估算一元二次方程的根 ppt课件
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一元二次方程的根与系数的关系 ppt课件
把n=4m 代入代数式4m2－5mn＋n2，
得4m2－5m×4m＋(4m)2=0.
综上所述，代数式4m2－5mn＋n2 的值为0 .
知1－练
(3)若关于x 的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0)是“倍根
方程”，求a，b，c 之间的关系.
解：由“倍根方程”的定义可设ax2x2=
=1.
知1－练
2-1.[中考·宜昌] 已知x1，x2 是方程2x2－3x＋1=0 的两根，
则代数式
＋
＋
的值为 ______．
1
知1－练
例 3 已知关于x 的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2=0.
(1)若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；
知1－练
3-1.[中考·襄阳] 关于x 的一元二次方程x2＋2x＋3－k=0 有
两个不相等的实数根．
(1)求k 的取值范围；
解：b2－4ac＝22－4×1×(3－k)＝－8＋4k.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴－8＋4k>0，解得k>2.
知1－练
(2)若方程的两个根为α ，β ， 且k2=αβ ＋3k，求k 的值.
8=0 就是“倍根方程”
解题秘方：紧扣“倍根方程”的定义及根与系数的
关系解题，理解“倍根方程”的概念是解题关键.
知1－练
(1)若关于x 的一元二次方程x2－3x＋c=0 是“倍根方程”，
2
则c=________；
知1－练
(2)若(x－ 2)(mx－n) =0(m ≠ 0)是“倍根方程”，求代数式
4m2－5mn＋n2 的值；
解方程(x－2)(mx－n)= 0(m ≠
2.1 课时2 一元二次方程根的估算 课件(共20张PPT) 数学北师版九年级上册
②由表格知，当x=1时，(8-2x)(5-2x)=18，由方程的解的意义，可以得出“x=1是方程(8-2x)(5-2x)=18的解”
所求宽度为 1 m.
你还有其他求解方法吗？
①在未知数x的取值范围内确定范围；②根据题意的具体情况再次确定大致范围；③列出未知数的取值和方程的值的表格进行再次确定；④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.。
x
1
2
3
x2 +12 x - 15
-2
13
30
当x=1时，x2+12x-15<0，当x=2时，x2+12x-15>0，当x=1时，(x+6)2+72<100，当x=2时，(x+6)2+72>100
可以看出：
据此猜测x在1和2之间，即1<x<2
(4)x的整数部分是几?十分位是几?
由(3)可知x的整数部分是1，那它的十分位是几？
x 不可能大于 2.5 ，(5-2x) 表示地毯的宽，所以有 5-2x > 0.
0 < x <2.5
x
0.5
1
1.5
2
(8-2x)(5-2x)
(4)你知道所求宽度x(m)是多少吗?
(3)填写下表:
28
18
10
4
①表格中，当x的值从小到大变化时(8-2x)(5-2x)的值逐渐减小，经历了从大于18到等于18再到小于18的过程。
x
0
0.5
1
1.5
2
x2 + 12x - 15
-15
-8.75
-2
5.25
13
下面是小亮的求解过程：
所求宽度为 1 m.
你还有其他求解方法吗？
①在未知数x的取值范围内确定范围；②根据题意的具体情况再次确定大致范围；③列出未知数的取值和方程的值的表格进行再次确定；④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.。
x
1
2
3
x2 +12 x - 15
-2
13
30
当x=1时，x2+12x-15<0，当x=2时，x2+12x-15>0，当x=1时，(x+6)2+72<100，当x=2时，(x+6)2+72>100
可以看出：
据此猜测x在1和2之间，即1<x<2
(4)x的整数部分是几?十分位是几?
由(3)可知x的整数部分是1，那它的十分位是几？
x 不可能大于 2.5 ，(5-2x) 表示地毯的宽，所以有 5-2x > 0.
0 < x <2.5
x
0.5
1
1.5
2
(8-2x)(5-2x)
(4)你知道所求宽度x(m)是多少吗?
