16利用三角函数测高
1.6利用三角函数测高
测量底部可以直接到达的物体的高度:
C α A
• 1、在测点A安置测倾器， M 测得M的仰角∠MCE=α； • 2、量出测点A到物体底部N 的水平距离AN=b； E • 3、量出测倾器的高度AC=a， 可求出MN的高度。
N
• MN=ME+EN=b· tanα+a
自学检测：
• 数学组学197页 例一 • 数学组学198页 自主评价1、3、4
N
பைடு நூலகம்
C
αD β
B
A
ME ME b, MN ME a tan tan
自学检测：
李明为测量“滕州八景”之一的龙泉 塔的高度，在地面的点A处测得塔尖的 仰角为30°，他又沿AC方向走了20米 到达B处，测得塔尖的仰角为60°， 求龙泉塔的高度。
D
A
30°
20
60° B C
达标检测：
1.6利用三角函数测高
知识准备
• 测倾器的使用方法：
• 测量倾斜角可以用测倾器。 • ----简单的侧倾器由度盘、铅锤和支杆组成
P Q
度盘 9 0 0 铅锤 支杆 90
转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记 下此时铅垂线所指的读数。
M
30°
自学指导一（底部不能直接到达）：
• 自学内容：课本22页 活动二 • 自学时间：3分钟 • 自学要求： （1）阅读活动二的内容，明确测量的 具体过程。 （2）根据测量的数据，求出物体MN的 高度。
助学198页： 5、6、7、8、9、10
自学指导二（底部不可直接到达）:
• 自学内容：课本23页 活动三 • 自学时间：5分钟 • 自学要求： 1、这次测量任务，与上次相比，有什 么不同之处？ 2、明确测量的方法并计算MN的高度。
利用三角函数解决实际问题的方法
利用三角函数解决实际问题的方法三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于实际问题的解决中。
无论是在物理、工程还是日常生活中，三角函数都能提供有效的数学工具，帮助我们解决各种实际问题。
本文将介绍一些利用三角函数解决实际问题的方法，并举例说明其应用。
一、测量高度在实际生活中，我们经常需要测量物体的高度，如建筑物、树木等。
利用三角函数的正弦定理，我们可以通过测量物体的底边与其顶端的角度，以及观察者与物体的距离，计算出物体的高度。
假设观察者离物体的距离为d，底边与顶端的角度为θ，物体的高度为h，则有以下公式：h = d * sin(θ)通过测量角度和距离，我们就可以准确地计算出物体的高度。
二、解决航海导航问题在航海导航中，我们常常需要计算船只的位置和航向。
利用三角函数的正切定理，我们可以通过测量船只与目标点之间的角度和距离，计算出船只需要调整的航向角度。
假设船只与目标点之间的角度为α，距离为d，船只需要调整的航向角度为β，则有以下公式：β = α - tan⁻¹(d)通过测量角度和距离，我们可以确定船只需要调整的航向角度，从而准确导航。
三、计算力的合成在力学中，我们常常需要计算多个力的合成。
利用三角函数的正弦和余弦定理，我们可以将多个力的大小和方向进行合成。
假设有两个力F1和F2，夹角为θ，合成后的力为F，则有以下公式：F = √(F1² + F2² + 2F1F2cosθ)通过计算多个力的合成，我们可以得到最终的力大小和方向，为力学问题的解决提供便利。
四、计算角度和距离在工程测量中，我们经常需要计算两点之间的角度和距离。
利用三角函数的反正弦和反余弦定理，我们可以通过已知的两点坐标，计算出两点之间的角度和距离。
假设两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，两点之间的角度为α，距离为d，则有以下公式：α = atan2(y2 - y1, x2 - x1)d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)通过计算角度和距离，我们可以准确测量两点之间的位置和距离。
九年级数学北师大版初三下册--第一单元1.6《利用三角函数测高(第一课时)》习题课件
答：这架无人机的长度AB为5 m.
9. 【中考•内江】如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的 高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再 沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角 为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度(结果 保留根号)．
解：由题知，∠DBC＝60°，∠EBC＝30°， ∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝30°. 又∵∠BCD＝90°， ∴∠BDC＝90°－∠DBC＝90°－60°＝30°. ∴∠DBE＝∠BDE. ∴BE＝DE. 设EC＝x，则DE＝BE＝2EC＝2x， DC＝EC＋DE＝x＋2x＝3x， ∴BC＝ BE2－EC2＝（2x）2－x2 3x.
