12.2.8三个“一次”的关系
12.2 一次函数(课件)沪科版数学八年级上册
例 5 在同一平面直角坐标系中，作出下列函数的图象： (1)y1＝2x－1；(2)y2＝2x；(3)y3＝2x＋2 . 然后观察图象，你能得到什么结论？ 解题秘方：按“两点法”的作图步骤作图.
感悟新知
解：列表如下：
x 0 0.5 y1 －1 0
x01 y2 0 2 x 0 －1 y3 2 0
2. 正比例函数图象的画法 因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函
数y＝kx(k ≠ 0)的图象. 一般地，过原点和点(1，k)的直线， 即为正比例函数y＝kx(k ≠ 0)的图象.
感悟新知
知2－讲
特别提醒 正比例函数y＝kx(k ≠ 0)中，|k|越大，直线与x轴相交
所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所 成的锐角越小，直线越缓.
描点、连线，即可得到它们 的图象，如图12 .2- 4 .
知4－练
感悟新知
知4－练
从图象中我们可以看出：它们是一组互相平行的直线， 原因是这组函数的表达式中k的值都是2 .
结论：一次函数中的k值相等(b值不相等)时，其图象 是一组互相平行的直线. 它们可以通过互相平移得到.
感悟新知
知4－练
5-1. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x－3的图象是 ( D)
4-2. 正比例函数y＝(1－k)x的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2， y2)，当x1<x2时，y1>y2，则k的取值范围是__k_＞__1__.
感悟新知
知识点 4 一次函数的图象
知4－讲
1. 一次函数的图象 一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，且k ≠ 0)的图象是一
条直线，我们称它为直线y＝kx＋b.
感悟新知
12.2逆向思维的含义与作用说课稿高二政治(统编版选择性必修3)
3.角色扮演：通过模拟实际情境，让学生扮演不同角色，体验逆向思维在实际问题解决中的应用，增强学生的实践操作能力。
这些互动方式旨在促进学生主动参与课堂，提高学生的合作意识，以及培养学生的沟通能力和解决问题的能力。
3.思维导图软件：用于梳理和总结课程内容，帮助学生构建知识结构。
这些媒体资源在教学中的作用是，提高信息传递的效率，增加课堂的互动性和趣味性，以及帮助学生形成系统化、结构化的知识体系。
（三）互动方式
我计划以下设计师生互动和生生互动的环节：
1.师生互动：在课堂上，我会提出引导性问题，鼓励学生发表自己的观点，并对学生的回答给予及时的反馈和评价，以激发学生的思考和参与。
3.情感态度与价值观：
学生能够认识到逆向思维在创新中的重要作用，树立正确的价值观，增强对逆向思维的重视，培养积极向上的心态。
（三）教学重难点
1.教学重点：
（1）逆向思维的定义与特点，使学生能够准确把握逆向思维的概念。
（2）逆向思维在实际生活中的应用，让学生了解逆向思维在解决问题中的作用。
2.教学难点：
选择这些方法的理论依据是，它们能够充分调动学生的学习积极性，符合学生的认知发展规律，有助于学生形成深刻的理解和长期的记忆。
（二）媒体资源
我将使用以下教具、多媒体资源或技术工具来辅助教学：
1.投影仪和电子白板：用于展示PPT、视频和案例，增强视觉冲击力，帮助学生更好地理解和记忆。
2.互联网资源：实时搜索相关案例和资料，提供丰富的信息来源，丰富教学内容。
1.案例教学法：通过引入实际案例，让学生在具体情境中感受和理解逆向思维的应用，这种方法能够激发学生的兴趣，增强学习的直观性和实用性。
12.2一次函数(第8课时)
一、知识要点回顾：
kx ＋b 1、一次函数的概念：函数y=_______(k、b为 ≠０ =０ 常数，k______)叫做一次函数。当b_____时，函数 kx ≠０ y=____(k____)叫做正比例函数。 ★理解一次函数概念应注意下面两点： 1 ⑴、解析式中自变量x的次数是___次，⑵、 比例系数_____。 K≠0 2、正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过点 0，0 1，k （_____），(______)的_________。 一条直线 3、一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点（0， b ___),（____，0)的__________。 一条直线 b k 4、k决定了直线的倾斜程度, k越大,则直线越陡,越靠近y轴
l2 l1
t /分
（3）当兔子到达终点时，乌龟距终点还有 40 米。
（4）乌龟要与兔子同时到达终点乌龟要先跑 40 米。
（5）乌龟要先到达终点，至少要比兔子早跑 4 分钟。
s /米 120 100 80 60
l2
l1
40
20
-4
-3
-2
-1 O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
t /分
直线y1=kx与直线y2=kx-k在同一坐 标系内的大致图象是( C )
下图 l1 l2 分别是龟兔赛跑中 动动脑 路程与时间之间的函数图象。 新龟兔赛跑 根据图象可以知道： （1）这一次是 100 米赛跑。 （2）表示兔子的图象是 l2 。
s /米 120 100 80 60 40 20 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
例1、
12-2-8 全等专题-一线三等角模型(解析版)
