积的变化规律3
积的变化规律
积的变化规律什么是积？在数学中，积是两个或多个数相乘得到的结果。
举例来说，2和3的积是6。
在数学符号中，积可以用乘法符号 × 或直接将两个数相乘的形式来表示。
积的基本特性积具有一些基本的特性，这些特性在计算和解决实际问题时非常有用。
下面是积的一些基本特性：1.交换律：两个数的积不受数值的顺序影响。
例如，2 × 3 的积等于 3 ×2：2 × 3 = 6，3 × 2 = 6。
2.结合律：三个或多个数相乘，可以先计算其中两个数的积，然后再将积与第三个数相乘。
例如，2 × 3 × 4 可以先计算 2 × 3 = 6，然后再将 6 × 4 = 24。
3.分配律：乘法可以分配到加法或减法。
例如，对于任意的数 a、b 和c，有 a × (b + c) = (a × b) + (a × c)。
这些基本特性使得我们能够更轻松地计算积，同时也为我们理解和应用数学提供了便利。
积的变化规律在实际问题中，我们经常需要研究和理解积的变化规律。
下面介绍一些常见的积的变化规律。
等比数列的积在等比数列中，每个数都是前一个数乘以一个常数得到的。
如果我们计算等比数列的前 n 个数的积，可以得到一个有趣的结果。
假设等比数列的首项为a，公比为r，那么前n 个数的积可以用以下公式表示：P = a^n * r^((n(n-1))/2)其中，P 表示前 n 个数的积。
这个公式可以帮助我们快速计算等比数列的积，而不需要一个一个将数相乘。
积的增长和衰减当两个数相乘时，积的大小不仅取决于这两个数的数值，还取决于它们之间的关系。
例如，当一个数大于1时，与其相乘的另一个数会使积增长；当一个数小于1时，与其相乘的另一个数会使积减小。
同时，如果两个数的绝对值都大于1，那么它们的积会更大；如果两个数的绝对值都小于1，那么它们的积会更小。
这些规律在实际问题中非常有用，可以帮助我们预测积的变化趋势。
3积的变化规律3
3 积的变化规律一课时教学内容积的变化规律。
(教材第51页)教学目标1.通过观察、讨论等数学活动,经历探索、归纳积变化规律的过程。
2.理解积变化的规律,会运用积的变化规律进行简便计算。
3.在探索、归纳和变化规律的过程中,感受数学思考过程的条理性。
重点难点重难点:掌握在乘法里,一个因数不变,另一个因数乘(或除以)几,积也乘(或除以)几的变化规律。
教具学具课件。
教学过程一创设情境，激趣导入师:前面我们认识了亿的上的数,下面老师写了两个十二位数,给大家几秒钟的时间,看你能很快地记住哪个数?123412341234 950382573014学生记数。
师:记住了哪个?(第一个)为什么这么多学生记住了第一个数?数学中有很多有规律的情况,今天我们研究积的变化规律。
看到题目想知道什么?生1:有什么规律?生2:学积的变化干什么?生3:积的变化规律和什么有关系?生4:怎么就知道这个规律了?师:同学们想知道的真多!相信大家通过自己研究能解决所有的问题。
【设计意图:借助主题图吸引学生的注意力,引导学生仔细观察获取有价值的数学信息,为下面提出问题、解决问题做好准备】二探究体验，经历过程师:请同学们看下面的问题,你能解决吗?课件出示:星期天,小明和妈妈一起去超市购物。
小明的妈妈来到副食柜前,她准备买一些大米回家。
妈妈提出问题想考考小明。
①大米每包 6 元,如果买 2 包,一共多少元?②大米每包 6 元,如果买 20 包,一共多少元?③大米每包 6 元,如果买 200 包,一共多少元?学生口头列式并计算:6×2=126×20=1206×200=1200师:非常好!同学们,请仔细观察上面每组算式,你能根据这组算式的特点再往下写2个算式吗?试一试。
学生独立写出。
师:现在就请同学们以小组为单位,互相交流自己写得算式,并说一说你是怎样想的。
谁来介绍一下你是怎样写的?学生说出自己写的第一组算式:6×2000=12000,6×20000=120000。
积的变化规律
“点线面”思维训练模式3——
从“积的变化规律”到“积不变的规律”
一、一个因数变化
【1】一个因数不变，另一个因数扩大了。
【结论】:一个因数不变，另一个因数扩大多少倍(0除外)，积也跟着扩大相同的倍数。
【2】一个因数不变，另一个因数缩小。
【结论】:一个因数不变，另一个因数缩小多少倍(0除外)，积也跟着缩小相同的倍数。
(一)、积的变化规律：
(1)、一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积就相应的乘（或除以)几。
字母表示：如果axb=C，则
(ax3）×b=c×3
举例：axb=12如果(ax3)则积就是
12×3=36.
