排列与组合.版块三.基本计数原理的综合应用.学生版

组合数：从 n 个不同元素中，任意取出 m (m ≤ n) 个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个
不同元素中，任意取出 m 个元素的组合数，用符号 Cmn 表示．
组合数式： Cmn
n(n
1)(n
2)(n m!
m
1)
n! m!(n m)!
， m, n N
，并且 m ≤ n
．
1
组合数的两个性质：性质
叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素） 排列数：从 n 个不同的元素中取出 m(m ≤ n) 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同
元素中取出
m
个元素的排列数，用符号
A
m n
表示．
排列数公式：
A
m n
n(n
1)( n
2) ( n
m
1)
，
m，n N
，并且
⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．
2
典例分析
基本计数原理的综合应用 【例 1】 用 0 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，
则这样的五位数的个数是_________．（用数字作答）
【例 2】 若自然数 n 使得作竖式加法 n (n 1) (n 2) 均不产生进位现象．则称 n 为“可连
颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有
位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；
2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做
到分类明确，层次清楚，不重不漏．
3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．
4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元
计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事
才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．
分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、
组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．
2． 排列与组合 ⑴排列：一般地，从 n 个不同的元素中任取 m(m ≤ n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，
数”．例如：32 是“可连数”，因 32 33 34 不产生进位现象； 23 不是“可连数”，因
23 24 25 产生进位现象．那么，小于1000 的“可连数”的个数为（ ）
A． 27
B． 36
C． 39
D． 48
【例 3】 由正方体的 8 个顶点可确定多少个不同的平面？
【例 4】 如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一
⑵乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 n 个子步骤，做第一个步骤有 m1 种不同的方法， 做第二个步骤有 m2 种不同方法，……，做第 n 个步骤有 mn 种不同的方法．那么完成这件事 共有 N m1 m2 mn 种不同的方法．又称乘法原理．
⑶加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类
转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位排列的问题．
1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途 径： ①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； ③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组 合数． 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计 数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式 子计算作答． 2．具体的解题策略有： ①对特殊元素进行优先安排； ②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； ④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．
般地平均分成 n 堆（组），必须除以 n ！，如果有 m 堆（组）元素个数相等，必须除以 m ！
8．错位法：编号为 1 至 n 的 n 个小球放入编号为 1 到 n 的 n 个盒子里，每个盒子放一个
小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当 n 2 ，3，4，5
时的错位数各为 1，2，9，44．关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算，可以用剔除法
素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．
5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．
6．插板法： n 个相同元素，分成 m(m ≤ n) 组，每组至少一个的分组问题——把 n 个元
素排成一排，从
n
1
个空中选
m
1
个空，各插一个隔板，有
C m1 n 1
．
7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一
m≤n
．
全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个不同元素的一个全排列．
n 的阶乘：正整数由1到 n 的连乘积，叫作 n 的阶乘，用 n!表示．规定： 0! 1 ．
⑵组合：一般地，从 n 个不同元素中，任意取出 m (m ≤ n) 个元素并成一组，叫做从 n 个
元素中任取 m 个元素的一个组合．
基本计数原理的综合应用
知识内容
1．基本计数原理 ⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第 二类办法中有 m2 种方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法．那么完成这件事共有 N m1 m2 mn 种不同的方法．又称加法原理．
1：
Cmn
Cnm n
；性质
2：
Cm n 1
Cmn
Cm 1 n
．（规定
C0n
1）
⑶排列组合综合问题
解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是
分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：
1．特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；