【精品推荐】(人教版)高中数学必修5课件：第2章 习题课1 ppt课件
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(人教版)高中数学必修5课件：第2章 数列2.1 第1课时
[思路点拨] 根据数列的前几项求它的一个通项公式， 要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法， 转化为一些常见的数列来求．
解析： (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其 各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的 绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．
答案： C
数学 必修5
第二章 数 列
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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数学 必修5
第二章 数 列
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解析： A选项中的数列是递减数列，B选项中的数列 是摆动数列，D选项中的数列是有穷数列，只有C选项中的数 列是无穷数列且是递增数列，故选C.
无穷数列
无限 项 数_____的数列
从第2项起
递增数列 _大__于_______，每一项都 _____它的前一项的数列
例子
1,2,3,4，…， 100 1,4,9，…，n2， …
3,4,5，…，n ＋2
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第章 数 列
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从第2项起 小于
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第二章 数 列
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[边听边记] (1)是集合，不是数列．(3)不能构成数列， 因为无法把所有的无理数按一定顺序排列起来．(2)(4)(5)是数 列，其中(4)是无穷数列，(2)(5)是有穷数列．
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第二章 数 列
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第二章 数 列
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高中数学必修五全册PPT课件
在△ABC 中，sinA B C＝
，则△ABC 是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
[答案] C
[解析] 由正弦定理，得 a b c＝
B C＝
设 a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0)，由于 c>b>a，故角 C 是△ABC 中最大的角，
因为 cosC＝b2＋2aa2b－c2＝5k22＋×53kk×2－3k7k2 ＝－12<0， 所以 C>90°，即△ABC 为钝角三角形
∵∠ADC＝45°，DC＝2x， ∴在△ADC 中，根据余弦定理，得 AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos45°， AC2＝4x2－4x＋2， 又 AC＝ 2AB， ∴AC2＝2AB2， 即 x2－4x－1＝0，解得 x＝2± 5. ∵x>0，∴x＝2＋ 5，即 BD＝2＋ 5.
名师辨误做答
已知△ABC 中，a＝1，b＝1，C＝120°，则边 c＝________.
[答案] 3 [解析] 由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋1－ 2×1×1×(－12)＝3，∴c＝ 3.
已知三边解三角形
在△ABC 中：(1)a＝3，b＝4，c＝ 37，求最 大角；
(2)a:b:c＝1: 3:2，求 A、B、C. [解析] (1)∵ 37>4>3，边 c 最大，则角 C 最大， 又 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝322＋×432×－437＝－12. ∴最大角 C＝120°.
在钝角三角形 ABC 中，a＝1，b＝2，c＝t，且 C 是最大角，则 t 的取值范围是________．
[错解] ∵△ABC 是钝角三角形且 C 是最大角，∴C>90°， ∴cosC<0，∴cosC＝a2＋2ba2b－c2<0， ∴a2＋b2－c2<0，即 1＋4－t2<0. ∴t2>5.又 t>0，∴t> 5， 即 t 的取值范围为( 5，＋∞)．
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除b记作a|b，表示存在整数k，使得b=ak。
02 03
同余概念
同余是数论中的一个重要概念，表示两个整数除以某个正整数余数相同。 例如，a和b对模m同余记作a≡b(mod m)，表示存在整数k，使得 a=b+km。
素数概念
素数是只有1和本身两个正因数的自然数，是数论研究的基础对象之一。 例如，2、3、5、7等都是素数。
绝对值不等式解法
绝对值不等式的定义
01
含有绝对值符号的不等式。
绝对值不等式的解法
02
根据绝对值的定义，将绝对值不等式转化为分段函数或一元一
次不等式组进行求解。
绝对值不等式的性质
03
包括对称性、非负性等。
04
函数与导数应用
函数概念及性质回顾
函数定义
函数是一种特殊的对应关 系，它表达了自变量与因 变量之间的依赖关系。
数列的性质
包括周期性、有界性、单调性等。
等差数列与等比数列
等差数列定义
01 相邻两项之差为常数的数列。
等差数列的通项公式
