矩阵代数
矩阵代数的基本概念与应用
矩阵代数的基本概念与应用矩阵代数是现代数学的一个重要分支，是数学、物理、工程等领域中不可或缺的工具。
在计算机图像、多维数据分析、神经网络及人工智能等领域，矩阵代数的应用越来越广泛。
一、矩阵的定义及运算矩阵是一个由数个数构成的矩形排列，即由$m$行$n$列的数排成一个$m\times n$的矩形，通常用大写字母表示，如$A$，$B$等。
矩阵的加法：设$A=(a_{ij})$,$B=(b_{ij})$是同型矩阵，则$A+B=(a_{ij}+b_{ij})$。
矩阵的数乘：设$k$是一个实数，则$kA=(ka_{ij})$。
矩阵的乘法：设$A=(a_{ij})$是$m\times n$矩阵，$B=(b_{ij})$是$n\times p$矩阵，则$AB=C$是$m\times p$矩阵，其中$c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$。
矩阵的转置：设$A=(a_{ij})$是$m\times n$的矩阵，则$A^T=(a_{ji})$是$n\times m$的矩阵。
二、矩阵的行列式及特征值矩阵的行列式：设$A=(a_{ij})$是$n$阶矩阵，则$A$的行列式$\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n}(-1)^{\sigma}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}$，其中$S_n$表示$n$个元素的置换群。
矩阵的特征值和特征向量：设$A=(a_{ij})$是$n$阶矩阵，若存在一个非零向量$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$和一个标量$\lambda$，使得$Ax=\lambda x$，则称$\lambda$是$A$的一个特征值，$x$是对应于$\lambda$的特征向量。
三、矩阵的求逆矩阵的逆：设$A$是$n$阶方阵，若存在一个$n$阶方阵$B$，使得$AB=BA=I$，则称$B$是$A$的逆矩阵，$A$可逆。
大学线性代数2矩阵代数知识点总结
2矩阵代数1. 设A，B为可以相乘的矩阵，AB的每一列都是A的各列的线性组合，以B的对应列的元素为权。
同样，AB的每一行都是B的各行的线性组合，以A的对应行的元素为权。
例如，AB的第m列是以B的第m列为权的A的各列的线性组合；AB的第n行是以A的第n行为权的B的各行的线性组合。
2. 矩阵乘法恒等式：I m A = A = AI n3. 逆矩阵的概念仅对方阵有意义。
4. 若A可逆，则对每一R n中的b，方程Ax=b有唯一解x=A-1b5. 初等矩阵：将单位矩阵进行一次初等行变换所得的矩阵。
6. 对mxn矩阵A进行初等行变换所得的矩阵，等于对单位矩阵进行相同行变换所得初等矩阵与A相乘的结果。
设对单位矩阵I m进行初等行变换所得初等矩阵为E，对A进行相同初等行变换的结果可写为EA。
因为初等行变换可逆，所以必有另一行变换将E变回I。
设该“另一行变换”对应初等矩阵为F，结合上一行，F对E的作用可写为FE=I。
因此，每个初等矩阵均可逆。
7. 当n阶方阵A行等价于I n时，A可逆。
此时，将A变为I n的一系列初等行变换同时将I n变为A-1。
8. 求A-1：将增广矩阵[A I] 进行行化简，若A可逆，则[A I] ~ [I A-1]将 [A I] 行变换为[I A-1]的过程可看作解n个方程组：Ax=e1, Ax=e2, ... Ax=e n这n个方程组的“增广列”都放在A的右侧，就构成矩阵[A e1 e2 ... e n] = [A I]如果我们只需要A-1的某一列或某几列，例如需要A-1的j列，只需解方程组Ax=e j，而不需要求出整个A-1。
[注：根据此条可以导出利用克拉默法则求逆矩阵的公式]9. 可逆矩阵定理对于n阶方阵，以下命题等价：a) A可逆b) A与n阶单位矩阵等价c) A有n个主元位置d) 方程Ax=0仅有平凡解e) A各列线性无关f) 线性变换x|->Ax是一对一的g) 对R n中任意b，Ax=b至少有一个解（有且仅有唯一解？）h) A各列生成R ni) 线性变换x|->Ax将R n映上到R nj) 存在nxn阶矩阵B，使AB=BA=Ik) A T可逆l) A的列向量构成R n的一个基m) ColA=R nn) dim(Col(A))=no) rank(A)=np) Nul(A)=0q) dim(Nul(A))=0r) det(A)≠0 <=> A可逆s) A可逆当且仅当0不是A的特征值t) A可逆当且仅当A的行列式不等于零再次强调，以上命题仅对n阶方阵等价。
