1.1 和1.2矩阵
四川省高等数学教材目录
四川省高等数学教材目录一、微积分1. 导数与微分1.1 函数的导数与导数的几何意义1.2 常见函数的导数计算1.3 高阶导数与隐函数求导1.4 微分与微分近似2. 积分与定积分2.1 不定积分与积分表2.2 定积分及其性质2.3 积分应用：弧长、曲面积分计算2.4 定积分与微分方程3. 牛顿-莱布尼茨公式与微积分基本定理3.1 牛顿-莱布尼茨公式推导3.2 微积分基本定理3.3 广义积分与不等式估计3.4 级数与幂级数的收敛性二、线性代数1. 行列式与矩阵1.1 行列式的性质与计算方法1.2 矩阵的定义与运算1.3 线性方程组与矩阵的初等变换1.4 线性相关性与线性无关性2. 线性方程组与矩阵的特征值与特征向量 2.1 特征值与特征向量的基本概念2.2 特征方程与特征空间2.3 对角化与相似矩阵2.4 正交矩阵与对称矩阵3. 向量空间与线性变换3.1 向量空间的基本定义与性质3.2 子空间与向量空间的直和3.3 线性变换与矩阵的表示3.4 本征值问题及其应用三、概率论与数理统计1. 随机变量与概率分布1.1 随机变量的基本概念1.2 离散型与连续型随机变量1.3 常见概率分布与性质1.4 随机变量的函数分布2. 大数定律与中心极限定理2.1 大数定律与强大数定律2.2 中心极限定理及其应用2.3 极大似然估计与最小二乘估计2.4 参数估计与假设检验3. 随机过程与统计推断3.1 随机过程的定义与基本性质 3.2 马尔可夫链与细致平稳条件 3.3 经典统计推断方法3.4 贝叶斯统计推断方法四、常微分方程1. 基本概念与初值问题1.1 常微分方程、微分方程的阶与常数系数 1.2 初值问题与解的存在唯一性1.3 一阶线性微分方程与齐次方程1.4 高阶微分方程与常系数2. 变量分离与特解方法2.1 变量分离法与齐次方程的特解2.2 一阶线性非齐次微分方程2.3 二阶齐次微分方程与特征方程2.4 常系数齐次线性微分方程3. 非常系数线性微分方程与常微分方程组3.1 非常系数线性微分方程的解法3.2 常微分方程组与解的存在唯一性3.3 常微分方程组的矩阵表示3.4 高阶线性常微分方程与齐次微分方程组五、离散数学1. 集合与二元关系1.1 集合与集合运算1.2 二元关系的定义与性质1.3 等价关系与偏序关系1.4 函数与映射关系2. 图论与组合学2.1 图的基本概念与性质2.2 图的遍历与连通性2.3 组合数学与计数方法2.4 结构性归纳法与排列组合3. 布尔代数与逻辑推理3.1 布尔代数的基本运算与定律3.2 布尔函数与逻辑电路3.3 命题逻辑与谓词逻辑3.4 逻辑推理与应用以上是四川省高等数学教材的目录，涵盖了微积分、线性代数、概率论与数理统计、常微分方程和离散数学等多个领域。
电磁场中的矩阵理论及应用
⎡ a11 a12
⎢ ⎢
a21
a22
a1 j
a1N ⎤
a2 j
a2 N
⎥ ⎥
⎢
⎥
行i →
⎢ ⎢
ai1
ai 2
aij
aiN
⎥ ⎥
=
A
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢⎣aM1 aM 2
aMj
aMN ⎥⎦
↑
列j
(1‐16)
M × N 矩阵 A 可以写成 M 块行向量Vi (i = 1, 2, , M )
2
第一章 线性空间与线性变换
(1‐6)
X 和Y 的点积是一个标量值，表示为 X iY = x1 y1 + x2 y2 + + xN yN
(1‐7)
1
电磁场中的矩阵理论与计算
向量 X 的长度（范数）定义为
( ) X = x12 + x22 + + xN2 1/2
(1‐8)
式(1-8)称为向量 X 的欧几里得范数。
如果 X 和Y 表示位置向量， N 维空间中两点 X 和Y 的距离可表示向量差的范
向量 X 和Y 相等当且仅当它们对应的各分量相等，设向量Y = ( y1, y2, , yN )
X = Y if and only if xj = y j 其 中 j = 1, 2, , N
(1‐2)
向量 X 与Y 的和是它们对应的各分量分别相加得到的向量，表示为
X + Y = ( x1 + y1, x2 + y2 , , xN + yN )
r( A) = r(PA) = r(AQ)
(1‐25)
证 由定理 1.2的后一个不等式，得 r( A) ≥ r(PA) ≥ r(P−1(PA)) = r( A) 。同理可 证其余部分。
矩阵的基本知识
矩阵的基本知识矩阵是一个数学概念，它是一个二维数组，由行（横向）和列（纵向）组成。
矩阵的元素通常用双引号括起来，如'"a11"', '"a12"'等。
矩阵的维度可以表示为'(m, n)'，其中m表示行数，n表示列数。
矩阵在许多科学领域中都有广泛的应用，包括线性代数、线性方程组、计算机图形学、机器学习等。
下面介绍一些矩阵的基本知识：1. 矩阵的维度矩阵的维度可以通过其行数和列数来描述。
一个'(m, n)'的矩阵有m行n列。
2. 矩阵的加法两个相同维度的矩阵可以进行加法运算。
矩阵的加法是将对应位置的元素相加，得到的结果是一个新的矩阵。
例如，两个'(2, 2)'的矩阵相加，得到的结果也是一个'(2, 2)'的矩阵。
3. 矩阵的乘法两个矩阵可以进行乘法运算，但并不是任意两个矩阵都可以相乘。
两个矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
矩阵乘法的结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
4. 转置矩阵将矩阵的行和列互换可以得到其转置矩阵。
一个'(m, n)'的矩阵的转置是一个'(n, m)'的矩阵。
