第一讲：变相同一法

共享智慧
文 武 光 华
A F O1 O2
D
E H B
G
O3 C
O4
证明：如图，设 FE、GH 交于 P，我们要证明 FE、DB、GH 三线共点，只需证明∠EPB= ∠FPD，根据变相同一法，只需证明
∠ ∠
=
∠ ∠
（1）
令⊙O 、⊙O 、⊙O 、⊙O 半径分别为r 、r 、r 、r 。下面我们证明（1）式。 根据三角形面积公式知
又易知
∠ ∠
=
=
∠ ∠
=
，也即只需证明：
=
∠ ∠
，即只需证明
=
，此式显然成立，命题得
证。
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文 武 光 华
F G
A O1
O2
E
H
D
B U M
L
C V K
J
P
Q
O3
S
例 9、如图，△ABC 内接于⊙O，I 为△ABC 内心，BI 交 AC 于 E，CI 交 AB 于 F，D 为弧 BC 中点，G 与 O 关于点 D 对称，求证：GI⊥EF。
A
O F H B D N E C
M
证明：因为∠ADC = ∠AFC = 90°，所以 A、F、D、C 四点共圆，所以∠FDB = ∠BAC。 又因为∠OBC =
° ∠
=
°
∠
= 90° − ∠BAC = 90° − ∠FDB，所以 OB⊥DF。同
理可知 OC⊥DE。从而要证 OH⊥MN，只需证明∠BOH=∠MND 或∠COH=∠NMD。下面我们同时 证明∠BOH=∠MND，∠COH=∠NMD。 因为
∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
（1） ∙
∠ ∠
∙
∠ ∠
= 1，即 （2） （3）
= =
∠ ∠ ∠ ∠
∙ ∙
∠ ∠ ∠ ∠
同理，在△C C E中有： 而∠FC C = ∠DA E ，∠EC F = ∠A A D ，∠EC F = ∠DA A ，∠FC C = ∠EA D ， 由（2）、（3）知
∠ ∠
=
∠ ∠
（4）
cos(α+y)−cos(α−y)⇒cosx+β=cosα+y，且 x+β+α+y=x+y+α+β＜2π，所以： x+β= α+y （2） 结合（1）、（2）知，x = α，y = β。命题得证。 变相同一法就是基于以上的结论，利用三角形边长、角度、面积之间的相互联系，借 助三角函数，将此三者都转化为角度问题，通过证明“角度相等”，进而解决平面几何中 有关点共线、线共点、角度相等、线段垂直等问题的一种方法。 下面我们从几道例题着手分析，讲解变相同一法的应用与变通。
∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
△ △
= = = =
∙ ∙
∙ ∙ ∠ ∠
∠ ∠
=
∠ ∠
，且
△ △
=
∙ ∙
∠ ∠
=
∠ ∠
，所以 （1）
。 = =
∠ ∠ ∠ ∠
又
，且
∠
，
∙ ∙ ∠
=
∠ ∠
，所以
∠ ∠ ∙ ∙ ∠ ∠
=
∠ ∠ ∠
∠
=
=
∙ ∙
∠ ∠
（2）
又因为 OB⊥DF，BE⊥AN，所以∠CND=∠OBH。同理可知，∠BMD=∠OCH。由（1）、（2） 知：
A
E I J K F
B
N
D
M
C
P
证明：设 EN、FM 交于点 P，只需证明 A、D、P 共线，也即只需证明∠EAD=∠EAP。根 据变相同一法，也即只需证明
∠ ∠
=
∠ ∠
Байду номын сангаас
（1）
下面我们证明（1）式。
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文 武 光 华
根据三角形面积公式知
∠ ∠ ∠ ∠
= ∙
∠ ∠ ∠ ∠
，于是知 ∙ =
（3）
∆ ∆
下面我们证明（3）式。 根据三角形面积公式知
∠ ∠
=
=
=
∠ ∠
，所以
=
∠ ∠ ∠ ∠ ∙ ∙ ∠ ∠ ∙ ∙
（4） =
∆ ∆
又根据三角形面积公式知
∠ ∠
=
=
∠ ∠
，所以
=
∠ ∠
∠ ∠
（5） = ，代入（4）、（5）知，要证（1）式，只需证明
由于△ABC∽△ADE，所以
∠ ∠
=
∠ ∠
，即只需证明
A F B M G I N H D O
E
C
