(新课标)2019-2020学年高中数学 双基限时练9 新人教A版必修4
人教新课标A版高中数学必修4双基限时练及答案2.doc
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】双基限时练(二)1．终边在y 轴的非负半轴上的角的集合是( ) A ．{α|α＝k π，k ∈Z }B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π2，k ∈Z C ．{α|α＝2k π，k ∈Z }D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π2，k ∈Z 解析 A 选项表示的角的终边在x 轴上；B 选项表示的角的终边在y 轴上；C 选项表示的角的终边在x 轴非负半轴上；D 选项表示的角的终边在y 轴非负半轴上，故选D.答案 D2．在半径为5 cm 的圆中，圆心角为周角的23的角所对的圆弧长为( )A.4π3cm B.20π3cm C.10π3cmD.50π3cm解析 记r ＝5，圆心角α＝23×2π＝4π3， ∴l ＝|α|r ＝203π. 答案 B3．将－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是( ) A ．－π4－8π B.74π－8π C.π4－10πD.7π4－10π解析 ∵－1485°＝－5×360°＋315°， 又2π＝360°，315°＝74π，∴－1485°＝－5×2π＋74π＝7π4－10π. 答案 D4．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ为( ) A ．－34π B.π4 C.34πD ．－π4解析 ∵－11π4＝－2π－3π4，∴θ＝－34π. 又－11π4＝－4π＋5π4，∴θ＝5π4. ∴使|θ|最小的θ＝－3π4. 答案 A5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为( )A.π3B.2π3C. 3 D ．2解析 设所在圆的半径为r ，圆内接正三角形的边长为2r sin60°＝3r ，所以弧长3r 的圆心角的弧度数为3rr ＝ 3.答案 C6．用集合表示终边在阴影部分的角α的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ π4≤α≤π3 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ π4≤α≤5π3C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ 2k π＋π4≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z解析 由图可知在[0,2π)内角的终边落在阴影部分时π4≤α≤5π3， ∴满足条件的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z .答案 D7．圆的半径变为原来的12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角变为原来的________倍．解析 由公式θ＝l r 知，半径r 变为原来的12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角变为原来的2倍．答案 28．将下列弧度转化为角度： (1)π12＝________； (2)－7π8＝________； (3)13π6＝________； (4)－512π＝________. 答案 (1)15° (2)－157°30′ (3)390° (4)－75°9．将下列角度化为弧度： (1)36°＝________rad ； (2)－105°＝________rad ； (3)37°30′＝________rad ； (4)－75°＝________rad.解析 利用1°＝π180rad 计算． 答案 (1)π5 (2)－7π12 (3)5π24 (4)－5π1210．在直径为20 cm 的圆中，圆心角为150°时所对的弧长为________．解析 150°＝150×π180＝5π6， ∴l ＝5π6×10＝25π3(cm)． 答案 25π3 cm11．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合： (1)终边落在射线OM 上；(2)终边落在直线OM 上； (3)终边落在阴影区域内(含边界)．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2 012°是不是这个集合的元素．解 ∵150°＝5π6.∴终边在阴影区域内角的集合为S ＝{β|5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z }．∵2012°＝212°＋5×360°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53π45＋10πrad ， 又5π6＜53π45＜3π2. ∴2012°＝503π45∈S . 12.如图所示，动点P 、Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P 、Q 第一次相遇所用的时间及P 、Q 各自走过的弧长．解 设P 、Q 第一次相遇时所用的时间为t 秒，则：t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4， 即第一次相遇时所用的时间为4秒． P 点走过的弧长为：43π×4＝163π， Q 点走过的弧长为：8π－16π3＝8π3. 13．扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解 (1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为R ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋Rθ＝8，12θ·R 2＝3，解得θ＝23或6.即圆心角的大小为23弧度或6弧度．(2)设扇形所在圆的半径为 x cm ，则扇形的圆心角θ＝8－2xx ，于是扇形的面积是S ＝12x 2·8－2xx ＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4. 故当x ＝2 cm 时，S 取到最大值．此时圆心角θ＝8－42＝2弧度，弦长AB ＝2 ·2sin 1 ＝4sin1 (cm)．即扇形的面积取得最大值时圆心角等于2弧度，弦长AB 等于4sin1 cm.高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。
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】双基限时练(十七)1．给出下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不可为基底中的向量．其中正确的说法是()A．①②B．②③C．①③D．②解析因为不共线的两个向量都可以作为一组基底，所以一个平面内有无数多个基底，又零向量和任何向量共线，所以基底中不含有零向量．因此本题中，①错，②、③正确，故选B.答案 B2．已知e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是()A．e1和e1＋e2B．e1－2e2和e2－2e1C．e1－2e2和4e2－2e1D．e1＋e2和e1－e2解析分析四个选项知，在C中，4e2－2e1＝－2(e1－2e2)．∴e1－2e2与4e2－2e1共线，应选C.答案 C3．在△ABC 中，BC →＝3BD →，则AD →等于( ) A.13(AC →＋2AB →) B.13(AB →＋2AC →) C.14(AC →＋3AB →)D.14(AC →＋2AB →)解析 如图所示， AD →＝AB →＋BD → ＝AB →＋13BC → ＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝13(AC →＋2AB →)，故选A. 答案 A4．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP →等于( )A ．λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1) B ．