02 an=a1+(n-1)d，其中d为公差。
等差数列的性质
包括对称性、可加性等。
03
等比数列定义
04 相邻两项之比为常数的数列。
等比数列的通项公式
05 an=a1*q^(n-1)，其中q为公比。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象：振 幅、周期、相位变换对图象的影
响。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
振幅变换
A的变化对函数图象的影响，包括上下平移和伸缩 变换。
周期变换
ω的变化对函数图象的影响，包括左右平移和伸 缩变换。
相位变换
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25
分析 先归纳出数列的通项公式，在理解数列的项与项 数的关系的情况下，求项和项数，即通项公式中用n＝20代 入求出a20，令an＝4 2 ，或an＝10解出n值，判断是否为该数 列的项．
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26
解 (1)原数列可写为 2 ， 5 ， 8 ， 11 ，…，不难发 现，“ ”下面的数值后一项比前一项大3，故通项公式可 写为an＝ 2＋n－1×3＝ 3n－1，即an＝ 3n－1.
29
变式训练2 已知数列{an}的通项公式an＝2n2－n. (1)写出这个数列的第4项和第6项； (2)试问45是否是{an}中的项，3是否是{an}中的项？
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30
解 (1)a4＝2×42－4＝28， a6＝2×62－6＝66. (2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，得n＝5， n＝－92(舍)，故45是此数列中的第5项． 令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，此方程不存在正整数 解，故3不是此数列中的项．
分子中的22,32,42,52恰是分母之平方，－1不变，故它的一 个通项公式为
an＝n＋n＋121－1.
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17
(2)该数列各项符号是正负交替变化的，需设计一个符号 因子(－1)n，分子均为1不变，分母2,6,12,20可分解为 1×2,2×3,3×4,4×5，则它的一个通项公式为
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38
易错探究
（学生用书P27）
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39
在数列{an}中，an＝(n＋1)
32
分析 (1)将a1＝1，a2＝2代入递推公式，求a3，依此类 推，可求出前5项．
(2)可由(1)求出b1，b2，b3，b4.
高中数学优质课件精选人教版必修五第2章数列2.1第2课时
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•
(1)由于数列是特殊函数，因此可
以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性
质，如单调性、最大值、最小值等；此时要注
意数列的定义域为正整数集(或其子集)这一条
件．
(2)可以利用不等式组
an－1≤an， an≥an＋1，
找到数列的最大项；利
用不等式组aann≤－1≥an＋a1n，， 找到数列的最小项．
4分 6分 8分
10分
12分
方法二：根据题意，令aann≥－1≤an＋a1n
即n×1110n－1≤n＋11110n
，
n＋11110n≥n＋21110n＋1
解得 9≤n≤10.6 分
又 n∈N*，∴n＝9 或 n＝10.
∴该数列有最大项，为第 9,10 项，
且 a9＝a10＝10×11109.
2分 4分 10 分 12 分
• (2)数列的递推公式是给出数列的另一重要形 式．一般地，只要给出数列的首项或前几项以 及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就 可以依次求出数列的各项．
• 拓展： 通项公式与递推公式的关系示意图
• 1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
• A．an＋1＝an＋n，n∈N* • B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2 • C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2 • D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2 • 解析： a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，a4＝a3＋4， a5＝a4＋5，…. • ∴an＝an－1＋n(n≥2)．
得aan－n 1＝aann－ －12＝…＝aa32＝aa21＝2(n≥2)． ∴an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa32·aa21·a1 ＝2·2·…·2·2＝2n. 又当n＝1时，a1＝21＝2成立， ∴an＝2n(n∈N*)．
(人教版)高中数学必修5课件：第2章 数列2.2 第1课时
答案： 12－n
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第二章 数 列
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4．已知三个数成等差数列，它们的和为 18，它们的平方 和为116，求这三个数．
解析： 设这三个数分别为 a－d，a，a＋d，
a－d＋a＋a＋d＝18， 则 2 2 2 a － d ＋ a ＋ a ＋ d ＝116.
