重点中学盟校2016届高三第一次联考数学(文)试题 含答案

江西省重点中学盟校2016届高三第一次联考数学(文)试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合2{|4}M x x =≤，2{|log 1}N x x =≤，则MN =（ ）A. [2,2]-B. {2}C. (0,2]D. (,2]-∞ 2. 已知复数()z x yi x y R =+∈、，且有11xyi i=+-，则z =（ ） A.5 B. 3 C. 5 D. 33. 已知向量,a b 的夹角为60︒，且1a =，221a b -=，则b =（ ）A.2B.32 C. 52D. 22 4. 设双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率5e =，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. 12y x =± B. 2y x =± C. 4y x =± D. y x =±5. 如右图的程序执行后输出的结果是11880，那么在程序UNTIL 后面的条件应为 （ ）A. 10i <B. 10i ≤C. 9i ≤D. 9i <6. 函数()21,031,0x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，若()f a a <，则实数a 的范围为 ( )A. (－∞，－1)B. (－1，＋∞) C . (3，＋∞) D. (0,1)7. 直线y ＝kx ＋b 与曲线31y x ax ＝＋＋相切于点()2,3 ，则b 的值为 ( )A. －15B. －7C. －3D. 98. 如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边 长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是（ ）A. 224π+B. 220π+C.24π+ D. 20π+9. 若函数()()sin f x x ωϕ=+，其中0,,2x πωϕ><∈R ，两相邻对称轴的i ＝12s ＝1 DOs ＝ s * i i ＝ i －1LOOP UNTIL 条 件 PRINT s END距离为2π，6f π⎛⎫⎪⎝⎭为最大值，则函数()f x 在区间[]0,π上的单调增区间为（ ） A. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10. 若直线2000mx ny m n ++=（＞，＞） 截得圆22311x y +++=（）（）的弦长为2，则13m n +的最小值为（ ） A. 4 B. 12 C. 16 D. 611. 设曲线()y f x =与曲线()20y x a x =+>关于直线y x =-对称，且()()221f f -=-，则a =（ ）A. 0B.13 C. 23D. 1 12. 设等差数列{}n a 满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差()1,0d ∈-，若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ） A. 74,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B. 43,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. 74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，满分20分，把试题答案填写在答题卡的相应位置上）13. 如图，圆中有一内接等腰三角形，且三角形底边经过圆心，假设在图中随机撒一把黄豆，则它落在阴影部分的概率为________．14. P 为抛物线24y x =上任意一点，P 在y 轴上的射影为Q ，点M （7，8），则PM与PQ 长度之和的最小值为 ．15. 设实数x ，y 满足不等式组11,106x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩则z ＝2x yx y ++的取值范围是________．16. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()22xx mf x =+，设(),1,()(),1,f x xg x f x x >⎧=⎨-≤⎩ 若函数()y g x t =-有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是 .ABCDF A 1B 1C 1三、解答题（第17 题~第21 题为必考题，每个试题考生必须做答，第22 题~第24 题为选考题，考生从中选择一题做答；请在答题卡上写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知{}n a 是正项等差数列，{}n a 的前n 项和记为n S ，31=a ，532S a a =⋅．（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设数列{}n b 的通项为1b n S n=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[]50,100之内）作为样本（样本容量为n ）进行统计．按照[]50,60，[]60,70，[]70,80，[]80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[]50,60，[]90,100的数据）．成绩（分）频率组距y0.0100.040x 0.0161009080706050O（Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中的x 、y 的值； （Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[]90,100内的概率．19.