高考数学一轮复习不等式知识点讲解

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2023届高考数学一轮复习讲义：第5讲基本不等式

第5讲基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．(3)其中称为正数a ，b 的算术平均数，称为正数a ，b 的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当时，x ＋y 有最小值是．(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当时，xy 有最大值是．(简记：和定积最大)常用结论几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号．➢考点1 利用基本不等式求最值[名师点睛]1.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 2.常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 3.消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围． [典例]1.（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a ，b 满足条件33ba b ++，则22a b +的最小值为（） A ．8B ．6C ．4D ．22．（2022·湖南湖南·二模）函数()122y x x x =+>-+的最小值为（） A ．3B ．2C ．1D ．03．（多选）（2022·河北石家庄·二模）设正实数m ，n 满足2m n +=，则下列说法正确的是（） A ．11m n+上的最小值为2 B ．mn 的最大值为1C 4D ．22m n +的最小值为544.[2021河南平顶山模拟]若对于任意x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．⎣⎡⎭⎫15，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫15，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫－∞，15D ．⎝⎛⎦⎤－∞，15 [举一反三]1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（）A ．8B ．7C ．6D ．52．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12x y+的最小值是（）A ．1B ．2C ．4D ．63．（2022·全国·模拟预测）已知a ，b 为非负数，且满足26a b +=，则()()2214a b ++的最大值为（） A ．40B ．1674C ．42D ．16944．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（）A ．2B ．2C ．2D ．65．（多选）（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（） A ．已知0a >，0b >，且1a b +=，则22log log 2a b +≤-B ．函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2+a b 的最小值是C．已知()1210,012x y x x y+=>>++，则3x y +的最小值为2+ D ．已知()22200,0x y x y xy x y +---+=>>，则xy 的最小值为7126．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）设001a b a b >>+=，，，则下列不等式中一定成立的是（） A ．114a b+≥B ．2212a b +≥C D ．10b +<7．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知a ，b 为正实数，且2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为____________，此时=a ____________． 8．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知1x y >>，则()41x y x y xy y-+++-的最小值为___________.9．（2022·天津·大港一中高三阶段练习）设0m n >>，那么()41m m n n+-的最小值是___________.10．（2022·天津河北·一模）已知0a >，0b >，且1a b +=，则11a ba b +++的最大值为__________.11．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0,0,233x y z x y z >>>++=，求222111()(2)(3)462x y z y z x+++++ 的最小值；➢考点2 利用基本不等式证明不等式[典例]（2022·全国·高三专题练习）已知,,a b c 都是正数，求证： (1)()()24a b ab cabc ++≥；(2)若1a b c ++=，则11192a b b c c a ++≥+++.[举一反三]1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a ，b ，c 为正数. (1)求24a a +的最小值； (2)求证：bc ac ab a b c a b c++≥++.2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知0,0a b >>. (1)若2a b +=，求1411+++a b的最小值； (2)求证：2222(1)++≥++a b a b ab a b .3．（2022·河南开封·二模（文））已知,,R a b c +∈，且abc =1. (1)求证：222111a b c a b c++++≥；(2)若a =b +c ，求a 的最小值.4．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b ，c 满足3a b c ++=． (1)求abc 的最大值；(2)证明：3333a b b c c a abc ++≥．➢考点3 基本不等式中的恒成立问题[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1xx a x x >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[1,)-+∞B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞2．（2022·全国·高三专题练习）设,a b c >>，n N ∈，且2110n a b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5[举一反三]1．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足191a b +=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．[)3,+∞B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞2．（2021·浙江·模拟预测）对任意正实数,a b 不等式2(1)2a b ab a bλλ+-++则（） A ．实数λ有最小值1 B ．实数λ有最大值1 C ．实数λ有最小值12D ．实数λ有最大值123．（多选）（2022·全国·高三专题练习）当0x >，0y >，R m ∈时，2222y xm m k x y+>-++恒成立，则k 的取值可能是（） A ．2-B ．1-C ．1D ．24．（2022·全国·高三专题练习）不等式22221122xy yz a a x y z ++-++≤对任意正数x ，y ，z 恒成立，则a 的最大值是__________．5．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +-+≤，则实数a 的最小值是___________.6．（2022·全国·高三专题练习）若不等式()22x x y a x y +≤+对一切正实数,x y 恒成立，则实数a 的最小值为_____．➢考点4 基本不等式与其他专题综合[名师点睛]有关函数最值的实际问题的解题技巧1．根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． 2．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．3．在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． [典例]1．（2022·安徽安庆·二模（文））若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.2.[2021湖北鄂东南联考]方程(x 2 018＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2 016)＝2 018x 2 017的实数解的个数为________．3．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米[举一反三]1．（2022·北京·101中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为23300010C Q =+．设该产品年产量为Q 时的平均成本为f （Q ）（单位：元/件），则f （Q ）的最小值是（） A ．30B ．60C ．900D ．18002．（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知ABC 为锐角三角形，且sin sin sin A B C =，则下列结论中正确的是（） A ．tan tan tan tan B C B C += B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++ C ．41tan 3A <≤D ．tan tan tan A B C 的最小值为43．（2021·全国·高三专题练习）如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =，3AD =，那么当BM =_______时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为______.第5讲基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．2．利用基本不等式求最值已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24．(简记：和定积最大)常用结论几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号．➢考点1 利用基本不等式求最值[名师点睛]1.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 2.常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 3.消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围． [典例]1.（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a ，b 满足条件336a ba b ++，则22a b +的最小值为（） A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】D【解析】因为33ba b ++≥33a b=，即a b =时取等号，所以643a b a b ++≥⋅，所以24a b +≥，2a b +≥，()222122a b a b +≥+=，当且仅当1a b ==时等号成立，所以22a b +的最小值为2 故选：D.2．（2022·湖南湖南·二模）函数()122y x x x =+>-+的最小值为（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】D【解析】因为2x >-，所以20x +>，102x >+，利用基本不等式可得11222022x x x x +=++-≥=++，当且仅当122x x +=+即1x =-时等号成立.故选：D.3．（多选）（2022·河北石家庄·二模）设正实数m ，n 满足2m n +=，则下列说法正确的是（） A ．11m n+上的最小值为2 B ．mn 的最大值为1C 4D ．22m n +的最小值为54【答案】AB【解析】∵0,0,2m n m n >>+=，∴()1111111222222n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当n mm n=，即1m n ==时等号成立，故A 正确；2m n +=≥∴1mn ≤，当且仅当1m n ==时，等号成立，故B 正确；(22224m ⎡⎤+≤+=⎢⎥⎣⎦，2=，当且仅当1m n ==时等号成立，最大值为2，故C 错误；()22222m n m n ++≥=，当且仅当1m n ==时等号成立，故D 错误．故选：AB4.[2021河南平顶山模拟]若对于任意x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．⎣⎡⎭⎫15，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫15，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫－∞，15 D ．⎝⎛⎦⎤－∞，15 [答案] A [解析] 由x >0，x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3，令t ＝x ＋1x，则t ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时，t 取得最小值2. x x 2＋3x ＋1取得最大值15，所以对于任意的x >0，不等式x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a ≥15.[举一反三]1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D【解析】因为13x >，所以3x －1>0，所以()443311153131y x x x x =+=-++≥=--，当且仅当43131x x -=-，即x =1时等号成立，故函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为5．故选：D ．2．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12x y+的最小值是（）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】C【解析】解：因为0x >，0y >，22x y +=，所以()1211214122244222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4y x x y =，即12x =，1y =时取等号；故选：C3．（2022·全国·模拟预测）已知a ，b 为非负数，且满足26a b +=，则()()2214a b ++的最大值为（） A ．40 B ．1674C ．42D ．1694【答案】D 【解析】()()222222222214444444a b ab a b a b ab ab a b ++=+++=++-++()()()22222362a b ab ab =++-=+-，又2112902()2222a b ab a b +≤=⋅⋅≤=，当且仅当3,32a b ==时取“=”，则22916936(2)36(2)24ab +-≤+-=，所以当3,32a b ==时，()()2214a b ++的最大值为1694. 故选：D4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（）A ．2B ．2C ．2D ．6【答案】B【解析】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++-⋅=+++888422222222，当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号. 故选：B.5．（多选）（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（） A ．已知0a >，0b >，且1a b +=，则22log log 2a b +≤-B ．函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2+a b 的最小值是C ．已知()1210,012x y x x y+=>>++，则3x y +的最小值为2+D ．已知()22200,0x y x y xy x y +---+=>>，则xy 的最小值为712【答案】AC【解析】对于选项A ，∵0a >，0b >，1a b +=，∴1a b =+≥∴14ab ≤，当且仅当12a b ==时取等号，∴22221log log log log 24a b ab +=≤=-，∴A 正确；对于选项B ：因为1ab =，所以22a b a a+=+，又01a <<，所以由对勾函数的单调性可知函数()2=+h a a a在()0,1上单调递减，所以()()3,h a ∈+∞，即23+>a b ，故B 不正确；对于选项C ，根据题意，已知()()3121x y x x y +=+++-，则()()()2112212331212x x y x x y x x y x x y +⎛⎫+++++=++≥+⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()21212++=++x x y x x y，即1==x y时，等号成立，所以32x y +≥+C 正确；对于选项D ，()()2222032x y x y xy x y x y xy +---+=⇒+-+=-，令0x y t +=>，所以214t t -≥-，所以1732412xy xy -≥-⇒≥，此时1,2712x y xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩无解，所以选项D 不正确，故选：AC ．6．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）设001a b a b >>+=，，，则下列不等式中一定成立的是（） A ．114a b+≥B ．2212a b +≥ CD ．10b +<【答案】AB【解析】对于A ：因为001a b a b >>+=，，，所以()11111124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即12a b ==时取等号，所以114a b+≥成立.故A 正确；对于B ：因为001a b a b >>+=，，，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号.所以()22212122a b a b ab ab +=+-=-≥成立.故B 正确；对于C ：因为001a b a b >>+=，，，所以()()113a b +++=，所以()()311a b =+++≥记u =0u >，所以21111336u ab b =+++++≤+=，所以0u <≤故C 错误；对于D ：因为0,b >所以10+>b .故D 错误. 故选：AB7．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知a ，b 为正实数，且2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为____________，此时=a____________．