高中数学人教B版必修5同步课件：3.5 第3课时《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》
人教版高中数学必修五同课异构课件：3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域二元一次不等式表示的平面区域
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19
2.不等式3x+2y–6≤0表示的平面区域是（ D ）
y
y
y
y
O
xO
A
B
xO C
xO
x
D
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20
3．已知点 P1(0,0)，P2(1,1)，P313，0，则在 3x＋2y－1≥0
表示的平面区域内的点是( C )
A．P1、P2
B．P1、P3
C．P2、P3
上述问题应该用什么不等式模型来刻画 呢？
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2
1.了解二元一次不等式的实际背景. 2.了解二元一次不等式的几何意义. 3.能正确地使用平面区域表示二元一次不等 式.(难点）
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3
探究点1 二元一次不等式的有关概念
设用于企业贷款的资金为x元，用于个人
贷款的资金为y元.由资金总数为25 000 000元，
最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数额 都不能是负值，所以
x≥0,y≥0. ③
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5
2.二元一次不等式的解集：
满足二元一次不等式的x和y的取值构成有序数 对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二 元一次不等式的解集.
有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标. 于是，二元一次不等式的解集就可以看成直角坐 标系内的点构成的集合.
提示：点A的纵坐标大于点P的纵坐标.
我们发现，在平面直角坐标系中，以二元一次
不等式 x－y＜6的解为坐标的点都在直线x－y＝
6的左上方；反之，直线x－y＝6左上方点的坐标
都满足不等式x－y＜6.直线x－y＝6右下方点的
坐标满足不等式x－林y老>师网6络.编辑整理
高中数学新人教B版必修5课件：第三章不等式3.5.1二元一次不等式(组)所表示的平面区域
反思感悟 在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等 式表示的区域，再取它们的公共部分即可.其步骤：①画线；②定侧；③求 “交”；④表示.但要注意是否包含边界.
跟踪训练3 画出|x|＋|y|≤1表示的平面区域.
解 当x≥0且y≥0时，|x|＋|y|≤1，即x＋y≤1.
x≥0， 由y≥0，
3 达标检测
PART THREE
1.不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是
A.(0，0) C.(0，2)
B.(1，1)
√D.(2，0)
解析 将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2，0)代入后不等式不成立， 故此点不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内，故选D.
1234
2.已知点(－1，2)和点(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是
解析 在平面直角坐标系中画出直线x－2y＋6＝0， 视察图象(图略)知原点在直线的右下方， 将原点(0,0)代入x－2y＋6，得0－0＋6＝6>0， 所以原点(0,0)在不等式x－2y＋6>0表示的平面区域内，故选B.
命题角度2 给不等式组画平面区域
例3 画出下列不等式组所表示的平面区域.
x－2y≤3，
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
数形结合的魅力
典例 我们可以验证点(1,2)是不等式x－y＜6的一个解.怎么证明直线
x－y＝6左上方半平面(不包括边界)上所有点均是x－y＜6的解？
证明 设点A(x0，y0)位于直线x－y＝6左上方区域，
则过点A作直线AB∥y轴，交直线x－y＝6于点 B. 设B(x0，y1)，则有y0＞y1. ∵B在直线x－y＝6上，
高中数学人教版必修5二元一次不等式(组)与简单的线性规划 课件PPT
探究二 二元一次不等式(组)表示的平面区域的面积
[典例 2]
(1)在平面直角坐标系中，不等式组yx≥＋03，y≤4， 3x＋y≥4
表示的
平面区域的面积是( )
3
2
A.2
B.3
4
3
C.3
D.4
(2)若不等式组yx≤＋xa，y≤4， y≥－2
表示的平面区域的面积为 24，则 a 的值
求平面区域面积的方法 求平面区域的面积，要先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区 域的形状求面积．若图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图 形为不规则图形，可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形 求解．
2．不等式组2xx＋＋y－y－36≥≤0，0， 表示的平面区域的面积为(
)
y≤2
()
A．b≤13
B．b<1
C．b>13
D．b>－9
解析：由题意知 2×(－2)－3b＋5<0，∴b>13.