(3)填写下表:
28
18
10
4
①表格中，当x的值从小到大变化时(8-2x)(5-2x)的值逐渐减小，经历了从大于18到等于18再到小于18的过程。
x
0
0.5
1
1.5
2
x2 + 12x - 15
-15
-8.75
-2
5.25
13
下面是小亮的求解过程：
《一元二次方程的根与系数的关系》课件(共16张PPT)
2
3 6 2 x1 ∴ x1 5 5 3 3 k ∴ k 5[( ) 2] 7 又∵ ( ) 2 5 5 5 3 答：方程的另一个根是 ， k 的值是 7 。 5
还可以把 x
2 代入方程的两边，求出 k
我能行3
例3、不解方程，求一元二次方程 2 x 3 x 1 0 两个根的①平方和；②倒数和。
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得x1+x2= ∴(
k 1 2
, x1x2=
k 3 2
解得k1=9,k2= -3
k 1 2 k 3 ) 4 1 2 2
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
4 ( k 1) 2 4 k 2 0
即-8k+4≥0
k
由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
x=
2 b b 4ac 2a
(b2-4ac≥ 0)
解下列方程并完成填空：
（1）x2-7x+12=0
3 6 2 x1 ∴ x1 5 5 3 3 k ∴ k 5[( ) 2] 7 又∵ ( ) 2 5 5 5 3 答：方程的另一个根是 ， k 的值是 7 。 5
还可以把 x
2 代入方程的两边，求出 k
我能行3
例3、不解方程，求一元二次方程 2 x 3 x 1 0 两个根的①平方和；②倒数和。
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得x1+x2= ∴(
k 1 2
, x1x2=
k 3 2
解得k1=9,k2= -3
k 1 2 k 3 ) 4 1 2 2
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
4 ( k 1) 2 4 k 2 0
即-8k+4≥0
k
由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
x=
2 b b 4ac 2a
(b2-4ac≥ 0)
解下列方程并完成填空：
（1）x2-7x+12=0
人教版数学九年级上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共19张PPT)
的关系进行简单计算。
情感态度与价值观：
1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意
识。
教学重难点
掌握一元二次方程根与系数的关系。
利用一元二次方程根与系数的关系进行简单
计算。
复习引入：
1.一元二次方程的一般式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
b2-6b+4=0，且
A.
B.
a≠b，则 + 的值是( A )
−
C.
D.
−
解：∵ a2-6a+4=0 和 b2-6b+4=0 两个等式的
形式相同，且 a≠b，∴ a，b 可以看成是方
程 x2-6x+4=0 的两个根，∴ a+b=6，ab=4，
∴
+ =
+
=
+
巩固练习：
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1) x2－3x＝15；
(2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x；
(4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0，
x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
(2)方程化为 3x2＋4x＋1＝0，
2.判断一元二次方程根的情况.
b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
情感态度与价值观：
1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意
识。
教学重难点
掌握一元二次方程根与系数的关系。
利用一元二次方程根与系数的关系进行简单
计算。
复习引入：
1.一元二次方程的一般式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
b2-6b+4=0，且
A.
B.
a≠b，则 + 的值是( A )
−
C.
D.
−
解：∵ a2-6a+4=0 和 b2-6b+4=0 两个等式的
形式相同，且 a≠b，∴ a，b 可以看成是方
程 x2-6x+4=0 的两个根，∴ a+b=6，ab=4，
∴
+ =
+
=
+
巩固练习：
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1) x2－3x＝15；
(2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x；
(4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0，
x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
(2)方程化为 3x2＋4x＋1＝0，
2.判断一元二次方程根的情况.
b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
北师大版九年级数学上册《一元二次方程根的估算》教学课件
知识精讲
2.一元二次方程的近似解：对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解的估算，当某个x的取值使代数 式ax2＋bx＋c的值等于___0__或接近__0___时，这个x的值 就是一元二次方程的近似解.
典例导引
知识点一：一元二次方程的解（根）
【例1】下列方程中，有一个根为－1的方程是（ C ）
似解时，对代数式x2－3x＋1进行了代值计算，并列成下
表.由此可以判断，一元二次方程x2－3x＋1＝0的一个解x
的范围是（ C ）
x
－1
x2－3x＋1 5
－0.5 2.75
0
0.5
1
1 －0.25 －1
A.－1＜x＜－0.5 C.0＜x＜0.5
B.－0.5＜x＜0 D.0.5＜x＜1
课堂小结
试回答下列问题：
索过程（请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分）：
典例导引
第一步：
x
1
2
3
4
x2－3x－1 －3
－3
－1
3
所以，__3___< x <___4__.
第二步：
典例导引
x
3x2－3x－1 －0.69 －0.36 －0.01
0.36
所以，__3_._3___<x<__3_._4___. 通过以上探索，估计出矩形铁片长的整数部分为___3___， 十分位为___3___.
当堂检测
3. 根据下列表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0，a，b，c为常数）的解x的范围是（ C ）
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02
用公式法求解一元二次方程课件 (共25张PPT)
复习引入
（4） 4 x2 3x 2 0.
3 1 解：两边同时除以4，得 x x 0 . 4 2 3 1 2 移项，得 x x= . 4 2 2 2 3 1 3 3 2 配方，得 x x = ， 4 8 2 8 2 3 23 即 x = . 8 64 ∴此方程无实数根.
