2016-2017《创新设计》同步人教A版选修1-1第一章 章末复习提升

1.要注意全称命题、特称命题的自然语言之间的转换.2.正确理解“或”的意义，日常用语中的“或”有两类用法：其一是“不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我们这里仅研究“可兼”的“或”.3.有的命题中省略了“且”“或”，要正确区分.4.常用“都是”表示全称肯定，它的特称否定为“不都是”，两者互为否定；用“都不是”表示全称否定，它的特称肯定可用“至少有一个是”来表示.5.在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼.证明题一般是要求就充要条件进行论证，证明时要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混.6.否命题与命题的否定的区别.对于命题“若p，则q”，其否命题形式为“若綈p，则綈q”，其命题的否定为“若p，则綈q”，即否命题是将条件、结论同时否定，而命题的否定是只否定结论.有时一个命题的叙述方式是简略式，此时应先分清条件p，结论q，改写成“若p，则q”的形式再判断.1.转化与化归思想将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为转化与化归思想.一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式.本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等.通过转化，使复杂问题简单化，抽象问题具体化. 例1 判断下列命题的真假.(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形； (2)若x ∉A ∩B ，则x ∉A 且x ∉B ； (3)若x ≠y 或x ≠－y ，则|x |≠|y |.解 (1)该命题的逆否命题：“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真.(2)该命题的逆否命题：“若x ∈A 或x ∈B ，则x ∈A ∩B ”，它为假命题，故原命题为假. (3)该命题的逆否命题：“若|x |＝|y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它为假命题，故原命题为假. 跟踪训练1 下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2(其中r >0)； (2)p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1.解 (1)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即r ＝|c |a 2＋b 2，所以c 2＝(a 2＋b 2)r 2；反过来，若c 2＝(a 2＋b 2)r 2，则|c |a 2＋b 2＝r 成立，说明圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，故p 是q 的充要条件. (2) 綈q ：x ＝－1且y ＝－1，綈p ：x ＋y ＝－2.∵綈q ⇒綈p ，而綈p ⇏綈q ，∴綈q 是綈p 的充分不必要条件，从而，p 是q 的充分不必要条件.例2 设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a ， 当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2<x ≤3.所以q 为真时，实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3). (2) 綈p 是綈q 的充分不必要条件， 即綈p ⇒綈q 且綈q ⇏綈p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}， 则A B .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2].跟踪训练2 命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>a ，命题q ：a 2－4>0，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围.解 若p 为真命题，则a <1；若q 为真命题，则a 2>4，即a >2或a <－2. 由已知条件知：p 与q 一真一假，当p 为真，q 为假时有：⎩⎪⎨⎪⎧a <1，－2≤a ≤2，所以－2≤a <1，当q 为真，p 为假时有：⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a >2或a <－2，所以a >2，综上所述，－2≤a <1或a >2. 2.分类讨论思想分类讨论又称逻辑划分，是中学数学常用思想方法之一，分类讨论的关键是逻辑划分标准要准确，从而对问题进行分类求解，常用逻辑用语这章所涉及的不等式大多是含有字母参数的，对这类含参数的问题要进行分类讨论，讨论时要做到不重复、不遗漏.例3 已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果p ∨q 为真，p ∧q 为假，求a 的取值范围. 解 方法一 由题意知，p 和q 有且只有一个为真.p 为真时，0＜a ＜1；∵y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同交点，∴Δ＝(2a －3)2－4＞0，得a ＜12或a ＞52，即q 为真时，0<a ＜12或a＞52.(1)当p 为真，且q 为假时，a ∈(0,1)∩([12，1)∪(1，52])，即a ∈[12，1).(2)当p 为假，且q 为真时，a ∈(1，＋∞)∩[(0，12)∪(52，＋∞)]，即a ∈(52，＋∞).综上，a 的取值范围为[12，1)∪(52，＋∞).方法二 ∵A ＝{a |p (a )}＝{a |0<a <1}，B ＝{a |q (a )}＝{a |0<a <12或a >52}，∴p 和q 有且只有一个为真⇔a ∈(A ∪B )且a ∉(A ∩B )， 故a 的取值范围为[12，1)∪(52，＋∞).