答案：C
4．若不等式组xy≥－ay＋ ，5≥0， 0≤x≤2
表示的平面区域是一个三角形，则 a
的取值范围是________．
x－y＋5≥0， 解析：不等式组y≥a，
0≤x≤2
4．已知点 A(1,0)，B(－2，m)，若 A，B 两点在直线 x＋2y＋3＝0 的 同侧，则 m 的取值集合是________． 答案：(－12，＋∞)
探究一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 [典例 1] 画出下列不等式(组)表示的平面区域． (1)2x－y－6≥0；
x－y＋5≥0， (2)x＋y≥0，
确定二元一次不等式表示的平面区域的方法 (1)直线定界．即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等 号，把直线画成实线． (2)特殊点定域．即在直线 Ax＋By＋C＝0 的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作 为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧 区域，否则就表示直线的另一侧区域．特别地，当 C≠0 时，常把原点作为 测试点；当 C＝0 时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．
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3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域
学习目标：
1．会从实际情景中抽象出二元一次不等式(组).
2．了解二元一次不等式的几何意义.
3．会画二元一次不等式(组)表示的平面区域.(重点、难点)
基础·初探
两个1
二元一次不等式
解
解集
ax＋by＋c＝0
ax＋by＋c<0
实线虚线
相同
5．二元一次不等式组表示的平面区域
二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区公共部分
域的__________.
类型1：二元一次不等式表示的平面区域
类型2：二元一次不等式组表示的平面区域
类型3：二元一次不等式(组)表示平面区域的应用
课堂检测：。
人教B版高中数学必修五《3.5 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.5.2 简单线性规划》_24
《简单线性规划》教学设计课题：简单线性规划教材分析：本节课是《人教版（B版）普通高中课程标准实验教科书（必修5）第三章 3.5.2》在讲了二元一次不等式和二元一次不等式组表示的平面区域的基础上，简单线性规划知识的第一节课．重点是介绍线性规划的有关概念和利用图解法求解，难点是线性规划的实际应用．在教育部制订的《普通高中数学课程标准》（实验）中指出：“线性规划是优化的具体模型之一，教师应引导学生体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题．”经过仔细研究教材，结合我校学生的实际情况，我制订了本节课的教学目标和由实际问题引入，学生自主探究的主要思路．教学目标：1．知识目标：理解线性规划有关概念，初步学会解决简单的线性规划问题．2．能力目标：渗透数形结合的数学思想；加强学生自主探究、合作交流的意识；进一步培养学生在研究问题中主动借助现代信息技术手段辅助思维的习惯．3．情感目标：让学生感受探究问题的乐趣和解决问题的成就感，通过带领学生解决实际问题及对线性规划有关历史的简单回顾，感受数学的文化价值．教学重点、难点：探究解决简单线性规划问题的方法．教学方式：学生自主探究和教师引导相结合．教学手段：多媒体、几何画板．教学过程：一. 设置情境，问题引入通过实际问题，创设问题情境．问题一：资金分配前不久的四川大地震，牵动了全国人民的心，灾后重建是当务之急．北京某企业积极响应北京市对口支援什邡市重建的号召，打算对中小学教学楼的重建（包括各项附属设施）提供支援，预算投入资金不超过1000万元．根据当前实际情况，要求投入中学建设的资金不少于投入小学建设资金的1.8倍，初步估算中学教学楼的平均造价为每百平方米14万元，小学教学楼的平均造价为每百平方米8万元．