【答案】 6-3【解析】a ,b 为正实数, 且2a b +=,222221111a b b a a b a b +-+∴+=++++2111a b a b =++-++2111a b =+++ ()()1211131a b a b ⎛⎫=++++ ⎪+⎝⎭()2111331ba ab ⎛⎫+=+++ ⎪+⎝⎭ (1133≥++=当且仅当()2112b aa b a b ⎧+=⎪⎨+⎪+=⎩即6a =-4b =时取“=”故答案为:6-38．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知1x y >>，则()41x y x y xy y-+++-的最小值为___________. 【答案】9 【解析】()()()()41414411911x y x y x y x y x y xy yx y x y -+⎡⎤-+⎛⎫⎡⎤⎣⎦++=++=-++++ ⎪⎢⎥---⎣⎦⎝⎭≥，当且仅当32x y =⎧⎨=⎩时等号成立，取等条件满足1x y >>，所以()41x y x y xy y -+++-的最小值为9.故答案为：99．（2022·天津·大港一中高三阶段练习）设0m n >>，那么()41m m n n+-的最小值是___________.【答案】8【解析】解：0m n >>，所以()()2224m n n m m n n ⎡⎤-+-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当m n n -=，即2m n =时取等号；所以214()m n n m ≥-，所以()()42422448114m m m m n nm m +≥+-⨯≥+==，当且仅当2244m m =，即1m =时取等号，所以()481m m n n+≥-，当且仅当1m =、12n =时取等号；故答案为：810．（2022·天津河北·一模）已知0a >，0b >，且1a b +=，则11a b a b +++的最大值为__________. 【答案】23【解析】1111111111211111111a b a b a b a b a b a b +-+-⎛⎫+=+=-+-=-+ ⎪++++++++⎝⎭. 因为0a >，0b >，且1a b +=，所以()1111111111311a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+⋅=++++ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()1111142222311333b a a b ⎛++⎛⎫=++≥+=+= ⎪ ++⎝⎭⎝，当且仅当11111b a a b a b ++⎧=⎪++⎨⎪+=⎩即12a b ==时取等.所以114222111133a b a b a b ⎛⎫+=-+≤-= ⎪++++⎝⎭.，即11a b a b +++的最大值为23. 故答案为：23.11．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0,0,233x y z x y z >>>++=，求222111()(2)(3)462x y z y z x+++++ 的最小值；【答案】274【解析】由222111[()(2)(3)]462x y z y z x+++++ 222(111)++2111[()1(2)1(3)1]462x y z y z x ≥+⨯++⨯++⨯2111[(23)()]462x y z y z x=+++++21232323[3()]623x y z x y z x y z x y z++++++=+++212332[3(3)]62323y x z x z y x y x z y z =+++++++2381(3)24≥+=.所以222111()(2)(3)462x y z y z x +++++≥274，当且仅当231x y z ===时等号成立，综上，222111()(2)(3)462x y z y z x +++++的最小值为274.➢考点2 利用基本不等式证明不等式[典例]（2022·全国·高三专题练习）已知,,a b c 都是正数，求证： (1)()()24a b ab cabc ++≥；(2)若1a b c ++=，则11192a b b c c a ++≥+++. 【解】(1)()()2222244a b ab c abc a b ac ab bc abc ++-=+++-()()()()22222222b a ac c a b bc c b a c a b c =-++-+=-+-，∵,,a b c 都是正数，∴()()220b a c a b c -+-≥，当且仅当“a b c ==”时等号成立，∴()()24a b ab c abc ++≥.(2)()()()11111112a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭132a b b c b c c a c a a b b c a b c a b c a b c a ⎡++++++⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦132⎛≥+ ⎝ ()19322222=+++=，当且仅当“13a b c ===”时等号成立，∴11192a b b c c a ++≥+++. [举一反三]1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a ，b ，c 为正数. (1)求24a a +的最小值； (2)求证：bc ac ab a b c a b c++≥++. 【解】(1)因为24a a+24=322a a a ++≥，当且仅当“2a =”时等号成立，所以当2a =时，24a a+的最小值为3.(2)因为2bc ac c a b +≥=，同理2ac ab a b c +≥，2bc ab b a c +≥，所以三式相加得22()bc ac ab a b c a bc ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭，所以bc ac aba b c a b c++≥++，当且仅当“a b c ==”时等号成立 2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知0,0a b >>. (1)若2a b +=，求1411+++a b的最小值； (2)求证：2222(1)++≥++a b a b ab a b .【解】(1)因为0,0a b >>，所以10,10a b +>+>，又2a b +=，所以1++14a b +=，所以14114114(1)19()[(1)(1)][5](54)1141141144b a a b a b a b a b +++=++++=++≥+=++++++ 当且仅当14(1)112b a a b a b ++⎧=⎪++⎨⎪+=⎩，即1353a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号，所以1411+++a b 的最小值为94.(2)因为22222a b a a b +≥①，222a b ab +≥②，22222a b b ab +≥③，所以，由①②③，同向不等式相加可得：222222222222a b a b a b ab ab ++≥++，当且仅当ab a b ==，即1a b ==时取等号. 即2222(1)++≥++a b a b ab a b 成立.3．（2022·河南开封·二模（文））已知,,R a b c +∈，且abc =1. (1)求证：222111a b c a b c++++≥；(2)若a =b +c ，求a 的最小值. 【解】(1)111abc abc abcbc ac ab a b c a b c++=++=++ 222222222222b c a c a b a b c +++≤++=++，当且仅当1a b c ===时等号成立. (2)依题意,,R a b c +∈，11,abc bc a==，所以a b c =+≥=b c =时等号成立. 所以23322,2a a ≥≥，所以a 的最小值为232，此时23222a b c ===.4．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b ，c 满足3a b c ++=． (1)求abc 的最大值；(2)证明：3333a b b c c a abc ++≥．【解】(1)由a b c ++≥，当且仅当a b c ==时，取得等号．又3a b c ++=，所以3313abc ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭．故当且仅当1a b c ===时，abc 取得最大值1．(2)证明：要证3333a b b c c a abc ++≥，需证2223a b c c a b++≥．因为()222222a b c a b c a b c c a b c a b c a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()26a b c ≥=++=，即2223a b c c a b++≥，当且仅当1a b c ===时取得等号．故3333a b b c c a abc ++≥．➢考点3 基本不等式中的恒成立问题[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1xx a xx >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[1,)-+∞ B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞【答案】C【解析】解：因为0x >，所以22221131x x x x x ==++++，当且仅当1x x =即1x =时取等号，因为221x a x x ≥++恒成立，所以23a ≥，即2,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭；故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）设,a b c >>，n N ∈，且2110n a b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【解析】解：2110n a b b c a c+≥---等价于2110()a c n a b b c ⎛⎫+-≥⎪--⎝⎭， ()110110()a c a b b c a b b c a b b c ⎛⎫⎛⎫+-=+-+- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭10()111111b c a b a b b c --=++≥++--故得到211,n n N +∈则n 的最大值是4.故选：C. [举一反三]1．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足191a b +=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．[)3,+∞B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞【答案】D【解析】因为0a >，0b >，191a b+=，所以()199101016a a b a b a b a b b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当9b a a b =，即4a =，12b =时取等号．由题意，得241186x x m ≥-++-，即242x x m --≥-对任意的实数x 恒成立，又()2242266x x x --=--≥-，所以6m -≥-，即6m ≥．故选：D ．2．（2021·浙江·模拟预测）对任意正实数,a b不等式2(1)2a b ab a bλλ+-++则（） A ．实数λ有最小值1 B ．实数λ有最大值1 C ．实数λ有最小值12D ．实数λ有最大值12【答案】C【解析】2(1)2a b ab a b λλ+-++故222a b ab ab a b a b λ+⎛⎫- ⎪++⎝⎭，()()22022a b a b ab a b a b -+-=≥++，当a b =时，不等式恒成立；当ab时，222aba b a b ab a bλ+≥=+-+12=，a b =时等号成立，a b12=，故12λ≥. 故选：C.3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）当0x >，0y >，R m ∈时，2222y x m m k x y+>-++恒成立，则k 的取值可能是（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】AB【解析】因为0x >，0y >，所以222y x x y +≥=，当且仅当2x y =时，等号成立．因为()222111m m k m k k -++=--++≤+．若2222y xm m k x y+>-++恒成立，则12k +<，解得1k <．故选：AB.4．（2022·全国·高三专题练习）不等式22221122xy yz a a x y z ++-++≤对任意正数x ，y ，z 恒成立，则a 的最大值是__________．【答案】1 【解析】因为222222212222xy yz xy yz xy yz x y z x y y z xy yz +++==++++++≤，当x y z ==时取等号，所以 2222xy yz x y z +++的最大值是12，即211122a a +-≥，解得112a -≤≤，所以a 的最大值是1．故答案为：15．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +-+≤，则实数a 的最小值是___________. 【答案】2【解析】解：因为0,0x y >>，则()2220x xy y x y xy -+=-+>，则()2222x y a x xy y +-+≤，即2222x y a x xy y+-+≤，又22222211x y xy x xy y x y +=-+-+，因为222x y xy +≥，所以22112xy x y -≥+，所以22121xy x y≤-+，即22222x y x xy y +≤-+，当且仅当x y =时，取等号，所以2222max2x y x xy y ⎛⎫+= ⎪-+⎝⎭，所以2a ≥，即实数a 的最小值是2. 故答案为：2.6．（2022·全国·高三专题练习）若不等式()2x x y a x y +≤+对一切正实数,x y 恒成立，则实数a 的最小值为_____．【答案】2【解析】()()22222=22x x y a x y x x y x x y x y +≤+∴+≤+++，当且仅当=2x y 时取等号，0,0x y >>0x y ∴+>()22x x y a x y +≤+max2x ya y ⎫∴≥⎪⎪⎝⎭ 22222x x y x yx y x y ++≤=++max2=2x y a y ⎫∴≥⎪⎪⎝⎭，a ∴的最小值为2 故答案为：2➢考点4 基本不等式与其他专题综合[典例]1．（2022·安徽安庆·二模（文））若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】[ 【解析】因函数()f x 在(),-∞+∞内单调递增，则R x ∀∈，42()cos 2sin 033f x x a x '=--≥，即42sin cos 233a x x ≤-，整理得242sin sin 33a x x ≤+，当sin 0x =时，则203≤成立，R a ∈，当sin 0x >时，42sin 33sin a x x ≤+，而42214sin (2sin )233sin 3sin 3x x x x +=+≥，当且仅当12sin sin x x=，即2sin 2x 时取“=”，则有423a ≤，当sin 0x <时，42sin 33sin a x x ≥+，而42214sin [(2sin )]233sin 3sin 3x x x x +=--+≤--，当且仅当12sin sin x x -=-，即2sin 2x =-时取“=”，则有423a ≥-，综上得，424233a -≤≤所以实数a 的取值范围是4242[,]33-. 故答案为：4242,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2.[2021湖北鄂东南联考]方程(x 2 018＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2 016)＝2 018x 2 017的实数解的个数为________．[答案] 1 [解析] 由题意知x >0，∴(x 2 018＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2 016)≥ 2x 2 018·1×12(21·x 2 016＋2x 2·x 2 014＋…＋2x 2 016·1)＝2 018x 2 017，当且仅当x ＝1时等号成立，因此实数解的个数为1.3．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米【答案】C【解析】由题意知，8,12PB QB ==，设,,PMB QMB BM x ∠=∠==αβ，则812tan ,tan x x==αβ，所以()212844tan tan 12896961x x x PMQ x x x x x -∠=-===≤=++⋅+βα，当且仅当96x x =，即x =10，所以BM 大约为10米.故选：C. [举一反三]1．（2022·北京·101中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为23300010C Q =+．设该产品年产量为Q 时的平均成本为f （Q ）（单位：元/件），则f （Q ）的最小值是（） A ．30 B ．60C ．900D ．1800【答案】B【解析】23300010()Q C f Q Q Q +==3300010Q Q =+23060≥=⨯=，当且仅当3300010Q Q =，即当100Q =时等号成立. 所以f （Q ）的最小值是60. 故选：B.2．（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知ABC 为锐角三角形，且sin sin sin A B C =，则下列结论中正确的是（） A ．tan tan tan tan B C B C += B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++ C ．41tan 3A <≤D ．tan tan tan A B C 的最小值为4【答案】ABC【解析】解：因为()sin sin sin cos sin cos sin sin A B C B C C B B C =+=+=，两边同除cos cos B C 得tan tan tan tan B C B C +=，故A 正确；由均值不等式tan tan tan tan B C B C +=≥tan tan 4B C ≥当且仅当tan tan 2B C ==时取等号，()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故B 正确；tan tan 1tan 1tan tan 1tan tan 1B C A B C B C ==+--，由tan tan 4B C ≥，所以110tan tan 13B C <≤-，所以得31tan 1ta 1n tan 14A B C =+≤-<，故C 正确；22tan tan 1tan tan 12tan tan t 1ta t n t 1a n t n a n an a A B C B C B C B B C C ==-++--，由tan tan 13B C -≥且1y x x =+在[)3,+∞上单调递增，所以tan tan tan A B C 的最小值为163，故D 错误．故选：ABC3．（2021·全国·高三专题练习）如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =，3AD =，那么当BM =_______时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为______.【答案】 4 48 【解析】解：设BM x =，则34x x AN =+，则123AN x=+，则()12484843324232448AMPN S x x x x x x ⎛⎫=++=++⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当483x x=，即4x =时等号成立，故矩形花坛的AMPN 面积最小值为48．即当4BM =时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为48. 故答案为：4；48.。

