高中数学 1.2.2 同角三角函数关系教案 新人教A版必修1
同角三角函数的基本关系 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
sin tan cos cos sin
tan
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1， 商等于角α的正切．
注意事项：
1. 公式中的角一定是同角，否则公式可能不成立. 如sin230º+cos260º≠1.
2.同角不要拘泥于形式，关系式中的角可以是具体的度数，也可以是变
量，也可以是代数式。比如 ：sin2 16 cos2 16 1，sin2 cos2 1
tan sin tan sin
左边
类型五：同角三角函数的证明
思路点拨： 法1.作差法
法2.左推右或右推左：从一边开始，证他等于另一边 法3.两边证：等式左右两边都比较复杂，证明左右两 边等于同一个式子
课堂小结
x
25
sin x cos x2 sin x2 2 sin x cos x cos x2 1 2sin x cosx 1 24 49
25 25
又 x 0sin x 0，cosx 0
2 sin x cosx 7
5
sin x cosx 0
类型三：利用sin α±cos α与 sin α cos α之间的关系求值
例5：求证： 2 tan sin tan sin
tan sin tan sin
法1（两边凑）：
sin sin
左边
cos sin sin
cos
sin2
sin
cos sin
cos
cos
sin sin
右边
cos s in
s in
cos
sin sin cos
cos sin2
cos
sin cos
1
sin cos
高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角的三角函数的基本关系教案 新人教A版必修4(2021年
高中数学第一章三角函数1.2.2 同角的三角函数的基本关系教案新人教A 版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.2.2 同角的三角函数的基本关系教案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
2.2同角的三角函数的基本关系一、教学目标:⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；2 通过运用公式的训练过程,培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题;在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力．二、教学重、难点重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用:（1)已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；(2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式。
三、学法与教学用具利用三角函数线的定义， 推导同角三角函数的基本关系式: 1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值，化减三角函数式,证明三角恒等式等. 教学用具：圆规、三角板、投影 四、教学过程【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．【探究新知】探究：三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发，讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗?如图：以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =。
高中数学 1.2.2《同角三角函数的基本关系》教学设计
1.2.2《同角三角函数的基本关系》教学设计【教学目标】1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系；2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法. 【导入新课】 复习引入：1．任意角的三角函数定义：设角α是一个任意角，α终边上任意一点(,)P x y ，它与原点的距离为2222(||||0)r r x y x y =+=+>，那么：sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=. 2．当角α分别在不同的象限时，sin α、cos α、tg α的符号分别是怎样的？ 3．背景：如果53sin =A ，A 为第一象限的角，如何求角A 的其它三角函数值； 4．问题：由于α的三角函数都是由x 、y 、r 表示的，则角α的三个三角函数之间有什么关系？ 新授课阶段同角三角函数的基本关系式：（板书课题：同角的三角函数的基本关系） 1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系： 2. （1）商数关系：αααcon sin tan =；（2）平方关系：1sin 22=+ααcon . 说明：①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如22sin 4cos 41αα+=等； ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如tan cot 1(,)2k k Z πααα⋅=≠∈； ③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：2cos 1sin αα=±- 22sin 1cos αα=-， sin cos tan ααα=等. 例1 （1）已知12sin 13α=，并且α是第二象限角，求ααtan ,cos ． （2）已知4cos 5α=-，求sin ,tan αα．解：（1）∵22sincos 1αα+=，∴2222125cos 1sin 1()().1313αα=-=-=又∵α是第二象限角，∴cos 0α<，即有5cos 13α=-，从而 sin 12tan .cos 5ααα==-（2）∵22sincos 1αα+=， ∴222243sin 1cos 1()()55αα=-=--=，又∵4cos 05α=-<， ∴α在第二或三象限角. 