并且对两者的建设面积都不低于1000平方米．请你帮该企业计算一下，如何分配这笔资金能使得教学楼重建后的面积最大？最大面积为多少？学生活动：（1）独立将实际问题转化为数学问题；（2）针对得到的“约束条件”（不等式组），做出相应的平面区域．预案：学生会比较顺利的列出不等式组，不容易想到列出“目标函数”，教师作适当引导，让学生列出二元函数表达式．说明：（1）学生已经学习了“二元一次不等式组表示平面区域”的问题，作为上述知识的应用，这里设计了从实际问题出发，创设问题情境，从而引起学生的探究兴趣；（2）放手让学生独立解决．碰到问题（如何处理一个“二元函数”的最值问题），引起认知冲突，激发求知的欲望．二. 深入研究，探求解法针对“问题一”中提出的数学问题，让学生自己探究解决的方法，教师巡视观察．设建设中学教学楼面积为x百平方米，建设小学教学楼面积y百平方米，建筑总面积为z 百平方米． z ＝ x ＋y ．满足： 学生活动：学生合作交流，进行自主探究．预案一：学生利用图形计算器的取点功能作出自由点，并度量其坐标，然后在所绘区域内移动该点，并直接计算x ＋y 的值进行比较，容易猜想出使z 取得最大值的点的位置．预案二：让学生思考使z 取某个特殊值（如60）时点的位置．部分学生容易想到：满足条件的点的集合为直线x ＋y =60与所画区域的交集．可再取两个特殊值让学生思考，引导他们发现直线之间的平行关系，并思考z 的几何意义：把目标函数化成y x z =-+的形式，这表示一组平行直线，而z 表示的是直线的纵截距，通过平移直线，当直线的纵截距最大时，z 取最大值．预案三：（教材解法）利用点到直线的距离公式进行转化，点到直线x + y =0的距离为：d =，把它化成x y +=．因为区域内的点的横纵坐标都是正数，所以z x y =+=．从而到直线x + y =0的距离最大的点就是使z 取最大值的点．说明：（1） 引导学生合作交流，主动寻求问题的解答； （2） 培养学生利用现代信息技术手段辅助思维的意识； （3） 教师巡视观察，适当点拨；（4） 教师配合学生的探究结果，利用“几何画板”进行动态演示． 三. 结合问题，介绍概念结合前面两个实例，介绍线性规划的有关概念：（1）目标函数（线性目标函数）； （2）约束条件（线性约束条件）；1481000141.881010x y x y x y +≤⎧⎪≥⨯⎪⎨≥⎪⎪≥⎩（3）线性规划问题；（4）可行解、可行域、最优解．说明：（1）强调“目标函数”是涉及两个自变量的函数；（2）总结解法时明确，涉及两个自变量的线性规划问题可以借助图形解决，但涉及更多自变量时不适用，但在中学阶段不要求．四. 巩固知识，实际演练问题二：食品配制营养学家对高一学生中午的营养配餐提出建议:每人至少需要从食物中获取0．120 kg的碳水化合物，0．024kg的蛋白质，不超过0．032kg的脂肪．现有两种食物A和B，每种食物每千克中所含成分及价格如下表：为满足上面的饮食要求，并且食物A至少需0.5kg，则两种食物如何搭配可以使花费最低？最低为多少元？学生活动：在笔记本上独立解决．设食物A需要x kg，食物B需要y kg，花费为z 元．则：z ＝6x＋8y．满足：5455865580.5x yx yx yxy+≥⎧⎪+≥⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩0.1200.0960.1200.0200.0320.0240.0200.0200.0320.5x yx yx yxy+≥⎧⎪+≥⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩说明：（1）换个领域的问题，锻炼学生的类比能力；（2）通过又一个实际问题的解决，帮助学生体会线性规划问题广泛的适用性，从而初步 掌握解决简单线性规划问题的一般方法．问题三： 设变量x 、y 满足下列条件：分别求下列目标函数的最小值： （1）z ＝ y －x ； （2）z ＝ 2x －3y ； （3）z ＝ x ＋y ．学生活动：分组合作完成表格的填写．说明：（1） 借助练习，落实知识的掌握；（2） 通过题目中呈现出的最优解的不同情况，给学生一个完整的、严谨的数学概念． 五. 小结全课，概括升华带领学生从知识与方法两个方面进行回顾与总结，指出：在知识方面，初步学习了解决“简单线性规划”的一般方法；并且更重要的是通过解决问题的过程，体会“模型建立”、223435251x y x y x y x +≥⎧⎪-≤⎪⎨+≤⎪⎪>⎩“数形结合”以及转化、类比等研究数学问题的一般方法． 六. 布置作业，设疑铺垫作业：P94 — 练习1、2、3． 思考题：已知：x 、y 满足条件：求：z = x ＋3y 的最大值．034241,x y x y x x y ⎧-≤⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪∈⎩N。