高考数学一轮总复习不等式与参数方程

高考数学一轮总复习不等式与参数方程在高考数学中，不等式和参数方程是一轮总复习中非常重要的部分。

通过掌握这两个知识点，学生们可以更好地应对考试，并在解题过程中展现他们的数学能力。

本文将深入讨论不等式和参数方程的定义、性质以及解题方法，帮助大家更好地理解和掌握这两个知识点。

一、不等式不等式是数学中用于表示数量大小关系的一种表达方式。

不等式中的符号可以是大于、小于、大于等于、小于等于等，利用不等式可以描述两个或多个数的大小关系。

在高考数学中，不等式通常与方程一起出现，要求学生求出不等式的解集或者判断不等式的真假。

1.1 不等式的基本性质不等式具有一些基本的性质，这些性质对于解决不等式问题非常有帮助。

首先，两个不等式的加法仍然是不等式，例如对于不等式a<b和c<d，可以得到a+c<b+d。

同样地，两个不等式的乘法也还是不等式，例如对于不等式a<b和c<d，可以得到ac<bd。

此外，如果一个不等式两边都乘以一个正数，那么不等号的方向不变；如果一个不等式两边都乘以一个负数，那么不等号的方向会发生改变。

1.2 不等式的解集求解一个不等式就是要找到该不等式的所有满足条件的解。

对于简单的不等式，可以通过画数轴或者列出数表等方法来找到解集。

但是在高考中，我们经常遇到复杂的不等式，这时就需要运用一些解不等式的常用方法，如区间判断法、辅助方程法和换元法等。

二、参数方程参数方程是一种描述曲线或者曲面上各点的方法。

在参数方程中，自变量通常是一个参数，通过改变参数的值，我们可以得到不同的点。

参数方程在几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。

在高考数学中，参数方程通常与直线、曲线的性质和方程求解相关，掌握参数方程的概念和应用是解题的关键。

2.1 参数方程的定义参数方程由参数关于未知量的表达式组成。

例如，对于平面上的一条直线，我们可以使用两个参数x和y来表示该直线上的不同点。

通常情况下，我们会使用t作为参数，直线上的点可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中f(t)和g(t)是关于t的函数。

