21.1.2二次根式性质(2)
华师大版数学九年级上册《21.1 二次根式》教学设计2
华师大版数学九年级上册《21.1 二次根式》教学设计2一. 教材分析华东师范大学版数学九年级上册《21.1 二次根式》是学生在初中阶段学习二次根式的起点，也是为高中阶段进一步学习函数、不等式等知识做铺垫。
本节课主要让学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法，并能够解决一些实际问题。
教材通过引入二次根式，让学生感受数学与现实生活的联系，提高学生学习数学的兴趣。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。
但学生对二次根式这一概念较为陌生，对其性质和运算方法的认识需要通过实例和练习逐步建立。
此外，学生对于将实际问题转化为二次根式问题的能力有待提高。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。
2.能够将实际问题转化为二次根式问题，并运用二次根式解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力，提高学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.二次根式的概念及其性质。
2.二次根式的运算方法。
3.将实际问题转化为二次根式问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次根式的概念、性质和运算方法。
2.利用实例和练习，让学生在实际操作中掌握二次根式的应用。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.运用多媒体辅助教学，提高课堂趣味性和教学效果。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。
2.设计具有代表性的练习题和实际问题。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如测量物体高度、计算物体体积等，引导学生思考如何利用数学知识解决这些问题。
然后引入二次根式的概念，让学生初步了解二次根式在实际问题中的应用。
2.呈现（15分钟）讲解二次根式的定义，引导学生通过实例理解二次根式的概念。
同时，介绍二次根式的性质，如：二次根式具有非负性、单调性等。
让学生通过实际问题，运用二次根式的性质解决问题。
文档：2112二次根式
21.1 二次根式(2)第二课时教学内容1（a ≥0）是一个非负数；2．）2=a（a ≥0）．教学目标（a ≥0）2=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．（a ≥0）是一个非负数，用具体）2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键1（a ≥0）是一个非负数；）2=a （a ≥0）及其运用．2（a ≥0）是一个非负数；•用探究的方法导）2=a （a≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当a ≥0叫什么？当a<0有意义吗？老师点评（略）．二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）（a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：）2=_______；）2=_______；2=______；2=_______； 2=______；2=_______；）2=_______． 是4是一个平方等于4的）2=4．同理可得：）2=2，2=9，）2=3，2=，）2=，）2=0，所以例1计算1．22．（23．24．（）2分析）2=a（a≥0）的结论解题．解：2 =，（2 =32·2=32·5=45，2=，（）2=．三、巩固练习计算下列各式的值：）2）2（2）2（ 2四、应用拓展例2 计算1．2（x≥0）2．23．）24．）2分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4）2=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x≥0，所以x+1>02=x+1（2）∵a2≥02=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 =a2+2a+1137223256222724=422-（4）∵4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2又∵（2x-3）2≥0∴4x 2-12x+9≥0）2=4x 2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x 4-4(3) 2x2-3分析：(略) 五、归纳小结本节课应掌握：1（a ≥0）是一个非负数；2．）2=a （a≥0）;反之:a=）2（a ≥0）． 六、布置作业1．教材P 8 复习巩固2．（1）、（2）P 9 7．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第二课时作业设计一、选择题1的个数是（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．12．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）．A ．a>0B ．a ≥0C ．a<0D ．a=0二、填空题1．（2=________．2_______数．三、综合提高题1．计算（1）2 （2）-2 （3）（）2 （4）（- 2 (5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4 （3） （4）x （x ≥0） 3=0，求x y 的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-2 （2）x 4-9 3x 2-51216第二课时作业设计答案:一、1．B 2．C二、1．3 2．非负数三、1．（1）2=9（2）-）2=-3（3）（）2=×6=（4）（-2=9×=6(5)-6 2．（1）5=2 （2）3.4=2（3）=2 （4）x=）2（x ≥0）3．x y =34=81 4.（1）x 2-2=（）（x ）（2）x 4-9=（x 2+3）（x 2-3）=（x 2+3）（（x ）(3)略1214322316103304x y x x y -+==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩。
