山东省淄博第六中学学年高一数学下学期学科竞赛(学分认定考试)试题
2023-2024学年山东省淄博市高一下学期期中数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年山东省淄博市高一下册期中数学模拟试题一、单选题1．已知复数2i12ia z -=-（其中i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值是（）A ．1-B ．2C ．3D ．4【正确答案】A【分析】利用复数的除法化简复数z ，根据复数的概念可得出关于a 的等式与不等式，解之即可.【详解】因为()()()()2i 12i 2i 224i 12i 12i 12i 55a a a az -+-+-===+--+为纯虚数，则2205405a a +⎧=⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩，解得1a =-，所以实数a 的值是1-.故选：A 2．7tan()6π-=（）A．3BC．D．3-【正确答案】D【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值计算作答.【详解】7πππtan()tan(π)tan 6663-=-+=-=-.故选：D.3．已知向量a 、b不共线，且(),21c xa b d a x b =+=+- ，若c 与d 共线，则实数x 的值为（）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．1-或12-【正确答案】C【分析】根据平面向量共线的基本定理可得关于实数x 的等式，解之即可.【详解】因为c 与d 共线，则存在k R ∈，使得d kc =，即()21a x b kxa kb +-=+ ，因为向量a 、b 不共线，则121kx k x =⎧⎨=-⎩，整理可得()211x x -=，即2210x x --=，解得12x =-或1.故选：C.4．下列说法中，正确的是（）A ．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆锥B ．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面C ．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台D ．以正方体的顶点为顶点可以构成正四棱锥【正确答案】B【分析】根据圆锥、球体、正方体以及正四棱锥的结构特征逐一判断各选项.【详解】对于A ，以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆锥正确；故A 错误；对于B ，用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面正确，故B 正确；对于C ，用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故C 错误；对于D ，正四棱锥的顶点在底面的投影为正方形的中心，正方体的顶点中没有这样的点，故D 错误.故选：B.5．已知向量,a b 不共线，若2AB a b =+ ，4BC a b =-- ，53CD a b =-- ，则四边形ABCD 是A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形【正确答案】A【分析】根据线性运算可求得2AD BC =，得到平行关系和模长关系，从而得到四边形形状.【详解】()()()2453822AD AB BC CD a b a b a b a b BC =++=+-+-+=--=//AD BC ∴ 且AD BC≠∴四边形ABCD 为梯形本题正确选项：A本题考查根据向量线性运算结果判断四边形形状的问题，关键是能够通过向量加法运算得到向量平行和模长的关系.6．已知π1sin 63x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 26x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．9B ．29C ．79D ．29-【正确答案】C 【分析】令π6t x =-，则π6x t =+，1sin 3t =，再利用诱导公式及二倍角公式计算可得；【详解】令π6t x =-，则π6x t =+，1sin 3t =，所以πππsin 2=sin 2666x t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π27sin 2cos 212sin 1299t t t ⎛⎫=+==-=-= ⎝⎭.故选：C.7．如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时A 处看灯塔S 在船的北偏东sin 4θθ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭的方向上.1小时后，船航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的北偏东3θ的方向上，则船航行到B 处时与灯塔S 之间的距离为（）A ．海里B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】确定2S θ∠=，cos 4θ=，根据正弦定理得到sin BS θ=.【详解】32S θθθ∠=-=，AB =π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos θ=则sin sin 2BS AB θθ=，即sin BS θ=，cos BS θ==故选：B8．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形ABCDEFGH 的边长为，点P 是正八边形ABCDEFGH 边上的一点，则AP AB ⋅的最小值是（）．A ．4-B ．42-C ．42D ．4【正确答案】B【分析】过点H 作直线AB 的垂线HM ，垂足为点M ，计算出AM，分析可知当点P 在线段GH上时，AP 在AB方向上的投影cos ,AP AP AB 取最小值，结合平面向量数量积的几何意义求得结果.【详解】过点H 作直线AB 的垂线HM ，垂足为点M ，cos ,22cos ,AP AB AP AB AP AB AP AP AB ⋅==，如图，由平面向量数量积的几何意义可知，AP AB ⋅ 等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，当点P 在线段GH 上时，AP 在AB方向上的投影cos ,AP AP AB 取最小值，此时π4HAM ∠=，22AH =，2AM =，cos ,2AP AP AB AM =-=- ，故AP AB ⋅的最小值为()22242-=-.故选：B.二、多选题9．已知复数3i1iz +=-，则下列结论中正确的是（）A ．z 对应的点位于第一象限B ．z 的虚部为2C ．5z =D ．5zz =【正确答案】ACD【分析】利用复数的乘除运算、模运算，以及复数的几何意义求解，再逐项判断作答.【详解】()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z ++++====+--+，z 对应的点(1,2)位于第一象限，A 正确；12i z =-的虚部为2-，B错误；z =C 正确；()()12i 12i 145zz =+-=+=，D 正确.故选：ACD10．下列说法中正确的是（）A ．向量1(2,3)e =- ，213(,)24e =- 能作为平面内所有向量的一组基底B ．已知6a =，e 为单位向量，若3π,4a e 〈〉= ，则a 在e上的投影向量为-C ．若()3,4a =- ，则与a 垂直的单位向量坐标为43(,)55或43(,)55--D ．若0a b ⋅< ，则a 与b的夹角是钝角【正确答案】BC【分析】利用共线向量的坐标表示判断A ；求出投影向量判断B ；利用向量垂直的坐标表示求出单位向量判断C ；举例说明判断D 作答.【详解】对于A ，因为12(2,3)4e e =-=- ，则21,e e不能作为平面内的基底，A 错误；对于B ，a 在e上的投影向量为3π(||cos ,)(6cos )4a a e e e 〈〉==-，B 正确；对于C ，设与a 垂直的单位向量坐标为(,)x y ，则有223401x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得4535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4535x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以与a 垂直的单位向量坐标为43(,)55或43(,)55--，C 正确；对于D ，当,πa b 〈〉= 时，0a b ⋅< ，即当0a b ⋅< 时，a 与b的夹角可能是π，D 错误.故选：BC11．已知函数π()4cos sin()13f x x x =⋅-+的图象为C ，则下列结论正确的是（）A ．图象C 关于直线π6x =对称B ．函数()f x 在π5π(,)1212-单调递减C ．5π()12f x +为偶函数D ．若方程()0f x m -=在区间ππ[,]122有两个实根，则1,3)m ∈【正确答案】CD【分析】利用三角恒等变换化简函数()f x ，再结合正弦函数的性质逐项验证判断作答.【详解】依题意，21()4cos (sin cos )1sin 21)122f x x x x x x =+=-+πsin 2212sin(2)13x x x =-+=-+，对于A ，因为πππ2sin 211663f ⎛⎫⎛⎫=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以图象C 关于直线π6x =不对称，A 错误；对于B ，当π5π(,)1212x ∈-时，πππ2(,)322x -∈-，而正弦函数sin y x =在ππ(,22-上递增，因此函数()f x 在π5π(,)1212-单调递增，B 错误；对于C ，5π5πππ()2sin[2()]12sin(2)12cos 21121232f x x x x +=+-+=++=+，函数5π()12f x +为偶函数，C 正确；对于D ，当ππ[,]122x ∈时，ππ2π2[,363x -∈-，则当πππ2[,]362x -∈-时，()f x 是递增的，函数值从0递增到3，当ππ2π2[,]323x -∈时，()f x 是递减的，函数值从31，方程()0f x m -=在区间ππ[,]122有两个实根，即函数()y f x =在ππ[,]122上的图象与直线y m =有两个公共点，所以1,3)m ∈，D 正确.故选：CD12．已知△ABC 中，1AB =，4AC =，BC =，D 在BC 上，AD 为BAC ∠的角平分线，E 为AC 中点，下列结论正确的是（）A ．5AD =B ．△ABC 内切圆半径为6C ．△ABC 外接圆半径为3D ．P 在△ABE 的外接圆上，则2PB PE +的最大值为【正确答案】ABD【分析】对于A ，用等面积法ABC ABD ACD S S S =+ ，求AD 进行验证；对于B ，由余弦定理算出π3BAC ∠=，计算ABC 面积，再求得内切圆半径为r 进行判断；对于C ，由正弦定理求外接圆半径即可；对于D ，用正弦定理表示PB ，PE ，结合三角函数性质验证结果.【详解】对于A ，因为AD 为BAC ∠的角平分线，1AB =，4AC =，由等面积法得11sin sin 2222ABC ABD ACD BAC BAC S S S AB AD AC AD ∠∠=+=⋅+⋅ ，54AD，解得5AD =，故A 正确；对于B ，在ABC 中，由余弦定理得2221cos 22AC AB BC BAC AC AB +-∠==⋅，因为()0,πBAC ∠∈，所以π3BAC ∠=.所以1sin 2ABC S AB AC BAC =⋅∠= 设△ABC 内切圆半径为r ,()(111422ABC S AB AC BC r =++=++=则6r =，故B 正确；对于C ，π3BAC ∠=，BC =，由正弦定理得2πsin 3sin 3BC R BAC ===∠，△ABC外接圆半径为3，故C 错误；对于D ，P 在ABE的外接圆上，如图则π3BPE BAE ∠=∠=，1AB =，2AE =，在ABE中，由余弦定理得BE ，所以在BPE 中，记PBE α∠=，2π3BEP α∠-=，由正弦定理得2π32sin PB α⎛⎫- ⎝=⎪⎭，2sin PE α=，，所以2π22sin 4sin cos 5sin 3PB PE αααα⎛⎫+=-++ ⎪⎝⎭()αϕ+，其中tan 5ϕ=，又因为2π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当π2αϕ+=时，2PB PE +取最大值，最大值为D 正确.