矩阵代数ppt课件
对于一个给定的矩阵A，如果存在一 个非零向量x，使得Ax = λx成立，则 称x为矩阵A的对应于特征值λ的特征 向量。
特征值与特征向量的计算
定义法
根据特征值和特征向量的定义，通过解方程组Ax = λx来计算特征值和特征向量。
幂法
通过计算矩阵A的幂来逼近特征值和特征向量，即通过计算A^n x来逼近Ax = λx的解。
04
矩阵分解
矩阵的三角分解
总结词
三角分解是一种将一个矩阵分解为一个 下三角矩阵和一个上三角矩阵之和的方 法。
VS
详细描述
三角分解也称为LU分解，它将一个矩阵A 分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩 阵U的乘积，即A = LU。这种分解对于解 决线性方程组和计算行列式值等数学问题 非常有用。
矩阵的QR分解
谱分解法
将矩阵A进行谱分解，即A = Σλi Pi，其中Σ为对角矩阵，λi为特征值，Pi为特征向量所构 成的特征矩阵。通过谱分解可以方便地计算出矩阵A的特征值和特征向量。
特征值与特征向量的性质
特征值的唯一性
一个矩阵的特征值是唯一的，但对应于同一特征值的特征向量不一定唯一。
特征向量的正交性
对应于不同特征值的特征向量是正交的，即如果λ1≠λ2，那么对应于λ1和λ2的特征向量x1和x2是正交 的。
总结词
矩阵的加法、数乘、乘法运算规则
详细描述
矩阵的加法运算规则是对应行和列的元素相加，数乘运算规则是对应元素乘以一 个常数，乘法运算规则是按照一定的规则对应元素相乘。
矩阵的逆与行列式
总结词
矩阵的逆、行列式的定义与性质
详细描述
矩阵的逆是一个特殊的矩阵，与原矩阵相乘为单位矩阵，行列式反映了矩阵的某些重要性质。
代数和矩阵的转化
代数和矩阵的转化
摘要：
1.代数和矩阵的转化的背景和意义
2.代数和矩阵的基本概念
3.代数和矩阵之间的转化方法
4.代数和矩阵转化在实际问题中的应用
5.总结和展望
正文：
一、代数和矩阵的转化的背景和意义
代数和矩阵是数学中的两个重要概念，代数主要研究的是数和数之间的关系，而矩阵则主要研究的是线性方程组。
在实际问题中，代数和矩阵的转化能够帮助我们更好地理解和解决一些复杂的问题。
二、代数和矩阵的基本概念
代数是数学的一个重要分支，主要研究的是数和数之间的关系，包括加法、减法、乘法等。
矩阵则是代数的一种特殊形式，它是由一些数按照一定的规则排列组成的。
矩阵的主要作用是表示线性方程组，它能够清晰地表示出方程组中各个变量之间的关系。
三、代数和矩阵之间的转化方法
代数和矩阵之间的转化，主要是通过一些数学方法将代数问题转化为矩阵问题，或者将矩阵问题转化为代数问题。
常见的转化方法有高斯消元法、克莱姆法则等。
四、代数和矩阵转化在实际问题中的应用
代数和矩阵的转化在实际问题中有广泛的应用，比如在物理学、经济学、计算机科学等领域。
通过代数和矩阵的转化，能够更好地理解和解决一些复杂的问题，提高问题的解决效率。
五、总结和展望
代数和矩阵的转化是数学中的一个重要概念，它能够帮助我们更好地理解和解决一些复杂的问题。
矩阵代数简单介绍
线性代数复习1.1 矩阵的概念给定数域K 上nK 个数ij a ),,,2,1;,,2,1(n j m i ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=把它们按一定次序排成一个n 行K 列的长方形数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nK n n KK a a a a a a a a a A 212222111211 ，称为数域K 上的一个n 行K 列的矩阵，简称为K n ⨯矩阵。
其中ij a 称为矩阵的第i 行、第j 列的元素。
1k ⨯矩阵（只有一行）称为k 维行向量；1⨯n 矩阵（只有一列）称为n 维列向量。
零矩阵、方阵、对角矩阵、单位阵所有元素为零的矩阵称为零矩阵，记为0。
00,0==+A A A 。
如果矩阵的行、列数都是n ，则称A 为n 阶方阵；n 阶方阵A 的元素按次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记为|A|。