5. 逆矩阵对于一个方阵（行数和列数相等的矩阵），存在一个逆矩阵，使得二者乘积等于单位矩阵。
逆矩阵的求法可以通过高斯消元法或拉普拉斯展开式等方法得到。
6. 矩阵的主元素矩阵的主元素是指位于对角线上的元素。
对于一个方阵，主元素是唯一存在的，并且可以通过对角线上的元素来确定该矩阵。
7. 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵分析中非常重要的概念，它们在许多数学和物理问题中都有广泛的应用。
特征值是指满足方程组Ax = λx的实数λ，其中A为矩阵，x为向量。
特征向量是指满足方程组Ax = λx的非零向量x。
幂零矩阵和幂零变换的性质及应用
幂零矩阵和幂零变换的性质及应用1引言定义1.1[1] 令A 为n 阶方阵，若存在正整数k ，使0k A =，A 称为幂零矩阵. 定义1.2[1] 若A 为幂零矩阵，满足0k A =的最小正整数称为A 的幂零指数. 定义1.3[3] 设A 为一个n 阶方阵，A 的主对角线上所有元素的和称为A 的迹，记为1nii i trA a ==∑.定义1.4[5] 形如0010(,)000001J t λλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵称为若当块，其中λ为复数，由若干个若当块组成的准对角称为若当形矩阵.定理1.1[5] 设,A B 为n 阶方阵，则()()***,AB B A AB B A '''==.定理1.2[5] (),()A f E A m λλλ=-分别为矩阵A 的特征多项式和最小多项式， 则有()0,()0A f A m A ==.定理1.3 设12,,,n λλλ 为n 阶矩阵A 的特征值，则有12n trA λλλ=+++ ，12n A λλλ=⋅⋅ ，且对任意的多项式()f x 有()f A 的特征值为12(),(),,()n f f f λλλ .定理 1.4 k 阶若当块11k a J a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的最小多项式为()k x a -且有()0k k J a E -=.定理1.5 ,A B 为n 阶复数域上的矩阵，若AB BA =，则存在可逆矩阵T ，使得112211n n T AT T BT λμλμλμ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪** ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.定理1.6 任意n 阶,A B 方阵，有()()tr AB tr BA =.定理 1.7[5] n 阶复矩阵A 与对角矩阵相似A ⇔的最小多项式无重根.定理1.8[5] 每一个n 阶的复矩阵A 都与一若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去若当块的排序外被矩阵A 唯一决定的，它称为A 的若当标准形.本文内容分为三部分，第一部分给出幂零矩阵的性质，第二部分是幂零矩阵的应用，主要给出幂零矩阵的性质应用和幂零矩阵在求逆中的应用，第三部分给出幂零变换的性质以及幂零变换与幂零矩阵的关系. 2 幂零矩阵的性质性质2.1 幂零矩阵的行列式值为零.性质 2.2 幂零矩阵的数乘矩阵、相似矩阵和k 次幂(k 为自然数)都是是幂零矩阵.性质2.3 若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零矩阵.+AB BA =()00k k k k AB A B B ==⋅=，所以AB 也为幂零矩阵，所以原命题成立. 性质2.4 若A 为n 阶幂零矩阵，则()*,,,T A A A mA m Z -∈均为幂零矩阵，其中'A 是A 的转置矩阵，*A 是A 的伴随矩阵.证明：因为A 为幂零矩阵，则由定义1.1知存在k Z +∈使得0k A =，由定理1.1知()()00k k A A '''===，()()00k k A A ***===，()(1)(1)00k k k k A A -=-=-⋅=，所以,,A A A *'-都为幂零矩阵，又因为()()()00k k k k mA m A m ==⋅=，所以()mA m Z +∈也为幂零矩阵.性质2.5 若A 是幂零矩阵，且0k A =则 1) ()121k E A E A A A ---=++++ 2) ()()11211k k E A E A A A ---+=-+++-3) ()()111211110k k k mE A E A A m m m m---+=-++-≠ . 证明：1）因为()()21k k k k E A E A A A E A E E --+++=-== ， 所以()121k E A E A A A ---=+++ . 2) 由1）类似可得 ()()11211k k E A E A A A ---+=-+++- .3) ()111111mE A m E A E A m m m ---⎧⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭()()1111211111111k k k k kE A A E A A m m m m m m ----⎛⎫=-++-=-+- ⎪⎝⎭， 所以原命题1)、2)、3)成立.性质2.6 A 为幂零矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为0.