快速傅里叶变换

N X 2 ( k ) X 2 (k ) 2
第4章 快速傅里叶变换（FFT）
(N k ) 2 又由于WN
k WN WN
N 2

k WN
,所以
N N N k N 2 X (k ) X 1 (k ) WN X 2 (k ) 2 2 2
k X 1 (k ) WN X 2 (k ),
X 1 (k ) x1 (r )W x(2r )W
r 0 rk 4 r 0
3
3
rk 4
k 0,1,2,3
第4章 快速傅里叶变换（FFT）
(2) n为奇数时,分别记作:
x2 (0) x (1), x2 (1) x (3), x2 ( 2) x (5), x2 (3) x (7);
k N
1 1
k WN
-1
N X ( k ) X 1 (k ) WNk X 2 (k ) (后一半) 2
5.计算工作量分析
按奇、偶分组后的计算量：
第4章 快速傅里叶变换（FFT）
由上图可知，N点DFT的复乘为N2 ;复加N(N-1); 与分解后相比可知,计算工作点差不多减少 一半。
第4章 快速傅里叶变换（FFT）
一个X(k)的值的工作量,如X(1)
0 1 X (1) x(0)WN x(1)WN x(2)WN2 x( N 1)WNN 1
nk 通常x(n)和 W 都是复数,所以计算一个 N X(k)的值需要N次复数乘法运算,和N 1 次 复数加法运算.那么,所有的X(k)就要N2次复 数乘法运算,N(N-1)次复数加法运算.当N很 大时,运算量将是惊人的,如N=1024,则要完 成1048576 次(一百多万次)运算.这样,难 以做到实时处理.
1
N 2
1
由于:
W e
2 N
2 j 2N
e
j 2 /( N ) 2
WN
2
所以,上式可表示为:
X (k )

r 0
N 2
1 rk k x1 (r )W N WN
2

r 0
N 2
1 rk k x2 (r )W N X 1 (k ) WN X 2 (k )
进行N / 2 4点的DFT，得X 2 (k )
X 2 (k ) x2 (r )W4rk x(2r 1)W4rk
r 0 r 0 3 3
k 0,1,2,3
X (k ) X 1 (k ) W X 2 (k )
k N
X (k 4) X 1 (k ) W X 2 (k ), k 0,1,2,3
x5 (l ) x2 ( r ) x ( n) x5 (0) x2 (0) x(1) x5 (1) x2 ( 2) x(5)
构成N/4点DFT，从而得到X5(0), X5(1)。
第4章 快速傅里叶变换（FFT）
(4) 将原序列x(n)的“奇中奇”部分:
x6 (l ) x2 ( r ) x( n) x6 (0) x2 (1) x(3) x6 (1) x2 (3) x (7)
第4章 快速傅里叶变换（FFT）
同样对n为奇数时，N/2点分为两个N/4点 的序列进行DFT，则有:
X 5 (k ) x2 (2l )W
l 0
N 4 N 4
1
lk N /4
lk x5 (l )WN /4 l 0 lk N /4
N 4
N 4
1
(奇中偶)
X 6 (k ) x2 (2l 1)W
k N
第4章 快速傅里叶变换（FFT）
(3)对X 1 (k)和X 2 (k)进行蝶形运算,前半部为 X(0) ~X(3),后半部分为X(4) ~X(7) 整个过程如下图所示:
x1(0)=x(0) x1(1)=x(2) x1(2)=x(4) x1(3)=x(6)
X1(0)
N/2点 DFT
X1(1) X1(2)
k X 1 ( k ) WN X 2 (k ) k X 1 ( k ) WN X 2 ( k )
前一半 后一半
(k 0,1, , N 2 1) (k
N 2
, , N 1)
（N/2个蝶形) 实现上式运算的流图称作蝶形运算
X 1 (k )
X 2 (k )
1 1
X (k ) X 1 (k ) W X 2 (k )(前一半)
构成N/4点DFT，从而得到X6(0), X6(1)。
（5）由 X3(0), X3(1), X4(0), X4(1)进行碟形运算,
得到X1(0), X1(1), X1(2), X1(3)。
（6）由 X5(0), X5(1), X6(0), X6(1)进行碟形运算,
2
第4章 快速傅里叶变换（FFT）
N 2
X 1 (k ) X 2 (k )

