巧构辅助圆
初中数学竞赛平面几何讲座---巧添辅助-- 妙解竞赛题
初中数学巧添辅助-- 妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.1.1 作出三角形的外接圆例1如图1,在△ABC中,AB＝AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED＝∠A.求证：BD＝2CD.ABGC DFE 图1例 2 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝∠BCD ＝90°, AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2.则sin ∠AOB ＝____.例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P . 求证：△ABC 的面积S ＝43AP ·BD .A图3BP QD HC ABCDPO图22 构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝DB ＝p ,BC ＝q .求对角线AC 的长.2.2 联想直径的性质构造辅助圆例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC .若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.A EDCB图4图5例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N . 求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN .例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2.EANCD B FM 12345图6例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、b ＇、c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.同步练习题1. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A ,则AC AB ＝DCBD.2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE ＝3a ,BC ＝CD ＝DE ,∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a . 求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .3. 在△ABC 中AB ＝BC ,∠ABC ＝20°,在AB 边上取一点M ,使BM ＝AC .求∠AMC 的度数.(1)(2)图8ABCA'B'C'cb a'c'b'3. 如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF ,CE ⊥AE .求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2.4. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ,直线CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D ,且AC ＝AD ,EC 、ED 分别切两圆于C 、D . 求证：AC 2＝AB ·AE .6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点. 求证：AB ·AC ＝AE 2－BE 2.7. 若正五边形ABCDE 的边长为a ,对角线长为b ,试证：a b －ba＝1.F DAB EC图10C图11初中数学巧添辅助-- 妙解竞赛题答案在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化. 1.1 作出三角形的外接圆例1 如图1,在△ABC 中,AB ＝AC ,D 是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点且∠BED ＝2∠CED ＝ ∠A .求证：BD ＝2CD .分析：关键是寻求∠BED ＝2∠CED 与结论的联系. 容易想到作∠BED 的平分线,但因BE ≠ED ,故不能 直接证出BD ＝2CD .若延长AD 交△ABC 的外接圆 于F ,则可得EB ＝EF ,从而获取.证明：如图1,延长AD 与△ABC 的外接圆相交于点F ,连结CF 与BF ,则∠BFA ＝∠BCA ＝∠ABC ＝∠AFC ,即∠BFD ＝∠CFD .故BF :CF ＝BD :DC .又∠BEF ＝∠BAC ,∠BFE ＝∠BCA ,从而∠FBE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠BFE . 故EB ＝EF .作∠BEF 的平分线交BF 于G ,则BG ＝GF . 因∠GEF ＝21∠BEF ＝∠CEF ,∠GFE ＝∠CFE ,故△FEG ≌△FEC .从而GF ＝FC . 于是,BF ＝2CF .故BD ＝2CD . 1.2 利用四点共圆例2 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝ ∠BCD ＝90°,AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2. 