+0为A 任意一个特征值，则存在00A λ∂≠∂=∂使得，由定理1.3知，0k λ为k A 的特征值，所以存在00k k A ββλβ≠=使得 ，从而有0k λ=0即有00λ=，又有0k A =，知00kk A A A ==⇒=则()()01100k kE A A A *-=-=-=-⋅=，所以00λ=为A 的特征值，由0λ的任意性知，A 的特征值为0.（2）⇐因为A 的特征值全为0，A 的特征多项式为()n f E A λλλ=-=，由定理1.2知 ()0n f A A ==，所以A 为幂零矩阵，所以由（1）、（2）可以得出原命题成立.性质2.7 若为A 幂零矩阵且0A ≠，则A 不可对角化但对任意的n 阶方阵B ,存在幂零矩阵N ，使得B N +可对角化.证明：因为A 为幂零矩阵，则由定义1.1知存在k Z +∈使得0k A =且由性质2.6知A 的特征值全为零，()n f E A λλλ=-=为A 的特征多项式且()0n f A A ==，令()A m λ为A 的最小多项式，则有()|()A m f λλ，从而有00()(1)k A m k n λλ=≤≤，由于00k 1A ≠>所以，又此时00(),2k A m k λλ=≥，即A 的最小多项式有重根，由定理1.7知A 不可对角化.又因为B 为n 阶方阵,由定理1.8知在复数域上存在可逆矩阵T 使得121s J J T BT J -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中11i i i J λλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 阶数为(1,2,,)i n i s = ，令i ii i D λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s = ，则有0110i i i J J D ⎛⎫ ⎪⎪'=-= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)i n i s = ,由定理1.4知(0)()0i i i n n i n i J E J ''-⋅== 即i J '为幂零矩阵(1,2,,)i s =现令12s J J J J ⎛⎫'⎪⎪''=⎪⎪⎪ ⎪'⎝⎭， 12s D D D D ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1112122s s s J D J J J D T BT J DJ J D -⎛⎫'+⎛⎫ ⎪⎪ ⎪'+⎪'===+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭'+⎝⎭，即()111() 2.1B T J D T TJ T TDT ---''=+=+，又因为D 为对角阵，由（2.1）式知11B TJ T TDT --'-=可对角化， 令1N TJ T -'=-且取12max(,,,)s k n n n = ，则有120kkkk s J J J J ⎛⎫' ⎪ ⎪''==⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭，111112()()()()()00k kk k k k k k k s J J N TJ T T J T T T T T J ----⎛⎫' ⎪⎪'''=-=-=-=-=⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭，即有B N +可对角化且N 为幂零矩阵，所以原命题成立.性质2.8 A 为幂零矩阵的充分必要条件是对任意的自然数0k k trA =，都有. 证明：（1）⇒因为A 为幂零矩阵,所以A 的特征根()1,2,,i i n λ= 全为0，由定理1.3知对任意的自然数k 有k A 的特征值0,1,2,k i i n λ== ,所以()120k k k k n tr A λλλ=+++= .（2）⇐设A 的特征根为,1,2,,i i n λ= ,所以对任k Z +∈有120k k k k n trA λλλ=+++= (2.2),令12,,,t λλλ 为A 的不为0的特征值且i λ互不相同，重数为i n ()1,2,,i t = 由（2.2）式及定理1.3得方程组()1122222112233311221122000 2.30t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩,由于方程组（2.3）的系数行列式为122221212121212121111(),t t t tt ttt ttt t t i j j i tB λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤===∏-又(1,2,)i i t λ= 互不相同且不为0，所以0B ≠，从而知方程组（2.3）只有零解，即0(1,2,,)i n i t == ，即A 没有非零的特征值，所以A 的特征值全为0，则由性质2.6得A 为幂零矩阵 ，所以由（1）、（2）知原命题成立. 性质2.9 若A E +为幂零矩阵，则A 非退化.证明：令12,,,n λλλ 为的特征值，若A 退化则有0A =，由定理 1.3得120n A λλλ==所以至少存在00i λ=为A 的特征值，又由定理1.3得0110i λ+=≠为A E +的一特征值这与A E +为幂零矩阵矛盾，所以A 为非退化.性质2.10 若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有1,1A E E A +=-=. 