12.2.8 全等专题-一线三等角模型三垂直模型 知识点管理 归类探究 1.基本图形（“K 型”三垂直模型）题型特征：图形的某条线段上出现三个直角，如图中∠B=∠AED=∠C=90°解题方法：只要题目再出现一组等边（AB=EC 或BE=DC 或AE=DE ），必证△ABE ≌△ECD （AAS 或ASA ） 证明过程：∵∠B=∠AED=90°，∴∠1+∠2=90°，∠2+∠A=90°，∴∠1=∠A ，∵∠B=∠C=90°，若AB=EC 或BE=DC 或AE=DE ，则△ABE ≌△ECD （AAS 或ASA ）.2.三种变化图形（1）“交叉型”三垂直模型 （2）“L 型”三垂直模型 （3）“旋转”三垂直模型证∠1+∠2=°，∠2+∠A=°，∴∠1=∠A 又∠B=∠C ，若AB ≅EC 若AB ~EC21AB C E D证∠1+∠2=°，∠2+∠A=°，∴∠1=∠A 又∠B=∠C ，若AB ≅FC若AB ~FC 21AB F E DC (1(2ED C B A【模型1】（2021·湖南株洲市·八年级期末）如图1，已知AB ＝AC ，AB⊥AC ．直线m 经过点A ，过点B 作BD⊥m 于D ， CE⊥m 于E ．我们把这种常见图形称为“K”字图．（1）悟空同学对图1进行一番探究后，得出结论：DE ＝BD ＋CE ，现请你替悟空同学完成证明过程．【分析】（1）先证∠ABD=∠EAC ，再证∠ABD ∠ ∠CAE （AAS ）即可；【详解】证明：（1）∠AB∠AC,BD∠DE,CE∠DE,∠∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°,∠∠DAB+∠ABD=∠EAC+∠DAB=90°,∠∠ABD=∠EAC,在∠ABD 和 ∠CAE 中，ABD EAC BDA AEC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠ ∠ABD ∠ ∠CAE （AAS ），∠ BD ＝ AE ，AD ＝ CE ，∠ DE ＝ AE ＋ DA ；【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．【模型2】（2020·宜兴市丁蜀实验中学八年级月考）已知AD⊥AB 于A ，BE⊥AB 于B ，点C 在线段AB 上，DC⊥EC ，且DC=CE ．试问：AD ，BE ，AB 又怎样的数量关系？说明理由．【答案】（1）见解析；（2）BE= AB+AD ，理由见解析．【分析】根据∠ACD∠∠BEC ，得到AD=BC ，AC=BE ，从而得到BE=AC=AB+BC=AB+AD ．【详解】解：∠BE∠AB ，∠∠BCE+∠BEC=90°，∠DC∠EC ，∠∠ACD+∠BCE=90°，∠∠ACD=∠BEC ，在∠ACD 和∠BEC 中，A B ACD BEC CD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ACD∠∠BEC （AAS ），∠AD=BC ，AC=BE ，∠BE=AC=AB+BC=AB+AD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，找出条件，证明全等，利用全等的性质得到线段的数量关系是本题考查的内容．【模型3】（2020·河南濮阳市·油田十中八年级期中）在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，l 是过A 的一条直线，BD AE ⊥于D ，CE AE ⊥于E ．若直线l 绕点A 旋转到如图2位置时，试说明：DE BD CE =-．【分析】可证明∠ABD ∠∠CAE ，再结合线段的和差可得出结论；【详解】如图2，∠BD ∠l ，CE ∠l ，∠∠BDA ＝∠CEA ＝90°，∠∠ABD +∠DAB ＝90°．∠∠BAC ＝90°，∠∠DAB +∠CAE ＝90°，∠∠ABD ＝∠CAE ．在∠ABD 和∠CAE 中，BDA CEA ABD CAE AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD ∠∠CAE （AAS ），∠AD ＝CE ，BD ＝AE∠DE ＝AE ﹣AD ，∠DE ＝BD ﹣CE ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键，判定三角形全等的方法有SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ．一线三等角模型【模型1】（2020·全国九年级专题练习）如图，在ABC中，2AB AC==，40B∠=︒，点D在线段BC 上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作40ADE∠=︒．（1）当115BDA∠=︒时，EDC∠=______°，AED=∠______°；（2）线段DC的长度为何值时，ABD DCE△△≌，请说明理由．【答案】（1）25，65；（2）2DC=，见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠BAD=25°，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠B=40°，根据三角形内角和定理计算，得到答案；1.基本模型说明“一线三等角模型”题型特征：图形的某条线段上出现三个相等的角，如图中∠B=∠2=∠C解题方法：只要题目再出现一组等边（BE=AC或EF=AE或BF=EC），必证△BEF≌△CAE（AAS或ASA）证明过程：∵∠1=180°-∠2-∠3，∠4=180°-∠C-∠3，∵∠2=∠C，∴∠1=∠4，∵∠B=∠C，若BE=AC 或EF=AE或BF=EC，则△BEF≌△CAE（AAS或ASA）2.几种变式模型（2）当DC=2时，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，得到∠ADB=∠DEC ，根据AB=DC=2，证明∠ABD∠∠DCE ．【详解】解：（1）∠40ADE ∠=︒，115BDA ∠=︒，∠180EDC ADB ADE ∠=︒-∠-∠1801154025=︒-︒-︒=︒．又∠AB AC =，∠40C B ∠=∠=︒，254065AED EDC C ∠=∠+∠=︒+︒=︒．（2）当2DC =时，ABD DCE △△≌，理由：∠40C ∠=︒，∠140DEC EDC ∠+∠=︒，又∠40ADE ∠=︒，∠140ADB EDC ∠+∠=︒，∠ADB DEC ∠=∠，又∠2AB DC ==，在ABD △和DCE 中，ADB DEC B CAB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠()ABD DCE AAS △△≌， 即当2DC =时，ABD DCE △△≌．