最新概率论与数理统计练习与测试-第五章-南工大应用数学系-编---苏大版-----大数定律与中心极限定理
概率论与数理统计答案(2-5章)
第二章 离散型随机变量及其分布律第二节 一维离散型随机变量及其分布律习题Page 551、 一个口袋里有6只球，分别标有数字-3、-3、1、1、1、2，从中任取一个球，用ξ表示所得球上的数字，求ξ的分布律。
解答：因为ξ只能取-3、1、2，且分别有2、3、1个，所以ξ的分布律为：2、 在200个元件中有30个次品，从中任意抽取10个进行检查，用ξ表示其中的次品数，问ξ的分布律是什么？解答：由于200个元件中有30个次品，只任意抽取10个检查，因此10个元件中的次品数可能为0、1、2到10个。
当次品数ξ为k 时，即有k 个次品时，则有10-k 个正品。
所以：ξ的分布律为：103017010200{},0,1,,10k k C C P k k C ξ-===。
3、 一个盒子中有m 个白球，n m -个黑球，不放回地连续随机地从中摸球，直到取到黑球才停止。
设此时取到的白球数为ξ，求ξ的分布律。
解答：因为只要取到黑球就停止，而白球数只有m 个，因此在取到黑球之前，所取到的白球数只可能为0m 中的任意一个自然数。
设在取到黑球时取到的白球数ξ等于k ，则第1k +次取到是黑球，以i A 表示第i 次取到的是白球；_i A 表示第i 次取到的是黑球。
则ξ的分布律为：__12112111{}()()(|)(|)11,0,1,,11k k k k P k P A A A A P A P A A P A A A m m m k n m k mn n n k n kξ++===--+-=⋅⋅⋅⋅=--+-。
4、 汽车沿街道行驶，要通过3个有红绿灯的路口，信号灯出现什么信号相互独立，且红绿灯显示时间相等。
以ξ表示该车首次遇到红灯前已通过的路口数，求ξ的分布律。
解答：因为只有3个路口，因此ξ只可能取0、1、2、3，其中{3}ξ=表示没有碰到红灯。
以i A 表示第i 个路口是红灯，因红绿灯显示时间相等，所以()1/2i P A =，又因信号灯出现什么信号相互独立，所以123,,A A A 相互独立。
《概率论与数理统计答案》第五章
P{ X − 8 > 3} = 0.1336
3．设 X 1 , X 2 , " , X n 为来自总体 X ~ P (λ ) 的一个样本， X 、 S 2 分别为样本均值 和样本方差。求 DX 及 ES 2 。 答案与提示：此题旨在考察样本均值的期望、方差以及样本方差的期望与总体 期望、总体方差的关系，显然应由定理 5-1 来解决这一问题。
2
=(
1
hd a
) e
n 2 − 1
n
为
2σ 2
2πσ 2
w. c
∑ ( xi − µ )2
i =1
om
，
8．设 X 1 , X 2 , " , X n 为来自正态总体 X ~ N ( µ , σ 2 ) 的一个样本， µ 已知，求 σ 2
第五章 习题参考答案与提示
⎧ ⎪λax a −1e − λx , x > 0, （2） f ( x, λ ) = ⎨ ⎪ x ≤ 0, ⎩ 0,
1 3 1 （3） X 1 + X 2Leabharlann + X 3 。 5 10 2
om
（1）
（2）
第五章 习题参考答案与提示
3，求 θ 的矩估计值和极大似然估计值。
ˆ = 1/ 4 。 答案与提示： θ 的矩估计值为 θ
对于给定的样本值，似然函数为 L(θ ) = 4θ 6 (1 − θ ) 2 (1 − 2θ ) 4 ，解得
其中 θ > −1 为未知参数。
网
9．设 X ~ N ( µ , 1) ， X 1 , X 2 , " , X n 为来自正态总体 X 的一个样本，试求 µ 的极
概率论与数理统计习题册 第五章 答案
P{X
>
4500}
=1−
P{X
≤
4500}
= 1 − Φ⎜⎜⎝⎛
4500 − 4475 612.5
⎟⎟⎠⎞
≈ 1− Φ(1.01) = 1− 0.8413 = 0.1587
（2） P{4400