λ(AB →＋BC →)，λ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22C ．λ(AB →－AD →)，λ∈(0,1) D ．λ(AB →－BC →)，λ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22解析 ∵ABCD 是菱形，且AC 是一条对角线，由向量加法的平行四边形法则知，AC →＝AB →＋AD →，而点P 在AC 上，∴三点A ，P ，C 共线，∴AP →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)，显然λ∈(0,1)，故选A.答案 A5．平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形解析 因为OA →＋OC →＝OB →＋OD →， 所以OA →－OB →＝OD →－OC →，即BA →＝CD →.又A ，B ，C ，D 四点不共线， 所以|BA →|＝|CD →|，且BA ∥CD ， 故四边形ABCD 为平行四边形． 答案 B6．如图所示，点P 在∠AOB 的对角区域MON 的阴影内，满足OP →＝xOA →＋yOB →，则实数对(x ，y )可以是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－34，25 解析 由图观察并根据平面向量基本定理，可知x <0，y <0，故选C.答案 C7．已知a ，b 不共线，且c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1＝________.解析 ∵a ，b 不共线，∴a ，b 可以作为一组基底，又c 与b 共线，∴c ＝λ2b ，∴λ1＝0.答案 08．设向量a ，b 不共线，且OC 1→＝k 1a ＋k 2b ，OC 2→＝h 1a ＋h 2b ，若OC 1→＋OC 2→＝m a ＋n b ，则实数m ＝________，n ＝________.解析 OC 1→＋OC 2→＝(k 1＋h 1)a ＋(k 2＋h 2)b ＝m a ＋n b .∴m ＝k 1＋h 1，n ＝k 2＋h 2. 答案 k 1＋h 1 k 2＋h 29．已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是________．解析 使a 、b 为基底，则使a 、b 不共线，∴λ－2×2≠0.∴λ≠4. 答案 {λ|λ≠4}10．若a ≠0，且b ≠0，且|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角是________．答案 30°11．设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，它们使BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来．解 如图所示，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB → ＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝13AC →－23AB →＝13b －23a . 同理可得NP →＝13a －23b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13a ＋13b .12．如图所示，在▱ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点．已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.解 设AB →＝a ，AD →＝b .由M ，N 分别为DC ，BC 的中点，得BN →＝12b ，DM →＝12a . 在△ABN 和△ADM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12b ＝d ， ①b ＋12a ＝c . ②①×2－②，得a ＝23(2d －c )． ②×2－①，得b ＝23(2c －d )．∴AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．13．若a ，b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a 、t b 、13(a ＋b )(t ∈R )三向量的终点在同一直线上？解 设a －t b ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －13(a ＋b )(m ∈R )，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 3－1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3－t b ，∵a 与b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 3－1＝0，m 3－t ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，t ＝12.∴t ＝12时，a 、t b 、13(a ＋b )的终点在同一直线上．。
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】双基限时练(二十二)1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( ) A.BD →＝CE → B.BD →与CE →共线 C.BE →＝BC →D.DE →与BC →共线解析 由题意知，DE 为△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ，∴DE →与BC →共线． 答案 D2．设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析 DB →＋DC →－2DA →＝(DB →＋AD →)＋(DC →＋AD →)＝AB →＋AC →， ∴(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0.即AB →2＝AC →2，∴|AB →|＝|AC →|.故选B.答案 B3．(2009·福建高考)设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，则|b ·c |的值一定等于( )A ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积B ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积C ．以a ，b 为两边的三角形的面积D ．以b ，c 为两边的三角形的面积 解析如右图，设b 与c 的夹角为θ，a 与b 的夹角为α， ∵a ⊥c ，∴|cos θ|＝|sin α|. 又|a |＝|c |， ∴|b ·c |＝|b ||c ||cos θ|＝|b ||a ||sin α|，即|b ·c |的值一定等于以a ，b 为邻边的平行四边形的面积．答案 A4．已知点A ，B 的坐标分别为A (4,6)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32，则与直线AB平行的向量的坐标可以是( )①⎝ ⎛⎭⎪⎫143，3；②⎝ ⎛⎭⎪⎫7，92；③⎝ ⎛⎭⎪⎫－143，－3；④(－7,9)． A ．① B ．①② C ．①②③D ．①②③④解析 ∵A (4,6)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32，∴AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－7，－92，易知①、②、③与AB →平行，故选C.答案 C5．