证明：因为A 为幂零矩阵，则由定义1.1知存在k Z +∈使得0k A =，所以00kk A A A ==⇒=，所以A 一定不可逆，由性质2.6得A 的特征值为120n λλλ==== ，由定理1.3得,A E E A +-的特征值分别为1212011,101n n λλλλλλ'''''''''====+=====-=且有1211n n A E λλλ'''+=== ，1211n n E A λλλ''''''-=== ，即1,1A E E A +=-= ，所以原命题成立. 3 幂零矩阵的应用 3.1 幂零矩阵的性质应用例3.1.1 ,A B 为n 阶方阵，B 为幂零矩阵且AB BA =，则有A B A +=.证明：由定理1.5知在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121n T AT λλλ-⎛⎫⎪* ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 121n T BT μμμ-⎛⎫⎪*⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，又因为B 为幂零矩阵由性质2.4知B 的特征值全为0， 即1000T BT -⎛⎫⎪*⎪= ⎪⎪⎝⎭，12111()n T A B T T AT T BT λλλ---⎛⎫ ⎪* ⎪+=+= ⎪ ⎪⎝⎭ ，1211()nT A B T T A B T λλλ--*+=+=，又因为T 可逆0T ≠所以11T T-=所以 1212n nA B λλλλλλ*+==⋅⋅,由121n T AT λλλ-⎛⎫ ⎪* ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 知12,,,nλλλ 为A 的特征值由定理1.3得： 12n A λλλ=⋅⋅ ,从而得证 12n A B A λλλ+=⋅⋅= ，则有A B A +=.例3.1.2 A 为n 阶方阵，求证A B C =+，B 可对角化,C 为幂零矩阵且BC CB =. 证明：由性质2.7知存在幂零矩阵N ,使得A N +可对角化,即存在可逆T ，使得121()n T A N T D λλλ-⎛⎫⎪⎪+=== ⎪ ⎪⎝⎭ ,即有1()A TDT N -=+- ，由性质2.4知由于N 为幂零矩阵则N -也幂零矩阵，又因为1TDT -与D 相似 ，所以1TDT -可对角化，令1B TDT -= C N =-，则有A B C =+，1B TDT -=可对角化，C N =-为幂零矩阵，又因为D为对角阵所以1111BC TDT C TT DC DC CD CDTT CTDT CB ----=======.例3.1.3 ,,A B C 为n 阶方阵，且,,AC CA BC CB C AB BA ===-，证明：存在自然数0k k n C ≤=使得.证明：由于,,AC CA BC CB C AB BA ===-，所以对任意的m Z +∈有1111111()()()()(),m m m m m m m m C C AB BA C AB C BA A C B BC AA CB CB A -------=-=-=-=-由定理1.6推广可得：11(())(())m m tr A C B tr BC A --=,1111()(()()))(())(())0m m m m m tr C tr A C B BC A tr A C B tr BC A ----=-=-=,由性质2.6得C 为幂零矩阵，所以由定义知存在0k k n C ≤=使得.所以原结论得证.例3.1.4 在复数域上n 阶方阵A 相似于对角阵等价于对于A 的任一特征值λ，有A E λ- 与2()A E λ-的秩相同.证明：⇒因为A 对角化，则存在可逆矩阵T ，使得121n T AT λλλ-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ , 从而有1212121222(),()()(),()n n T A E T T A E T λλλλλλλλλλλλλλ---⎛⎫⎪-⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪-⎪-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭所以1()T A E T λ--与12()T A E T λ--相同，即A E λ- 与2()A E λ-的秩相同.⇐由于在复数域上，存在可逆矩阵T 使得121s J J T AT J -⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中11i i i J λλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 阶数为(1,2,,)i n i s = ，若(1,2,,)i J i s = 不全为对角阵，则不妨令1J 不可对角化，且有1i n >，有110110n J E ⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭ ，12100()1100n J E ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭， 从而知11n J E -的秩大于121()n J E -的秩，即有1()T A E T λ--的秩大于12()T A E T λ--的秩也即A E λ- 的秩大于2()A E λ-的秩，这与已知矛盾，所以所有(1,2,,)i J i s = 为对角阵，从而得证A 相似于对角阵. 