（本小题满分12分）在直三棱柱111ABC-A B C 中，1AB=AC=AA =3，BC=2，D 是BC 的中点，F 是1C C 上一点．（Ⅰ）当CF=2时，证明：1B F ⊥平面ADF ； （Ⅱ）若1FD B D ⊥，求三棱锥1B ADF -的体积．20.（本题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21，且过点)23,1(，其长轴的左右两个端点分别为A ，B ，直线3:2l y x m =+交椭圆于两点C ，D. （I ）求椭圆的标准方程；（II ）设直线AD ，CB 的斜率分别为21,k k ，若1:2:21=k k ，求m 的值.21．（本小题满分12分）已知1()ln(1)311f x a x x x =+++-+. （I ）若0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （II ）求证：222223411ln(21)411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-对一切正整数n均成立. 22．（本小题满分10分）（选修4－1：几何证明选讲）如图，圆O 的直径AB 10=，P 是AB 延长线上一点，BP 2=，割线PCD 交圆O 于点C ，D ，过点P 作AP 的垂线,交直线AC 于点E ,交直线AD 于点F ． （I ）求证:PEC PDF ∠=∠； （Ⅱ）求PE PF ⋅的值．23．（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线221:1C x y +=，以平面直角坐标系xoy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2sin )6l cos ρθθ-=.（I ）将曲线1C 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的3、2倍后得到曲线2C ,试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；（Ⅱ）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值. 24．（本题满分10分）（选修4—5：不等式选讲） 已知关于x 的不等式()2102aa x x a +-≥>－． （I ）当a ＝1时，求此不等式的解集；（Ⅱ）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．江西省重点中学盟校2016届高三第一次联考数学(文)试卷参考答案一、选择题13．1π 14. 9 15. 75,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦16. 33[,]22-三、解答题17． 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，由已知得)23(5)23)(3(d d d +=++ ……2分 解得2=d ，或23-=d （与题意“{}n a 是正项等差数列”不符，舍去） ……4分 {}n a 的通项公式为12)1(1+=-+=n d n a a n ……5分 （Ⅱ）由⑴得)2(2)(1+=+=n n a a n S n n ……6分 )211(21)2(11+-=+==n n n n S b n n ……8分)]211()1111()5131()4121()311[(21+-++--++-+-+-=n n n n T n ……9分]2111211[21+-+-+=n n 22354128n n n n +=++ ……12分 18． 解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量8500.01610n ==⨯， ……2分20.0045010y ==⨯， ……4分0.1000.0040.0100.0160.0400.030x =----=． ……6分 （Ⅱ）由题意可知，分数在[80,90]内的学生有5人，记这5人分别为12345,,,,a a a a a ，分数在[90,100]内的学生有2人，记这2人分别为12,b b ，抽取2名学生的所有情况有21种，分别为：()()()()()()()()()()()1213141511122324252122,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a a ab a b a a a a a a a b a b()()()()()()()()()()34353132454142515212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b . ……8分其中2名同学的分数恰有一人在[90,100]内的情况有10种， ……10分 ∴ 所抽取的2名学生中恰有一人得分在[90,100]内的概率10P 21=．……12分 19． 解：（Ⅰ）证明：∵AB AC =，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC .在直三棱柱111ABC A B C -中，∵1B B ⊥底面ABC ，AD ⊂底面ABC ，∴AD ⊥1B B . ∵BC ∩1B B ＝B ， ∴AD ⊥平面11B BCC .∵1B F ⊂平面11B BCC ，∴AD ⊥1B F ……2分 在矩形11B BCC 中，∵11C F CD ==， 112B C CF ==， ∴Rt DCF ∆≌11Rt FC B ∆.∴∠CFD ＝∠11C B F .∴∠1=90B FD .（或通过计算1FD B F ==1B D =得到△1B FD 为直角三角形） ∴1B F FD ⊥ ∵AD ∩FD ＝D ，∴1B F ⊥平面ADF . ……6分 （Ⅱ）解：∵1AD B DF ⊥平面，AD =∵D 是BC 的中点，∴1CD =. 在Rt △1B BD 中，1BD CD ==，13BB =，∴1B D ==. ……9分∵1FD B D ⊥，∴Rt CDF ∆∽1Rt BB D ∆． ∴11DF CD B D BB =.