则sin ∠AOB ＝____.ABGCD FE图1ABCDPO 图2分析：由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可知A 、B 、C 、D四点共圆,欲求sin ∠AOB ,联想到托勒密定理,只须求出BC 、AD 即可.解：因∠BAD ＝∠BCD ＝90°,故A 、B 、C 、D 四点共圆.延长BA 、CD 交于P ,则∠ADP ＝∠ABC ＝60°.设AD ＝x ,有AP ＝3x ,DP ＝2x .由割线定理得(2＋3x )3x ＝2x (1＋2x ).解得AD ＝x ＝23－2,BC ＝21BP ＝4－3. 由托勒密定理有BD ·CA ＝(4－3)(23－2)＋2×1＝103－12.又S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝233. 故sin ∠AOB ＝263615 . 例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P .求证： △ABC 的面积S ＝43AP ·BD . 分析：因S △ABC ＝43BC 2＝43AC ·BC ,只 须证AC ·BC ＝AP ·BD ,转化为证△APC ∽△BCD .这由A 、B 、C 、Q 四点共圆易证(Q 为BD 与AH 交点).证明：记BD 与AH 交于点Q ,则由AC ＝AD ,AH ⊥CD 得∠ACQ ＝∠ADQ . 又AB ＝AD ,故∠ADQ ＝∠ABQ .从而,∠ABQ ＝∠ACQ .可知A 、B 、C 、Q 四点共圆. ∵∠APC ＝90°＋∠PCH ＝∠BCD ,∠CBQ ＝∠CAQ , ∴△APC ∽△BCD . ∴AC ·BC ＝AP ·BD . 于是,S ＝43AC ·BC ＝43AP ·BD . A图3BPQDHC2 构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝DB ＝p ,BC ＝q .求对角线AC 的长.分析：由“AD ＝DC ＝DB ＝p ”可知A 、B 、C 在 半径为p 的⊙D 上.利用圆的性质即可找到AC 与 p 、q 的关系.解：延长CD 交半径为p 的⊙D 于E 点,连结AE . 显然A 、B 、C 在⊙D 上. ∵AB ∥CD ,∴BC ＝AE . 从而,BC ＝AE ＝q .在△ACE 中,∠CAE ＝90°,CE ＝2p ,AE ＝q ,故 AC ＝22AE CE -＝224q p -. 2.2 联想直径的性质构造辅助圆例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC .若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.分析：由“∠BAC 为锐角”可知点A 在以定线段BC 为直径的圆外,又点A 在x 轴上侧,从而可确定动点A 的范围,进而确定AD 的取值范围. 解：如图5,所给抛物线的顶点为A 0(1,9), 对称轴为x ＝1,与x 轴交于两点B (－2,0)、 C (4,0).分别以BC 、DA 为直径作⊙D 、⊙E ,则两圆与抛物线均交于两点P (1－22,1)、A EDCB图4图5Q (1＋22,1).可知,点A 在不含端点的抛物线PA 0Q 内时,∠BAC ＜90°.且有3＝DP ＝DQ ＜AD ≤DA 0＝9,即AD 的取值范围是3＜AD ≤9. 2.3 联想圆幂定理构造辅助圆例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N .求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN .分析：因AB 2－AN 2＝(AB ＋AN )(AB －AN )＝BM ·BN ,而由题设易知AM ＝AN ,联想割线定理,构造辅助圆即可证得结论. 证明：如图6,∵∠2＋∠3＝∠4＋∠5＝90°, 又∠3＝∠4,∠1＝∠5, ∴∠1＝∠2.从而,AM ＝AN . 以AM 长为半径作⊙A ,交AB 于F ,交 BA 的延长线于E .则AE ＝AF ＝AN . 由割线定理有 BM ·BN ＝BF ·BE ＝(AB ＋AE )(AB －AF ) ＝(AB ＋AN )(AB －AN ) ＝AB 2－AN 2, 即 AB 2－AN 2＝BM ·BN .例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2. 分析：因EP 和FQ 是⊙O 的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP 、FQ 向EF 转化.证明：如图7,作△BCE 的外接圆交EF 于G ,连 结CG .因∠FDC ＝∠ABC ＝∠CGE ,故F 、D 、C 、G 四点共圆.EA N D BFM 12345图6由切割线定理,有 EF 2＝(EG ＋GF )·EF ＝EG ·EF ＋GF ·EF ＝EC ·ED ＋FC ·FB＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EP 2＋FQ 2,即 EP 2＋FQ 2＝EF 2.2.4 联想托勒密定理构造辅助圆 例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇ C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、 b ＇、c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇. 