高三数学一轮复习不等式知识点突破训练含答案解析

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2021届高考数学一轮总复习第7章不等式第2节一元二次不等式及其解法跟踪检测文含解析

第七章不等式第二节一元二次不等式及其解法A 级·基础过关|固根基|1.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝( ) A ．{1，2} B ．{0，1，2} C ．{1}D ．{1，2，3}解析：选A ∵A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0＝{x|0<x≤2}， ∴A ∩B ＝{1，2}．故选A.2．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1m <x<2，则m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D ．(－∞，0)解析：选D 由不等式的解集形式知m<0.故选D.3．若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1，4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2，5]解析：选A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a≤4即可，解得－1≤a≤4.4．(2019届内蒙古包头模拟)不等式f(x)＝ax 2－x －c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y ＝f(－x)的图象为( )解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a<0，－2＋1＝1a ，－2×1＝－ca，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－2，则函数f(x)＝－x 2－x ＋2，那么y ＝f(－x)＝－x 2＋x ＋2，结合选项可知选C.5．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a<0的解集中至多包含2个整数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3，5) B ．(－2，4) C ．[－3，5]D ．[－2，4]解析：选D 因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a<0可化为(x －1)(x －a)<0，当a>1时，不等式的解集为{x|1<x<a}；当a<1时，不等式的解集为{x|a<x<1}，当a ＝1时，不等式的解集为∅，要使不等式的解集中至多包含2个整数，则a≤4且a≥－2，所以实数a 的取值范围是a∈[－2，4]，故选D.6．不等式2x ＋1<1的解集是________．解析：2x ＋1<1⇒2－（x ＋1）x ＋1<0⇒x －1x ＋1>0⇒x>1或x<－1.答案：{x|x>1或x<－1}7．已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋8)，则实数c 的值为________．解析：因为函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b∈R)的值域为[0，＋∞)，所以函数的最小值为0，可得Δ＝a 2－4b ＝0，即b ＝14a 2.又因为关于x 的不等式f(x)<c 可化成x 2＋ax ＋b －c<0，所以x 2＋ax ＋14a 2－c<0，若不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋8)，也就是方程x 2＋ax ＋14a 2－c ＝0的两根分别为x 1＝m ，x 2＝m ＋8，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝14a 2－c ，可得|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝64，即(－a)2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2－c ＝64，解得c ＝16.答案：168．已知函数f(x)＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x 都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，则a ＝________，b 的取值范围是________．解析：由f(1－x)＝f(1＋x)，知f(x)的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f(x)开口向下，所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，所以f(x)min ＝f(－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2. 又因为f(x)>0恒成立，即b 2－b －2>0成立，解得b<－1或b>2.答案：2 (－∞，－1)∪(2，＋∞)9．已知函数f(x)＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0；当x∈(－3，2)时，f(x)>0.(1)求f(x)在[0，1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围．解：(1)因为当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，当x∈(－3，2)时，f(x)>0.所以－3，2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝8－ba ，－3×2＝－a －aba ，所以a ＝－3，b ＝5，所以f(x)＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋754.因为函数图象关于x ＝－12对称且抛物线开口向下，所以f(x)在[0，1]上为减函数，所以f(x)max ＝f(0)＝18，f(x)min ＝f(1)＝12，故f(x)在[0，1]内的值域为[12，18]．(2)由(1)知不等式ax 2＋bx ＋c ≤0可化为－3x 2＋5x ＋c≤0，要使－3x 2＋5x ＋c≤0的解集为R ，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2512. 10．解关于x 的不等式x 2－2ax ＋2≤0.解：对于方程x 2－2ax ＋2＝0，因为Δ＝4a 2－8，所以当Δ<0，即－2<a< 2 时，x 2－2ax ＋2＝0无实根．又二次函数y ＝x 2－2ax ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅；当Δ＝0时，即a ＝± 2 时，x 2－2ax ＋2＝0有两个相等的实根，当a ＝2时，原不等式的解集为{x|x ＝2}，当a ＝－2时，原不等式的解集为{x|x ＝－2}；当Δ>0，即a>2或a<－ 2 时，x 2－2ax ＋2＝0有两个不相等的实根，分别为x 1＝a －a 2－2，x 2＝a ＋a 2－2，且x 1<x 2，所以原不等式的解集为{x|a －a 2－2≤x ≤a ＋ a 2－2}．综上，当a>2或a<－ 2 时，解集为{x|a －a 2－2≤x ≤a ＋ a 2－2}；当a ＝ 2 时，解集为{x|x ＝2}；当a ＝－2时，解集为{x|x ＝－2}；当－2<a<2时，解集为∅.B 级·素养提升|练能力|11.设f(x)满足f(－x)＝－f(x)，且在[－1，1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t 2－2at ＋1对所有的x∈[－1，1]，当a∈[－1，1]时都成立，则t 的取值范围是( )A ．－12≤t ≤12B ．t ≥2或t≤－2或t ＝0C ．t ≥12或t≤－12或t ＝0D ．－2≤t≤2解析：选B 若函数f(x)≤t 2－2at ＋1对所有的x∈[－1，1]时都成立，由已知易得f(x)的最大值是1，∴1≤t 2－2at ＋1对a∈[－1，1]时都成立，即2ta －t 2≤0对a ∈[－1，1]都成立．设g(a)＝2ta －t 2(－1≤a≤1)，欲使2ta －t 2≤0恒成立，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）≤0，g （1）≤0⇒t ≥2或t ＝0或t≤－2.故选B.12．(一题多解)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 恒成立，则a 的最小值是( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3解析：选C 解法一：令f(x)＝x 2＋ax ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1－a 24⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.当0<－a 2<12，即－1<a<0时，f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1－a 24，要使不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，只需1－a 24≥0，显然成立．当－a 2≥12，即a≤－1时，函数f(x)在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减，f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝54＋a2，同理，要使原不等式恒成立，需有54＋a 2≥0，解得a≥－52，∴－52≤a ≤－1.当－a 2≤0，即a≥0时，函数f(x)在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，f(x)>f(0)＝1>0恒成立．综上，a 的取值范围是a≥－52，其最小值为－52.故选C.解法二：因为x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，所以不等式x 2＋ax ＋1≥0可化为a≥－x －1x ，令f(x)＝－x －1x ，则f′(x)＝－1＋1x 2＝（1－x ）（1＋x ）x 2>0，所以f(x)在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，所以f(x)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－52，由题意得a≥－52，故a 的最小值为－52.故选C.13．(2019届云南昆明适应性检测)关于x 的不等式a≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集为[a ，b]，则b －a ＝________．解析：画出函数f(x)＝34x 2－3x ＋4＝34(x －2)2＋1的图象，如图．可得f(x)min ＝f(2)＝1，由图象可知，若a>1，则不等式a≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集分两段区域，不符合已知条件，因此a≤1，此时a≤34x 2－3x ＋4恒成立．又不等式a≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集为[a ，b]，所以a≤1<b，f(a)＝f(b)＝b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧34a 2－3a ＋4＝b ，34b 2－3b ＋4＝b ，由34b 2－3b ＋4＝b ，化为3b 2－16b ＋16＝0，解得b ＝43或b ＝4.当b ＝43时，由34a 2－3a ＋4－43＝0，解得a ＝43或a ＝83，不符合题意，舍去．所以b ＝4，此时a ＝0，所以b －a ＝4. 答案：414．函数f(x)＝x 2＋ax ＋3.(1)当x∈R 时，f(x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x 的取值范围．解：(1)因为当x∈R 时，x 2＋ax ＋3－a≥0恒成立，只需Δ＝a 2－4(3－a)≤0，即a 2＋4a －12≤0，所以实数a 的取值范围是[－6，2]．(2)当x∈[－2，2]时，设g(x)＝x 2＋ax ＋3－a≥0恒成立，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图①，当g(x)的图象恒在x 轴或x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2. ②如图②，g(x)的图象与x 轴有交点，但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g （－2）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4（3－a ）≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a≤－6，a≥4，a ≤73，解得a∈∅.③如图③，g(x)的图象与x 轴有交点，但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g （2）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4（3－a ）≥0，－a2≥2，7＋a≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a≤－6，a≤－4，a≥－7.所以－7≤a≤－6，综上，实数a 的取值范围是[－7，2]．(3)令h(a)＝xa ＋x 2＋3，当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧h （4）≥0，h （6）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x≤－3－6或x≥－3＋ 6.所以实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。

新高考数学一轮复习练习-一元二次不等式解法及运用(提升)(解析版)