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．【模型2】（2019·浙江嘉兴市·嘉兴实验初中八年级月考）如图直线CD 是经过⊥BCA 顶点C 的一条直线，CA=CB ，点E 、F 分别是直线CD 上的两点，且⊥BEC=⊥CFA=⊥BCA,则BE 与CF 的数量关系是：______________，请证明【答案】BE=CF;【分析】根据三角形的外角定理可以得到：BCF BCA ACF B BEC ∠=∠+∠=∠+∠,而BEC AFC BCA ∠=∠=∠，由此可以得到B ACF ∠=∠，再结合已知条件AC BC =，可以证明BEC CFA ∆≅∆，所以BE CF =依然成立； 【详解】 BCF BCA ACF B BEC ∠=∠+∠=∠+∠，且BEC AFC BCA ∠=∠=∠∴ B ACF ∠=∠又 AC BC =∴ BEC CFA ∆≅∆∴ BE CF =【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质应用，利用三角形的内角和进行导角找出全等条件是解决本题的关键.【模型3】（2020·潮州市潮安区雅博学校）如图2，将（1）中的条件改为：在⊥ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有⊥BDA ＝⊥AEC ＝⊥BAC ．请写出DE 、BD 、CE 三条线段的数量关系．【分析】根据三角形内角和定理、平角的定义证明∠ABD=∠CAE ，证明∠ABD∠∠CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；【详解】（2）解：数量关系：DE ＝BD ＋CE理由如下：在∠ABD 中，∠ABD=180°-∠ADB -∠BAD ，∠∠CAE=180°-∠BAC -∠BAD ，∠BDA=∠AEC ，∠∠ABD=∠CAE ，在∠ABD 和∠CAE 中，ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∠∠ABD∠∠CAE （AAS ）∠AE=BD ，AD=CE ，∠DE=AD+AE=BD+CE ；【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【模型4】（2018·浙江）如图，CD 是经过BCA ∠顶点C 的一条直线，且直线CD 经过BCA ∠的内部，点E ，F 在射线CD 上，已知CA CB =且BEC CFA α∠=∠=∠.（1）如图1，若80BCA ︒∠=，100a ︒∠=，问EF BE AF =-，成立吗？说明理由.【分析】）首先求出∠A=∠BCE ，然后利用AAS 证明∠BCE∠∠CAF ，即可解决问题；【详解】解：（1）∠80BCA ︒∠=，100a ︒∠=，∠∠FCA+∠A=180°-∠α=180°-100°=80°，∠BCE+∠FCA=80°，∠∠A=∠BCE ，∠BEC CFA ∠=∠，CA CB =，∠∠BCE∠∠CAF （AAS ），∠BE=CF ，CE=AF ，∠EF CF CE BE AF =-=-；【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用判定定理是解题关键.【模型5】（2011·广东汕头市·）⊥ABC 为正三角形，点M 是射线BC 上任意一点，点N 是射线CA 上任意一点，且BM=CN ，BN 与AM 相交于Q 点，求⊥AQN 的度数．【答案】60º【分析】先根据已知利用SAS 判定∠ABM∠∠BCN ，再根据全等三角形的性质求得∠AQN=∠ABC=60°．【详解】∠∠ABC 为正三角形∠∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC在∠AMB 和∠BNC 中AB BC ABC C BM CN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∠AMB∠∠BNC （SAS ），∠∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC ，∠MAN=∠BAC -∠MAB=60°-∠MAB ，又∠∠NBC=∠MAB （全等三角形对应角相等），∠∠ANB+∠MAN=120°，又∠∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°，∠∠AQN=180°-∠ANB -∠MAN ，∠AQN=180°-（∠ANB+∠MAN ），=180°-120°=60°，∠BQM=∠AQN=60°（全等三角形对应角相等）．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；三角形全等的证明是正确解答本题的关键．【拓展1】（2020·浙江八年级单元测试）在ABC中，90,ACB AC BC∠=︒=，直线MN经过点C，且AD MN⊥于D，BE MN⊥于E，（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，显然有：DE AD BE=+（不必证明）；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE AD BE=-；（3）当直线MN MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE=BE-AD【分析】（1）由于∠ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD∠MN于D，BE∠MN于E，由此即可证明∠ADC∠∠CEB，然后利用全等三角形的性质即可解决问题；（2）由于∠ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD∠MN于D，BE∠MN于E，由此仍然可以证明∠ADC∠∠CEB，然后利用全等三角形的性质也可以解决问题；（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，仍然∠ADC∠∠CEB，然后利用全等三角形的性质可以得到DE=BE-A D．