在n 阶方阵中，若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵，记为Λ；若对角矩阵的主对角线元素全为1，则称之为单位阵，记为I ；特别地，I λ称为数量矩阵1.2 矩阵的运算 ●矩阵的加、减运算以及数乘运算当矩阵A 和B 的行数和列数相等时，它们可以进行加、减运算；A ＋B 等于所有对应位置的元素相加、减。
数乘运算就是数k 乘矩阵A 中所有元素得到的矩阵。
AB B A +=+，)()(C B A C B A ++=++，A O A =+，OA A =-+)(，A A )()(kl l k =，AA A l k l k +=+)(，B A B A k k k +=+)(，A A =1，OA =0，A A -=-)1(．●矩阵相乘记sm ij a A ⨯=)(，ns ij b B ⨯=)(，nm ij c C ⨯=)(，且ABC =，那么A 和B 相乘得到的矩阵C 的元素可用公式表示为∑==sk kjikij b ac 1，),,1;,,1(n j m i ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=。
注意，在一般情况下矩阵乘法不满足交换律和消去律，即BAAB ≠；ACAB A =≠且0不能推出CB =。
矩阵代数概述
矩阵代数概述一、基本定义定义1：矩阵：一个矩阵就是一个矩阵数组，更准确地讲，一个m*n 维矩阵就有m 行和n 列。
正整数m 被称为行维数，n 被称为列维数。
111212122212n n ij m m mn a a a a a a A a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦定义2：方阵方阵具有相同的行数和列数。
一个方阵的维数就是其行数和列数定义3：向量（1）一个1*m 的矩阵被称为一个（m 维）行向量，并可记为：[]12,,...,m x x x x ≡（2）一个n*1的矩阵被称为一个（n 维）列向量，并可记为：12n y y y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥≡⎢⎥⎢⎥⎣⎦定义4：对角矩阵当一个方阵A 的非对角元素都为零时，它就是一个对角矩阵。
我们总能将一个对角矩阵写成：1122000000ij mn a a A a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦定义5：单位矩阵和零矩阵（1）用I （或为了强调维数而用I n ）表示的n*n 单位矩阵就是对角位置都是1，而其它位置都是0的对角阵；10002000n I I n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=≡⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）一个用0表示的m*n 零矩阵，就是所有元素都为零的m*n 矩阵。
它并不一定是方阵。
二、矩阵运算1. 矩阵加法两个都是m*n 维的矩阵A 和B 可通过对应元素相加而相加：A+B=[a ij ]+[b ij ]。
更准确地，有：111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦数值例子：说明：不同维数的矩阵不能相加2. 数乘给定任意一个实数k （常被称为一个数量），数乘被定义为kA=[ka ij ]数值例子：3. 矩阵乘法为了使矩阵A 乘以矩阵B ，得到AB ，A 的列维数和B 的行维数必须相同。
第三讲 矩阵的代数运算
第三讲 矩阵的代数运算教学目的：讲解矩阵的代数运算第一部分：加法、数乘、乘法，重点是乘法； 教学内容：第二章 矩阵 § 2.2 矩阵的代数运算（一 ～ 三节）； 教材相关部分：§ 2.2 矩 阵 的 代 数 运 算（1）一、矩阵的加法定义2.2 设矩阵n m ij a A ⨯=)(、n m ij b B ⨯=)(，则A 与B 可加，规定其和为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=+mn mn n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a B A221122222221211112121111 (2.9) 根据定义容易验证矩阵的加法满足下列运算律（O C B A ,,,都是同规格矩阵）： （1）交换律： A B B A +=+；（2）结合律： )()(C B A C B A ++=++；（3）若n m ij a A ⨯=)(，则存在矩阵n m ij a A ⨯-=-)(，满足O A A =-+)(。
