABC所成角的正切值为，则球O的表面积为．16．（5分）某学校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第k棵树种植在点P k（x k，y k）处，其中x1=1，y1=1，当k≥2时，其中[a]表示不大于实数a的最大整数，如[2.6]=2、[0.6]=0，按此方案第2018棵树种植点的坐标为．三、解答题（共70分）17．（10分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）．（1）若函数f（x）的最小值是f（﹣1）=0，且c=1，求函数f（x）的解析式；（2）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在区间（0，1]上恒成立，试求b的取值范围．18．（12分）若向量，其中ω＞0，记函数，若函数f（x）的图象上相邻两个极值点之间的距离是．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）设△ABC三内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若a+b=3，，f（C）=1，求△ABC的面积．19．（12分）设数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1．（1）设数列{b n}的前n项和为T n，且T n+=3，求{b n}的通项公式；（2）令c n=b2n（n∈N*），求数列{c n}的前n项和R n．20．（12分）如图多面体ABCD中，面ABCD为正方形，棱长AB=2，AE=3，DE=，二面角E﹣AD﹣C的余弦值为，且EF∥BD，EF=BD．（1）证明：面ABCD⊥面EDC；（2）求平面AFE与平面CDE所成锐二面角的余弦值．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ=4，求m的取值范围．22．（12分）设函数f（x）=x2﹣bx+a ln x．（Ⅰ）若b=2，函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求实数a的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f（x2）＞﹣；（Ⅲ）若对任意b∈[1，2]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．【参考答案】一、选择题1．C【解析】根据题意，若1∈P，则2×1=2∈M，故不满足题意；若2∈P，则2×2=4∈M，故不满足题意；若3∈P，则2×3=6∉M，故满足题意；若4∈P，则2×4=8∉M，故满足题意；综上，P={3，4}，所以集合P的子集有：∅，{3}，{4}，{3，4}，故选：C．2．A【解析】对于A，因为在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔2R sin A＞2R sin B⇔sin A＞sin B，所以A正确；对于B，设a，b是两条直线，α，β是空间中两个平面．若b⊂α，b⊥a，α∩β=a，则α⊥β相交，也可能不垂直．故B不正确；对于C，命题p，q，若p∧q为假命题，说明两个命题至少一个是假命题，点两个命题都是假命题时p∨q是假命题，两个命题一个是真命题，一个是假命题时，则p∨q是真命题，所以C不正确；对于D，因为y=是增函数，并且y＜1，所以x∈（﹣∞，0）时，3x＞5x，所以命题“∃x ∈（﹣∞，0），3x＜5x”是真命题，不正确；故选：A．3．D【解析】由=3，得，即，则tan．故选：D．4．B【解析】设等比数列{a n}的公比为q，∵a3=1，a5a6a7=8，∴=1，=8，解得q3=2．则a9==4．5．D【解析】设△PF1F2的内切圆的半径为r，∵M为△PF1F2的内心，S△MPF1=λS△MF1F2﹣S△MPF2，∴|PF1|=λ×|F1F2|﹣|PF2|，∴|PF1|=λ|F1F2|﹣|PF2|，∴|PF1|+|PF2|=λ|F1F2|，∵点P是椭圆上一点，F1F2分别为椭圆的左、右焦点，∴2a=λ×2∴λ===2，故选：D．6．B【解析】将函数向右平移个单位，得到函数=sin（2x+π）=﹣sin2x，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）=﹣sin x的图象，则函数y=﹣sin x与，，x轴围成的图形面积：﹣+（﹣sin x）d x=﹣cos x+ cos x=+1=故选B7．A【解析】f（x）=（x﹣2017）（x+2018）的图象与x轴、y轴有三个不同的交点，这三点坐标为：（2017，0），（﹣2018，0），（0，﹣2018×2017）我们设该圆与坐标轴的另一个交点是（0，b）点，则由相交弦定理我们可得：b×（﹣2018×2017）=﹣2018×2017，解得b=1，故选A．8．A【解析】设g（x）=2017x﹣2017﹣x，g（﹣x）=2017﹣x﹣2017x=﹣g（x），则g（x）为奇函数，由y=2017x，与y=﹣2017﹣x在R上递增，可得g（x）在R上单调递增；∴由f（3x+1）+f（x）＞4得，g（3x+1）+2+g（x）+2＞4；∴g（3x+1）＞g（﹣x）；∴3x+1＞﹣x；解得x＞﹣；∴原不等式的解集为（﹣，+∞）．故选：A．9．D【解析】∵在平面内，过定点P的直线ax+y﹣1=0与过定点Q的直线x﹣ay+3=0相交于点M，∴P（0，1），Q（﹣3，0），∵过定点P的直线ax+y﹣1=0与过定点Q的直线x﹣ay+3=0垂直，∴M位于以PQ为直径的圆上，∵|PQ|==，∴|MP|2+|MQ|2=10，故选：D．10．D【解析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥和一个圆锥拼接而成，故该几何体的表面积S=（2π×3）×3+π×32﹣（2）2+4（×8）=9（+1）π+8﹣8．故选：D．11．B【解析】过点C作CE∥OB，交OA于E，再作CF∥OA，交OB于F，∵四边形OECF是平行四边形，∴==x+y，x、y均为正数，当点C沿AB弧由A向B运动的过程中，||变短而||变长．