2.1 一元二次不等式解法及运用(提升）一、单选题1．（2021·广东珠海市·高三二模）已知，满足，，，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因，，则a>0，b<0，，A 不正确；，则，B 不正确；又，即，则，，C 正确；由得，D 不正确.故选：C2．（2021·天津高三一模）已知，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】（由函数为增函数）对于A ，，故正确；对于B ，取，，故错误；对于C ，取，显然不成立，故错误；对于D ，假设成立，则，即，可得，而时，不能一定有，故不成立.,a b ∈R 0ab <0a b +>a b >11a b<0b a a b+>22a b >a b<0ab <a b >110,0a b><0,0b a a b <<0b aa b +<0a b +>0a b >->22()a b >-22a b >0a b >->||a b >0,0,lnlg y xx y x y >>>11x y>sin sin y x>y x x y<10x y yxe >lnlg y x x y> ln ln lg lg y x x y ∴->-ln lg ln lg y y x x∴+>+0x y ∴>>ln lg y x x =+011x x y y>>⇒>,2y x ππ==sin 0sin 1y x =<=2,1y x ==10x y yxe >ln ln10x y yxe >ln10y xx y>22ln10y x >0y x >>22ln10y x >故选：A3．（2021·全国高三专题）若关于的不等式()的解集为空集，则的最小值为（）AB ．C ．D．【答案】D【解析】关于的不等式()的解集为空集所以，，得，∴，令，则，∴，当且仅当时，等号成立，即的最小值为4，故选：D.4．（2020·上海市建平中学）已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的整数的值之和是（）A ．13B ．18C ．21D ．26【答案】C 【解析】x 210x bx c a++<1ab >1(2)2(1)1a b c T ab ab +=+--24x 210x bx c a++<1ab >10a >240c b a -≤24ab c ≥221(2)122(1)12(1)a b c ab a b T ab ab ab +++=+≥---1ab m -=0m >212(1)(1)22422m m m T m m++++≥=++≥2m =1(2)2(1)1a b c T ab ab +=+--设，其图象是开口向上，对称轴是x =3的抛物线，如图所示．若关于x 的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则，即，解得5<a ⩽8，又a ∈Z ，∴a =6，7，8.则所有符合条件的a 的值之和是6+7+8=21.故选C.5．（2020·全国高三）设是关于的一元二次方程的两个实根，则的最小值是（）A ．B ．18C ．8D ．-6【答案】C【解析】因为是关于的一元二次方程的两个实根所以由韦达定理得，且所以2()6f x x x a =-+260x x a -+≤()()2010f f ⎧⎪⎨>⎪⎩…2226201610a a ⎧-⨯+⎨-⨯+>⎩…,a b x 2260x mx m -++=22(1)(1)a b -+-494-,a b x 2260x mx m -++=26a b m ab m +=⎧⎨=+⎩()2460m m ∆=--≥()()22222224(1)(1)610a b ab b y m a b a m =+-=-+--++=--2349444m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭且或由二次函数的性质知，当时，函数取得最小值为即的最小值为故选C.6．（2021·山西太原市）设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为A，若A⊆[1，3]，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则不等式的解集，①若，则，即，解得②若，则，∴综上，故实数的取值范围是故选A．7．（2021·全国高三专题练习）已知x∈(0，＋∞)时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则m的取值范围是（）A．2－<m<2＋B．m<2C．m<2＋D．m≥2＋【答案】C【解析】令t＝3x(t>1)，则由已知得函数f(t)＝t2－mt＋m＋1的图象在t∈(1，＋∞)上恒在x轴的上方，则对于方程f(t)＝0，有或,3m≥2m≤-3m=2349444y m⎛⎫=--⎪⎝⎭822(1)(1)a b-+-8111,5⎛⎤- ⎥⎝⎦111,5⎛⎤⎥⎝⎦112,5⎛⎤⎥⎝⎦(]1,3-222f x x ax a=-++（）2220x ax a-++≤[]13A⊆，A∅=24420a a=-+V（）＜220a a--＜12a＜＜-A∅≠()()103013ffa∆≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪<<⎩1125a≤≤1115a-<≤a111]5-（，()()2410m m∆=--+<()121110mf m m∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=-++≥⎪⎩解得，所以m <2＋.故选：C8．（2021·全国高三专题练习）若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（）A ．0B ．-2C ．D ．-3【答案】B【解析】，，由对勾函数性性质可知，当为减函数，当时，为增函数，故，即恒成立，，故的最小值为-2故选：B9．（2021·浙江高三专题练习）若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】不等式恒成立，即，即恒成立，即恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是，故选B.10．（2021·全国高三专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据题意构造函数：，由于当时，不等式恒成立，即，解得，即，故选A.11．（2021·四川成都市·高三月考）给出下列命题:①且;②22m -<<+2m ≤-210x ax ++≥(]0,2x ∈a 52-(]0,2x ∈ 2110x ax x a x∴++≥⇔+≥-()0,1,x ∈()1f x x x =+()12x ,∈()1f x x x=+()()min 1112f x f ==+=2a -≤2a ≥-a ()2223122x axx a -+<a (0,1)-3(,)4+∞3(0,43(,)4-∞22231()22x axx a -+<222(3)11()()22x ax x a --+<222(3)x ax x a ->-+22(32)0x a x a +-+>22(32)40a a ∆=--<34a >a 3(,)4+∞()1,2x ∈240x mx ++<m 5m ≤-5m <-5m <5m ≥()()241,2f x x mx x =++∈，12x ∈（，）240x mx ++<()()1020f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩45m m ≤-⎧⎨≤-⎩5m ≤-11x y x y -≠⇔-≠1y x -≠;③.其中真命题的个数为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】对于①，且的逆否命题为：或，因为：或是真命题，所以原命题是真命题；对于②，由得，解得或，所以是假命题；对于③，由得，由得，即，因为，即，所以是真命题.故选：C.12．（2021·全国高三专题练习）下列选项中，使成立的的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】故选A.13．（2020·湖北高三期中）已知，恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意，函数，令，111x x <⇒>22330aba b ab a b>⇔>-012311x y x y -≠⇔-≠1y x -≠1x y -=1y x -=⇔1x y -=1x y -=1y x -=⇔1x y -=11x <10xx-<1x >0x <22a b ab >()0ab a b ->330ab a b>-()330ab a b ->()()220ab a b a ab b -++>22223024b a ab b a b⎛⎫⎛⎫++=++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()3300ab a b ab a b ->⇔->22330aba b ab a b >⇔>-21x x x<<x (,1)-∞-(1,0)-(0,1)(1,)+∞22(1)(1)11,01{,{{ 1.11,0(1)(1)0x x x x x xxx x x x x x x x x+-<<<-<<∴∴∴<-><-++<> 或原不等式可化为，或2()41f x x x a =+++,(())0x R f f x ∀∈≥⎫+∞⎪⎪⎭[2,)+∞[1,)-+∞[3,)+∞2()41f x x x a =+++()2241(2)33t f x x x a x a a ==+++=+-+≥-又由恒成立，即对任意恒成立，当时，即时，，解得，此时无解；当时，即时，，解得，综上可得，实数a 的取值范围为.14．（2020·浙江宁波市·高三期中）已知，，对任意的实数均有，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为，，对任意的实数均有，令，则有对任意的恒成立；若，则，原不等式可化为，因为，所以解不等式可得或，因，所以不满足原不等式对任意的恒成立；即不满足题意；若，当时，，则原不等式可化为，令，则是开口向上的二次函数，且零点为和，为使对任意的恒成立；只有；当时，；若，则由不等式可得或，解得或，因为，所以不能满足原不等式对任意的恒成立；若，则由不等式可得或,(())0x R f f x ∀∈≥()0f t ≥3t a ≥-32a -≤-1a ≤()min (2)30f t f a ==-≥3a ≥32a ->-1a >()2min (3)20f t f a a a =-=--≥2a ≥[2,)+∞a b R ∈x ()()()210x a x b x a +---≥2+a b 1581782a b R ∈x ()()()210x a x b x a +---≥t x =()()()210t a t b t a +---≥[)0,t ∈+∞0b ≤0t b -≥()()210t a t a +--≥()2221311024a a a a a ⎛⎫+--=++=++> ⎪⎝⎭()()210t a t a +--≥21t a ≥+t a ≤-21a a +>-[)0,t ∈+∞0b ≤0b >0a ≥0t a +≥()()210t b t a ---≥()()()21f t t b t a =---()f t t b =21t a =+()()210t b t a ---≥[)0,t ∈+∞21b a =+0a <0a ->21a b a -<<+()()()210t a t b t a +---≥()()210t a t b t a +≥⎧⎪⎨---≥⎪⎩()()210t a t b t a +≤⎧⎪⎨---≤⎪⎩21t a ≥+a t b -≤≤21b a <+[)0,t ∈+∞21b a a <-<+()()()210t a t b t a +---≥()()2010t b t a t a -≥⎧⎪⎨+--≥⎪⎩，解得或，因为，所以不满足原不等式对任意的恒成立；若，则由不等式可得或，解得或，因为，所以不满足原不等式对任意的恒成立；若，则不等式可化为，解得或，不满足原不等式对任意的恒成立；若，则不等式可化为，解得，不满足原不等式对任意的恒成立；综上，为使对任意的恒成立，只有，所以，令，则其是开口向上的二次函数，对称轴为，所以其在上单调递增，因此.故选：D.二、多选题15．（2021·烟台市教育局高三三模）已知，，且，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】ACD【解析】对A ，由，，且可得，则，()()210t b t a t a -≤⎧⎪⎨+--≤⎪⎩21t a ≥+b t a ≤≤-21a a -<+[)0,t ∈+∞21a a b -<+<()()()210t a t b t a +---≥()()2010t a t b t a +≥⎧⎪⎨---≥⎪⎩()()210t a t b t a +≤⎧⎪⎨---≤⎪⎩t b ≥21a t a -≤≤+21a b +<[)0,t ∈+∞=-b a ()()()210t a t b t a +---≥()()2210t a t a +--≥21t a ≥+t a =-[)0,t ∈+∞21b a =+()()()210t a t b t a +---≥()()2210t a t a +--≥t a ≥-[)0,t ∈+∞()()()210t a t b t a +---≥[)0,t ∈+∞21a b a ≥⎧⎨=+⎩222111511522222216848a b a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2211522248y a a a ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭14a =-[)0,+∞2220022y a a =++≥++=0a >0b >1a b -=e e 1a b ->e e 1a b -<914a b-≤222log log 2a b -≥0a >0b >1a b -=0a b >>()()11ba abbb eee e e e -=-=--，，又，，即，故A 正确；对B ，令，则，故B 错误；对C ，，当且仅当时等号成立，故C正确；对D ，，当且仅当，即时等号成立，故D 正确.故选：ACD.16．（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知实数a ，b ，c ，则下列命题为真命题的是（）A ．若，则B ．若，则的最小值为8C ．若，，则D ．若，则【答案】ABC 【解析】选项A 中，则A 正确；B ，，当且仅当，即时，等号成立，则B 正确；选项C 中，因为，所以，则，所以，则C 正确；若，满足，而，D 不正确，故选:ABC ．17．（2021·全国高三专题练习）下列四种说法中正确的有（）A ．命题“，”的否定是“，”；B ．若不等式的解集为，则不等式的解集为C ．复数满足，在复平面对应的点为，则D ．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范0b > 1b e ∴>11e ->()11be e ∴->e e 1a b ->2,1a b ==e e 211e a b =-->()9191910104b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫-=--=-+≤-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9b a a b =()22222222112log log log log lo 2g 22log b a b b b b a b ⎛⎫+⎛⎫==++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭-⎝=1b b=1b =0a b >>11a b>0,0,21a b a b >>+=21a b+0a b >>1ab =12a b a b<+0a b >>sin sin a b>110b a a b ab --=>214(2)48b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭4b a a b =11,24a b ==1,0ab a b =>>10>>>a b 11122,222a ab a a b a +=>=<⋅12a b a b <+,2a b ππ==0a b >>sin sin a b <x R ∀∈231x x >+x R ∃∈231x x <+210ax bx ++>{}13x x -<<23650ax bx ++<()(),15,-∞-+∞ z 21z i -=z (),x y ()2221x y +-=1:32p x ≤≤()21:100q x a x a a ⎛⎫-++≤> ⎪⎝⎭p q a围是【答案】BCD【解析】选项A ：命题“，”的否定应该是“，”，故选项A 错误；选项B ：因为不等式的解集为，所以方程的两个根为和3，且.