3.2 幂零矩阵在求逆中的应用3.2.1 可表为幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆例3.2.1 已知4615135124A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭求1A -.解：46153615100135125010124125001A B E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中3615125125B -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭且有2361536151251250125125B BB --⎛⎫⎛⎫⎪⎪==--= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭.所以 1110036152615()010125115001125126A B E E B -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.3.2.2 主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆例3.2.2已知0000000000000n nx y x y A x y x ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,求1A -. 解：因为0010000010000000100000100000000100000100000000100000nx y x y A x y x y x xE yJ ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+其中01000001000000100000n J ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭且有0nn J =，所以可得211123112221()(1),1(1)10(1).00100n n n n nn nn n n n n n J J J E A xE yJ x x x x y y x x x y x x x --------=+=-+++-⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪- ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3.2.3 可表为若当块幂的和的矩阵的逆例3.2.3 已知21110010001n n n na a a a a A a -⨯⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭,求1A -.解：212211010010001n n n n n n n a a a a a A E aJ a J a J a --⎛⎫⎪⎪⎪==++++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，其中1000001000000100000n n n J ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,10000010000001000001n nE ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以1010001000010001000000100010000000001n a a A E aJ E a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4 幂零变换的性质定义4.1[6] 设V 是数域F 上的向量空间，σ是V 的线性变换，如果存在整数m ，使0mσ=即对任意V ξ∈，有()0mσξ=，则称σ为幂零线性变换.定义4.2[6] 若σ是幂零线性变换，0t 是非空正整数集合{}|0m m Z σ+∈=中的最小正整数，则称0t 是幂零线性变换σ的幂零指数.性质4.1 设()L V σ∈,()()1,,,k ξσξσξ- 都不等于零，但()0k σξ=.则()()1,,,k ξσξσξ- 线性无关.证明：设011,,,k a a a F -∈ ，使()()()101104.1k k a a a ξσξσξ--+++=将()4.1分别12,,,k k σσσ-- 去作用()()()12101210k k k a a a a σξσξσξσξ---⎡⎤+++=⎣⎦得()100k a σξ-=,又因为()10k σξ-≠，所以00a =.同理可得0110k a a a -==== . 故()()1,,,k ξσξσξ- 线性无关.性质4.2 设n 维向量空间V 有线性变换σ及向量ξ，满足()()10,0n n σξσξ-≠=. 求证σ关于V 的某个基的矩阵是000010000010A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭证明：根据性质4.1 ()(),,,n ξσξσξ 线性无关，所以它们组成V 的一个基()()()()()()()()()()()()()()()()()()()21212211210000000000000.n n n n n n σξξσξσξσξσσξξσξσξσξσσξξσξσξσξσσξξσξσξσξ------=++++=++++=++++=++++，，，故σ关于V 的某个基的矩阵是A .