矩阵基本知识

信息工程学院主讲人谢宏《线性代数》行列式向量的基本概念和运算维数、向量加法、数乘、内积矩阵的基本概念和运算维数、矩阵加法、数乘、矩阵乘法方阵、逆矩阵、正交矩阵、对称阵、相似矩阵 特征值与特征向量线性方程组的解：解空间《线性代数》 向量空间与线性变换线性无关、基底、欧式空间、线性变换 二次型多元二次函数、标准形、二次型的对角化矩阵(Matrix )矩阵是数域F 上的m ×n 个数构成的数表：称为F 上m 行、n 列的矩阵，记为A称为A 的第i 行、第j 列元素，记为(A )ijmnm m n n a a a a a a a a a212222111211F a ij ∈i = 1, …, m , j = 1, …,nijij a A =)(continue ）数域F 上的一切m 行、n 列的矩阵的集合，记为： 若，，则称矩阵A 与B 同型数域（Field ）若数集F 含有数1且对四则运算封闭，则称F 为数域 映射（Mapping ）若，，若存在一个对应关系（或对应法则）: ，有Y 中的唯一的一个元素y 与之对应，就称给出了一个从X 到Y 的一个映射f ，记作：f :X →Y ，或y =f (x )映射是函数概念的推广，它与函数、算子、变换表示的是同一个概念特别地，当Y 为数集(实数集R 或复数集C )时，称f 为定义在集合X 上的泛函（functional ）n m F ⨯n m F A ⨯∈n m F B ⨯∈φ≠X φ≠Y X x ∈∀continue ）直积集设A ，B 是给定的集合，称为A 与B 的直积集，简称积集、直积举例：，，那么表示XOY 平面上矩形中点的集合表示XOY 平面上所有点的集合A ×B 中的元素被称为有序对，即当时，直积集的概念可被推广到两个以上给定的集合：{}B y A x y x ∈∈,:),(B A ⨯R b a A ∈=],[R d c B ∈=],[],[],[d c b a B A ⨯=⨯2R R R =⨯21212211,),(),(y y x x y x y x ==⇔=y x ≠),(),(x y y x ≠{}n n n n A x A x A x x x x A A A ∈∈∈=⨯⨯⨯,,,:),,(22112121 ∏=n i iA1记为：continue ）代数运算如果通过法则ϕ，，得到唯一的，则称ϕ为A 与B 的直积集到C 的一个代数运算：称c 为和经运算ϕ得出的结果，记为： 集合A 对运算ϕ封闭：若ϕ是的一个代数运算，则称集合A 对运算封闭 N 和Z 不是数域Q 、R 和C 都是数域Q 是最小的数域C 是最大的数域C c ∈B b A a ∈∀∈∀,CB A →⨯:ϕb a c ϕ=A a ∈B b ∈A A A →⨯continue ）在矩阵的定义的基础上，可定义矩阵相等、负矩阵、零矩阵、方阵、单位阵、对角阵、逆矩阵等矩阵相等设，，若，i = 1, …, m , j = 1, …, n, 则称矩阵A 与B 相等，记为A = B负矩阵对, 称-A 为A 的负矩阵 零矩阵元素全为零的矩阵，称为零矩阵，记为On m FA ⨯∈n m FB ⨯∈ij ij B A )()(=n m ij F a ⨯∈-)(n m ij Fa A ⨯∈=)(continue ）方阵（Square matrix ）行数和列数相同的矩阵称为方阵，行数为n 的方阵称为n 阶方阵。

对方阵，又定义了主对角线元素、副对角线元素等概念：称为主对角线元素称为副对角线元素对角阵（diagonal matrix ）除了主对角线元素以外，其余元素均为0的方阵，称之为对角阵。

单位阵（Identity matrix ）主对角线元素全为1的对角阵，称之为单位阵。

简记为I 。

n 阶单位阵记为nn a a a ,,,2211 n n n a a a 11,21,,, nI矩阵加法：设，称为矩阵A 与B 之和。

矩阵加法是的代数运算，性质：交换律：A + B = B +A结合律：(A + B ) + C = A + (B + C )A + 0 = 0 + A = AA+ (-A ) = (-A ) + A = 0矩阵减法：设，称为矩阵A 与B 之差。

m xn ij F a A ∈=)(m xn ij F b B ∈=)(m xn ij ij F b a B A ∈+∆+)(mxn mxn mxn F F F →⨯mxn F A ∈mxnF B ∈m xn F B A B A ∈-+=∆-)(Continue ）数乘矩阵：设，称为λ与之积。