由，解出.所以不等式可化为：，即，解得或.所以不等式的解集为，故选项B 正确；选项C ：设，，所以满足.故选项C 正确；由得到：.当时，，所以有.由题意可得：，解得；当时，，[)10,3,3⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U x ∀∈R 231x x >+0x ∃∈R 02031xx ≤+210ax bx ++>{}13x x -<<210ax bx ++=1-0a <213b a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩1323a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩23650ax bx ++<2450x x -++<2450x x -->1x <-5x >23650ax bx ++<()(),15,-∞-+∞ i z a b =+()2i 2i 1z a b -=+-==()2221x y +-=()21100x a x a a ⎛⎫-++≤> ⎪⎝⎭()10x a x a ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭1a ≥1a a>1:q x a a≤≤1123a a ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩3a ≥01a <<1a a<所以有.由题意可得：，解得.因此，实数的取值范围是.故选项D 正确.故选：BCD.18．（2021·全国高三专题练习）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（）.A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】ABC【解析】设，其图像为开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示.若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为，则解得，.又，故可以为6，7，8.故选：ABC19．（2021·全国高三专题练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是（）A ．-8B ．-5C ．1D ．41:q a x a≤≤1213a a⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩103a <≤a [)10,3,3⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U a Z ∈x 260x x a -+≤a 26y x x a =-+3x =x 260x x a -+≤3x =2226201610⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩a a 58a <≤a Z ∈a 2340x x +-<()222330x k x k k -+++>k【答案】ACD【解析】，解得，即，解得或，由题意知，所以或，即.故选：ACD三、填空题20．（2020·奉新县第一中学高三月考）若一元二次方程的两个实根都大于，则的取值范围____【答案】或.【解析】由题意得应满足解得：或.故答案为：或.21．（2020·全国高三专题练习）要使关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意，设，要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小，根据二次函数的图象与性质，则满足，即，即，解得，即实数的取值范围是.22．（2021·固原市第五中学高三期末）若对时，不等式恒成立，则实数的取值范围是____________..2340x x +-<41x -<<()222330x k x k k -+++>()[(3)]0x k x k --+>x k <3x k >+(4,1)-n (,)(3,)k k -∞⋃++∞1k ³34k +≤-(,7][1,)k ∈-∞-⋃+∞2(1)30mx m x -++=1-m 2m <-5m ≥+0,11,20,(1)0m m m mf ≠⎧⎪+⎪>-⎪⎨⎪∆≥⎪->⎪⎩2m <-5m ≥+2m <-5m ≥+x ()22120x a x a +-+-=a 21a -<<()22(1)2f x x a x a =+-+-x 22(1)20x a x a +-+-=()10f <220a a +-<(1)(2)0a a -+<21a -<<a 21a -<<(,1]x ∈-∞-21()2()12x xm m --<m【答案】【解析】不等式转化为,化简为，令,又,则,即恒成立，令，又，当时，取最小值，所以，恒成立,化简得，解不等式得.故答案为：23．（2021·全国高三专题练习）设关于x 的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为____________【答案】【解析】设，其图象为抛物线，对于任意一个给定的值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足而整数解只有有限个，所以，因为0为其中一个解可以求得，又，所以或，则不等式为和，可分别求得和，因为位整数，所以和，所以全部不等式的整数解的和为.故答案为：.24．（2021·全国高三专题练习）设函数,若对于恒成立,则的取值范围是________.【答案】()2,3-()21212xxm m ⎛⎫--< ⎪⎝⎭2214x x m m +-<2211(22x x m m -<+12x t =(],1x ∈-∞-[)2,t ∈+∞22m m t t -<+2()f t t t =+[)2,t ∈+∞2t =()f t min ()(2)6f t f ==26m m -<260m m --<23m -<<()2,3-28(1)7160,()ax a x a a Z ++++≥∈10-28(1)716y ax a x a =++++a 0y ≥0a <167a ≥-a Z ∈2a =-1a =-22820x x --+≥290x -+≥22x --≤≤-33x -≤≤x 4,3,2,1x =----3,2,1,0,1,2,3x =---10-10-2()1,(0)f x mx mx m =--≠[1,3],()5x f x m ∈<-+m 6|007m m m ⎧⎫<<<⎨⎬⎩⎭或【解析】要使上恒成立,则在上恒成立.令,当时,在上是增函数,,则当时,在上是减函数,,故:综上所述,的取值范围是.故答案为:.四、解答题25．（2021·全国高三专题练习）解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R )．【答案】答案见解析【解析】若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1．若a <0，原不等式等价于，解得或x >1．若a >0，原不等式等价于．①当a ＝1时，，无解； [1,3],()5x f x m ∈<-+∴260mx mx m -+-<2136024m x m ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭[1,3]x ∈213()624g x m x m ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭[1,3]x ∈0m >[1,3]∴max ()(3)760g x g m ==-<∴67m <607m <<0m <()g x [1,3]∴max ()(1)60g x g m ==-<∴6m <0m <m 6|007m m m ⎧⎫<<<⎨⎬⎩⎭或6|007m m m ⎧⎫<<<⎨⎬⎩⎭或()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭1x a <()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭11a =()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭②当a >1时，，解，得；③当0<a <1时，，解，得；综上所述，当a <0时，解集为或；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为．26．（2021·上海市）已知，其中.（1）当时，解关于的不等式；（2）若在时恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）∵，∴，∵，∴当时，的解集为当时，的解集为当时，的解集为（2）根据题意得，在时恒成立，即在时恒成立，即在时恒成立，即在时恒成立即11a <()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭11x a <<11a >()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭11x a <<1|x x a ⎧<⎨⎩}1x >1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭()()21f x ax a x =-+()13g x a x =-+a R ∈0a <x ()0f x <()()f x g x <[]2,3x ∈a 6a ≤()()21f x ax a x =-+()()21010ax a x ax a x -+<⇔--<0a <01a >>-()0f x <()1,0,a a ⎛⎫-∞+∞ +⎪⎝⎭ 1a =-()0f x <()(),00,-∞+∞ 1a <-()0f x <(),0,1a a ⎛⎫-∞+∞+⎪⎝⎭ ()2113ax a x a x -+<-+[]2,3x ∈()2140ax a x a -++<[]2,3x ∈()2114a x x x -+≤[]2,3x ∈21414111x a x x x x≤=-++-[]2,3x ∈min 1411a x x ⎛⎫ ⎪≤ ⎪ ⎪+-⎝⎭∵在，单调递增，∴，∴，∴实数的取值范围是．27．（2021·全国高三）解关于x 的不等式：．【答案】见解析【解析】将不等式变形为.当a <0或时，有a < a 2，所以不等式的解集为或；当a =0或时，a = a 2=0，所以不等式的解集为且；当0< a <1时，有a > a 2，所以不等式的解集为或；28．（2021·全国高三专题练习）解关于的不等式：.【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】原不等式移项得，即.∵，∴当时，当时，当时，综上所述：当时，解集为当时，解集为当时，解集为29．（2021·全国高三专题练习）解关于的不等式:【答案】当时，解集为；当时，解集为或； 11y x x =+-[]2,3x ∈max 173133y =+-=14673a ≤=a 6a ≤()2230x a ax a -++>()2230x a a x a -++>()()20x a x a -->1a >{|x x a <2}x a >1a ={|,x x R ∈}x a ≠2{|x x a <}x a >x ()2220ax x ax a -≥-<()2220ax a x +--≥()()120x ax +-≥0a <()210x x a ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭20a -<<21x a≤≤-2a =-1x =-2a <-21x a -≤≤20a -<<21x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭2a =-{}1x x =-2a <-21x x a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭x 22(2)20().ax a x a a R -++>∈0a ={}0x x <0a <<2{|x x a>}x a <当或；当时，解集为；当时，解集为；当；当；【解析】由则因为，故对分情况讨论当时，则，所以，不等式的解集为当时，由，不等式的解集或当或当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当当30．（2021·全国高三专题练习）解关于的不等式【答案】当时，不等式的解集是或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.当时，不等式的解集为.【解析】不等式可化为.①当时，原不等式可以化为，根据不等式的性质，这个不等式等价于.a >{|x x a >2}x a <0a <<2{|}x x a a <<a <2{|}x a x a <<a ={|x x ≠a =∅22(2)20().ax a x a a R -++>∈(2)()0ax x a -->a R ∈a 0a =20x ->0x <{}0x x <0a <<(2)()0ax x a -->2{|x x a >}x a <a >{|x x a >2}x a <0a <<2{|}x x a a<<a <2{|}x a x a <<a ={|x x ≠a =∅x 2(21)20()ax a x a R -++<∈0a <1{|x x a <2}x >0a ={|2}x x >102a <<1{|2}x x a <<12a =∅12a >1{|2}x x a<<(1)(2)0ax x --<0a >1(2)0a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭1(2)0x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭因为方程的两个根分别是2，，所以当时，，则原不等式的解集是；当时，原不等式的解集是；当时，，则原不等式的解集是.②当时，原不等式为，解得，即原不等式的解集是.③当时，原不等式可以化为，根据不等式的性质，这个不等式等价于，由于，故原不等式的解集是或.综上所述，当时，不等式的解集是或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.当时，不等式的解集为.1(2)0x x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭1a 102a <<12a<1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭12a =∅12a >12a <1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭0a =(2)0x --<2x >{|2}x x >0a <1(2)0a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭1(2)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭12a<1{|x x a<2}x >0a <1{|x x a <2}x >0a ={|2}x x >102a <<1{|2}x x a <<12a =∅12a >1{|2}x x a <<。