故选：ABD.三、填空题13A B C ''' （B '与O '重合）是水平放置的ABC 的直观图，则ABC 的面积为________．【分析】根据给定的直观图作出原图，再计算面积作答.【详解】在直观图中，A B C ''' 为等腰直角三角形，斜边A B ''=1A C ''=，1B C ''=，则原图形如图，有AB BC ⊥，21AB A B BC B C ''''====，所以ABC 的面积11122ABC S AB BC =⋅=⨯= .14．若tan 2θ=，则sin 2cos 2θθ+=________．【正确答案】15/0.2【分析】根据给定条件，利用二倍角的正余弦公式，结合齐次式法求值作答.【详解】因为tan 2θ=，所以222222222sin cos cos sin 2tan 1tan 22121sin 2cos 2cos sin 1tan 125θθθθθθθθθθθ+-+-⨯+-+====+++.故1515．若非零向量,a b 满足||2|||3|a b a b ==+ ，则,a b夹角的余弦值为________．【正确答案】34-/0.75-【分析】利用给定等式，结合数量积的运算律求出a b ⋅的表达式，再利用向量夹角公式计算作答.【详解】由||2||a b = ，|||3|a a b =+ ，得2222(3)69a a b a a b b =+=+⋅+ ，则232a b b ⋅=- ，因此22332cos ,4||||2||b a b a b a b b -⋅〈〉===- ，所以,a b 夹角的余弦值为34-.故34-16．已知在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，且2BD =，4=AD ，则cos BAC ∠的最小值为________．【正确答案】35/0.6【分析】在ABD △和ACD 中，分别用余弦定理建立关系，并求得2240AB AC +=，再在ABC 中利用余弦定理结合基本不等式求解作答.【详解】依题意，2CD BD ==，4=AD，如图，在ABD △中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠2016cos ADB =-∠，在ACD 中，由余弦定理得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠2016cos ADC =-∠，而πADB ADC ∠+∠=，即cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，两式相加得2240AB AC +=，于是22240AB AC AB AC ⋅≤+=，当且仅当AB AC ==在ABC 中，2222404243cos 22405AB AC BC BAC AB AC AB AC +--∠==≥=⋅⋅，所以cos BAC ∠的最小值为35.故35四、解答题17．已知向量(1,2)a =，(3,2)b =- ．(1)求2a b - ；(2)已知c = ，且(2)a c c +⊥ ，求向量a 与向量c 的夹角．【正确答案】；(2)3π4.【分析】（1）利用向量的坐标表示，再借助坐标计算向量的模作答.（2）由向量的模，结合向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再求出夹角作答.【详解】（1）向量(1,2)a = ，(3,2)b =- ，则2(1,2)2(3,2)(5,6)a b -=--=- ，所以|2|a b -=.（2）由c = ，(2)a c c +⊥ ，得2(2)22100a c c a c c a c +⋅=⋅+=⋅+= ，解得5a c ⋅=- ，由(1,2)a =，得||a =cos ,2||||a c a c a c ⋅〈〉==-，而,[0,π]a c 〈〉∈ ，则有3π,4a c 〈〉= ，所以向量a 与向量c 的夹角3π4.18．已知,αβ为锐角，()15tan ,cos 213ααβ=+=.(1)求cos2α的值；(2)求()tan αβ-的值.【正确答案】(1)35(2)1663-【分析】（1）根据二倍角的余弦公式结合商数关系及化弦为切即可得解；（2）先利用二倍角的正切公式求出tan 2α，再根据平方关系及商数关系求出()tan αβ+，再根据()()tan tan 2αβααβ⎡⎤-=-+⎣⎦利用两角差的正切公式即可得解.【详解】（1）22222211cos sin 1tan 34cos21cos sin 1tan 514ααααααα---====+++；（2）由1tan 2α=，得22tan 14tan 211tan 314ααα===--，因为,αβ为锐角，所以π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0,παβ+∈，又因()5cos 13αβ+=，所以π0,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()12sin 13αβ+=，所以()()()sin 12tan cos 5αβαβαβ++==+，则()()()()412tan2tan 1635tan tan 24121tan2tan 63135ααβαβααβααβ--+⎡⎤-=-+===-⎣⎦+++⨯.19．从①2222(42)cos a ac B c a b -+=+；②cos sin a a B A +，这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且________．(1)求角B的大小；(2)若b =a c +的取值范围．【正确答案】(1)π3B=；(2).【分析】（1）选①，利用余弦定理可得()2cos cos a c B b C -=，再利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式及三角形内角和定理即可得解；选②，利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解.（2）由（1）的结论，借助余弦定理建立关系，再利用均值不等式求解作答.【详解】（1）选①，由2222(42)cos a ac B c a b -+=+及余弦定理，得2222(42)cos 2cos a ac B a b c ab C -=+-=，即()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理得：()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，则()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B C B B C B CA =+=+=，因为()0,πA ∈，即sin 0A ≠，则1cos 2B =，又()0,πB ∈，所以π3B =.选②，由cos sin a a B A +sin sin cos sin -=B A A B A ，而()0,πA ∈，即sin 0A ≠πcos 2sin(16B B B -=-=，即π1sin(62B -=，又()0,πB ∈，则ππ5π(,)666B -∈-，有ππ66B -=，所以π3B =.（2）由（1）知，π3B =，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，则22222π112()2cos ()3()3()()3242a c a c ac a ac a c ac c a c +=+-=+-+-=+-≥，当且仅当a c =时取等号，因此a c +≤a c b +>=所以a c +的取值范围是.20．已知梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，E 为BC 的中点，F 为BD 与AE 的交点，AD AB AE λμ=+ ．(1)求λ和μ的值；(2)若AB =6BC =，=45ABC ∠︒，求EA 与BD 所成角的余弦值．【正确答案】(1)32λ=-，2μ=(2)10【分析】（1）由向量的运算得出322AD AB AE =-+ ，进而得出λ和μ的值；（2）由向量的运算得出12EA CB BA =+ ，12BD BC BA =+ ，进而得出|| EA ，||BD ，EA BD ⋅ ，再由数量积公式求解即可.【详解】（1）根据题意，梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，E 为BC 的中点则11222AD AB BC CD AB BC AB BE =++=+=+ 132()222AB AE AB AB AE =+-=-+又由AD AB AE λμ=+ 可得32λ=-，2μ=（2）AFD ∠是EA 与BD 所成的角，设向量EA 与BD 所成的角为θ12EA EB BA CB BA =+=+ ，则2221||981254EA CB BA CB BA =++⋅=+-= 12BD BC CD BC BA =+=+ ，则2221||23612504BD BC BA BC BA =++⋅=++=则||EA =||BD = 因为11112222EA BD CB BA BC BA BA BC BC BA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2211318495224CB BA CB BA =-++⋅=-++=-所以cos 10||||EA BD EA BD θ⋅==- 所以EA 与BD所成角的余弦值为21．函数π()sin()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，3(0,)2与π3(,)32为该图象上两点，且函数()f x 的一个零点为π12-．(1)求()f x 的解析式；(2)将()y f x =的图象向左平移π6个单位长度，再将得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的13，得到()y g x =的图象．令()()()F x f x g x =，求()F x 的最大值，若()F x 取得最大值时x 的值为0x ，求0tan 4x ．【正确答案】(1)π()3sin(2)6f x x =+；【分析】（1）求出对称轴结合零点求出ω及ϕ，再由点3(0,)2求出A ，写出函数解析式作答.（2）根据图象平移得()g x 解析式，利用三角恒等变换化简()F x ，即可得最大值及对应的自变量，再求出对应正切即可.【详解】（1）观察图象，该图象过点3(0,)2与π3(,)32，则π6x =为函数()f x 图象的对称轴，而π12-为函数()f x 的一个零点，因此函数()f x 的周期ππ4(π612T =+=，2π2Tω==，由π()012f -=，得π2(π,Z 12n n ϕ⨯-+=∈，即ππ,Z 6n n ϕ=+∈，而π02ϕ<<，则π6ϕ=，于是π()sin(2)6f x A x =+，由3(0)2f =，得1322A =，解得3A =，所以函数()f x 的解析式为π()3sin(2)6f x x =+.（2）由（1）知，()y f x =的图象向左平移π6个单位长度得ππ3sin[2(]3cos 266y x x =++=的图象，将得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的13，得到cos 2y x =的图象，则()cos 2g x x =，因此π1()()()3sin(2)cos 23(sin 2cos 2)cos 2622F x f x g x x x x x x ==+=+23333π34cos 2sin 4cos 4sin(4)42444264x x x x x =+=++=++，当ππ42π,Z 62x k k +=+∈，即0ππ,Z 122k x k =+∈时，()F x 有最大值94，此时0t 2an 4ππtan(π)tan 33x k =+==22．已知函数2ππ()sin()sin ()326x f x x =---(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)常数0ω>，若函数()y f x ω=在区间π2π[,]23-上是增函数，求ω的取值范围；(3)若函数1π()[(2)()()]122g x f x af x af x a =+----在ππ[,]42-的最大值为2，求实数a 的值．