(2)、一个数乘一个比1大的数，积比原数大；
（3)、一个数乘一个比1小的数，积比原数小。
【3】积的变化规律:
【结论】:积与因数同向变化。
【4】同步应用
【5】能力提升
【6】拓展训练
二、积不变的规律
【结论】:一个因数扩大或缩小多少倍，另一个因数缩小或扩大相同的倍数(0除外)，积不变。
两个因素反向变化，积不变。
（巧墨静好）
下一节内容：1.商的变化规律——商不变的规律——余数的变化规律
2、和、差、积、商的变化规律。
积的变化规律3条
积的变化规律3条
积的变化规律有以下几条：
1、两个数相乘，一个因数扩大(或缩小)N倍，另一个因数不变，那么它们的积也扩大N倍。
(N为非0自然数)。
2、一个因数扩大a倍，一个因数扩大b倍，积就扩大a*b倍。
3、两个数相乘，一个因数扩大了N倍，另一个因数缩小了N倍，那么它们的积不变。
4、总结：积的变化规律是指因数的变化所引起的积的变化。
如一个因数扩大n倍，另一个因数不变，则积也扩大n倍。
一个因数扩大n倍，另一个因数缩小n倍，则积不变。
两个因数所得结果，叫做积。
也可阐述为其中一个因数表示另一个因数的数量，这么多的这个因数之和为这个乘式的积。
一个乘式中的各个数字为这个乘式的因数。
小学数学积的变化规律
05 练习与巩固
基础练习题
总结词：针对基础知识点，帮助学生理 解积的变化规律。
通过简单的乘法计算练习，让学生掌握 积的基本计算方法。
举例说明积的变化规律，如“一个数扩 大几倍，另一个数缩小相同的倍数，它 们的积不变”。
详细描述 计算两个数的积，并观察积的变化。
进阶练习题
详细描述
总结词：增加难度，考察学 生对积的变化规律的运用。
重要性及应用
重要性
理解积的变化规律是学习数学的 基础，有助于培养学生的逻辑思 维和数学应用能力。
应用
在实际生活中，积的变化规律也 有广泛的应用，如计算面积、体 积等几何量时，需要运用这一规 律进行计算和推理。
02 积的变化规律概述
什么是积的变化规律
积的变化规律是指两个或多个数相乘 时，它们的乘积会随着这些数的变化 而变化。
引导学生分析问题，拆解复杂问 题为多个简单步骤，逐步解决问 题。
总结词：整合知识，提升学生解 决复杂问题的能力。
通过解决综合练习题，提高学生 的思维能力和解决问题的能力。
06 总结与展望
总结积的变化规律的重点和难点
重点
理解积的变化规律的基本概念，掌握 积的变化规律的应用方法。
难点
理解积的变化规律背后的数学原理， 以及如何灵活运用积的变化规律解决 实际问题。
当一个数扩大或缩小一定的倍数时， 它们的乘积也会扩大或缩小相同的倍 数。
积的变化规律的表现形式
01
02
03
04
当一个数扩大a倍，另一个数 扩大b倍，它们的乘积会扩大
a×b倍。
当一个数缩小a倍，另一个数 缩小b倍，它们的乘积会缩小
a×b倍。
当一个数扩大a倍，另一个数 缩小a倍，它们的乘积保持不
3、积的变化规律
25×1= 25 25×2= 50 25×3= 75 25×4= 100 25×5= 125 25×6=150 25×7= 175 25×8= 200 25×9= 225
8米
法一：200÷8=25（米） 25×24= 600（平方米）
答：扩大后的绿地面积是600平方米。
法二：24÷8=3 200×3=600（平方米）
答：扩大后的绿地面积是600平方米。
2. 研究两数相乘，两个因数都发生 变化，他们的积的变化规律。 18×24＝432
（18÷2）×（24×2）＝ 432 （18×2）×（24÷2）＝ 432
1. 先算出每组题中第1题的积，再写出下面 两题的得数。
12×3＝36 120×3＝360 48×5＝240 48×50＝2400 8×50＝ 400 8×25＝ 200
