第二部分 矩阵的运算符号(1)
矩阵的运算及其运算规则
矩阵基本运算及应用201700060牛晨晖在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的或集合。
矩阵是高等代中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、、光学和中都有应用；中，制作也需要用到矩阵。
矩阵的运算是领域的重要问题。
将为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。
在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。
1矩阵的运算及其运算规则1.1矩阵的加法与减法1.1.1运算规则设矩阵，，则简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．1.1.2运算性质满足交换律和结合律交换律；结合律．1.2矩阵与数的乘法1.2.1运算规则数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵．1.2.2运算性质满足结合律和分配律结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA．分配律：λ(A+B)=λA+λB．1.2.3典型举例已知两个矩阵满足矩阵方程，求未知矩阵．解由已知条件知1.3矩阵与矩阵的乘法1.3.1运算规则设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即．(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．1.3.2典型例题设矩阵计算解是的矩阵．设它为可得结论1：只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数；结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律；结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．1.3.3运算性质（假设运算都是可行的）(1) 结合律．(2) 分配律（左分配律）；（右分配律）．(3) ．1.3.4方阵的幂定义：设A是方阵，是一个正整数，规定，显然，记号表示个A的连乘积．1.4矩阵的转置1.4.1定义定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或．例如，矩阵的转置矩阵为．1.4.2运算性质（假设运算都是可行的）(1)(2)(3)(4) ，是常数．1.4.3典型例题利用矩阵验证运算性质：解；而所以．定义：如果方阵满足，即，则称A为对称矩阵．对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．1.5方阵的行列式1.5.1定义定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作或．1.5.2运算性质(1) （行列式的性质）(2) ，特别地：(3) （是常数，A的阶数为n）思考：设A为阶方阵，那么的行列式与A的行列式之间的关系为什么不是，而是？不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下和．例如，则．于是，而2光伏逆变器的建模光伏并网逆变器是将光伏组件输出的直流电转化为符合电网要求的交流点再输入电网的关键设备，是光伏系统并网环节中能量转换与控制的核心。
考研线性代数历年真题
考研线性代数历年真题考研线性代数是研究生入学考试中的一门重要科目，通过解答历年真题可以帮助考生更好地了解考试要求和复习重点。
本文将为大家整理归纳考研线性代数历年真题，以供参考。
第一部分：矩阵与行列式1、考点：矩阵的运算【真题一】计算矩阵相乘已知矩阵A=（1 2 3；4 5 6）、B=（7 8；9 10；11 12），求A与B 的乘积AB。
【真题二】矩阵求逆已知矩阵A=（1 2 3；0 4 5；0 0 6），求A的逆矩阵。
2、考点：行列式的性质与运算【真题三】行列式展开已知行列式D=|1 0 2；1 1 1；3 1 0|，计算D的展开式。
【真题四】行列式的性质已知行列式D=|1 2 3；4 k 6；7 8 9|，若D=0，则k的取值范围是多少？第二部分：向量空间与线性变换1、考点：线性相关性【真题五】判断线性相关性已知向量组V={(1, 0, -1)，(2, 1, 1)，(3, 1, 0)}，判断向量组V的线性相关性。
【真题六】线性相关向量组的线性表示已知向量组V={(1, 3, -1)，(2, 5, -2)，(4, a, b)}，若向量(7, 18, -6)可以由向量组V线性表示，则a和b应满足的条件是什么？2、考点：矩阵的特征值和特征向量【真题七】矩阵的特征值与特征向量已知矩阵A=（3 4；1 2），求矩阵A的特征值和特征向量。
【真题八】矩阵对角化已知矩阵A=（1 2 -1；-1 0 3；2 2 -1），求可对角化矩阵和相似矩阵。
第三部分：线性方程组与矩阵的应用1、考点：线性方程组的解【真题九】线性方程组的解已知线性方程组x + 2y + 3z = 62x + y + z = 43x + 3y + z = 7求线性方程组的解。
【真题十】齐次线性方程组的解空间已知齐次线性方程组x + 2y + 3z = 02x + y + z = 0求齐次线性方程组的解空间的维数。
2、考点：矩阵的秩【真题十一】矩阵的秩已知矩阵A=（1 4 5；2 5 1；3 6 2），求矩阵A的秩。
矩阵的运算