<
X
<
4500} = Φ⎜⎜⎝⎛
4500 − 4475 612.5
⎟⎟⎠⎞
−
Φ⎜⎜⎝⎛
4400 − 4475 612.5
E( Xi ) = 10× 0.4 + 9× 0.3 + 8× 0.2 + 7 × 0.05 + 6× 0.05 = 8.95 ，
D( Xi
)
=
E
(
X
2 i
)
−
( EX i
)2
=1.225 ，
设总分为 X ，则 X ~ N (500 × 8.95, 500 ×1.225) ，即 X ~ N (4475, 612.5) . 因此
n
∑ 解 设有 n 个数相加，X i 分别为每个数的舍入误差。记 X = Xi ，E( Xi ) = 0 ， i =1
16
∑ D( Xi )
=
1 12
由定理一知，随机变量 Z
=
k =1
Xi − n⋅0 n / 12
近似地服从正态分布 N (0,1)
(1) 所求概率
P{ X ≤ 15} = P{−15 ≤ X ≤ 15} = P{ −15 < X < 15 } 55 55 55
P{| Xn − a |< 0.1} ≥ 0.95 的 n 的最小值应不小于自然数
2020春盐城工学院概率论与数理统计考试题库
第一章 随机事件及其概率一 判断题1.1、设随机事件A 与B 互不相容，则A ，B 相互独立。
1.2、打靶3发，事件A i 表示“第i 发击中”，i=1,2,3。
那么事件A=A 1∪A 2∪A 3表示击中3发。
1.3、概率为零的事件是不可能事件。
2.1、设A 与B 是互为对立事件，则P(A ∪B)=1。
2.2、随机事件A 与B 相互独立的充分必要条件为)B A (P ⋃＝)A (P ＋)B (P 。
7.1、设A ，B 为随机事件，若()0=AB P ，则φ=AB 。
7.2、设事件A 表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则事件A 表示“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
7.3、概率为1的事件是必然事件。
8.1、设B A ,为两个独立事件，则()0=B A P 。
8.2、设B A ,为两个随机事件，则()()()()()B A P B P B A P B P A P +=。
二 填空题1.1、设事件A 与B 相互独立，P(A)=0.2，P(B)=0.3，则P(A ∪B)=__________。
1.2、一批产品次品率为20％，重复抽样检查，取5件样品，列出这5件样品中至多有3件次品的概率的计算式为： （不需计算）。
2.1、A 、B 为相互独立的事件，()A P ＝0.2，()=B P 0.3，则()=B A P 。
2.2、一批产品次品率为20％，重复抽样检查，取5件样品，列出这5件样品中恰有3件次品的概率的式子 。
（不需计算）3.1、设B A ,为两个随机事件，()3.0=A P ，()6.0=B P ，①B A ,为互不相容事件，则()=B A P Y ()=AB P ② A 与B 为相互独立, 则()=B A P Y ,()=B A P4.1、设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C 表示下列事件 ⑴至少有一个事件发生 ⑵恰有一个事件发生 ⑶最多有一个事件发生 。
4.2、设事件A 与B 相互独立，()7.0=B A P Y ，()4.0=A P ，则()=B P __________。
概率论与数理统计第五章习题参考答案
F = S甲2 ~ F (4,4) S乙2
由
P⎪⎨⎧ ⎪⎩
S甲2 S乙2
<
F 1−
0.05
(4,4)
U
2
S甲2 S乙2
>
F0.05
2
(4,4)⎪⎬⎫ ⎪⎭
=
0.05
查表得： F0.05 (4,4) = 9.6,
2
F 1−
0.05
2
(4,4)
=
1 F0.025 (4,4)
=
0.1042
，
故拒绝域为 (0, 0.142) U (9.6, + ∞) .