例 6、如图，⊙O 与 AD、BC 相切，且与 AB 切于 E，⊙O 与 AB、CD 相切，且与 AD 切 于 F，⊙O 与 AD、BC 相切，且与 CD 切于 G，⊙O 与 AB、CD 相切，且与 BC 切于 H，求证： FE、DB、GH 三线共点。
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F
G
A O1
O2
E
H
D
B U M
L
C V K
J
O3
S
证明：如图，设O D 交O M 于 P，O J 交O K 于 Q，连接 BP 交 DM 于 U，连接 CQ 交 JK 于 V。根据变相同一法知要证 AS⊥BC，只需证明：
∠ ∠
=
∠ ∠
∠ ∠ ∠ ∠
（1） ，于是要证明（1），只需证明：
∠ ∠ ∠ ∠
∠ ∠
=
（6）
且
令∠BAC=∠DAE=m，∠ABD= ，∠ADB= ，∠ACE=x，∠AEC=y，则知2m + α + β = x + y， = = = 。 又
∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
=
( (
° °
) )
=
( (
) )
，
∠ ∠
=
( (
° °
) )
=
( (
)
)
。根据引理知
=
，（6）式成立。所以 BD、CE、MN 三线共点。
( ( ) )
=
( (
) )
⇔ cos(x − β) + cos(α + y) = cos(y − α) + cos(β + x) ⇔ cos(α + y) − cos(y − α) = cos(β + x) − cos(x − β) ⇔ sin y ∙ sin α = sin x ∙ sin β 由 = 知（2）式显然成立，引理得证。
文 武 光 华
第一讲
首先，我们来证明如下一个定理： 若x、y、α、β＞0，x + y = α + β < ，且 证明：因为x + y = α + β，所以： x−β= α−y 又因为 = = ，则x = α，y = β。 （1）
变相同一法
主讲人：田开斌
⇒ sin x ⋅ sin β = sin y · sin α ⇒ cos( x + β) − cos(x − β) =
∙ ∙ ∙ ∙
（3） （4） （5）
由（2）×（3）知： ∙ 由（1）、（4）可知： ∠ ∙ ∙ = ∠ ∙ ∙ 同理可得：
∠ ∠
=
∠ ∠
∙ ∙
∙ ∙
（6）
∠ ∠
由（5）、（6）知：
=
（7）
又∠A ED + ∠DEA = ∠C EF + ∠C EF < 180°，根据变相同一法知：∠A ED = ∠C EF，∠DEA = ∠FEC ，所以 D、E、F 三点共线。
∠ ∠
=
（4）
根据（2）、（4）知（1）式成立，命题得证。
A
E I J K F
B
N
D
M
C
P
例 5、如图，△ABC∽△ADE，M、N 分别为△ABC 和△ADE 的垂心，则 BD、CE、MN 三线 共点。（叶中豪老师题）
A B M N D
E
C
证明：我们先证明一个引理：若2m + α + β = x + y，则
∙ ∙
=
×
=
∙
∙
= cos ∙ = ∙
∆ ∆
∙
∠ ∠
= = （3）
∙ ∙ ∠ ∠
（2） ，所以
又根据三角形的面积公式知
∠ ∠
=
∠ ∠
=
=
又根据第 33 题引理知 AE=AE，所以∠AEF = ∠AFE = 90° − ，又∠BEP = 90° − ， ∠CFP=90° − ，所以∠PEF = 90° − ，∠PFE = 90° − 。代入（3）知
∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
= = = =
∆ ∆
=
∠ ∠
∙ ∙
∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
=
∙ ∙
∠ ∠
，所以 （2）
= =
∙ ∙
∙
又根据三角形面积公式知
∆ ∆
=
∙ ∙
∠ ∠
，所以 （3）
∠ ∠
∠ ∠
=
∙
根据（2）、（3）知，要证（1）式，只需证 ∙ ∙ 而 =
∠ ∠ ∠ ∠
=
∙
∠ ∠
，即
∙
∠ ∠ ∠ ∠
∠ ∠
△ △
= =
∙ ∙ ∠ ∠ ∠ ∠
∠ ∠
=
∠ ∠
，且
△ △
=
∙ ∙
∠ ∠
=
∠ ∠
，所以
（1） =
∠ ∠
同理可知：