第三节矩阵的基本运算§3.1 加和减§3.2矩阵乘法§3.2.1 矩阵的普通乘法§3.2.2 矩阵的Kronecker乘法§3.3 矩阵除法§3.4矩阵乘方§3.5 矩阵的超越函数§3.6数组运算§3.6.1数组的加和减§3.6.2数组的乘和除§3.6.3 数组乘方§3.7 矩阵函数§3.7.1三角分解§3.7.2正交变换§3.7.3奇异值分解§3.7.4 特征值分解§3.7.5秩§3.1 加和减如矩阵A和B的维数相同，则A+B与A-B表示矩阵A与B的和与差．如果矩阵A和B的维数不匹配，Matlab会给出相应的错误提示信息．如：A= B=1 2 3 1 4 74 5 6 2 5 87 8 0 3 6 0C =A+B返回：C =2 6 106 10 1410 14 0如果运算对象是个标量（即1×1矩阵），可和其它矩阵进行加减运算．例如：x= -1 y=x-1= -20 -12 1§3.2矩阵乘法Matlab中的矩阵乘法有通常意义上的矩阵乘法，也有Kronecker乘法，以下分别介绍．§3.2.1 矩阵的普通乘法矩阵乘法用“ * ”符号表示，当A 矩阵列数与B 矩阵的行数相等时，二者可以进行乘法运算，否则是错误的．计算方法和线性代数中所介绍的完全相同．如：A=[1 2 ; 3 4]; B=[5 6 ; 7 8]; C=A*B ，结果为C=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8765=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯8463745382617251=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛50432219 即Matlab 返回：C =19 2243 50如果A 或B 是标量，则A*B 返回标量A （或B ）乘上矩阵B （或A ）的每一个元素所得的矩阵．§3.2.2 矩阵的Kronecker 乘法对n ×m 阶矩阵A 和p ×q 阶矩阵B ，A 和B 的Kronecher 乘法运算可定义为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⊗=B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A C nm n n m m (2122221)11211由上面的式子可以看出，Kronecker 乘积A ⊗B 表示矩阵A 的所有元素与B 之间的乘积组合而成的较大的矩阵，B ⊗A 则完全类似．A ⊗B 和B ⊗A 均为np ×mq 矩阵，但一般情况下A ⊗B ≠B ⊗A ．和普通矩阵的乘法不同，Kronecker 乘法并不要求两个被乘矩阵满足任何维数匹配方面的要求．Kronecker 乘法的Matlab 命令为C=kron(A,B)，例如给定两个矩阵A 和B ：A=1234⎛⎝ ⎫⎭⎪ B=132246⎛⎝ ⎫⎭⎪则由以下命令可以求出A 和B 的Kronecker 乘积C ：A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; C=kron(A,B)C =1 32 2 6 42 4 6 4 8 123 9 64 12 86 12 18 8 16 24作为比较，可以计算B 和A 的Kronecker 乘积D ，可以看出C 、D 是不同的：A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; D=kron(B,A)D =1 2 3 6 2 43 4 9 12 6 82 4 4 8 6 126 8 12 16 1824§3.3 矩阵除法在Matlab 中有两种矩阵除法符号：“＼”即左除和“／”即右除．如果A 矩阵是非奇异方阵，则A\B 是A 的逆矩阵乘B ，即inv(A)*B ；而B/A 是B 乘A 的逆矩阵，即B*inv(A)．具体计算时可不用逆矩阵而直接计算．通常：x=A\B就是A*x=B的解；x=B/A就是x*A=B的解.当B与A矩阵行数相等可进行左除．如果A是方阵，用高斯消元法分解因数．解方程：A*x(:, j)=B(:, j)，式中的(:, j)表示B矩阵的第j列，返回的结果x具有与B矩阵相同的阶数，如果A是奇异矩阵将给出警告信息．如果A矩阵不是方阵，可由以列为基准的Householder正交分解法分解，这种分解法可以解决在最小二乘法中的欠定方程或超定方程，结果是m×n的x矩阵．m是A矩阵的列数，n是B矩阵的列数．每个矩阵的列向量最多有k个非零元素，k 是A的有效秩．右除B/A可由B/A=(A'\B')'左除来实现．§3.4矩阵乘方A^P意思是A的P次方．如果A是一个方阵，P是一个大于1的整数，则A^P表示A 的P次幂，即A自乘P次．如果P不是整数，计算涉及到特征值和特征向量的问题，如已经求得：[V,D]=eig(A)，则：A^P=V*D.^P/V（注：这里的.^表示数组乘方，或点乘方，参见后面的有关介绍）如果B是方阵，a是标量，a^B就是一个按特征值与特征向量的升幂排列的B次方程阵．如果a和B都是矩阵，则a^B是错误的．§3.5 矩阵的超越函数在Matlab中解释exp(A)和sqrt(A)时曾涉及到级数运算，此运算定义在A的单个元素上．Matlab可以计算矩阵的超越函数，如矩阵指数、矩阵对数等．一个超越函数可以作为矩阵函数来解释，例如将“m”加在函数名的后边而成expm(A)和sqrtm(A)，当Matlab运行时，有下列三种函数定义：expm 矩阵指数logm 矩阵对数sqrtm 矩阵开方所列各项可以加在多种m文件中或使用funm．请见应用库中sqrtm.m，1ogm.m，funm.m 文件和命令手册．§3.6数组运算数组运算由线性代数的矩阵运算符“*”、“/”、“\”、“^”前加一点来表示，即为“.*”、“./”、“.\”、“.^”．注意没有“.+”、“.-”运算．§3.6.1数组的加和减对于数组的加和减运算与矩阵运算相同，所以“+”、“-”既可被矩阵接受又可被数组接受．§3.6.2数组的乘和除数组的乘用符号.*表示，如果A与B矩阵具有相同阶数，则A.*B表示A和B单个元素之间的对应相乘．例如x=[1 2 3]; y=[ 4 5 6];计算z=x.*y结果z=4 10 18数组的左除（.\）与数组的右除（./），由读者自行举例加以体会．§3.6.3 数组乘方数组乘方用符号.^表示．例如：键入：x=[ 1 2 3]y=[ 4 5 6]则z=x.^y=[1^4 2^5 3^6]=[1 32 729](1) 如指数是个标量，例如x.