∴当C与A重合时，x=1达到最大而y=0达到最小，此时x+y有最小值为1；当C与B重合时，x=0达到最小而y=1达到最大，此时x+y有最小值为1．当C在中点时，x=y，且x2+y2﹣2xy cos120°=1，解得x=y=，此时x+y有最大值．∴x+y的最小值和最大值分别为1，．故选：B．12．C【解析】令F（x）=0得f（f（x））=+1．令f（x）=t得f（t）=+1．作出f（t）与y=的函数图象如图所示：设y=ln x与y=kx+1相切，切点坐标为（m，n），则，解得k=，∴直线y=+1与y=f（t）相切，由图象可知直线y=+1与y=f（t）有4个交点，设4个交点横坐标从小到大依次为t1，t2，t3，t4，则t1＜t2=0＜t3＜1＜t4．由y=f（x）的函数图象可知：f（x）=t1无解；f（x）=t2只有1解；f（x）=t3有3解；f（x）=t4有2解．综上，F（x）=0有6解．故选：C．二、填空题13．120°【解析】||=4，||=2，且||=，可得，解得cos=﹣．∴=120°故答案为：120°．14．【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（3，0），代入目标函数z=2x+y得z=2×3+0=6．即目标函数z=2x+y的最大值为6．即m=6，则a+b=6，即=1，则=（）×=（1+4++）≥（5+2）==，当且仅当=，即b2=4a2，即b=2a时取等号，故答案为：15．【解析】由题意，AG=2，AD=1，cos∠BAC==﹣，∴sin∠BAC=，∴△ABC外接圆的直径为2r==，设球O的半径为R，∴R==∴球O的表面积为，故答案为．16．（3，404）【解析】根据题意，x1=1，x2﹣x1=1﹣5[]+5[]，x3﹣x2=1﹣5[]+5[]，x4﹣x3=1﹣5[]+5[]，…x k﹣x k﹣1=1﹣5[]+5[]，以上各式相加可得：x k=k﹣5[]，y k=[]+1，∴x2018=2018﹣5[]=2018﹣5×403=3，∴y2018=[]+1=404．故答案为：（3，404）．三、解答题17．解：（1）由题意，4ac﹣b2=0，可得：a=1，b=2那么函数f（x）的解析式为f（x）=x2+2x+1；（2）由a=1，c=0，可得f（x）=x2+bx，其对称轴x=．由|f（x）|≤1，∴原命题等价于﹣1≤x2+bx≤1在（0，1]上恒成立，即b≤﹣x且b≥﹣﹣x在（0，1]上恒成立．又x∈（0，1]时，﹣x的最小值为0，﹣﹣x的最大值为﹣2，∴﹣2≤b≤0．即b的取值范围是[﹣2，0]．18．解：（Ⅰ）∵，∴，设f（x）的周期为T，由正弦函数的图象可得：22+（）2=（）2，解得：周期T=π，故ω=1，则f（x）=sin（2x﹣）．（Ⅱ）由f（C）=1，得，∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，解得C=，又∵a+b=3，，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2ab cos，∴（a+b）2﹣3ab=3，即ab=2，∴由面积公式得△ABC的面积为：S=．19．解：（1）a n=2n﹣1，可得T n+=3，即为T n=3﹣n•（）n﹣1，当n=1时，b1=T1=3﹣1=2，当n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1=3﹣n•（）n﹣1﹣3+n•（）n﹣2=（n﹣2）•（）n﹣1，则b n=；（2）c n=b2n=（n﹣1）•（）n﹣1，前n项和R n=0•（）0+1•（）1+…+（n﹣1）•（）n﹣1，R n=0•（）1+1•（）2+…+（n﹣1）•（）n，两式相减可得，R n=0+（）1+…+（）n﹣1﹣（n﹣1）•（）n=﹣（n﹣1）•（）n，化简可得R n=﹣．20．（1）证明：∵AB=2，AE=3，DE=，∴AD2+DE2=AE2，则AD⊥DE，又ABCD为正方形，∴AD⊥DC，从而AD⊥平面EDC，于是面ABCD⊥面EDC；（2）解：由（1）知AD⊥DE，AD⊥DC，∴∠EDC是二面角E﹣AD﹣C的平面角．作EO⊥DC交DC于O，则DO=DE cos∠EDO=1，且EO⊥面ABCD．取AB中点M，则OM⊥DC．以O为坐标原点，以OM、OC、OE所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系O﹣xyz．于是，E（0，0，2），D（0，﹣1，0），B（2，1，0），A（2，﹣1，0）．得=（2，2，0），=（﹣2，1，2），==（1，1，0）．设平面AEF的一个法向量为，由，取x=1，得，又平面CDE的一个法向量为，∴cos＜＞==．∴平面AFE与平面CDE所成锐二面角的余弦值为．21．解：（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x1﹣x2|=，由题意得，△MNF2的面积为|MN|×|F1F2|=c|MN|=，又∵，解得b2=1，a2=4，椭圆C的标准方程为：x2+．（Ⅱ）当m=0时，则P（0，0），由椭圆的对称性得，∴m=0时，存在实数λ，使得+λ=4，当m≠0时，由+λ=4，得，∵A、B、p三点共线，∴1+λ=4，⇒λ=3⇒设A（x1，y1），B（x2，y2）由，得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4=0，由已知得△=4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0且x1+x2=，x1x2=．由得x1=﹣3x23（x1+x2）2+4x1x2=0，∴，⇒m2k2+m2﹣k2﹣4=0显然m2=1不成立，∴∵k2﹣m2+4＞0，∴，即．解得﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2．综上所述，m的取值范围为（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}22．