第一章 直角三角形的边角关系
1.6 利用三角函数测高
第1课时 视角在测量中的应用
1 利用锐角三角函数解决测距问题 2 利用锐角三角函数解决不能到达底部的物高问题 3 利用锐角三角函数解决同一位置的视角问题 4 利用锐角三角函数测量有视线障碍的物高
8．【中考•株洲】如图，一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测
结果精确到0.1 m，参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73)．
解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，则四边形MEDC是矩形， ∴ME＝DC＝3，CM＝ED. 在Rt△AEF中，∠AFE＝60°， 设EF＝x，则AF＝2x，AE＝ 3 x. 在Rt△FCD中，CD＝3，∠CFD＝30°， ∴DF＝3 3. 在Rt△AMC中，∠ACM＝45°， ∴MA＝MC.∵ED＝MC，∴AM＝ED.
得正前方的桥的左端点P的俯角为α，其中tan α＝2 3 ，无 人机的飞行高度AH为500 3 m，桥的长度为1 255 m.
(1)求点H到桥左端点P的距离； (2)若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为
《利用三角函数测高》教学设计
《利用三角函数测高》教学设计教学目标：1.了解三角函数的概念和性质；2.学会在实际问题中利用三角函数测量高度；3.培养学生的实际动手操作和数学推理能力。
教学重点：1.三角函数的概念和性质；2.如何利用三角函数测量高度。
教学难点：1.如何在实际问题中应用三角函数进行高度测量。
教学准备：1.幻灯片、小黑板、三角板、直尺等教学工具。
教学步骤：Step 1 引入与导入（10分钟）1.利用幻灯片或小黑板简要介绍三角函数的概念和性质，包括正弦、余弦和正切。
2.引发学生的兴趣，提问：“在测量高度的过程中，是否可以利用三角函数？如果可以，如何进行？”鼓励学生思考并分享自己的观点。
Step 2 实际问题与解决方法（15分钟）1.通过引导学生分析实际问题，如测量建筑物的高度，提醒学生要测量这样一个实际问题，首先需要确定一个已知量和未知量之间的关系。
2.解释三角函数与三角形之间的关系，如正弦函数与三角形内一条边的比例关系，如何将这个比例关系应用到测量高度的过程中。
3.演示利用三角函数测量高度的方法，在室内通过搭建房屋模型进行实际操作，并做出详细的解释。
Step 3 练习与巩固（25分钟）1.将学生分成小组，每组准备一些不同高度的建筑物图片，并使用三角板、直尺等工具进行实际测量，并记录测量结果。
2.引导学生在测量过程中记录相关数据，包括已知量、未知量和等式关系，并在小组内讨论如何利用三角函数计算出高度。
3.学生讨论结束后，进行小组间分享，展示最终的测量结果。
Step 4 拓展与运用（20分钟）1.将学生分成小组，给每组一些实际问题，让他们自行思考并利用三角函数解决问题，例如测量高校校园中一些建筑物的高度、测量一些山峰的高度等。
2.学生每个小组展示其解决问题的方法与结果，并进行讨论和总结。
Step 5 总结与评价（10分钟）1.教师对学生的学习情况进行评价，鼓励学生积极参与并提出自己的观点。
2.提供一个总结的幻灯片或小黑板，总结本课学习的重点内容，强调学会利用三角函数测量高度的方法，并激发学生对数学的兴趣。
九年级下册数学(北师大)课件：1.6 利用三角函数测高
AP＝33＋30＝63(米)，在Rt△DMH中，tan30°＝
MH DM
，即
x－30 63
＝
33，解得：x＝30＋21 3，即建筑物GH的高为(30＋21 3)米
(1)若修建的斜坡BE的坡比为 3 ∶1，求休闲平台DE的长是多少 米？
(2)一座建筑物GH距离A点33米远(即AG＝33米)，小亮在D点测 得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°，点B，C，A，G，H在同 一平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH 高为多少米？
解：∵FM∥CG，∠BDF＝∠BAC＝45°，∵斜坡AB长为60 2
米，则山高CD等于( A )
A．30(1＋ 3)米 B．30( 3－1)米 C．30米 D．(30 3＋1)米 6．如图，太阳光与地面成60°角，一棵倾斜的树AB与地面成 30°角，这时测得大树在地面的影长约为10 m，则大树AB的长大约
为___1_7_.3__m．(精确到0.1 m)
7．(2014·青岛)如图，小明想测山高和索道的长度，他在B处仰 望山顶A，测得仰角∠B＝31°，再往山的方向(水平方向)前进80 m 至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE＝39°.