^2，x同上，则：z=x.^2=[1^2 2^2 3^2]=[ 1 4 9](2) 如底是标量，例如2 .^[x y] ，x、y同上，则：z=2 .^[x y]=[2^1 2^2 2^3 2^4 2^5 2^6]=[2 4 8 16 32 64] 从此例可以看出Matlab算法的微妙特性，虽然看上去与其它乘方没什么不同，但在2和“．”之间的空格很重要，如果不这样做，解释程序会把“．”看成是2的小数点．Matlab 看到符号“^”时，就会当做矩阵的幂来运算，这种情况就会出错，因为指数矩阵不是方阵．§3.7 矩阵函数Matlab的数学能力大部分是从它的矩阵函数派生出来的，其中一部分装入Matlab本身处理中，它从外部的Matlab建立的M文件库中得到，还有一些由个别的用户为其自己的特殊的用途加进去的．其它功能函数在求助程序或命令手册中都可找到．手册中备有为Matlab 提供数学基础的LINPACK和EISPACK软件包，提供了下面四种情况的分解函数或变换函数：(1)三角分解；(2)正交变换；(3) 特征值变换；(4)奇异值分解．§3.7.1三角分解最基本的分解为“LU”分解，矩阵分解为两个基本三角矩阵形成的方阵，三角矩阵有上三角矩阵和下三角矩阵．计算算法用高斯变量消去法．从lu函数中可以得到分解出的上三角与下三角矩阵，函数inv得到矩阵的逆矩阵，det 得到矩阵的行列式．解线性方程组的结果由方阵的“\”和“/”矩阵除法来得到．例如：A=[ 1 2 34 5 67 8 0]LU分解，用Matlab的多重赋值语句[L,U]=lu(A)得出注：L结果只需计算L*U即可．求逆由下式给出：x=inv(A)x =从LU的值可由下式给出：d=det(A)d =27直接由三角分解计算行列式：d=det(L)*det(U)d =27.0000为什么两种d的显示格式不一样呢? 当Matlab做det(A)运算时，所有A的元素都是整数，所以结果为整数．但是用LU分解计算d时，L、U的元素是实数，所以Matlab产生的d也是实数．例如：线性联立方程取b=[ 135]解Ax=b方程，用Matlab矩阵除得到x=A\b结果x=0.33330.33330.0000由于A=L*U，所以x也可以有以下两个式子计算：y=L\b，x=U\y．得到相同的x值，中间值y为：y =5.00000.28570.0000Matlab中与此相关的函数还有rcond、chol和rref．其基本算法与LU分解密切相关．chol 函数对正定矩阵进行Cholesky分解，产生一个上三角矩阵，以使R'*R=X．rref用具有部分主元的高斯－约当消去法产生矩阵A的化简梯形形式．虽然计算量很少，但它是很有趣的理论线性代数．为了教学的要求，也包括在Matlab中．§3.7.2正交变换“QR”分解用于矩阵的正交－三角分解．它将矩阵分解为实正交矩阵或复酉矩阵与上三角矩阵的积，对方阵和长方阵都很有用．例如A=[ 1 2 34 5 67 8 910 11 12]是一个降秩矩阵，中间列是其它二列的平均，我们对它进行QR分解：[Q,R]=qr(A)R的下三角都给出0，并且R(3,3)=0.0000，说明矩阵R与原来矩阵A都不是满秩的．下面尝试利用QR分解来求超定和降秩的线性方程组的解．例如：b=[ 1357]讨论线性方程组Ax=b，我们可以知道方程组是超定的，采用最小二乘法的最好结果是计算x=A\b．结果为：Warning: Rank deficient, rank = 2 tol = 1.4594e-014x =0.50000.1667我们得到了缺秩的警告．用QR分解法计算此方程组分二个步骤：y=Q'*bx=R\y求出的y值为xWarning: Rank deficient, rank = 2 tol = 1.4594e-014x =0.50000.1667用A*x来验证计算结果，我们会发现在允许的误差范围内结果等于b．这告诉我们虽然联立方程Ax=b是超定和降秩的，但两种求解方法的结果是一致的．显然x向量的解有无穷多个，而“QR”分解仅仅找出了其中之一．§3.7.3奇异值分解在Matlab中三重赋值语句[U,S,V]=svd(A)在奇异值分解中产生三个因数：A=U*S*V 'U矩阵和V矩阵是正交矩阵，S矩阵是对角矩阵，svd(A)函数恰好返回S的对角元素，而且就是A的奇异值（其定义为：矩阵A'*A的特征值的算术平方根）．注意到A矩阵可以不是方的矩阵．奇异值分解可被其它几种函数使用，包括广义逆矩阵pinv(A)、秩rank(A)、欧几里德矩阵范数norm(A,2)和条件数cond(A)．§3.7.4 特征值分解如果A是n×n矩阵，若λ满足Ax=λx，则称λ为A的特征值，x为相应的特征向量．函数eig(A)返回特征值列向量，如果A是实对称的，特征值为实数．特征值也可能为复数，例如：A=[ 0 1-1 0]eig(A)产生结果ans =0 + 1.0000i0 - 1.0000i如果还要求求出特征向量，则可以用eig(A)函数的第二个返回值得到：[x,D]=eig(A)D的对角元素是特征值．x的列是相应的特征向量，以使A*x=x*D．计算特征值的中间结果有两种形式：Hessenberg形式为hess(A)，Schur形式为schur(A)．schur形式用来计算矩阵的超越函数，诸如sqrtm(A)和logm(A)．如果A和B是方阵，函数eig(A,B)返回一个包含一般特征值的向量来解方程Ax= Bx双赋值获得特征向量[X,D]=eig(A,B)产生特征值为对角矩阵D．满秩矩阵X的列相应于特征向量，使A*X=B*X*D，中间结果由qz(A,B)提供．§3.7.5秩Matlab计算矩阵A的秩的函数为rank(A)，与秩的计算相关的函数还有：rref(A)、orth(A)、null(A)和广义逆矩阵pinv(A)等．利用rref(A)，A的秩为非0行的个数．rref方法是几个定秩算法中最快的一个，但结果上并不可靠和完善．pinv(A)是基于奇异值的算法．该算法消耗时间多，但比较可靠．其它函数的详细用法可利用Help求助．上一页回目录下一页。
MATLAB第二章
2 特殊数据判断函数
常用的特殊数据判断函数：