分析：因∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明.证明：作△ABC 的外接圆,过C 作CD ∥AB 交圆于D ,连结AD 和BD ,如图9所示. ∵∠A ＋∠A ＇＝180°＝∠A ＋∠D , ∠BCD ＝∠B ＝∠B ＇,∴∠A ＇＝∠D ,∠B ＇＝∠BCD .∴△A ＇B ＇C ＇∽△DCB .有DC B A ''＝CB C B ''＝DBC A '',即 DC c '＝a a '＝DB b '.故DC ＝''a ac ,DB ＝''a ab .又AB ∥DC ,可知BD ＝AC ＝b ,BC ＝AD ＝a . 从而,由托勒密定理,得 AD ·BC ＝AB ·DC ＋AC ·BD , 即 a 2＝c ·''a ac ＋b ·''a ab . 故aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.练习题(1)(2)图8ABCA'B'C'ca b a'c'b'A BCDa b b c图91. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A ,则AC AB ＝DCBD. (提示：不妨设AB ≥AC ,作△ADC 的外接圆交AB 于E ,证△ABC ∽△DBE ,从而AC AB ＝DEBD＝DCBD.) 2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE ＝3a ,BC ＝CD ＝DE ,∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a .求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .(提示：由已知证明∠BCE ＝∠BDE ＝180°－3a ,从而A 、B 、C 、D 、E 共圆,得∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .)3. 在△ABC 中AB ＝BC ,∠ABC ＝20°,在AB 边上取一点M ,使BM ＝AC .求∠AMC 的度数. (提示：以BC 为边在△ABC 外作正△KBC ,连结KM ,证B 、M 、C 共圆,从而∠BCM ＝21∠BKM ＝10°,得∠AMC ＝30°.) 4．如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF ,CE ⊥AE .求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2. (提示：分别以BC 和CD 为直径作圆交AC 于点 G 、H .则CG ＝AH ,由割线定理可证得结论.) 5. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ,直线CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D ,且AC ＝AD ,EC 、ED 分别切两圆于C 、D .求证：AC 2＝AB ·AE . (提示：作△BCD 的外接圆⊙O 3,延长BA 交⊙O 3 于F ,证E 在⊙O 3上,得△ACE ≌△ADF ,从而AE ＝AF ,由相交弦定理即得结论.)6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点. 求证：AB ·AC ＝AE 2－BE 2.(提示：以BE 为半径作辅助圆⊙E ,交AE 及其延长线于N 、M ,由△ANC ∽△ABM 证AB ·AC ＝AN ·AM .)7. 若正五边形ABCDE 的边长为a ,对角线长为b ,试证：a b －ba＝1. (提示：证b 2＝a 2＋ab ,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)FDAEC图10图11。
巧构辅助圆 难题也简单
图２
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辫 如 ２ 条 知点只 图 ， 件 ，Ｐ 由
能在 直 线Ｚ 即直 线Ｂ 与 直 线 Ｚ ， 。 （ Ｅ） 上
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其 中ｚ ２ 与直线Ｃ Ｄ的距 离等于￡ 与直线
为半径的辅助圆。则点０ 给在圆周上．
此 时直 径 ＝ ．Ｅ ７ ＝． 据 相 层 ８Ｄ ＝ ，Ｄ １ 根
交 弦 定 理 可 得 ＡＤ・ ＝ ＤＣ ＤＥ・ ＝ ．故 ＤＢ ７ 本题 应选 Ｂ ．
图７
② 当 ＜ Ｑ ｌ时 ， ｃ ＜２ 圆与直线Ａ Ｂ
ｊ
图９
有 两个 交 点 ，当点腿 动 到 两个 交 点
的联 系， 而找到 简捷 、 进 巧妙 的解题方法 而“ ” 从 圆 满地 解决 问题 ．
嘲嗽 如 １在 ＡＣ ， 图 ， ＡＢ中
ＬＣ ２ ， 证 ：Ｂ＝ Ａ ・Ｃ ＝ ＬＢ 求 Ａ ２ Ａ ＣＢ ．
… － －－ －
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棼８ 取
警 Ｉ§ 例Ｉ 在正五边形Ａ Ｃ Ｅ ２ Ｂ Ｄ 所在
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３ 条．故 本题应 选Ｒ
一
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以 Ａ 圆 ，长 半 点 为 心 为 曰