高考数学压轴专题最新备战高考《不等式》知识点总复习有答案解析

【最新】数学《不等式》高考复习知识点(1)一、选择题1．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（）A 3B 3C 3D 3【答案】B 【解析】【分析】【详解】试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M是AB 中点，所以111()2MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF ∆中222AB AF BF =+22cos3AF BF π-22AF BF AF BF =++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2AF BF +-23()4AF BF =+，所以22()43AF BF AB+≤，即233AF BF AB +≤，所以33MN AB ≤，故选B ．考点：抛物线的性质．【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．2．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（） A 3B ．51)C ．45D ．4【答案】D 【解析】【分析】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y，0x>，则2||4 ||1PMx PF x=+-，利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示：过点P作PN垂直准线于N，交y轴于Q，则11PF PN PQ-=-=，设(),P x y，0x>，则()()22222224||||44||1x y x xPM PPMxF xQP x x-+-+====+≥-，当4xx=，即2x=时等号成立.故选：D.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.3．设x，y满足约束条件2121x yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y=-+的最大值为n，则2nxx⎛⎝的展开式中2x项的系数为( )A．60 B．80 C．90 D．120【答案】B【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到5n=，再利用二项式定理计算得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，32z x y=-+，即322zy x=+，故z表示直线与y截距的2倍，根据图像知：当1,1x y=-=时，32z x y=-+的最大值为5，故5n=.52xx ⎛- ⎪⎝⎭展开式的通项为：()()35552155221rr r r r r r r T C x C xx ---+⎛=⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭，取2r =得到2x 项的系数为：()225252180C -⋅⋅-=.故选：B .【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.4．已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1（其中0,0m n >>），则112m n+的最小值为（） A ．3 B ．1C ．2D ．32【答案】D 【解析】【分析】画出可行域，根据目标函数z 的最大值求得,m n 的关系式23m n +=，再利用基本不等式求得112m n +的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.()111111515193222323232322n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以112m n +的最小值为32. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.5．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足15150a S +=，则实数d 的取值范围是（）A ．[3,3]；B ．(,3]-∞C ．3,)+∞D ．(,3]3,)-∞-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】由等差数列的前n 项和公式转化条件得11322a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】Q 数列{}n a 为等差数列，∴1515455102a d d S a ⨯=+=+，∴()151********a S a a d +++==，由10a ≠可得11322a d a =--，当10a >时，1111332222a a d a a ⎛⎫=--=-+≤-= ⎪⎝⎭1a 时等号成立；当10a <时，11322a d a =--≥=1a =立；∴实数d的取值范围为(,)-∞⋃+∞.故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.6．已知x ，y 满足约束条件1,22,326,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，若22x y z +≥恒成立，则实数z 的最大值为（） AB ．25C ．12D ．2【答案】C 【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，根据22xy +的几何意义，结合平面区域求得原点到直线10x y +-=的距离的平方最小，即可求解．【详解】由题意，画出约束条件122326x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域，如图所示，要使得22x y z +≥恒成立，只需()22minz x y≥+，因为22xy +表示原点到可行域内点的距离的平方，结合平面区域，可得原点到直线10x y +-=的距离的平方最小，其中最小值距离为2d ==，则212d =，即12z ≤所以数z 的最大值12．故选：C ．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出约束条件所表示的平面区域，结合22x y+的几何意义求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力．7．已知x、y满足约束条件122326x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，若22z x y=+，则实数z的最小值为（）A．22B．25C．12D．2【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用目标函数的几何意义求出22x y+的最小值，进而可得出实数z的最小值.【详解】作出不等式组122326x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩所表示的可行域如下图所示，22z x y =+表示原点到可行域内的点(),x y 的距离的平方，原点到直线10x y +-=的距离的平方最小，()222min212x y+==⎝⎭. 由于22z x y =+，所以，min 12z =. 因此，实数z 的最小值为12. 故选：C. 【点睛】本题考查线性规划中非线性目标函数最值的求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8．若,x y 满足4,20,24,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩则4y x -的最大值为（）A ．72-B ．52-C ．32-D ．1-【答案】D 【解析】【分析】画出平面区域，结合目标函数的几何意义，求解即可. 【详解】该不等式组表示的平面区域，如下图所示4y x-表示该平面区域中的点(),x y 与(0,4)A 确定直线的斜率由斜率的性质得出，当区域内的点为线段AB 上任意一点时，取得最大值.不妨取84(,)33B 时，4y x -取最大值443183-=- 故选：D 【点睛】本题主要考查了求分式型目标函数的最值，属于中档题.9．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-【答案】A 【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可．【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．10．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．1-B ．2C ．7D ．8【答案】C 【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C 时，z 取得最大值.【详解】解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)-为顶点的三角形及其内部，如下图表示：当目标函数经过点()2,3C 时，z 取得最大值，最大值为7.故选：C. 【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.11．已知,a b 都是正实数，则222a ba b a b+++的最大值是（） A ．222 B ．322-C ．221D ．43【答案】A 【解析】【分析】设2,2m a b n a b =+=+，将222a b a b a b+++，转化为2222233a b n ma b a b m n +=--++，利用基本不等式求解. 【详解】设2,2m a b n a b =+=+，所以22,33m n n ma b --==，所以2222222333a b n m a b a b m n +=--≤-=-++，当且仅当233n mm n=时取等号. 所以222a b a b a b +++的最大值是23-. 故选：A 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.12．已知函数1()cos 2(2)sin 2f x m x m x =+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（） A ．14-B ．1 C．D1【答案】D 【解析】【分析】2()sin (2)sin 2mf x m x m x =-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2my mt m t =-+-+，结合12m ≤≤可得()221122(2)31144t m m m g m y m m m=-+-===+-，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2my mt m t =-+-+，因为12m ≤≤，所以对称轴为2111[0,]222m t m m -==-∈，所以()221122(2)313112131444t m m m g m y m m m m m =-+-===+-≥⨯-=-，当且仅当 233m =时，等号成立. 故选：D【点睛】本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.13．已知x ，y 满足约束条件02340x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =（）A ．2B ．12C ．-2D ．12- 【答案】A【解析】【分析】由约束条件可得到可行域，根据图象可知最优解为()2,0A ，代入可构造方程求得结果.【详解】由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示：当直线:l y ax z =-+经AOB V 区域时，当l 过点()2,0A 时，在y 轴上的截距最大，即()2,0A 为最优解，42a ∴=，解得：2a =.故选：A .【点睛】本题考查线性规划中的根据目标函数的最值求解参数值的问题，关键是能够通过约束条件准确得到可行域，根据数形结合的方式确定最优解.14．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，设z OP OA =⋅u u u r u u u r ，则z 的最大值是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可.【详解】解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩可知它的可行域如下图：Q ()2,1A ，(), P x y∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r ，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，即24z x y =+=.故选：C.【点睛】本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.15．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则11p q+的最小值为（） A ．2B ．52C ．94D ．4【答案】C【解析】【分析】根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不等式即可得到11p q+的最小值.离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p :，，所以有()4E X np ==，()()1D X q np p ==-（，所以44p q +=，即14q p +=，（0p >，0q >）所以11114q p p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 5592144444q p q p p q p q ⎛⎫++≥⨯=+= ⎪⎝⎭，当且仅当423q p ==时取得等号．故选C ．【点睛】本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．16．若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式2m 4y x m +<-有解，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(1,2)-B ．(,2)(1,)-∞-+∞UC ．()2,1-D ．(,1)(2,)-∞-+∞U 【答案】D【解析】【分析】将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m 的取值范围.【详解】若不等式24y x m m +<-有解，即2()4min y m m x ->+即可， 142x y +=Q ，1212x y∴+=，则121221112121124422482y y x y x x x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+=+=+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当28x y y x=，即2216y x =，即4y x =时取等号，此时1x =，4y =，即()24min y x +=，则由22m m ->得220m m -->，即()()120m m +->，得2m >或1m <-，即实数m 的取值范围是()(),12,-∞-⋃+∞，故选D ．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．17．若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（） A ．()1,3B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()3,1- 【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集.【详解】由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.18．若 x y ，满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值是（）A ．0B ．3-C ．32D ．3 【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3(0,),(0,3),(1,1)2A B C ，所以直线z x y =-过点B 时取最小值3-，选B.19．设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为（） A ．32 B ．53 C ．74 D ．95【答案】D【解析】【分析】根据2m n +=，化简135112(1)(2)n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答案；【详解】当2m n +=时， Q 131111212n m n m n ++=++++++ 3511(1)(2)(1)(2)m n m n m n ++=+=++⋅++⋅+ Q 21225(1)(2)24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12m n +=+时，即3122m n ==，取等号， ∴139125n m n ++≥++. 故选：D【点睛】本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.20．以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为8π，则以A 为顶点，以面BCD 为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（） A ．2B ．4C ．6D ．7【答案】B【解析】【分析】根据题意补全几何图形为长方体，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，即可由外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值.【详解】将以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：长方体的体对角线即为三棱锥A BCD -外接球的直径，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，因为三棱锥外接球的表面积为8π，则284R π=π，解得R =，所以体对角线为，所以2228x y z ++=，111222S yz xy xz =++侧面积由于()()()()222222240x y z S x y y x x z ++-=-+-+-≥，所以416S ≤，故4S ≤，即三棱锥的侧面积之和的最大值为4，故选：B.【点睛】本题考查了空间几何体的综合应用，三棱锥的外接球性质及应用，属于中档题.。