• isinf(A) 返回一个与A同型的数组，该数组元素的 值根据A的相应位置元素的值为无穷大inf时设置为1， 否则为0。 • isnan(A) 返回一个与A同型的数组，该数组元素的 值根据A的相应位置元素的值为NaN 时设置为1，否 则为0。 • isfinite(A) 返回一个与A同型的数组，该数组元素 的值根据A的相应位置元素的值为有限值时设置为1， 否则为0。
关系运算规则
关系运算符的运算法则为： • 1 当两个比较量是标量时，直接比较两数的大 小。若关系成立，关系表达式结果为1，否则 为0。 • 2 当参与比较的量是两个同型的矩阵时，比较 是对两矩阵相同位置的元素按标量关系运算规 则逐个进行，并给出元素比较结果。最终的关 系运算的结果是一个与原矩阵同型的矩阵，它 的元素由0或1组成。
当a=[pi NaN Inf -Inf]时，分析下列 语句的执行结果
• isinf (a) • isnan (a) • isfinite (a)
例 当A=[-6,NaN,Inf,5;-Inf,-pi, eps,0] 时，分析下列语句的执行结果。 • • • • • • • all(A) all(all(A)) any(A) any(any(A)) isnan(A) isinf(A) isfinite(A)
例
建立任意的3×3的矩阵，并求 出能被3整除的元素。
9 -1;-3 -9 0];
A=[1 0 3 ;2
%生成3×3的矩阵A P=rem(A,3)==0
%判断A的元素是否可以被3整除 A(P) %求出被3整除的元素 如果求上述矩阵中能被5整除的元素呢？ P=rem(A,5)==0
例 求三阶魔方矩阵中绝对值大于7的元素。 a=magic(3);
矩阵分析1
矩阵分析矩阵分析是数学中一门重要的分支，主要研究矩阵及其运算规律、性质和应用。
矩阵分析被广泛应用于各个领域，如物理学、经济学、工程学、信息科学、生物学等，成为现代科技和工程中不可或缺的一部分。
一、矩阵介绍矩阵是一种数学对象，由m行n列的元素数排列成一个矩形阵列。
一般用大写字母A、B、C等表示矩阵，而用小写字母a、b、c等表示元素。
如下所示：A = [a11 a12 (1)a21 a22 (2)… … …am1 am2 … amn]其中，a11、a12、a21和a22等都是矩阵A的元素，其中第i行第j列的元素表示为aij，i表示行数，j表示列数。
二、矩阵的运算矩阵的运算包括加、减、乘和求逆，下面分别介绍。
1、加法令A、B是两个矩阵，则矩阵的加法定义为相加其对应的元素。
例如，如果A和B都是两行两列的矩阵，则A + B的结果为：A +B = [a11+b11 a12+b12a21+b21 a22+b22]2、减法矩阵的减法也是按照对应元素相减的规则。
例如，如果A和B都是两行两列的矩阵，则A - B的结果为：A -B = [a11-b11 a12-b12a21-b21 a22-b22]3、乘法矩阵乘法是指将一个矩阵的行乘以另外一个矩阵的列的结果所组成的矩阵。
例如，如果A是m行n列的矩阵，B是n行p列的矩阵，则它们的乘积C是m行p列的矩阵，C中第i行第j列的元素可以表示为：Cij = Σk=1,2,…n aikbkj其中，Σ表示求和符号，k表示矩阵A和B相乘的公共维度，即行数或列数。
4、求逆如果矩阵A是非奇异矩阵，即其行列式不为0，则可以求出其逆矩阵A-1，使得A×A-1=I，其中I为单位矩阵。
求逆矩阵的公式如下：A-1 = 1/|A| adj(A)其中，|A|表示A的行列式，adj(A)表示A的伴随矩阵。
三、矩阵的性质矩阵有很多基本的性质，其中包括：1、矩阵的行和列数可以不相等；2、矩阵可以相加和相乘，但不可以相减和相除；3、矩阵加法和乘法有结合律、分配律和交换律；4、矩阵乘法不满足交换律，即AB≠BA。
线性代数知识点归纳 (1)
线性代数知识点归纳 (1)第一部分行列式1、排列的逆序数2、行列式按行（列）展开法则3、行列式的性质及行列式的计算行列式的定义1、行列式的计算：① (定义法)②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和、推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零、③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积、④ 若都是方阵（不必同阶）,则⑤ 关于副对角线：⑥ 范德蒙德行列式：⑦ 型公式：⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法、⑨ (递推公式法)对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中 ,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法、(拆分法)把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算、⑩ (数学归纳法)2、对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；3、证明的方法：①、；②、反证法；③、构造齐次方程组，证明其有非零解；④、利用秩，证明；⑤、证明0是其特征值、4、代数余子式和余子式的关系：第二部分矩阵1、矩阵的运算性质2、矩阵求逆3、矩阵的秩的性质4、矩阵方程的求解1、矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵、记作：或同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等、 矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等、 矩阵运算 a、矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）、 b、数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为、 c、矩阵与矩阵相乘：设, ,则，其中注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立、 