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径 作 圆 ， 的 延 长线 交 圆 于 点Ｄ， ＢＣ 向
两 侧 延 长ＡＣ 别 交 圆 于 点 Ｅ． 因 为 分 Ａ ＝ Ｂ ＡＤ。 以 ＬＢ Ｄ 因 为 ＡＣ 所 ＝ ． Ｂ＝
巧解初中几何问题——以构造辅助圆为例
２０２３年１２月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀巧解初中几何问题以构造辅助圆为例◉江苏省靖江市外国语龙馨园学校㊀徐㊀乐㊀㊀圆是初中数学平面几何中非常重要的一个知识点,与初中数学中其他几何问题有着紧密的联系．所以在解决几何问题时,一些无法利用常规思路求解的综合问题可以尝试通过构造辅助圆的方式来解决．因此,在初中数学几何问题解题教学中,教会学生如何正确使用辅助圆来巧解几何问题是教师需要重点研究的问题．下面将通过例题对辅助圆的应用进行说明．１角的问题例１㊀在әA B C 中,A B ＝A C ,øA B C 的平分线交A C 于点D ,已知B C ＝B D ＋A D ,求øA 的度数．分析:根据题中所给已知条件,可以判定әA B C为等腰三角形,但是想要根据已知条件通过常规方式求øA 的度数存在一定困难．结合题中所给的角平分线,可以联想圆中共顶点的角的问题,作әA B D 的外图１接圆,与әA B C 的B C 边交于点E ,连接D E ,如图１．根据B D 是øA B C 的角平分线,可以知道A D ＝D E ,同时还能得到这个辅助圆为四边形A B E D 的外接圆．根据圆内接四边形的对角互补的性质可得øA B C ＝øE D C ,根据әA B C 为等腰三角形可知øA B C ＝øE D C ＝øC ,于是可得øB E D ＝２øC ,且әE D C 为等腰三角形．所以D E ＝C E ,则A D ＝D E ＝C E ,然后结合B C ＝B E ＋A D 得到B D ＝B E ,所以øB D E ＝øB E D ＝２øC ．这样就可以在әB D E 中计算øC 的度数,即１２øC ＋２øC ＋２øC ＝１８０ʎ,所以øC ＝４０ʎ,最后计算得出øA ＝１００ʎ．在初中数学几何问题中构造辅助线需要充分结合试题的情况来进行．本题中辅助圆的构造就是结合了本题所给定的角平分线的关系,根据相等的圆周角所对应的弧和弦长相等的性质来实现;然后通过辅助圆及相关线段关系来与相关角取得联系;最后利用三角形的性质求解．教师要对学生进行相应的引导,让学生掌握通过角的关系来构造辅助圆,进而借助辅助圆解决问题．２线段长度的问题图２例２㊀如图２所示,在R t әA B C中,A B ʅB C ,A B ＝６,B C ＝４,P 是R t әA B C 内部的一个动点,且满足øP A B ＝øP B C ,则线段C P 的最小值为(㊀㊀)．A．３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀B ．２C ．８１３１３D．１２１３１３图３分析:根据A B ʅB C 可以知道øA B C ＝９０ʎ,结合øP A B ＝øP B C 可得到øA P B ＝９０ʎ,所以әA B P 是直角三角形．根据直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半以及圆的直径所对的圆周角是９０ʎ,可知点P 在以A B 为直径的圆上．以A B 的中点O 为圆心,A B 为直径作圆,如图３所示．这样就可得到当P C 的值最小时,点P 正好在线段O C 上．因为A B ＝６,所以O B ＝３．在R t әO B C 中,B C ＝４,根据勾股定理得到O C ＝５,于是可求出P C 的最小值为２．所以正确答案是选项B ．例２的解题关键是需要判断点P 的轨迹,首先根据试题中所给定的关系得到øA P B ＝９０ʎ,结合直角三角形的性质和圆的性质很容易判断出点P 在以直线A B 为直径的圆上,然后就能够求解最小值．因此,在解题的过程中,只有认真分析题目条件,才能顺利找到解题思路．教师在进行解题教学时需要教会学生如何根据题目中所给定的已知条件来进行分析,从而找到解题思路．很多几何问题都是需要在解题的过程中才能够找到相应的解题思路,并不是通过对试题的观察就能得到解题思路的．因此结合已知条件来对试９７解法探究２０２３年１２月下半月㊀㊀㊀题中存在的关系进行分析,在解题的过程中发现解题思路,是解决问题最好的方式．教师需要引导学生先根据已知条件尝试找到解题的思路,进而解决问题．３三角形相似的问题例３㊀әA B C 中,A D 是øB A C 的外角平分线,交B C 的延长线于点D ,求证:B D D C ＝A BA C．分析:A B ,A C 是әA B C 的两条边,而B D ,D C则是线段B D 上的两条线段,根据所学的知识,要证明B D D C ＝A BA C ,线段成比例关系可以通过证明三角形相似来解决．因此需要将线段B A 延长至点F ,连接D F ,构建出әB A C ʐәB D F ,得到A B A C ＝B DD F,然后证明C D ＝D F 就可以了,从而将证明的关键转化为证明C D ＝D F ．结合题意,øB A C 的外角平分线交B C的图４延长线于点D ,如图４,根据例题１中的方式构造әA C D 的外接圆,B A 的延长线与圆交于点F ,连接D F ．根据圆的性质可以得到C D ＝D F ,通过相似三角形的证明就可以解决问题．几何问题中需要求证的结论存在线段比例关系或者线段等积关系时,都会涉及三角形相似或者全等的证明,通过构造圆为三角形相似或者全等提供条件,实现对问题的求解．在这个过程中,需要充分结合例题１和例题２中辅助圆构造的方式来找到相应的关系．