推论数乘矩阵是的一个代数运算，性质：1。

2。

分配律3。

分配律4。

结合律矩阵乘法:设,令F ∈λm xnij F a A ∈=)(m xn ij F a A ∈∆)(λλ:)1(A A -=-mxn mxn F F F →⨯AA =1B A B A λλλ+=+)(AA A 2121)(λλλλ+=+)()()(211221A A A λλλλλλ==,)(m xnij F a A ∈=nxpijF b B ∈=)(Fb a b a b a b ac nk kj ik nj in j i j i ij ∈=+++=∑=12211 ,,,1m i =.,,1p j =Continue ）称, 为A 与B 之积(1)A 的列数= B 的行数;(2)AB 的行数为A 的行数,列数为B 的列数;(3)AB 的i 行j 列元素为A 的i 行元素与B 的j 列对应元素之积之和举例：m xp ij F c AB ∈∆)(⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1214A ()1011-=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1011202210114044AB ()4-=BAContinue ）AB≠BA ：矩阵乘法不满足交换律A ≠ 0；B ≠ 0，但AB = 0。

矩阵乘法是的一个代数运算，它有以下性质：1°(AB )C =A (BC )结合律2°(A + B )C = AC + BC 分配律A (B +C ) = AB + AC 分配律3°(λA )B = A (λB ) = λ(AB ) 结合律4°A 是方阵：AI = IA = Amxp nxp mxn F F F →⨯0000042213612=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3612A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4221B F∈λ(Continue)方阵的幂（Power)设, 称为A 的k 次幂，并定义因为矩阵乘法满足结合律，所以又因矩阵乘法不满足交换律，一般地：,nxn F A ∈N k ∈ 个k k A AA A ∆I A ∆021212121)(,k k k k k k k k A A A A A ==+kkkBA AB ≠)(2222))((B A B BA AB A B A B A -≠-+-=-+转置矩阵（Transposed matrix ）可将对矩阵行与列的研究，转化为对其中之一的研究设, 称为A 的转置矩阵，有的教科书上记为, 易见：转置矩阵具有以下性质：(可用数学归纳法推广至多个矩阵的情形)m xn ij F a A ∈=)(mn mn nnm m TF a a a a a a a a a A ⨯∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=212221212111A 'jiij TA A )()(=AA TT =)(TT AA λλ=)(TTTBA B A +=±)(T T T A B AB =)(F∈λ分块矩阵用水平线或垂直线将矩阵分成若干个小矩阵，并将A 视为以这些小矩阵为元素组成的矩阵，称之为A 的分块矩阵，其中的每个小矩阵称为A 的子矩阵。

一般用表示r 行s 列的分块矩阵，A ij 为其第i 行第j 列上的子矩阵, i = 1, …, r , j = 1, …, s分块矩阵的相等若两个分块矩阵恢复成普通矩阵是相等，则称此两分块矩阵相等对、用相同的划分法分为分块矩阵，则矩阵加法、减法和数乘矩阵的法则可推广到分块矩阵上mxn F A ∈s r ij A ⨯)(mxn F A ∈mxn F B ∈其中，, 则1。