120×30＝3600 48×500＝24000 4×50＝ 200
扩大后的绿地面积是多少？ （长不变，宽增加到24米。） 200平方米
20 ×
÷ 4 ÷ 2
4 =
不 变
80
÷ 4 ÷ 2
10
÷ 2
不 ×变
4 =
不 变
40
÷ 2
5×
4 =
20
两个因数相乘，一个因数不变，另一个 因数除以几（0除外），积也除以几。
两个因数相乘，一个因数不变，另一个 因数乘几，积也乘几。 两个因数相乘，一个因数不变，另一个 因数除以几（0除外），积也除以几。 两个因数相乘，一个因数不变，另一个 因数乘（或除以）（0除外）几，积也乘 （或除以）几。
积的变化规律及应用
积的变化规律及应用李艳辉2013.02.08积的变化规律：1、在乘法算式里，一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）若干倍，积也扩大（或缩小）相同倍数。
2、在乘法算式里，一个因数扩大（或缩小）A倍，另一个因数扩大（或缩小）B倍，积也扩大（或缩小）A×B倍数。
(A和B均不能为0)3、在乘法算式里，一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同倍数，积不变。
（这又叫积不变性质）4、在乘法算式里，一个因数扩大（或缩小）A倍，另一个因数缩小（或扩大）B倍，当A＞B时，积扩大A÷B倍;当A＜B时，积缩小A÷B倍。
同学们，规律1是根本，规律2、3、4可以看作是规律1的两次应用的结果。
例如：已知两个因数的积是275。
如果第一个因数扩大10倍，另一个因数缩小100倍，积是多少？我们可以这样分析：在第一个因数扩大10倍后，先假设第二个因数不变，那么根据规律1，这时的积应是275的10倍，即2750。
现在再假设第一个因数不变，第二个因数缩小１００倍，那么根据规律１，这时的积应是２７５０缩小１００倍，即２７．５。
本题也可根据规律4直接判断，积应是275缩小10（100÷10）倍。
即27.5。
积的变化规律的应用：1.乘法的口算250×4.8=25×48=1200 0.2×340=2×34=68600×0.05=6×5=30 0.75×2000=75×20=15003000×0.003=3×3=9 0.35×300=35×3=1052.乘法的简便计算0.65×33+6.5×6.7 21×30+210×7 0.16×75+0.08×50=0.65×33+0.65×67 =21×30+21×70 =0.16×75+(0.08×2)×(50÷2) =0.65×（33+67）=21×（30+70）=0.16×75+0.16×25=0.65×100 =21×100 =0.16×(75+25)=65 =2100 =0.16×100=163.在各种填空题中⑴.如果A×B=0.25,那么（A×0.1）×(B×10)=( )。
积的变化规律举例子
积的变化规律举例子积的变化规律是指在某种规定条件下，随着时间的推移，积的数值是如何变化的。
下面举例说明积的变化规律：1. 银行利率：银行利率是指存款在银行中的年利率，随着时间的推移，存款的积累也会发生变化。
假设某银行的年利率为5%，如果将10000元存入银行，经过1年，积累为10000*1.05=10500元；经过2年，积累为10500*1.05=11025元；以此类推，可以得到每年的积累数值。
可以看出，随着时间的增加，存款的积累呈指数增长。
2. 人口增长：人口增长是指在一定时间内，人口数量的变化规律。
假设某国的人口增长率为2%，如果该国人口为1000万人，经过1年，人口积累为1000万*1.02=1020万人；经过2年，人口积累为1020万*1.02=1040.4万人；以此类推，可以得到每年的人口积累数值。