【正确答案】(1)2π；(2)304ω<≤；(3)2-或6.【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数()f x ，再求出最小正周期作答.（2）根据给定的区间，求出函数相位所在区间，再借助正弦函数的单调增区间列式求解作答.（3）化函数()g x 为1()2sin cos (sin cos )12g x x x a x x a =+---，利用换元法结合二次函数性质求解作答.【详解】（1）依题意，2ππππ()sin()2sin (sin(32633x f x x x x =---=-+-1ππ2[sin()cos()]2sin 2323x x x =-+-=，所以函数()f x 的最小正周期2πT =.（2）由（1）知，()2sin f x x ωω=，0ω>，当π2π[,]23x ∈-，则π2π[,23x ωωω∈-，而正弦函数sin y x =在ππ[,]22-上单调递增，依题意，π2πππ[,][,]2322ωω-⊆-，因此ππ222ππ32ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得34ω≤，则有304ω<≤，所以ω的取值范围是304ω<≤.（3）由（1）知，1π1()[2sin 22sin 2sin()]12sin cos (sin cos )1222g x x a x a x a x x a x x a =+----=+---，令sin cos x x t -=，则22sin cos 1x x t =-，于是22111122y t at a t at a =-+--=-+-221()242a a t a =--+-，由ππ[,]42x ∈-，得πππ[,424x -∈-，则π)[4t x =-∈，当2a ≤，即a ≤-t =max 122y a =--，由1)222a --=，解得()817a ==->-，不符合要求；当12a <<，即2a -<时，2max 142a y a =-，由21242a a -=，解得2a =-或4a =，于是2a =-；当12a ≥，即2a ≥时，则当1t =时，max 12a y =-，由122a -=，解得6a =，于是6a =，所以实数a 是2-或6.。
山东省淄博市部分学校2020-2021学年高一下学期期末考试 数学 试题 (含答案)
参照秘密级管理★启用前 2020—2021学年度第二学期部分学校高中一年级阶段性教学质量检测试题数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．作答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数2(1i)1+i-= A ．1i - B ．1i + C ．1i -- D ．1i -+2．设ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b c =，60C ︒=，则角B =A ．45B ．30C ．45或135D ．30或150 3．已知ABC △的边BC 上有一点D ，满足3BD DC =，则AD 可表示为A ．23AD AB AC =-+B ．3144AD AB AC =+ C ．2133AD AB AC =+ D ．1344AD AB AC =+ 4．已知非零向量a ，b 满足4b a =，且()2a a b ⊥+，则a 与b 的夹角为A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π65．《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d ，公式为d =13，根据“开立圆术”的方法求得球的体积为 A ．π2 B ．π6 C ．481 D ．166．设m ，1m +，2m +是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是A . 03m <<B . 13m <<C . 34m <<D . 46m <<7．已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为AB ．6 C．D． 8．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC △的面积S =，则ab 的最小值为 A ．12 B ．13C ．16D ．3 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知复数134i z =+，243i z =-，则下列结论正确的是：10．下列说法正确的是A ．1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的第60百分位数是6B ．已知一组数据2,3,5,,8x 的平均数为5，则这组数据的方差是5.2C ．用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大D ．若1021,,,x x x 的标准差为2，则121031,31,,31x x x +++ 的标准差是611．设a ，b ，c 为平面非零向量，则下列结论错误的是A ．若a c ⊥且b c ⊥，则//a b a b a b ⋅≤⋅C ．若a c b c ⋅=⋅，则a b =D ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅12．在ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是A ．sin sin AB <的充要条件是A B <B ．若ABC ∆不是直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅， C ．若A 为ABC ∆的最小内角，则1cos 12A ≤< D ．不存在ABC ∆，使cos cos cos a b c A B C==成立 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．向量(2,)a t =，(1,3)b =-的夹角为钝角，则t 的范围是 ． 14．给出下列命题：（1）若平面α内有两条直线分别平行于平面β，则//αβ；（2）若平面α内任意一条直线与平面β平行，则//αβ；（3）过已知平面外一条直线，必能作出一个平面与已知平面平行；（4）不重合的平面,,αβγ，若//,//αγβγ，则有//αβ．其中正确的命题是 ．(填写序号）15．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为π4，若SAB △的面积为，则该圆锥的侧面积为 ． 16．如图是某高速公路测速点在2021年2月1日8:00到18:00时测得的过往车辆的速度（单位：km/h ）的频率分布直方图，则该段时间内过往车辆速度的中位数是 ，平均速度约为 km/h ．（本题第一个空2分，第二个空3分）km/h四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）如图，已知CD ，AB 分别是圆台1O O 上下底面圆的直径（1O ，O 为上下底面圆的圆心），直线AB 与CD 所成的角为90．（1）求证：BC BD =；（2）若2CD =，4AB =A BCD -的体积．18．（12分）如图，一直线经过边长为2的正三角形OAB 的中心G ，且与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OA a =，OB b =，若OP mOA =，OQ nOB =，,0m n >．（1）用向量a ，b 表示OG ；（2）求OP OQ ⋅的最小值．19．（12分）已知函数()cos()(0,0,||)2πf x A x B A ωϕωϕ=++>><的部分图象，如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）先将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移π6个单位后得到函数()g x 的图象，求函数()y g x =的单调减区间和在区间04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最值．20．（12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，()2cos cos a c B b C -=⋅（1）求角B 的大小；（2）若3a =，b D 在边AC 上，且2AD DC =，求BD 的长度．21．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1正方形，PA ⊥底面ABCD ，1PA =，点,M N 分别为棱,PD BC 的中点．（1）求证：直线//MN 平面PAB ；（2）设点E 在棱PC 上，若2PE EC =，（i ）证明：直线PC ⊥平面EBD ；（ii ）求直线MN 和平面EBD 所成角的正弦值．22．（12分）某玻璃工艺品加工厂有2条生产线用于生产某款产品，每条生产线一天能生产200件该产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为A 等品，低于10分的为B 等品．厂家将A 等品售价定为2000元/件，B 等品售价定为1200元/件．下面是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的评分：经计算得16119.9716i i x x ===∑，161622221111()0.0451616i i i i s x x x x ===-=-=∑∑，其中i x 为抽取的第i 件产品的评分，1i =，2，⋯⋯，16．该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知对一条生产线增加生产工序每年需花费1500万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品评分均提高0.05．已知该厂现有一笔1500万元的资金．（1）若厂家用这1500万元改进一条生产线，根据随机抽取的16件产品的评分： （i ）估计改进后该生产线生产的产品中A 等品所占的比例；（ii ）估计改进后该厂生产的所有产品评分的平均数和方差．（2）某金融机构向该厂推销一款年收益率为8.2%的理财产品．请你利用所学知识分析判断，将这1500万元用于购买该款理财产品所获得的收益，与通过改进一条生产线使产品评分提高所增加的收益相对比，一年后哪种方案的收益更大？（一年按365天计算）2020—2021学年度第二学期部分学校高中一年级阶段性教学质量检测试题数学答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．CADC DBAB二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．AC ． 10．BD ． 11．CD ． 12．ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．答案：2(,6)(6,)3-∞--．（写成23t <且6t ≠-的不扣分）14．答案：（2）（4）． 15．答案：．16．102.5，102．（本题第一个空2分，第二个空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（1）证明：连接111,O A O B O O ，，由圆台的性质可知：1OO CD ⊥，……2分 因为直线AB 与CD 所成的角为90，即CD AB ⊥， 又因为1O O AB O =， 所以CD ⊥平面1O AB ， …………………………………………3分 所以1CD O B ⊥， ……………………………………4分 又1O 是CD 的中点，所以BC BD =． ……………………………………5分（2）解法1：由（1）可知DC ⊥平面1O AB ，因为2CD =，4AB = 所以圆台的高12O O =， ……………………………6分 所以1O AB ∆的面积114242O AB S ∆=⨯⨯=，……………………………………8分 所以四面体A BCD -的体积111824333A BCD O AB V DC S -∆=⋅=⨯⨯= …………………………………………10分 解法2：因为2CD =，4AB =所以圆台的高12O O =， ………………………6分所以11AO BO ==11AO BO ⊥，由（1）可知，1AO DC ⊥， 所以1AO ⊥面BCD ………………………8分又BCD ∆的面积122BCD S ∆=⨯⨯=所以四面体A BCD -的体积1118333A BCD BCD V AO S -∆=⋅=⨯=． …………………………………………10分 评分说明：第（1）问通过计算方法证明的同样得分．