2。

将的列，的行用相同的划分法划分为分块矩阵，则矩阵乘法可推广到分块矩阵上。

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=rs r r s s A A A A A A A A A A 212222111211sn 2n 1n1m 2m rm ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=rs r r s s B B B B B B B B B B 212222111211sn 2n 1n1m 2m rm m m m m r =++ 21n n n n s =++ 21s r ij ij B A B A ⨯±=±)(s r ij A A ⨯=)(λλF∈λmxn F A ∈mxnF B ∈令, 其中i = 1, …, r , j = 1, …, s ，则分块矩阵的转置欲求分块矩阵的转置，只要将其对应行列互换，然后将其中的每个子矩阵转置即可⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=rs r r s s A A A A A A A A A A 212222111211sn 2n 1n1m 2m rm ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=st s s t t B B B B B B B B B B 212222111211tp 2p 1psn 2n 1n ji p m sq qjiq ij F B A C ⨯=∈=∑1tr ij C AB ⨯=)(则其转置矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=rs r r s s A A A A A A A A A A212222111211sn 2n 1n1m 2m rmm m m m r =++ 21nn n n s =++ 21sn 2n 1n ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=T rs T s T s T r T t r TTA A A A A A A A A A 212221211211nm F ⨯∈mn F ⨯∈1m 2m rm矩阵的秩矩阵A 的k 阶子式设，在A 中任取k 行、k 列位于这些行列相交处的元素构成的k 阶行列式称为矩阵A 的一个k 阶子式若，A 中非零子式的最高阶数r 称为A 的秩，记为：若，则定义 F 上所有m 行n 列且秩为r 的矩阵的集合记为： 若，称A 是行满秩的；否则称A 是行降秩的，即r < m 若，称A 是列满秩的；否则称A 是列降秩的，即r < n方阵与其行列式的关系:: rankA = n ，称方阵满秩、非奇异: rankA < n ，称方阵降秩、奇异mxnFA ∈)),min(1(n m k ≤≤nm FA ⨯∈=00rank ∆A Ar rank =nm r F ⨯n m m F A ⨯∈n m nFA ⨯∈0det ≠A 0det =A 0≠A矩阵的秩(Continue)矩阵的秩的性质矩阵与其转置矩阵的秩相等： 初等变换不改变矩阵的秩，则：满秩方阵的乘积仍满秩可经有限次初等变换化为且A 可表示为其中，、, i = 1, …, r,j = 1, …, t 是F 上的初等阵推论：数域F 上的满秩阵可被分解为F 上的初等阵之积可经初等行（列）变换化为单位阵，而单位阵在同样的行（列）变换下化为AA Trank rank =n m r ij F a A ⨯∈=)(n n n F B A ⨯∈,)rank ,min(rank )rank(B A AB ≤n n n F AB ⨯∈nm r I T ⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000ts Q Q TQ P P P A 2112=s P t Q nI T →n n nFA ⨯∈1-A方阵的逆(Inverse )对，若存在同阶方阵B ，使得AB = BA = I则称A 可逆，并称B 为A 的逆矩阵，简称为A 的逆，记为伴随矩阵(Adjacent matrix )对，为det A 中元素a ij 的代数余子式，则称为A 的伴随矩阵，det A 为方阵A 的行列式（determinate ）伴随矩阵的性质：若，则n n F A ⨯∈1-A nn nn n n n n F a a a a a a a a a A ⨯∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆ 212221212111*nn FA ⨯∈nn F A ⨯∈IA A A AA )(det **==ij a adj A(Continue)逆存在的条件：方阵有逆的充分必要条件为：且满足此条件时，A 有唯一的逆：若，则称A 是满秩的（或称A 是非奇异的），否则，称A 是降秩的（或称A 是奇异的）逆的性质若，，则：：可推广至有限个满秩方阵相乘的情形0det ≠A nn nF A AA ⨯-∈=*1det 1n n F A ⨯∈0det ≠A nn F A ⨯∈nn F B ⨯∈A A det 1det 1=-T T A A )()(11--=A A A A det 1)()(*11*==--111)(--=A A λλ111)(---=A B AB齐次方程组解的结构解集的几何特征设W是F上齐次线性方程组AX =0所有解的集合，r＝rank A，n=dim(X), 则1.W是( 或）的子空间2.；3.若A由初等行变换和某些列对换化为分块矩阵其中r <nnnrnrr FCI⨯-⨯∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(nF n R n CrnW-=dimContinue ）那么矩阵的n –r 个列向量是W 的基称W 为齐次线性方程组AX =0的解空间 解空间W 的基称为AX =o 的基础解系 F 上齐次线性方程组AX =o 的解是其任一基础解系的线性组合通常称为齐次线性方程组AX =0的通解或一般解0X rn -ξξξ,,,21 ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=----r n r n r n r n k k k k k X 1122110ξξξξξr n -ξξξ,,,21 )()(2211),(),(),(r n n r n r n r k k F I C j i I j i I j i I -⨯--⨯∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡- 0XContinue ）非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组的一个确定的解称为它的特解 F 上非齐次线性方程组的解X ，等于它的任一特解与其对应非齐次线性方程组AX = o 的通解之和X 通常称为非齐次线性方程组AX = B 的通解或一般解0X 1X 01X X X +=B AX =1,⨯⨯∈∈m n m rFB F A方阵的特征值与特征向量设，如果和，使得成立，则称λ为A 的特征值，称x 为A 的对应于特征值λ的特征向量特征矩阵设，称为A 的特征矩阵nn FA ⨯∈F ∈∃λn F x ∈≠∃0xAx λ=nn FA ⨯∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-nn n n n n a a aa a a a a a A I λλλλ212222111211Continue ）特征多项式特征矩阵的行列式称为A 的特征多项式特征方程设，称方程为A 的特征方程（首一的一元n 次方程）A 的特征值的等价定义：A 的特征方程在F 上的根称为A 的特征值有非零解。