高三一轮复习数学不等式的性质

不等式的性质一、学习目标:1．会比较两个数(式)的大小．2．掌握不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用二、重难点：重点：理解不等式的性质难点：会解一元二次不等式中的恒成立问题三、知识梳理知识点一两个实数比较大小的方法方法关系作差法作商法a>b a－b>0>1(a，b>0)或<1(a，b<0)a＝b a－b＝0＝1(b≠0)a0)或>1(a，b<0)自查自测1．已知P＝a2＋3a＋3，Q＝a＋1，则P与Q的大小关系为()A．P<Q B．P＝Q C．P>Q D．不能确定2．已知x≠0，则(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小关系为．3．比较两数的大小：7+1014.知识点二不等式的性质自查自测1．已知实数x，y满足x＞y，则下列不等式成立的是()A．＜1B．ax＞ay C．x＋a＞y＋a D．x2＞y22．下列命题中，是真命题的是()A．如果ac>bc，那么a>b B．如果ac2>bc2，那么a>b C．如果>，那么a>b D．如果a>b，c>d，那么a－c>b－d 3．已知－1<a+b<2，－3<a－b<5，则3a－b的取值范围是．知识点三一元二次不等式的解法有两个相异的实数自查自测1.设x Rx x+-<成立的x的取值范围为∈，使不等式23202.不等式2340--+>的解集为x x【常用结论】1．倒数性质(1)a＞b，ab＞0⇒1＜1．(2)a＜0＜b⇒1＜1．(3)a＞b＞0，0＜c＜d⇒＞．(4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒1＜1＜12.分数性质若a>b>0,m>0,则(1)真分数性质:<r r;>K K(b-m>0).(2)假分数性质:>r r;<K K(b-m>0).3.分式不等式的解法(1)op op>0⇔opop>0(2)op op≥0⇔opop>0op≠0(3)op op>o≠0)⇔op op−>0自查自测1.不等式2301xx ->-的解集为()A ．3(,4-∞B ．2(,3-∞C ．2(,)(1,)3-∞+∞ D ．2(,1)32.下列不等式中，与不等式28223x x x +<++解集相同的是()A ．2(8)(23)2x x x ++++四、典例分析考点一不等式的性质考向1利用不等式的性质比较大小1．(多选题)已知实数a ，b ，c 满足c acB ．c (b －a )>0C ．ac (a －c )<0D ．cb 2<ab 22．(多选题)设b >a >0，c ∈R ，则下列不等式中正确的是()A ．a 12<b12B ．1>1C ．r2r2>D ．ac 3<bc 33．(2024·潍坊调研)()A ．若1＜1，则a 3＞b 3B 2a ＜2bC ．若ln a 2＞ln b 2，则2|a |＞2|b |D ．若tan a ＞tan b ，则a ＞b 4.已知a，b，c，d∈R，则下列不等式中恒成立的是()A.若a>b，c>d，则ac>bdB.若a>b，则ac 2>bc2C.若a>b>0，则(a −b)c>0D.若a>b，则a +c>b +c考向2利用不等式的性质求取值范围5．若－2<a −2x ≤−2或x ≥− D.x −2≤x2.已知关于x 的不等式B−1r1>0的解集是x <−1或x >a =考点三含参及综合类问题1.已知关于x的不等式ax2+(a−2)x−2≥0(a∈R).（1）若不等式的解集为{x|x≤−1或x≥2}，求a的值；（2）若不等式的解集只包含一个元素，求a的值和该不等式的解集.2.已知关于x的不等式x2−ax+b<0的解集为{x|2<x<3}，则关于x的不等式x2−bx+a<0的解集为()A.{x|2<x<3}B.{x|1<x<5}C.{x|2<x<5}D.{x|1<x<3}3.设a∈R，解关于x的不等式2x2+ax+2>0.4.若关于x的不等式(m−1)x2+(m−1)x+2>0的解集为R，求实数m的取值范围随堂检测1.若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则()A．x＋y≤1B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2D．x2＋y2≥12.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0).3.若对于−2≤m≤2，不等式mx>−mx−1<−m+5恒成则实数x是.4.已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围是(）A．{a|－1≤a≤4}B．{a|－1<a<4}C．{a|a≥4或a≤-1}D．{a|－4≤a≤1}5.函数f(x)＝x2＋ax＋3.若当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，则实数a的取值范围是.若当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，则实数x的取值范围是.。