54 67 68 78 70 66 67 70 65 69 问患者与正常人的脉搏有无显著差异（患者的脉搏可视为服从正态分布。α = 0.05 ） 解：设患者的脉搏为 X , 计算其样本均值与样本方差分别为 x = 67.4, s = 5.93
在检验水平α = 0.05 下，检验假设 H 0 : µ = µ0 = 72 H1 : µ ≠ µ0 = 72
问两台机器的加工精度是否有显著差异（α = 0.05 ）？
解：在检验水平α = 0.05 下，检验假设 H 0 : µ1 = µ 2
H1 : µ1 ≠ µ2
因为
µ1，µ
2，σ
12，σ
2 2
均未知，且不知
σ
12与σ
2 2
是否相等，
故先检验假设 H 0′
:
σ
2 1
=
σ
2 2
,
H
1′
:
σ
2 1
≠
σ
2 2
。
H1 : µ1 ≠ µ2
当假设 H 0 为真时，取检验统计量
概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案1．用切比雪夫不等式估计下列各题的概率．(1)废品率为03.0，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率；(2)200个新生儿中，男孩多于80个而少于120个的概率(假设男孩和女孩的概率均为5.0)．解：(1)设X 为1000个产品中废品的个数，则X ～)1000,03.0(B ，有30)(=X E ，1.29)(=X D ，由切比雪夫不等式，得)3040303020()4020(-<-<-=<<X P X P )103010(<-<-=X P )1030(<-=X P 709.0101.2912=-≥．(2)设X 为200个新生儿中男孩的个数，则X ～)200,5.0(B ，有100)(=X E ，50)(=X D ，由切比雪夫不等式，得)10012010010080()12080(-<-<-=<<X P X P )2010020(<-<-=X P )20100(<-=X P 87205012=-≥．2．一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X ，估计)1810(<<X P ．解：设i X 为该骰子掷第i 次出现的点数，则61)(==k X P i ，6,,2,1 =i ，6,,2,1 =k ．27)654321(61)(=+++++=i X E ，691)654321(61)(2222222=+++++=i X E ，35)]([)()(22=-=i i i X E X E X D ，4,3,2,1=i ．因为4321X X X X X +++=，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，故有14)(=X E ，335)(=X D ．由切比雪夫不等式，得)1418141410()1810(-<-<-=<<X P X P )4144(<-<-=X P )414(<-=X P 271.0433512=-≥．3．袋装茶叶用及其装袋，每袋的净重为随机变量，其期望值为100g ，标准差为10g ，一大盒内装200袋，求一盒茶叶净重大于5.20kg 的概率．解：设i X 为一袋袋装茶叶的净重，X 为一盒茶叶的净重，由题可知∑==2001i i X X ，100)(=i X E ，100)(=i X D ，200,,2,1 =i ．因为1X ，2X ，…，200X 相互独立，则20000)()(2001==∑=i i X E X E ，20000)()(2001==∑=i i X D X D ．)()(20500)()(()20500(2001X D X E X D X E X P X P i i ->-=>∑=)1020020000205001020020000(⋅->⋅-=X P )2251020020000(>⋅-=X P 由独立同分布的中心极限定理，1020020000⋅-X 近似地服从)1,0(N ，于是0002.0)5.3(1)2251020020000(=Φ-≈>⋅-X P ．4．有一批建筑用木桩，其80%的长度不小于3m ．现从这批木桩中随机取出100根，试问其中至少有30根短于3m 的概率是多少？解：设X 为100根木桩中短于3m 的根数，则由题可知X ～)2.0,100(B ，有20)(=X E ，16)(=X D ，由棣莫弗—拉普拉斯定理，得)30(1)30(<-=≥X P X P )42030(1)()((1-Φ-=-Φ-=X D X E X 0062.0)5.2(1=Φ-=．5．某种电器元件的寿命服从均值为100h 的指数分布．现随机选取16只，设它们的寿命是相互独立的．求这16只元件寿命总和大于1920h 的概率．解：设i X 为第i 只电器元件的寿命，由题可知i X ～)01.0(E ，16,,2,1 =i ，且1X ，2X ，…，16X 相互独立，则100)(=i X E ，10000)(=i X D ．记∑==161i i X X ，则1600)()(161==∑=i i X E X E ，160000)()(161==∑=i i X D X D ．))()(1920)()(()1920(X D X E X D X E X P X P ->-=>)400160019204001600(->-=X P )8.04001600(>-=X P ，由独立同分布的中心极限定理，1600-X 近似地服从)1,0(N ，于是2119.0)8.0(1)8.04001600(=Φ-=>-X P ．6．在数值计算中中，每个数值都取小数点后四位，第五位四舍五入(即可以认为计算误差在区间]105,105[55--⨯⨯-上服从均匀分布)，现有1200个数相加，求产生的误差综合的绝对值小于03.0的概率．解：设i X 为每个数值的误差，则i X ～)105,105(55--⨯⨯-U ，有0)(=i X E ，1210)(8-=i X D ，1200,,2,1 =i ．从而0)()(12001==∑=i i X E X E ，61200110)()(-===∑i i X D X D ．