18．（12分）解： （1）延长OG 交AB 于点D ，则点D 为AB 中点，于是23OG OD =； …2分因为1()2OD OA OB =+，所以211111()323333OG OA OB OA OB a b =⨯+=+=+ …4分 （2）=cos cos 23πOP OQ OP OQ AOB m OA n OB mn ⋅⋅⋅∠=⋅⋅= ……6分 法一：由（1）可知11113333OG OA OB OP OQ m n=+=+， ……7分 因为,,P G Q 三点共线.，所以11=133m n +，即11=3m n + ……9分因为,0m n >，所以11m n +≥，即49mn ≥ ………11分 因此OP OQ ⋅的最小值为89. ………12分 法二：由,,P G Q 三点共线可知，存在实数λ，使得PQ PG λ= ………7分即()OQ OP OG OP λ-=-,可得1133nb ma m a b λλ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭ ………8分1=3n+ ………9分 因为,0m n >，所以11m n +≥，即49mn ≥ ………11分 因此OP OQ ⋅的最小值为89. ………12分 19．（12分）解：（1）由函数()cos()(0,0,||)2πf x A x B A ωϕωϕ=++>><的部分图象可知： 1(3)22A --==，1(3)12B +-==-， ………2分 因为722π1πT πω-==，所以2ω= ………3分 所以()2cos(2)1f x x ϕ=+-，把点(π,1)12代入得：cos()16πϕ+=，即π6π2k ϕ+=，k Z ∈． 又因为|π|2ϕ<，所以6πϕ=-， ………4分 因此()2cos(6π2)1f x x =--． ………5分 （2）先将()f x 的图象横坐标缩短到原来的12，可得2cos(4π)16y x =--的图象， …6分 再向右平移π6个单位，可得()52cos(4π)16g x x =--的图象， ………7分 由π52426πππk x k -+，k Z ∈，可得5112+4266ππππk x k +，k Z ∈ 即511+224224ππππk k x +，k Z ∈，因此减区间是511+224π24π2ππk k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，，k Z ∈ ……9分 因为[0,]4πx ∈，55466πππ6x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，所以()g x 在045π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增、在π,2445π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减． ………………………10分 所以，当524πx =时，即5406πx -=时，()g x 有最大值为1； ……………11分而(0)1g =，π()14g =，所以，当0x =时，()g x 有最小值为1-． ………12分20．（12分）解：（1）由()2cos cos a c B b C -=⋅，可得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=⋅，…1分 即2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=⋅，即()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B C B B C B C A =+⋅=+=， ………3分 因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =， ………4分 又因为()0πB ∈，，所以π3B =. ………5分 （2）在ABC ∆中，由余弦定理得：22229191cos ==2232a cbc B ac c +-+-=⋅⋅， ………7分可得23100c c --=，解得5c =或2c =-（舍去） ………8分 222cos =2a b c C ab +-，. ……10分因为2AD DC =，所以13DC b ==，在BDC ∆中，由余弦定理得：222291+2cos 9+239BD BC CD BC CD C =-⋅⋅=-⋅=⎝⎭， ………11分因此BD =． ………12分 21．（12分）解析：（1）取PA 的中点G ，连接,MG BG ，如图所以//MG AD ，且12GM AD =， ……………………………………1分 结合已知，可得 //MG BN 且MG BN =， 所以四边形MGBN 为平行四边形，所以直线//MN GB ， ……………………………………3分 又MN ⊄平面PAB ，GB ⊂平面PAB ，所以直线//MN 平面PAB . ……………………………………4分（2）（i ）由已知可得，PD PB ==，PC =，在PCD ∆中，由余弦定理可得，cosCPD ∠==所以222422cos 2233DE PE PD PE PD CPD =+-⋅∠=+-=， 所以222PE ED PD +=，所以PC DE ⊥ …………………………………6分 同理，PC BE ⊥，因为BEDE E =，所以PC ⊥平面EBD ， ……………………………………8分 （ii ）解法1：连接AC 交BD 于O ，连接GO ，所以//GO PC ，所以GO ⊥平面EBD ， 由（1）可知，直线MN 和平面EBD 所成角与直线BG 和平面EBD 所成角相等， 所以GBO ∠即为直线MN 和平面EBD 所成角，……………………………10分GO =，2BO =，所以tan 2GBO ∠==，所以sin 5GBO ∠=.所以直线MN 和平面EBD ……………………………12分 解法2：设,EC CD 的中点分别为,F H ，连接,,FN FH NH ，所以，//FH ED ，//FN EB ，所以，平面//FNH 平面EBD ，所以直线MN 和平面EBD 所成角与直线MN 和平面FNH 所成角相等， 因为//MH PC ，所以MH ⊥平面FNH ，所以MNH ∠即为直线MN 和平面FNH 所成角， ……………………10分因为2NH =，2MH =tan 2MNH ∠==所以sin MNH ∠=，所以直线MN 和平面EBD 所成角的正弦值是5. …………………12分 22．（12分）解：（1）（i ）改进后，随机抽取的16件产品的评分依次变为： 10.00 10.17 10.01 10.01 10.06 9.97 10.03 10.09 10.31 9.96 10.18 10.07 9.27 10.09 10.10 10.00其中A 等品共有13个，所以改进后该生产线生产的新产品中A 等品所占的比例为1316． ………………………………………2分 （ii ）设一条生产线改进前一天生产出的产品评分为(123200i y i =，，，，），改进后该天生产出的产品评分设为(123200i z i =，，，，），则0.05i i z y =+，由已知，得用样本估计总体可知9.97y =，所以2002001111(0.05)0.0510.02200200i i i i z z y y ====+=+=∑∑， ……………4分 故改进一条生产线后该厂生产的所有产品评分的平均数为：9.9720010.022009.995400⨯+⨯=． ………………………………6分由已知，得用样本估计总体可知20.045y s =，改进后该厂的所有产品评分的方差为：20020022111[(9.995)(9.995)]400i i i i y z ==-+-∑∑ ………………………………7分 400200200200222211111{[()2(9.995)()200(9.995)][()2(9.995)]()200(9.995)]}400i i i i i i i i y y y y y y z z z z z z =====----+-+----+-∑∑∑∑2002002222111{[()200(9.995)]}[()200(9.995)]}(*)400i i i i y y y z z z ===-+-+-+-∑∑， 因为2002211()200yi i s y y ==-∑，所以200221()200i y i y y s =-=∑， 同理，200221()200i z i z z s =-=∑，(*)∴式22221{[200200(9.995)][200200(9.995)]}400y z s y s z =+-++- 22200200[0.045(9.979.995)][0.045(10.029.995)]400400=⨯+-+⨯+- 20.0450.0250.045625=+=． ………………………………10分（2）将这1500万元用于改进一条生产线，一年后因产品评分提高而增加的收益为：445(20001200)2003651500103251016-⨯⨯⨯-⨯=⨯（元)， ……………11分 将这1500万元购买该款理财产品，一年后的收益为： 444150010(18.2%)150********⨯⨯+-⨯=⨯（元）， 因为443251012310⨯>⨯，所以将这1500万元用于改进一条生产线一年后收益更大． ……………12分。
2023年山东省淄博第六中学高一地理下学期学科竞赛(学分认定考试)试题
高一学科竞赛试题（地理学科）注意事项:1. 答卷前, 考生务必用钢笔或签字笔将自己的班级、姓名、考号填写在答题纸和答题卡的相应位置处。
2. 选择题每小题选出答案后, 用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑。
3．非选择题答案必须写在答题纸相应位置处, 不按规定作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁, 考试结束后, 将答题卡和答题纸一并收回。
第I卷（选择题共60分）选择题: （本大题共有30小题, 每小题2分, 共60分）“全面二孩”政策是我国进入21世纪以来生育政策的重大调整, 也是国家人口发展的重要战略决策, 下图为我国2023年末人口年龄结构预测图（注：图中比例表达该年龄段人口数量占全国人口数量的比）。
读图完毕1～2题。
1. 影响我国计划生育政策实行重大调整的重要因素是（）A. 克服独生子女问题B. 平衡男女比例失衡C. 应对人口老龄化问题D. 提高家庭幸福指数2.“全面二孩”政策实行后将（）①缓解人口结构性矛盾的长期影响②解决男女比例失衡问题③保持合理的劳动力数量④影响劳动力人口的职业构成A.①②③.B. ①②④.C. ②③④.D. ①③④下图是某三个地区的人口年龄结构图, 据此完毕3-4题。
3. 推测a、c两地中青年男女比例失调严重的重要因素最也许是( )①a地战争频繁②a地大力发展高等教育③c地人民普遍存在重男轻女思想④c地近年来纺织服装工业大力发展A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 对b地也许出现的人口问题应当采用的措施是( )A.鼓励本地人口向经济更发达的地区迁移B.积极发展公共交通事业C.实行“提前退休”政策D.对产妇实行“带薪休假”政策下图表达人口数量变动状况（迁移差额率正值表达人口迁入）, 据此完毕5～7题。
A．5. 图中丙点表达的人口变动状况对的的是（）人口增长 B. 人口减少C. 变动较大D. 基本不变6. 能对的反映西亚地区人口变动状况的是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁7. 能对的反映目前伦敦市区人口变动状况的是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁1850年, 清朝的人口为4.3亿。
2023-2024学年山东省淄博市淄博中学高一下学期期中考试数学试题