2023年高考数学一轮复习讲义——等式性质与不等式性质

§1.3 等式性质与不等式性质考试要求 1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．知识梳理1．两个实数比较大小的方法作差法⎩⎪⎨⎪⎧ a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a b ⇔b <a ；性质2 传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；性质3 可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；性质4 可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；性质5 同向可加性：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；性质6 同向同正可乘性：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；性质7 同正可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)．常用结论1．若ab >0，且a >b ⇔1a <1b .2．若a >b >0，m >0⇒b a a >0，m >0⇒b a >b ＋ma ＋m .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则b >a .( × ) (3)若x >y ，则x 2>y 2.( × )(4)若1a >1b，则b <a .( × ) 教材改编题1．(多选)设b >a >0，c ∈R ，则下列不等式中正确的是( )A ．1122a b ＜B.1a >1bC.a ＋2b ＋2>a bD ．ac 3<bc 3 答案 ABC解析因为y ＝12x 在(0，＋∞)上单调递增，所以1122a b ＜，A 正确；因为y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以1a >1b，B 正确；因为a ＋2b ＋2－a b ＝2(b －a )(b ＋2)b >0，所以a ＋2b ＋2>a b，C 正确；当c ＝0时，ac 3＝bc 3，所以D 不正确．2．已知M ＝x 2－3x ，N ＝－3x 2＋x －3，则M ，N 的大小关系是________．答案 M >N解析 M －N ＝(x 2－3x )－(－3x 2＋x －3)＝4x 2－4x ＋3＝(2x －1)2＋2>0，∴M >N .3．已知－1<a <2，－3qD ．p ≥q答案 B解析 p －q ＝b 2a ＋a 2b －a －b＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b ＝(b 2－a 2)·⎝⎛⎭⎫1a －1b＝(b 2－a 2)(b －a )ab ＝(b －a )2(b ＋a)ab ，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0.若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ；若a ≠b ，则p －q <0，故p <q .综上，p ≤q .(2)(2022·菏泽模拟)已知a ，b ，c ∈(0,3)，且a 5＝5a ，b 4＝4b ，c 3＝3c ，下列不等式正确的是() A ．a >b >c B ．c >a >bC ．c >b >aD ．a >c >b答案 C解析 a 5＝5a ，即ln a a ＝ln 55，b 4＝4b ，即ln b b ＝ln 44，c 3＝3c ，即ln c c ＝ln 33，设f (x )＝ln x x ，则f (a )＝f (5)，f (b )＝f (4)，f (c )＝f (3)，f ′(x )＝1－ln xx 2(x >0)，当x >e 时，f ′(x )<0，f (x )＝ln x x 单调递减，当0<x <e 时，f ′(x )>0，f (x )＝ln x x单调递增，因为a ，b ，c ∈(0,3)，f (a )＝f (5)，f (b )＝f (4)，f (c )＝f (3)，所以a ，b ，c ∈(0，e)，因为f (5)<f (4)<f (3)，所以f (a )<f (b )<f (c )，a N解析方法一 M －N ＝e 2 021＋1e 2 022＋1－e 2 022＋1e 2 023＋1＝(e 2 021＋1)(e 2 023＋1)－(e 2 022＋1)2(e 2 022＋1)(e 2 023＋1)＝e 2 021＋e 2 023－2e 2 022(e 2 022＋1)(e 2 023＋1)＝e 2 021(e －1)2(e 2 022＋1)(e 2 023＋1)>0. ∴M >N .方法二令f (x )＝e x ＋1e x ＋1＋1＝1e (e x ＋1＋1)＋1－1e e x ＋1＋1＝1e ＋1－1e e x ＋1＋1，显然f (x )是R 上的减函数，∴f (2 021)>f (2 022)，即M >N .思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．跟踪训练1 (1)已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b，则M ，N 的大小关系是( ) A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定答案 A解析 ∵0<a <1b， ∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0.∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2(1－ab )(1＋a )(1＋b )>0， ∴M >N .(2)e π·πe 与e e ·ππ的大小关系为________．答案 e π·πe <e e ·ππ解析 e π·πe e e ·ππ＝e π－e ππ－e ＝⎝⎛⎭⎫e ππ－e ，又0<e π<1,0<π－e<1， ∴⎝⎛⎭⎫e ππ－e <1，即e π·πe e e ·ππ<1，即e π·πe <e e ·ππ. 题型二不等式的性质例2 (1)(2022·滨州模拟)下列命题为真命题的是( )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a a >b >0，则a c －a b >c >0，则a b >a ＋c b ＋c答案 D解析对于A 选项，当c ＝0时，显然不成立，故A 选项为假命题；对于B 选项，当a ＝－3，b ＝－2时，满足a b c －b ＝12，故C 选项为假命题；对于D 选项，由于a >b >c >0，所以a b －a ＋c b ＋c ＝a (b ＋c )－b (a ＋c )b (b ＋c )＝ac －bc b (b ＋c )＝(a －b )c b (b ＋c )>0，即a b >a ＋c b ＋c ，故D 选项为真命题．(2)(多选)若1a <1b<0，则下列不等式正确的是( ) A.1a ＋b <1abB ．|a |＋b >0C ．a －1a >b －1bD ．ln a 2>ln b 2答案 AC解析由1a <1b<0，可知b <a <0. A 中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <0，1ab >0.故有1a ＋b <1ab ，即A 正确； B 中，因为b <a <0，所以－b >－a >0.故－b >|a |，即|a |＋b <0，故B 错误；C 中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b，故C 正确； D 中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln b 2>ln a 2，故D 错误．教师备选若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是( )A.1a <1bB ．a 2>b 2C ．a |c |>b |c |D.a c 2＋1>b c 2＋1答案 D解析对于A ，若a >0>b ，则1a >1b，故A 错误；对于B ，取a ＝1，b ＝－2，则a 20，又a >b ，所以ac 2＋1>bc 2＋1，故D 正确．思维升华判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．跟踪训练2 (1)(2022·珠海模拟)已知a ，b ∈R ，满足ab <0，a ＋b >0，a >b ，则() A.1a <1b B.b a ＋a b >0C ．a 2>b 2D ．a <|b |答案 C解析因为ab <0，a >b ，则a >0，b <0，1a >0，1b <0，A 不正确；b a <0，a b <0，则b a ＋a b <0，B 不正确；又a ＋b >0，即a >－b >0，则a 2>(－b )2，a 2>b 2，C 正确；由a >－b >0得a >|b |，D 不正确．(2)(多选)设a >b >1>c >0，下列四个结论正确的是( )A.1ac >1bcB ．ba c >ab cC ．(1－c )a <(1－c )bD ．log b (a ＋c )>log a (b ＋c )答案 CD解析由题意知，a >b >1>c >0，所以对于A ，ac >bc >0，故1ac <1bc ，所以A 错误；对于B ，取a ＝3，b ＝2，c ＝12，则ba c ＝23，ab c ＝32，所以ba c <ab c ，故B 错误；对于C ，因为0<1－c <1，且a >b ，所以(1－c )a <(1－c )b ，故C 正确；对于D ，a ＋c >b ＋c >1，所以log b (a ＋c )>log b (b ＋c )>log a (b ＋c )，故D 正确．题型三不等式性质的综合应用例3 (1)已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是______，3x ＋2y 的取值范围是______．答案 (－4,2) (1,18)解析 ∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6，∴1<3x ＋2y <18.延伸探究若将本例(1)中条件改为－1<x ＋y <4,2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围．解设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧ m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32， ∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，232. (2)已知3<a <8,40，即0<α－β<π2. 思维升华求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3 (1)已知a >b >c ,2a ＋b ＋c ＝0，则c a的取值范围是( ) A ．－3<c a<－1 B ．－1<c a <－13 C ．－2<c a<－1 D ．－1<c a <－12答案 A解析因为a >b >c ,2a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0，b ＝－2a －c ，因为a >b >c ，所以－2a －c <a ，即3a >－c ，解得c a >－3，将b ＝－2a －c 代入b >c 中，得－2a －c >c ，即a <－c ，得ca <－1，所以－3<c a <－1.(2)已知1<a 13，∴13<ab <1.综上所述，a －b 的取值范围为(－2,0)；a b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1.课时精练1．(2022·长春模拟)已知a >0，b >0，M ＝a ＋b ，N ＝a ＋b ，则M 与N 的大小关系为() A ．M >N B ．M <NC ．M ≤ND ．M ，N 大小关系不确定答案 B解析 M 2－N 2＝(a ＋b )－(a ＋b ＋2ab )＝－2ab <0，∴M <N .2．已知非零实数a ，b 满足a b 2，故A 不成立；若⎩⎪⎨⎪⎧ ab >0，a a b ，故D 不成立，由不等式的性质知，C 正确．3．已知－3<a <－2,31，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系是() A ．n >m >p B ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n答案 B解析由a >1知，a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0，即a 2＋1>2a ，而2a －(a ＋1)＝a －1>0，即2a >a ＋1，∴a 2＋1>2a >a ＋1，而y ＝log a x 在定义域上单调递增，∴m >p >n .5．(2022·杭州模拟)若⎝⎛⎭⎫13a <⎝⎛⎭⎫13b <1，则下列各式中一定成立的是( )A ．ln(a －b )>0B ．2b －a >1C ．－1a >－1bD ．log c a >log c b (c >0且c ≠1)解析指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，＋∞)上单调递减，由⎝⎛⎭⎫13a <⎝⎛⎭⎫13b <1可知，a >b >0.所以1a <1b ，则－1a >－1b ，故C 正确；a －b >0，但不一定有a －b >1，则不一定有ln(a －b )>0，故A 错误；函数y ＝2x 在(－∞，＋∞)上单调递增，b －a <0.则2b －a <20＝1，故B 错误；当0<c <1时，函数y ＝log c x 在(0，＋∞)上单调递减，则log c a <log c b ，故D 错误．6．(多选)(2022·济宁模拟)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式不成立的是() A ．xy >yz B ．xy >xzC ．xz >yzD ．x |y |>|y |z答案 ACD解析因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0，y 的符号无法确定，对于A ，因为x >0>z ，若y <0，则xy <0<yz ，故A 错误；对于B ，因为y >z ，x >0，所以xy >xz ，故B 正确；对于C ，因为x >y ，z <0，所以xz <yz ，故C 错误；对于D ，因为x >z ，当|y |＝0时，x |y |＝|y |z ，故D 错误．7．(多选)设a ，b ，c ，d 为实数，且a ＞b ＞0＞c ＞d ，则下列不等式正确的有() A ．c 2＜cd B ．a －c ＜b －dC ．ac ＜bd D.c a －d b ＞0解析因为a ＞b ＞0＞c ＞d ，所以a >b >0,0>c >d ，对于A ，因为0>c >d ，由不等式的性质可得c 2<cd ，故选项A 正确；对于B ，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则a －c ＝3，b －d ＝3，所以a －c ＝b －d ，故选项B 错误；对于C ，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则ac ＝－2，bd ＝－2，所以ac ＝bd ，故选项C 错误；对于D ，因为a >b >0，d <c <0，则ad <bc ，所以c a >d b，故c a －d b＞0，故选项D 正确． 8．(多选)若0<a <1，b >c >1，则( )A.⎝⎛⎭⎫b c a >1B.c －a b －a >c b C ．c a －1c >1，∴b c>1. ∵0<a <1，则⎝⎛⎭⎫b c a >⎝⎛⎭⎫b c 0＝1，故选项A 正确；对于B ，若c －a b －a >c b，则bc －ab >bc －ac ，即a (c －b )>0，这与0<a <1，b >c >1矛盾，故选项B 错误；对于C ，∵0<a <1，∴a －1<0.∵b >c >1，∴c a －1>b a －1，故选项C 错误；对于D ，∵0<a <1，b >c >1，∴log c a <log b a ，故选项D 正确．9．已知M ＝x 2＋y 2＋z 2，N ＝2x ＋2y ＋2z －π，则M ________N ．(填“>”“<”或“＝”) 答案 >解析 M －N ＝x 2＋y 2＋z 2－2x －2y －2z ＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3≥π－3>0，故M >N .10．(2022·烟台模拟)若1a <1b <0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a 2.其中正确的不等式的序号为________．答案 ①④解析因为1a <1b<0，所以b <a <0，故③错误；所以a ＋b <0<ab ，故①正确；所以|a |<|b |，故②错误；所以b a >0，a b >0且均不为1，b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2，当且仅当b a ＝a b ＝1时，等号成立，所以b a ＋a b>2，故④正确． 11．若0<a 1且2a <1， ∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12，即a <2ab <12. 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12.∵12<b <1， ∴(a 2＋b 2)－b ＝[(1－b )2＋b 2]－b ＝2b 2－3b ＋1＝(2b －1)(b －1)<0，即a 2＋b 2<b ，综上可知a <2ab <12<a 2＋b 2<b . 12．(2022·上海模拟)设实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________．答案 27解析 x 3y 4＝x 4y 2·1xy 2＝⎝⎛⎭⎫x 2y 2·1xy 2≤81×13＝27，当且仅当x 2y ＝9，xy 2＝3，即x ＝3，y ＝1时等号成立．13．(多选)(2022·长沙模拟)设实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则下列不等式成立的是( )A ．c <bB ．b ≥1C ．b ≤aD ．a <c 答案 BD解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，两式相减得2b ＝2a 2＋2，即b ＝a 2＋1，∴b ≥1.又b －a ＝a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0， ∴b >a .而c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ，从而c ≥b >a .14．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d d >c >a解析由题意知d >c ①，②＋③得2a ＋b ＋d <2c ＋b ＋d ，化简得a <c ④，由②式a ＋b ＝c ＋d 及a <c 可得到，要使②成立，必须b >d ⑤成立，综合①④⑤式得到b >d >c >a .15．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则c a的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－2，－12 解析因为f (1)＝0，所以a ＋b ＋c ＝0，所以b ＝－(a ＋c )．又a >b >c ，所以a >－(a ＋c )>c ，且a >0，c <0，所以1>－a ＋c a >c a ，即1>－1－c a >c a. 所以⎩⎨⎧ 2c a <－1，c a >－2，解得－2<c a <－12. 即c a的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－12. 16．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．②该小组人数的最小值为________．答案 ①6 ②12解析设男学生人数为x ，女学生人数为y ，教师人数为z ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x >y ，y >z ，2z >x ，且x ，y ，z均为正整数． ①当z ＝4时，8>x >y >4，∴x 的最大值为7，y 的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.②x >y >z >x 2，当x ＝3时，条件不成立，当x ＝4时，条件不成立，当x ＝5时，5>y >z >52，此时z ＝3，y ＝4.∴该小组人数的最小值为12.。