2
2 b b 4ac 0. 即： x 2 2a 4a 2
b b2 4ac 移项，得 x = . 2 2a 4a
2
下面该怎么 运算？有条 件限制吗？
探索新知
ax2 bx c 0 a 0
2 b b 4ac 2 当 b 4ac ≥0时，开平方得 x = . 2 2a 4a
（1）x 5x 4 0；
2
∵ b 4ac ＞0，∴方程有两个不相等的实数根.
2
（2） 4x2 7 6 x；
2 b 4ac ＜0，∴方程没有实数根. ∵
（3） 2 x 2 6 x 3 0.
2
2 ∵ b 4ac ＝0 ，∴方程有两个相等的实数根.
1 解：两边都除以2，得：x 2 x 0 . 2
2
1 移项，得 x 2 x= . 2
2
2
1 配方，得 x 2 x 1= 1 . 2 3 2 即 x 1 = . 2
6 6 ∴ x1 1 ，x2 =1+ . 2 2
复习引入
（2）x2 1.5= 3x；
2
分析：（1）确定a,b,cLeabharlann 值；（2）判断方程是否有根；
（3）写出方程的根.
新知应用
（1）x 7 x 18 0； 例1 解方程：
《一元二次方程》PPT课件
《一元二次方程》PPT 课件
演讲人
《一元二次方程》PPT课件
1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形 式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确 定一般形式中的a、 b、 c; 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字 母或特定式子的代数式。 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开 平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适解法适用范围较大，且计算简便，是方法，配方法使 用较少。 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-
《一元二次方程》PPT课件
4ac 叫一元二次方程根的判别 式.请注意以下等价命题：
Δ<0 <=> 无实根; Δ≥0 <=> 有两个实根(等或不等)。
Δ>0 <=> 有两个不等的实根; Δ=0 <=> 有两个相等的实根;
谢谢
演讲人
《一元二次方程》PPT课件
1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形 式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确 定一般形式中的a、 b、 c; 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字 母或特定式子的代数式。 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开 平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适解法适用范围较大，且计算简便，是方法，配方法使 用较少。 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-
《一元二次方程》PPT课件
4ac 叫一元二次方程根的判别 式.请注意以下等价命题：
Δ<0 <=> 无实根; Δ≥0 <=> 有两个实根(等或不等)。
Δ>0 <=> 有两个不等的实根; Δ=0 <=> 有两个相等的实根;
谢谢
一元二次方程的根与系数的关系PPT教学课件 (2)
• 3.利用根与系数的关系，求作一个一元二 次方程，使它的两根为2和3.
第六环节 感悟与收获
• 在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中， a、b、c有哪些作用？
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
2020/12/10
9
• 尝试题3：已知方程6x2+kx-5=0的一 个根为1，求它的另一个根及k的值。
第五环节：拓展创新
• 1．已知三角形的两边长是方程x2-12x+k=0 的两个根，三角形的第三条边长为4,求这 个三角形的周长。
• 2.变式训练： 已知三角形的两边长是方程x2-12x+k==0 的两个根，三角形的第三条边能等于15吗？
（1）x2+3x+4=0
（2）6x2+x-2=0
（3）2x2-3x +1=0
第三环节：探究新知
方程
x1 x2 x1+x2
x1x2
x2+3x+4=0 6x2+x-2=0 2x2-3x +1=0
第四环节：尝试发展
• 尝试题1：根据根与系数的关系写出下列 方程的两根之和与两根之积
• •
（ （方1）程2两x2-根3x为-1x=1，0 x2、kx是1+常x2=数_）__
___
x1x2=
• （2）3x2+5x=0 • （3）x2+7x=-6 • （4）5x2+kx-6=0
x1+x2= ___ x1+x2= ___ x1+x2= ___
x1x2 __ x1x2= ___
x1x2= ___
• 尝试题2：利用根与系数的关系，求 一元二次方程2x2-3x+5=0的两个根的 • （1）平方和 （2）倒数和 • （3）差
第六环节 感悟与收获
• 在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中， a、b、c有哪些作用？
PPT教学课件
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2020/12/10