可以看出，随着时间的增加，人口的增长呈指数增长。
3. 股票投资收益：股票投资收益是指投资者在股票市场上的投资收益，随着时间的推移，投资的积累也会发生变化。
假设某股票的年收益率为10%，如果投资者买入100股，经过1年，积累为100*1.1=110股；经过2年，积累为110*1.1=121股；以此类推，可以得到每年的投资积累数值。
可以看出，随着时间的增加，投资的积累呈指数增长。
4. 温度变化：温度变化是指在一定时间内，温度的变化规律。
假设某地的温度每小时上升1℃，如果初始温度为20℃，经过1小时，积累为20+1=21℃；经过2小时，积累为21+1=22℃；以此类推，可以得到每小时的温度积累数值。
可以看出，随着时间的增加，温度的积累呈线性增长。
5. 车辆行驶里程：车辆行驶里程是指车辆在一定时间内行驶的总路程。
假设某辆车每小时行驶60公里，如果初始里程为1000公里，经过1小时，积累为1000+60=1060公里；经过2小时，积累为1060+60=1120公里；以此类推，可以得到每小时的里程积累数值。
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两数相乘, 一个因数( 不变),另一个因数(乘几),积就(乘几 ).
根据8×50＝400，直接写出积。
（400×2）
16×50＝ 800
（ 8× 2）
32×50＝ 1600
（8×4）
（400×4）
口算下面各题,看看这里面又隐藏着什么秘密呢？
人教版小学数学四年级上册
口算下面各题,说一说你发现了什么.
1.(1)6×2 ﹦ 12 (2)6×20 ﹦ 120 (3)6×200= 1200
从(1)到(2),第一个因数(不变), 第二个因数( 乘10),积就( 乘10 )
从(2)到(3),第一个因数(不变), 第二个因数(乘10 ),积就( 乘10 )
练习
1.应用积的变化规律填空
（1）两数相乘，一个因数不变，另一个因数（乘5 ），积就乘5. （2）两数相乘， 一个因数不变， 另一个因数缩小3倍， 积就 缩小3倍）. （ （3）18x25＝450，第一个因数缩小2倍，第二个因数不变，这 时积是( 225 )。 （4）两数相乘，积是300，一个因数不变，另一个因数乘3，这 时积是( 900 )。
2.先找律再填空。
(1) 125x4 =500 125x8 =1000 125x12=1500 125x16= 2000 125x28=3500 (2) 48x15=720 24x15= 360 12x15= 180 6x15= 90 18x15= 270
全课总结
本节课有什么收获？
积的变化规律
).
根据8×50＝400，直接写出积。
（400÷2）
8×25＝200
（50÷2）
（ 8÷ 4）
2×50＝ 100
（400÷4）
概括规律 两数相乘，当一个因数不变，另 一个因数乘几时，积也要乘几。 两数相乘，当一个因数不变，另 一个因数除以几时，积也要除以几。
两数相乘，一个因数不变，另 一个因数乘（或除以）几，（0除 外）积也要乘（或除以）几。
2.(1)20x4= 80
(2)10x4= 40
(3) 5x4= 20 从(1)到(2),第一个因数(除以2 ), 第二个因数(不变 ),积就(除以2 ) 从(2)到(3),第一个因数(除以2 ), 第二个因数(不变 ),积就(除以2 ) 从(1)到(3),第一个因数(除以4 ), 第二个因数(不变 ),积就(除以4 ) 两数相乘, 一个因数(不变 ),另一个因数( 除以几 ),积就(除以几
两数相乘，一个因数不变，另一个因数 乘（或除以）几，（0除外）积也要乘（或 除以）几。