高考数学压轴专题最新备战高考《不等式》知识点总复习附答案解析

【最新】数学《不等式》专题解析一、选择题1．已知0a >，0b >，且()122y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为（） A ．18B ．14C ．12D ．34【答案】A 【解析】【分析】根据()122y a b x =+为幂函数，得到21a b +=，再将ab 变形为ab 122a b =⋅利用基本不等式求解. 【详解】因为()122y a b x =+为幂函数，所以21a b +=，又因为0a >，0b >，所以ab 2112122228a b a b +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当21a b +=，2a b =即11,24a b ==取等号. 所以ab 的最大值为 18. 故选：A 【点睛】本题主要考查幂函数的定义和基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.2．若,x y 满足约束条件360,60,1,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则z x y =-的最小值为（）A ．4B ．0C ．2-D ．4-【答案】D 【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解．【详解】由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，目标函数z x y =-，可化为直线y x z =-当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值，又由3601x y y -+=⎧⎨=⎩，解得(3,1)A -，所以目标函数的最小值为min 314z =--=-. 故选：D ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．3．若33log (2)1log a b ab +=+42a b +的最小值为（）A ．6B ．83C ．163D ．173【答案】C 【解析】【分析】由33log (2)1loga b ab +=+213b a+=，且0,0a b >>，又由12142(42)3a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案.【详解】因为33log (2)1loga b ab +=+()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得213b a+=，且0,0a b >>，所以12118211642(42)()(8)(8216)3333a b a b a b b a b a +=++=++≥+=，当且仅当82a b b a=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163.故选：C. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题.4．在下列函数中，最小值是2的函数是（） A ．()1f x x x=+ B ．1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭C ．()2f x =D ．()42xx f x e e=+- 【答案】D 【解析】【分析】根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案. 【详解】 A. ()1f x x x=+，()122f -=-<，A 错误； B. 1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，故()cos 0,1x ∈，2y >，B 错误； C. ()2f x ==，故()f x ≥，C 错误； D. ()4222xx f x e e =+-≥=，当4xxe e =，即ln 2x =时等号成立，D 正确. 故选：D . 【点睛】本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.5．已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1（其中0,0m n >>），则112m n+的最小值为（） A ．3 B ．1C ．2D ．32【答案】D 【解析】【分析】画出可行域，根据目标函数z 的最大值求得,m n 的关系式23m n +=，再利用基本不等式求得112m n +的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.()111111515193222323232322n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以112m n +的最小值为32. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.6．设实数满足条件则的最大值为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，，即，表示直线在轴的截距加上1，根据图像知，当时，且时，有最大值为.故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.7．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（）A ．5B 45C 5D 25【答案】C 【解析】【分析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值.【详解】作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离，所以AB ()()2242325-+-=故选：C ．【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．8．已知α，β均为锐角，且满足()sin 2cos sin αβαβ-=，则αβ-的最大值为（）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 【答案】B 【解析】【分析】利用两角差的正弦公式，将已知等式化简得到tan 3tan αβ=，由α，β均为锐角，则,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，要求出αβ-的最大值，只需求出tan()αβ-的最大值，利用两角差的正切公式，将tan()αβ-表示为tan β的关系式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由()sin 2cos sin αβαβ-=整理得()sin 2cos sin αβαβ-=，即sin cos cos sin 2cos sin αβαβαβ-=，化简得sin cos 3cos sin αβαβ=，则tan 3tan αβ=，所以()2tan tan2tan2tan11tan tan13tan3tantanαββαβαββββ--===+++，又因为β为锐角，所以tan0β>，根据基本不等式213tantanββ≤=+当且仅当tanβ=时等号成立，因为,22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，且函数tany x=在区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，则αβ-的最大值为6π.故选:B.【点睛】本题考查两角差最值，转化为求三角函数最值是解题的关键，注意应用三角恒等变换、基本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题.9．已知点(2,0)M，点P在曲线24y x=上运动，点F为抛物线的焦点，则2||||1PMPF-的最小值为（）AB．1)C．D．4【答案】D【解析】【分析】如图所示：过点P作PN垂直准线于N，交y轴于Q，则11PF PN PQ-=-=，设(),P x y，0x>，则2||4||1PMxPF x=+-，利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示：过点P作PN垂直准线于N，交y轴于Q，则11PF PN PQ-=-=，设(),P x y，0x>，则()()22222224||||44||1x y x xPM PPMxF xQP x x-+-+====+≥-，当4xx=，即2x=时等号成立.故选：D.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.10．以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为8π，则以A 为顶点，以面BCD 为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（） A ．2 B ．4C ．6D ．7【答案】B 【解析】【分析】根据题意补全几何图形为长方体，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，即可由外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值. 【详解】将以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：长方体的体对角线即为三棱锥A BCD -外接球的直径，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，因为三棱锥外接球的表面积为8π，则284R π=π，解得R =，所以体对角线为，所以2228x y z ++=，111222S yz xy xz =++侧面积由于()()()()222222240x y zS x y y x x z ++-=-+-+-≥，所以416S ≤，故4S ≤，即三棱锥的侧面积之和的最大值为4，故选：B. 【点睛】本题考查了空间几何体的综合应用，三棱锥的外接球性质及应用，属于中档题.11．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中·0m n >，则41m n+的最小值为（） A ．16 B ．24C ．50D ．25【答案】D 【解析】【分析】由题A （4，1），点A 在直线上得4m+n ＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．【详解】令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4m m n++=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，故则41m n +的最小值为25，故选D ．【点睛】本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．12．已知,x y 满足约束条件24030220x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则目标函数22x y z -=的最大值为（）.A ．128B ．64C ．164D ．1128【答案】B 【解析】【分析】画出可行域,再求解2x y -的最大值即可. 【详解】不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示.设2x y μ=-,因为函数2xy =是增函数,所以μ取最大值时,z 取最大值.易知2x y μ=-在A 点处取得最大值.联立220,30x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得4,1.x y =⎧⎨=-⎩即(4,1)A -.所以max 42(1)6μ=-⨯-=,所以6max 264z ==.故选：B 【点睛】本题考查线性规划,考查化归与转化思想以及数形结合思想.13．若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式2m 4yx m +<-有解，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．(1,2)- B ．(,2)(1,)-∞-+∞U C ．()2,1-D ．(,1)(2,)-∞-+∞U【答案】D 【解析】【分析】将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m 的取值范围. 【详解】若不等式24y x m m +<-有解，即2()4min ym m x ->+即可，142x y +=Q ，1212x y∴+=，则121221112121124422482y y x y x x x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+=+=+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当28x y y x=，即2216y x =，即4y x =时取等号，此时1x =，4y =，即()24min y x +=，则由22m m ->得220m m -->，即()()120m m +->，得2m >或1m <-，即实数m 的取值范围是()(),12,-∞-⋃+∞，故选D ．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．14．已知直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（） A ．12k > B ．16k <-或12k > C ．62k -<< D ．1162k -<< 【答案】D【解析】【分析】联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩，解得即可．【详解】解：联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，∴2402161021k k k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：1162k -<<．故选：D ．【点睛】本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．15．若函数()sin 2x x f x e e x -=-+，则满足2(21)()0f x f x -+>的x 的取值范围为（）A ．1(1,)2- B ．1(,1)(,)2-∞-+∞UC ．1(,1)2- D ．1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】【分析】判断函数()f x 为定义域R 上的奇函数，且为增函数，再把()()2210f x f x -+>化为221x x ->-，求出解集即可．【详解】解：函数()sin2x x f x e e x -=-+，定义域为R ，且满足()()sin 2x x f x e e x --=-+- ()()sin2x x e e x f x -=--+=-，∴()f x 为R 上的奇函数；又()'2cos222cos20x x f x e e x x x -=++≥+≥恒成立，∴()f x 为R 上的单调增函数；又()()2210f x f x -+>，得()()()221f x f x f x ->-=-，∴221x x ->-，即2210x x +->，解得1x <-或12x >，所以x 的取值范围是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．故选B ．【点睛】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不等式，是中档题．16．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则263n n S a ++的最小值为（） A ．4B ．3 C．2 D ．2【答案】D【解析】【分析】由题意得2(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，从而可得263n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【详解】解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，2(12)112d d ∴+=+．得2d =或0d =（舍去），21n a n ∴=-，2(121)2n n n S n +-∴==， ∴()()22211426263322112n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++．令1t n =+，则2642223n n S t a t +=+-≥=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴263n n S a ++的最小值为2．故选：D ．【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．17．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“220x x --<”的（） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<，故为充分不必要条件.18．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：()()22112x y +++=的周长，则12m n +的最小值为（） A ．92B ．9C ．6D ．3 【答案】D【解析】【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线l 上，可得()123,213m n m n +=∴+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】把圆2C ：()()22112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=，又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=. Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴+=. ()112225*********n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭()115522333⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当2322m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立. 12m n∴+的最小值为3. 故选：D .【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.19．若0a >，0b >，23a b +=，则36a b+的最小值为（）A ．5B ．6C ．8D ．9【答案】D【解析】【分析】把36a b +看成（36a b +）×1的形式，把“1”换成()123a b +，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值．【详解】 ∵3613a b +=（36a b +）（a +2b ）＝13(366b a a b +++12)≥13=9 等号成立的条件为66b a a b =，即a=b=1时取等所以36a b+的最小值为9．故选：D ．【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换，是基础题20．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，212Q xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q I 为( ) A ．()0,2B ．()1,9C ．()1,4D ．()1,2 【答案】D【解析】【分析】集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分.【详解】解：{}19P x x =<<，{}02Q x x =<<； ()1,2P Q ∴⋂=.故选：D.【点睛】本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.简单对数不等式问题的求解策略：(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.。

高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式》知识点总复习附答案

高中数学《不等式》知识点归纳(1)一、选择题1．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，设z OP OA =⋅u u u r u u u r，则z 的最大值是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可. 【详解】解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩可知它的可行域如下图：Q ()2,1A ，(), P x y∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，即24z x y =+=.故选：C. 【点睛】本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.2．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-【答案】A 【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可．【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．3．若，，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A 错误，，选项B 错误，，选项D 错误，因为选项C 正确，故选C ．【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.4．若实数x ，y 满足40,30,0,x y x y y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2x y y +=的最大值为（）A ．512B ．8C ．256D ．64【答案】C 【解析】【分析】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可，根据图像平移得到答案. 【详解】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可，观察图像可知，当直线x y m +=过点()6,2A 时m 取到最大值8，故2x yy +=的最大值为256.故选：C ．【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.5．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．1-B ．2C ．7D ．8【答案】C 【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C 时，z 取得最大值.【详解】解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)-为顶点的三角形及其内部，如下图表示：当目标函数经过点()2,3C 时，z 取得最大值，最大值为7.故选：C. 【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.6．已知函数24,0()(2)1,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+-≤⎩，若方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．(4,)+∞C ．(2,4)D ．(3,4)【答案】A 【解析】【分析】画出函数()f x 的图象,再根据基本不等式求解4y x x=+的最小值,数形结合求解即可. 【详解】画出函数()f x 的图象,如图所示.当0x >时,4()4f x x x=+….设()2g x m =,则方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根,即()f x 和()2g x m =的图象有三个交点.由图象可知,24m >,即2m >,故实数m 的取值范围是(2,)+∞.故选：A 【点睛】本题考查分段函数的性质和图象以及函数的零点,考查数形结合以及化归转化思想.7．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】【分析】圆心坐标为(1,2)，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值．【详解】圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心为(1,2)，由题意可得222m n +=，即1m n +=，m ，0n >，则1111()()24n m m n m n m n m n +=++=++…，当且仅当n mm n =且1m n +=即12m n ==时取等号，故选：D ．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．8．已知ABC V 外接圆的半径2R =，且223sin 2AA =.则ABC V 周长的取值范围为（） A ．(23,4]B ．(4,43]C ．(43,423]+D ．(423,63]+【答案】C 【解析】【分析】由223cossin 2A A =及倍角公式可得23A π=，2sin 23a R A ==，再由余弦定理可得2212b c bc =++，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出b c +的取值范围即可得到答案. 【详解】由题意，232cos 1sin 12A A -=-，即3cos sin 1A A -=-，可化为 23sin 33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即3sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=，即23A π=，2sin 23a R A ==，设ABC V 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则423a b c ++≤+，又因为b c a +>，所以 243a b c a ++>=，即43423a b c <+++≤.故ABC V 周长的取值范围为 (43,423]+.故选：C 【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点，则的最大值为（）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C 【解析】【分析】【详解】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1292S a a =⋅⋅=，解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.10．在区间[]0,1内随机取两个数m ､n ，则关于x 的方程20x nx m +=有实数根的概率为（） A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】A 【解析】【分析】根据方程有实根可得到约束条件，根据不等式组表示的平面区域和几何概型概率公式可求得结果. 【详解】若方程20x nx m +=有实数根，则40n m ∆=-≥.如图，400101n m m n -≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域与正方形0101m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩的面积之比即为所求的概率，即111124118S P S ⨯⨯===⨯阴影正方形.故选：A . 【点睛】本题考查几何概型中面积型概率问题的求解，涉及到线性规划表示的平面区域面积的求解，关键是能够根据方程有实根确定约束条件.11．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中·0m n >，则41m n+的最小值为（） A ．16 B ．24C ．50D ．25【答案】D 【解析】【分析】由题A （4，1），点A 在直线上得4m+n ＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．【详解】令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4m m n++ 4n 4mm n⋅=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，故则41m n +的最小值为25，故选D ．【点睛】本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．12．已知M 、N 是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN 的最大值是（）A ．17B ．342C ．32D ．172【答案】A 【解析】【分析】先作可行域，再根据图象确定MN 的最大值取法，并求结果. 【详解】作可行域，为图中四边形ABCD 及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以MN 的最大值为BD=21417+=,选A.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.13．已知直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（）A ．12k >B ．16k <-或12k > C ．62k -<< D ．1162k -<< 【答案】D 【解析】【分析】联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩，解得即可．【详解】解：联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限， ∴2402161021kk k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：1162k -<<．故选：D ．【点睛】本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．14．若函数()sin 2x x f x e e x -=-+，则满足2(21)()0f x f x -+>的x 的取值范围为（） A ．1(1,)2- B ．1(,1)(,)2-∞-+∞U C ．1(,1)2-D ．1(,)(1,)2-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】判断函数()f x 为定义域R 上的奇函数，且为增函数，再把()()2210f x f x -+>化为221x x ->-，求出解集即可．【详解】解：函数()sin2xxf x e ex -=-+，定义域为R ，且满足()()sin 2xx f x ee x --=-+- ()()sin2x x e e xf x -=--+=-，∴()f x 为R 上的奇函数；又()'2cos222cos20x x f x e e x x x -=++≥+≥恒成立，∴()f x 为R 上的单调增函数；又()()2210f x f x -+>，得()()()221f x f x f x ->-=-，∴221x x ->-，即2210x x +->，解得1x <-或12x >，所以x 的取值范围是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭．故选B ．【点睛】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不等式，是中档题．15．已知实数x y ，满足1030350x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则()22(4)2z x y =-+-的最小值为（） AB ．5C ．3D ．52【答案】D【解析】【分析】由题意作出其平面区域，22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，求阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方最小值即可．【详解】解：由题意作出实数x ，y 满足1030350x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩……„平面区域， 22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，则22(4)(2)z x y =-+-的最小值为P 到350x y --=的距离的平方，解得，2252d ⎛⎫==；所以min 52z =【点睛】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．16．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b+-的最小值等于（）． A 5B ．3C ．23 D ．22【答案】D【解析】试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =所以lg lg a b =- 所以1a b=，即1ab =，0a b >> 22a b a b+-22()2()22()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+---2()22a b a b ≥-⨯=- 当且仅当2a b a b-=-，即2a b -=时等号成立所以22a b a b+-的最下值为2故答案选D考点：基本不等式．17．设集合{}20,201x M xN x x x x ⎧⎫=≤=-<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂为（） A ．{}01x x ≤< B ．{}01x x << C ．{}02x x ≤< D ．{}02x x <<【解析】【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}20{01},20{|02}1x M x x x N x x x x x x ⎧⎫=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭，所以{}01M N x x ⋂=<<.故选：B .【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.18．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是A ．3B ．4C ．92D ．112 【答案】B【解析】【详解】解析：考察均值不等式2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅≥- ⎪⎝⎭，整理得2(2)4(2)320x y x y +++-≥即(24)(28)0x y x y +-++≥，又x+2 y>0，24x y ∴+≥19．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项.【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-，所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab +≥=，当且仅当a b =时等号成立，此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<，充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯，故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立；故p 是q 的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.20．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断.【详解】22x y +≥Q 且224x y +≤ ，422x y ∴≤≤⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又x y +≥Q ，0,0x y >>21xy ∴≤⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立，xy≤”的充分不必要条件.∴“224x y+≤”是“1故选:C【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.。