2023-2024学年山东省淄博市淄博中学高一下学期期中考试数学试题1.已知复数，其中是虚数单位，则的虚部为（）A．2B．C．1D．2.下列各式中，值为的是（）A．B．C．D．3.在中，为的重心，.则（）A．1B．C．D．4.已知向量、均为非零向量，，，则、的夹角为A．B．C．D．5.在中，若，则的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形6.在中，角所对的边分别为，若，且，则面积的最大值为（）A．B．C．D．7.第九届中国国际“互联网＋”大学生创业大赛于2023年10月16日至21日在天津举办，天津市以此为契机，加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D．已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20km，基站A，B 在河的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为（）A．km B．km C．15km D．km8.点，，在圆上，若，，则的最大值为（）A．3B．C．4D．69.下列命题为真命题的是（）A．复数的虚部为B．若i为虚数单位，则C．复数在复平面内对应的点在第三象限D．复数的共轭复数为10.已知两个非零单位向量，的夹角为.以下结论正确的是（）A．不存在，使B．C．D．在方向上的投影向量的模为11.函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（）A．函数为奇函数B．函数的最小正周期为C．函数的图象的对称轴为直线D．函数的单调递增区间为12.已知关于x的方程的两根为，若，则实数p的值为________.13.，，向量与向量夹角为锐角，则的取值范围为______.14.已知，则__________________．15.已知复数.(1)若z为实数，求m值：(2)若z为纯虚数，求m值；(3)若复数z对应的点在第一象限，求m的取值范围.16.设两个非零向量与不共线．(1)若，，求证三点共线．(2)试确定实数，使和共线．17.已知函数.(1)求其最小正周期；(2)当时，求函数的值域.18.已知的内角，，的对边分别为，，，，设，且.(1)求角的大小；(2)延长至，使，若的面积，求的长.19.已知一个半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米，且按顺时针方向匀速转动，每秒转动一圈.如果以水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，记点距离水面的高度关于时间的函数解析式为.(1)在水轮转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式；(2)在水轮转动的一周内，求点在水面下方的时间段.。
山东省淄博第六中学2025届高考数学考前最后一卷预测卷含解析
山东省淄博第六中学2025届高考数学考前最后一卷预测卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|lg }M x y x ==，2{|40}N x N x =∈-≥，则M N ⋂为( ) A ．[1,2]B ．{0,1,2}C ．{1,2}D ．(1,2)2．已知函数3()1f x x ax =--，以下结论正确的个数为（ ） ①当0a =时，函数()f x 的图象的对称中心为(0,1)-； ②当3a ≥时，函数()f x 在(–1,1)上为单调递减函数； ③若函数()f x 在(–1,1)上不单调，则0<<3a ； ④当12a =时，()f x 在[–4,5]上的最大值为1． A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折起至A BE '，记二面角A BE D '--的平面角为α，直线A E '与平面BCDE 所成的角为β，A E '与BC 所成的角为γ，有如下两个命题：①对满足题意的任意的A '的位置，αβπ+≤；②对满足题意的任意的A '的位置，αγπ+≤，则( )A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立C ．命题①成立，命题②不成立D ．命题①不成立，命题②成立4．如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若5AB =，1CB =，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，则AG AC ⋅等于（ ）A ．2B ．5C ．23D ．835．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则3a b -＝（ ） A ．11B ．37C ．210D ．436．已知函数13()sin cos 22f x x x =+，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 7．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=，则“//a α”是“//a b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为150，则2a =（ ） A ．20B ．15C ．10D ．2510．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10B ．9C ．8D ．711．已知集合U =R ，{}0A y y =≥，{}1B y y x ==+，则UAB =( )A ．[)0,1B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 12．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年山东省淄博高一下学期第一次阶段性考试数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年山东省淄博高一下册第一次阶段性考试数学试题一、单选题1．()tan 330-︒的值为（）A ．3B ．C ．3-D 【正确答案】A【分析】利用正切函数的诱导公式即可求解.【详解】解.tan(330)tan(30360)tan 303-︒=︒-︒=︒=故选：A.2．已知扇形的圆心角为2rad ，面积为4，则扇形的周长为（）．A ．B ．C ．6D ．8【正确答案】D【分析】由弧度制下，扇形面积公式可得扇形半径，后可得扇形周长.【详解】设扇形半径为r ，因扇形面积为4，则212422r r ⨯⋅=⇒=.则扇形周长为228r r +=.故选：D3．已知角α终边过点()()3,40P a a a -<，则sin cos αα+的值为（）A ．15B ．75C ．–15D ．–75【正确答案】A【分析】根据三角函数的定义计算可得.【详解】由题意得，点()()3,40a a a -<到原点的距离5r a ==-，所以根据三角函数的定义可知44sin 55a a α-==-，33cos 55a a α==--，所以1sin cos 5αα+=.故选：A ．4．已知tan 2α=，则22sin cos 2sin 2cos αααα++的值为（）A ．15B ．13C ．35D ．45【正确答案】A【分析】由二倍角公式变形后，弦化切转化为正切的式子代入计算．【详解】因为tan 2α=，所以22222222sin cos 2sin cos sin cos 111sin 2cos 2sin cos cos 2sin cos cos 2tan 12215ααααααααααααααα++-=====++++⨯+．故选：A ．5．在平面直角坐标系xOy 中，单位圆上一点P 从点（0，1）出发，逆时针方向运动π6弧长到达Q 点，则Q 的坐标为（）A ．1,22⎛- ⎝⎭B ．1,2）C ．122D ．（－2，12）【正确答案】A【分析】求得点P 逆时针方向运动π6弧长到达Q 点时对应的OQ 与x 轴正半轴的夹角，再由三角函数值即可求得点Q 的坐标.【详解】设OP 与x 轴正半轴的夹角为α，则点P 逆时针方向运动π6弧长到达Q 点后OQ 与x 轴正半轴的夹角为α，此时ππ2π263α=+=，则2π1cos cos32Q x α===-，2πsin sin 3Q y α===故此时点Q 的坐标为12⎛- ⎝⎭.故选：A 6．函数3sin ||x xy x -=的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】先判断函数的奇偶性即可排除选项B,D ；再利用特殊值即可排除选项C ，进而求解.【详解】函数3sin ()xx xy f x -==的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且3sin()3sin ()()x x x xf x x x f x-----+-===-，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B,D 选项，只需研究0x >的图象，当π6x =时，πππ33sin 06662-=-<，则π06f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，排除C 选项.故选：A ．7．已知函数()tan()(0,0π)f x x ωϕωϕ=-><<与直线y a =交于,A B 两点，且线段AB 长度的最小值为π3，若将函数()f x 的图象向左平移π12个单位后恰好关于原点对称，则ϕ的最大值为（）A ．π8B ．π4C ．3π4D ．7π8【正确答案】C【分析】确定函数的最小正周期，可求得3ω=，根据图像的平移变换可得平移后函数的解析式，结合函数的对称性可求出ππ,Z 42k k ϕ=-∈，依据0πϕ<<，即可求得答案.【详解】由题意知，函数()f x 的最小正周期π3T =,则ππ3ω=,得3ω=,所以()()tan 3f x x ϕ=-，将函数()f x 的图象向左平移π12个单位长度，得到ππtan 3()tan(3)124y x x ϕϕ⎡⎤=+-=+-⎢⎥⎣⎦的图象，因为该图象关于原点对称，则ππ,Z 42k k ϕ-=∈，所以ππ,Z 42k k ϕ=-∈当0k >时，Z k ∈，0ϕ<，不合题意，当0k =时，π4ϕ=，又0πϕ<<，所以当1k =-时，ϕ取3π4，当2,3,k ≤-- 时，5π4ϕ≥，不合题意，故ϕ最大值为3π4，故选：C 8．函数()25πsin log 22f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【正确答案】C 【分析】令()5πsin 22g x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log h x x =，则问题转化为两函数的交点个数，数形结合即可判断.【详解】函数()25πsin log 22f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点，即方程25πsin log 022x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∣的解，令()5πsin 22g x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log h x x =，也就是函数()5πsin 22g x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()2log h x x =的交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中画出()5πsin 22g x x ⎛⎫=⎪⎝⎭与()2log h x x =的图象如下所示，由图可知()5πsin 22g x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()2log h x x =有6个交点，即()25πsin log 22f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有6个零点.故选：C 二、多选题9．下列各式中正确的是（）A ．3ππtantan 55>B ．tan2tan3<C ．17π23πcos cos 45⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ππsin sin 1810⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】BC【分析】根据正切函数的函数值的正负以及单调性可判断A ，B ，利用诱导公式结合正余弦函数的性质可判断C ，D.