二次根式定义性质
学习意义
二次根式是数学中的重要概念，在解决数学问题中经常遇到。掌握二次根式的定义和性质，对于提高学生的数学 素养和解决问题的能力具有重要意义。同时，二次根式也是后续学习其他数学知识的基础，如解二次方程、求函 数的导数等。
02
二次根式基本概念
运算性质
在实数范围内，二次根式可以 进行加减乘除四则运算，但需 要注意运算过程中的定义域和
值域问题。
03
二次根式运算规则
加减运算规则
同类二次根式
只有被开方数相同的二次根式才能直接进行加减 运算。
合并同类项
将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指 数不变。
示例
√2 + 2√2 = 3√2，√3 - √3 = 0。
二次根式定义
根号表达式
形如√a (a≥0)的式子叫做二次根 式。其中，√称为根号，a称为被 开方数。
非负性
在实数范围内，被开方数a必须是 非负数，否则二次根式无意义。
二次根式分类
最简二次根式
被开方数中不含能开得尽方的因数或Байду номын сангаас因式，且根号下不含分母的二次根式 ，称为最简二次根式。
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同，则这几个二次根 式称为同类二次根式。
07
总结与展望
学习成果总结
二次根式定义
掌握了二次根式的定义 ，即形如$sqrt{a}$（$a geq 0$）的代数式，其 中被开方数$a$是非负 数。
二次根式性质
理解了二次根式的性质 ，包括非负性、乘法定 理、加法定理等，并能 够运用这些性质进行二 次根式的化简和计算。
二次根式的性质是什么
二次根式的性质是什么
一般地，形如√a的代数式叫做二次根式。
接下来分享二次根式的性质及运算法则。
二次根式的性质
1.任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
如正数a的算术平方根是√a，则a的另一个平方根为﹣√a，；最简形式中被开方数不能有分母存在。
2.零的平方根是零。
3.负数的平方根也有两个，它们是共轭的。
4.有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。
二次根式的加减法
1.同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2.合并同类二次根式：把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3.二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
二次根式的乘除法
二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变，再把结果化为最简二次根式。
1.乘法运算：两个数的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
2.除法运算：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。
二次根式化简方法
1.把带分数或小数化成假分数；
2.把开方数分解成质因数或分解因式；
3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外；
4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号；
5.约分。
华师版九年级数学上册第二十一章教学课件 二次根式
知1－讲
●含有二次根号“ ”；
●被开方数是正数或0.
特别地：形如b a(a ≥ 0)的式子也是二次根式， 它表示b与 a 的乘积，当b是带分数时，要写 成假分数的形式.
感悟新知
例 1 给出下列式子：
知1－练
① (－2)2；②3 7；③ 9；④ x＋y；⑤ a2＋1； ⑥ －2a2－1, 其中一定是二次根式的是 __________.(只填序号)
感悟新知
知1－练
解：(1)由二次根式 a 中的被开方数的非负性“a≥0”， x－3 0,
得3－x 0,∴x=3. ∵y= x－3＋ 3－x +2，∴y=2. ∴xy=32=9.
答案：9
感悟新知
(2)[中考·泰州]实数a，b满足 a＋1 +4a2+4ab+b2=0， 知1－练
则ba的值为( )A. 2
关键.
3. 计算 a2一般有两步：
(1)去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式；
(2)去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简.
感悟新知
例 5 在实数范围内分解因式：
(1)x2－5；
(2)x4－4x2+4.
解题秘方：逆用( a ) 2=a 分解因式.
警示误区： 逆用二次根式的性质时，必须先确定
第21章 二次根式
21.1 二次根式
学习目标
1 课时讲解 二次根式的定义
二次根式的性质
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
1. 二次根式的定义 一般地，我们把形如 a (a ≥ 0)的式子 叫做二次根式；“ ”叫做二次根号.