称A -为A 的负矩阵。
由此可以定义矩阵减法为： )(B A B A -+=-。
二、数与矩阵相乘（“数乘”）：定义2.3 设矩阵n m ij a A ⨯=)(，λ是一个数，规定矩阵的数乘为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===mn m m n n ij a a a a a a a a a a A A λλλλλλλλλλλλ212222111211)( (2.10)矩阵的数乘满足下列运算律（设B A ,为同规格矩阵，μλ,为数）： （1）交换律：λλA A =；（2）结合律： )()()(A A A λμμλλμ==； （3）第一分配律： B A B A λλλ+=+)(； （4）第二分配律： A A A μλμλ+=+)(。
说明：同规格矩阵的加减运算以及数乘可以统一定义为：()n m ij ij b a B A ⨯+=+λμλμ， (2.11)称为矩阵的线性运算，加法、减法、数乘都是它的特例。
高等代数课件北大版第四章矩阵
高等代数课件(北大版)第四章矩阵第一节：矩阵的概念及基本运算矩阵是现代数学的重要基础，是线性代数理论的核心概念之一。
在数学和应用领域有着重要的应用价值。
1.1 矩阵的定义定义1.1：矩阵是一个有规律的数表，其中的每一个数称为矩阵的一个元素，通常用一个大写字母表示。
例如:$$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$$其中 $a_{ij}$ 称为矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素。
1.2 矩阵的基本运算1.2.1 矩阵的加法定义1.2：设 $A=(a_{ij})_{m \times n},B=(b_{ij})_{m \times n}$，则其和 $C=A+B$ 定义为矩阵 $C$ 的元素为 $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$。
例如：$$A=\begin{pmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\7 & 8 & 9\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}-1 & -2 & -3 \\-4 & -5 & -6 \\-7 & -8 & -9\end{pmatrix},$$则 $C=A+B$ 得：$$C=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$1.2.2 矩阵的数乘定义1.3：设 $A=(a_{ij})_{m \times n}$，$k \in K$，则矩阵 $kA$ 定义为矩阵 $kA$ 的元素为 $ka_{ij}$。
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A B {aij bij}
3、系数相乘 A {aij} ,其中 为一实数。
4 矩阵相乘 令Amn {aij}，Bnp {bij}，那么C AB是一个m p 的
矩阵，其中(i, j) 第个元素为 cij
。 a b n
k 1 ik kj
ai1b1 j aib2 j L
ainbnj
3 7 1
A
2 6
1 4 1
1 4 1
B
2
0
6
3 7 1
有 B A
3、如果 A的某行（列）中的每个元素都乘以一个实数 而 得到 B ，有：
B A
3 7 1
A
2
0
6
1 4 1
有 B 2 A
4、 Ann n A
37 1
B
4 1
0 4
12 1
3 7 1
32
A13
1
4
12 2 10
c13 (1)13 A13 1g10 10
26 A32 3 3 6 18 12
c32 (1)32 A32 (1)g(12) 12
• 定理 令 A 为 n n矩阵，有
n
A aijcij 对于每个i, (由i行展开) j 1
n
aijcij 对于每个j, (由j列展开) i 1
2 3 4 r1r1r3
234
• 定理 令A {aij}为n n 矩阵，cij为aij 的代数余子式，有
aijckj 0 i k j
aijcik 0 j k i
该结论经常被称为“利用异代数余子式进行展开”
1.3 矩阵的逆
在实数体系中，对于任意实数a 0 ，总存在一个数a1 ，a