设O (0,0)，A (1,0)，B (0,1)，点P 是线段AB 上的一个动点，AP →＝λAB →，若OP →·AB →≥P A →·PB →，则实数λ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1＋22D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22解析 设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，AB →＝(－1,1)，P A →＝(1－x ，－y )，PB →＝(－x,1－y )，∵AP →＝λAB →，∴(x －1，y )＝(－λ，λ)，∴⎩⎨⎧x －1＝－λ，y ＝λ，∴⎩⎨⎧x ＝1－λ，y ＝λ，①又∵OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,1)＝－x ＋y ，P A →·PB →＝(1－x ，－y )·(－x,1－y )＝－x (1－x )－y (1－y )， ∴－x ＋y ≥－x (1－x )－y (1－y )，将①代入可得：λ－1＋λ≥(λ－1)·λ－λ(1－λ)，整理可得：2λ2－4λ＋1≤0，解得：1－22≤λ≤1＋22，又P 是线段AB 上的动点，∴λ≤1，∴1－22≤λ≤1，故选B.答案 B6．在Rt △ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝( )A ．2B ．4C ．5D ．10解析 ∵P A →＝CA →－CP →， ∴|P A →|2＝CA →2－2CP →·CA →＋CP →2.∵PB →＝CB →－CP →，∴|PB →|2＝CB →2－2CP →·CB →＋CP →2.∴|P A →|2＋|PB →|2＝(CA →2＋CB →2)－2CP →·(CA →＋CB →)＋2CP →2＝AB →2－2CP →·2CD →＋2CP →2.又AB →2＝16CP →2，CD →＝2CP →，代入上式整理得|P A →|2＋|PB →|2＝10CP →2，故所求值为10.答案 D7．在△ABC 所在平面上有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△P AB 与△ABC 的面积之比为________．解析 ∵P A →＋PB →＋PC →＝AB →，∴PC →＝AB →－P A →－PB →＝AP →＋AB →＋BP →＝2AP →，∴A ，P ，C 三点共线，且点P 是靠近点A 的线段AC 的三等分点， 故S △P ABS △ABC ＝13. 答案 138．质量m ＝2.0 kg 的物体，在4 N 的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3 s ，则水平力在3 s 内对物体所做的功为__________．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB →＝________.解析 如图，∵AB ＝3，取D 为AB 的中点，又OA ＝1，∴∠AOD ＝π3.∴∠AOB ＝2π3.∴OA →·OB →＝1×1×cos 2π3＝－12. 答案 －12 9.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．解析 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，则由题意知，点B (2，0)，点E (2，1)，设点F (a,2)， 所以AB →＝(2，0)，AF →＝(a,2)． 由条件解得点F (1,2)，所以AE →＝(2，1)，BF →＝(1－2，2)． 所以AE →·BF →＝ 2. 答案210．如下图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．解析 如下图，过B 作BD ∥MN ， 易知m ＝AB AM ＝AD AN ，n ＝ACAN ，∴m ＋n ＝AD ＋AC AN .∵BO OC ＝DNNC ＝1， ∴AD ＋AC ＝2AN . ∴m ＋n ＝2. 答案 2 11.如图所示，若D 是△ABC 内的一点，且AB 2－AC 2＝DB 2－DC 2. 求证：AD ⊥BC .分析 解答本题可先表示出图中线段对应的向量，找出所给等式所蕴含的等量关系，再利用它计算所需向量的数量积．证明 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝e ，DB →＝c ，DC →＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d .∴a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2. 由已知a 2－b 2＝c 2－d 2，∴c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2＝c 2－d 2，即e ·(c －d )＝0. ∵BC →＝BD →＋DC →＝d －c ， ∴AD →·BC →＝e ·(d －c )＝0. ∴AD →⊥BC →，即AD ⊥BC .12．已知点A 、B 的坐标分别是(－4,3)，(2,5)，并且OC →＝3OA →，OD →＝3OB →，求证：AB ∥CD .证明 ∵OC →＝3OA →，OD →＝3OB →， ∴C (－12,9)，D (6,15)， ∴AB →＝(6,2)，CD →＝(18,6)．∴CD →＝3AB →，∴AB ∥CD .13．如图所示，以原点和A (5,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，∠B ＝90°，求点B 的坐标．解 设B (x ，y )，则|OB →|＝x 2＋y 2.∵B (x ，y )，A (5,2)， ∴|AB →|＝(x －5)2＋(y －2)2.又|AB →|＝|OB →|， ∴(x －5)2＋(y －2)2＝x 2＋y 2，整理，得10x ＋4y ＝29①∴又OB →＝(x ，y )，AB →＝(x －5，y －2)，且OB →⊥AB →. ∴OB →·AB →＝0，∴x (x －5)＋y (y －2)＝0， 即x 2＋y 2－5x －2y ＝0，② 由①、②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝72，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝－32.∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－32.高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin= ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。
人教新课标A版高中数学必修4双基限时练及答案3.doc
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】双基限时练(三)1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则sin α的值为( )A ．－32 B ．－12 C.32D.12解析 利用三角函数的定义可得sin α＝－12，故选B. 答案 B2．若角α的终边经过M (0,2)，则下列各式中，无意义的是( ) A ．sin α B ．cos α C ．tan αD ．sin α＋cos α解析 因为M (0,2)在y 轴上，所以α＝π2＋2k π，k ∈Z ，此时tan α无意义．答案 C3．下列命题正确的是( )A ．若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角B ．若α>β，则cos α<cos βC ．若sin α＝sin β，则α与β是终边相同的角D ．若α是第三象限角，则sin αcos α>0且cos αtan α<0解析 当θ＝π时，cos θ＝－1，此时π既不是第二象限的角，也不是第三象限的角，故A 错误；当α＝390°，β＝30°时，cos α＝cos β，故B 错误；当α＝30°，β＝150°时，sin α＝sin β，但α与β终边并不相同，故C 错误，只有D 正确．答案 D4．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析 ∵α，β为三角形的内角，且sin αcos β<0， 又sin α>0，∴cos β<0，∴β为钝角． ∴三角形为钝角三角形． 答案 B5．设角α的终边过点P (3a,4a )(a ≠0)，则下列式子中正确的是( )A ．sin α＝45 B ．cos α＝35 C ．tan α＝43D ．tan α＝－43解析 ∵a ≠0，∴tan α＝4a 3a ＝43. 答案 C6．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2θ<1，则θ所在的象限为( )A ．