由独立同分布的中心极限定理，X 近似地服从)10,0(6-N ，于是)03.0(<X P ))()(03.0)()((X D X E X D X E X P -≤-=12101200003.0121012000(44--⋅-≤⋅-=X P 9974.01)3(2=-Φ=．7．某药厂断言，该厂生产的某药品对医治一种疑难的血液病治愈率为8.0．医院检验员任取100个服用此药的病人，如果其中多于75个治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言．(1)若实际上此药对这种病的治愈率是8.0，问接受这一断言的概率是多少？(2)若实际上此药对这种病的治愈率是7.0，问接受这一断言的概率是多少？解：设X 为100个服用此药的病人中治愈的个数，(1)由题可知X ～)8.0,100(B ，则80)(=X E ，16)(=X D ，由棣莫弗—拉普拉斯定理，得)75(1)75(≤-=>X P X P 48075(1))()((1-Φ-=-Φ-=X D X E X 8944.0)25.1(=Φ=．(2)由题可知X ～)7.0,100(B ，则70)(=X E ，21)(=X D ，由棣莫弗—拉普拉斯定理，得)75(1)75(≤-=>X P X P 217075(1)()((1-Φ-=-Φ-=X D X E X 1379.0)09.1(1=Φ-=．8．一射手在一次射击中，所得环数的分布律如下表：X678910P 05.005.01.03.05.0求：(1)在100次射击中环数介于900环与930环之间的概率是多少？(2)超过950环的概率是多少？解：设X 为100次射击中所得的环数，i X 为第i 次射击的环数，则∑==1001i i X X ，15.9)(=i X E ，95.84)(2=i X E ，2275.1)]([)()(22=-=i i i X E X E X D ，100,,2,1 =i ．由1X ，2X ，…，100X 相互独立，得915)()(1001==∑=i i X E X E ，75.122)()(1001==∑=i i X D X D ．由独立同分布的中心极限定理，75.122915-X 近似地服从)1,0(N ，于是(1))930900(≤≤X P ))()(930)()()()(900(X D X E X D X E X X D X E P -≤-≤-=75.12291593075.12291575.122915900(-≤-≤-=X P )75.1221575.122915(≤-=X P 823.01)35.1(2=-Φ≈．(2))950(>X P ))()(950)()((X D X E X D X E X P ->-=75.122915950)()((->-=X D X E X P 001.0)1.3(1=Φ-≈．9．设有30个电子元件1A ，2A ，…，30A ，其寿命分别为1X ，2X ，…，30X ，且且都服从参数为1.0=λ的指数分布，它们的使用情况是当i A 损坏后，立即使用1+i A (29,,2,1 =i )．求元件使用总时间T 不小于350h 的概率．解：由题可知i X ～)1.0(E ，30,,2,1 =i ，则10)(=i X E ，100)(=i X D ．记∑==301i i X T ，由1X ，2X ，…，30X 相互独立，得300)()(301==∑=i i X E T E ，3000)()(301==∑=i i X D T D ．))()(350)()(()350(T D T E T D T E T P T P ->-=>30103003503010300(⋅->⋅-=T P )91.03010300(>⋅-≈T P ，由独立同分布的中心极限定理，3010300⋅-T 近似地服从)1,0(N ，于是1814.0)91.0(1)91.03010300(=Φ-=>⋅-T P ．10．大学英语四级考试，设有85道选择题，每题4个选择答案，只有一个正确．若需要通过考试，必须答对51道以上．试问某学生靠运气能通过四级考试的概率有多大？解：设X 为该学生答对的题数，由题可知X ～41,85(B ，则25.21)(=X E ，9375.15)(=i X D ，85,,2,1 =i ．由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，近似地有9375.1525.21-X ～)1,0(N ，得)8551(≤≤X P ))()(85)()()()(51(X D X E X D X E X X D X E P -≤-≤-=)9375.1525.21859375.1525.219375.1525.2151(-≤-≤-=X P 0)45.7()97.15(=Φ-Φ=．即学生靠运气能通过四级考试的概率为0．。
概率论与数理统计 第五章 概率数理统计
概率论与数理统计第五章概率数理统计例题
10. 设总体 X 的密度 f(x)=2������ ������ − 最大似然验估计量。
1
(������−μ ) ������
λ>0，λ、μ 均为未知参数，������1 ,������2 ,… , ������������ 为样本，求 λ、μ 的
11. 设总体 X 的密度 f(x)=
15. 设某种病发病的年龄服从正态分布 N （μ,δ2 ） ， 随机抽取 10 名患者， 记下年龄������1 ,������2 ,… , ������10 ， 10 10 2 计算 ������ =1 ������������ =210， ������ =1 ������������ =4510，问显著水平 α=0.05 下可否认为该病发病的平均年龄 为 18 岁。
������������ +1 −������ ������ ������ ������ +1
~t(n-1)。
概率论与数理统计第五章概率数理统计例题
4. 设总体 X~N(μ, δ2 ) （δ>0） ������1 ,������2 ,… , ������2������ （n>2） 是 X 的一组简单随机样本， 设������=2������ ������=
求������1 ,������2 ,… , ������������ 为样本观测值，求 a 的矩估计量和最大似然估计量。
概率论与数理统计第五章概率数理统计例题
������ ������
13. 设总体 X 的密度为 f(x)=
k −1 !
