第三章 整式的乘除
整式的乘除知识点归纳
整式的乘除知识点归纳整式是数学中常见的一类代数表达式，包含了整数、变量和基本运算符（加、减、乘、除）。
一、整式的定义整式由单项式或多项式组成。
单项式是一个数字或变量的乘积，也可以包含指数。
例如，3x^2是一个单项式，其中3和x表示系数和变量，2表示指数。
多项式是多个单项式的和。
例如，2x^2 + 3xy + 5是一个多项式，其中2x^2，3xy和5分别是单项式，+表示求和运算符。
二、整式的乘法整式的乘法遵循以下几个重要的法则：1.乘积的交换法则：a×b=b×a，即乘法运算符满足交换定律。
2.乘积的结合法则：(a×b)×c=a×(b×c)，即乘法运算符满足结合定律。
3.乘积与和的分配法则：a×(b+c)=(a×b)+(a×c)，即乘法运算符对加法运算符满足分配律。
在进行整式的乘法运算时，要注意变量之间的乘积也需要按照乘法法则进行处理。
例如，(2x^2)×(3y)=6x^2y。
三、整式的除法整式的除法是乘法的逆过程。
除法运算中，被除数除以除数得到商。
以下是几个重要的除法规则：1.除法的整除法则：若a能被b整除，则a/b为整数。
例如，6除以3得到22.除法的商式法则：若x为任意非零数，则x/x=1、例如，2x^2/2x^2=13.除法的零律：任何数除以0都是没有意义的，即不可除以0。
例如，5/0没有意义。
在进行整式的除法运算时，要注意约分和消去的原则。
例如，(4x^2+ 2xy)/(2x) 可以约分为2x + y。
四、整式的运算顺序在解决整式的复杂运算问题时，需要遵循一定的运算顺序。
常见的运算顺序规则如下：1.先解决括号内的运算。
2.然后进行乘法和除法的运算。
3.最后进行加法和减法的运算。
五、整式的因式分解因式分解是将一个整式拆解为多个因式的乘积的过程。
对于给定的整式，可以通过以下步骤进行因式分解：1.先提取其中的公因式。
新版浙教版七年级数学下册第三章整式的乘除课件
在整式的乘除混合运算中，利用分配 律将复杂的表达式化简为简单的形式 ，可以减少计算量。
在整式的乘除混合运算中，要注意符 号运算，确保结果的准确性。
先化简再计算
在进行整式的乘除混合运算时，可以 先对各个项进行化简，如合并同类项 、提取公因式等，然后再进行计算。
在解决实际问题时，常常需要将 复杂的数学表达式进行化简或求 解，这时就需要用到整式的除法
。
例如，在物理学中，计算电路中 的电流、电压等物理量时，常常
需要用到整式的除法。
CHAPTER 03
整式的乘除混合运算
整式的乘除混合运算规则
01
02
03
整式的乘法规则
根据单项式与多项式相乘 的法则，用单项式乘多项 式的每一项，再把所得的 积相加。
例子
计算$2x^2y times 3xy^2$，根 据整式的乘法法则，得到 $6x^3y^3$。
整式的乘法运算
整式的乘法运算步骤
首先将整式中的同类项合并，然后根 据整式的乘法法则进行计算。
例子
计算$(x + y)^2$，先合并同类项，得 到$x^2 + 2xy + y^2$，再根据整式 的乘法法则进行计算。
生物问题
在生物学中，整式的乘除也常用 于解决种群增长、基因频率计算
等问题。
整式的乘除在数学建模中的应用
经济模型
在经济模型中，整式的乘除常用 于解决与成本、收益、利润等相 关的计算问题，例如计算总成本
、总收入、总利润等。
物理模型
在物理模型中，整式的乘除也常用 于解决与速度、加速度、力等相关 的计算问题，例如计算物体的动能 、势能等。
化学模型
在化学模型中，整式的乘除也常用 于解决化学反应速率、化学平衡常 数等计算问题，以及物质的质量、 物质的量等计算问题。
整式的乘除教案
整式的乘除教案教案：整式的乘除一、教学内容本节课的教学内容选自人教版小学数学五年级上册第三单元《整式的乘除》。
本节课主要内容包括：1. 整式的乘法：单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式。
2. 整式的除法：单项式除以单项式，多项式除以单项式，多项式除以多项式。
二、教学目标1. 理解整式乘除的概念，掌握整式乘除的计算方法。
2. 能够运用整式乘除解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：整式的乘除运算规则，以及如何运用这些规则解决实际问题。
2. 教学重点：整式乘除的计算方法，以及如何将这些方法应用到实际问题中。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体课件。
2. 学具：练习本、铅笔、橡皮。
五、教学过程1. 实践情景引入：假设有一块长方形的地，长为8米，宽为6米，求这块地的面积。
2. 例题讲解：(1) 单项式乘以单项式：例如，3x × 4x = 12x²。
(2) 单项式乘以多项式：例如，2x × (x + 3) = 2x² + 6x。