解：（Ⅰ）由已知，b=2时，f（x）=x2﹣2x+a ln x，f（x）的定义域为（0，+∞），求导数得：f′（x）=，∵f（x）有两个极值点x1，x2，f′（x）=0有两个不同的正根x1，x2，故2x2﹣2x+a=0的判别式△=4﹣8a＞0，即a＜，且x1+x2=1，x1•x2=＞0，所以a的取值范围为（0，）；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，＜x2＜1且f′（x2）=0，得a=2x2﹣2，∴f（x2）=﹣2x2+（2x2﹣2）ln x2，令F（t）=t2﹣2t+（2t﹣2t2）ln t，（＜t＜1），则F（t）=2（1﹣2t）ln t，当t∈（，1）时，F′（t）＞0，∴F（t）在（，1）上是增函数∴F（t）＞F（）=，∴f（x2）＞﹣；（Ⅲ）令g（b）=﹣xb+x2+a ln x，b∈[1，2]，由于x∈（1，e），所以g（b）为关于b的递减的一次函数，根据题意，对任意b∈[1，2]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，则x∈（1，e）上g（b）max=g（1）=﹣x+x2+a ln x＜0有解，令h（x）=﹣x+x2+a ln x，则只需存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜0即可，由于h′（x）=，令ω（x）=2x2﹣x+a，x∈（1，e），ω′（x）=4x﹣1＞0，∴ω（x）在（1，e）上单调递增，∴ω（x）＞ω（1）=1+a，①当1+a≥0，即a≥﹣1时，ω（x）＞0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，e）上是增函数，∴h（x）＞h（1）=0，不符合题意，②当1+a＜0，即a＜﹣1时，ω（1）=1+a＜0，ω（e）=2e2﹣e+a，（ⅰ）若ω（e）＜0，即a≤2e2﹣e＜﹣1时，在x∈（1，e）上ω（x）＞0恒成立即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e），使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意，（ⅱ）若ω（e）＞0，即2e2﹣e＜a＜﹣1时，在（1，e）上存在实数m，使得ω（m）=0，∴在（1，m）上，ω（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e），使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意，综上所述，当a＜﹣1时，对任意b∈[1，2]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立．。
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衡阳市八中2017届高三第二次月考数学试题答案 （考试内容：集合与逻辑用语、函数、导数、三角函数） 共150分，考试用时120分钟。
一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 答案：B2.已知a 函数3()12f x x x =-的极小值点，则a =( ) (A)-16 (B) -2 (C)16 (D)2 【答案】D3.设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ， b ，c 的大小关系是（A ）A 、a ＞c ＞bB 、a ＞b ＞cC 、c ＞a ＞bD 、b ＞c ＞a4．函数y=sin(2x+π6 )的图象可看成是把函数y=sin2x 的图象作以下平移得到（ D ）A. 向右平移π6B. 向左平移π6C. 向右平移 π12D. 向左平移 π125．已知函数31(),3(),(2log 2)3(1),3xx f x f f x x ⎧≥⎪=+⎨⎪+<⎩则的值为（ B ）A ．227-B ．154C ．227D ．54-6. 已知函数sin cos 1212y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（B ） A ．此函数的最小正周期为2π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．此函数的最小正周期为π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭ C ．此函数的最小正周期为2π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭D ．此函数的最小正周期为π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭7．若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos = （ A ） A ．97-B ．31- C ．31 D ．978.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ A )【解析】：由题意得，x a =，x b =为()f x 的零点，由图可知，01a <<，1b <-，∴()g x 的图象可由xy a =向下平移b -个单位得到，∵01a <<，由于1-<b ，1->∴b 故可知A符合题意，故选A ．9．设12322()log (1)2x ex f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为 （ C ） A ．(1,2)(3,)⋃+∞ B ．(10,)+∞C ．(1,2)(10,)⋃+∞D ．（1，2）10. 已知函数1()()2ln ()f x a x x a R x =--∈，()ag x x=-，若至少存在一个0[1,e]x ∈，使00()()f x g x >成立，则实数a 的范围为( B )A ．[2e ，+∞) B ．(0，+∞) C ．[0，+∞) D ．(2e，+∞) 【答案】B11．已知函数()224|log |02151222x x f x x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数,,,a b c d 满足()()()()f a f b f c f d ===其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是（ B ）. A ．