������ ������−1 ������ −β x 0 < x ,β<0 为未知参数，k>0,为已知参数， x≤0 0
概率论与数理统计习题及答案-第五章
习题五1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10<X <18}.【解】设i X 表每次掷的点数，则41i i X X==∑22222221111117()123456,666666211111191()123456,6666666i i E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 从而 22291735()()[()].6212i i i D X E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 又X 1,X 2,X 3,X 4独立同分布.从而44117()()()414,2i i i i E X E X E X =====⨯=∑∑ 44113535()()()4.123i i i i D X D X D X =====⨯=∑∑ 所以 235/3{1018}{|14|4}10.271,4P X P X <<=-<≥-≈ 2. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？【解】令1,,0,i i X ⎧⎨⎩若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=0.8.现要求n ,使得1{0.760.84}0.9.n i i X P n =≤≤≥∑即0.80.9ni X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得0.9,Φ-Φ≥整理得0.95,Φ≥⎝⎭1.64,≥ n ≥268.96, 故取n =269.3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,于是我们只要供应15m 单位电能就可满足要求.令X 表同时开动机床数目，则X ~B （200，0.7）,()140,()42,E X D X ==0.95{0}().P X m P X m =≤≤=≤=Φ 查表知1.64,= ,m =151. 所以供电能151×15=2265（单位）.4. 一加法器同时收到20个噪声电压V k （k =1，2，…，20），设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V =∑=201k k V，求P {V ＞105}的近似值.【解】易知:E (V k )=5,D (V k )=10012,k =1,2,…,20 由中心极限定理知，随机变量20205~(0,1).k V Z N -⨯==∑近似的于是105205{105}10P V P ⎧⎫⎪⎪-⨯⎪>=>⎬⎪⎪⎭1000.3871(0.387)0.348,10V P ⎧⎫⎪⎪-⎪⎪=>≈-Φ=⎨⎬⎪⎪⎭即有 P {V >105}≈0.3485. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m 的概率是多少？【解】设100根中有X 根短于3m ，则X ~B （100，0.2）从而{30}1{30}1P X P X ≥=-<≈-Φ 1(2.5)10.99380.0062.=-Φ=-=6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.（1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？【解】1,,1,2,,100.0,.i i X i ⎧==⎨⎩ 第人治愈其他 令1001.ii X X ==∑ (1) X ~B (100,0.8)，1001{75}1{75}1i i P X P X =>=-≤≈-Φ∑ 1( 1.25)(1.25)0.8944.=-Φ-=Φ=(2) X ~B (100,0.7)，1001{75}1{75}1i i P X P X =>=-≤≈-Φ∑11(1.09)0.1379.=-Φ=-Φ= 7. 用Laplace 中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率.【解】令1000件中废品数X ，则p =0.05,n =1000,X ~B (1000,0.05)，E (X )=50，D (X )=47.5.故130{20} 6.895 6.895P X ϕ⎛⎫===- ⎪⎝⎭6130 4.510.6.895 6.895ϕ-⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭ 8. 设有30个电子器件.它们的使用寿命T 1，…，T 30服从参数λ=0.1[单位：（小时）-1]的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T 为30个器件使用的总计时间，求T 超过350小时的概率. 【解】11()10,0.1i E T λ=== 21()100,i D T λ== ()1030300,E T =⨯= ()3000.D T =故{350}111(0.913)0.1814.P T >≈-Φ=-Φ=-Φ= 9. 上题中的电子器件若每件为a 元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用（假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时）.【解】设至少需n 件才够用.则E (T i )=10，D (T i )=100，E (T )=10n ，D (T )=100n .