【详解】对于A ，3π2π2ππtan tan(π)tan 0tan 5555=-=-<，A 错误;对于B ，π23π2<<<，由于函数tan y x =在π(,π)2上单调递增，故tan2tan3<，B 正确；对于C ，17π17πππcos()cos cos(4π)cos 44442-==+==，23π3π3πcos()cos(4π+)cos 0555-==<，故17π23πcos cos 45⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 正确；对于D,函数sin y x =在ππ[,22-上是增函数，而ππ1018-<-，所以ππsin sin 1810⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 不正确；故选：BC10．下列函数中，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数的有（）A ．sin cos y x x =B ．sincos x y x=C ．sin y x x =D ．sin y x x=【正确答案】BC【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，再分别求出单调区间，即可得到答案；【详解】对A ，1sin cos sin 22y x x x =⋅=，在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，故A 错误；对B ，sin tan cos x y x x ==在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，故B 正确；对C ，sin 2sin 3y x x x π⎛⎫==⋅- ⎪⎝⎭在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故C 正确；对D ，sin 2sin 3y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故D 错误；故选：BC11．要得到函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin y x =的图象（）得到.A ．先将各点横坐标变为原来的12倍，再向左平移π3个单位B ．先将各点横坐标变为原来的2倍，再向左平移π3个单位C ．先将各点横坐标变为原来的12倍，再向右平移2π3个单位D ．先向左平移2π3个单位，再将各点横坐标变为原来的12倍【正确答案】ACD【分析】根据三角函数图象变换的知识求得正确答案.【详解】πsin cos 2y x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，（1）函数πcos 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，将各点横坐标变为原来的12倍，得到πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再向左平移π3个单位得到πππcos 2cos 2326y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，A 选项正确，B 选项错误;（2）函数πcos 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，将各点横坐标变为原来的12倍，得到πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再右平移2π3个单位得到2ππ11ππcos 2cos 2cos 23266y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，C 选项正确;（3）函数πcos 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，向左平移2π3个单位，得到2πππcos cos 326y x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将各点横坐标变为原来的12倍得到πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，D 选项正确.故选：ACD12．已知函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，且()3π2f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()f x 的最小正周期为T ，π2πT <<，则（）A ．56ω=B ．3π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数D ．()f x 关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称【正确答案】BD【分析】根据正弦函数的性质得出32ω=，从而判断A ；由解析式判断B ；由奇偶性的定义判断C ；由π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭判断D.【详解】对于A ：因为()3π2f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以32x π=为()f x 的一个极值点，所以33sin 224f A A πππω⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以3sin 124ππω⎛⎫+=± ⎝⎭，即()3242k k πππωπ+=+∈Z ，所以()2136k k ω=+∈Z ，又因为2T ππ<<，所以22πππω<<，因为0ω>，所以12ω<<，所以32ω=，故选项A 错误；对于B ：3π33πππsin sin 122242f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项B 正确；对于C ：π3ππ3π33()sin cos cos sin 32422422F x f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫=+=++=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，33()cos sin ()22F x x x F x ⎫--≠-⎪⎝⎭，即π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭不是奇函数，故选项C 错误；对于D ：3sin sinπ0222πππ4f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 关于π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故选项D 正确；故选：BD 三、填空题13．若3cos 5α=-，则cos 2=α__________．【正确答案】725-##0.28-【分析】用二倍角公式2cos 22cos 1αα=-展开代入计算.【详解】22337cos cos 22cos 1215525ααα⎛⎫=-∴=-=⨯--=- ⎪⎝⎭故725-14．已知()sin (0)f x x ωω=>在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则实数ω的最大值为___________.【正确答案】32【分析】根据正弦函数的单调性求得正确答案.【详解】sin y x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，在π3π,22⎡⎤⎢⎣⎦上递减.0ω>，当π03x ≤≤时，π03x ωω≤≤，由于()sin (0)f x x ωω=>在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以ππ3,0322ωω≤<≤，所以ω的最大值是32.故3215．若π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2241sin cos x x +的最小值为__________.【正确答案】9【分析】变换()2222224141sin cos sin cos sin cos x x x x x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开利用均值不等式计算得到答案.【详解】()222222222241414cos sin sin cos 5sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x x x ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭59≥+（当且仅当2cos sin x x =时等号成立）故916．若[]0,2πx ∈，()sin ,sin cos cos ,sin cos x x x f x x x x≥⎧=⎨<⎩，则关于x 的方程()()()22120+-+-=f x a f x a a 恰好有6个不同的实数解，则实数a 的取值范围为______.【正确答案】,12⎫⎪⎪⎝⎭【分析】由原方程可得()f x a =或()1f x a =-，从而得到y a =和1y a =-与()y f x =的图象共有6个不同的交点，画图可建立不等式求解即可.【详解】由()()()22120+-+-=f x a f x a a ，得()f x a =或()1f x a =-，因为关于x 的方程()()()22120+-+-=f x a f x a a 有6个不同的解，所以y a =和1y a =-与()y f x =的图象共有6个不同的交点，由图可知11a a <<⎨⎪-<⎪⎩1a <<，所以a的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭.故2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭四、解答题17．（1）化简：2cos 1tan2tan2ααα-；（2）求值：()sin 501︒+︒．【正确答案】（1）1sin 24α；（2）1【分析】（1）化切为弦，结合正弦和余弦的倍角公式和半角公式得到答案；（2）化切为弦，结合辅助角公式和诱导公式进行求解.【详解】（1）222222cos cos cos cos 11sin cos sin 21cos 24tan cos sin cos sin 122222tan sin 22sin cos sin cos2222ααααααααααααααααααα=====---；（2）()cos10sin 501sin 501sin 50cos10cos10⎛⎫︒︒+︒︒+︒=︒+=︒⎪ ⎪︒︒⎝⎭()sin 10902sin 402sin 50cos50sin100cos10sin 501cos10cos10cos10cos10cos10︒+︒︒︒︒︒︒=︒=====︒︒︒︒︒.18．已知函数()()()5sin cos π2co πs tan π2f ααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭.(1)化简()f α；(2)求函数()()2222πg x fx f x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的值域.【正确答案】(1)()cos f αα=(2)333,8⎡⎤⎢⎣⎦【分析】（1）直接利用诱导公式化简即可；（2）先将()g x 化简，然后利用换元法将()g x 转化为二次函数，然后利用二次函数的性质求解值域.