1．了解等差数列与二元一次方程、一次函数的联系．
2．理解等差数列的概念． 3．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认 识并能运用．
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第二章 数 列
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观察以下这四个数列：
0,5,10,15,20，…
48,53,58,63 18,15.5,13,10.5,8,5.5 10 072,10 144,10 216,10 288,10 360 [问题] 这些数列有什么共同特点呢？ [提示] 特点)． 以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都 等于同一个常数 ( 即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的
① ②
由①得 a＝6，代入②，解得 d＝± 2. 所以所求的三个数为 4,6,8 或 8,6,4.
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第二章 数 列
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答案： B
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第二章 数 列
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3．已知等差数列{an}中，a4＝8，a8＝4，则其通项公式an ＝________.
解析： ∵由a4＝8，a8＝4，
a1＋3d＝8， 得 a1＋7d＝4，
∴d＝－1，a1＝8－3d＝11， ∴an＝a1＋(n－1)d ＝11－(n－1)＝12－n.
高二数学必修5第二章 数列2-3课件(共22张PPT)
第二章 数列
2.3 等差数列前n项和公式
第一页，编辑于星期一：一点 二十分。
本节主要学习等差数列前n项和公式及其简单应用。以泰姬陵中的 宝石数为引子，研究求和公式。用高斯小时候的故事来讲解求和公式。 问题探究一：用倒序相加法得出公式并总结变形公式。用例1加以巩 固。问题探究二：公式的灵活应用，知三求二，用变式2、3加以巩固。
第十一页，编辑于星期一：一点 二十分。
第十二页，编辑于星期一：一点 二十分。
(II)在等差数列 an中,已知: d 4 , n 20 , sn 460
求
a1
及
a 20
.
解: 利用 公式2
Sn
na1
n(n 1) 2
d
a1= -15
再根据
a20= 61
第十三页，编辑于星期一：一点 二十分。
例2 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校 通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目 标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的 校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500 万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一 年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校
通”工程中的总投入是多少？
第十四页，编辑于星期一：一点 二十分。
解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经 费都比上一年增加50万元。所以，可以建立一个等差数列{an},表示从 2001年起各年投入的资金，其中 那么，到2010年(n=10),投入的资金总额为
答：从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。
问题1:图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
2.3 等差数列前n项和公式
第一页，编辑于星期一：一点 二十分。
本节主要学习等差数列前n项和公式及其简单应用。以泰姬陵中的 宝石数为引子，研究求和公式。用高斯小时候的故事来讲解求和公式。 问题探究一：用倒序相加法得出公式并总结变形公式。用例1加以巩 固。问题探究二：公式的灵活应用，知三求二，用变式2、3加以巩固。
第十一页，编辑于星期一：一点 二十分。
第十二页，编辑于星期一：一点 二十分。
(II)在等差数列 an中,已知: d 4 , n 20 , sn 460
求
a1
及
a 20
.
解: 利用 公式2
Sn
na1
n(n 1) 2
d
a1= -15
再根据
a20= 61
第十三页，编辑于星期一：一点 二十分。
例2 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校 通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目 标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的 校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500 万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一 年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校
通”工程中的总投入是多少？
第十四页，编辑于星期一：一点 二十分。
解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经 费都比上一年增加50万元。所以，可以建立一个等差数列{an},表示从 2001年起各年投入的资金，其中 那么，到2010年(n=10),投入的资金总额为
答：从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。
问题1:图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
高中数学人教版必修五第二章数列总复习 课件(共21张PPT)
求f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) ... f (1999 )的值.