从而1{3068}0.95,ni i P T =≥⨯=∑即0.05.≈Φ 故0.95, 1.64272.n =Φ=≈所以需272a 元.10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.（1） 求参加会议的家长数X 超过450的概率？（2） 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.【解】（1） 以X i (i =1,2,…,400)记第i 个学生来参加会议的家长数.则X i 的分布律为 X i 0 1 2P 0.05 0.80.15 易知E （Xi =1.1）,D (X i )=0.19,i =1,2, (400)而400i i X X=∑,由中心极限定理得400400 1.1~(0,1).i X N -⨯=∑近似地 于是{450}1{450}1P X P X >=-≤≈-Φ 1(1.147)0.1357.=-Φ= (2) 以Y 记有一名家长来参加会议的学生数.则Y ~B (400,0.8) 由拉普拉斯中心极限定理得{340(2.5)0.9938.P Y ≤≈Φ=Φ= 11. 设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？【解】用X 表10000个婴儿中男孩的个数，则X ~B （10000，0.515） 要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求P {X ≤5000}. 由中心极限定理有{5000}(3)1(3)0.00135.P X ≤≈Φ=Φ-=-Φ= 12. 设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9.以95%概率估计，在一次行动中：（1）至少有多少个人能够进入？（2）至多有多少人能够进入？【解】用X i 表第i 个人能够按时进入掩蔽体（i =1,2,…,1000）.令 S n =X 1+X 2+…+X 1000.(1) 设至少有m 人能够进入掩蔽体，要求P {m ≤S n ≤1000}≥0.95，事件{}.n m S ≤=≤ 由中心极限定理知：{}1{}10.95.n n P m S P S m ≤=-<≈-Φ≥ 从而 0.05,Φ≤ 故1.65,=- 所以 m =900-15.65=884.35≈884人(2) 设至多有M 人能进入掩蔽体，要求P {0≤S n ≤M }≥0.95.{}0.95.n P S M ≤≈Φ==1.65,M =900+15.65=915.65≈916人. 13. 在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求：（1） 保险公司没有利润的概率为多大；（2） 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？【解】设X 为在一年中参加保险者的死亡人数，则X ~B （10000，0.006）.(1) 公司没有利润当且仅当“1000X =10000×12”即“X =120”.于是所求概率为{120}P X =≈21(60230.18110.0517e 0--===⨯≈(2) 因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X ≤60” 于是所求概率为{060}P X ≤≤≈Φ-Φ(0)0.5.⎛=Φ-Φ≈ ⎝ 14. 设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5试根据契比雪夫不等式给出P {|X -Y |≥6}的估计. （2001研考）【解】令Z =X -Y ，有()0,()()()()2 3.E Z D Z D X Y D X D Y ρ==-=+-=所以2()31{|()|6}{||6}.63612D X Y P ZE Z P X Y --≥=-≥≤== 15. 某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.（1） 写出X 的概率分布；（2） 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值.（1988研考）【解】（1） X 可看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是0.2，因此，X ~B (100,0.2)，故X 的概率分布是100100{}C 0.20.8,1,2,,100.k k k P X k k -===(2) 被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件{14≤X≤30}的概率.由中心极限定理，得{1430}P X ≤≤≈Φ-Φ (2.5)( 1.5)0.994[9.33]0.927.=Φ-Φ-=--=16. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.【解】设X i （i =1,2,…,n ）是装运i 箱的重量（单位：千克），n 为所求的箱数，由条件知，可把X 1，X 2，…，X n 视为独立同分布的随机变量，而n 箱的总重量T n =X 1+X 2+…+X n 是独立同分布随机变量之和，由条件知：()50,i E X = 5,=()50,n E T n = =依中心极限定理，当n ~(0,1)N 近似地,故箱数n 取决于条件{5000}n P T P ≤=≤0.977(2).≈Φ>=Φ 2>解出n <98.0199,即最多可装98箱.。