第一或第三象限B ．第二或第四象限C ．第二或第三象限D ．第一或第四象限解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2θ<1，且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上递减，∴sin2θ>0，∴2k π<2θ<π＋2k π，k ∈Z ，∴kπ<θ<π2＋kπ，k∈Z.当k＝2n，n∈Z时，2nπ<θ<π2＋2nπ，此时θ在第一象限内．当k＝2n＋1，n∈Z时，π＋2nπ<θ<3π2＋2nπ，n∈Z，此时θ在第三象限内．综上可得θ所在的象限为第一象限或第三象限，故选A.答案 A7．角α终边上有一点P(x，x)(x∈R，且x≠0)，则sinα的值为________．解析由题意知，角α终边在直线y＝x上，当点P在第一象限时，x>0，r＝x2＋x2＝2x，∴sinα＝x2x ＝22.当点P在第三象限时，同理，sinα＝－22.答案±2 28．使得lg(cosαtanα)有意义的角α是第________象限角．解析要使原式有意义，必须cosαtanα>0，即需cosα，tanα同号，所以α是第一或第二象限角．答案一或二9．点P(tan2 012°，cos2 012°)位于第____________象限．解析∵2 012°＝5×360°＋212°，212°是第三象限角，∴tan2 012°＞0，cos2 012°＜0，故点P位于第四象限．答案 四10．若角α的终边经过P (－3，b )，且cos α＝－35，则b ＝________，sin α＝________.解析 ∵cos α＝－39＋b 2，∴－39＋b 2＝－35，∴b ＝4或b ＝－4.当b ＝4时，sin α＝b9＋b2＝45，当b ＝－4时，sin α＝b9＋b 2＝－45. 答案 4或－4 45或－4511．计算sin810°＋tan765°＋tan1125°＋cos360°.解 原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋0°)＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋cos0° ＝1＋1＋1＋1＝4.12．一只蚂蚁从坐标原点沿北偏西30°方向爬行6 cm 至点P 的位置．试问蚂蚁离x 轴的距离是多少？解 如下图所示，蚂蚁离开x 轴的距离是P A .在△OP A 中，OP ＝6，∠AOP ＝60°， ∴P A ＝OP sin60° ＝6×32＝3 3.即蚂蚁离x 轴的距离是3 3 cm.13．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，试求α的三个三角函数值．解 当角α的终边在第一象限时，在y ＝2x 上任取一点P (1,2)，则有r ＝5，∴sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2. 当角α的终边在第三象限时，同理可求得： sin α＝－255，cos α＝－55，tan α＝2.高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin= ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。
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】双基限时练(十五)1．若非零向量a ，b 互为相反向量，则下列说法错误的是( ) A ．a ∥b B ．a ≠b C ．|a |≠|b |D ．b ＝－a解析 根据相反向量的定义：大小相等，方向相反，可知|a |＝|b |. 答案 C2．给出下列四个结论：①AB →＝AO →＋OB →； ②AB →－AC →＝BC →； ③AB →＋BC →＋CA →＝0; ④|a ＋b |≥|a －b |. 其中错误的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析 ①正确，②错误，∵AB →－AC →＝AB →＋CA →＝CB →≠BC →.③错误，∵AB →＋BC →＋CA →＝0≠0.④错误，当a 与b 方向相反时，有|a ＋b |<|a －b |.综上知，仅①正确，故选C.答案 C3．在△ABC 中，BC →＝a ，AC →＝b ，则AB →等于( ) A ．a ＋b B ．a －b C ．－a －(－b )D ．－a ＋(－b )解析 AB →＝AC →＋CB →＝AC →－BC →＝b －a .故选C.答案 C4．如图，P 是△ABC 所在平面内一点，且满足BA →＋BC →＝BP →，则( )A.BA →＝PC →B.BC →＝P A →C.BC →＋CP →＝BP →D.BA →－BP →＝AP →解析 由题意知，BP 是以BA →，BC →为邻边所作平行四边形的对角线，BC →＋CP →＝BC →＋BA →＝BP →.答案 C5．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0解析 ∵D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点， ∴BE →＝DF →，CF →＝F A →，∴AD →＋BE →＋CF →＝AD →＋DF →＋F A →＝0. 答案 A6．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析 以AB ，AC 为邻边作平行四边形ACDB ，则由加减法的几何意义可知AD →＝AB →＋AC →，CB →＝AB →－AC →，因为|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以|AD →|＝|CB →|.又四边形ACDB 为平行四边形，所以四边形ACDB 为矩形，故AC ⊥AB ，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，|AM →|＝12|BC →|＝2.答案 C7．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →－DC →|＝________________________________________________________.解析 |AB →－CB →－DC →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AD →|＝2. 答案 28．如图，平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状是________．解析 ∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →， ∴OA →－OB →＝OD →－OC →.即BA →＝CD →.又A ，B ，C ，D 四点不共线，∴|BA →|＝|CD →|，且BA ∥CD ，故四边形ABCD 为平行四边形． 答案 平行四边形9．已知a 与b 均为非零向量，若|a －b |＝||a |－|b ||，则a 与b 方向________．解析 当a 与b 不共线时，如图1，a －b ＝BC →，|BC →|>||AC →|－|AB →||可得|a －b |>||a |－|b ||；当a 与b 反向时，如图2，知a －b ＝CB →，|CB →|>||AB →|－|AC →||，∴|a －b |>||a |－|b ||.当a 与b 同向时，如图3，a －b ＝CB →，|CB →|＝||AB →|－|AC →||，∴|a －b |＝||a |－|b ||.答案 相同 10．给出下列命题：①若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →； ②若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →； ③若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM →；④若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝MO →. 其中所有正确命题的序号为________． 答案 ①②③④11．如图，解答下列各题： (1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用d ，c 表示EC →.