a、分块对角阵相乘：, b、用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量； c、用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量、 d、两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘、④ 方阵的幂的性质：，⑤ 矩阵的转置：把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作、 a、对称矩阵和反对称矩阵: 是对称矩阵、是反对称矩阵、 b、分块矩阵的转置矩阵：⑥ 伴随矩阵：，为中各个元素的代数余子式、 ,, 、分块对角阵的伴随矩阵：矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：伴随矩阵的性质：（无条件恒成立）2、逆矩阵的求法方阵可逆、①伴随矩阵法：② 初等变换法③ 分块矩阵的逆矩阵：④ , ⑤ 配方法或者待定系数法（逆矩阵的定义）3、行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零、当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是时，称为行最简形矩阵4、初等变换与初等矩阵对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换初等变换初等矩阵初等矩阵的逆初等矩阵的行列式()()()☻矩阵的初等变换和初等矩阵的关系： 对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘； 对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘、注意：初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵、5、矩阵的秩关于矩阵秩的描述：①、，中有阶子式不为0，阶子式 (存在的话)全部为0；②、，的阶子式全部为0；③、，中存在阶子式不为0；☻矩阵的秩的性质：① ≥; ;≤≤ ② ③ ④ ⑤ ≤ ⑥ 若、可逆，则；即：可逆矩阵不影响矩阵的秩、⑦ 若；若⑧ 等价标准型、⑨ ≤, ≤≤ ⑩ , ☻求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法6 矩阵方程的解法()：设法化成第三部分线性方程组1、向量组的线性表示2、向量组的线性相关性3、向量组的秩4、向量空间5、线性方程组的解的判定6、线性方程组的解的结构（通解）（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）（2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）1、线性表示：对于给定向量组，若存在一组数使得，则称是的线性组合，或称称可由的线性表示、线性表示的判别定理: 可由的线性表示由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：①、有解②、③、（全部按列分块，其中）；④、（线性表出）⑤、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）2、设的列向量为,的列向量为，则，为的解可由线性表示、即：的列向量能由的列向量线性表示，为系数矩阵、同理：的行向量能由的行向量线性表示，为系数矩阵、即：3、线性相关性判别方法：法1 法2 法3 推论♣线性相关性判别法（归纳）♣线性相关性的性质① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交、② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关、③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关、（向量个数变动）④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关、（向量维数变动）⑤ 两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关、⑥ 向量组中任一向量≤≤都是此向量组的线性组合、⑦ 若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一4、最大无关组相关知识向量组的秩向量组的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩、记作矩阵等价经过有限次初等变换化为、向量组等价和可以相互线性表示、记作：① 矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩、行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数、② 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行（列）向量间的线性关系③ 向量组可由向量组线性表示,且，则线性相关、向量组线性无关,且可由线性表示,则≤、④ 向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价；⑤ 任一向量组和它的极大无关组等价、向量组的任意两个极大无关组等价、⑥ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定、⑦ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等、⑧ 设是矩阵,若，的行向量线性无关；5、线性方程组理论线性方程组的矩阵式向量式其中（1）解得判别定理（2）线性方程组解的性质： (3) 判断是的基础解系的条件：① 线性无关；② 都是的解；③ 、 (4)求非齐次线性方程组Ax = b的通解的步骤（5）其他性质一个齐次线性方程组的基础解系不唯一、√ 若是的一个解，是的一个解线性无关√ 与同解（列向量个数相同）, 且有结果：① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等；② 它们对应的部分组有一样的线性相关性；③ 它们有相同的内在线性关系、√ 矩阵与的行向量组等价齐次方程组与同解（左乘可逆矩阵）；矩阵与的列向量组等价（右乘可逆矩阵）、第四部分方阵的特征值及特征向量1、施密特正交化过程2、特征值、特征向量的性质及计算3、矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化1、 标准正交基个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1、 向量与的内积 、记为：④ 向量的长度⑤ 是单位向量、即长度为的向量、2、内积的性质：① 正定性：② 对称性：③ 线性性：3、 设A是一个n阶方阵, 若存在数和n维非零列向量, 使得，则称是方阵A的一个特征值，为方阵A的对应于特征值的一个特征向量、 的特征矩阵（或）、 的特征多项式（或）、④ 是矩阵的特征多项式⑤ ，称为矩阵的迹、⑥ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素、⑦ 若,则为的特征值,且的基础解系即为属于的线性无关的特征向量、⑧ 一定可分解为=、,从而的特征值为：, 、为各行的公比，为各列的公比、⑨ 若的全部特征值，是多项式,则: ① 若满足的任何一个特征值必满足②的全部特征值为；、⑩ 与有相同的特征值，但特征向量不一定相同、4、特征值与特征向量的求法 (1)写出矩阵A的特征方程，求出特征值、 (2)根据得到 A 对应于特征值的特征向量、设的基础解系为其中、则A 对应于特征值的全部特征向量为其中为任意不全为零的数、5、 与相似（为可逆矩阵） 与正交相似（为正交矩阵） 可以相似对角化与对角阵相似、（称是的相似标准形）6、相似矩阵的性质：①,从而有相同的特征值,但特征向量不一定相同、是关于的特征向量,是关于的特征向量、② ③ 从而同时可逆或不可逆④ ⑤若与相似, 则的多项式与的多项式相似、7、矩阵对角化的判定方法① n 阶矩阵A可对角化 (即相似于对角阵)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量、这时,为的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为的特征值、设为对应于的线性无关的特征向量,则有：、② 可相似对角化，其中为的重数恰有个线性无关的特征向量、：当为的重的特征值时，可相似对角化的重数基础解系的个数、③ 若阶矩阵有个互异的特征值可相似对角化、8、实对称矩阵的性质：① 特征值全是实数,特征向量是实向量；② 不同特征值对应的特征向量必定正交；：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；③ 一定有个线性无关的特征向量、若有重的特征值,该特征值的重数=；④ 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形；⑤ 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；⑥ 两个实对称矩阵相似有相同的特征值、9、正交矩阵正交矩阵的性质：① ；② ；③ 正交阵的行列式等于1或-1；④ 是正交阵,则，也是正交阵；⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；⑥ 的行（列）向量都是单位正交向量组、10、11、施密特正交规范化线性无关, 单位化：技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。
线性代数知识点归纳(同济_第五版)
E[i(k)]1
E[i(
1 k
)]
E[i(k)] k
( ) ri rj k ci c j k
E(i, j(k))
E[i, j(k)]1 E[i, j(k)] E[i, j(k)] 1
☻矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：
对 A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○ 左
乘 A；
则称 是1,2, ,n 的线性组合，或称称 可由1,2, ,n 的线性表 示.
线性表示的判别定理: 可由1,2, ,n 的线性表示
由 n个未知数 m 个方程的方程组构成 n 元线性方程：
--
-
维数）
a11 x1 a12 x2
①、 a21 x1 a22 x2
a1n xn b1
有解 a2n xn b2
9
9
9
所以 2 2
1 2
2 1
2 9
2
1 9 2
2 9
1
9 9 9
③ 分块矩阵的逆矩阵： A
1
A1
B
B
1
A C 1 A1 A1CB1
O
B
O
B
A O 1 A1
O
C
B
B
1CA1
B
--
A
1
B1
B
A1
-
a1
④
a2
a3
1
1 a1
1 a2
ambm2
a1b1n
a2b2n
ambmn
c. 用对角矩阵 ○ 右乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次
乘此矩阵的○ 列向量.
b11 b12
B
线性代数-第一章第2节-矩阵的运算
四、矩阵的转置
1. 定义
将矩阵 A m×n 的行换成同序数的列，列 换成同序数的行所得的 n×m 矩阵称为 A的转置矩阵，记作 AT 或 A'。
例如： A 1 0 2
4 3 0
则
AT
1 0
4 3
2 0
2）、转置矩阵的运算性质
1 AT T A;
2 A BT AT BT ;
阵,且HH T E.
证明 HT E 2XXT T ET 2 XXT T
E 2XXT H , H是对称矩阵.
HH T H 2 E 2XX T 2 E 4XXT 4 XXT XXT E 4XXT 4X XT X XT
E 4XX T 4XX T E.