()16,21 B ．()16,24 C ．()17,21 D ．()18,24 【答案】B.1,0log 2=∴=∴ab ab 从而的两根是方程则记,12521,,log 422t x x d c t b =+-=2416,2416,40),12(2<<∴<<∴<<-=abcd cd t t cd 而512π 3π-xy 2O12．已知定义在R 上的奇函数f (x )的导函数为)(x f '，当x <0时，f （x ）满足()()2 ') (f x xf x xf x +<，则f (x )在R 上的零点个数为( A )A .1B .3C . 5D .1或3 【答案】A仅一个零点又时时)(,0)0(.0)()(0.0)(,0x f f x f x f x x f x ∴=>--=>∴<<二 填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B = 【答案】{1,4}14.以曲线x y 2cos =为曲边的曲边形(如下图阴影部分)面积为45|2sin 21|2sin 212cos 2cos :434412434412=-=-=⎰⎰ππππππππx x xdxxdx S 解15．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则(0)f 的值是 .解：353(),,241234T T ππππω=--=∴=∴=把5(,2)12π代入，得552sin()22662k ππϕπϕπ+=⇒+=+ 2,,3223k k Z ππππϕπϕϕ∴=-+∈-<<∴=-()2sin(2)(0)2sin()333f x x f ππ∴=-∴=-=-16. 已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x ex --=-，则曲线()y f x =在(1,2)处的切线方程式为_____________________________. 【答案】2y x = 【解析】试题分析：当0x >时，0x -<，则1()x f x ex --=+．又因为()f x 为偶函数，所以1()()x f x f x e x -=-=+，所以1()1x f x e -'=+，则切线斜率为(1)2f '=，所以切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．三 解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分10分）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x 。
湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高三上学期第三次(10月)月考数学文试题 Word版含答案
2017-2018学年 数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知i 是虚数单位，则i i +-在复平面对应的点是（ ）A ．()1,0B ．()0,1C ．()1,1D ．()1,1- 2. 函数()()20f x x x x=+>的单调减区间是（ ）A ．()2,+∞B ．()0,2C ．)+∞ D ．(3. 判断下列四个：①若a b ，则a b =；②若a b =，则a b =；③若a b =，则a b ；④若a b =，则a b =，其中正确的个数是（ ）A ． 1B ．2C ．3D ．44. 如图是函数()y f x =的导函数 ()'y f x =的图象，则下列判断正确的是（ ）A ．在区间()3,1-上()y f x =是增函数B ．在区间()1,3上()y f x =是减函数C ．在区间()4,5上()y f x =是增函数D ．在2x =时()y f x =取到极小值5. 若1tan 3θ=，则cos 2θ=（ ） A ．45- B ．15- C ．15 D ．456. 已知单位向量12,e e 的夹角为α,且1cos 3α=,若向量1232a e e =-,则a =（ ）A ．2B ．3C ．9D ．13 7. 函数()()2sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示, 则,ωϕ的值分别是（ ） A ．2,6π-B ．2,3π-C ．4,6π-D ．4,3π8. 已知ABC ∆中, 内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若222,3a b c bc a =+-=,则ABC ∆的周长的最大值为（ ）A ． ．6 C ．9 9. 已知ABC ∆的三个内角分别为A 、B 、C ,若函数()22cos cos cos2C f x x x A B =--有一零点为1,则ABC ∆一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形10. 已知[]:1,2p x ∀∈-,函数()2f x x x =-的值大于0,若p q ∨是真, 则q 可以是（ ）A ．()1,1x ∃∈-, 使得1cos 2x <B ．“30m -<<” 是 “函数()2log f x x x m =++在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上有零点” 的必要不充分条件 . C ．6x π=是曲线()2cos 2f x x x =+的一条对称轴D ．若()0,2x ∈,则在曲线()()2xf x ex =-上任意一点处的切线的斜率不小于1e- 11. 函数cos sin y x x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12. 若实数m 的取值使函数()f x 在定义域上有两个极值点, 则叫做函数()f x 具有“凹凸趋向性”, 已知()'f x 是函数()f x 的导数, 且()'2ln mf x x x=-,当函数()f x 具有“凹凸趋向性”时, m 的取值范围是（ ） A ．