４动点的问题图５例４㊀如图５所示,边长为３的等边三角形A B C ,D ,E 分别是B C ,A C 边上的两个动点,且B D ＝C E ,A D ,B E 交于点P ,求点P 的运动路径长和C P 的最小值．分析:首先需要对点P 的运动路径进行判定．根据等边三角形的相关性质和B D ＝C E 可以得到әA B D ɸәB C E ,这样就得到øC B E ＝øB A D ,然后通过øC B E ＋øA B P ＝６０ʎ得到øB A P ＋øA B P ＝øA P E ＝６０ʎ,于是øA P B ＝１２０ʎ．可以发现在点D 和点E 移动的过程中,øA P B ＝１２０ʎ是恒成立的,所以可以认为点P 在A B 为弦的圆上．假设弦A B 所在圆的圆心为O ,连接O P ,O A ,O B ,根据圆的性质㊁әA B C 的边长为３可计算出圆O 的半径O A ＝３,然后计算出点P 的运动路径长度为２３３π,C P 的最小值为３．解:由A B ＝B C ,øA B D ＝øB C E ,B D ＝C E 得әA B D ɸәB C E ．由øC B E ＋øA B P ＝６０ʎ,得øB A P ＋øA B P ＝øA P E ＝６０ʎ．所以øA P B ＝１２０ʎ．故点P 的运动轨迹是以A B 为弦的圆上的一段弧．图６如图６所示,作әA B P 的外接圆,圆心为O ,连接O A ,O B ,O P ,O C ．由O A ＝O B ,A C ＝B C ,得әA O C ɸәB O C ．所以øO A C ＝øO B C ,øA C O ＝øB C O ＝１２øA C B ＝３０ʎ,øA O C ＝øB O C ＝１２øA P B ＝６０ʎ．故øO A C ＝９０ʎ．根据勾股定理,可得O A ＝３,O C ＝２３．所以,弦A B 所对的弧长为３ˑ２３π＝２３３π;当O ,P ,C 三点共线时,C P 最小,且最小值为３．在三角形的动点问题中,如果动点与一条线段所构成的角度固定,则说明这个动点的轨迹是以这个线段为弦的圆上的一段弧,通过这个关系可以构造辅助圆,然后利用圆的性质来求解问题．本题给定的是正三角形,当然不同的三角形中所呈现的关系可能会存在差别,但是本质没有变化．例如,在例题２中通过计算所得到的角度为９０ʎ的特殊角,这个辅助圆的圆心就在直角三角形的斜边上．例４中这个角度为１２０ʎ,圆心在三角形的外部,通过辅助圆来充分利用圆的相关性质,能够更好地对问题进行求解,实现问题的解决．本文中对辅助圆在初中数学平面几何中的应用进行了总结,并通过相关例题对其用法进行了说明．在初中数学平面几何问题中巧用辅助圆能够优化试题解法,实现快速求解．因此,教师在解题教学的过程中需要对学生进行有效地引导,让学生掌握辅助圆的应用,从而提升解题能力;提升数学素养．Z０８。
巧用辅助圆 妙解中考题
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ｂ 即 Ｅ＝胍 ，
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△ ＡＢＥ 全 △ ＥＨＦ．
ＡＥ ：ＥＦ．
角 ／Ｄ Ｇ的平 分线 Ｃ ＿Ｃ ＿ ＿ Ｆ于点 Ｆ， 求证 ：Ｅ： Ａ Ｅ 经过思考 ， 明给出了一种正确 的解题思路 ： Ａ 小 取 Ｂ
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ＡＣ ＝ ／ ＡＣ ＋ ＤＣＦ ＝４ Ｆ Ｄ ５。＋４ ５。＝９ ． ０。
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短论荟萃 ．
审。擞 ・ （１年 期・ 中 ） ７ ？ ２０ 第６ 初 版 ０
５ ９
正 三 角 彤 的 一 个 点 性 质
３ ０ １ 杭 州 师范大 学初等 教育 学院 沈 国强 １０ ８
小华 的观点正确吗？如果 图３
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（） ２ 正确． 如图 ６ 在 的延 长线上取一点 Ⅳ ， ．
芷确 ， 写出证 明过程 ； 如果不正确 ， 请说 明理 由．
方 法变 式
使Ａ Ⅳ＝Ｃ 连接 Ｎ ． Ｅ， Ｅ
ＢＮ ： ＢＥ。
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思路 １ 学生首先选 择的方法是 ： 构造 以Ｅ Ｆ为斜边 的直角三角形 ， 朋 上Ｃ 作 Ｇ于点 日， 根据结 论信息 ， 易得
方形 ， Ｆ平 分 Ｄ ｃ ｃ． Ｇ 、一 一
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／ ＿ＤＣＧ ： １ × ０ ９ 。＝ ５ ． ４。
图 ｌ ｏ
图 １ １
图 ｌ ２
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人教版九年级数学上册《题中无圆,心中有圆,“圆”来很完美》构造辅助圆解几何问题教学设计