数学高考一轮复习基本不等式专项练习(带解析)

数学高考一轮复习基本不等式专项练习（带解析）学习数学能够让我们的思维更清晰，我们在摸索和解决问题的时候，条理更清晰。

小编预备了差不多不等式专项练习，期望你喜爱。

1.若xy0，则对xy+yx说法正确的是()A.有最大值-2B.有最小值2C.无最大值和最小值D.无法确定答案：B2.设x，y满足x+y=40且x，y差不多上正整数，则xy的最大值是()A.400B.100C.40D.20答案：A3.已知x2，则当x=____时，x+4x有最小值____.答案：2 44.已知f(x)=12x+4x.(1)当x0时，求f(x)的最小值;(2)当x0 时，求f(x)的最大值.解：(1)∵x0，12x，4x0.12x+4x212x4x=83.当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，当x0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x0，-x0.则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83，当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.当x0时，f(x)的最大值为-83.一、选择题1.下列各式，能用差不多不等式直截了当求得最值的是()A.x+12xB.x2-1+1x2-1C.2x+2-xD.x(1-x)答案：C2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()A.32-3B.-3C.62D.62-3解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小值是()A.200B.100C.50D.20解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立.4.给出下面四个推导过程：①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx③∵aR，a0，4a+a 24a④∵x，yR，，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.其中正确的推导过程为()A.①②B.②③C.③④D.①④解析：选D.从差不多不等式成立的条件考虑.①∵a，b(0，+)，ba，ab(0，+)，符合差不多不等式的条件，故①的推导过程正确;②尽管x，y(0，+)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的;③∵aR，不符合差不多不等式的条件，4a+a24aa=4是错误的;④由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后，(-xy)均变为正数，符合差不多不等式的条件，故④正确.5.已知a0，b0，则1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.5解析：选C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()A.最大值64B.最大值164C.最小值64D.最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，xy=8x+2y28x2y=8xy，当且仅当8x=2y时等号成立.xy64.二、填空题7.函数y=x+1x+1(x0)的最小值为________.答案：18.若x0，y0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.解析：1=x+4y4y=4xy，xy116.答案：大1169.(2021年高考山东卷)已知x，yR+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为________.解析：∵x0，y0且1=x3+y42xy12，xy3.当且仅当x3=y4时取等号.答案：3三、解答题10.(1)设x-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;(2)求函数y=x2+8x-1(x1)的最值.解：(1)∵x-1，x+10.y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+52 x+14x+1+5=9，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.x=1时，函数的最小值是9.(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1=(x-1)+9x-1+2.∵x1，x-10.(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，y有最小值8.11.已知a，b，c(0，+)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.证明：∵a，b，c(0，+)，a+b+c=1，1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca，同理1b-12acb，1c-12abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.当且仅当a=b=c时取等号.12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建筑单价为每米400元，中间一条隔壁建筑单价为每米100元，池底建筑单价每平方米60元(池壁忽略不计).问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.总造价f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200=800(x+225x)+120211600x225x+12021=36000(元)家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

高三数学文一轮复习专题突破训练不等式 Word版含答案

山东省届高三数学文一轮复习专题突破训练
不等式
一、选择题
、（年山东高考）若变量，满足则的最大值是
（）（）（）（）
、（年高考）已知满足的约束条件当目标函数在该约
束条件下取得最小值时，的最小值为
（）（）（）（）
、（年高考）设正实数，，满足－＋－＝，则当取得最小值时，＋－的最大值为( ) ．．
、（临沂市届高三月期中质量检测）设满足约束条件，若目标函数
的最大值为，则的最小值为
..
、（齐鲁名校协作体届高三上学期第二次调研联考）若变量，满足约束条件，则＝＋的取值范围为（）
() () () ()
、（泰安市届高三二模）已知，满足则目标函数的最大值为．．．．
、（乳山市届高三上学期期中考试）在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则直线的斜率的最小值为
..
、（济宁市届高三三模）设满足约束条件，若的最大值与最小值
的差为，则等于（）
．．．．
、（济宁市届高三上学期期末）设变量满足约束条件若目标函数
取得最大值时的最优解不唯一，则实数的值为
. .或
、（临沂市届高三上学期期末）已知：，若恒成立，则实数的取值范围是
..
..
、（青岛市届高三上学期期末）设，若是的等比中项，则的最小值为
、（泰安市届高三上学期期末）一元二次不等式的解集为
....
、（威海市届高三上学期期末）设变量满足约束条件则的取值范围. 、（烟台市届高三上学期期末）不等式的解集为
....。

高考第一轮复习数学：不等式(附答案)