2,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．2,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．2,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D ．22,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若函数()3225f x x x mx =++-在R 上的单调递增函数, 则m 的取值范围是 ．14. 若直线l 与曲线C 满足下列两个条件: ①直线l 在点()00,P x y 处与曲线 C 相切;②曲线 C 在P 附近位于直线l 的两侧, 则称直线l 在点P 处“切过”曲线 C ,下列正确的是 ．(写出所有正确的编号〕①直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线 3:C y x = ②直线:1l x =-在点()1,0P -处“切过”曲线 ()2:1C y x =+ ③直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线 :sin C y x = ④ 直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线 :tan C y x = ⑤直线:1l y x =-在点()1,0P 处“切过”曲线 :ln C y x =15. 若函数()()f x x R ∈是周期为4的奇函数，且在[]0,2上的解析式为()()1,01sin ,12x x x f x x x π-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则294146f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 16. 如图，边长为2的正方形ABCD 的项点,A B 分别在两条互相垂直的射线,OP OQ 上滑动，则OC OD 的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 2a B c b =-.（1）求A 的大小;（2）若2,4a b c =+=,求ABC ∆的面积.18. （本小题满分12分）为了促进人口的均衡发展，我国从2016年1月1日起，全国统一实施全面放开两孩政策, 为了解适龄国民对放开生育二胎政策的态度，某部门对70后和80后年龄的人作为调查对象，进行了问卷调查，其中，持“支持生二胎” “不支持生二胎”，和“保留意见”，态度的人数如下表所示.（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人,其中持“支持”，态度的有36人, 求n 的值;（2）在持“不支持”态度的人中，仍用分层抽样的方法抽取5人，并将其看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有一个80后的概率.19. （本小题满分12分）如图所示, 在正三棱柱111ABC A B C -中,1,AB AA D = 是BC 上的一点, 且1AD C D ⊥. （1）求证:1A B 平面1AC D ;（2）在棱1CC 上是否存在一点P ,使直线1PB ⊥平面1AC D ？若存在, 找出这个点, 并加以证明, 若不存在, 请说明理由.20. （本小题满分12分）已知向量()3sin ,,cos ,14a x b x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. （1）当a b 时, 求2cos sin 2x x -的值;（2）设函数()()2f x a b b =+∙,已知在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,若2,sin 3a b B ===求()4cos 20,63f x A x ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤++∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭的取值范围.21. （本小题满分12分）设函数()()()101xxf x a k aa a -=-->≠且是定义域为R 的奇函数.（1）求k 的值;（2）若()10f <,试判断函数的单调性, 并求使不等式()()240f x tx f x ++-<恒成立,求t 的取值范围.（3）若()312f =,且()()222x xg x a a mf x -=+-在[)1,+∞上的最小值为2-,求m 的值. 22.（本小题满分12分）设函数()()21ln 2f x x a b x ab x =-++(其中e 为自然对数的底数,,a e b R ≠∈), 曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程为212y e =-.（1）求b ;（2）若对任意()1,,x f x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭有且只有两个零点, 求a 的取值范围.湖南省衡阳市第八中学2017届高三上学期第三次（10月）月考数学（文）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分） 1-5.CDACD 6-10.BBDAC 11-12.D 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 34≥m 14. ① ③ ④ 15.51616.8 三、解答题17.解：2222222222cos 2,2221=2220,3a cb a Bc b a c bacb c a bcb c a bc bc bc A A ππ+-=-⋅=-+-=+-==<<=解法一：由余弦定理得即根据余弦定理，有cosA 又故解法二，由正弦定理得：2sinAcosB=2sinC-sinB=2sin(A+B)-sinB 即：2cosAsinB=sinB1sin 0,cos ,23B A A π≠∴==(2)222,43a Abc bc π==+-=由余弦定理得2b+c 34,4,4bc b c bc ∴-=+=∴=（）又1sin 2ABC S bc A ∆∴==18. 