求AD的长．
解：过A作AH⊥CB于H，设AH＝x，CH＝ 3 x，DH＝x，∵ CH－DH＝CD，∴ 3x－x＝10，∴x＝5( 3＋1)，∴AD＝ 2x＝5 6 ＋5 2
9．为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度，如 图，在地面上选取一点C，测得∠ACB＝45°，AC＝24 m，∠BAC ＝66.5°，求这棵古杉树AB的长度．(结果取整数，参考数据： 2 ≈1.41，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30)
1.6利用三角函数测高
课题：1.6利用三角函数测高课型：新授课年级：九年级教学目标：1．经历设计活动方案，自制测倾器和运用测倾器进行实地测量以及撰写活动报告的过程，培养动手操作能力以及语言表达能力.2．能够对所得的数据进行分析，并能够对侧倾器进行调整及对测量结果进行矫正，从而得出符合实际的结果．3．能够综合运用直角三角形的边角关系测量物体高度.教学重点与难点：重点：1.运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告.2.综合运用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题.难点：活动时的组织和调控，撰写活动报告．课前准备：学生准备：1.每一小组自制一个测倾器．2.设计测量学校旗杆高度的方案.3.依据方案测量旗杆高度并撰写活动报告．教师准备：1.制作多媒体课件．2.指导学生实践操作．教学过程:一、创设情境，导入新课活动内容：1.学生展示自制测倾器．2.利用实物投影仪展示各组测量旗杆的设计方案和测量结果．处理方式：1．由学生互评各组制作的测倾器，指出每个测倾器的优缺点并总结测量倾斜角的方法和步骤，最后全体学生举手投票选出“最美测倾器”．2．学生分组讨论，并在全班发言，指出每个方案的优缺点，最后由学生代表依据各组的优点，总结出测旗杆的“最佳方案”．设计意图：通过展示，激起学生的学习兴趣，在愉快的学习氛围中真正掌握测角仪的制作原理；通过运用测角仪测量仰角和俯角的活动，学生对自己小组制作的测角仪在测量中的原理能做到真正的理解，初步了解利用三角函数可以间接测出物体的高度．二、探究学习，感悟新知活动内容1：测量底部可以到达的物体高度（多媒体出示）请同学们观察下图，完成以下探究问题，并与同伴交流．1．所谓底部可以到达是什么意思？2．图中除MN 高不可测外，哪些数据是可测的． 3．根据测量数据，你能求出物体MN 的高度吗．处理方式：学生讨论交流，在导学案上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评．设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对利用三角函数测高从感性认识上升到理性认识．先从图形入手，得出那些数据是可以测量的，在这一过程中让学生再次感受三角函数的应用．活动内容2：测量底部不可以到达的物体高度所谓底部不可以到达，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离． （多媒体出示）请同学们观察下图，完成以下探究问题，并与同伴交流．1．已知图中MN 高不可测，另外AN 也是不能测量，那么，哪些数据是可测的． 2．要测量物体MN 的高度,测一次仰角是不够的，还需要测量哪些数据？ 3．根据测量数据，你能求出物体MN 的高度吗．CAE NM处理方式：学生讨论交流，在导学案上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评．设计意图：学生通过与上一测量过程进行对比找出不同点，然后小组合作设计出合理的测量方案并根据方案进行测量，学生体会到数学知识在生活中的应用很大，生活离不开数学，进而增强学生学好数学的信心.活动内容3：议一议1．到目前为止，你有几种测量物体高度的方法？2．如果一个物体的高度已知或容易测量，那么如何测量某测点到该物体的水平距离？ 处理方式：问题1先由学生自由讨论，然后由学生代表总结初中以来测物体高度的方法有（1）利用三角形全等（2）利用三角形相似（3）利用三角函数．问题2是活动1的逆向思维，由学生对照活动1独立完成．设计意图：学生通过讨论，梳理了初中以来测物体高度的方法，让学生体会测量方法的多样性及不同测量方法的优缺点，在测量中要合理的选择运用.三、中考链接，应用新知坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑．数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子．（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高．图1为小华测量塔高的示意图．她先在塔前的平地上选择一点A ，用测角仪测出看塔顶(M)的仰角α=35°，在点A 和塔之间选择一点B ，测出看塔顶(M)的仰角β=45°，然后用皮尺量出A 、B 两点间的距离为18.6m ，量出自身的高度为1.6 m ．请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（tan 35°≈0.7，结果保留整数）．（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP 的长为m a （如图2），你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题： ①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是：______________________； ②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？________________________． 