初三九年级上册人教版数学知识点归纳
21．1 二次根式第一课时(1) 了解二次根式的概念,初步理解二次根式有意义的条件.(2) 通过具体问题探求并掌握二次根式的基本性质：当a≥0时，()2a= a；能运用这个性质进行一些简单的计算。
例1、1x（x>0）、1x y+x≥0，y•≥0）．（x>0）、、x≥0，y≥0）；不是、1x、1x y+．例2．当x在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥1 3当x≥1 3例3．当x+11x+在实数范围内有意义？11x+中的≥0和11x+中的x+1≠0．解：依题意，得23010 xx+≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32 由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-1+11x +在实数范围内有意义．例4(1)已知，求xy 的值．(答案:0.4)(2)=0，求a2004+b2004的值．(答案:2) 21.1 二次根式(2) 第二课时1a ≥0）是一个非负数； 2．2=a （a ≥0）．3、a （a ≥0）．例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 答案：()()()()()()()3232)3;222)2;33)12-+-++-+x x x x x x x21.1 二次根式(3) 掌握⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a （3）例题：1、=4 42、=-2)5.1( 1.53、=-2)1(x x-1 （x ≥1） 42(2)69(3)x x x ++≤-=π-3 5、=+-442x x x-2 （2≥x ） （4那么x 取值范围是（ A ）A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 （5）实数p 在数轴上的位置如图所示：·· · · 01 2p化简：22)2()1(pp-+-=p-1+2-p=1一、选择题1 C）．A．0 B．23 C．423 D．以上都不对2．a≥0确的是（A ）．AC．二、填空题1．．02_____．2m的最小值是____5____．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式（a-1）=2a-1=17．两种解答中，____甲 ___的解答是错误的，错误的原因是____甲没有先判定1-a 是正数还是负数_．2．若│1995-a│=a，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）由已知得a-•2000•≥0，•a•≥2000所以，a-2000=19952，所以a-19952=2000．3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│(10-x)第三讲二次根式的乘法教学目标：使学生能掌握并能运用二次根式的乘法法则b a ab ∙==b a ab ∙=(0,0)a b ≥≥并进行相关计算；同时掌握积的算术平方根的性质：b a ab ∙=(0,0)a b ≥≥；能熟练应用。
21.1二次根式(共4课时)
21．1 二次根式（共四课时）第一课时:二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．a≥0）的式子叫做二次根式的概念；a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）1、用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：（题目见教科书4页“思考”栏目）（1）所填的结果有什么特点？二、探索新知，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，（a≥0）•的式子叫做二次根式，议一议：（学生活动）1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0x>0）、例1．下列式子，哪些是二次根式，、1x（x≥0，y•≥0）．、1+x y例2．当x三、巩固练习当x在实数范围内有意义？四、应用拓展在实数范围内有意义？例3、当x1x+1的值．例4(1)已知，求xy(2)，求a2004+b2004的值．五、归纳小结（学生活动，老师点评）1a≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、课后练习一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A． C．．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）A．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）D．以上皆不对A．5 B．15二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？+x2在实数范围内有意义？2．当xx_____．3134.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b为实数，且=b+4，求a、b的值．第二课时：二次根式的意义和性质（1）教学内容1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）．教学目标1、（a≥0）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．2、通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．a≥0）是一个非负数；2=a（a≥0）及其运用．难点：用分类思想的方法导出a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导2=a（a≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当a≥0a<0二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）a≥0）是一个什么数呢？2、根据算术平方根的意义填空：2=；2=；2=；2=．一般地，你能得到什么结论？例1 计算（1）2；（2）2．）2（ 3）．2（ 4）．（2三、巩固练习计算下列各式的值：2）2）24）2（ 2 22-四、应用拓展例2 计算1．2（x≥0） 2．23．（）2 4．2五、能力提高在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3五、归纳小结1a≥0）是一个非负数；2．）2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．六、课后练习一、选择题1次根式的个数是（）．A．4 B．3 C．2 D．12．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）．A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0二、填空题1．（2=________．2_______数．三、综合提高题1．计算（1）2（2）-2（3）（1）2（4）（ 22(5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（4）x（x≥0）（1）5 （2）3.4 （3）163=0，求x y的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5第三课时：二次根式的意义和性质（2）教学内容a（a≥0）教学目标1（a≥0）并利用它进行计算和化简．2、通过具体数据的解答，探究（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．a（a≥0）．难点：探究结论．讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1a≥0）的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个非负数；3．2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：=_______=______；例1 化简（1（2（3（4三、巩固练习教材P5练习2．四、应用拓展1、当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？2、当x>2．五、归纳小结1（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．2、让学生认识到当0a≥时，2=六、课后练习一、选择题1）．A．0 B．23 C．423D．以上都不对2．a≥0正确的是（）．AC．二、填空题1．．2是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│第4课时：复习二次根式的意义和性质一、教学目标1、二次根式的意义2、二次根式的性质二、教学重点：根据二次根式的性质计算难点根据二次根式的性质计算三、复习回顾：二次根式二次根式的意义11。
21.1二次根式定义_取值范围_性质
5.如果（3a -1）2 1-3a,求a的取值范围
6.若（2 - x）2 (1 x)2 3,则x
题型2:二次根式的非负性的应用.