解： （1）所有参与调查的人数为780+120+420+180+200+300=2000 由分层抽样的特点知 36200080900n =⨯= (2) 710P =19. 解：试题解析：（1）证明：因为111ABC A B C -是正三棱柱， 所以1CC ⊥平面ABC ，所以1CC AD ⊥，又1AD C D ⊥，111CC C D C =,所以AD ⊥平面1BCC B ，所以AD BC ⊥，所以D 是BC 的中点.如图，连接1AC ，设与1AC 相交于点E ，则点E 为1AC 的中点，连接DE ，则在1A BC ∆中，因为,D E 分别是1,BC AC 的中点， 所以1//A B DE ，又DE 在平面1AC D 内，1A B 不在平面1AC D 内， 所以1//A B 平面1AC D .（2）存在这样的点P ，且点P 为1CC 的中点，下面证明：由（1）知AD ⊥平面1BCC B ，故1B P AD ⊥，设1PB 与1C D 相交于点Q ，由于1DC C ∆≌11PBC ∆，故111QB C CC D ∠=∠, 因为111QC B CDC ∠=∠，从而11QC B ∆∽1CDC ∆， 所以011190C QB DCC ∠=∠=，所以11B P C D ⊥. 因为1ADC D D =，所以1B P ⊥平面1AC D20. 解：（1）因为a ∥b ， 所以34cos x ＋sin x ＝0， 所以tan x ＝－34.cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85.(2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋32.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得 sin A ＝22，所以A ＝π4，或A ＝3π4. 因为b ＞a ，所以A ＝π4.f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12，因为[0,]2x π∈，所以2x ＋π4∈5[,]44ππ， 32-≤f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6≤2－12.∴所求范围是312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.21. 解：（1）00(0)(1)1(1)0f a k a k =--=--=，k=2 （2）由（1）知()(0,1).x x f x a a a a -=->≠且1(1)0,0,0,1,01f a a a a a<∴-<>≠∴<<又且 x y a R ∴=在上是减函数，x y a -=在R 上是增函数， 故f(x)在R 上是单调递减， 不等式22()(4)0()(-4)f x tx f x f x tx f x ++-<+<可化为224,(1)40x tx x x t x ∴+>-+-+>即恒成立， 2(1)160,t ∴∆=--<解得-3<t<5(3)3131(1)=,2(222f a a a a ∴-=∴==-，或舍去）2222222min min ()222(22)(22)2(22)2()22,3()221,(1)23()=22()2()23,2,223317253,-32=224122x x x x x x x x x x x x g x m m n k x k x x n k h n n mn n m m n m m m n m m ------∴=+--=---+==-=-≥∴≥=-+=-+-≥≥=-∴=<==->令为增函数，令若则当n=m 时，h (n)=2-m 若则当时，h (n)=，（舍去）综上可知，m=222. 解：（1）求导()()()()ab x a x b f x x a b x x--'=-++=，再由条件'()0f e =，从而可求得b e =；（2）由（1）得21()()ln 2f x x a e x ae x =-++，()()()x a x e f x x --'=，因此需对a 的取值分以下三种 情况分类讨论：①当1a e≤时，要使得()f x 在1[,)e +∞上有且只有两个零点，只需2111()ln 2a e f ae e e e e +=-+222(12)2(1)02e e e ae--+=≥， ②当1a e e<<时，求导确定零点个数， ③当a e >时，求导确定零点个数. 试题解析：（1）()()()()ab x a x b f x x a b x x--'=-++=， 2分 ∵()0f e '=，a e ≠，∴b e =； 3分（2）由（1）得21()()ln 2f x x a e x ae x =-++，()()()x a x e f x x --'=，①当1a e≤时，由()>0f x '得x e >，由()0f x '<得1x e e <<，此时()f x 在1(,)e e 上单调递减，在()e +∞，上单调递增，∵2211()()ln 022f e e a e e ae e e =-++=-<，242221112()()2(2)(2)(2)()0222f e e a e e ae e e e a e e e e=-++=--≥-->（或当x →+∞时，()0f x >亦可）∴要使得()f x 在1[,)e+∞上有且只有两个零点，则只需2111()ln 2a e f ae e e e e +=-+222(12)2(1)02e e e ae --+=≥，即22122(1+)e a e e -≤， 6分 ②当1a e e<<时，由()>0f x '得1x a e <<或x e >；由()0f x '<得a x e <<.此时()f x 在(,)a e 上单调递减，在1(,)a e和()e +∞，上单调递增， 此时222111()l n l n 0222f a a a e a e a a a e a e e a =--+<--+=-<，∴此时()f x 在[)e +∞，至多只有一个零点，不合题意， 9分 ③当a e >时，由()0f x '>得1x e e<<或x a >，由()0f x '<得e x a <<，此时()f x 在1(,)e e 和()a +∞，上单调递增，在(,)e a 上单调递减，且21()02f e e =-<，∴()f x 在1[,)e+∞至多只有一个零点，不合题意.综上所述，实数a 的取值范围为2212(]2(1+)e e e --∞,.。