【详解】解：（1）∠∠ABC中，∠ACB=90°，∠∠ACD+∠BCE=90°，又直线MN经过点C，且AD∠MN于D，BE∠MN于E，∠∠ADC=∠CEB=90°∠∠ACD+∠DAC=90°，∠∠BCE=∠DAC，在∠ADC和∠CEB中，满分冲刺ADC CEB DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ADC ∠∠CEB （AAS ），∠CD =BE ，CE =AD ，∠DE =CD +CE =AD +BE ；（2）∠∠ABC 中，∠ACB =90°，直线MN 经过点C ，且AD ∠MN 于D ，BE ∠MN 于E ，∠∠ADC =∠CEB =90°，∠ACD +∠BCE =∠BCE +∠CBE =90°，而AC =BC ，∠∠ADC ∠∠CEB ，∠CD =BE ，CE =AD ，∠DE =CE -CD =AD -BE ；（3）如图3，∠∠ABC 中，∠ACB =90°，直线MN 经过点C ，且AD ∠MN 于D ，BE ∠MN 于E ，∠∠ADC =∠CEB =90°，∠ACD +∠BCE =∠BCE +∠CBE =90°，∠∠ACD =∠CBE ，∠AC =BC ，∠∠ADC ∠∠CEB ，∠CD =BE ，CE =AD ，∠DE =CD -CE =BE -AD ；DE 、A D 、BE 之间的关系为DE =BE -A D ．【点睛】此题需要考查了全等三角形的判定与性质，也利用了直角三角形的性质，是一个探究性题目，对于学生的能力要求比较高．【拓展2】（2020·山东济南市·七年级期中）CD 是经过⊥BCA 定点C 的一条直线，CA=CB ，E 、F 分别是直线CD 上两点，且⊥BEC =⊥CFA =⊥β．（1）若直线CD 经过⊥BCA 内部，且E 、F 在射线CD 上，⊥若⊥BCA=90°，⊥β=90°，例如左边图，则BE CF ，EF |BE - AF |（填“＞”，“＜”，“＝”）；⊥若0°＜⊥BCA＜180°，且⊥β＋⊥BCA=180°，例如中间图，⊥中的两个结论还成立吗？并说明理由；（2）如右边图，若直线CD经过⊥BCA外部，且⊥β=⊥BCA，请直接写出线段EF、BE、AF的数量关系（不需要证明）．【答案】（1）∠=，= ∠两结论依然成立，证明见解析（2）EF=BE+AF【分析】（1）∠本题考查全等三角形的判定，可利用AAS定理进行解答；∠本题考查全等三角形判定，可通过三角形内角和定理运用AAS解答．（2）本题考查全等三角形的判定，运用三角形内角和以及平角定义，通过AAS解答．【详解】（1）∠∠∠BCA=90°，∠β=90°∠∠FCA+∠BCF=90°，∠FCA+∠CAF=90°∠∠BCF=∠CAF又∠∠BEC=∠CFA，CA=CB∠∠BEC≅∠CFA(AAS)∠BE=CF，CE=AF=-=-∠EF CF CE BE AF∠在∠FCA中，∠CFA+∠FCA+∠CAF=180°又∠∠BEC=∠CFA=∠β，∠β＋∠BCA=180°∠∠FCA+∠CAF=∠BCA∠∠BCA=∠BCE+∠FCA∠∠CAF=∠BCE∠CA=CB∠∠BEC≅∠CFA(AAS)∠BE=CF，CE=AF∠EF CF CE BE AF=-=-（2）在∠BEC中，∠B+∠BEC+∠BCE=180°又∠∠BEC=∠CFA=∠β，∠BCE+∠BCA+∠ACF=180°，∠β=∠BCA∠∠B=∠ACF∠CA=CB∠∠BEC≅∠CFA(AAS)∠BE=CF，CE=AFEF=EC+CF=AF+BE【点睛】本题考查全等三角形证明以及性质的应用，并结合一定的探究思路，按照题目指引利用AAS判别定理解答即可．【拓展3】（2020·北京延庆区·八年级期中）如图1，⊥ABC是等边三角形，点D，E分别是BC，AB上的点，且BD=AE，AD与CE交于点F．（1）求⊥DFC的度数；（2）将CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，连接AP，交BC于点Q．⊥补全图形（图2中完成）；⊥用等式表示线段BE与CQ的数量关系，并证明．【答案】（1）60°；（2）∠见解析，∠CQ=12BE，见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质和BD=AE证得∠ABD∠∠CAE，则有∠BAD=∠ACE，根据三角形外角性质即可解得∠DFC的度数；（2）根据旋转作图方法作出图形，如图，则有CE=CP，∠ECP=120º，进而证得AD∠CP，∠ADC=∠DCP，再由 AE=CD=CP 证明∠ADQ∠∠PCQ ，则有CQ=DQ=12CD ，又证得CD=BE ，即可得出CQ=12BE 的结论． 【详解】（1）∠∠ABC 是等边三角形,∠AB=AC=BC,∠BAC=∠B=∠ACB=60°,在∠ABD 和∠CAE 中 AB AC B BAC BD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABD∠∠CAE （SAS ）,∠∠BAD=∠ACE,∠∠BAD+∠DAC=60°,∠∠DFC=∠ACE+∠DAC=60°；（2）补图CQ=12BE ， ∠CE 绕着点C 逆时针旋转120°，得到CP ，∠CE=CP ，∠ECP=120°，又∠DFC=60°，∠AD∠CP ，∠∠ADC=∠DCP ，∠∠ABD∠∠CAE ，∠CE=AD ，∠AD=CP ，在∠ADQ 和∠PCQ 中ADC DCP AQD PQC AD CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ADQ∠∠PCQ （AAS ）， ∠CQ=DQ=12CD ， ∠AB=BC ，BD=AE ，∠BE=CD ， ∠CQ=12BE ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转作图与旋转性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握这些基本图形的判定与性质是解答的关键．【拓展4】（2020·辽宁鞍山市·八年级期中）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE ＝∠CDE ．