当α在第二象限时，即有sin 0α>，从而3sin 5α=，sin 3tan cos 4ααα==-；当α在第四象限时，即有sin 0α<，从而3sin 5α=-，sin 3tan cos 4ααα==．例2 已知1tan tan αα，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根，且παπ273<<，求ααsin cos +的值． 解：21tan 31,2tan k k αα⋅=-=∴=±Q ，而παπ273<<，则1tan 2,tan k αα+==得tan 1α=，则2sin cos 2αα==-，cos sin 2αα∴+=-. 例3 已知2tan =x ，求xx xx sin cos sin cos -+的值.解：cos sin 1tan 123cos sin 1tan 12x x x x x x +++===----.例4 已知)1,2(,cos sin ≠≤=+m m m x x 且，求：（1）x x 33cos sin +；（2）x x 44cos sin +的值.解：由sin cos ,x x m +=得212sin cos ,x x m +=即21sin cos ,2m x x -= （1）233313sin cos (sin cos )(1sin cos )(1)22m m m x x x x x x m --+=+-=-=； （2）24244222121sin cos 12sin cos 12()22m m m x x x x --+++=-=-=. 例5 化简：ο440sin 12-.解：原式οοοοο80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 1222==-=+-=.例6 已知αααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简.解：)sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1(αααααααα-+----+++=原式 |cos |sin 1|cos |sin 1sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(2222αααααααα--+=----+=.0cos <∴αα是第三象限角，Θ. αααααtan 2cos sin 1cos sin 1-=----+=∴原式（注意象限、符号）.例7 求证：ααααcos sin 1sin 1cos +=-. 分析：思路1．把左边分子分母同乘以x cos ，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx ）先满足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需将分子转化为零；思路4：用作商法，但先要确定一边不为零；思路5：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果；思路6：由乘积式转化为比例式；思路7：用综合法． 证法1：左边==+=⋅--=-⋅xxx x x x x x x cos sin 1cos )sin 1(sin 1cos )sin 1(cos cos 2右边， ∴原等式成立. 证法2：左边=)sin 1)(sin 1(cos )sin 1(x x xx -+⋅+＝xx x 2sin 1cos )sin 1(-⋅+ x x x 2cos cos )sin 1(⋅+=＝=+xxcos sin 1右边. 证法3：∵0cos )sin 1(cos cos cos )sin 1()sin 1(cos cos sin 1sin 1cos 2222=⋅--=⋅---=+--xx xx x x x x x x x x ， ∴xxx x cos sin 1sin 1cos +=-.证法4：∵cosx ≠0，∴1+sinx ≠0，∴xxcos sin 1+≠0，∴x x x xcos sin 1sin 1cos +-＝()()x x x sin 1sin 1cos 2-+＝x x 22sin 1cos -＝1，∴xx x x cos sin 1sin 1cos +=-．,cos )sin 1(cos )sin 1(cos sin 1sin 1sin 1cos sin 1,cos )sin 1(cos cos cos sin 1cos :5222xx xx x x x x x x xx xx x x x -=--=--⋅+=⋅-=⋅-=右边左边证法∴左边=右边. ∴原等式成立．例 4 已知方程0)13(22=++-m x x 的两根分别是θθcos sin ，，求的值。
高一【数学(人教A版)】三角函数的概念-教学设计
课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期上课题三角函数的概念教科书书名：普通高中教科书数学必修第一册出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1. 初步理解借助单位圆上点的坐标定义三角函数，理解任意角的三角函数的概念；2.在三角函数定义的过程中进一步认知函数的本质，体会数形结合思想方法的作用；3.经历三角函数概念的抽象过程，提升学生思维的严谨性，发展数学抽象素养.教学重点：任意角的三角函数概念.教学难点：用单位圆上点的坐标定义三角函数.教学过程时间教学环节主要师生活动创设情景，导入新课问题引入：在客观世界中存在大量循环往复、周而复始的周期现象，比如日出日落、钟摆运动等，匀速圆周运动是这类现象的代表，在前面的学习中我们已经知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？如右图所示,圆O上的点P以A为起点做逆时针旋转,在把角的范围推广到任意角后，我们可以借助角α的大小变化刻画点P的位置变化.根据弧度制的定义，角α的大小与圆O的半径无关，我们能否建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况?【设计意图】开门见山引出研究内容、过程与研究方法，指明点P随着角度的变化而变化，明确构建函数模型的目标，让学生初步了解本节课学习的方向，为具体研究指明方向.引导探究，形成新知分析要解决这个问题，我们需要什么工具？①建立函数模型,要利用直角坐标系.