2000 2000 2000
2000
解： S f ( 1 ) f ( 2 ) f (1000 ) L f (1998 ) f (1999 )
2000 2000
2000
2000 2000
S f (1999 ) f (1998 ) f (1000 ) L f ( 2 ) f ( 1 )
2000 2000
2000
2000 2000
S
S
f
( 1 ) 2000
f
( 12909090 )
Hale Waihona Puke f(2) 2000
f
(1998 2000
)
f
(1999 ) 2000
f
( 20100)
11999
S 1999 2
补充2、并项求和法. 练习：求和 S 12 22 32 42 52 62 L 992 1002
等比数列通项公式，形如an＝a·qn－1，
方法4：前n项和公式法
等差数列前 n项和公式，形如 Sn an2 bn 等比数列前 n项和公式，形如 Sn Aqn A（q 0，1)
等差数列的重要性质
（1） an am n m d
（2） 若 m n p q 2k
d an am nm
a2 2S1 1 1
a2 1，数列从第2项开始是等比的答案：an
a1
1, (n 1) 3n2 , (n
2)
n 2时，an a2qn2 3n2
验证n=1时是否可以合并！！！
na1
2、Sn
a1
1 qn
1q
q 1
人教版高中数学必修五第二章数列课件PPT
项都有对应关系，见下表：
(2)从函数的观点看数列. 数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集 {1,2,…,n}）的函数f（n），当它的自变量n从开始依次取 正整数值时，对应的一列函数值为f（1），f（2），…， f（n），….
（3）数列的图象表示. 以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图，就可 以得到数列的图象.因为它的定义域是正整数集N*（或它的 有限子集{1,2,…,n}）所以其图象是一群孤立的点，这些 点的个数可以是无限的，也可以是有限的.
（3）次序对一个数列来说相当重要，有几个不同的数，由 于它们的次序不相同，可构成不同的数列.显然，数列与数 集有本质的区别.
2.数列分类的判断 （1）若数列{an}满足an＜an+1，则是递增数列； （2）若数列{an}满足an＞an+1，则是递减数列； （3）若数列{an}满足an=an+1，则是常数列； （4）若数列{an}从第2项起，有些项大于它的前一项，有 些项小于它的前一项，则是摆动数列.
为 4， 4，4，…，4 ，再把分母分别加1，又变为
2 5 8 11
4， 4， 36
4， 9
1…42，，∴数列的通项公式为an=
4 （(n∈1）Nn1*).
3n 1
数列的函数特性
【名师指津】数列与函数的关系
（1）数列中的对应. 对于任意数列如：1，1，1，1，1，1，1，…，每一项的序号与该
234567
(2)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用 （-1）k处理符号问题. (3)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式， 或者利用周期函数，如三角函数等.
2.“基本数列”的通项公式. (1)数列-1，1，-1，1，…的通项公式是an=(-1)n； (2)数列1，2，3，4，…的通项公式是an=n； (3)数列3，5，7，9，…的通项公式是an=2n+1； (4)数列2，4，6，8，…的通项公式是an=2n； (5)数列1，2，4，8，…的通项公式是an=2n-1；
(2)从函数的观点看数列. 数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集 {1,2,…,n}）的函数f（n），当它的自变量n从开始依次取 正整数值时，对应的一列函数值为f（1），f（2），…， f（n），….
（3）数列的图象表示. 以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图，就可 以得到数列的图象.因为它的定义域是正整数集N*（或它的 有限子集{1,2,…,n}）所以其图象是一群孤立的点，这些 点的个数可以是无限的，也可以是有限的.
（3）次序对一个数列来说相当重要，有几个不同的数，由 于它们的次序不相同，可构成不同的数列.显然，数列与数 集有本质的区别.
2.数列分类的判断 （1）若数列{an}满足an＜an+1，则是递增数列； （2）若数列{an}满足an＞an+1，则是递减数列； （3）若数列{an}满足an=an+1，则是常数列； （4）若数列{an}从第2项起，有些项大于它的前一项，有 些项小于它的前一项，则是摆动数列.