求证：AB ＝CD ．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB ＝CD ，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．∠如图1，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接BF ；∠如图2，分别过点B 、C 作BF ∠DE ，CG ∠DE ，垂足分别为点F ，G ．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．【答案】（1）∠见解析；∠见解析；（2）见解析；【分析】（1）∠如图1，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接BF ，∠BEF ∠∠CED ，∠BAE ＝∠F ， AB ＝CD ； ∠如图2，分别过点B 、C 作BF ∠DE ，CG ∠DE ，垂足分别为点F ，G ，∠BEF ∠∠CEG∠BAF ∠∠CDG ，AB ＝CD ；（2）如图3，过C 点作CM ∠AB ，交DE 的延长线于点M ，则∠BAE ＝∠EMC ，∠BAE ∠∠CFE （AAS ），∠F ＝∠EDC ，CF ＝CD ，AB ＝CD ；【详解】（1）∠如图1，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接BF ，∠点E 是BC 的中点，∠BE ＝CE ，在∠BEF 和∠CED 中，BE CE BEF CED EF ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠BEF ∠∠CED （SAS ），∠BF ＝CD ，∠F ＝∠CDE ，∠∠BAE ＝∠CDE ，∠∠BAE ＝∠F ，∠AB ＝BF ，∠AB ＝CD ；∠如图2，分别过点B 、C 作BF ∠DE ，CG ∠DE ，垂足分别为点F ，G ，∠∠F ＝∠CGE ＝∠CGD ＝90°，∠点E 是BC 的中点，∠BE ＝CE ，在∠BEF 和∠CEG 中，90F CGF BEF CEG BE CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠BEF ∠∠CEG （AAS ），∠BF ＝CG ，在∠BAF 和∠CDG 中，90BAE CDE F CGD BF CG ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∠∠BAF ∠∠CDG （AAS ），∠AB ＝CD ；（2）如图3，过C 点作CM ∠AB ，交DE 的延长线于点M ，则∠BAE ＝∠EMC ，∠E 是BC 中点，∠BE ＝CE ，在∠BAE 和∠CME 中，BAE CME BEA CEM BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠BAE ∠∠CFE （AAS ），∠CF ＝AB ，∠BAE ＝∠F ，∠∠BAE ＝∠EDC ，∠∠F ＝∠EDC ，∠CF ＝CD ，∠AB ＝CD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．【拓展5】（2018·安徽铜陵市·八年级期末）已知ABC ∆和CEF ∆是两个等腰直角三角形，90ABC CEF ∠=∠=︒.连接AF ，M 是AF 的中点，连接MB 、ME ．(1)如图1，当CB 与CE 在同一直线上时，求证：BM ME ⊥；(2)如图2，当45BCE ∠=︒时，求证：BM ME =．【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解【分析】（1）如图所示，延长BM 交EF 于点D ，延长AB 交CF 于点H ，证明为∠BED 是等腰直角三角形和M 是BD 的中点即可求证结论；（2）如图所示，做辅助线，推出BM 、ME 是中位线进而求证结论．【详解】证明（1）如图所示，延长BM 交EF 于点D ，延长AB 交CF 于点H易知：∠ABC 和∠BCH 均为等腰直角三角形∠AB ＝BC ＝BH∠点B 为线段AH 的中点又∠点M 是线段AF 的中点∠BM 是∠AHF 的中位线∠BM∠HF即BD∠CF∠∠EDM ＝∠EFC ＝45°∠EBM ＝∠ECF ＝45°∠∠EBD 是等腰直角三角形∠∠ABC ＝∠CEF ＝90°∠AB∠EF∠∠BAM ＝∠DFM又M 是AF 的中点∠AM ＝FM在∠ABM 和∠FDM 中BAM DFM AM FMAMB FMD ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∠∠ABM∠∠FDM(ASA)∠BM ＝DM ，M 是BD 的中点∠EM 是∠EBD 斜边上的高∠EM∠BM（2）如图所示，延长AB 交CE 于点D ，连接DF ，易知∠ABC 和∠BCD 均为等腰直角三角形∠AB ＝BC ＝BD ，AC ＝CD∠点B 是AD 的中点，又∠点M 是AF 的中点∠BM ＝12DF 延长FE 交CB 于点G ，连接AG ，易知∠CEF 和∠CEG 均为等腰直角三角形∠CE ＝EF ＝EG ，CF ＝CG∠点E 是FG 的中点，又∠点M 是AF 的中点∠ME ＝12AG 在∠ACG 与∠DCF 中，45AC CD ACG DCF CG CF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∠∠ACG∠∠DCF （SAS ）∠DF ＝AG∠BM ＝ME【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质：两锐角都是45°，两条直角边相等、三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半、全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．【拓展6】（2018·黑龙江七台河市·九年级期末）如图，在∠ABC 中，∠ACB ＝90º，∠ABC ＝45 º，点O 是AB 的中点，过A 、C 两点向经过点O 的直线作垂线，垂足分别为E 、F.