解 ∵AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ， DE →＝d ，EA →＝e ，∴(1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a . (2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e .(4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d . 12.如图所示，O 为△ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求作向量b ＋c －a .解 以OB →，OC →为邻边作▱OBDC ，连接OD ，AD ，则OD →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，AD →＝OD →－OA →＝b ＋c －a .13．已知|a |＝6，|b |＝8，且|a ＋b |＝|a －b |，求|a －b |.解 如下图，设AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作▱ABCD ，则AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b .由|a ＋b |＝|a －b |知，|AC →|＝|DB →|， ∴四边形ABCD 是矩形，故AD ⊥AB . 在Rt △ABD 中，高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。
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】双基限时练(十四)1．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的向量的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析 向量加法满足交换律， 所以五个向量均等于a ＋b ＋c . 答案 A2．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( ) A.CB → B.AB → C.AC →D.AM → 解析 (AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝(AB →＋BC →)＋(BO →＋OM →＋MB →)＝AC →＋0＝AC →，故选C.答案 C3．向量a ，b 皆为非零向量，下列说法不正确的是( ) A ．向量a 与b 反向，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 B ．向量a 与b 反向，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 C ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与a 的方向相同 D ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与b 的方向相同解析 向量a 与b 反向，且|a |<|b |，则a ＋b 应与b 方向相同，因此B 错．答案 B4．设P 是△ABC 所在平面内一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PB →＋PC →＝0 C.PC →＋P A →＝0D.P A →＋PB →＋PC →＝0解析 由向量加法的平行四边形法则易知，BA →与BC →的和向量过AC 边的中点，且长度是AC 边中线长的2倍，结合已知条件知，P 为AC 的中点，故P A →＋PC →＝0.答案 C5．正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，AC →＝c ，BC →＝b ，则|a ＋b ＋c |为( )A ．0 B. 2 C ．3D ．2 2解析 |a ＋b ＋c |＝|2c |＝2|c |＝2 2.应选D. 答案 D6．在▱ABCD 中，若|BC →＋B A →|＝|B C →＋AB →|，则四边形ABCD 是( )A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．不确定解析 |BC ＋AB |＝|AB ＋BC |＝|AC |， |BC →＋BA →|＝|BD →|，由|BD →|＝|AC →|知四边形ABCD 为矩形． 答案 B 7.根据图示填空． (1)AB →＋OA →＝________； (2)BO →＋OD →＋DO →＝________； (3)AO →＋BO →＋2OD →＝________. 解析 由三角形法则知 (1)AB →＋OA →＝OA →＋AB →＝OB →； (2)BO →＋OD →＋DO →＝BO →； (3)AO →＋BO →＋2OD →＝AD →＋BD →.答案 (1)OB (2)BO (3)AD ＋BD8．在正方形ABCD 中，边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，则|a ＋b |＝________.解析 a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →， ∴|a ＋b |＝|AC →|＝ 2. 答案29．若P 为△ABC 的外心，且P A →＋PB →＝PC →，则∠ACB ＝__________.解析 ∵P A →＋PB →＝PC →，则四边形APBC 是平行四边形． 又P 为△ABC 的外心， ∴|P A →|＝|PB →|＝|PC →|. 因此∠ACB ＝120°. 答案 120°10．设a 表示“向东走了2 km ”，b 表示“向南走了2 km ”，c 表示“向西走了2 km ”，d 表示“向北走了2 km ”，则(1)a ＋b ＋c 表示向________走了________km ； (2)b ＋c ＋d 表示向________走了________km ； (3)|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________． 解析 (1)如图①所示，a ＋b ＋c表示向南走了2 km.(2)如图②所示，b ＋c ＋d 表示向西走了2 km.(3)如图①所示，|a ＋b |＝22＋22＝22，a ＋b 的方向是东南． 答案 (1)南 2 km (2)西 2 km (3)22 东南 11.如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，试通过计算用图中有向线段表示下列向量的和：(1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →； (3)OA →＋FE →.解 (1)因为四边形OABC 是平行四边形，所以OA →＋OC →＝OB →. (2)因为BC ∥AD ∥FE ；BC ＝FE ＝12AD ， 所以BC →＝AO →，FE →＝OD →， 所以BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →. (3)因为|OA →|＝|FE →|，且OA →与FE →反向． 所以利用三角形法则可知OA →＋FE →＝0. 12．化简：(1)AB →＋CD →＋BC →； (2)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →)； (3)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →.解 (1)AB →＋CD →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →. (2)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →) ＝(MA →＋AC →)＋(CB →＋BN →) ＝MC →＋CN →＝MN →. (3)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0 13.如右图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP →＝QC →. 求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →. 证明 由图可知AB →＝AP →＋PB →， AC →＝AQ →＋QC →，∴AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋PB →＋QC →. ∵BP →＝QC →，又PB →与BP →模相等，方向相反， 故PB →＋QC →＝PB →＋BP →＝0.∴AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin= ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。