高考数学一轮复习知识点大全-不等式

特别注意：（1）用数学归纳法证明问题时首先要验证0n n =时成立，注意0n 不一定为1；（2）在第二步中，关键是要正确合理地运用归纳假设，并且一定要用到假设，尤其要弄清由k 到k+1时命题的变化；（3）两个步骤中，第一步是基础，第二步是递推.在第二步证明中，关键是利用假设，推出结论.第七部分不等式1. 不等式的基本性质：（1）同向不等式可以相加，异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+；若,a b c d ><，则a c b d ->-；注意：异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减.（2）左右同正不等式：① 同向的不等式可以相乘，但不能相除.若0,0a b c d >>>>，则ac bd >.② 两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>.（4）不等式的两边同乘（或除）一个数时，一定要考虑该数的符号：若0ab >，a b >，则11a b <. 若0ab <，a b >，则11a b>. 22a b ac bc >⇔> 是否正确？（否）注意：特值法是判断不等式是否成立的一种方法，尤其适用于不成立的命题.2. 比较大小的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果.（2）作商：常用于分数指数幂的代数式.（3）分析法.（4）利用函数的单调性.（5）寻找中间量或放缩法.（6）图象法.3. 均值不等式：若0,>b a ，则ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取等号）.基本变形：若,a b R +∈，则222a b ab +≥，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，222a b ab +≤. 运用均值不等式时，不要忘记检查条件（,0a b >），最后一定不要忘记注明等号成立的条件.4. 证明不等式的方法：（1）比较法：作差比较（作商）：B A B A ≤⇔≤-0注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小.（2）综合法：由因导果.（3）分析法：执果索因.基本步骤：要证……只需证……，只需证……（4）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的，常用放缩的方法有： ①添加或舍去一些项，如：a a >+12.n n n >+)1(②将分子或分母放大（或缩小）③利用基本不等式，如：2)1()1(++<+n n n n 利用常用结论：k kk k k 21111<++=-+. k k k k k111)1(112--=-< . 111)1(112+-=+>k k k k k .)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k . 5. 不等式的解法：（1）一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b >的形式，要注意讨论0,0a a ><及0a =的情况.（2）一元二次不等式的解集（联系图象）：设0a >，12,x x 是方程20ax bx c ++=的两实根，且12x x <，则20ax bx c ++>的解集为()()12,,x x -∞+∞. 20ax bx c ++<的解集为()12,x x .当0∆<和0∆=时的解集你会正确表示吗？（3）对于方程20ax bx c ++=有实数解的问题:首先要讨论最高次项系数a 是否为0，其次若0a ≠，才考虑判别式.（4）一元二次方程根的分布理论：方程2()0(0)f x ax bx c a =++=>在),(+∞k 上有两根、在(,)m n 上有两根、在),(k -∞和),(+∞k 上各有一根的充要条件分别是什么？（考虑判别式、对称轴、端点函数值、有时也考虑韦达定理）（答案依次为：0()02f k b k a ⎧⎪∆≥⎪>⎨⎪⎪->⎩，0()0()02f m f n b m n a ∆≥⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩，()0f k <）.根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间],[n m 讨论方程0)(=x f 有实数解的情况，可先利用在开区间),(n m 上实根分布的情况，得出结果，再令n x =和m x =检查端点的情况．有时候为了控制参数的取值范围，我们也可以先把端点的值代入，看是否可以减少讨论.（5）不等式解区间的端点往往就是相应方程的根或与函数的定义域相关.（6）简单的一元高次不等式的解法：数轴标根法（7）简单的分式不等式：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用数轴标根法求解.解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母.6. 不等式恒成立问题的常规处理方式：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用函数的性质，数形结合.第八部分直线和圆1、直线方程（1）直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其y (a>0) O k x 1 x 2 x。