（1）如图∠，求证：EF ＝AE+CF.（2）如图∠，图∠，线段EF 、AE 、CF 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.【答案】（1）见解析；（2）图∠：EF＝AE+CF 图∠：EF＝AE-CF，见解析【分析】（1）连接OC，运用AAS证∠AOE∠∠OCF即可；（2）按（1）中的方法，连接OC，证明∠AOE∠∠OCF，即可得出结论【详解】（1）连接OC，∠∠ABC是等腰直角三角形，∠∠AOC=90°，AO=CO，∠∠AOE+∠COF=90°，∠EAO+∠AOE=90°，∠∠EAO=∠COF，又∠AO=CO，∠AEO=∠CFO，∠∠AOE∠∠OCF（AAS）∠OE＝CF，AE＝OF ∠EF＝AE+CF（2）如图∠，连接OC，∠∠ABC是等腰直角三角形，∠∠AOC=90°，AO=CO，∠∠AOE+∠COF=90°，∠EAO+∠AOE=90°，∠∠EAO=∠COF，又∠AO=CO，∠AEO=∠CFO，∠∠AOE∠∠OCF（AAS）∠OE＝CF，AE＝OF∠EF ＝AE+CF.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．【拓展7】（2019·河北保定市·八年级期末）如图（1）AB ＝9cm ，AC ∠AB ，BD ∠AB ，AC ＝BD ＝7cm ，点P 在线段AB 上以2cm /s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动，它们运动的时间为t （s ）．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t ＝1时，∠ACP 与∠BPQ 是否全等，请说明理由； （2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系，并证明；（3）如图（2），将图（1）中的“AC ∠AB ，BD ∠AB ”为改“∠CAB ＝∠DBA ＝50°”，其他条件不变．设点Q 的运动速度为xcm /s ，是否存在实数x ，使得∠ACP 与∠BPQ 全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）∠ACP 与∠BPQ 全等，理由见解析；（2）PC ∠PQ ，证明见解析；（3）存在，当t ＝1s ，x ＝2cm /s 或t ＝94s ，x ＝289cm /s 时，∠ACP 与∠BPQ 全等． 【分析】（1）利用SAS 定理证明ACP BPQ ∆≅∆；（2）根据全等三角形的性质判断线段PC 和线段PQ 的位置关系；（3）分ACP BPQ ∆≅∆，ACP BQP ∆≅∆两种情况，根据全等三角形的性质列式计算．【详解】（1）∠ACP 与∠BPQ 全等，理由如下：当t ＝1时，AP ＝BQ ＝2，则BP ＝9﹣2＝7，∠BP ＝AC ，又∠∠A ＝∠B ＝90°，在∠ACP 和∠BPQ 中，AP BQ A B CA PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ACP ∠∠BPQ （SAS ）；（2）PC ∠PQ ，证明：∠∠ACP ∠∠BPQ ，∠∠ACP ＝∠BPQ ，∠∠APC +∠BPQ ＝∠APC +∠ACP ＝90°．∠∠CPQ ＝90°，即线段PC 与线段PQ 垂直；（3）∠若∠ACP ∠∠BPQ ，则AC ＝BP ，AP ＝BQ ，∠9﹣2t ＝7，解得，t ＝1（s ），则x ＝2（cm /s ）；∠若∠ACP ∠∠BQP ，则AC ＝BQ ，AP ＝BP ，则2t ＝12×9， 解得，t ＝94（s ），则x ＝7÷94＝289（cm /s ）， 故当t ＝1s ，x ＝2cm /s 或t ＝94s ，x ＝289cm /s 时，∠ACP 与∠BPQ 全等． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分 类讨论思想的灵活运用是解题的关键．。
八年级数学上册12.2 第3课时 用待定系数法求一次函数的解析式
程组.
3.解这个二元一次方程组得k，b.4.进而Βιβλιοθήκη 出一次函数的表达式.练一练
1.已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，2）, 则k=___3___.
2.已知函数y=2x+b的图像经过点（a，7）和（-2，a）， 则这个函数的表达式为__y_=_2_x_+_5_____.
其下滑时间t(s)的关系如右图所示：
(1)请写出v与t的关系式.
v (m/s)
(2)下滑3 s时物体的速度是多少？ 5
解：（1）v=2.5t;
（2）v=2.5×3=7.5 (m/s).
2
O
t(s)
典例精析
例1 求正比例函数 y (m 4)xm215的表达式．
解：由正比例函数的定义知 m2－15＝1且m－4≠0， ∴m＝－4， ∴y＝－8x.
两组自变量及对应的函数值；
(2)由于不知道函数的增减性，此题需分两种情况讨论.
答案：y = 1 x - 4或y = - 1 x - 3
3
3
例4：正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们 的交点为A(4，3)，B为一次函数的图象与y轴的交点， 且OA＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．
解：设正比例函数的表达式为y1＝k1x， 一次函数的表达式为y2＝k2x＋b. ∵点A(4，3)是它们的交点，
2. 根据已知条件列出 关于k、b的方程组；
3. 解方程，求出k、b;
4. 把求出的k，b代回 表达式即可.
由题意得：14.5=b, 16=3k+b, 解得：b=14.5 ; k=0.5. 所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5. 当x=4时，y＝0.5×4＋14.5=16.5（厘米）. 故当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度为16.5厘米.