跟踪训练3 命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)的定义域为R ；命题q ：函数g (x )＝x ＋ax －2在(2，＋∞)上是增函数.如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围. 解 当p 为真命题时，ax 2＋2x ＋1>0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4－4a <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a >1，∴a >1. 当q 为真命题时，g (x )＝x －2＋2＋a x －2＝1＋a ＋2x －2在(2，＋∞)上是增函数，∴a ＋2<0，即a <－2.∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题， ∴p 与q 一真一假，∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞).3.数形结合思想“数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决.本章中数形结合主要体现在命题真假的判断、充要条件的判定上.例4 设函数f (x )＝|log 2x |，则f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数的充要条件是_____. 答案 0<m <1解析 作出函数f (x )＝|log 2x |的图象如图所示，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，2m ＋1>1，故0<m <1即为f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数的充要条件.故填0<m <1.跟踪训练4 已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A.(0，12)B.(12，1) C.(1,2) D.(2，＋∞)答案 B解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为(12，1).4.反证法反证法是一种间接证法，它回避了从正面直接证明命题，它从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而肯定命题的结论.从逻辑角度看，命题“若p ，则q ”的否定是“若p ，则綈q ”，由此进行推理，如果产生矛盾，那么就说明“若p ，则綈q ”为假，从而可以得出“若p ，则q ”为真，达到证明的目的.反证法是高中数学解题的一种基本方法.例5 如果a ，b ，c ，d 为实数，a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，求证a ，b ，c ，d 中至少有一个负数.证明 假设a ，b ，c ，d 中至少有一个负数不成立，则a ，b ，c ，d 都为非负数，即a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0.因为a ＋b ＝1，c ＋d ＝1， 所以(a ＋b )(c ＋d )＝1， 即(ac ＋bd )＋(bc ＋ad )＝1.因为a ，b ，c ，d 均为非负数，于是bc ＋ad ≥0， 故由上式可以知道ac ＋bd ≤1， 这与已知条件的ac ＋bd >1矛盾，所以假设不成立，故a ，b ，c ，d 中至少有一个负数.跟踪训练5 用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半. 已知：在△ABC 中，∠BAC >90°，D 是BC 边上的中点， 求证：AD <12BC (如图所示).证明 假设AD ≥12BC .①若AD ＝12BC ，由平面几何知识“如果三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么这条边所对的角为直角”知∠BAC ＝90°，与题设矛盾.所以AD ≠12BC .②若AD >12BC ，因为BD ＝DC ＝12BC ，所以在△ABD 中，AD >BD ， 从而∠B >∠BAD ，同理∠C >∠CAD . 所以∠B ＋∠C >∠BAD ＋∠CAD ， 即∠B ＋∠C >∠BAC .因为∠B ＋∠C ＝180°－∠BAC ， 所以180°－∠BAC >∠BAC .故∠BAC <90°，与题设矛盾.由①②知AD <12BC .1.对于命题的判断问题，在考试中往往涉及多个知识点综合进行考查.考查知识点涉及逻辑联结词、三角函数、不等式、立体几何等诸多内容，得到命题者的青睐.该部分的考查重点有两个：(1)是综合其他知识，考查一些简单命题真假的判断；(2)是考查命题四种形式之间的关系.体现了考纲对“命题、充分条件、三角函数的有界性、不等式的性质以及空间线面关系等”的要求.解决此类问题的关键是灵活根据题干和选项进行判断，主要是选出错误的命题，所以可以利用特例法确定选项，即只需举出一个反例即可说明命题是假命题，对于较难判断的问题，可以转化为它的逆否命题来解决.2.充分条件、必要条件和充要条件是对命题进行研究和考查的重要途径.通过对命题条件和结论的分析，考查对数学概念的准确记忆和深层次的理解.3.正确理解逻辑联结词的含义，准确把握含有三个逻辑联结词的命题的判断方法，熟记规律：已知命题p 、q ，只要有一个命题为假，p ∧q 就为假；只要有一个为真，p ∨q 就为真，綈p与p真假相对.另外注意命题的否定与命题的否命题的区别，这是两个很容易混淆的概念，要准确把握它们的基本形式，不能混淆.4.解决全称量词与存在量词问题需要注意两个方面：一是准确掌握含有全称量词与存在量词的命题的否定形式，这两类命题的否定形式有严格的格式，不要和一般命题的否命题的形式混淆；二是要掌握判断全称命题与特称命题的真假的特例法，即只要找出一个反例就可说明全称命题为假，只要找到一个正例就可以说明特称命题为真.。