高考数学一轮复习考点知识专题讲解72---绝对值不等式

高考数学一轮复习考点知识专题讲解绝对值不等式考点要求1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c .知识梳理1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a (－a，a)∅∅|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想．③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a ，b 是实数，则||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(2)如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.(×) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.(√)(3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．(×) (4)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．(√) 教材改编题1．不等式3≤|5－2x |<9的解集为() A ．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7] C ．(－2，－1]∪[4,7) D．(－2,1]∪[4,7) 答案D解析由题意得⎩⎨⎧ |2x －5|<9，|2x －5|≥3，即⎩⎨⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3，解得⎩⎨⎧－2<x <7，x ≥4或x ≤1，∴不等式的解集为(－2,1]∪[4,7)．2．不等式|x－1|－|x－5|<2的解集为______．答案(－∞，4)解析①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1；②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4；③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为(－∞，4)．3．设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是________．答案R解析∵|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|b－a|＝|a－b|.又∵|a－b|>2，∴|x－a|＋|x－b|>2恒成立，即该不等式的解集为R.题型一绝对值不等式的解法例1(2021·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)>－a，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋3|，即求|x－1|＋|x＋3|≥6的解集，当x ≥1时，2x ＋2≥6，得x ≥2；当－3<x <1时，4≥6，此时没有x 满足条件；当x ≤－3时，－2x －2≥6，得x ≤－4. 综上，不等式f (x )≥6的解集为 {x |x ≤－4或x ≥2}．(2)f (x )＝|x －a |＋|x ＋3|≥|(x －a )－(x ＋3)|＝|a ＋3|，当且仅当(x －a )(x ＋3)≤0时，等号成立．所以f (x )min ＝|a ＋3|>－a ，当a <－3时，－a －3>－a ，无解；当a ≥－3时，a ＋3>－a ，解得a >－32，综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞.教师备选已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)求不等式f (x )<4的解集；(2)若不等式f (x )－|a ＋1|<0有解，求a 的取值范围．解(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎨⎧－2x ，x ≤－1，2，－1<x ≤1，2x ，x >1，∵f (x )<4， ∴⎩⎨⎧－2x <4，x ≤－1或⎩⎨⎧2<4，－1<x ≤1或⎩⎨⎧2x <4，x >1，∴－2<x ≤－1或－1<x ≤1或1<x <2，故不等式的解集为(－2,2)． (2)∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －1| ≥|(x ＋1)－(x －1)|＝2，∴f (x )min ＝2，当且仅当(x ＋1)(x －1)≤0时取等号， ∵f (x )－|a ＋1|<0有解， ∴|a ＋1|>f (x )min ＝2， ∴|a ＋1|>2，∴a ＋1<－2或a ＋1>2，即a <－3或a >1，故a 的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．思维升华解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式． (2)当不等式两端均为正数时，可通过两边平方的方法，转化为不含绝对值符号的普通不等式．(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．跟踪训练1(2021·全国甲卷)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝|2x ＋3|－|2x －1|. (1)画出y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象； (2)若f (x ＋a )≥g (x )，求a 的取值范围．解(1)f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4，x <－32，4x ＋2，－32≤x <12，4，x ≥12，作出图象，如图所示．(2)由(1)得f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2，函数f (x ＋a )的图象即为将函数f (x )的图象向左或向右平移|a |个单位长度，当a ≤0时，即为将函数f (x )的图象向右平移|a |个单位长度得到f (x ＋a )的图象，此时函数f (x ＋a )的图象始终有部分图象位于函数g (x )的图象下方，无法满足f (x ＋a )≥g (x )，则要满足f (x ＋a )≥g (x )，需a >0，f (x ＋a )＝|x ＋a －2|，当函数y ＝|x ＋a －2|的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫12，4时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋a －2＝4，解得a ＝112或a ＝－52(舍去)，根据图象可得若f (x ＋a )≥g (x )，则a ≥112，即a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫112，＋∞.题型二利用绝对值不等式的性质求最值例2已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －4|. (1)解不等式f (x )≤6；(2)若不等式f (x )＋|x －4|<a 2－8a 有解，求实数a 的取值范围．解(1)由已知得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x <－12，x ＋5，－12≤x ≤4，3x －3，x >4，当x <－12时，－3x ＋3≤6，即x ≥－1，∴－1≤x <－12；当－12≤x ≤4时，x ＋5≤6，即x ≤1，∴－12≤x ≤1；当x >4时，3x －3≤6，即x ≤3(舍去)．综上得f (x )≤6的解集为[－1,1]．(2)f (x )＋|x －4|＝|2x ＋1|＋|2x －8|≥9，⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当－12≤x ≤4时取等号 ∵f (x )＋|x －4|<a 2－8a 有解， ∴a 2－8a >9，(a －9)(a ＋1)>0，a <－1或a >9，∴实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(9，＋∞)．教师备选已知f (x )＝|x －3|，g (x )＝|x －k |(其中k ≥2)． (1)若k ＝4，求f (x )＋g (x )<9的解集；(2)∀x ∈[1,2]，不等式f (x )－g (x )≥k －x 恒成立，求实数k 的值．解(1)若k ＝4，则f (x )＋g (x )<9，即|x －3|＋|x －4|<9，即⎩⎨⎧x <3，3－x ＋4－x <9或⎩⎨⎧3≤x ≤4，x －3＋4－x <9或⎩⎨⎧x >4，x －3＋x －4<9，解得－1<x <3或3≤x ≤4或4<x <8， ∴原不等式的解集为{x |－1<x <8}． (2)∵k ≥2，且x ∈[1,2]， ∴x －3<0，x －k ≤0，∴f (x )＝|x －3|＝3－x ，g (x )＝|x －k |＝k －x ，则∀x ∈[1,2]，不等式f (x )－g (x )≥k －x 恒成立，即∀x ∈[1,2]，x ＋3≥2k 恒成立， ∴4≥2k ，即k ≤2，又k ≥2，∴k ＝2.思维升华求含绝对值函数的最值时，常用的方法有三种 (1)利用绝对值的几何意义．(2)利用绝对值的三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||. (3)利用零点分区间法，转化为分段函数求最值．跟踪训练2已知f (x )＝|x ＋1|－|2x －1|. (1)求不等式f (x )>0的解集；(2)若x ∈R 时，不等式f (x )≤a ＋x 恒成立，求a 的取值范围．解(1)由题意得|x ＋1|>|2x －1|，所以|x ＋1|2>|2x －1|2，整理可得x 2－2x <0，解得0<x <2，故原不等式的解集为{x |0<x <2}． (2)由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立，设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x <－1，2x ，－1≤x ≤12，－2x ＋2，x >12，由g (x )的单调性可知，当x ＝12时，g (x )取得最大值，且最大值为1，所以a 的取值范围是[1，＋∞)．题型三绝对值不等式的综合应用例3设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．解(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)上恒成立，因此a ＋b 的最小值为5. 教师备选(2020·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4的解集； (2)若f (x )≥4，求a 的取值范围．解(1)当a ＝2时，f (x )＝|x －4|＋|x －3|＝⎩⎨⎧7－2x ，x ≤3，1，3<x <4，2x －7，x ≥4.当x ≤3时，令7－2x ≥4，解得x ≤32；当3<x <4时，1≥4，无解；当x ≥4时，令2x －7≥4，解得x ≥112. 因此，不等式f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≤32或x ≥112. (2)将题目转化为f (x )≥4恒成立，即f (x )min ≥4.因为f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|≥|a 2－2a ＋1|＝(a －1)2，所以(a －1)2≥4，即|a －1|≥2.解得a ≥3或a ≤－1. 所以a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．思维升华 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．跟踪训练3(2022·白山联考)已知函数f (x )＝|x －2|－a |x ＋1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )<x 的解集；(2)当a ＝2时，若关于x 的不等式f (x )>m ＋1恰有2个整数解，求实数m 的取值范围．解(1)由已知不等式|x －2|－|x ＋1|<x ，得|x －2|<x ＋|x ＋1|，当x ≥2时，不等式为x －2<x ＋x ＋1，解得x >－3，所以x ≥2；当－1<x <2时，不等式为2－x <x ＋x ＋1，解得x >13，所以13<x <2；当x ≤－1时，不等式为2－x <x －x －1，解得x >3，此时无解．综上，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. (2)由题意，函数f (x )＝|x －2|－2|x ＋1|，可得f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋4，x ≤－1，－3x ，－1<x <2，－x －4，x ≥2，f (x )的图象如图．f (－3)＝1，f (－2)＝2，f (－1)＝3，f (0)＝0，因为关于x 的不等式f (x )>m ＋1恰有2个整数解，由图可知，1≤m ＋1<2，所以0≤m <1，故m 的取值范围为[0,1)．课时精练1．已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若函数f (x )的值域为[2，＋∞)，求实数a 的值；(2)若f (2－a )≥f (2)，求实数a 的取值范围．解(1)∵|x －1|＋|x －a |≥|(x －1)－(x －a )|＝|a －1|，∴|a －1|＝2，解得a ＝3或a ＝－1.(2)由f (2－a )≥f (2)，得3|a －1|－|a －2|≥1，则⎩⎨⎧ a ≤1，3(1－a )－(2－a )≥1或⎩⎨⎧ 1<a ≤2，3(a －1)－(2－a )≥1或⎩⎨⎧ a >2，3(a －1)－(a －2)≥1，解得a ≤0或32≤a ≤2或a >2，综上，实数a 的取值范围是(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 2．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x |＋a .(1)若a ＝0，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若方程f (x )＝x 有三个不同的解，求实数a 的取值范围．解(1)当a ＝0时，f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎨⎧ －1，x <－1，2x ＋1，－1≤x <0，1，x ≥0.所以当x <－1时，f (x )＝－1<0，不符合题意；当－1≤x <0时，f (x )＝2x ＋1≥0，解得－12≤x <0；当x ≥0时，f (x )＝1>0，符合题意．综上可得f (x )≥0的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. (2)设u (x )＝|x ＋1|－|x |，y ＝u (x )的图象和y ＝x 的图象如图所示．易知y ＝u (x )的图象向下平移1个单位长度内(不包括1个单位长度)，与y ＝x 的图象始终有3个交点，从而－1<a <0.所以实数a 的取值范围为(－1,0)．3．已知函数f (x )＝|2x ＋a |－|x －3|(a ∈R )．(1)若a ＝－1，求不等式f (x )＋1>0的解集；(2)已知a >0，若f (x )＋3a >2对于任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．解(1)因为a ＝－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2，x <12，3x －4，12≤x ≤3，x ＋2，x >3，所以不等式f (x )＋1>0等价于 ⎩⎨⎧ x <12，－x －2＋1>0或⎩⎨⎧ 12≤x ≤3，3x －4＋1>0或⎩⎨⎧x >3，x ＋2＋1>0，解得x <－1或x >1.所以不等式f (x )＋1>0的解集为{x |x <－1或x >1}．(2)因为a >0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －a －3，x <－a 2，3x ＋a －3，－a 2≤x ≤3，x ＋a ＋3，x >3.根据函数的单调性可知函数f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 2－3，因为f (x )＋3a >2恒成立，所以－a 2－3＋3a >2，解得a >2. 所以实数a 的取值范围是(2，＋∞)．4．(2022·郑州模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋a |＋1.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )＋x <2；(2)若存在a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1，使得不等式f (x )≥b ＋|2x ＋a 2|的解集非空，求b 的取值范围．解(1)当a ＝2时，函数f (x )＝|2x ＋2|＋1，解不等式f (x )＋x <2化为|2x ＋2|＋1＋x <2，即|2x ＋2|<1－x ，∴x －1<2x ＋2<1－x (x <1)，解得－3<x <－13，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ －3<x <－13. (2)由f (x )≥b ＋|2x ＋a 2|，得b ≤|2x ＋a |－|2x ＋a 2|＋1，设g (x )＝|2x ＋a |－|2x ＋a 2|＋1，则不等式的解集非空，等价于b ≤g (x )max ，由g (x )≤|(2x ＋a )－(2x ＋a 2)|＋1＝|a 2－a |＋1，∴b ≤|a 2－a |＋1.由题意知存在a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1，使得上式成立，而函数h (a )＝|a 2－a |＋1在a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1上的最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝139， ∴b ≤139，即b 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，139. 5．设f (x )＝|x ＋1|－|2x －1|.(1)求不等式f (x )≤x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≤12|x |(|a －2|＋|a ＋1|)对任意实数x (x ≠0)恒成立，求实数a 的取值范围．解(1)根据题意可知，原不等式为|x ＋1|－|2x －1|≤x ＋2，等价于⎩⎨⎧ x <－1，－x －1＋2x －1≤x ＋2或⎩⎨⎧ －1≤x ≤12，x ＋1＋2x －1≤x ＋2或⎩⎨⎧ x >12，x ＋1－2x ＋1≤x ＋2，解得x <－1或－1≤x ≤12或x >12. 综上可得不等式f (x )≤x ＋2的解集为R .(2)不等式f (x )≤12|x |(|a －2|＋|a ＋1|)等价于|x ＋1|－|2x －1||x |≤12(|a －2|＋|a ＋1|)，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪|x ＋1|－|2x －1||x | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1x －⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1x ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1x ＋2－1x ＝3，当且仅当⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x ≤0时取等号，因为|x ＋1|－|2x －1||x |≤12(|a －2|＋|a ＋1|)，所以|a －2|＋|a ＋1|≥6，解得a ≤－52或a ≥72，故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞.。