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学校班级姓名【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】双基限时练(二十七)1．sin15°sin75°的值为( ) A.12 B.14 C.32D.34解析 sin15°sin75°＝sin15°cos15°＝12×2sin15°cos15°＝12sin30°＝14.答案 B2．cos 4π8－sin 4π8等于( )A ．0 B.22 C ．1D ．－22解析 cos 4π8－sin 4π8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π8＋sin 2π8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π8－sin 2π8 ＝cos π4＝22. 答案 B3．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，则cos2α的值等于( ) A ．－725 B.725 C.325D ．－325解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，得cos α＝35，∴cos2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725.答案 A4．化简1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ的结果为( ) A ．2cos2θ B ．－cos2θ C ．sin2θD ．－sin2θ解析 1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ＝－sin2θ. 答案 D5．若sin x ·tan x <0，则1＋cos2x 等于( ) A.2cos x B ．－2cos x C.2sin xD ．－2sin x解析 ∵sin x ·tan x <0，∴x 为第二或第三象限的角． ∴cos x <0，∴1＋cos2x ＝2cos 2x ＝2|cos x | ＝－2cos x . 答案 B6．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 3解析 ∵sin 2α＋cos2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝14.∴cos α＝±12.又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12，sin α＝32.∴tan α＝3. 答案 D7．已知tan2α＝12，则tan α的值为________．解析 由tan2α＝2tan α1－tan 2α＝12，整理可得：tan 2α＋4tan α－1＝0.解得：tan α＝－2±5.答案 －2±58．cos π5cos 2π5＝________. 答案 149．已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan xtan2x 的值为________．解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，∴tan x ＋11－tan x ＝2，∴tan x ＝13.∴tan x tan2x ＝tan x2tan x 1－tan 2x ＝1－tan 2x 2＝1－192＝49.答案 4910．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin2x ＝________.解析 方法一：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，∴22(cos x ＋sin x )＝35，∴12(1＋2sin x cos x )＝925，∴sin2x ＝－725.方法二：sin2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1＝2×925－1＝－725. 答案 －72511．已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期．(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝2sin(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin2x ， 所以函数f (x )的最小正周期为π. (2)由－π6≤x ≤π2⇒－π3≤2x ≤π， 所以－32≤sin2x ≤1，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值为1，最小值为－32.12．已知α为锐角，且tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2.(1)求tan α的值；(2)求sin2αcos α－sin αcos2α的值． 解 (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，所以1＋tan α1－tan α＝2,1＋tan α＝2－2tan α，所以tan α＝13.(2)sin2αcos α－sin αcos2α＝2sin αcos 2α－sin αcos2α ＝sin α(2cos 2α－1)cos2α ＝sin αcos2αcos2α ＝sin α.因为tan α＝13，所以cos α＝3sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝110， 又α为锐角，所以sin α＝1010， 所以sin2αcos α－sin αcos2α＝1010. 13．求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin2α证明 方法一：左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin 2α2＝cos 2αsin α2cos α2cos α＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin2α＝右边． ∴原式成立．方法二：左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tan α21－tan 2α2＝ 12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin2α＝右边． ∴原式成立．高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。
人教新课标A版高中数学必修4双基限时练及答案23.doc