素质能力检测（六）一、选择题（每小题5分；共60分） M ={x |－1＜x ＜2}；N ={y |y =21x 2－1；x ∈M }；则M ∩N 为 A.{a |－1≤a ＜2} B.{a |－1＜a ＜2} C.{a |－1＜a ＜1}D.∅解析；y =21x 2－1；x ∈（－1；2）. 所以y ∈［－1；1）. 答案；Cx 、y ∈R ；那么|x |＜1且|y |＜1是0＜xy ＜1成立的____________条件.解析；设x =－21；y =0；则xy =0.不能推出0＜xy ＜1；设x =2；y =31满足0＜xy ＜1；不能推出|x |＜1且|y |＜1.答案；D3.不等式（x +1）1-x ≥0的解集是 A.{x |x ＞1} B.{x |x ≥1}C.{x |x ≥1或x =－1}D.{x |x ≥－1或x =1}解析；∵1-x ≥0；∴x ≥1.又∵x +1=0；不等式成立.∴x =－1.选C. 答案；Cx 2+（m +2）x +m +5=0有两个正实根；则实数m 的取值范围是 A.m ＜－2 B.m ≤－4 C.m ＞－5 D.－5＜m ≤－4 解析；⎪⎩⎪⎨⎧>+⇒>+-≥05020m m Δ）（－5＜m ≤－4. 答案；Dy =lg （x 2－2kx +k ）的值域为R ；则k 的取值范围是 A.0＜k ≤k ≤1C.k ≤0或k ≥1D.k =0或k ≥1 解析；Δ≥0⇒k ≥1或k ≤0. 答案；C6.x 、y ∈R ；x 2+y 2=1；那么（1－xy ）（1+xy ）有4321和最大值1 4321无最大值解析；令x =cos θ；y =sin θ；则（1－xy ）（1+xy ）=1－x 2y 2=1－41sin 22θ. ∵0≤sin 22θ≤1；∴43≤1－41sin 22θ≤1. 答案；Ax ∈R +时；下列函数中；最小值为2的是 A.y =x 2－2x +4 B.y =x +x16 C.y =22+x +212+xD.y =x +x1 解析；y =x 2－2x +4=（x －1）2+3≥3； y =x +x 16≥8；y =22+x +212+x .∵22+x ≥2；∴y ＞2.故选D.答案；Da 2＜x ＜a ；M =log a x 2；N =log a （log a x ）；P =（log a x ）2；则 A.M ＞N ＞P B.P ＞M ＞N C.M ＞P ＞N D.N ＞M ＞P 解析；∵a 2＜a ；∴0＜x ＜a ＜1. ∴log a x ＞1；N =log a （log a x ）＜0； 2log a x ＞log a x ·log a x ；即M ＞P . ∴M ＞P ＞N . 答案；Cf （x ）=a x ；g （x ）=b x ；当f （x 1）=g （x 2）=3时；x 1＞x 2；则a 与b 的大小关系不可能成立的是A.b ＞a ＞1B.a ＞1＞b ＞0C.0＜a ＜b ＜1D.b ＞1＞a ＞0 解析；x 1=log a 3；x 2=log b 3.当b ＞1＞a ＞0时；x 1＜0；x 2＞0与x 1＞x 2矛盾.选D. 答案；D f （x ）、g （x ）（x ∈R ）；设不等式|f （x ）|+|g （x ）|＜a （a ＞0）的解集是M ；不等式|f （x ）+g （x ）|＜a （a ＞0）的解集是N ；则A.N MB.M =NC.M ⊆ND.M N解析；任取x 0∈M ；则|f （x 0）+g （x 0）|≤|f （x 0）|+|g （x 0）|＜a . ∴x 0∈N .但任取x 1∈N ；有|f （x 1）+g （x 1）|＜a ；得不到|f （x 1）|+|g （x 1）|＜a . 故M ⊆N .选C.答案；CA ；第二年的增长率为a ；第三年的增长率为b ；这两年的平均增长率为x ；则 A.x =2ba + B.x ≤2ba + C.x ＞2ba +D.x ≥2ba + 解析；A （1+x ）2=A （1+a ）（1+b ）； ∴（1+x ）2≤（211b a +++）2. ∴1+x ≤1+2b a +；x ≤2ba +. 答案；B12.线段|AB |=4；M 为AB 的中点；动点P 满足条件|P A |+|PB |=6；当P 点在同一平面内运动时；|PM |的最大值M 、最小值m 分别是A.M =4；m =3B.M =3；m =5C.M =5；m =5D.M =3；m =3解析；P 点轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆；M 是其中心；由解析几何知识知选B. 答案；B二、填空题（每小题4分；共16分）a 、b ∈R ；且a +b +3=ab ；则ab 的取值范围是____________.解析；ab ≤（2b a +）2；∴a +b +3≤（2b a +）2. ∴a +b ≥6或a +b ≤－2. ∴ab ≥9或ab ≤1. 答案；（－∞；1］∪［9；+∞）x +4y =1；则x 2+y 2的最小值为____________. 解析；x 2+y 2=（－2y +21）2+y 2 =5y 2－2y +41=5（y －51）2+201≥201. 答案；201 f （x ）在［0；+∞）上为增函数；那么不等式f （x ）＞f （2－x ）的解集是____________. 解析；∵f （x ）为偶函数；则f （|x |）＞f （|2－x |）；即|x |＞|2－x |；得{x |x ＞1}. 答案；{x |x ＞1}x 的方程x 2+（a 2－1）x +a －2=0的两根满足（x 1－1）（x 2－1）＜0；则a 的取值范围是____________.解析；（x 1－1）（x 2－1）＜0⇔一根大于1；一根小于1. 令f （x ）=x 2+（a 2－1）x +a －2；则f （1）＜0. ∴－2＜a ＜1. 答案；－2＜a ＜1三、解答题（本大题共6小题；共74分）17.（12分）当|x －2|＜a 时；不等式|x 2－4|＜1成立；求正数a 的取值范围. 解；由|x －2|＜a ；得2－a ＜x ＜2+a . 由|x 2－4|＜1；得－5＜x ＜－3或3＜x ＜5.∴（2－a ；2+a ）⊆（－5；－3）∪（3；5）.∴⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-≥->32520a a a ，，或⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥->.52320a a a ，， ∴0＜a ＜5－2.18.（12分）已知a 、b 、c 为不等正数；且abc =1；求证；a +b +c ＜a 1+b 1+c1. 证明；结论⇔a +b +c ＜bc +ac +ab⇔2a +2b +2c ＜2bc +2ac +2ab .因为a 、b 、c 为不等正数且abc =1；所以bc +ac ＞22abc =2c . ac +ab ＞2a ；ab +bc ＞2b . 所以2a +2b +2c ＜2bc +2ac +2ab . 所以原不等式成立.19.（12分）解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+--.2|1|021|2|2x y x x y ，其中x 、y 都是整数. 解；原不等式组可化为⎪⎩⎪⎨⎧≤--<-≥->+.0|1|20|2|212x y x x y ，得－21＜y ＜2.∴y =0或1.当y =0时；⎪⎩⎪⎨⎧<-<-.2|1|21|2|2x x x ，解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0200y x y x ，；，当y =1时；⎪⎩⎪⎨⎧<-<-.1|1|23|2|2x x x ，解得⎩⎨⎧==.11y x ，综上；⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.110200y x y x y x ，；，；， 20.（12分）学校食堂定期从某粮店以每吨1500元的价格买大米；每次购进大米需支付运输劳务费100元；已知食堂每天需用大米1 t ；贮存大米的费用为每吨每天2元；假定食堂每次均在用完大米的当天购买.（1）该食堂每隔多少天购买一次大米；能使平均每天所支付的费用最少?（2）粮店提出价格优惠条件；一次购买量不少于20 t 时；大米价格可享受九五折优惠（即是原价的95%）；问食堂可否接受此优惠条件?请说明理由.解；设该食堂每隔x 天购买一次大米；则每次购买x t ；设每吨每天所支付的费用为y 元；则（1）y =x1［1500x +100+2（1+2+…+x ）］ =x +x100+1501≥1521；当且仅当x =x100；即x =10时取等号. 故该食堂每隔10天购买一次大米；能使平均每天所支付的费用最少. （2）y =x1［1500x ·0.95+100+2（1+2+…+x ）］（x ≥20） =x +x100+1426；函数y 在［20；+∞）上为增函数；∴y ≥20+20100+1426=1451. 而1451＜1521；故食堂可接受粮店的优惠条件.21.（12分）设二次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a 、b 、c ∈R 且a ≠0）；若函数y =f （x ）的图象与直线y =x 和y =－x 均无公共点.（1）求证；4ac －b 2＞1；（2）求证；对一切实数x ；恒有|ax 2+bx +c |＞||41a .证明；（1）方程ax 2+bx +c =x 和ax 2+bx +c =－x 均无实根；即⎪⎩⎪⎨⎧<-+<--②）（①，）（.04104122ac b ac b①+②得4ac －b 2＞1. （2）由4ac －b 2＞1；知a （x +ab 2）2与a b ac 442-同号.所以|ax 2+bx +c |=|a （x +ab 2）2+a b ac 442-|=|a （x +ab 2）2|+|a b ac 442-|≥|a b ac 442-|＞||41a .22.（14分）已知二次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a 、b 、c ∈R ；a ＞0）；设方程f （x ）=x 的两个实数根为x 1、x 2.（1）如果x 1＜2＜x 2＜4；设f （x ）的对称轴是x =x 0；求证；x 0＞－1；（2）如果|x 1|＜2；|x 2－x 1|=2；求b 的取值范围.（1）证明；设g （x ）=f （x ）－x =ax 2+（b －1）x +1.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=⋅--=+.0112121a x x a b x x ，x 1＜2＜x 2＜4.∴（x 1－2）（x 2－2）＜0；即x 1x 2＜2（x 1+x 2）－4. 于是x 0=－a b 2=21（－a b 1-－a 1）=21（x 1+x 2）－21x 1x 2＞21（x 1+x 2）－（x 1+x 2）+2=－21（x 1+x 2）+2＞－21（2+4）+2=－1；即x 0＞－1. （2）解；由方程g （x ）=ax 2+（b －1）x +1=0；可知x 1x 2=a 1＞0；∴x 1、x 2同号. 若0＜x 1＜2；则x 2－x 1=2；∴x 2=x 1+2＞2.g （2）=4a +2b －1＜0.①又|x 2－x 1|2=（x 1+x 2）2－4x 1x 2=221a b）（-－a4=2. ∴2a +1=112+-）（b ；代入①式得2112+-）（b ＜3－2b .②解②得b ＜41. 若－2＜x 1＜0；则x 2=－2+x 1＜－2. ∴g （－2）=4a －2b +3＜0. ③将2a +1=112+-）（b 代入③式得2112+-）（b ＜2b －1.④解④得b ＞47. 综上；可知b ＜41或b ＞47. ●意犹未尽五枚金币有个叫阿巴格的人生活在内蒙古草原上.有一次；年少的阿巴格和他爸爸在草原上迷了路；阿巴格又累又怕；到最后快走不动了.爸爸就从兜里掏出５枚硬币；把一枚硬币埋在草地里；把其余4枚放在阿巴格的手上；说；“人生有５枚金币；童年、少年、青年、中年、老年各有一枚；你现在才用了一枚；就是埋在草地里的那一枚；你不能把５枚都扔在草原里；你要一点点地用；每一次都用出不同来；这样才不枉人生一世.今天我们一定要走出草原；你将来也一定要走出草原.世界很大；人活着；就要多走些地方；多看看；不要让你的金币没有用就扔掉.”在父亲的鼓励下；那天阿巴格走出了草原.长大后；阿巴格离开了家乡；成了一名优秀的船长.一语中的；珍惜生命；就能走出挫折的沼泽地.。