②根据任意角的定义，需要借助单位圆.如图，以单位圆的圆心O为坐标原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标是()1,0，点P的坐标是(),x y. 把该问题抽象为一个质点P从点A()1,0开始在单位圆上的运动.问题1：这个运动过程中的有哪些变量，判断它们之间是否具有函数关系.如果有，能否写出函数解析式？（1）点P在单位圆上运动过程中涉及的变量有：点P的横坐标x、纵坐标y，弧长l，旋转角度α；（2）判断变量：,,,x y lα间的哪两个变量能否构成函数关系？过过点P作PM⊥x轴于M,根据勾股定理可知221OM PM+=，即221x y+=，显然变量x、y间的对应关系不符合函数定义.在弧度制学习中我们已经知道变量,lα之间的关系，并且变量,x y与α的关系和,x y与l的关系等价，所以我们研究变量,x y与α的关系.问题2: 若角α终边与单位圆交于点P，如何求点P的坐标呢？追问1：当我们遇到一般性问题应该如何研究？特殊化：不妨设3απ=，此时点P在第一象限, 构造直角三角形，过点P向x轴引垂线交x轴于M,Rt OMP∆中,可得12OM=,32PM=,即12x=,32y=,所以点P的坐标为13,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭.追问2:当23απ=时，点P的坐标是什么？同样,当23απ=时，点P在第二象限, 可得12x=-,32y=,所以点P的坐标为13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.追问3：任意给定一个角α，点P 的坐标唯一确定吗？因为单位圆的半径不变，点P 的坐标只与角α的大小有关，当角α确定时，点P 的坐标是(),x y 也唯一确定.追问4：在展示的运动变化的过程中，观察角α的终边与单位圆的交点P 的坐标，有什么发现？能否运用函数的语言刻画这种对应关系呢？对任意一个实数α，它的终边OP 与单位圆的交点P 的横、纵坐标x 、y 都是唯一确定的，有如下对应关系：任意角α(弧度)→ 唯一实数x ； ①任意角α(弧度)→ 唯一实数y ． ②一般地，任意给定一个角R α∈，它的终边OP 与单位圆交点P 的坐标，无论是横坐标x ，还是纵坐标y ，都是唯一确定的.所以，点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是角α的函数.【设计意图】以函数的对应关系为指向，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆的交点的横、纵坐标都是圆心角α (弧度)的函数，为引出三角函数的定义做好铺垫.下面给出这些函数的定义：如图，设α是一个任意角，R α∈，它的终边OP 与单位圆相交于点(),P x y ，那么把点P 的纵坐标y 叫做α的正弦函数，记做sin α，即sin y α=；把点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数，记做cos α，即cos x α=；把点P 的纵坐标与横坐标的比值y x叫做α的正切函数，记做tan α，即()tan 0y x xα=≠. 问题3: 正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？实数α(弧度)对应于点P 的纵坐标y →正弦函数；实数α(弧度)对应于点P 的横坐标x →余弦函数；当点P 的横坐标为0时，角α的终边在y 轴上，此时()2k k Z απ=+π∈，所以tan y xα=无意义.用新知标为13,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以53515sin,cos,tan 3.32323πππ=-==-【设计意图】通过概念的简单应用，明确用定义求三角函数值的基本步骤，进一步理解定义的内涵.例2 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为(),x y，点P与原点的距离为r.求证：sinyrα=，cosxrα=，tanyxα=引导学生分析问题：①你能根据三角函数的定义作图表示sinα和cosα吗？②在你所作的图形中，yr，xr，yx表示什么？你能找到它们与任意角α的三角函数的关系吗？解：设角α的终边与单位圆交于点0P()00,x y，分别过点,P P作x轴的垂线00,PM P M，垂足分别为,M M，则000,PM y P M y==，00,,OM x OM x==OMP∆11OM P∆.所以得到001P M PMr=,即yyr=.因为y与y同号，所以yyr=，即sinyrα=.同理可证：cosxrα=，tanyxα=.【设计意图】通过问题引导，使学生找到OMP∆、11OM P∆，并利用它们的相似关系，根据三角函数的定义得到证明.追问：例2实际上给出了任意角的三角函数的另外一种定义，而且这种定义与已有的定义是等价的，能否用严格任意角三角函数的概念是三角函数知识的基础，我们以后要学习的有关三角函数其他知识都建立在我们对三角函数的概念的理解与认识上，所以同学们一定要认真学习和体会今天所学的知识.三角函数是如何定义的？我们除了学习单位圆定义，还有什么定义方法？①单位圆定义法:建立直角坐标系，使角α的顶点与坐标原点重合，终边与单位圆的交点为P ， 即可由点P 坐标(),x y 得到三角函数定义.正弦函数：()sin y x x R =∈;余弦函数：()cos y x x R =∈;正切函数：tan y x =,2x x k k Z π⎧⎫≠+π∈⎨⎬⎩⎭. ②终边定义法: 建立直角坐标系，对于任意角α，角α终边上的任意一点P 的坐标为(),x y ，它到原点O 的距离为22r x y =+，那么sin y r α=，cos x r α= ，tan y xα=. 在我们研究三角函数概念的过程中，你体会到了什么数学思想方法？在任意角的三角函数的概念建构的过程中，我们运用了转化与化归、数形结合、函数思想，这些思想方法在我们今后的学习中非常重要，我们一定认真体会.。
新教材高中数学第五章三角函数的概念：同角三角函数的基本关系pptx课件新人教A版必修第一册
[典例 1] (1)若 sin α＝－45，且 α 是第三象限角，求 cos α，tan α 的值； (2)若 tan α＝－185，求 sin α 的值． [解] (1)∵sin α＝－45，α 是第三象限角， ∴cos α＝－ 1－sin2α＝－35， ∴tan α＝csions αα＝－45×－53＝43.