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】双基限时练(二十三)1．已知作用在A 点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，A (1,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标是( )A ．(8,2)B ．(9,1)C ．(－1,9)D ．(3,1)解析 由已知得F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8,0)． ∴OF →＝OA →＋AF →＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)． 答案 B2．初速度为v 0，发射角为θ，若要使炮弹在水平方向的速度为12v 0，则发射角θ应为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°解析 炮弹的水平速度为v ＝v 0·cos θ＝12v 0⇒cos θ＝12⇒θ＝60°. 答案 D3．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3,2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某一物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F 4，则F 4等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)解析 由题意知，F 1＋F 2＋F 3＋F 4＝0. 又F 1＋F 2＋F 3＝(－1，－2)，∴F 4＝(1,2)． 答案 D4．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 1的大小为( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．5 2 N解析 如下图所示，|F 1|＝|F |cos60°＝10×12＝5 N ，应选B.答案 B5．一船从某河的一岸驶向另一岸，船速为v 1，水速为v 2，已知船可垂直到达对岸，则( )A ．|v 1|<|v 2|B ．|v 1|>|v 2|C ．|v 1|≤|v 2|D ．|v 1|≥|v 2|解析 船速v 1应大于水速v 2，即|v 1|>|v 2|. 答案 B6．当两人提重为|G |的书包时，夹角为θ，用力为|F |，则当|F |最小时，θ应为( )A ．0 B.π2 C.2π3 D. π答案 A7．河水从东向西流，流速为2 m/s ，一轮船以2 m/s 垂直水流方向向北横渡，则轮船实际航行的方向是________，航速是________．解析 如图所示，记水速|v 1|＝2 m/s ，船速|v 2|＝2 m/s. v 表示船实际航行的速度，则由图知：|v |＝22＋22＝22(m/s)．方向与水流方向成45°. 答案 西北方向 2 2 m/s8．三个力F 1，F 2，F 3同时作用于O 点且处于平衡状态，已知F 1与F 2的夹角为120°，又|F 1|＝|F 2|＝20 N ，则|F 3|＝________.解析 由题意有F 1＋F 2＋F 3＝0，∴F 3＝－F 1－F 2，∴|F 3|2＝F 21＋2F 1·F 2＋F 22＝202＋2|F 1|·|F 2|cos120°＋202＝202，∴|F 3|＝20 N.答案 20 N9．已知速度v 1＝(1，－2)，速度v 2＝(3,4)，则合速度v ＝________. 答案 (4,2)10．质量m ＝2.0 kg 的物体，在4 N 的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3 s ，则水平力在3 s 内对物体所做的功为__________．解析 水平力在3 s 内对物体所做的功：F·s ＝F ·12a t 2＝12F·F m t 2＝12m F 2t 2＝12×12×42×32＝36(J)．答案 36 J 11.今有一小船位于d ＝60 m 宽的河边P 处，从这里起，在下游l ＝80 m 处河流有一瀑布，若河水流速方向由上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5 m/s ，如图，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？解如图，由题设可知，船的实际速度v ＝v 划＋v 水，其方向为临界方向PO →.则最小划速|v |＝|v 水|·sin θ， sin θ＝d d 2＋l 2＝60602＋802＝35，∴θ＝37°，∴最小划速应为|v 划|＝5×sin θ＝5×35＝3(m/s)．12．平面上有两个向量e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，今有动点P ，从P 0(－1,2)开始沿着与向量e 1＋e 2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|e 1＋e 2|，另一动点Q ，从点Q 0(－2，－1)出发，沿着与向量3e 1＋2e 2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|3e 1＋2e 2|.设P ，Q 在t ＝0秒时分别在P 0，Q 0处，则当PQ →⊥P 0Q 0→时，t 等于多少秒．解 ∵P 0(－1,2)，Q 0(－2，－1)， ∴P 0Q 0→＝(－1，－3)．又∵e 1＋e 2＝(1,1)，∴|e 1＋e 2|＝ 2. ∵3e 1＋2e 2＝(3,2)，∴|3e 1＋2e 2|＝13.∴当t 时刻时，点P 的位置为(－1＋t,2＋t )，点Q 位置为(－2＋3t ，－1＋2t )．∴PQ →＝(－1＋2t ，－3＋t )． ∵P 0Q 0→⊥PQ →，∴(－1)×(－1＋2t )＋(－3)×(－3＋t )＝0. ∴t ＝2.即当PQ →⊥P 0Q 0→时所需时间为2秒．13．如图，用两根分别长52米和10米的绳子，将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5米，求A 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解如图，由已知条件可知AG与竖直方向成45°角，BG与竖直方向成60°角．设A处所受力为F a，B处所受力为F b，物体的重力为G，∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，则有|F a|cos45°＋|F b|cos60°＝|G|＝100，①且|F a|sin45°＝|F b|sin60°.②由①②解得|F a|＝1502－506，∴A处所受力的大小为(1502－506) N.高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin= ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。
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（新课标）2019-2020学年高中数学 双基限时练9 新人教A 版必修
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1．函数y ＝cos2x 在下列哪个区间上是减函数( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4
C.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2
D.⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤π2，π 解析 ∵y ＝cos2x ， ∴2k π≤2x ≤π＋2k π(k ∈Z )， 即k π≤x ≤π
2
＋k π(k ∈Z )．
∴⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )为y ＝cos2x 的单调递减区间．
而⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2显然是上述区间中的一个．
答案 C
2．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )
A.⎝ ⎛
⎦⎥⎤－32，12 B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1
2，32 C.⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
32，1 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1
解析 由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π
3，
∴－12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32，选B. 答案 B
3．设M 和m 分别表示函数y ＝1
3cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于( )
A.23
B ．－23
C ．－43
D ．－2
解析 依题意得M ＝13－1＝－23，m ＝－1
3－1
＝－4
3，∴M ＋m ＝－2.