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概率论与数理统计练习与测试第五章（南工大应用数学系 编）（苏大版）大数定律与中心极限定理1. 设随机变量ξ的方差为2.5。
利用契贝雪夫不等式估计：{}5.7||≥-ξξE P 的值。
解：由契贝雪夫不等式：2}|{|εξεξξD E P ≤≥-，又已知5.7,5.2==εξD ，故 044.05.75.2}5.7|{|2=≤≥-ξξE P 。
2. 已知某随机变量ξ的方差D ξ=1，但数学期望E ξ=m 未知，为估计m ，对ξ进行n 次独立观测，得样本观察值ξ1，ξ2，…，ξn 。
现用{}∑=≥<-=n i i p m P m n n 15.0||1ξξξ多大时才可能使问当估计， 。
解：因∑===n i i m E n E 1,1ξξ又ξ1，ξ2，…，ξn 相互独立，故∑∑=====n i n i i i n D n n D D 1121)(1)1(ξξξ，根据契贝雪夫不等式，有 25.01}5.0|{|ξξξD E P -≤<-，即n m P 41}5.0|{|-≤<-ξ，再由p n p n -≥≥-14,41得。
3. 设在由n 个任意开关组成的电路的实验中，每次试验时一个开关开或关的概率各为12。
设m 表示在这n 次试验中遇到的开电次数，欲使开电频率mn 与开电概率p =0.5的绝对误差小于ε=0.01，并且要有99%以上的可靠性来保证它实现。
试用德莫佛-拉普拉斯定理来估计，试验的次数n 应该是多少？ 解：欲使99.0}01.0|{|≥<-p n m P ，即99.0}//01.0//|{|≥<-n pq n pq p n m P ，亦即，则t ~N (0，1)且有 ,99.001.0≥⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<pq n t P 由58.201.0995.0)58.2(≥⇒=Φpq n，以p =q =1/2代入可得 n =16641。
P43T3 4. 用某种步枪进行射击飞机的试验，每次射击的命中率为0.5%，问需要多少支步枪同时射击，才能使飞机被击中2弹的概率不小于99%？解：用n 步枪同时向飞机射击，可以看成用一枝步枪进行n 次射击的独立试验，令ξ表示n 次射击击中目标的次数，则ξ服从参数为n ，p =0.005的贝努利概型，由隶莫弗——拉普拉斯定理可得⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--≥--=≥n n n n P p np np p np np P P 004975.0005.02004975.0005.0)1(2)1(}2{ξξξ 99.0004975.0005.021=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-≈n n ，查表得n ≈1791。
5. 随机变量ξ表示对概率为p 的事件A 做n 次重复独立试验时，A 出的次数。
试分别用契贝雪夫不等式及中心极限定理估计满足下式的n ：P n p D ξξ-<⎧⎨⎩⎫⎬⎭≥1299% 解：记n ξη=，由于ξ~B (n ，p )，故E ξ=np ，E η=p ，2/n D D ξη=。
(1)根据契贝雪夫不等式，有2241)2/(1}21|{|21n D D D E P D p n P -=-≥-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-ξηξηηξξ，为使 %99412≥-n ，解得 20≥n ；(2)以i ξ表示每次试验时A 出现的次数，则i ξ服从参数为p 的二点分布，且E i ξ=p ，D i ξ=p (1-p )≤1/4，而∑===n i in n 1ξξη是n 个独立同分布的随机变量之和，故由中心极限定理知)1,0(~N D E ηηη-，因此有 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-ξξD p n P 21122222/-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-=n D D D D D E P ηξηξηηη，为使 6,16.5,99.0122≥>≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φn n n 即查表得。
P44 T56. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8。
医院检验员任意抽查100个服用此药品的人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。
(1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？(2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率为0.7，问接受这一断言的概率是多少？解：(1)以ξ表示100人中治愈人数，则ξ ~b (100,0.8)所求概率为{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯⨯⨯->⨯⨯⨯-=>2.08.01008.0100752.08.01008.010075ξξP P ()8944.025.11=-Φ-≈；(2)依题ξ~b (100,0.7)则{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯⨯⨯->⨯⨯⨯-=>3.07.01007.0100753.07.010070.010075ξξP P ()1379.08621.0109.11=-=Φ-≈。