r 0
N 2
1 rk x1 ( r )W N
2

r 0
N 2
N 2
1 rk x(2r )W N
2

r 0
1 rk x2 (r )W N
2

r 0
1 rk x( 2r 1)W N
2
2.两点结论: (1) X1 (k),X2 (k)均为N/2点的DFT。 (2) X(k)=X 1(k)+WkN X 2(k)只能确定出 X(k)的k=0，1… N/2 -1个； 即前一半的结果。
第4章 快速傅里叶变换（FFT）
(2) 将原序列x(n)的“偶中奇”部分:
x4 (l ) x1 ( r ) x ( n) x4 (0) x1 (1) x ( 2) x4 (1) x1 (3) x(6)
构成N/4点DFT，从而得到X4(0), X4(1)。 (3) 将原序列x(n)的“奇中偶”部分:
l 0
1
lk x6 (l )WN /4 l 0
1
(奇中奇)
由X 5 (k )、X 6 (k )进行碟形运算，得：
N X 2 (k) X 5 (k) W X 6 (k) ; k 0,1,, 1 4 N N k X 2 ( k) X 5 (k) WN/2X 6 (k) ; k 0,1,, 1 4 4
k 0,1,, N 1 2
可见,X(k)的后一半，也完全由X1(k), X2 (k)的前一半所确定。 *N点的DFT可由两个N/2点的DFT来计 算。
第4章 快速傅里叶变换（FFT）
4.蝶形运算
由X1(k)、X 2(k)表示X(k)的运算是一种特殊的运算-碟形运算
X (k ) X (k )
第4章 快速傅里叶变换（FFT）
N点
DFT
N/2点
DFT
N/4点 DFT
2点
DFT
1个
2个
4个
N/2个
问题是如何分最有效？可以对时间变量分 （DIT)，也可对频率变量分(DIF）
第4章 快速傅里叶变换（FFT）
§4-2
按时间抽取(DIT)的FFT算法 —库利-图基算法
一.算法原理(基2FFT)
(一)N/2点DFT 1.先将 x(n) 按n的奇偶分为两组作DFT,设N=2L , 不足时,可补些零。这样有: n为偶数时: n为奇数时:
第4章 快速傅里叶变换（FFT）
利用上述特性,可以将有些项合并,并 将DFT分解为短序列,从而降低运算次数,提 高运算速度.1965年,库利(cooley)和图基 (Tukey)首先提出FFT算法.对于N点DFT,仅需 (N/2)log2N 次复数乘法运算.例如N=1024=210 时， 需要(1024/2)log2 210 =512*10=5120次。 5120/1048576=4.88% ,速度提高20倍
(二) N/4点DFT 由于N=2 L ,所以 N/2仍为偶数,可以进 一步把每个N/2点的序列再按其奇偶部分 分解为两个N/4的子序列。
例如，n为偶数时的 N/2点分解为:
x1 (2l ) x3 (l ), 0,1,, N 4 1 x1 (2l 1) x4 (l ), 0,1,, N 4 1
第4章 快速傅里叶变换（FFT）
3.X(k)的后一半的确定
由于
WN
2
N 2
r (k N ) 2
WN
2
rk （周期性）,所以:
N X1( k ) 2

r 0
1
x1 (r )W
r( N 2 N 2
k )


r 0
N 2
1 rk x1 (r )W N X 1 (k )
2
同理, 这就是说,X1(k),X2(k)的后一半,分别 等于其前一半的值。
例如 N=8 时的DFT,可以分解为两个
N/2=4点的DFT.具体方法如下: (1)n为偶数时,即 x(0), x(2), x(4), x(6); 分别记作: x1 (0) x (0),
x1 (1) x ( 2), x1 ( 2) x ( 4), x1 (3) x (6);
进行N / 2 4点的DFT，得X1 (k )
N 2
N 1
n 0 (n为偶数) 1
nk N
x(n)W
N 2
N 1
n 0 (n为奇数) 1
nk N
2 rk ( 2 r 1) k x(2r )WN x(2r 1)WN r 0
N 2
r 0
2 rk k 2 rk x1 (r )(WN ) WN x ( r )( W 2 N) r 0 r 0
第4章
快速傅立叶变换（FFT）