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第七章⎪⎪⎪不等式第一节不等式的性质及一元二次不等式突破点(一) 不等式的性质基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．比较两个实数大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b (a ，b ∈R )，a －b ＝0⇔a ＝b (a ，b ∈R )，a －b <0⇔a 1⇔a >b (a ∈R ，b >0)，ab ＝1⇔a ＝b (a ∈R ，b >0)，a b<1⇔a 0).2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性 a >b ⇔b <a ⇔ 传递性 a >b ，b >c ⇒a >c ⇒ 可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c⇔可乘性⎭⎬⎫a >b c >0⇒ac >bc注意c 的符号⎭⎬⎫a >bc <0⇒ac <bc 同向可加性⎭⎬⎫a >b c >d ⇒a ＋c >b ＋d⇒本节主要包括2个知识点： 1.不等式的性质；一元二次不等式.同向同正可乘性⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd >0 ⇒可乘方性 a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1) a ，b 同为正数可开方性 a >b >0⇒na >nb (n ∈N ，n ≥2)3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0b >0,0<c <d ⇒a c >b d .④0<a <x b >0，m >0，则：①b a b －m a －m (b －m >0)．②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m (b －m >0).考点贯通抓高考命题的“形”与“神”比较两个数(式)的大小[例1] (1)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定(2)若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ________b (填“＞”或“＜”)．[解析] (1)M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0.∴M >N .(2)易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a .[答案] (1)B (2)<[方法技巧] 比较两个数(式)大小的两种方法不等式的性质[例2] (1)如果a b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d(3)(2016·西安八校联考)“x 1>3且x 2>3”是“x 1＋x 2>6且x 1x 2>9”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [解析] (1)法一(性质判断)：对于A 项，由a 0，ab >0，故1a －1b ＝b －a ab >0，1a >1b ，故A 项错误；对于B 项，由a 0，ab >b 2，故B 项错误；对于C 项，由a 0，a 2>ab ，即－ab >－a 2，故C 项错误；对于D 项，由a 0，故－1a －⎝⎛⎭⎫－1b ＝a －b ab <0，－1a <－1b成立，故D 项正确．法二(特殊值法)：令a ＝－2，b ＝－1，则1a ＝－12>1b ＝－1，ab ＝2>b 2＝1，－ab ＝－2>－a 2＝－4，－1a ＝12<－1b＝1.故A 、B 、C 项错误，D 项正确．(2)取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；当c <0时，ac >bc ⇒a 0，∴a 3，x 2>3⇒x 1＋x 2>6，x 1x 2>9；反之不成立，例如x 1＝12，x 2＝20，x 1＋x 2＝412>6，x 1x 2＝10>9，但x 1<3.故“x 1>3且x 2>3”是“x 1＋x 2>6且x 1x 2>9”的充分不必要条件．[答案] (1)D (2)C (3)A [方法技巧]不等式性质应用问题的常见类型及解题策略(1)不等式成立问题．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充分、必要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( )A ．A ≤B B ．A ≥BC ．A <BD ．A >B解析：选B 由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B . 2.[考点二]若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可．法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 3.[考点二]若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc ＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d －c )中，成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，故①不成立．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴ad ＋b c ＝ac ＋bdcd ＜0，故②成立．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③成立．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④成立．成立的个数为3.4.[考点二]设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab，若 a >b >1，显然a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab >0，则充分性成立，当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b 成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立．突破点(二) 一元二次不等式基础联通抓主干知识的“源”与“流” 1．三个“二次”之间的关系判别式 Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根有两个相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两个相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集 {x |x <x 1或x >x 2}⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－b 2aR一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2} ∅∅2.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”一元二次不等式的解法[例1] 解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0；(2)0＜x 2－x －2≤4；(3)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．[解] (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. (3)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. 所以当a ＞1，即1a <1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1，即1a >1时，解为1＜x ＜1a .综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜1. [方法技巧]1．解一元二次不等式的方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 2．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．由一元二次不等式恒成立求参数范围对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外，常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值．考法(一) 在实数集R 上恒成立[例2] 已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 使得对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解] 不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m (1－m )＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实数m 使不等式恒成立．考法(二) 在某区间上恒成立[例3] 设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．[解] 要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0.所以m ＜6，则m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是mm ＜0或0＜m ＜67.考法(三) 在参数的某区间上恒成立时求变量范围[例4] 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．[解] 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，则原问题转化为关于m 的一次函数问题．由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．[易错提醒]解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋2)>0，|x |<1的解集为( )A ．{x |－2<x <－1}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |0<x <1}D ．{x |x >1}解析：选C 解x (x ＋2)>0，得x <－2或x >0；解|x |<1，得－1<x <1.因为不等式组的解集为两个不等式解集的交集，即解集为{x |0<x <1}．2.[考点一]已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.3.[考点二·考法(一)]若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]解析：选D 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．4.[考点二·考法(二)]若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( )A ．[－4,1]B ．[－4,3]C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.5.[考点二·考法(三)]要使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立，则x 的取值范围为________．解析：将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以①若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．②若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( )A ．[－2，－1]B ．[－1,2)C ．[－1,1]D ．[1,2)解析：选A A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，故A ∩B ＝[－2，－1]，故选A.2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝( )A ．{1}B ．{2}C ．{0,1}D ．{1,2}解析：选D N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{0,1,2}，所以M ∩N ＝{1,2}． 3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B解析：选B 集合A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，所以A ∪B ＝{x |x ＞2或x ＜0}∪{x |－5＜x ＜5}＝R ，故选B.[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A.1a <1bB ．|a |>|b |C ．a ＋b <2abD.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b解析：选C ∵a >b >0，∴1a <1b ，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，∴⎝⎛⎭⎫12a<⎝⎛⎭⎫12b.故C 项不成立．2．函数f (x )＝ 1－xx ＋2的定义域为( ) A ．[－2,1] B ．(－2,1]C ．[－2,1)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B 要使函数f (x )＝1－xx ＋2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧(1－x )(x ＋2)≥0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1，即函数的定义域为(－2,1]．3．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：选C 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，又y >z ，所以xy >xz ，故选C.4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，2x 2－7x ＋6>0的解集是( )A ．(2,3) B.⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3) C.⎝⎛⎭⎫－∞，32∪(3，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B ∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3.又∵2x 2－7x ＋6>0，∴(x －2)(2x －3)>0，∴x <32或x >2，∴原不等式组的解集为⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3)．5．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析：依题意知，⎩⎨⎧－13＋12＝－2a ，－13×12＝ca ，∴解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2,3)．答案：(－2,3)[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]解析：选D A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a >b ⇒ac 2>bc 2 B.a c >bc ⇒a >b C.⎭⎬⎫a >b ab <0⇒1a >1bD.⎭⎬⎫a >b ab >0⇒1a >1b解析：选C 当c ＝0时，ac 2＝0，bc 2＝0，故由a >b 不能得到ac 2>bc 2，故A 错误；当c <0时，a c >b c ⇒a 0⇔⎩⎨⎧ab >0，a b ，故选项D 错误，C 正确．故选C.3．已知a >0，且a ≠1，m ＝a a 2＋1，n ＝a a ＋1，则( )A ．m ≥nB ．m >nC ．m <nD ．m ≤n解析：选B 由题易知m >0，n >0，两式作商，得mn＝a (a 2＋1)－(a ＋1)＝a a (a －1)，当a >1时，a (a －1)>0，所以a a (a －1)>a 0＝1，即m >n ；当0<a <1时，a (a －1)<0，所以a a (a －1)>a 0＝1，即m >n .综上，对任意的a >0，a ≠1，都有m >n .4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B ．[－4，＋∞)C ．[－4,3]D ．[－4,3)解析：选B 不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1,3]，假设⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为空集，则不等式x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x <－1或x >3}的子集，因为函数f (x )＝x 2＋4x －(a ＋1)的图象的对称轴方程为x ＝－2，所以必有f (－1)＝－4－a >0，即a <－4，则使⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不为空集的a 的取值范围是a ≥－4.5．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 解析：选A 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－235，＋∞. 6．在R 上定义运算：⎝⎛⎭⎫a c b d ＝ad －bc ，若不等式⎝⎛⎭⎫x －1a ＋1 a －2x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32解析：选D 由定义知，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＋1a －2x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.二、填空题7．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题： ①若1a <1b ，则c a <c b ；②若a c 2b ，则a ·2c >b ·2c .其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上)．解析：①若c ≤0，则命题不成立．②由a c 20知命题正确．答案：②③8．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是________．解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a <x <1a 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x ＜0为奇函数，则不等式f (x )＜4的解集为________．解析：若x >0，则－x <0，则f (－x )＝bx 2＋3x .因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即bx 2＋3x ＝－x 2－ax ，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x ＜0.当x ≥0时，由x 2－3x ＜4解得0≤x ＜4；当x ＜0时，由－x 2－3x ＜4解得x ＜0，所以不等式f (x )＜4的解集为(－∞，4)．答案：(－∞，4)10．(2016·西安一模)若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，相当于二次函数y ＝x 2＋mx ＋1的最小值非负，即方程x 2＋mx ＋1＝0最多有一个实根，故Δ＝m 2－4≤0，解得－2≤m ≤2.答案：[－2,2] 三、解答题11．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0，即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3. ∴不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}． (2)∵f (x )>b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.故a 的值为3＋3或3－3，b 的值为－3.12．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1x 时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2.(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“对任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题突破点(一) 二元一次不等式(组)表示的平面区域基础联通抓主干知识的“源”与“流” 1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax ＋By ＋C ＞0 直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线 Ax ＋By ＋C ≥0 包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法步骤考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求平面区域的面积1.求平面区域的面积，要先作出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积．2．求平面区域的面积问题，平面区域形状为三角形的居多，尤其当△ABC 为等腰直角三角形(A 为直角)时，点B 到直线AC 的距离即△ABC 的腰长|AB |.由点到直线的距离公式本节主要包括3个知识点：1.二元一次不等式(组)表示的平面区域；2.简单的线性规划问题；求得|AB |，面积便可求出．[例1] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为( )A ．4B ．1C ．5D ．无穷大[解析]不等式组⎩⎨⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1,2)，B (2,2)，C (3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.[答案] B [方法技巧]解决求平面区域面积问题的方法步骤(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．[提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．根据平面区域满足的条件求参数不等式组中的参数影响平面区域的形状，如果不等式组中的不等式含有参数，这时它表示的区域的分界线是一条变动的直线，此时要根据参数的取值范围确定这条直线的变化趋势、倾斜角度、上升还是下降、是否过定点等，确定区域的可能形状，进而根据题目要求求解；如果是一条曲线与平面区域具有一定的位置关系，可以考虑对应的函数的变化趋势，确定极限情况求解；如果目标函数中含有参数，则要根据这个目标函数的特点考察参数变化时目标函数与平面区域的关系，在运动变化中求解．[例2] 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B ．(0,1]C.⎣⎡⎦⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ [解析]不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，2x ＋y ＝2，得A 23，23；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2，得B (1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.[答案] D[易错提醒]此类问题的难点在于参数取值范围的不同导致平面区域或者曲线位置的改变，解答的思路可能会有变化，所以求解时要根据题意进行必要的分类讨论及对特殊点、特殊值的考虑．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：选D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，AB 长度的最大值为4，则以AB 为直径的圆的面积为最大值S ＝π×⎝⎛⎭⎫422＝4π.2.[考点二]若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．3解析：选B 作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2,0)，B (1－m,1＋m )，C2－4m 3，2＋2m3，D (－2m,0)．S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m －23＝43，解得m ＝1或m ＝－3(舍去)． 3.[考点一]不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4.答案：44.[考点二]若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为________．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1，0)，(2,0)；当a ＝－1时，增加了(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点，此时，整点的个数共9个，故整数a ＝－1.答案：－1突破点(二) 简单的线性规划问题基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x ，y 组成的不等式(组)线性约束条件由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数关于x ，y 的函数解析式，如z ＝2x ＋3y 等线性目标函数关于x ，y 的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题2.简单线性规划问题的图解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”．即考点贯通抓高考命题的“形”与“神”线性目标函数的最值[例1] (2016·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17[解析] 由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小．又知点A 的坐标为(3,0)，∴z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B.[答案] B [方法技巧]求解线性目标函数最值的常用方法线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值．非线性目标函数的最值[例2] (2016·山东高考)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12[解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.[答案] C[方法技巧]非线性目标函数最值问题的常见类型及求法(1)距离平方型：目标函数为z ＝(x －a )2＋(y －b )2时，可转化为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )之间的距离的平方求解．(2)斜率型：对形如z ＝ay ＋bcx ＋d(ac ≠0)型的目标函数，可利用斜率的几何意义来求最值，即先变形为z ＝a c ·y －⎝⎛⎭⎫－b a x －⎝⎛⎭⎫－d c 的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )与点⎝⎛⎭⎫－d c ，－b a 连线的斜率的ac倍的取值范围、最值等．(3)点到直线距离型：对形如z ＝|Ax ＋By ＋C |型的目标函数，可先变形为z ＝A 2＋B 2·|Ax ＋By ＋C |A 2＋B2的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍的最值．线性规划中的参数问题[例3] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3[解析] 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2.[答案] B [方法技巧]求解线性规划中含参问题的两种基本方法(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围；(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2解析：选B 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8.2.[考点二]已知(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，则k ＝yx ＋1的最大值为( ) A.12 B.32 C ．1D.14解析：选C如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1表示的平面区域为△AOB 的边界及其内部区域，k ＝yx ＋1＝y －0x －(－1)表示平面区域内的点(x ，y )和点(－1,0)连线的斜率．由图知，平面区域内的点(0,1)和点(－1,0)连线的斜率最大，所以k max ＝1－00－(－1)＝1.3.[考点一](2017·银川模拟)设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选A 作出实数x ，y 满足的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，当目标函数z ＝x ＋y 经过点C (k ，k )时，取得最大值，且z max ＝k ＋k ＝6，得k ＝3.当目标函数z ＝x ＋y 经过点B (－6,3)时，取得最小值，且z min ＝－6＋3＝－3，故选A.4.[考点三]x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1解析：选D 由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0,2)，B (2,0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.5.[考点二]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝(x ＋1)2＋y 2的最大值为________．解析：作出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x ＋1)2＋y 2可看作点(x ，y )到点P (－1，0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A 到点P (－1，0)的距离最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＋5＝0，得A 点的坐标为(3,8)，代入z ＝(x ＋1)2＋y 2，得z max ＝(3＋1)2＋82＝80.答案：80突破点(三) 线性规划的实际应用基础联通抓主干知识的“源”与“流”解线性规划应用题的一般步骤考点贯通抓高考命题的“形”与“神”线性规划的实际应用[典例] 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲乙原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元[解析] 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.[答案] D[易错提醒]求解线性规划应用题的三个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否为整数、是否为非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a ＜7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝( )A ．10B ．12C ．13D ．16解析：选C 如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线b ＋a ＝0，并平移，结合a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，a ＋b 取最大值，故x ＝6＋7＝13.2．A ，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤11，x ＋3y ≤9，x ∈N ，y ∈N ，生产利润为z ＝300x ＋400y .画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z ＝300x ＋400y 在点M 或其附近的整数点处取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝11，x ＋3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，则z max ＝300×3＋400×2＝1 700.故最大利润是1 700元．答案：1 700[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2 D ．p 1，p 3解析：选C 画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝x ＋2y 经过可行域内的点A (2，－1)时，取得最小值0，故x ＋2y ≥0，因此p 1，p 2是真命题，选C.2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3).若z ＝2x ＋y的最小值为1，则a ＝( )A.14 B.12C ．1D ．2解析：选B 由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC 内部及边界部分所示，由目标函数z ＝2x ＋y 的几何意义为直线l ：y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，知当直线l 过可行域内的点B (1，－2a )时，目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1，则2－2a ＝1，a ＝12，故选B.3．(2016·全国丙卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．平移直线x ＋y ＝0，当直线经过A 点时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0得A 1，12，z max ＝1＋12＝32.答案：324．(2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧ 1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0并上下平移，易知当直线经过点M 时，z 取得。