(3) 多项式乘以多项式：例如，(x + 2) × (x + 3) = x² + 3x+ 2x + 6 = x² + 5x + 6。
(4) 单项式除以单项式：例如，12x² ÷ 4x = 3x。
(5) 多项式除以单项式：例如，(x² + 5x + 6) ÷ x = x + 5 +6/x。
(6) 多项式除以多项式：例如，(x² + 5x + 6) ÷ (x + 2) = x+ 3。
3. 随堂练习：a. 3x × 4xb. 2x × (x + 3)c. (x + 2) × (x + 3)a. 12x² ÷ 4xb. (x² + 5x + 6) ÷ xc. (x² + 5x + 6) ÷ (x + 2)4. 板书设计：整式的乘法：a. 3x × 4x = 12x²b. 2x × (x + 3) = 2x² + 6xc. (x + 2) × (x + 3) = x² + 5x + 6整式的除法：a. 12x² ÷ 4x = 3xb. (x² + 5x + 6) ÷ x = x + 5 + 6/xc. (x² + 5x + 6) ÷ (x + 2) = x + 35. 作业设计：a. 4y × 5yb. 3x × (2x 3)c. (2x + 4) × (3x 2)a. 15x² ÷ 5xb. (x² 5x + 6) ÷ xc. (x² 5x + 6) ÷ (x + 3)六、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课通过实践情景引入，使学生能够更好地理解整式的乘除概念。
整式的乘除知识点
整式的乘除知识点整式的乘法运算是指对两个或多个整式进行相乘的运算。
整式的除法运算是指对一个整式除以另一个整式的运算。
整式的乘除运算是代数学中的基本运算，它在代数方程的解法、因式分解等应用中起着重要作用。
一、整式的乘法运算整式的乘法是指对两个或多个整式进行相乘的运算，其规则如下：1.单项式相乘：两个单项式相乘时，按照数字相乘，字母相乘，再将相同字母的指数相加的原则进行运算。
例如：(3x^2)(-2xy)=-6x^3y2.整式相乘：将一个整式中的每一项与另一个整式中的每一项进行相乘，然后将所得的结果相加。
例如：(x+5)(x-3)=x^2-x(3)+5(x)-15=x^2-3x+5x-15=x^2+2x-153.公式相乘：根据一些常见公式和特殊公式，可以通过整式的乘法运算简化计算。
例如：(a+b)(a-b)=a^2-(b)^2=a^2-b^2二、整式的除法运算整式的除法是指对一个整式除以另一个整式的运算，其规则如下：1.简单整式的除法：当被除式是单项式，除式也是单项式，并且除式不为零时，可以进行简单整式的除法运算。
例如：12x^3/4x=x^32.整式长除法：当被除式是一个整式，除式也是一个整式，并且除式不为零时，可以进行整式长除法运算。
例如：(3x^3-2x^2+4x-6)/(x+2)=3x^2-8x+20余-463.分式的除法：分式的除法可以利用倒数的概念进行处理，将除法问题转化为乘法问题。
例如：(a/b)÷(c/d)=(a/b)×(d/c)=(ad)/(bc)三、整式乘除运算的性质和应用1.乘法交换律：整式的乘法满足交换律，即a×b=b×a。
这个性质可以简化计算，使得整式的乘法更加灵活。
2.乘法结合律：整式的乘法满足结合律，即(a×b)×c=a×(b×c)。
这个性质可以改变运算次序，简化计算过程。
3.乘法分配律：整式的乘法满足分配律，即a×(b+c)=a×b+a×c。
整式的乘除知识点
整式的乘除知识点整式的乘除是代数运算中的重要内容，它为解决各种数学问题提供了基础工具。
下面咱们就来详细说一说整式乘除的相关知识点。
首先，咱们聊聊整式的乘法。
单项式乘以单项式，就把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
比如说，3x²乘以 2x³，系数 3 和 2 相乘得 6，相同字母 x 分别相乘，指数2 和3 相加得 5，所以结果就是 6x^5 。
单项式乘以多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如，2x(3x² 4x ＋ 5)，那就是 2x 乘以 3x²得 6x³，2x 乘以－4x 得－8x²，2x 乘以 5 得 10x ，最后相加就是 6x³ 8x²＋ 10x 。
多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
举个例子，（x ＋ 2)（x 3)，就是 x 乘以 x得 x²，x 乘以－3 得－3x ，2 乘以 x 得 2x ，2 乘以－3 得－6 ，然后相加，结果就是 x² x 6 。
接下来，咱们再看看整式的除法。
单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
比如说，12x³y² ÷ 3x²y ，系数 12 除以 3 得 4，同底数幂 x³除以 x²得 x ，y²除以 y 得 y ，所以结果就是 4xy 。