性质 4.3 σ是n 维向量空间V 的幂零线性变换当且仅当它的特征多项式的根都是零.证明：必要性 设λ是幂零变换σ的特征值，ξ是属于特征值λ的一个特征向量，则()()()()()()()()()()22322310m m m m σξλξσξσλξλσξλξσξσλξλσξλξσξσλξλσξλξ-===========由于0ξ≠，所以0m λ=，即0λ=.充分性 若σ关于V 的某个基德矩阵时A ，那么A 的特征值全部为0，所以F 上存在可逆矩阵T ，使得()1000000T AT -**⎛⎫⎪* ⎪= ⎪⎪⎝⎭上三角矩阵故10000000nn T A T -**⎛⎫ ⎪* ⎪== ⎪⎪⎝⎭ ,所以1000000nn A TT -**⎛⎫⎪* ⎪== ⎪⎪⎝⎭.因此0n σ=，即σ是幂零线性变换.性质4.4 如果一个幂零变换σ可以对角化，那么σ一定是零变换.证明：设σ在向量空间V 的某个基下的矩阵是A ，由题设A 可以对角化，即存在F 上的可逆矩阵T ，使得121n T AT B λλλ-⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ，矩阵B 时σ在一组新基下对应的矩阵，并由性质4.3知，120n λλλ==== .即矩阵B 是零矩阵故σ是零变换.性质4.5 若σ是n 维向量空间V 的幂零线性变换，则σ的特征多项式为m x . 证明：因为σ是幂零线性变换，故存在正整数m ，使0m σ=，于是m x 为σ的一个化零多项式，从而σ得特征值全为零，又m x 是首一多项式，故m x 为σ的特征多项式.性质 4.6 若σ是n 维向量空间V 的幂零线性变换，且σ的幂零指数为0t ，则0t n ≤，且σ的最小多项式为0t x .证明：设()m x 是σ的最小多项式，则()()()00|,t n m x x m x x t n =≤所以.由定义4.2可知0t x 为σ的最小多项式.性质 4.7 设V 是数域F 上的n 维向量空间，σ是V 的线性变换，若σ是幂零变换，则σ在某一基下的矩阵时幂零矩阵.证明：由于σ是幂零变换，即存在正整数m ，使对任意V ξ∈，有()0m σξ=. 设12,,,n ααα 是V 的一个基，σ关于12,,,n ααα 的矩阵是A .即()()1212,,,,,,n n A σαααααα=所以有()()()1212,,,,,,0,0,,0m m n n A σαααααα== .由于12,,,n ααα 是基，所以0m A =，因此A 是幂零矩阵.参考文献[1] 邹本强．幂零矩阵的性质[J]．威海职业技术学院学报,2007,12(1)：154-155 [2] 韩道兰、罗雁、黄宗文．幂零矩阵的性质及应用[J]．玉林师范学院学报,2003,24(4)：1-3[3] 谷国梁．关于幂零矩阵性质的探讨[J]. 铜陵财经专科学校学报,2001,4(1)：49-49[4] 姜海勤．幂零矩阵性质的一个应用[J]．泰州职业技术学院学报,2004,4(1)：61-62[5] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组．高等代数（第二版）[M].高等教育出版社,2003[6] 张素梅、张广慧．线性变换的幂零性[J]．邯郸学院学报，2007,17(3)：30-32 [7] 李师正．高等代数解题方法与技巧[M]．高等教育出版社,2006 [8] 陈国利．高等代数选讲[M]．中国矿业大学出版社,2005[9] 杨子胥．高等代数习题集（上册）[M]．山东科学技术出版社,2004 [10] 王品超．高等代数分析与研究[M] ．山东大学出版社,1994。
(精品课件)研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档
列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩 阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量 的对应系数。 若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意 矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij
a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】 一个 一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中
矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质： （M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;
1.1 矩阵的特征值与特征向量
定理4
设1，2， ，s是方阵A的互不相同的特征值，
x1, x2, , xs是分别与之对应的特征向量，则 x1, x2, , xs线性无关。 esp .
属于实对称阵的不同特征值的特征向量是正交的。
Statistics Department
矩阵论/矩阵分析 视频公开课
矩阵的特征值与特征向量 （完）
二、特征值与特征向量的性质
设A aij nn Cnn , 称 a11 a22 ann为A的迹，记为
trA,即trA a11 a22 ann. tr: trace
������������������ ⋯ ������������������ ������ = ⋯ ⋯ ⋯
as s
a s1 s 1
对于A Cnn , 规定
f A as As as1As1 称f A为矩阵A的多项式.