• 步骤 • 如果矩阵的某一行或者某一列中有多个零，可以用此行或
者此列对行列式进行展开。
• 行列式的性质
1、 A A
3 7 1
A
2
0
6
1 4 1
3 2 1
3 2 1
A
7
0
4
1 6 1
371
7 0 4 2 0 6
1 6 1 1 4 1
2、任意两行或者两列进行交换会使得行列式的符号发生 改变。
第一章 矩阵代数
• 本章先介绍一些矩阵的基本概念，引入矩 阵的基本运算和一些常见矩阵，然后介绍 行列式和矩阵的逆，接着介绍作为特殊矩 阵——向量的线性相关性以及矩阵的秩， 最后作为补充介绍克罗内克乘积和矩阵向 量化
1.1 基本概念
• 矩阵是元素的矩形组合。
a11 a12 L a1n
Amn
a21
用 Aij 表示去除 i 行 j 列后矩阵A 的子行列式。
aij 的代数余子式记为 cij ，cij (1)i j Aij 。
例
2 4 6
A
3
2
3
1 4 9
则
23 A11 4 9 18 12 6
c11 (1)11 A11 1g6 6
33
A12
1
9
27 3 24
c12 (1)12 A12 (1)g24 24
M
a22 L ML
a2n
M
am1 am2 L amn
用大写字母表示矩形，用下标表示其行数和列数;用小写 字母表示其中元素，用元素的下标表示该元素在矩阵中所 占据的位置。
• 基本矩阵运算
1、相等
， ，当且仅当 时， Amn {aij} Bmn {bij}
aij bij
AB
2、相加
， ，则 Amn {aij} Bmn {bij}
a21
a22
a23
a31 a32 a33
A a11a22a33 a12a21a33 a12a23a31 a13a22a31 a13a21a32 a11a23a32
• 利用代数余子式对行列式进行展开 定义
如果去掉A 的一行一列，我们可以得到一个 A的 n 1n 1 阶子矩阵。取该子矩阵的行列式，我们就得到 A 的一个子 行列式。
将（1.1）完整的写出，有：
A ai1ci1 ai2ci2 L aincin
将（1.2）完整的写出，有：
A a1 jc1 j a2 jc2 j L anjcnj
（1.1） （1.2）
•例 在上例中
A a11c11 a12c12 a13c13 2g6 4g(24) 6g10 12 96 60 24
• 特殊矩阵 1、单位矩阵 主对角线上元素为1而其余元素为0的方阵 2、系数矩阵 系数矩阵可表示为Inn ，其中 为系数
3、对角矩阵
0
I {ij} O
0
4、零矩阵
1 0
D
{iij
}
O
0 n
所有元素都为零的矩阵，常用一个大写的零
加以表示。
5、幂等矩阵 如果 AA A，则 A 为幂等矩阵 6、向量 行向量是一个1 n的矩阵而列向量是一个 m1的 矩阵
向量x和向量y间的欧几里德距离：
d(x, y) (x1 y1)2 (x2 y2 )2 L (xn yn )2
第二节 行列式
• 引言
行列式 ： A ，det A
1、2 2情形
A
a11 a21
a12
a22
A a11a22 a12a21
2、 33情形
a11 a12 a13
A
例1
123
7 0 1
547
11 0 3
4 1 1 r1r12r3
4 11
r2 r24r3
1g(1)32 7 1 11 3
1g(2111) 10
例2
2468
2 0 0 0
3234 1493
3234
1493
2 2 3 4 r1r12r4
234
2234 000
2g(1)11 4 9 3
2 4 9 3 0
注意：1、矩阵乘法的相容性
2、矩阵乘法不遵循交换律
5 矩阵的迹 只有方阵才有迹，方阵A 的迹tr A为其主对角线
元素之和：
n
tr A aii i 1
6 矩阵的转置 A ，将 A 的行与列互换即可得
如果 A A ，则 A 是对称的
转置规则： （i）(A) A （ii）(A B) A B （iii） (AB) BA （iv） AA 和 AA 是对称的
的倒数，使得 aa1 a1a 1
那么这种性质在矩阵中是否存在呢？对于给定矩阵 A ，是 否存在矩阵A1 使得：
A
2 0 6
1 4 1
6 14 2
C
4 2
0 8
12 2
有
C 23 A
8 A
5、 如果 A 和B 都是 n n阶的， AB BA AgB
6、将一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式不变。
性质（6）使得我们能够回答在本节前面所提出的问题。
• 步骤
如果 A 中没有零，则用一行（列）的倍数加到另一行 （列）上以使得其出现尽可能多的零。