题中无圆，心中有圆，“圆”来很完美——构造辅助圆解几何问题学情分析：学生已经进行了第一轮复习，掌握了初中阶段的基本数学知识和基本技能以及基本解决问题的能力，对于直线形中常见的几何问题形成了一些基本的解题策略,但从辅助圆这个新的视角解决问题还显得弱了很多.学生对于一些数学问题容易产生想法,但欠缺的是归纳总结提升,而本节课想要达到的目的,就是引导学生学会归纳总结,将以前学过的一些知识从一个新的视角研究,简化证明过程.初步形成构造辅助圆的意识.设计意图：对于平面几何问题,学生常常想到的是构造直线形辅助线来转化条件，从而利用三角形、四边形的知识来解决问题.但辅助线的添加就被局限在直线形，而实际上曲线形辅助线在一些特定条件下，更有利于条件的集中，辅助圆是曲线形辅助线的代表，利用辅助圆，就会让图形的条件更丰富，而学生对此又很少了解，故想借此节课，和学生一起探究，通过多种解题方法的对比，来感受辅助圆的独特.教学目标：1.进一步巩固圆的定义和性质，能够正确利用圆找到符合条件的点所在的位置；2.通过对例题条件和结论的分析，体会利用圆解决几何问题，进而掌握利用作圆解决分类讨论问题的方法；3.逐步建立从圆的观点看问题的意识，能够多角度认识事物，全面还原事物的本质，形成几何直观.教学重点：利用辅助圆解决有关问题教学难点：建立用圆的观点看问题的意识，能够判断出构造圆的条件教学过程：情景引入：一些学生正在做投圈游戏,他们呈“一”字型排开,这样的队形对每个人公平吗?你认为他们应当排成什么样的队形?理论依据：到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上我们今天来学习构造辅助圆解决几何题：题中无圆，心中有圆，“圆”来很完美.一、利用圆的定义来构造辅助圆定义：圆可以看成是所有到定点的距离等于定长的点的集合例1：如图,在四边形ABCD 中,AB =AC =AD ,若∠BAC =25∘,∠CAD =75∘，则 ∠BDC =______度，∠DBC =_______度 .变式：如图所示,四边形ABCD 中,DC ∥AB ,BC =1,AB =AC =AD =2,则BD 的长为_______解：四边形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠BDC =∠DBF ，∴BC =DF =1，在RtΔBDF 中， BF =2AB =4，DF =1，∴BD =1522=-DF BF ．解题策略：利用圆的定义构造圆（圆可以看成是所有到定点的距离等于定长的点的集合）纵观例题及其变式，其共同之处都存在着同一个结构，如图所示，即共端点的三条等线段，它让我们联想到“到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上”.建立模型：遇等线（共端点），作辅圆拓展训练：1. 在平面直角坐标系xoy 中，已知点A （-2,0），B (0,3)，在坐标轴上找一点P ，使得△ABP 是等腰三角形，则这样的点共有________个．【答案】8解题策略：在解决这类等腰三角形问题时，通常要分三种情况讨论：（1）求作某边等于已知边（线段）时，以已知线段的一端点为圆心，以线段长为半径作圆，在此圆上寻找符合题意的点；（2）求作另某边等于已知边（线段）时，以另一端点为圆心，以线段长为F A C D半径作圆，在此圆上寻找符合题意的点；（3）使已知线段为底边，未知两边为两腰时，作已知线段的垂直平分线，在垂直平分线上找符合题意的点.方法归纳：两圆一线建立模型：遇等线（共端点），作辅圆变式1.在平面直角坐标系xoy 中，已知点A （-3,0），B (0,3)，在坐标轴上 找一点P ，使得△ABP 是等腰三角形，则这样的点共有 个．变式2.在平面直角坐标系xoy 中，已知点 ，在坐标轴上找一点P ，使得△ABP 是等腰三角形，则这样的点共有________个．二、利用90°的圆周角所对弦是直径构造辅助圆理论依据：90°的圆周角所对弦是直径例2：如图，矩形ABCG 与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上,AB =2,BC =4,（1）若∠APE 的顶点P 在线段BD 上移动,使∠APE 为直角的点P 的个数是( ) A ．0 B .1 C ．2 D ．3(3,0),(0,3)A B（2）若P 可以在平面内任意移动，且∠APE 仍为直角，你能在图中找到到距离点D 最近的P 吗？ 变式 （2016•安徽）如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB =6，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB =∠PBC ，则线段CP 长的最小值为（ ）A ．23B ．2C ．13138D ．131312 解析：∵∠ABC =90°，∴∠ABP +∠PBC =90°，∵∠P AB =∠PBC ，∴∠BAP +∠ABP =90°，∴∠APB =90°，∴O P =OA =OB （直角三角形斜边中线等于斜边一半），∴点P 在以AB 为直径的⊙O 上，连接OC 交⊙O 于点P ，此时PC 最小， 在RT △BCO 中，∵∠OBC =90°，BC =4，OB =3，∴OC ==5，∴PC =OC ﹣OP =5﹣3=2．∴PC 最小值为2．故选：B ．解题策略：通过构造辅助圆，巧妙地将线段的最值问题转化为圆外一点与圆上的点的最大距离与最小距离问题，实质利是用90°的圆周角所对弦是直径，巧妙构造圆后求线段最值.建立模型：由直角（三角形），作辅圆三、利用“四点共圆”构造辅助圆理论依据：对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上例3 如图，四边形ABCD 为矩形，BE 平分∠ABC ，交AD于点F ，∠AEC =90°.(1)A 、B 、C 、E 四点共圆吗？(2)求∠ACE 的度数；(3)求证：BE⊥ED .解：（1）A、B、C、E四点共圆.理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°.又∵∠AEC=90°，∴∠ABC+∠AEC=180°.∴A、B、C、D四点共圆.（2）∵∠ABC =90°，BE平分∠ABC，∴∠ABE =45°.∴∠ACE=∠ABE =45°.（3）证明：连接BD.∵四边形ABCD是矩形，∴A、B、C、D四点共圆，并且BD是直径.又∵A、B、C、E四点共圆，∴A、B、C、D、E五点共圆.