【详解】（1）()()()()5sin cos πsin sin sin sin 2cos sin sin tan si c πn cos tan πos 2f ααααααααααααααα⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭====⎛⎫⋅-+-+ ⎪⎝⎭；（2）由（1）可得()()2222cos cos 221sin sin 22sin sin 42πg x x x x x x x ⎛⎫=+-++=-++=-++ ⎪⎝⎭，令sin t x =，02πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，[]0,1t ∴∈，()()224h t g x t t ∴==-++，[]0,1t ∈，对称轴为14t =，当14t =时，()2max 11133244448h t h ⎛⎫⎛⎫==-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1t =时，()()min 12143h t h ==-++=，故函数()g x 的值域为333,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦.19．已知函数()sin 2cos 22sin cos .36f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；(2)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在[0，2π]上的单调递减区间.【正确答案】(1)最小正周期为π，对称轴方程为122k x ππ=-+，Z k ∈(2)250,,,233πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【分析】（1）利用两角和差的正余弦公式与辅助角公式化简可得()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据周期的公式与余弦函数的对称轴公式求解即可；（2）根据三角函数图形变换的性质可得()2cos 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据余弦函数的单调区间求解即可.【详解】（1）()11sin2cos2cos2sin2sin222f x x x x x x =--，()1sin22cos2sin222f x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos2cos sin2sin 2cos 2666x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为π，令26x k ππ+=，Z k ∈，得函数()f x 的对称轴方程为122k x ππ=-+，Z.k ∈（2）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位后所得图象的解析式为2cos 22cos 21263y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()12cos 22cos 233g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令223k x k ππππ++，所以222,Z 33k xk k ππππ-++∈.又[]0,2x π∈，所以()y g x =在[]0,2π上的单调递减区间为250,,233πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦.20．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如下图所示.（1）求函数()f x 的解析式，并写出函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的14(纵坐标不变)，再将所得的函数图象上所有点向左平移02m m π⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，得到函数()g x 的图象.若函数()g x 的图象关于直线512x π=对称，求函数()g x 在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【正确答案】（1）12()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，递增区间为74,4,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）[]1,2-.（1）由三角函数的图象，求得函数的解析式12()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解.（2）由三角函数的图象变换，求得2()2sin 223g x x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，根据()g x 的图象关于直线512x π=对称，求得m 的值，得到()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由图象可知2A =，422433T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以212T πω==，所以1()2sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由图可求出最低点的坐标为,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2sin 236f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以262k ππϕπ+=-+，所以22,3k k Z πϕπ=-+∈，因为||ϕπ<，所以23πϕ=-，所以12()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由1222,2232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，可得744,33k x k k Z ππππ+≤≤+∈.所以函数()f x 的单调递增区间为74,4,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由题意知，函数22()2sin 2()2sin 2233g x x m x m ππ⎡⎤⎛⎫=+-=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，因为()g x 的图象关于直线512x π=对称，所以5222,1232m k k Z ππππ⨯-+=+∈，即,62k m k Z ππ=+∈，因为02m π<<，所以6m π=，所以()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，可得1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以2sin 2[1,2]3x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的值域为[]1,2-.解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.21．如图所示，ABCD 是一声边长为100米的正方形地皮，其中ATPS 是一半径为90米的扇形草地，P 是弧TS 上一点，其余部分都是空地，现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在BC 和CD 上的长方形停车场PQCR ．(1)设PAB α∠=，长方形PQCR 的面积为S ，试建立S 关于α的函数关系式；(2)当α为多少时，S 最大，并求最大值．【正确答案】(1)()10009000cos sin 8100cos sin S αααα=-++，02πα．(2)4πα=时，面积最大为14050-【分析】（1）利用三角函数定义，结合图形直接表示即可；（2）令cos sin t αα=+换元，然后由二次函数性质可解.【详解】（1）延长RP 交AB 于M ，设(0)2PAB παα∠=≤≤，则90cos AM α=，90sin MP α=，10090cos PQ α=-，10090sin PR α=-．(10090cos )(10090sin )PQCR S PQ PR αα∴=⋅=--100009000(cos sin )8100cos sin αααα=-++，02πα．（2）设cos sin )4t πααα=+=+，02πα ，知[1t ∈，21cos sin 2t αα-=，2211010000900081004050()95029PQCR t S t t -∴=-+⨯=-+．∴当t =，即4x π=时，PQCR S 有最大值14050-答：长方形停车场PQCR 面积的最大值为14050-22．已知函数()2ππ2sin 16212x f x x ωω⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ω0>）的相邻两对称轴间的距离为π2.(1)求()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，得到函数()y g x =的图象，记方程()(R)g x m m =∈在π4π,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为12345x x x x x <<<<，求12345222m x x x x x +++++的值域.【正确答案】(1)()2sin 2f x x=(2)20π20π[)33+【分析】(1)利用降幂公式和辅助角公式化简()f x ，再根据周期求得ω，从而确定()f x 的解析式；(2)根据图象的变换规律得到()π2sin 43g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令43πx θ=-，把问题转化为sin m θ=在区间π,5π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有5个解，从而求出m 的范围，再结合正弦函数sin y θ=的图象的对称性可求12345222x x x x x ++++值.【详解】（1）函数()2ππ2sin 16212x f x x ωω⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππcos 2sin 2sin6666x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为函数()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π2，所以πT =，可得ω2=，所以()2sin 2f x x =.（2）将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，可得π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把横坐标缩小为原来的12，得到函数()π2sin 43y g x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭的图象，由方程()g x m =，即π2sin 43x m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即πsin 432m x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为π4π,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得ππ4,5π33x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，设43πx θ=-，其中5ππ,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即sin 2m θ=，结合正弦函数sin y θ=的图象，方程sin 2m θ=在区间π,5π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦要有5个解，则π[0,sin 23m ∈，即m ∈.其中122334453π,5π,7π,9πθθθθθθθθ+=+=+=+=，即12ππ443π33x x -+-=，23ππ445π33x x -+-=34ππ447π33x x -+-=，45ππ449π33x x -+-=，解得1211π12x x +=，2317π12x x +=，3423π12x x +=，4529π12x x +=.所以12345222m x x x x x +++++12233445m x x x x x x x x =++++++++11π17π23π29π20π121212123m m =++++=+.因为m ∈，20π20π20π[333m +∈.。