a1 a0 ,
a1A a0I
f(λ) 是普通多 项式
Statistics Department
定理3
设A Cnn , A的n个特征值为1，2， ，n，对应的
Statistics Department
定理2
设i是ACnn的ri重特征值 称ri为特征值i的代数重数 ，
对应i有si个线性无关的特征向量(称si为特征值i的
几何重数），则1 si
简单地说，几何 重数不超过代数 重数
定义4
设f 是的多项式
f
矩阵论/矩阵分析 视频公开课
第1章 矩阵的相似变换 §1.1 矩阵的特征值与特征向量 §1.2 矩阵的相似对角化 §1.3 矩阵的Jordan标准形 §1.4 Hamilton-Cayley 定理 §1.5 向量的内积 §1.6 矩阵的酉相似
1.1 数域~1.2 矩阵和运算1(13秋季,林鹭)
展开和式
4
4
(1) a2i (2) 2i
i 1
i 1
22
(3) aij i1 j1
(4)
aij
1i j3
特殊矩阵及其元素表示_4
• 基础矩阵Eij
0
0
1
Eij
0
j列
i行 0 mn
1 k i且l j ekl 0 其他
A (aij )mn
m i 1
a E n
j1 ij ij
小结
✓ 数域的定义 ✓ 矩阵的概念
– 特殊矩阵
✓ 矩阵的相等、加法和数乘
下节
• 矩阵的乘法（难点、重点） • 矩阵的转置
• 作业 §1.1 Ex. 1, 2; §1.2 Ex. 1
补充: 用 表示下列式子
(1) a1b2 a3b4 ... a b 2n1 2n2 (2) a1bn a2bn1 ... anb1 (3) a1b1 a1b2 a1b3 a2b2 a2b3 a3b3
• n阶方阵A： A的行数＝列数= n
矩阵的相等
• A = (aij)m×n，B = (bij)s×t 则A = B 必须同 时满足如下两个条件
✓ m = s, n = t ✓ aij = bij i=1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n
特别提示 具有不同行列数的零矩阵代表不同 的矩阵。如 O2×3≠O1×6 ≠O3×2
第一章 矩阵 Matrix
§1.1-1.2 目的要求
• 掌握数域的定义, 正确判断数域；
• 熟练掌握矩阵的定义、两矩阵的相 等概念；
矩阵可交换成立的条件与性质
毕业设计（论文）题目矩阵可交换成立的条件与性质学院理学院专业数学与应用数学年级 2008级班级 0814 姓名吴锦娜学号 2008530088 指导教师李伟职称副教授矩阵可交换成立的条件与性质[摘要］矩阵是高等数学中一个重要内容，在数学领域以及其他科学领域有着重大的理论意义．众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，BAAB ．但是,在某些特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律．可交换矩阵有着很多特殊的性质和重要的作用．本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质及应用，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵．[关键词］矩阵可交换条件性质应用The Conditions for The Commutation of Matrix and Its Some Properties［Abstract] Matrix， a important content in altitude－mathematics， has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science field。
As far as we have concerned，the multiplication of matrix could not satisfy the exchange rule under the normal condition, that is to say, normally，AB≠BA。
Whereas, in some certain conditions, the multiplication of matrix could satisfy the exchange rule。
The exchangeable matrix has many special properties and important effection。
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0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
2 2 9
2 .5 0 . 5 0 8
20 x y 求 64 a b 39 x a, b, x, y, z, w. 55 a b z w z 20 0 b 20 a 0 a b 20 x y 39 x 64 x 64 y 25 zw0 z 55 a b 20 w 55 z 55
a12 a1n a 22 a 2 n (a ) ij nn a n 2 a nn
a11 a12 0 a 22 0 0
上三角形矩阵
2015年4月8日星期三
a1n a2 n ann
10
a11 a 21 an1
定义1.2
如果A (aij ) mn 与B (bij )mn 是同型矩阵，并且它们的 对应元素相等，即
a ij bij (i 1,2, , m; j 1,2, , n),
那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作 A=B
2015年4月8日星期三 12
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92 90 85 86 例： 85 86 92 90 5 sin 8 2 6 ( 3) 2 0 9 1
我们把n行n列矩阵称为n阶方阵或n阶矩阵，简称n阶阵
几 种 特 殊 元素全是零的矩阵叫做零矩阵，记为o 形 式 0 0 0 O 0 0 O 0 ,0 ,0 的 O23 13 22 矩 0 0 0 0 0 阵
2015年4月8日星期三 7
Ann
主对角线
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an2
a1 n a2n a nn
2015年4月8日星期三
8
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1 0 0
0
2
0
对角矩阵
1 0 0 1 0 0
(1)
a11 a21 a m1
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
5
a11 a12 a21 a22 a m1 am 2
a1n a2 n amn
b1 b2 bm
（系数矩阵）
2015年4月8日星期三
2015年4月8日星期三 15
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对应元素 相减
二 矩阵的数乘运算
定义 1.4
数与矩阵A (aij )mn的乘积记作 A或A，规定为
a11 a 21 A A a m1
a m 2 a mn
(1)
m个方程，
n个未知量
a ij 代表第 i 个方程中未知量 x j 的系数， bi 称为第i个方程的常数项，当常数项 b1 , b2 ,..., bm 全
为零时,称为齐次线性方程组,否则为非齐次线性方程组.