∴∠BED为直角，即BE⊥ED.建立模型：由（四边形对角）互补，作辅圆四、感悟小结1．数学方法：构造辅助圆（1）当遇有公共端点的等线段时，通常以公共端点为圆心，等线段长为半径，构造辅助圆.（2）当遇有直角三角形时，通常以斜边为直径，利用90°的圆周角所对弦是直径构造辅助圆.（3）当四边形中出现对角互补时，利用四点共圆构造辅助圆.2.数学思想：建模思想、转化思想、分类讨论思想3.深入挖掘题目中的隐含条件，善于联想所学定理，巧妙地构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显、化难为易的解题效果！“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”，一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！那么构造隐圆的方法还有哪些？比如：定弦定角构造圆、圆幂定理构造圆等，在后面的课程中将继续完善这个话题.五、课后思考：1.已知AB =AC =AD,∠DAC =30°，∠BAC =80°，则∠CBD的度数为.B同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 ， ∠CBD =21∠CAD =15° 2．（2018北京一模）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，E 是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE ，则线段CE 的最小值为（ ）A ．23B ．2102-C ．2132-D ．4解析：如图，∵AE ⊥BE ，∴点E 在以AB 为直径的半⊙O 上，连接CO 交⊙O 于点E ′，∴当点E 位于点E ′位置时，线段CE 取得最小值， ∵AB =4，∴OA =OB =OE ′=2，∵BC =6，∴OC ===2， 则CE ′=OC ﹣OE ′=2﹣2，故选：B ．3.（2017江西）已知点A (0，4)，B (7，0)，C (7，4)，连接AC ，BC 得到矩形AOBC ，点D 的边AC 上，将边OA 沿OD 折叠，点A 的对应边为A ′，若点A ′到矩形较长两对边的距离之比为1：3，则点A ′的坐标为____________．答案：（7，3）或（15，1）或（23，－2），解析：根据题意，点A ′的坐标存在以下三种情况：①如图1，当A ′M ：A ′N =1:3时，又MN =4，所以A ′M =1，A ′N =3，因为OA ′=OA =4，在Rt △OA′N 中，ON =222243OA AN ''-=-=7，所以点A ′的坐标为（7，3）；②如图②，当A ′M ：A ′N =3:1时，又MN =4，所以A ′M =3，A ′N =1，因为OA ′=OA =4，在Rt △OA ′N 中，ON =222241OA AN ''-=-=15，所以点A ′的坐标为（15，1）；③如图③，当A ′M ：A ′N =3:1时，即（A ′N +4）：A ′N =3:1，解得A ′N =2，在Rt △OA ′N 中，ON =222242OA AN ''-=-=23，所以点A ′的坐标为（23，－2）.4.（2013呼和浩特）在平面直角坐标系中，已知点 A (4，0)、B (-6，0)，点 C 是y 轴上的一个动点，当∠BCA = 45°时，点 C 的坐标为 .【答案】(0，12)或(0，-12)图 1 图 2解析：（1）如图1，过点E 在第二象限作EP ⊥BA ，且EP =21AB=5,则易知△P AB 为等腰直角三角形，∠BAP =90°，P A =PB =25,以点P 为圆心，P A （或PB ）长为半径作⊙P ，与y 轴正半轴交于点C ，∵∠BCA 为⊙P 的圆周角，∴∠BCA =21∠BP A=45°,即点C 即为所求. 过点P 作PF ⊥y 轴于点F ，则OF =PE =5，PF =1在Rt △PFC 中，PF =1，PC ＝25，由勾股定理得：722=-=PF PC CF ∴OC =OF +CF =5+7=12，∴点C 的坐标为（0，12）（2）如图2，在第三象限可参照（1）作同样的操作，同理求得y 轴负半轴上的点C 的坐标为（0，－12）综上所述，点C 的坐标为（0，12）或（0，－12）5．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC = 60°,AB =2，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形，求P 、D （P 、D 两点不重合）两点间的最短距离 .解：当点时P 、B 、D 三点在一条直线上时，PD 最短，BD 与AC 交于点, ∵在菱形ABCD 中，∠ABC = 60°,AB =2，∴BO =3 ，即BD =23∵BP =BA ,∴BP =2,∴PD 最小=232- O B A CP。
巧构辅助元,妙解数学题
巧构辅助元,妙解数学题
《妙解数学题——巧构辅助元》
在学习数学课程时，我们会遇到各类各样的数学题，对于难题，常常很难想出正确的解答方法。
在现在这个社会，有一种被称为“巧构辅助元” (Algebraic Manipulations )的数学解题方法可以帮助我们解决这类问题。
巧构辅助元是一个能够帮助我们将复杂的数学题转换成更容易求解的简单题的数学工具，其特点是能有效地将一个复杂的式子分解成多个简单的式子，让我们在逐步解决问题的过程中，能够更好地理解数学思维。
为了证明巧构辅助元的有效性，让我们来看一道关于二次函数的例题：
已知f(x)=ax^2+bx+c,其中a，b，c均为实数，求f(x)的根。