八年级数学上册 第12章 一次函数12.2 一次函数第4课时 分段函数及其应用教案 (新版)沪科版-
第4课时分段函数及其应用【知识与技能】1.能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数关系式.2.能将简单的实际问题转化为数学问题，从而解决实际问题.【过程与方法】通过分析实际问题，体会数形结合的思想，提高解决实际问题的能力.【情感与态度】通过寻找变量间的关系，确定一次函数关系式，让学生体会自行思考解决问题的过程，激发学习兴趣.【教学重点】重点是根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的关系式.【教学难点】难点是根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的关系式.一、创设情境前面我们学习了有关一次函数的一些知识及如何确定解析式，如何利用一次函数知识解决相关实践问题呢？这将是我们这节课要解决的主要问题.二、导入新课例1为节约用水，某城市制定以下用水收费标准：每户每月用水不超过8 m3时，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过8 m3时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元的污水处理费.设一户每月用水量为x m3，应缴水费y元.（1）给出y关于x的函数关系式；（2）画出上述函数图象；（3）该市一户某月若用水量为x=5 m3或x=10 m3时，求应缴的水费;（4）该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量.【解】（1）y关于x的函数关系式为：（2）如下图，函数图象是一段折线.（3）当x=5m3×5=6.5(元)；当x=10m3×10-11.2=15.8(元).即当用水量为5m3时，该户应缴水费6.5元；当用水量为10m3时，该户应缴水费15.8元.×8,可见该户这月用水超过8m3,因此： 2.7x-11.2=26.6，解得x=14.即这户本月用水14m3.【教学说明】本例给出的是在自变量的不同取值X围内表示函数关系的解析式有不同的形式，这样的函数称为分段函数，分段函数在生活中也是常见的.跟踪练习课本第42页练习1、2.【教学说明】确定一次函数关系式时为何要分段？如何分段？三、运用新知，深化理解（某某中考）小李从某某通过某快递公司给在某某的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外，樱桃不超过1kg收费22元，超过1kg，则超出部分按每千克10元加收费用.设该公司从某某到某某快递樱桃的费用为y（元），所寄樱桃为x （kg）.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）已知小李给外婆快寄了2.5kg樱桃，请你求出这次快寄的费用是多少元？【参考答案】解：（1）由题意，得当0＜x≤1时，y=22x+6当x＞1时y=28+10（x-1）=10x+18；（2）当x=2.5时，y=10×2.5+18=43.∴这次快寄的费用是43元.四、师生互动，课堂小结用函数的思想解决实际问题的关键在于用运动和变化的观点，去观察、分析具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种函数关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决.完成练习册中的相应作业.本节课通过由学生自行分析问题，构建函数关系式，激发学生学习的主动性，通过分析、归纳、总结，提高解决实际问题的能力.。
沪科版八年级数学上册课件一次函数第六课时一次函数与一元一次方程和一元一次不等式的关系
-2
直线y=mx+n（如图所示），
则方程mx+n=0的解是 x=－2 .
3、对于y1=2x－1， y2=4x－2，下列说法：
①两直线平行； ②两直线交于y轴于同一点；
③两直线交于x轴于同一点； ④方程2x－1 =0与
4x－2=0的解相同； 其中正确的是 ③ ④
⑤当x=1时，y1=y2=1. （填序号）
2x 20
x 10
两个问题实际上是同一个问题．
（3）画出函数y=2x+20的图象，并确定它 与x轴的交点坐标.
y
从“函数图 象”上看
y=2x+20 20
－10
0x
（思考：直线 y=2x+20与x轴交点坐标为（
___-_1,0____0_），这说明方程2χ＋20＝0的解
是x=_____）
序号 一元一次方程问题 一次函数问题
一次函数与一元一次方程的关系
求ax+b=0(a，b是 常数，a≠0)的解．
从“函数值”看
x为何值时
函数y= ax+b的值 为0．
求ax+b=0(a, b是 常数，a≠0)的解．
从“函数图象”看
求直线y= ax+b
与 x 轴交点的横 坐标．
例1．利用图象解一元一次方程x+3=0
解：作y=x+3图象如下
作出一次函数y=2x-5的图象 x … 0 2.5 …
y=2x-5 … -5 0 …
y
4
y=2x-5
3
2
1
-2 -1-10 1 2 3 4 5 x
-2 -3 -4 -5
视察图象回答下列问题: (1)X取何值时,2x-5=0
12.2全等三角形的性质与判定的综合运用(第一课时)教案 人教版数学八年级上册
12.2全等三角形的性质与判定的综合运用(第一课时)教案人教版数学八年级上册教学目标1.通过图形演示，感知、理解、整合全等三角形的概念、性质及其判定方法。
2.通过图形演示，理解为什么SSA不能作为三角形全等的判定条件。
教学重点通过图形演示，感知、理解、整合全等三角形的概念、性质及其判定方法；教学难点通过图形演示，理解为什么SSA不能作为三角形全等的判定条件。