∴13DF ==……10分∴111113329B ADF B DF V S AD -∆=⋅=⨯=. ……12分 （注：也可以用11B ADF ADF V S B D -∆=⋅计算）20． 解：（Ⅰ）由题意得：22222121914a b c c e a a b =+==+=⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，……2分解得1,3,2===c b a ， ……4分∴椭圆方程为13422=+y x . ……5分（II ）设),(),,(2211y x D y x C ，联立方程2232143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得223330x mx m ++-=①， ∴，判别式2222(3)12(3)336012m m m m ∆=--=-+>⇒<，……7分∵21,x x 为①式的根，∴21212,33m x x m x x +=-=--， ……8分由题意知)0,2(),0,2(B A -，∴2,2112221-==+==x y k k x y k k BC AD ． ∵1:2:21=k k ，即12)2()2(2112=+-x y x y ，得4)2()2(22212122=+-x y x y ②， 又1342121=+y x ，∴)4(432121x y -=，同理)4(432222x y -=， ……10分 代入②式，解得()()()()422222112=++--x x x x ，即()0123102121=+++x x x x ，∴210()3120m m -+-+=解得19m =或又∵212m < ∴9m =（舍去），∴1m =. ……12分21.解：（Ⅰ）2222213(1)(1)13(6)2()31(1)(1)(1)a x a x x a x a f x x x x x +++-++++'=-+==++++，若2a ≥-，则60a +>，0x >时，()0f x '>，此时，()f x 在区间[)0+∞，上为增函数．∴ 0x ≥时，()(0)0f x f ≥=．2a ≥-符合要求． ……3分若2a <-，则方程23(6)20x a x a ++++=有两个异号的实根，设这两个实根为1x ，2x ，且120x x <<．∴ 20x x <<时，()0f x '<，()f x 在区间[]20x ，上为减函数，2()(0)0f x f <=．∴ 2a <-不符合要求．∴ a 的取值范围为[)2-+∞，． …… 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，0x >时，不等式12ln(1)3101x x x -+++->+恒成立． ∴ 0x >时，1312ln(1)1x x x +->++恒成立． 令221x k =-（*k N ∈），得122312ln(1)22121121k k k +⨯->+--+-，整理得 288212ln 4121k k k k ++>--． …… 9分 ∴ 21121ln 41421k k k k ++>--．令1k =，2，3，…，n ，得2213ln 41141>⨯-，2315ln 42143>⨯-，2417ln 43145>⨯-，…，21121ln 41421n n n n ++>⨯--． 将上述n 个不等式的左右两边分别相加，得222223411357211ln()ln(21)411421431414135214n n n n n ++++++>⨯⨯⨯⨯=+⨯-⨯-⨯-⨯--∴ 222223411ln(21)411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-对一切正整数n 均成立．……12分22．解（解法1）（1）：连接BC ,则90=∠=∠APE ACB , 即B 、P 、E 、C 四点共圆．∴CBA PEC ∠=∠ 又A 、B 、C 、D 四点共圆,∴PDF CBA ∠=∠ ∴PDF PEC ∠=∠ ∵PDF PEC ∠=∠, ------- 5分 （2）：PDF PEC ∠=∠∴F 、E 、C 、D 四点共圆, ∴PD PC PF PE ⋅=⋅,又24)102(2=+⨯=⋅=⋅PA PB PD PC ,24=⋅PF PE ． ------- 10分（解法2）（1）：连接BD ,则AD BD ⊥,又AP EP ⊥ ∴90=∠+∠=∠+∠EAP PEA PDB PDF , ∵EAP PDB ∠=∠,∴PDF PEC ∠=∠ -------- 5分 （2）：∵PDF PEC ∠=∠,DPF EPC ∠=∠,∴PEC ∆∽PDF ∆,∴PD PEPF PC =, 即PD PC PF PE ⋅=⋅, 又∵24)102(2=+=⋅=⋅PA PB PD PC ,∴24=⋅PF PE -------- 10分 23.解(Ⅰ) 由题意知，直线l 的直角坐标方程为：2x -y -6=0， …… 2分 ∵曲线2C 的直角坐标方程为：22()12y +=，∴曲线2C 的参数方程为：()2sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数. …… 5分(Ⅱ) 设点P 的坐标,2sin )θθ，则点P 到直线l 的距离为：d ==， …… 7分∴当0sin 601()θ=-－ 时，点P 3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时max d ==…… 10分24．解：（Ⅰ）当1a ＝ 时，不等式为|||2|12x x ≥－＋－， 由绝对值的几何意义知，不等式的意义为数轴上的点x 到点1、2的距离之和大于等于2. ……2分 ∴52x ≥或12x ≤．∴不等式的解集为15|22x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或 . ……5分 （注：也可用零点分段法求解．） （Ⅱ）∵|x －2a |＋|x －1|≥2a∴原不等式的解集为R 等价于21a-≥2a . ……7分又a >0，∴a ≥ 4. ∴实数a 的取值范围是[4，＋∞)． ……10分。