通过巧构辅助元进行推导，我们可以将该题拆分成三部分：首先将二次函数分解成可求根的二元一次函数；然后将二元一次函数分解成各自的线性因式；最后分别求解线性因式的根即可求出二次函数的根。
以上就是巧构辅助元的作用，它能够有效地将复杂的数学题分解成一系列容易理解和求解的小问题，不仅可以快速准确地解决问题，而且能够让我们更好地理解数学思维。
总之，当我们面对复杂的数学题时，巧构辅助元这种有效的数学解题方法，可以帮助我们轻松求解，也能够让我们更好地理解和掌握这一数学知识点。
中考数学模型巧构辅圆解难题一题多解
中考数学模型巧构辅圆解难题一题多解一道题目，11种解法，不同的构造方法，不同的思路，每一种解法都是一道思维的火花，点燃智慧的火焰。
方法一：巧构圆如图，构造△ABC的外接圆，圆心O，过O作OE⊥AB于E，过O作OF//AB，交CD延长线于F.连接OA,OC,AB.∵AD=6,BD=20∴AE=BE=13∴DE=7∵∠ACB=135°∴∠AOB=90°∴OE=13,AO=BO=CO=13√2由辅助线易得，四边形OEDF是矩形.∴OF=7由勾股定理可得，CF=17∴CD=4方法二：勾股定理如图，延长AC，过点B作BE⊥AC延长线于E设，BE=x,因为∠ACB=135°，所以∠BCE=45°，则CE=x,BC=√2x,则勾股定理可得其余线段的长度如上图。
由题很容易得到△ADC∽△AEB，则则CD=4或9√10（多出来一个解，有谁知道为什么吗？）.备注：上面的方程很难解！所以虽然这个方法可以解出来，但是不推荐。
如果数字小一点，可以使用。
向另外一边作垂线一样可以求出，如下图：评述：第一种方法，根据135度圆周角所对圆心角是90度，巧妙的构造圆，然后巧妙转化，解决问题。
第二种方法，从135度的邻补角是45度入手，构造直角三角形。
通过勾股定理来解决。
第一种方法辅助线多，构思巧妙，不容易想到，第二种方法容易想到，但是数字比较大，方程难解。
从普通的条件入手，开拓思路，张引路老师的方法还是很巧妙的解法三：面积法如上图，过A作AE//BC,BE//AC交于E点.过E作EF⊥BC于F.因为∠ACB=135°，所以∠CBE=45°∴∴∴解得 x=4简评：这个方法同样存在方程难题的问题，如果数字比较小可以用。
解法三变式三角形的面积公式可以表示为直接用三角形面积公式，不过初中没有学过这个公式，还有一个就是sin135°的问题，好的学生可以补充，老师参考一下，拓宽一下思路。
利用“辅助圆”解竞赛题
２１年２ ０２ 月
⑩ 山东 省 枣庄 市 第十 八 中 学 ◎ 山 东省 枣 庄 市 第 三 十 四 中学
在 解题 过程 中 ， 常会 遇 到这 样 一 种情 形 ： 常 已知 问题 的原 貌
李 耀 文 张 显 贵
解 ： 图３ 以Ａ为 圆心 ， Ｂ 半 径 作 ＯＡ 由 题设 知 ｃ、 在 如 ， Ａ 为 ． Ｄ都
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２１ 年２ ０２ 月
不妨 设 朋 ： Ｄ ， 相交弦定理得 ： 由
解 题 策 略
３ 利用 圆周 角 的 性 质 。 造 辅 助 圆 ． 构
例７ 设 Ｐ、 线 段ＢＣ上 两 定 点 ，Ｊ＿ Ｐ Ｃ Ａ为 Ｂｃ外 一 动 Ｑ为 ￣Ｂ ＝ Ｑ， 点 （ 图９）当 点Ａ运 动 到 使 ＬＢ 如 ． ＡＰ＝ Ｃ Ａｐ时 ， ＡＡＢＣ是 什 么 三
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解 法 ２： 图 ５ 作 △Ａ Ｃ 外 接 如 ， Ｂ 的
圆 ００， 长ＡＤ交 ０ ０于 点 Ｆ， 作 ０ ０ 延 再 的直 径 Ｃ 并 设 △ＡＢＣ 垂 心 为日， Ｅ， 的 连
绍 Ｅ、 ＢＥ、 Ｈ 、 Ｈ 、 Ｆ Ｂ Ｃ Ｃ ．
因 为 ＡＰ ２／ＡＣ 所 以点 ｃ Ｂ＝ Ｂ， 在
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例 １ 如图 ｌ 若 ＝ Ｂ， ４ ．２ ４ Ｂ， ， Ｐ 厶 ＿ 厶 Ｃ ＡＣ与船 交 于点 Ｄ， 且
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如图，当点P在y轴上移动时， ∠ APB是否有最大值 若有，求点P的坐标，并说明理由，若没有，也请 说明理由
• 应用：今有一副三角板（如图1），中间
各有一个直径为4cm的圆洞，现将三角形a 的30°角的那一头插入三角板b的圆洞内 （如图2），则三角板a通过三角板b的圆洞 的那一部分的最大面积为______cm2（不 计三角板的厚度）．
P
.
A
.
B
如图，点A与点B的坐标分别是（1，0）,(5, 0),P °则满足条件的 是y轴上的一个动点，当 ∠ APB=30, 点P坐标__________
P
.
A
.
B
如图，点A与点B的坐标分别是（1，0）,(5, 0),P 是y轴上的一个动点，当Sin ∠ APB=1/m,则m满足什 么条件时，满足条件的点P存在2个，4个，0个？
.
P
.
A
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B
如图，点A与点B的坐标分别是（-2，0）,(2, 0)， °点P的坐标 P是y轴上的一个动点，当 ∠ APB=90, __________
P
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A
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B
如图，点A与点B的坐标分别是（-2，0）,(2, 0)， °点P的坐标 P是y轴上的一个动点，当 ∠ APB=60, __________