2015年4月8日星期三
4
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a11 x 1 a12 x 2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 ........................................ am1 x 1 am 2 x 2 amn xn bm
求X .
2015年4月8日星期三
3 2 2 2 1 X ( B A) 2 2 1 1 2 0.5 1 3.5 1
17
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引例:设两个商店销售三种电视机的数量由矩阵A表示
12 8 10 A 14 9 6
89 83 18
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12 2.5 8 3 10 3.5
2015年4月8日星期三
定义1.5
设矩阵A的列数与矩阵B的行数相同：A (aij ) mn , B (bij ) n p , 规定矩阵A与B的乘积是一个m p矩阵C (cij ) m p , 其一般元素为
高等数学多媒体课件
线性代数
华南农业大学理学院数学系
2015年4月8日星期三 1
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第一章 矩阵 第二章 向量与线性方程组 第三章 矩阵的特征值与特征向量 第四章 向量的内积与二次型
*第五章 线性空间与线性变换 *第六章 Matlab软件的应用
2015年4月8日星期三
2
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第一章 矩阵与线性方程组
1 3 2 2
21
)
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7 9 12 4 19 23
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矩阵与矩阵相乘不满足交换律，AB有意义，但BA不一定有意义
2015年4月8日星期三
例
设
2 A 3 1
B 5 6 4
求AB和BA
2 2 5 2 6 2 4 10 12 8 AB 3 5 6 4 3 5 3 6 3 4 15 18 12 1 1 5 1 6 1 4 5 6 4 2 BA 5 6 4 3 5 2 6 3 4 1 (32) 1
（i）A+B=B+A (交换律） （ii) (A+B)+C=A+(B+C) (结合律）
2015年4月8日星期三那么矩A与矩阵B的和记作A+B,规定为
a12 b12 a 22 b22 am2 bm 2
a1n b1n a 2 n b2 n a mn bmn
（4）1
a12 a1n a 22 a 2 n
（1） ( ) A
(A)
A B
16
A A
（2）( ) A A A （3） ( A B)
2015年4月8日星期三
（5） (1) A （6）
A
0 A O
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2015年4月8日星期三 13
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1.1.2
矩阵的基本运算及性质
对应元 素相加
一 矩阵的加减法
定义 设有两个m n矩阵A （aij ), B (bij ), 1.3
a11 b11 a 21 b21 A B a b m1 m1
2015年4月8日星期三
20
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例
1 2 3 1 设 A 4 0 B 2 4 3 5 1 2 3 1 C AB 4 0 2 4 3 5
求AB
(
11 2 4 4 3 0 2 4 1 0 4 3 3 5 2 3 1 5 4
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A Ann
a11 a An 21 a n1
a12 a1n a 22 a 2 n (aij ) nn a n 2 a nn
主对角线:从 左上角到右 下角的对角 线. 次对角线:从 左下角到右 上角的对角 线.
例
1 3 5 2 1 2 设 A ,B 1 6 3 0 3 8
求A B，A B,3 A 2 B.
3 1 2 0 已知A 1 5 7 9 2 4 6 8
且A 2 X B,
7 5 2 4 B 5 1 9 7 3 2 1 6
0 a22 an 2
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0 0 ann
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下三角形矩阵
几 种 特 殊 形 式 的 矩 阵
返回
a1,
a2 ,
a1 a 2 a n
, an 行矩阵（只有一行）
列矩阵（只有一列）
2015年4月8日星期三
11
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两个矩阵行数相等，列数也相等时，就称它们是同型矩阵
A diag (1 , 2 ,..., n )
0 0 1
单位矩阵
0 0 n
I m Amn Amn
I 或 In
Amn I n Amn
即：IA AI A
2015年4月8日星期三
9
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A Ann
a11 a 21 An a n1
(iii) A+O=O+A=A
14
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设矩阵A (aij )mn , 记
a11 a21 A a m1
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
-A称为矩阵A的负矩阵，显然有 A+(-A)=(-A)+A=O 矩阵的减法：A-B=A+(-B)
矩阵常用 大写字母 表示 行,列, 元素,
称为m行n列矩阵（Matrix） ，简称
mn
矩阵
a ij 叫做该矩阵的第i行第j列的元或者元素，矩阵可以简记
A Amn ( a ij ) mn , 或A ( a ij )
2015年4月8日星期三
6
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矩阵的行数和列数相等，称之为方阵。