【数学】3.5.1《二元一次不等式(组)所表示的平面区域》课件(新人教B版必修5)
否则应画成实线。
2、画图时应非常准确，否则将得不到正确结果。 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
x＋y－1≥0 在平面直角坐标系中，若不等式组x－1≤0 ax－y＋1≥0 常数)所表示的平面区域内的面积等于 2，求 a 的值．
[解题过程] 如图可得阴影区域为不等式组
x＋y－1≥0 x－1≤0
解：设开设初中班x个，高中班y个。因办学规模 以20～30个班为宜，所以， 20≤x＋y≤30 而由于资金限制，26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1200 另外，开设的班级不能为负，则x≥0，y≥0。
把上面四个不等式合在一起，得限制条件用数学关系式表示为
y
20 x＋y 30 30 x＋2y 40 20 x0 y 0
y
左上方 x-y+1<0
1
x-y+1=0
-1
o
x
（x。，y。） x0>x，y=y0 x0-y0+1> x-y+1
(x，y）
右下方 x-y+1>0
问题：一般地，如何画不等式 AX+BY+C>0表示的平面区域？
（1）二元一次不等式Ax+By+C>0在平面 直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧 所有点组成的平面区域。
（2）由于对直线同一侧的所有点(x,y)，把 它代入Ax+By+C，所得实数的符号都相同， 所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 (x0,y0) ，从Ax0+By0+C的正负可以判断出 Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。 一般在C≠0时，取原点作为特殊点。
高中数学人教B版必修5同步课件：3.5 第1课时《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》
3．已知向量m＝(a－2b，a)，n＝(a＋2b,3b)，且m、n的夹 角为钝角，则在aOb平面上，点(a，b)所在的区域是( )
[答案] A
[解析] ∵m、n 的夹角为钝角， ∴ m· n<0 ⇒ (a － 2b ， a)· (a ＋ 2b,3b) ＝ a2 － 4b2 ＋ 3ab ＝ (a ＋
，所表示的平面区域的面积等于
2 B．3 3 D．4
[答案] C
[解析] 作出可行域，如下图所示为△ABC．
x＋3y－4＝0 由 3x＋y－4＝0
，可得 A(1,1)．
4 ∵B(0,4)、C(0，3)， 1 1 4 4 ∴S△ABC＝2· |BC|· |xA|＝2×(4－3)×1＝3.
[ 点评 ]
1.{(x ， y)|Ax ＋ By ＋ C ＞ 0} 和 {(x ， y)|Ax ＋ By ＋ C ＜
0}分别表示直线Ax＋By＋C＝0的两侧区域．要判断二元一次不 等式Ax ＋By ＋C＞ 0表示直线 Ax＋ By ＋C＝0的哪一侧区域，只 要在此直线的某一侧取一个特殊点 (x0 ，y0)，从Ax0＋By0＋C的 正负可判断Ax＋By＋C＞0表示直线哪一侧的平面区域．特别是
a＋4b>0 4b)· (a－b)<0⇒ a－b<0 a＋4b<0 ，或 a－b>0
.故 A．
4．点(1,2)和点(－1,3)在直线2x＋ay－1＝0的同一侧，则实
数a的取值范围是________．
1 [答案] (－∞，－2)∪(1，＋∞) 1 [解析] (2a＋1)(3a－3)＞0，∴a＜－2或 a＞1.