高考数学复习讲义不等式(学生版)

高考数学复习讲义不等式【要点提炼】考点一不等式的性质与解法1．不等式的倒数性质(1)a>b ，ab>0⇒1a <1b. (2)a<0b>0,0<c<d ⇒a c >b d. 2．不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)min >a ，x ∈I ；f(x)<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)max <a ，x ∈I.(2)f(x)>g(x)对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．【热点突破】【典例】1 (1)若p>1,0<m<n<1，则下列不等式正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p >1 B.p －m p －n <m n C ．m －p <n －p D ．log m p>log n p(2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b)x －3b<0的解集是( )A ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－2,3)【拓展训练】1 (1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x<12，1x ，x ≥12，则不等式x 2f(x)＋x －2≤0的解集是________________． (2)若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，65B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，65D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65∪{2}【要点提炼】考点二基本不等式基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋A g x＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值．【典例】2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( )A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2 B ．若a<0，则a ＋4a ≥－2a ·4a＝－4 C ．若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a ∈R ，则2a ＋2－a ≥22a ·2－a ＝2(2)(2019·天津)设x>0，y>0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy 的最小值为________．【拓展训练】2 (1)(2020·北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a>0，b>0，且a －b ＝1，则2a ＋1b的最小值为________． (2)(2020·江苏)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________．专题训练一、单项选择题1．不等式(－x ＋3)(x －1)<0的解集是( )A ．{x|－1<x<3}B ．{x|1<x<3}C ．{x|x<－1或x>3}D ．{x|x<1或x >3}2．下列命题中正确的是( )A ．若a>b ，则ac 2>bc 2B ．若a>b ，c<d ，则a c >b dC ．若a>b ，c>d ，则a －c>b －dD ．若ab>0，a>b ，则1a <1b 3．(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－2或x>3}，则f(10x)>0的解集为( )A ．{x|x<－2或x>lg 3}B ．{x|－2<x<lg 3}C ．{x|x>lg 3}D ．{x|x<lg 3} 4．若a>b>0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a ＋1b 0，y>0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.1127．已知a>－1，b>－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．78．已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c 取得最大值时，3a ＋1b －12c的最大值为( )A ．3 B.94C ．1D ．0 二、多项选择题9．设f(x)＝ln x,0<aq10．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( )A ．6B ．7C ．8D ．911．(2020·威海模拟)若a ，b 为正实数，则a>b 的充要条件为( )A.1a >1bB ．ln a>ln bC ．aln a<bln bD ．a －b<e a －e b12．(2020·新高考全国Ⅰ)已知a>0，b>0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2三、填空题 13．对于0<a<1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a)<log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a)>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a 1＋a <11a a +；④a 1＋a >a1＋1a.其中正确的是________．(填序号) 14．当x ∈(0，＋∞)时，关于x 的不等式mx 2－(m ＋1)x ＋m>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．15．已知函数f(x)＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f(a －1)＋f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．16．已知实数x ，y 满足x>1，y>0且x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11，则1x －1＋1y 的最大值为________．。

高考数学知识点不等式的基本性质详解

高考数学知识点不等式的基本性质详解不等式的调查在高考中从未消逝，以下是不等式的基本性质详解，请参考。

不等式的基本性质
1.不等式的定义：a-bb,a-b=0a=b,a-b0a
①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。

它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。

②可以结合函数单调性的证明这个熟习的知识背景，来看法作差法比大小的实际基础是不等式的性质。

作差后，为判别差的符号，需求分解因式，以便运用实数运算的符号法那么。

2.不等式的性质：
①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两局部。

不等式基本性质有：
(1)abb
(2)acac(传递性)
(3)ab+c(cR)
(4)c0时，abc
c0时，abac
运算性质有：
(1)ada+cb+d。

(2)a0,c0acbd。

(3)a0anbn(nN,n1)。

(4)a0N,n1)。

应留意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：和即推出关系和等价关系。

普通地，证明不等式就是从条件动身实施一系列的推出变换。

解不等式就是实施一系列的等价变换。

因此，要正确了解和运用不等式性质。

②关于不等式的性质的调查，主要有以下三类效果：
(1)依据给定的不等式条件，应用不等式的性质，判别不等式能否成立。

(2)应用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判别实数值的大小。

(3)应用不等式的性质，判别不等式变换中条件与结论间的充沛或必要关系。

以上为大家分享的不等式的基本性质详解希望大家可以熟练运用。

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2019年高考数学一轮复习不等式知识点讲
解
不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。

下面是不等式知识点讲解，请考生掌握。

1。

解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化。

在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一。

通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰。

2。

整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。

方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用。

课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。

为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。

要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。

可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学
生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。

这样,一年就可
记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。

这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。

3。

在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰。

观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。

随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。

我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。

看得清才能说得正确。

在观察过程中指导。

我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。

有的孩子说“乌云跑得飞快。

”我加以肯定说“这是乌云滚滚。

”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。

”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。

”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。

雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编
的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。

”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。

我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。

如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。

通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。

4。

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法。

要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点。

比较法的一般步骤是：作差(商)变形判断符号(值)。

不等式知识点讲解的全部内容就是这些，更多精彩内容请考生持续关注查字典数学网。

要练说，得练听。

听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。

我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。

当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。

平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，
听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。