山东省淄博市六中2021-2022学年高一下学期学科竞赛(学分认定考试)化学试题 Word版含答案
高一学科竞赛试题（化学学科）留意事项：1．答卷前，考生务必用钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题纸和答题卡的相应位置处。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3．非选择题答案必需写在答题纸相应位置处，不按要求作答的答案无效。
4．考生必需保持答题卡的洁净，考试结束后，将答题卡和答题纸一并收回。
相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Al 27 K 39 Fe 56 Cu 64第I卷（选择题共57分）一、选择题：（本大题共有19小题，均为单选，每小题3分，共57分）1．下列关于硅单质及其化合物的说法正确的是()①硅是构成一些岩石和矿物的基本元素②水泥、玻璃、水晶饰物都是硅酸盐制品③高纯度的硅单质广泛用于制作光导纤维④陶瓷是人类应用很早的硅酸盐材料A．①②B．②③C．①④D．③④2．下列反应的离子方程式书写正确的是()A．用硫氰化钾溶液检验Fe3＋：Fe3＋＋3SCN－===Fe(SCN)3↓B．向海带灰浸出液中加入稀硫酸、双氧水：2I－＋2H＋＋H2O2===I2＋2H2OC．磨口玻璃试剂瓶被烧碱溶液腐蚀：SiO2＋2Na＋＋2OH－===Na2SiO3↓＋H2OD．NaHCO3溶液和少量Ba(OH)2溶液混合：HCO－3＋OH－＋Ba2＋===H2O＋BaCO3↓3．向Na2CO3、NaHCO3混合溶液中逐滴加入稀盐酸，生成气体的量随盐酸加入量的变化关系如图所示，则下列离子组在对应的溶液中肯定能大量共存的是()A．a点对应的溶液中：Na＋、OH－、SO2－4、NO－3B．b点对应的溶液中：K＋、Ca2＋、MnO－4、Cl－C．c点对应的溶液中：Na＋、Ca2＋、NO－3、Cl－D．d点对应的溶液中：F－、NO－3、Fe2＋、Ag＋4．将15.6 g Na2O2和5.4 g Al同时放入肯定量的水中，充分反应后得到200 mL溶液，再向该溶液中缓慢通入标准状况下的HCl气体6.72 L，若反应过程中溶液的体积保持不变，则下列说法正确的是()A．最终溶液：c(Na＋)＝1.5 mol·L－1B．标准状况下，反应过程中得到6.72 L气体C．最终溶液：c(Na＋)＝c(Cl－) D．最终得到7.8 g沉淀5．在肯定条件下，将钠与氧气反应的生成物1.4 g溶于水，所得溶液恰好能被80 mL浓度为0.50 mol·L－1的HCl溶液中和，则该生成物的成分是()A．Na2O B．Na2O2C．Na2O和Na2O2D．Na2O2和NaO26．在密闭容器中，加热等物质的量的NaHCO3和Na2O2的固体混合物，充分反应后，容器中固体剩余物是() A．Na2CO3和Na2O2 B．Na2CO3和NaOHC．NaOH和Na2O2 D．NaOH、Na2O2和Na2CO37．将4.34 g Na、Na2O、Na2O2的混合物与足量水反应，在标准状况下得到672 mL混合气体，将该混合气体点燃，恰好完全反应，则原固体混合物中Na、Na2O、Na2O2的物质的量之比为()A．1∶1∶1 B．1∶1∶2C．1∶2∶1 D．4∶3∶28. 已知A是一种金属单质，B显淡黄色，其转化关系如下图所示，则C的以下性质错误的是()A．溶液呈碱性B．与澄清石灰水反应产生白色沉淀C．与足量盐酸反应放出气体D．受热易分解9．ClO2是一种杀菌消毒效率高、二次污染小的水处理剂。
山东省淄博市六中2021-2022学年高一下学期学科竞赛(学分认定考试)英语试题 Word版含答案
高一英语学科竞赛试题留意事项：1．答卷前，考生务必用钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题纸和答题卡的相应位置处。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3．非选择题答案必需写在答题纸相应位置处，不按要求作答的答案无效。
4．考生必需保持答题卡的洁净，考试结束后，将答题卡和答题纸一并收回。
第I卷（选择题共100分）第一部分：听力（共两节，满分20分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What is Linda?A. A writer.B. A student.C. A teacher.2. What is the man afraid of?A. Having an accident.B. Missing the interview.C. Saying something wrong.3. What does the woman want to do?A. To return a jacket.B. To change a jacket.C. To buy another jacket.4. Why does the man feel upset?A. A guy stole his clothes.B. He found his clothes ugly.C. Someone said he was ugly.5. What does the woman mean?A. She disbelieves her son.B. She feels very sorry for her son.C. She wants her son to use a new key.其次节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
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高一学科竞赛试题（数学）
第I卷（共60分）
一、选择题（共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个选项，把答案填涂在答题卡上）．设集合，则( )
A． B． C． D．
．函数f（x）=的零点在区间（）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
．设α是空间中的一个平面，，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（）
A．若m⊂α，n⊂α，m，n，则α B．若m⊂α，nα，n，则//m
C．若//m，mα，nα，则//n D．若m，n，则n//m
．是定义在上的奇函数，且当时，，则函数的零点的个数是（）
A. B. C． D．
．已知定义在上的函数()为偶函数．
记，则的大小关系为（）
A． B． C． D．
．已知实数满足，则函数的零点所在的区间是（）
A． B． C． D．
．已知函数是定义在上的偶函数, 且在区间单调递增，若实数满足
, 则的取值范围是（）
A． B． C． D．
．若函数在区间内恒有，则函数的单调递增区间是（）
A． B． C． D．
．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．
．已知向量满足，与的夹角为，若对一切实数，恒成立，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
．已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，若,则实数的取值范围是（）
A． B． C．D．[
第II卷（共90分）
二、填空题（共4个小题，每个小题4分，共16分，把答案填写在答题纸相应的位置）
．若，则．
．已知函数是定义在上的减函数，如果在上恒成立，那么实数的取值范围是_____．
．若函数的值域为，则实数的取值范围为 . ．如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围为．三、解答题（共6个小题，把答案写在答题纸相应的位置，只有结果没有过程的不得分）
．（12分）设平面向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求的取值范围.
．（12分）如图所示，在四棱锥中，平面，又，，且
.
（1）在网格中画出四棱准的正视图；
（2）求证：平面平面；
（3）在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值. 若不存在，请说明理由．（12分）已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，若恒成立，求的取值范围.
．（12分）已知圆的方程为．
（1）求过点且与圆相切的直线的方程；
（2）直线过点，且与圆交于两点，若，求直线的方程；
（3）圆上有一动点，若点为的中点，求动点的轨迹方程．
．（12分）已知定义在的函数，其中e是自然对数的底数．
（Ⅰ）判断奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．．（14分）一般地，如果函数的图象关于点对称，那么对定义域内的任意，则
恒成立，已知函数的定义域为，其图象关于点对称. （1）求常数的值；
（2）解方程：；
（3）求证：.
高一学科竞赛试题答案（数学）
第I卷（共60分）
一、选择题 DBACC BBCAA CB
第II卷（共90分）
二、填空题（共4个小题，每个小题4分，共16分，把答案填写在答题纸相应的位置）
13、 14、
16、
15、
三、解答题（共6个小题，把答案写在答题纸相应的位置，只有结果没有过程的不得分）
17、（12分）答案．（1）；（2）.
【解析】（1）因为，所以， -------2分
∴，∴. ------5分
（2） ----8分
， ------10分
，. -------12分
18、（12分）【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）
【解析】（1）解：四棱准的正视图如图所示.
-----4分
（2）证明：因为平面，平面，所以.
因为，，平面，平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面. -----8分
（3）分别延长交于点，连接，在棱上取一点，使得.下证平面.
因为，，所以，即.
所以. 所以.
因为平面，平面，所以平面.
--------12分
19、（12分）答案．（1），；（2）．
【解析】（1） ----2分
∴函数最小正周期是, -----4分
解得，函数单调递增区间为---6分
（2），∴的最小值1，-----9分
由恒成立，得恒成立.所以的取值范围为--------12分
20、（12分）【答案】（1）和；（2）或；（3）
【解析】（1）显然直线斜率存在，设切线方程为，
则由，得，
从而所求的切线方程为和------4分
（2）当直线垂直于轴时，此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，这两点的距离为，满足题意：当直线不垂直于轴时，设其方程为，
即，设圆心到此直线的距离为，则，
得，从而，得，此时直线方程为，
综上所述，所求直线方程为或．----8分
（3）设点的坐标为，点坐标是，∴，
所以．∵，∴
∴点的轨迹方程是 ------12分
21、（12分）【答案】（Ⅰ）是上的奇函数；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ），，∴是上的奇函数； -----3分
（Ⅱ）由题意知是上的增函数（需要证明），------6分
则，------ 8分，
因为，则当时取最小值,
∴------12分
22、（14分）【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．
【解析】（1）∵的定义域为，∴，
由题意有恒成立
，又，∴------4分
（2）由（1）知：，
∴，-----6分
令，则原方程变为：，解之得或，
当时，，无解；------8分
当时，.-------10分
（3）由（1）知，，
法1：设g(n)=
可写成，
两式相加得，所以----14分。