答案 D
4．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°＜cos10°＜sin168° B ．sin168°＜sin11°＜cos10° C ．sin11°＜sin168°＜cos10° D ．sin168°＜cos10°＜sin11°
解析 cos 10°＝sin80°，sin168°＝sin12°. sin80°＞sin12°＞sin11°， 即cos10°＞sin168°＞sin11°. 答案 C
5．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )
A.2
3 B.32 C. 2
D. 3
解析 由题意知函数f (x )在x ＝π
3处取得最大值，
∴
ωπ3＝2k π＋π2，ω＝6k ＋3
2
，k ∈Z .故选B. 答案 B
6．若a 为常数，且a >1,0≤x ≤2π，则函数y ＝sin 2
x ＋2a sin x 的最大值为( ) A ．2a ＋1 B ．2a －1 C ．－2a －1
D ．a 2
解析 令sin x ＝t ，则－1≤t ≤1，原函数变形为y ＝t 2
＋2at ＝(t ＋a )2
－a 2
.∵a >1，∴当t ＝1时，y max ＝12
＋2a ×1＝2a ＋1，故选A.
答案 A
7．函数y ＝sin2x ，x ∈R 的最大值是________，此时x 的取值集合是________． 解析 ∵x ∈R ，∴y ＝sin2x 的最大值为1，此时2x ＝2k π＋π2，x ＝k π＋π
4
(k ∈Z )．
答案 1 ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ＝k π＋π
4，k ∈Z
8．函数y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为__________．
解析 由y ＝－13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的单调性，得π2＋2k π≤x －π6≤3π
2＋2k π，
即
2π3＋2k π≤x ≤5π
3
＋2k π. 又x ∈[0，π]，故2π
3≤x ≤π.
即递增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤2π3，π.
答案 ⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤2π3，π 9．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值为2，则ω＝________.
解析 由2sin ωx ≤2，知sin ωx ≤22，又0<ω<1,0≤x ≤π3，∴0≤ωx ≤π
4
，∴0≤x ≤π4ω，令π4ω＝π3，得ω＝3
4
.
答案 34
10．函数y ＝2sin 2
x ＋2cos x －3的最大值是________． 解析 y ＝2sin 2
x ＋2cos x －3＝－2cos 2
x ＋2cos x －1＝ －2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－12≤－12. 答案 －1
2
11．已知ω＞0，函数f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π4上递增，求ω的范围． 解 由－π2＋2k π≤ωx ≤π
2＋2k π知，2k π－π2ω≤x ≤2k π＋
π2ω.
令k ＝0知－π2ω≤x ≤π
2ω
，
故
⎭
⎪⎬⎪⎫－
π2ω≤－π3
，π2ω≥π4，ω＞0
⇒0＜ω≤32. ∴ω的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，32.
12．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)求f (x )的单调递增区间；
(2)求f (x )的最大值及取得最大值时相应的x 的值． 解 (1)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2(k ∈Z )，
得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12
(k ∈Z )．
∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．
(2)当sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1时，f (x )有最大值2.
此时2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π
12
(k ∈Z )．
13．已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域为[－5,1]，求a 和b
的值．
解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π
3.
∴－
32≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.
当a >0时，则⎩⎨
⎧
2a ＋b ＝1，
－3a ＋b ＝－5，
∴⎩⎨
⎧ a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.
当a <0时，则⎩⎨
⎧
－3a ＋b ＝1，
2a ＋b ＝－5，
∴⎩⎨
⎧
a ＝－12＋63，
b ＝19－12 3.。