为 4， 4，4，…，4 ，再把分母分别加1，又变为
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4， 9
1…42，，∴数列的通项公式为an=
4 （(n∈1）Nn1*).
3n 1
数列的函数特性
【名师指津】数列与函数的关系
（1）数列中的对应. 对于任意数列如：1，1，1，1，1，1，1，…，每一项的序号与该
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(2)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用 （-1）k处理符号问题. (3)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式， 或者利用周期函数，如三角函数等.
2.“基本数列”的通项公式. (1)数列-1，1，-1，1，…的通项公式是an=(-1)n； (2)数列1，2，3，4，…的通项公式是an=n； (3)数列3，5，7，9，…的通项公式是an=2n+1； (4)数列2，4，6，8，…的通项公式是an=2n； (5)数列1，2，4，8，…的通项公式是an=2n-1；
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答：此船可以继续一直沿正北方向航行
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
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第二章 数 列
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递推公式求an
利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有以下三种 方法：
(1)累加法：如果已知数列{an}的相邻两项an＋1与an的差的 一个关系式，我们可依次写出前n项中所有相邻两项的差的关 系式，然后把这n－1个式子相加，整理求出数列的通项公式．
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又a1－1＝－13. ∴数列{an－1}是首项为－13，公比为12的等比数列． ∴an－1＝－13×12n－1. ∴an＝1－13×12n－1.
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由an与Sn的关系求an
数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，对任意n∈ N*，有an＋1＝13Sn，求数列{an}的通项公式．
即an＋1－an＝13an，
∴an＋1＝43an.
6分
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∴当 n≥2 时，数列{an}是以 a2＝13S1＝13为首项，以43为公
比的等比数列.
8分
∴当 n≥2 时，an＝a2·qn－2＝13·43n－2.
10 分
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解析：
可将首项－1写成－
3 3
，分母为2n＋1，分子为(n
＋1)2－1＝n(n＋2)，符号为(－1)n.
答案： D
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2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( )
①
∴当n≥2时，Sn－1＝2－3an－1，
②
由①－②得，an＝－3an＋3an－1，即an＝
3 4
an－1.又Βιβλιοθήκη n＝1时，a1＝S1＝2－3a1，∴a1＝
1 2
，∴{an}是首项为
1 2
，公比为
3 4
的
等比数列，∴an＝1234n－1. 答案： 1234n－1
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∴an＝a1·aa12·aa32·aa43·…·aan－n 1 ＝3×21·22·23·…·2n－1 ＝3×21＋2＋3＋…＋(n－1)
n－1·n
＝3×2 2
n2－n
＝3·2 2 .
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构造法
已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3，求an.
…
a3－a2＝f(2)， a2－a1＝f(1)．
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以上(n－1)个等式累加得 an－a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(2)＋f(1)，
n－1
∴an＝a1＋ f(k)，
k＝1
为了书写方便，也可以用横式来写： ∵当n≥2时，an－an－1＝f(n－1)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝f(n－1) ＋f(n－2)＋…＋f(2)＋f(1)＋a1.
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当题中出现an＋1＝pan＋q(pq≠0且p≠1)的形 式时，把an＋1＝pan＋q变形为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，即an＋1＝pan＋
λ(p－1)，令λ(p－1)＝q，解得λ＝
q p－1
，从而构造出等比数列
{an＋λ}．
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已知形如aan＋n 1＝f(n)型的递推公式求通项公式
(1)当f(n)为常数时，即
an＋1 an
＝q(其中q是不为0的常数)，此
时数列为等比数列，an＝a1·qn－1.