2．已知 α∈0，π2，sin α＝35，则 cos α＝
A．45
B．－45
C．－17
D．35
解析：因为 α∈0，π2，所以 cos α>0，所以 cos α＝ 1－sin2α＝
答案：A
() 1－352＝45.
3．化简 1－sin235π的结果是
A．cos35π
B．sin35π
C．－cos35π
＝ cos
cos 2x－sin 2x－sin 2xcos
2x2 2x＋sin
2x
＝cos cos
2x－sin 2x＋sin
22xx＝11－ ＋ttaann
2x＝右边， 2x
∴原等式成立．
[方法技巧] 1．三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到 化繁为简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到 化简的目的． (3) 对 于 化 简 含 高 次 的 三 角 函 数 式 ， 往 往 借 助 于 因 式 分 解 ， 或 构 造 sin2α ＋ cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 2．证明三角恒等式常用的技巧及遵循的原则 (1)常用技巧：弦切互化、整体代换、1的代换等． (2)原则：由繁到简、变异为同．
()
α
(2)对任意角 α，csions2α2＝tan α2都成立．
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第五章三角函数两角和与差的正弦余弦正切公式讲义
最新课程标准：能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.知识点一两角和的余弦公式cos（α＋β）＝cos_αcos_β—sin_αsin_β，简记为C（α＋β），使用的条件为α，β为任意角．知识点二两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S（α＋β）sin（α＋β）＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βα，β∈R两角差的正弦S（α—β）sin（α—β）＝sin_αcos_β—cos_αsin_βα，β∈R错误!公式的记忆方法（１）理顺公式间的联系．C（α＋β）错误!C（α—β）错误!S（α—β）错误!S（α＋β）（２）注意公式的结构特征和符号规律．对于公式C（α—β），C（α＋β），可记为“同名相乘，符号反”．对于公式S（α—β），S（α＋β），可记为“异名相乘，符号同”．公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin（α＋β），sinαcosβ—cosαsinβ＝sin（α—β），cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos（α—β），cosαcosβ—sinαsinβ＝cos（α＋β）．知识点三两角和与差的正切公式名称公式简记符号使用条件两角和的正切tan（α＋β）＝错误!T（α＋β）α，β，α＋β≠kπ＋错误!（k∈Z）两角差的正切tan（α—β）＝错误!T（α—β）α，β，α—β≠kπ＋错误!（k∈Z）错误!公式T（α±β）（１）公式T（α±β）的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为１与tanαtanβ的差或和．（２）符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．[教材解难]１．教材P２１7思考能．例如把—β代入β由C（α—β）可求出C（α＋β）．２．教材P２１9思考成立．方法一：sin错误!＝sin错误!＝cos错误!或cos错误!＝cos错误!＝sin错误!.方法二：由于sin错误!＝sin错误!cos α—cos错误!sin α＝错误!（cos α—sin α），cos错误!＝cos错误!cos α—sin错误!sin α＝错误!（cos α—sin α），故sin错误!＝cos错误!.[基础自测]１．sin １５°cos 7５°＋cos １５°sin１0５°等于（）Ａ．0 Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．１解析：sin １５°cos 7５°＋cos １５°sin １0５°＝sin １５°cos 7５°＋cos １５°sin 7５°＝sin（１５°＋7５°）＝sin 90°＝１．答案：D２．设α∈错误!，若sin α＝错误!，则错误!cos错误!＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．—错误!解析：易得cos α＝错误!，则错误!cos错误!＝错误!错误!＝错误!.答案：B３．已知tan α＝４，tan β＝３，则tan（α＋β）＝（）Ａ．错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．—错误!解析：tan（α＋β）＝错误!＝错误!＝—错误!.答案：B４．已知sin α＋cos β＝１，cos α＋sin β＝0，则sin（α＋β）＝________.