4.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
5.(2005.湖北黄冈市)已知x,y为实数,且
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
把下列各式写成平方差的形式，再 分解因式
(1)x2 2;(2)9x2 5 (3)3m2 2n2
练习1
计算： ( 10 )2 (3 3)2 解： ( 10 )2 (3 3)2
3.若１＜Ｘ＜４，则化简
(x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿3 ＿＿＿
4.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a bc)2 (a bc)2 (b a c)2 (c b a)2 2a+2b+2c
1.计算 （1）（ 1）2 ；（2）（- 3 3）2 ；（4）（- 3 3）2
化简
(1 p)2
2
2 p
1 p (2 p) p 1 2 p 1
3.若１＜Ｘ＜４，则化简
(x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿3 ＿＿＿
4.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a bc)2 (a bc)2 (b a c)2 (c b a)2 2a+2b+2c
2
（4）6 2；27 （）2
（5）（ 3）2 ；（6）（1 7）2 ； 7
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重、
难点
教学重点：二次根式性质的理解及运用。
教学难点：对于性质 =-a（a≤0）时的理解和运用。
教学方法与手段
自主探究。小组合作。启发式
教学准备
课件
教
学
过
程
一、如 （a≥0）的式子叫做二次根式；
2． （a≥0）是一个非负数；3．( )2＝a（a≥0）．
那么，我们猜想当a≥0时， =a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．
学科
数学（上册）
备课教师
阮林
授课时间
第一周9月4日
教学内容
21.1二次根式性质（2）
教学
目标
知识与技能：1、理解 =a（a≥0）并利用它进行计算和化简．
2、通过具体数据的解答，探究 =a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．
过程与方法：让学生在合作探究中寻找规律，并利用规律解答问题。
情感态度与价值观：培养学生的合作探究能力、动手能力。
3.若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+ + 。
板书设计
灵活处理
参考资料
教师用书
例3当x>2，化简 - ．
三、巩固练习
教材P5练习2．P5习题第2题
四、课堂检测
（一）、选择题
1． 的值是（）．
A．0 B． C．4
（二）、填空题
1．- =________．
2．若 是一个正整数，则正整数m的最小值是________．
三、综合提高题
1．先化简再求值：当a=9时，求a+ 的值，甲乙两人的解答如下：
（二）、自主学习
学生学习课本知识4、5页
（三）、探究新知
1、填空：根据算术平方根的意义，
=___； =___； =__； =___； =__； =___．
2、重点： =a（a≥0）
例1化简
（1） （2） （3） （4）
二次备课
教
学
过
程
解：（1） = =（2） = =
（3） = =（4） = =
3、注意：（1） ＝a（a≥0）．（2）、只有a≥0时， ＝a才成立．
甲的解答为：原式=a+ =a+（1-a）=1；
乙的解答为：原式=a+ =a+（a-1）=2a-1=17．
教
学
过
程
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
2．若│1995-a│+ =a，求a-19952的值．
（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）
二、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展
例2填空：当a≥0时， =_____；当a<0时， =_______，并根据这一性质回答下列问题．
（1）若 =a，则a可以是什么数？因为 =a，所以a≥0；（2）若 =-a，则a可以是什么数？因为 =-a，所以a≤0；
（3） >a，则a可以是什么数？因为当a≥0时 =a，要使 >a，即使a>a所以a不存在；当a<0时， =-a，要使 >a，即使-a>a，a<0综上，a<0