当C≠0时，常把原点作为此特殊点．
2．Ax＋By＋C＞0所表示的区域不包括边界直线，此时直 线画成虚线；Ax＋By＋C≥0所表示的区域包括边界直线，此时 直线画成实线．
人教版高中数学必修五 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 课件 (共39张PPT)
方的平面区域，x +y ≥0表示 直线 x +y = 0上及右上方的 的平面区域，x≤3表示直线 x=3上及左方的点的集合， 所以原不等式组表示的平面区域如图所示．
由
x x
y5 y0
0
得
A(
5 2
，5 2
)
y
x y 0
x y 0 x 3
得 B(3， 3) A
o
x
| x 2 | | y 2 | 2 所表示的平面区域如图 所示. 它是边长为 2 2 的正方形 ，其面积等于 8 .
练习： 1 ，2
解：（1）
（2）
练习： 1 ，2
（3）
（4）
解：
（1）
（2）
作 业：
二元一次不等式(组)与平面区域(二)
复习: 一般地，二元一次不等式：Ax+By+C>0,在平面直角坐标
x y1 0.
..
l : x y1 0
∵ 点P(x0，y0)是直线 x + y -1=0 上的任意点，
∴ 对于直线x + y -1=0 右上方的任意一点(x，y)，
x y 1 0 都成立 .
y
同理，对于直线 x + y -1=0
左下方的任意一点(x，y)，
x y 1 0 都成立 .
3
2
18x+15y=66
1
x
O 1 2 34
例4：
求不等式 | x 2 | | y 2 | 2 所表示的平面区域的面积 .
解：| x 2 | | y 2 | 2
y
x y 6 ， (x 2 ，y 2)
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为了在区域 OABC 内精确地找到这一点，我们平移直线 l0 到位置 l，使 l 通过平面区域 OABC，可见当 l 经过点 B 时，l 与 l0 的距离最大，∴d 最大．
x－y＋3≥0 5．设变量 x、y 满足约束条件x＋y≥0 －2≤x≤3 2x＋y 的最小值为________．
3 [答案] －2
，则目标函数
[解析]
设 z ＝ 2x ＋ y ， 画 出 可 行 域 如 图 ， 最 优 解 为
3 3 3 M －2，2 ，zmin＝－2.
[答案] B
[解析] 设甲车间加工原料 x 箱， 乙车间加工原料 y 箱， 由 题意可知 x＋y≤70 10x＋6y≤480 x≥0 y≥0 且 x、y∈N＋， 甲、乙两车间每天总获利为 z＝280x＋200y.
，
作出可行域如下图阴影部分所示．
点 M(15,55) 为直线 x ＋ y ＝ 70 和直线 10x ＋ 6y ＝ 480 的交点，
[答案] B
[解析]
本题考查了不等式组所表示的平面区域及数形结
合思想解决问题的能力． 由约束条件作出其可行域，如图．
由图可知当直线 x＝m 过点 P 时，m 取得最大值，
y＝2x 由 x＋y－3＝0 x＝1 得， y＝2
，
∴P(1,2)，此时 x＝m＝1.