(2)当f(n)为n的函数(非常数)时，用累乘法．
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累加法
在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋2n－1(n≥2且 n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
[思路点拨] 根据递推公式，写出n－1个等式an＝an－1＋ 2n－1(n依次取n，n－1，n－2，…，2)，将这n－1个等式左右
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1．数列－1，85，－175，294，…的一个通项公式是( ) A．an＝(－1)n2nn3＋＋n1 B．an＝(－1)nn2nn＋＋13 C．an＝(－1)nn＋2n1－2－ 1 1 D．an＝(－1)nn2nn＋＋12
两边分别相加即可．
[边听边记] 由于an－an－1＝2n－1(n≥2)，令n分别取n，n －1，n－2，…，3,2则可得an－an －1＝2n－1，an－1－an－2＝2(n －1)－1，…，a3－a2＝2×3－1，a2－a1＝2×2－1.
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4．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，求an.
解析： 在an＋1－an＝2n中，令n＝1，得a2－a1＝2；令n ＝2，得a3－a2＝4，…，an－an－1＝2(n－1)．
把上面n－1个式子相加，得an－a1＝2＋4＋6＋…＋2(n－1) ＝2＋2n－22n－1＝n2－n，∴an＝n2－n＋33.
由aan＋n 1＝f(n)得n≥2时，aan－n 1＝f(n－1)，
∴an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa21·a1＝f(n－1)·…·f(1)·a1.
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2．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2n·an，求an. 解析： ∵an＋1＝2n·an， ∴an＝2n－1·an－1，
[思路点拨] 解答本题可先利用an与Sn的关系：an＝
S1
n＝1，
Sn－Sn－1 n≥2.
消掉Sn，求出an，或消掉an求出Sn再求an.
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[规范解答] 方法一：当n＝1时，S1＝a1＝1.2分
当n≥2时，an＋1－an＝13(Sn－Sn－1)，
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公式
已知形如an＋1－an＝f(n)型的递推公式求通项
(1)当f(n)＝d为常数时，此时数列为等差数列，则an＝a1＋ (n－1)d；
(2)当f(n)为n的函数(非常数)时，用累加法．
方法如下：由an＋1－an＝f(n)得 当n≥2时，an－an－1＝f(n－1)， an－1－an－2＝f(n－2)，
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把上面的n－1个等式左右两边分别相加得 an－a1＝2·n－12n＋2－(n－1) ＝(n－1)(n＋2)－(n－1) ＝n2－1. ∵a1＝1，∴an＝n2(n≥2)． 又∵a1＝1也适合上式， ∴an＝n2(n∈N*)．
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an与Sn的关系
an＝SS1n－n＝Sn－11，n≥2. 根据已给出的关系式，令n＝n＋1(或n＝n－1)，写出一个 an＋1(或an－1)与Sn＋1(或Sn－1)的关系式，然后将两式相减，消去 Sn，得到an与an＋1(或an与an－1)的关系，从而确定数列{an}是等 差数列或等比数列或其他数列，然后求出其通项公式．
1
n＝1，
综上，an＝13·43n－2 n≥2.
12 分
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方法二：由an＋1＝13Sn得Sn＋1－Sn＝13Sn.
即Sn＋1＝43Sn.
4分
∴数列{Sn}是以S1＝1为首项，以43为公比的等比数列.6分
[思路点拨] 将条件变形为an＋3＝2(an－1＋3)，则数列{an
＋3}是等比数列，求出{an＋3}的通项公式．
解析： ∵an＋1＝2an＋3，∴an＝2an－1＋3，
①
设①式可写成an＋λ＝2(an－1＋λ)(λ为待定系数)的形式，
即an＝2an－1＋λ，
②
①②两式对应系数比较，得λ＝3.
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1．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋2n，求通项公式． 解析： ∵an＋1＝an＋2n， ∴an＋1－an＝2n， ∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝2＋21＋22＋…＋2n－1 ＝2＋211－－22n－1＝2＋2n－2＝2n . ∴an＝2n(n≥2)． 又∵n＝1适合上式，