最新精编高中人教A版必修五高中数学强化习题第一章解三角形章末复习课和答案

第一章章末复习课
课时目标
1．掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题． 2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
一、选择题
1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( ) A ．45°或135°B．135° C ．45°D．以上答案都不对 答案 C
解析 sin B ＝b ·sin A a ＝22
，且b <a ，∴B ＝45°.
2．在△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形 答案 C
解析 cos A cos B >sin A sin B ⇔cos(A ＋B )>0， ∴A ＋B <90°，∴C >90°，C 为钝角．
3．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 D
解析 由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，
c ＝2mk (m >0)，
∵⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b >c a ＋c >b 即⎩
⎪⎨⎪⎧
m k ＋mk 3mk >m k ＋，∴k >12.
4．如图所示，D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是β、α(β<α)．则A 点离地面的高AB 等于( )
A.a sin αsin βα－β
B.a sin αsin β
α－β
C.a sin αcos βα－β
D.a cos αcos βα－β
答案 A
解析 设AB ＝h ，则AD ＝
h
sin α
，
在△ACD 中，∵∠CAD ＝α－β，∴CD α－β＝AD
sin β
. ∴
a α－β＝h sin αsin β，∴h ＝a sin αsin β
α－β
.
5．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝16，面积为2203，那么BC 的长度为( ) A ．25B ．51C ．493D ．49 答案 D
解析 S △ABC ＝12AC ·AB ·sin60°＝12×16×AB ×3
2＝2203，∴AB ＝55.
∴BC 2
＝AB 2
＋AC 2
－2AB ·AC cos60°＝552
＋162
－2×16×55×1
2
＝2401.
∴BC ＝49.
6．(2010·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－
b 2＝3b
c ，
sin C ＝23sin B ，则A 等于( ) A ．30°B．60° C ．120°D．150° 答案 A
解析 由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理，得
c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc 得 a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.
由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 2
2b ·23b
＝
6b 243b
2
＝3
2
. 又∵0°<A <180°，∴A ＝30°. 二、填空题
7．三角形两条边长分别为3cm,5cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________cm 2.
答案 6
解析 由5x 2
－7x －6＝0，解得x 1＝－3
5
，x 2＝2.
∵x 2＝2>1，不合题意．∴设夹角为θ，则cos θ＝－3
5，
得sin θ＝45，∴S ＝12×3×5×4
5
＝6 (cm 2)．
8．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a
sin A
＝____________. 答案 239
3
解析 由S ＝12bc sin A ＝12×1×c ×3
＝3，∴c ＝4.
∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos60° ＝13.
∴a
sin A ＝13sin60°＝239
3
. 9．在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是
______________． 答案 2<x <2 2
解析 因为三角形有两解，所以a sin B <b <a ， 即2
2
x <2<x ，∴2<x <2 2. 10．一艘船以20km/h 的速度向正北航行，船在A 处看见灯塔B 在船的东北方向，1h 后船在C 处看见灯塔B 在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC 等于________km.
答案 20 2
解析 如图所示，BC sin45°＝AC
sin30°
∴BC ＝AC
sin30°×sin45°＝2012×2
2
＝20 2 (km)． 三、解答题
11．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，试确定△ABC 的形状．
解 由(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ， 得b 2＋2bc ＋c 2－a 2＝3bc ，
即a 2＝b 2＋c 2
－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12
，
∴A ＝π
3
.
又sin A ＝2sin B cos C ．∴a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c 2
a ，
∴b 2＝c 2，b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．
12．在△ABC 中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角． (1)求最大角的余弦值；
(2)求以此最大角为内角，夹此角的两边之和为4的平行四边形的最大面积． 解 (1)设这三个数为n ，n ＋1，n ＋2，最大角为θ，
则cos θ＝
n 2＋n ＋
2
－n ＋2
2·n
n ＋
<0，
化简得：n 2－2n －3<0⇒－1<n <3. ∵n ∈N *且n ＋(n ＋1)>n ＋2，∴n ＝2. ∴cos θ＝4＋9－162×2×3＝－1
4
.
(2)设此平行四边形的一边长为a ，则夹θ角的另一边长为4－a ，平行四边形的面积为：
S ＝a (4－a )·sin θ＝15(4a －a 2
)＝15[－(a －2)2＋4]≤15.
当且仅当a ＝2时，S max ＝15. 能力提升
13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2C ＝－1
4.
(1)求sin C 的值；
(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长． 解 (1)∵cos2C ＝1－2sin 2C ＝－1
4，0<C <π，
∴sin C ＝10
4
.
(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝c
sin C
， 得c ＝4.
由cos2C ＝2cos 2
C －1＝－1
4
及0<C <π，
得cos C ＝±6
4
.
由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 得b 2±6b －12＝0(b >0)， 解得b ＝6或26， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝6，c ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝26，
c ＝4.
14．如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠
BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．
解 设BD ＝x ，在△ABD 中，由余弦定理有
AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD ·cos∠ADB ， 即142＝x 2＋102－20x cos60°，
∴x 2－10x －96＝0，∴x ＝16(x ＝－6舍去)， 即BD ＝16.
在△BCD 中，由正弦定理BC sin ∠CDB ＝BD
sin ∠BCD ，
∴BC ＝16sin30°
sin135°＝8 2.
1．在解三角形时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一起用，要注意恰当的选取定理，简化运算过程．
2．应用正、余弦定理解应用题时，要注意先画出平面几何图形或立体图形，再转化为解三角形问题求解，即先建立数学模型，再求解．。