y≤x x＋2y≤4 2．已知 x、y 满足 y≥－2 2 2 2 x＋1 ＋y－1 ＝r r>0 小值为( 9 A．5 C．3 ) B．2 D． 2
安排 、下料等问题． 产品________ 原点 距 2 ．最优解常转化为由目标函数得到的直线到 ________ 离的最值来考虑．(到原点距离最大(小)，一般等价于纵截距最 大(小))
1. 若 直 线 y ＝ 2x 上 存 在 点 (x ， y) 满 足 约 束 条 件 x＋y－3≤0 x－2y－3≤0 x≥m A．－1 3 C．2 ，则实数 m 的最大值为( B．1 D．2 )
，则 r 的最
[答案] D
[解析] 作出可行域如下图阴影部分所示，
显然可行域内点 A 到点 D(－1,1)距离最大，点 D 到直线 |－1－1| BC 距离最小 r＝ 2 2＝ 2，故选 D． 1 ＋1
3．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加 工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10 h，可加工出7 kgA产品，每千克A产品获利40元；乙车间加工一箱原料需耗费 工时6 h，可加工出4 kgB产品，每千克B产品获利50元．甲、乙
1．线性规划常用来解决下列问题： (1)给定一定数量的人力、物力、资金等资源，怎样安排运 大 用这些资源，才能使完成的任务量最________ ，收到的效益最
大 ________ ．
(2)给定一项任务，怎样统筹安排，才能使完成这项任务的
小 ．常见问题有：物资______ 调运 、 人力、资金、物力资源最______
两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间
耗费工时总和不得超过480 h，甲、乙两车间每天总获利最大的 生产计划为( )
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
②
于是问题转化为，在 x、y 满足条件②的情况下，求 t＝30x ＋40y 的最大值．
画出不等式组②表示的平面区域OABC如图．
问题又可以转化为，在不等式组②表示的平面区域内找一 点，把它的坐标代入式子30x＋40y时，使该式取最大值．
令 30x＋40y＝0，则此方程表示通过原点的一条直线，记 为 l0.易知，在区域 OABC 内有 30x＋40y≥0.考察这个区域内任 意一点 P(x，y)到 l0 的距离 |30x＋40y| 30x＋40y d＝ ，于是 30x＋40y＝50d， 2 2＝ 50 30 ＋40 这就是说，点 P(x，y)到直线 l0 的距离 d 越大，式子 30x＋ 40y 的值也越大．因此，问题就转化为：在不等式组②表示的 平面区域内，找与直线 l0 距离最大的点．
由图象知，在点M(15,55)处z取得最大值．
2x－y≥0 4．若 x、y 满足约束条件：x＋y－2≥0 x≤4
，则 z＝2x＋y
的最大值为__________，最小值为__________．
8 [答案] 16 3 [解析] 可行域如图．考察直线 2x＋y＝z.
即 y＝－2x＋z. 2 4 在经过点 A(3、3)时，z 取最小值．在经过点 C(4,8)时，z 8 取最大值，∴zmin＝3，zmax＝16.
课堂典例讲练
收益最大问题(利润、收入、产量等) 某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品 都需要两种原料．生产甲产品1工时需要A种原料3kg，B种原料 1kg；生产乙产品1工时需要A种原料2kg，B种原料2kg.现有A种 原料1 200kg，B种原料800kg.如果生产甲产品每工时的平均利
润是30元，生产乙产品每工时的平均利润是40元，问甲、乙两
第三章
不等式
第三章
3.5 二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题 第3课时 简单的线性规划的应用
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课 时 作 业
课前自主预习
已知6枝玫瑰与 3枝康乃馨的价格之和大于 24元，而4枝玫
瑰与5枝康乃馨的价格之和小于 22元，则2 枝玫瑰的价格与 3 枝 康乃馨的价格哪个更高？
种产品各生产多少工时能使利润的总额最大？最大利润是多 少？
[解析] 依题意可列表如下：
原料A数量 原料B数量
产品 生产甲种产品1工时
生产乙种产品1工时 限额数量
(kg)
3
(kg)
1
利润(元) 30
2
1 200
2
800
40
设计划生产甲种产品用 x 工时，生产乙种产品用 y 工时， 则获得利润总额为 t＝30x＋40y. 其中 x、y 满足下列条件 3x＋2y≤1 200 x＋2y≤800 x≥0 y≥0 ①