处理方式：先让学生阅读已知，再请学生代表说出两个问题的不同，然后再让学生独立完B CＡN Mα β D Ｐ N M图1 图2成．在学生回答问题的过程中，教师可进行针对性提问，让学生明白所给已知条件的不同，选取的做法就不同．学生完成后，教师可借助多媒体展示解题过程．巩固训练：（2011江苏淮安，23，10分）题23-1图为平地上一幢建筑物与铁塔图，题23-2图为其示意图.建筑物AB 与铁塔CD 都垂直于底面，BD=30m ，在A 点测得D 点的俯角为45°，测得C 点的仰角为60°.求铁塔CD 的高度.题23-1图 题23-2图处理方式：让一名学生主动到黑板板演，其他学生在练习本上完成．教师巡视，适时点拨．学生完成后及时点评，借助多媒体展示学生出现的问题进行矫正．参考答案：过A 作AE ⊥CD ，AB 与铁塔CD 都垂直于底面，所以ABDE 为矩形，所以AE =BD =30，在Rt △AED 中，因为∠EAD =45°，所以DE =AE =30，在Rt △ACE 中，由于∠CAE =60°，所以CE= AE·tan 60°=330，所以CD =30+330设计意图：中考链接的设计主要是针对如何测量不可到达底部物体高度，让学生体会所给已知的不同做法也要做出相应改变．通过巩固练习加深对知识的理解与应用．四、回顾反思，提炼升华同学们，知识的积累、能力的提升在于及时的总结．通过这节课的学习，你有哪些收获？请结合以下问题先想一想，再分享给大家．1.测倾器的原理是什么？2.如何测量底部可以到达的物体的高度．3.测量底部不可以直接到达的物体的高度． 学生畅谈自己的收获！设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．五、达标检测，反馈提高师：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．（同时多媒体出示）A 组：1.某市为促进本地经济发展,计划修建跨河大桥,需测出河的宽度AB , 在河边一座高度为300米的山顶观测点D 处测得点A ,点B 的俯角分别为α=30°,β=60°, 求河的宽度(精确到0.1米)B 组：（2011辽宁大连，20,12分）如图7，某建筑物BC 上有一旗杆AB ，小明在与BC 相距12m 的F 处，由E 点观测到旗杆顶部A 的仰角为52°、底部B 的仰角为45°，小明的观测点与地面的距离EF 为1.6m ． （1）求建筑物BC 的高度； （2）求旗杆AB 的高度．（结果精确到0.1m1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．六、布置作业，课堂延伸必做题：课本25页，复习题 第10题、第11题．图7CFBDAC选做题：课本26页，复习题第17题．板书设计：。
利用三角函数测高优秀教案
利用三角函数测高优秀教案课题名称：利用三角函数测高教学目标：1.理解正弦、余弦和正切的概念及其在三角函数测高中的应用；2.掌握使用正弦定理和余弦定理测量不可直接测量的高度；3.能够灵活运用三角函数测高的方法解决实际问题。
教学重点：1.正弦、余弦和正切的概念及其在三角函数测高中的应用；2.正弦定理和余弦定理的应用。
教学难点：教学准备：教具：直尺、测量工具、投影仪；课件：包含三角函数和其应用的相关知识点。
教学过程：一、导入（5分钟）1.引入三角函数的概念，复习正弦、余弦和正切的定义和计算方法。
2.提问学生：在实际生活中，我们如何使用三角函数来测量高度？二、讲解（15分钟）1.三角函数测高的原理：利用正弦、余弦和正切的性质通过测量已知边长和角度的方式求解未知高度。
2.正弦定理的应用：利用三角形中任意两边的长度和它们夹角的正弦比，求解不可直接测量的高度。
3.余弦定理的应用：利用三角形中三边的长度和它们之间的夹角余弦，求解不可直接测量的高度。
三、示范（15分钟）1.示范测量不可直接测量的高度的步骤，例如使用正弦定理：a.给出一个实际问题，如：如何测量一栋建筑物的高度？b.画出相应的示意图，标注已知边长和角度。
c.利用正弦定理的公式，求解未知的高度。
d.明确解题思路和计算步骤，进行计算。
2.呈现示范的解题过程，详细讲解每一步骤的计算方法和答案。
四、练习（20分钟）1.分发练习题，让学生独立完成。
2.讲解练习题答案，帮助学生纠正错误，巩固和理解三角函数测高的方法。
五、应用（15分钟）1.提供一些实际问题，要求学生运用三角函数测高的方法解决。
2.分组讨论并呈现解决方案，交流思路和讨论结果。
六、总结（10分钟）1.对本节课的要点进行总结，强调正弦、余弦和正切的应用。
2.核对课程目标，评估学生的学习情况。
七、作业（5分钟）布置作业：完成课后练习题，巩固三角函数测高的知识。
教学延伸：可以引导学生使用三角函数测高解决其他实际问题，并探究其他测高方法的应用。
1.6 利用三角函数测高(练习)(解析版)
第一章直角三角形的边角关系
第六节利用三角函数测高
精选练习
参考答案与试题解析
基础篇
一．选择题（共8小题）
1．直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA＝67°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的（）
A．俯角67°方向B．俯角23°方向
C．仰角67°方向D．仰角23°方向
【答案】解：∵BC⊥AB，∠BCA＝67°，
∴∠BAC＝90°﹣∠BCA＝23°，
从低处A处看高处C处，那么点C在点A的仰角23°方向；
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形、仰角；熟记仰角定义，求出∠BAC＝23°是解题的关键．2．（2020•徐汇区一模）跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A的俯角为60°，那么此时小李离着落点A的距离是（）
A．200米B．400米C．米D．米
【答案】解：根据题意，此时小李离着落点A的距离是＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．。