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
例如，（6x³ 9x²＋ 3x) ÷ 3x ，6x³除以 3x 得 2x²，－9x²除以 3x 得－3x ，3x 除以 3x 得 1 ，所以结果就是 2x² 3x ＋ 1 。
《整式的乘除》知识结构课件
多项式图像
将整式代入变量，可以绘制多项式的图像，帮助我 们更好地理解函数的特性和变化。
整式乘除运算的注意事项
1 去括号
在进行整式乘除运算前，需要根据分配律将 括号内的项分别进行乘法运算。
2 合并同类项
在乘法时，需要将相同指数的变量相乘，并 将其结果合并为一个单项式。
整式乘除运算的习题练习
现在是你的练习时间！通过完成一系列习题，你可以提高整式乘除运算的技巧和速度。
整式的乘法和除法运算，包括单项式和多项式的 运算法则，并提供实际的应用举例和习题练习，让你轻松掌握整式的乘除运 算。
整式的定义
整式是由常数、变量和它们的积的和组成的代数表达式。
整式的乘法运算
单项式的乘法
单项式的乘法就是将两个单项式相乘，并使用乘法法则进行计算。
多项式的乘法
多项式的乘法是将每个单项式相乘，并将结果相加得到最终的结果。
整式的除法运算
单项式的除法
单项式的除法就是将一个单项式除以另一个单项式， 并使用除法法则进行计算。
多项式的除法
多项式的除法是将多项式分解为两个部分，然后对 每个部分进行除法运算，并将结果合并。
整式乘除运算的应用举例
方程求解
通过整式的乘除运算，我们可以解决各种代数方程， 包括线性方程和二次方程。
总结和回顾
通过学习整式的乘除运算，你已经掌握了代数表达式的基本操作技巧，为进 一步理解和解决复杂的数学问题打下了坚实的基础。
整式的乘除课件
详细描述
分配律是整式乘除中的基本运算规则，即 $a(b+c) = ab + ac$。通过分配律，可以 将复杂的整式乘法或除法转化为简单的代数 运算。例如，利用分配律计算整式 $(x+y)^2$，可以得出结果$x^2 + 2xy + y^2$。同样地，在整式除法中，也可以利 用分配律进行简化计算。
05
THANKS
感谢观看
单项式相除，系数相除，同底数的幂 相减。
如果两个单项式相除，可以直接将它 们的系数相除，同时将同底数的幂相 减。例如，$frac{3x^2}{5x} = frac{3}{5}x^{2-1} = frac{3}{5}x$。
单项式除以多项式
将多项式拆分成单项式，分别与被除式相除。
如果单项式除以多项式，可以将多项式拆分成若干个单项式，然后分别与被除式 相除。例如，$frac{x}{x+1} = frac{x}{x+1}$。
在数学教育中，整式的乘除是培养学生逻辑思维和数学素养 的重要内容之一。通过整式的乘除训练，可以提高学生的数 学思维能力，增强学生的数学应用能力。
02
整式乘法规则
单项式乘单项式
总结词
这是整式乘法中最简单的形式，只需 将两个单项式的系数相乘，并将相同 的字母的幂相加。
详细描述
例如，$2x^3 times 3x^2 = 6x^{3+2} = 6x^5$。
单项式乘多项式
总结词
将一个单项式与一个多项式中的每一项分别相乘，然后合并同类项。
详细描述
例如，$(2x - 3y) times 3x = 6x^2 - 9xy$。
多项式乘多项式
总结词
将两个多项式的每一对相应项分别相乘，然后合并同类项。
整式的乘除数学课件PPT
03
整式乘除混合运算
乘除混合运算顺序
运算优先级
在整式的乘除混合运算中，遵循 先乘除后加减的运算优先级。先 进行乘法或除法运算，再进行加 法或减法运算。
括号处理
若整式中包含括号，则先进行括 号内的运算，再按照运算优先级 进行乘除和加减运算。
乘除混合运算技巧
乘法分配律
在整式乘法中，可以运用乘法分配律 简化计算过程。例如，a(b+c)可以拆 分为ab+ac。
积的乘方
把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即$(ab)^n = a^n times b^n$。
乘法分配律在整式中的应用
01
单项式与多项式相乘的分配律
单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式去乘多项式的每
一项，再把所得的积相加。
02
多项式与多项式相乘的分配律
多项式与多项式相乘时，将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一
实例三
计算(2x+3)(x-1)/x。首先进行括号内 的运算，得到2x^2-2x+3x-3，然后 合并同类项得到2x^2+x-3，最后进 行除法运算得到2x+1-3/x。
计算(x^2+2x+1)/(x+1) * (x^2-1)。 首先进行因式分解，得到 (x+1)^2/(x+1) * (x+1)(x-1)，然后 约去公因式(x+1)，得到(x+1)(x-1)， 最后进行乘法运算得到x^2-1。
整式乘除的拓展与延伸