9
• 尝试题3：已知方程6x2+kx-5=0的一 个根为1，求它的另一个根及k的值。
第五环节：拓展创新
• 1．已知三角形的两边长是方程x2-12x+k=0 的两个根，三角形的第三条边长为4,求这 个三角形的周长。
• 2.变式训练： 已知三角形的两边长是方程x2-12x+k==0 的两个根，三角形的第三条边能等于15吗？
（1）x2+3x+4=0
（2）6x2+x-2=0
（3）2x2-3x +1=0
第三环节：探究新知
方程
x1 x2 x1+x2
x1x2
x2+3x+4=0 6x2+x-2=0 2x2-3x +1=0
第四环节：尝试发展
• 尝试题1：根据根与系数的关系写出下列 方程的两根之和与两根之积
• •
（ （方1）程2两x2-根3x为-1x=1，0 x2、kx是1+常x2=数_）__
___
x1x2=
• （2）3x2+5x=0 • （3）x2+7x=-6 • （4）5x2+kx-6=0
x1+x2= ___ x1+x2= ___ x1+x2= ___
x1x2 __ x1x2= ___
x1x2= ___
• 尝试题2：利用根与系数的关系，求 一元二次方程2x2-3x+5=0的两个根的 • （1）平方和 （2）倒数和 • （3）差
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一名跳水运动员进行10米跳台跳水训练,在正常 的情况下,运动员必须在距水面5米以前完成规 定的翻腾动作,并且调整好入水姿势,否则就容 易出现失误,假设运动员起跳后的运动时间t(s) 为和运动员距水面的高度h(m)满足关系: h=10+2.5t-5t2 , 那么他最多有多长的时间完 成规定的动作? 解:要完成规定动作最多的时间是h=5时
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
3方程ax2+bx+c=0的条件：
（1）当a≠0时，是一元二次方程。 （2）当a=0并且b≠0 时 ，
是一元一次方程。
用估算的方法求一元二次方程的近似根。
有些实际问题在解决的时候只需 确定大体的取值范围，因此我们 可用逼近的方法求近似根。
果有一个数能够使方程的左边等于0,则这个数就
是方程的一个解. 2x2 –13x+11=0 ( 0 <x<2.5 )
列表
x
01 2
2x2 – 13x+11
11 0 -7
当x=1时，2x2 –13x+11=0 ，所以方程的解为x=1
你还有其它办法吗？
若在x许可的范围内取整数值，没有一个 整数能够使方程的左边等于0怎么办？
x
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
x2 +12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76 5.25 6.76 8.29
第四步：若在x的范围内取值，没有一个数能够
使方程的左边等于0, 则找出值最接近于0且小于0的 数，这个数就是方程精确到十分位的取值。
X的大致范围 是1.1< x <1.2，
因此的整数部分是1,十分位是1
总结用估算法解一元二次方程步骤：
第一步：化为一般形式
2x2 –13x+11=0
第二步：根据实际情况确定x大体的取值范围。
第三步:在x范围内取整数值,能够使方程左边等于0,则
这个数就是方程的一个解.
第四步：若在x的范围内取值，没有一个数能够
使方程的左边等于0, 则找出值最接近于0且小于0的 数，这个数就是方程的近似取值。
即: 5=10+2.5t-5t2
化为一般形式2t2 -t-2= 0
化为一般形式 ：2t2 -t-2= 0
列表
t
01 23
2t2 –t-2 -2 -1 4 13
所以1< t< 2
列表
t
1.1 1.2 1.3 1.4
2t2 –t-2 -0.68 -0.32 0.08 0.52
所以1.2< t< 1.3
做一
做
（x+6）²+7 ²=10²
7m
10m
一、化简： x²+12x-15 =0
X+6
二：X的大致范围 ：是1 < x <2 ，
三：保留整数部分不变，从1.1取到1.9找十分位
x
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
x2 +12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76 5.25 6.76 8.29
解：设花边的宽为Xm，
5cm
5-2x 根据题意得，
8-2x
x （8-2x)(5-2x)=18
8cm
第一步：化为一般形式
2x2 –13x+11=0
第二步：根据实际情况确定x大体的取值范围。
X可能小于0吗？ 不可能是0,没有实际意义
X可能大于4吗？ X可能大于2.5吗？
x的范围是
0 < x <2.5
第三步:在x范围内取整数值,分别代入方程，如
答:他完成动作的时间最多不超过1.3秒
小结： 夹逼估算法解一元二次方程步骤：
第一步：化为一般形式 2x2 –13x+11=0
第二步：根据实际情况确定x大体的取值范围。
第三步:在x范围内取整数值,能够使方程左边等于0,则
这个数就是方程的一个解.
第四步：若在x的范围内取值，没有一个数能够
使方程的左边等于0, 则找出值最接近于0且小于0的 数，这个数就是方程的近似取值。
在一般形式ax2+bx+c=0中，
注意（1）一般形式的右边必须是0， （2）左边是按降幂排列的三项式， 当然也可以没有一次项、常数项。
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