创新设计方案微课用几何画板作为演示软件，通过图形及其动态演示，形象地展示几何图形的关系及其变化过程，有利于学生深化理解全等三角形的概念和判定方法。
教学过程一、全等三角形的概念1.两个三角形全等的定义是什么？答：形状、大小完全相同的两个三角形，叫做全等三角形。
请看图形演示。
移动图形，当两个三角形的三个顶点分别对应重合时，三条边也分别对应重合，这时候，就说两个三角形是全等的。
反过来，如果两个三角形全等，那么对应边相等、对应角相等，这就是全等三角形的性质。
2.根据定义，两个全等三角形是可以完全重合的。
那么，通过哪些图形变换方式，可以由一个三角形得到与它全等的另一个三角形呢？一是通过平移；二是通过旋转；三是通过翻转或者轴对称。
当然，也可以是两种或三种变换的依次进行得到。
二、三角形全等的判定方法3. 两个三角形全等的判定方法有哪些？（1）边边边SSS （2）边角边SAS（3）角角边AAS （4）角边角ASA这四种全等判定方法，对于任何形状的三角形都是适用的，包括直角三角形。
也就是说，直角三角形是可以用SSS、SAS、AAS、ASA来判定全等的。
三、SSA能判定两个三角形全等吗？4.两个直角三角形全等的判定方法再探究。
首先给两个直角三角形的顶点标上字母，如果它们的斜边和一条直角边分别对应相等，则这两个直角三角形是全等的。
但是我们不能把推理过程写成SSA的形式，而要写成HL（斜边直角边）的形式。
并且把直角三角形（即Rt△）作为前提条件来书写。
有的同学就很疑惑，明明就是SSA的关系，为什么偏要写成HL呢？我们知道，判断两个三角形全等的条件，就是确定唯一三角形的条件。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
心动不如行动
y
3 2 1 -4 -3 -2 -1 o -1 -2 -3 1 2 3
1、已知一次函数的图象如图所示,
观察图象,回答下列问题： （1）当x=0时，y=
y1
2 ， 当 y=0时，x= -4 ；
（2）求出此一次函数y1的解析式； x
1 y1 = 2 x+2
（3）当 x = -4 时， y1 =0； 当x ＞-4 时， y1 >0； 当x ＜-4 时， y1 <0；
例题：画出函数y=-3x+6的图象，结合图象：
（1）求方程-3x+6=0的解;
（2）求不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集。
y=-3x+6
y
A(0,6) ●
解：作出函数y=-3x+6的图象，如 图所示，图象与x轴交于点B的坐标为（2， 0）
●
B(2,0)
x (1)由图象可知方程-3x+6=0的解就 O 是B点的横坐标：x=2； （2）由图象可知，不等式-3x+6>0 的解集是图 象位于 x轴上方的x的取值范围：x<2； 不等式 -3x+6<0的解集是图象位于 x轴下方的 x的取值范围：x>2；
y2
当x =-2 时， y1 = y2 ； 当x ＞-2 时， y1 > y2 ；
七年级，我们已学过一元 一次方程、一元一次不等式， 本章，我们又学了一次函数， 这些都是一次……
是啊，它们之间 有什么关系呢？
乙
甲
回顾延伸
y
y>0 让我们来观察一下平面 直角坐标系,思考？
(1)纵坐标等于0的点在哪 里?
y=2x+6中函数值y>0，观察图象可 根据一次函数 y =2x+6 知，当图象在x轴上方时y>0。
y=2x+6
归纳三：当2x+6<0,就
是函数y=2x+6中函数值y<0，观察 图象可知,当图象在x轴下方时y<0。
根据上面一次函数 y=2x+6的 图象， 因为函数y=2x+6的图象与 你能说出一元一次不等式 x轴交于点（-3，0），所以， 要使y<0，即2x+6<0,应有x<-3。 2x+6<0的解集吗？
因为，任何一个一元一次不等式都可化简 为kx+b>0(或kx+b<0)的形式，所以一元一次 不等式 kx+b>0 (或kx+b<0) 的解集 就是使 y=kx+b取正值（或负值）时x的取值范围。 从图象上看kx+b>0的解集 是使直线y=kx+b 位于x轴上方相应x的取值范围， kx+b<0的解 集是使直线y=kx+b位于x轴下方相应x的取值 范围。
请作出函数y=3x-9的图象，结合图象求：
（1）方程3x-9=0的解；
（2）不等式3x-9≤0的解集；
（3）当y>3时,求x的取值范围。 （课本47页练习题）
我学会了…… 使我感触最深的是……
图象上看，就是一次函数y=kx+b的图象与x轴交 点的横坐标的值。
这两个问题之间有何联系呢？请同学们结 结合一次函数y=2x+6的图象分组讨论、交流。
归纳二：当2x+6>0,就是函数
的图象， 因为函数y=2x+6的图象与x轴交于点 你能说出一元一次不等式 （-3，0），所以由图象可知，要使 2x+6>0的解集吗？ y>0，即2x+6>0,应有x>-3。 请同学们思考后分组讨 论、交流。
(2)纵坐标大于0的点在哪 里? (3)纵坐标小于0的点在哪里?
o
x
y=0 y<0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
归纳一：
请画出一次函数 y=2x+6的图象
y=2x+6
观察图象可以看出，一次函数 y=2x+6 的图象与x轴交点坐标为（-3，0）,而-3正是 方程2x+6=0的解。
问题 1、解方程：2x+6=0。 因为，任何一个一元一次方程都可以化简为 2、已知一次函y=2x+6，问x kx+b=0的形式，所以解一元一次方程kx+b=0， 都可转化为求函数 y=kx+b中y=0时的x的值。从 取什么值时，y=0？
心动不如行动
y
3
1、已知一次函数的图象如图所示, 观察图象,回答下列问题： （4）直线y1 与X轴和Y轴所围成的
y1
为
1 2 3
AOB的面积是
4
；
A B
-4 -3 -2 -1 o -1 -2 -3
2 1
（5）一次函数y1 与y2的交点坐标
(-2,1)
；
x （6）当x ＜-2 时， y1 < y2 ；