分式的乘除运算
分式乘法法则
分式的乘法法则是分子乘分子作为新的分子，分母乘分母作为新 的分母。
分式除法法则
分式的除法法则是将除数的分子分母颠倒位置后与被除数相乘。
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第三章 整式的乘除测试卷
班级 学号 姓名 得分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．化简322a a a +⋅的结果等于（ ）
（A ）33a （B ）32a （C ）53a （D ）62a
2．用科学记数方法表示0000907.0，得（ ）
（A ）41007.9-⨯ （B ）51007.9-⨯ （C ）6107.90-⨯ （D ）7107.90-⨯
3．计算2)3(b a -，结果是（ ）
（A ）229b a - （B ）2269b ab a ++
（C ）2269b ab a +- （D ）229a b -
4．计算2-)3(-的结果是（ ）
（A ）91 （B ）6- （C ）9
1- （D ）9- 5．下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）
（A ）)2)(2(b a b a +-- （B ）)2)(2(b a b a +-
（C ）)2)(2(b a a b +-- （D ）)2)(2(b a b a +-
6．下列计算中正确的是（ ）
（A ）632a a a =⨯ （B ）5
32)(a a = （C ）326a a a =÷ （D ）33332a a a =+
7．已知210=a ，210-=b ，10=c ，3
10-=d 那么下列各式正确的是（ ）
（A ）cd ab = （B ）bd ac = （C ）d abc = （D ）bc ad =
8．如果q px x x x ++=-+2)5)(4(，那么p ，q 的值是（ ）
（A ）1-=p ，20-=q （B ）1=p ，20-=q
（C ）1=p ，20=q （D ）1-=p ，20=q
9. 已知a 2﹣b 2＝8，且a ﹣b ＝﹣4，则a +b 的值是（ ）
（A ）4 （B ）12 （C ）2 （D ）﹣2
10．如果整式是()2
2__9+=++x mx x ，那么常数m 的值是（ ） （A ）6 （B ）3 （C ）3± （D ）6±
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．计算：)2(164
253y x z y x -÷= _________．
12．要使0)5(+x 有意义，则x 应满足的条件是_________．
13．若638a x -=，则=x _________． 14．如果8
12=x ，那么=x _________． 15．如果)1)((++x p x 的乘积中不含x 的一次项，那么p 等于_________．
16．一个多项式与b a 2-的积为b a c b a c b a 2232233+-，则这个多项式是_________．
17． ()20112010425.0⨯-= _____．
18．右图中阴影部分的面积可以表示成()ab b a 42-+，还可以表示成 ______ ，由此可以得出 ．
19．若()()2227,3,=________,ab________a b a b b +=-=+2则a
20．若等式（a ﹣2）3
﹣2a ＝1成立，则a 的值可能为________________．
三、解答题（共40分）
21．（6分）计算．
（1）()()23332
2b a b a +- （2）23332(2)6(2)x x x x x -++
(3) a ·
a 2·a 3+(－2a 3) 2－(2a 4) 2÷a 2
a
b （第18题）
22．（6分）先化简，再求值：()()()()1222222+++---a b b a b a b a ，其中75999=a ，2-=b ．
23．（6分）先化简，再求值：
已知a 2﹣3a +1＝0，求代数式（3a ﹣2）2﹣3a （2a ﹣1）+5的值.
24．（6分）阅读理解：已知a +b ＝﹣4，ab ＝3，求a 2+b 2的值．
解：∵a +b ＝﹣4，∴（a +b ）2＝（﹣4）2．即a 2+2ab +b 2＝16．
∵ab ＝3，∴a 2+b 2＝10．
参考上述过程答案：
已知a ﹣b ＝﹣3，ab ＝﹣2．求式子（a ﹣b ）（a 2+b 2）的值.
25. (8分)王老师家买了一套新房，其结构如图所示（单位：m ）．他打算将卧室铺上木地板，
其余部份铺上地砖．
（1）木地板和地砖分别需要多少平方米？
（2）如果地砖的价格为每平方米x 元，木地板的价格为每平方米3x 元，那么王老师需要花多少钱？
26. (8分))(32-2b ax x x ++）（乘积中2x 的系数为-1，且不含有x 的一次项，求a b -的值.。