1.55 2.1 2.6
C (cik )32, A (aij )32, B (bjk )22
•而
2
cik aijbjk j 1
• （即A的第i行与B的第k列对应相乘再相加）
三、矩阵与矩阵相乘 定义 设 A = ( aij ) m×s , B = ( bij ) s×n ,
则 A 与 B 的乘积 C＝AB = ( cij ) m×n
A
a21
a22
am1
am 2
a1n
a2n
amn
b11 b12
B
b21
b22
bm1 bm2
b1n
b2n
bmn
a11 b11
A
B
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n
a2n
b2n
amn
bmn
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
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第2章Matlab及其应用2.1 MATLAB的基本矩阵运算2.2 MATLAB的变量2.3 关系和逻辑运算2.4 矩阵操作2.1、MATLAB的基本矩阵运算2.1.1 简单矩阵输入1、命令行简单键盘输入用于很少数据输入矩阵的方向：, ; NaNInf2、文件形式输入文本文件：从文本文件中读入数据mat文件：matlab自有的数据格式>> B=[1 2 3; 4 5 6]B =1 2 34 5 62.1.2 语句生成矩阵1、线性等间距格式矩阵（1）X=起始值：增加值：结束值（2）linspace命令a=linspace(1,10,5);（3）logspace命令b=logspace(0,2,10)2、矩阵连接c=[a b];生成矩阵的函数zeros ones eye randn2.1.3 矩阵运算1、矩阵的运算符＋：加法－：減法*：乘法；点乘：.*/：右除；右除：./\：左除；左除：.\^：乘方2、矩阵的转置等运算’ 共轭转置；.’ 转置inv：矩阵求逆det：求行列式值eig：求特征值与特征向量1/ () ; \ () :()*; \a ba b a bb aAx bx A b Inv A b x A b-======除法左除法對矩陣运算规则：从左到右；先乘除后加减；乘方运算符最高（1）两矩阵加减，前提是维数相同，进行加减运算时，对应的元素进行加减；（2）矩阵与标量加减，用矩阵中的每个元素都与标量进行加减运算；（3）两矩阵相乘，前提是前一矩阵的列等于后一矩阵的行，与数学约定一样；（4）矩阵与标量相乘，用矩阵中的每个元素都与标量进行相乘；（5）矩阵中的元素对元素的相乘：.*矩阵中的元素对元素的相除：./ .\z=x.^y x,y均为向量：z(i)=x(i) ^y(i)x为向量,y为标量：z(i)=x(i) ^yx为标量,y为向量：z(i)=x^y(i)2.1.4 矩阵的超越函数函数名含义abs绝对值或者复数模sqrt平方根real实部imag虚部conj复数共轭round4舍5入到整数fix舍入到最接近0的整数floor舍入到最接近-∞的整数ceil舍入到最接近∞的整数函数名含义sign符号函数rem留数sin正弦cos余弦tan正切asin反正弦acos反余弦atan反正切atan2第四象限反正切函数名含义sinh双曲正弦cosh双曲余弦tanh双曲正切exp自然指数log自然对数log10以10为底的对数2.2 关系和逻辑运算1、关系操作符(1)MATLAB常用的关系操作符有：<(小于)、<=(小于或等于)、>(大于)、>=(大于或等于)、= =(等于)、~=(不等于)。
(2)MATLAB的关系操作符可以用来比较两个大小相同的数组，或者比较一个数组和一个标量。
在与标量比较时，结果和数组大小一样。
(3)如果满足指定的关系，返回1，否则返回0。
»a=1:9;b=a>4b =0 0 0 0 1 1 1 1 1»c=a(a>4)c =5 6 7 8 92 、逻辑操作符(1)逻辑操作符定义了一种与或非的关系表达式。
MATLAB的逻辑操作符有&(与)、|(或)、~(非)(2)所有逻辑运算符连接的两个操作数或者同维、同大小，或者其中一个为标量。
(3)逻辑运算符都是对元素的操作，每个非零元素都当作“1”处理，逻辑运算的结果是由1和0构成的矩阵。
例如：»c=~(a>4)c =1 1 1 1 0 0 0 0 0»c=(a>4)&(a<7)c =0 0 0 0 1 1 0 0 0与逻辑运算有关的函数函数：（1）all(A)：c=all(x)，则c=1，向量x中全为非零元素；c=0，向量x中含有零元素（2）any(A)：c=any(x)，则c=1，向量x中含有非零元素；c=0，向量x中全为零元素2.3、矩阵操作2.3.1 矩阵下标1、MATLAB通过确认下标，可以对矩阵进行插入子块、提取子块、删除子块（删除某些行列）和重排子块的操作。
>>B=[1 2 3;4 5 6; 7 8 9];>>B(2,: )=[]>>B=1 2 37 8 92、为了提取矩阵a的第n行、第m列的元素值，使用a(n,m)可以得到。
同样，将矩阵a的第n行、第m列的元素值赋为r，使用a(n,m)=r这样的命令。
注意:在提取矩阵值时，行或列的值大于矩阵的大小，则出错；在给矩阵赋值时，如果行或者列超出矩阵的大小，则MATLAB自动扩充矩阵的规模，使得可以赋值，扩充部分以零填充。
3、利用矩阵下标，MATLAB还提供了子矩阵功能。
同样是上面的a(n,m)，如果n和m是向量，而不是标量，则将获得指定矩阵的子块.4、同样，矩阵的子块还可以被赋值。