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2018届湖南省衡阳市第八中学高三（实验班）上学期第二次月考数学（文）试题注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第二次月考试卷，分两卷。
其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.已知集合M={x|﹣2x+1＞0}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则a的范围是（）A．B．C．D．2.在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限3.已知a=8.10.51，b=8.10.5，c=log30.3，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a4.某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（）A．90 B．75 C．60 D．455.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，2a，2b，2c成等比数列，则sinAcosBsinC=（）A．B．C．D．6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）A．2 B．3 C．4 D．57.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（）A．180 B．200 C．128 D．1628.某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．9.函数y=e x x2﹣1的部分图象为（）A．B．C．D．10.动点P（x，y）满足，点Q为（1，﹣1），O为原点，λ||=，则λ的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．11.已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，]C．[，1） D．[，1）12.若存在两个正实数x，y，使得等式3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．C．D．第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.若数列{a n}是等差数列，首项a1＞0，a2003+a2004＞0，a2003•a2004＜0，则使前n项和S n＞0成立的最大自然数n是．14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosC﹣3ccosB=a，则tan（B﹣C）的最大值为．15.已知四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD垂直于平面ABCD，在△PAD中，PA=PD=2，∠APD=120°，AB=4，则球O的表面积等于．16.已知椭圆与直线，，过椭圆上一点P作l1，l2的平行线，分别交l1，l2于M，N两点．若|MN|为定值，则的值是．三.解答题（共6题，共70分）17.（本题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，（Ⅰ）求△ABC的面积．（Ⅱ）已知等差数列{a n}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．18.（本题满分12分）某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表，（1）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；（2）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率．参考公式与临界值表：K2=．19.（本题满分12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥平面PAD；（2）取AB=2，在线段PD上是否存在点H，使得EH与平面PAD所成最大角的正切值为，若存在，请求出H点的位置，若不存在，请说明理由．20.（本题满分12分）如图，椭圆C1： =1（a＞0，b＞0）和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，且圆C2的面积为π，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B，直线EA、EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P、M．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△EPM面积最大值．21.（本题满分12分）已知函数．（Ⅰ）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；（Ⅲ）设函数，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．选做题请考生从22、23两题中任选一题作答，并将选择的题号填涂在答题卡上，共10分。