7. 一个养鸡场购进一万只良种鸡蛋，已知每只鸡蛋孵化成雏鸡的概率为0.84，每只雏鸡育成种鸡的概率为0.9，试计算由这些鸡蛋得到种鸡不少于7500只的概率。
解：定义承机变量⎩⎨⎧=.,0,,1鸡只鸡蛋不能育成种第鸡只鸡蛋能育成种第k k k ξ)10000,,2,1( =k 。
则k ξ)10000,,2,1( =k 是独立同分布的，且756.09.084.0}1{=⨯==k P ξ， 224.0756.01}0{=-==k P ξ。
显然∑==100001k kξξ表示10000只鸡蛋中能育成种鸡的个数。
此为n =10000，p =0.756的贝努利概型，由隶莫弗——拉普拉斯定理可得 92.0)1(75001)1(7500)1(}7500{=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--≥--=≥p np np p np np p np np P P ξξ。
8. 某印刷厂在排版时，每个字符被排错的概率为0.0001，试求在300000个字符中错误不多于50个的概率。
解：令⎩⎨⎧=.,0,,1个字未排错第个字排错第i i i ξ则∑==500001i i ξξ是服从参数n =50000，p =0.0001的贝努利概型，因此由隶莫弗——拉普拉斯定理可得9874.0)24.2()1(101)1(10)1(}10{=Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<--=≤p np np p np np p np np P P ξξ。
9. 某班班会为学校主办一次周末晚会，共发出邀请书150张，按以往的经验，接到邀请的人中大体上能有80%可到会，试求前来参加晚会的人数在110到130之间的概率。
解：令⎩⎨⎧=.,0,,1封邀请信的人不到会接到第封邀请信的人到会接到第i i i ξ则i ξ服从参数p =0.8的二项分布。
且E i ξ=0.8，D i ξ=0.16，∑==1501i i ξξ表示到会的总人数，则24,120==ξξD E ，由中心极限定理得⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<-=<<241201302412024120110}130110{ξξP P 9586.01)04.2(204.2241024120=-Φ=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=<-=ξP 。
P45 T7 10.由题意每次试验对总量不产生影响，设第i 次试验Xi=1(长度小于3m)，Xi=0（长度大于3m ）X 为长度小于3m 的总数 X=（求和号，1到100）XiE(Xi)=1*0.2+0*0.8=0.2D(Xi)=E(Xi2)-E(Xi)2=0.2-0.04=0.16由独立同分布中心极限定理：X~N(n*u,n*σ2) (近似于)=N(100*0.2,100*0.16)P{X≥30}=1-P{X<30}=1-φ[(30-20)/(16)1/2]=1-φ(2.5)=0.0062 此题还可看做100重伯努利实验，X~B(100,0.2) E(X)=100*0.2，D(X)=100*0.2*0.8P{X≥30}=(求和号，30到100)二项概率公式由中心极限定理，X分布近似于N（100*0.2,100*0.2*0.8）P{X≥30}=1-P{X<30}=1-φ[(30-20)/sqrt(16)]=1-φ(2.5)=0.0062 P44 T4 11. 某车间有100台车床，每台独立工作，开工率为0.7. 开工时每台耗电量为1千瓦. 问供电所至少要供给这个车间多少电力, 才能以99.7% 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解：（1）1,正常工作xi= EXi=0.7 DXi=0.21(=б^2) 注：本文档中sqrt（）代表根号0,不正常工作=~代表约等号P{65<100xi<75}=~ф((75-70)/sqrt(0.21*100))-ф((65-70)/sqrt(0.21*100)) =ф(1.09)-ф(-1.09)=2ф(1.09)-1=0.8621x2-1=0.7242（2） 设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力设 X 为开工的车床数，则 X ~ B(100,0.7) ,由Laplace 中心极限定理知，X ~ N (70, 21) (近似)P( 0<=X<=a)=99.7%P( 0<=X<=a)=~ф((a-70)/sqrt （21）)-ф((0-70)/sqrt（21）)=~ф((a-70)/sqrt （21）)而ф（2.75）=99.7%(a-70)/sqrt （21）=2.75a=82.6021取a=83kw/h所以，……P45 T612.卡车装运水泥，设每袋水泥的重量X 服从N （50,2.5^2），问最多装多少袋水泥使总重超过2000kg 的概率不大于0.05？解：记最多装水泥n 袋。
每袋重量为Xi,i=1,2,……，n.于是EXi=u=50 DXi=б^2=2.5^2 另记n 袋水泥总重量为Y 即 Y=∑=ni Xi 1，故有n满足不等式P{Y>2000}<=0.05的最大正整数所以，Y服从N(50n,(2.5sqrt(n))^2),故有P{Y>2000}=~1-ф（(2000-50n)/(2.5sqrt(n))）<=0.05=> ф（(2000-50n)/(2.5sqrt(n))）>=0.95=> 2000-50n)/(2.5sqrt(n)) >=1.645=> Sqrt(n)<=6.2826n<= 39.4836对n取整，所以，n为39袋。