如果在取子块时，n或m是“:”，则返回指定的所有行或列。
5、矩阵的序号编址：按列计数。
2.3.2矩阵大小1、在MATLAB命令行中，使用whos命令可以查看到所有变量的大小。
2、为了获得矩阵或者向量的大小，MATLAB还提供了两个有用的函数size和length。
3、size按照下面的形式使用：[m,n]=size(a,x)。
一般的，（1）不用参量x时：当只有一个输出变量时，size返回一个行向量，第一个数为行数，第二个数为列数；如果有两个输出变量，第一个返回量为行数，第二个返回数为列数。
（2）当使用x时：x=1返回行数，x=2返回列数，这时只有一个返回值。
4、length返回行数或者列数的最大值，即length(a)=max(size(a))。
2.3.3 矩阵操作函数MATLAB提供了一组执行矩阵操作的函数，例如：flipud(a)使得矩阵上下翻转，fliplr(a)使得矩阵左右翻转2.3.4 矩阵查找和排序1、子矩阵的查找使用find命令完成，它返回关系表达式为真的下标。
例如：»a=10:20;»find(a>15)ans =7 8 9 10 112、矩阵的排序使用sort函数，它将矩阵按照升序排列。
2.4 时间和日期1、日历函数:calendar2、时间函数:clock3、查看CPU 时间:cputime4、日期函数:date5、秒表定时:tictoc2.5退出和保存工作空间：1 、save：工作空间中的所有变量保存在磁盘上名为matlab.mat的文件中。
2 、save [文件名] [变量名]将指定的变量保存在指定的文件中。
如：>>save temp x y z把x y z这3个变量保存在文件temp.mat中。
3、下次加载MATLAB时，可以利用load命令将保存在文件中的变量恢复到工作空间中，其格式为：（1）load将保存在matlab.mat中的变量装入到matlab空间中。
（2）load [文件名] [变量名]从指定文件中将指定的变量装入到matlab的工作空间中。
如：>>load temp x从文件temp.mat 中只将变量x装入到matlab的工作空间中。
2.6 Matlab的变量1、基本运算变量逗号、分号的意义行内编辑、注释、运算规则2、变量要求变量区分字母的大小写名字不能超过31个字符变量必须以字母开头，之后可以是任意字母、数字或者下划线变量中不能含有标点符号2.6.1 特殊变量特殊变量取值ans用于结果的缺省变量名pi圆周率eps计算机的最小数inf无穷大如1/0nan不等量如0/0i j i=j=1nargin函数的输入变量数目nargout函数的输出变量数目realmin最小的可用正实数realmax最大的可用正实数2.6.2 复数不需要特殊的处理，可以直接进行。
复数可以表示为：a=10-9i2.6.3 MATLAB数据类型:双精度型、字符型、稀疏型、单元型、结构型、8位型最常使用的是双精度型和字符型；稀疏型用于稀疏矩阵；单元型和结构型用于编写大型软件；8位型（6.0以上版本：16位型、32位型）用于图象处理。
1、双精度型(double):在缺省情况下，当结果为整数，作为整数显示；当结果为实数，以小数后4位的精度近似显示。
如果结果中的有效数字超出了这一范围，以科学计数法显示结果。
2、字符型(char):>> a=['sss';'bbb']a =sssbbb（1）字符数组的定义：字符数组就是字符串，字符串中的每一个字符在系统内部都相应地表示一个数值。
a='You are welcome!'a =You are welcome!size(a)ans =1 16相关函数A、函数disp用来显示字符串：disp('Hello') HelloB、判断一个变量是否为字符型数组，可以用函数class或ischar。
x=class(a)y=ischar(a)x =chary =1（2）字符与数值的相互转换：double：将一个字符串转换为一个数值char：将数值转换为字符串s='Good morning!'s1=double(s)s2=char(s1)s =Good morning!s1 =71 111 111 100 32 109 111 114 110 105 110 103 33s2 =Good morning!（3）字符串的比较A、strcmp：判别两个字符串是否相等B、strncmp：判别两个字符串的前n个字符是否相等s1='glisten';s2='glitter';a1=strcmp(s1,s2)a2=strncmp(s1,s2,3)a1 =a2 =1（4）二维字符数组：创建二维字符数组时，每行的长度要相等。
如果字符串长度不等，可以用空格充填较短的字符串。
例如：s=['abc ';'defg']s =abcdefg用char函数创建二维字符数组比较方便。
当字符串长度不等时，char函数可以自动地在较短的字符中加上一定数量的尾部空格，使其与最长字符串的长度相等。
例如：y=char('abc','defg','abcde') z1=length(y)z2=size(y)y =abcdefgabcdez1 =5z2 =3 53、稀疏型(sparse):含有大量0的矩阵，称为~矩阵。
只存储矩阵中的非0元素>>speye(4) 生成单位稀疏矩阵ans =(1,1) 1(2,2) 1(3,3) 1(4,4) 14、单元型(cell):把不同类型的数据存储在一起的数组称为单元数组。