22.（选修4-4.坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（θ为参数， r为大于零的常数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+15=0．（Ⅰ）若曲线C1与C2有公共点，求r的取值范围；（Ⅱ）若r=1，过曲线上C1任意一点P作曲线C2的切线，切于点Q，求|PQ|的最大值．23.（选修4-5.不等式选讲）设函数f（x）=|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]，，求m+4n的最小值．衡阳八中2017年下期高三实验班第二次月考文数参考答案13.400614.15.32π16.217.（Ⅰ）∵在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，∴由正弦定理得：，即：b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理得：，又∵0＜A＜π，∴，…（3分）∵且，即：5acosC=﹣5，即：，与联立解得：c=12，∴△ABC的面积是：；…（6分）（Ⅱ）数列{a n}的公差为d且d≠0，由a1cosA=1，得a1=2，又a2，a4，a8成等比数列，得，解得d=2…（8分）∴a n=2+（n﹣1）×2=2n，有a n+2=2（n+2），则…（10分）∴=．…（12分）18.（1）假设成绩与班级无关，则K2=≈7.5（4分）则查表得相关的概率为99%，故没达到可靠性要求．…（6分）（2）设“抽到9或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，所有的基本事件有：6×6=36个．…（8分）事件A包含的基本事件有：（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（5，5）、（4，6）、（6，4）共7个…（10分）所以P（A）=，即抽到9号或10号的概率为．…（12分）19.（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形，∵E为BC的中点，∴AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE．而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD；（6分）（2）解：设线段PD上存在一点H，连接AH，EH．由（1）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，AE=，∴当AH最短时，即当AH⊥PD时，∠EHA最大，此时，因此AH=．（9分）∴线段PD上存在点H，当DH=时，使得EH与平面PAD所成最大角的正切值为．（12分）20.（1）依题意，b=1，则a=3b．∴椭圆方程为．（3分）（2）（Ⅰ）由题意知直线PE，ME的斜率存在且不为0，PE⊥ME，不妨设直线PE的斜率为k（k＞0），则PE：y=kx﹣1．由，得，或，∴．（5分）用代替k，得，，（7分）∴=．（9分）设，则．当且仅当时取等号．（12分）21.（I）当p=2时，函数，f（1）=2﹣2﹣2ln1=0.，曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2﹣2=2．从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1）（2分）即y=2x﹣2．（II）．令h（x）=px2﹣2x+p，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．由题意p＞0，h（x）=px2﹣2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴，只需，即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）．（5分）（III）∵在[1，e]上是减函数，∴x=e时，g（x）min=2；x=1时，g（x）max=2e，即g（x）∈[2，2e]，当p＜0时，h（x）=px2﹣2x+p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在y轴的左侧，且h（0）＜0，所以f（x）在x∈[1，e]内是减函数．（6分）当p=0时，h（x）=﹣2x，因为x∈[1，e]，所以h（x）＜0，，此时，f（x）在x∈[1，e]内是减函数．（7分）∴当p≤0时，f（x）在[1，e]上单调递减⇒f（x）max=f（1）=0＜2，不合题意；当0＜p＜1时，由，所以．又由（2）知当p=1时，f（x）在[1，e]上是增函数，∴，不合题意；（9分）当p≥1时，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是减函数，故只需f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]，而，g（x）min=2，即，解得（11分）综上所述，实数p的取值范围是．（12分）22.（Ⅰ）∵曲线C1：（θ为参数，r为大于零的常数），∴消去参数r，得曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=r2（r＞0），∵曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+15=0，∴曲线C2的直角坐标方程为x2+（y﹣4）2=1．若C1与C2有公共点，则r﹣1≤≤r+1，解得3≤r≤5，故r的取值范围是[3，5]．（5分）（Ⅱ）设P（cosα，sinα），由|PQ|2=|PC2|2﹣|C2Q|2=|PC2|2﹣1，得|PQ|2=cos2α+（sinα﹣4）2﹣1=16﹣8sinα≤16+8=24，当且仅当sinα=﹣1时取最大值，故|PQ|的最大值为2．（10分）23.（1）当a=2时，不等式为|x﹣2|+|x﹣1|≥7，∴或或，∴不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）．（5分）（2）解：f（x）≤1即|x﹣a|≤1，解得a﹣1≤x≤a+1，而f（x）≤1的解集是[0，2]，∴，解得a=1，∴，∴（当且仅当时取等号）．即，∴时，．（10分）。