解析：由sin α＋cos β＝１与cos α＋sin β＝0分别平方相加得sin２α＋２sin αcos β＋cos２β＋cos２α＋２cos αsin β＋sin２β＝１，即２＋２sin αcos β＋２cos αsin β＝１，所以sin（α＋β）＝—错误!.答案：—错误!题型一给角求值[教材P２１9例４]例１利用和（差）角公式计算下列各式的值：（１）sin 7２°cos ４２°—cos 7２°sin ４２°；（２）cos ２0°cos 70°—sin ２0°sin 70°；（３）错误!.【解析】（１）由公式S（α—β），得sin 7２°cos ４２°—cos 7２°sin ４２°＝sin（7２°—４２°）＝sin ３0°＝错误!.（２）由公式C（α＋β），得cos ２0°cos 70°—sin ２0°sin 70°＝cos（２0°＋70°）＝cos 90°＝0．（３）由公式T（α＋β）及tan ４５°＝１，得错误!＝错误!＝tan（４５°＋１５°）＝tan 60°＝错误!.和、差角公式把α±β的三角函数式转化成了α，β的三角函数式．如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简．教材反思解决给角求值问题的方法（１）对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．（２）一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．跟踪训练１求值：（１）cos １0５°；（２）错误!；（３）错误!.解析：（１）cos １0５°＝cos（60°＋４５°）＝cos 60°cos ４５°—sin 60°sin ４５°＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.（２）错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.（３）错误!＝错误!＝tan ４５°＝１．（１）１0５°＝60 °＋４５°（２）找到３１°、9１°、２9 °之间的联系利用公式化简求值．题型二给值求值例２已知错误!<β<α<错误!，cos（α—β）＝错误!，sin（α＋β）＝—错误!，求cos ２α与cos ２β的值．【解析】因为错误!<β<α<错误!，所以0<α—β<错误!，π<α＋β<错误!.所以sin（α—β）＝错误!＝错误!＝错误!，cos（α＋β）＝—错误!＝—错误!＝—错误!.所以cos ２α＝cos[（α＋β）＋（α—β）]＝cos（α＋β）cos（α—β）—sin（α＋β）sin（α—β）＝错误!×错误!—错误!×错误!＝—错误!，cos ２β＝cos[（α＋β）—（α—β）]＝cos（α＋β）cos（α—β）＋sin（α＋β）sin（α—β）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝—错误!.１．正确判断α—β，α＋β的范围是求解前提．２．巧妙利用角的变换方法，是求解此类题目常用方法．方法归纳给值（式）求值的策略（１）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．（２）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．跟踪训练２本例条件变为：错误!<β<α<错误!，sin（α—β）＝错误!，sin（α＋β）＝—错误!，求sin ２β的值．解析：因为错误!<β<α<错误!，所以0<α—β<错误!，π<α＋β<错误!π.所以cos（α—β）＝错误!，cos（α＋β）＝—错误!，sin ２β＝sin[（α＋β）—（α—β）]＝sin（α＋β）cos（α—β）—cos（α＋β）sin （α—β）＝错误!×错误!—错误!×错误!＝0．（１）由已知求出α—β、α＋β的范围．（２）２β＝（α＋β）—（α—β）．（３）利用公式求值．题型三给值求角例３已知cos α＝错误!，sin（α＋β）＝错误!，0<α<错误!，0<β<错误!，求角β的值．【解析】因为0<α<错误!，cos α＝错误!，所以sin α＝错误!.又因为0<β<错误!，所以0<α＋β<π.因为sin（α＋β）＝错误!<sin α，所以cos（α＋β）＝—错误!，所以sin β＝sin[（α＋β）—α]＝sin（α＋β）cos α—cos（α＋β）sin α＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.又因为0<β<错误!，所以β＝错误!.（１）已知α的范围及cosα，求sinα.（２）求α＋β的范围及sin（α＋β），求cos（α＋β）．（３）利用sinβ＝sin[（α＋β）—α]，求值．方法归纳解决给值（式）求角问题的方法解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是（0，π）或（π，２π）时，选取求余弦值，当所求角范围是错误!或错误!时，选取求正弦值．跟踪训练３已知tan（α—β）＝错误!，tan β＝—错误!，α，β∈（0，π），求２α—β的值．解析：tan α＝tan[（α—β）＋β]＝错误!＝错误!＝错误!.又因为α∈（0，π），而tan α>0，所以α∈错误!.tan（２α—β）＝tan[α＋（α—β）]＝错误!＝错误!＝１．因为tan β＝—错误!，β∈（0，π），所以β∈错误!，所以α—β∈（—π，0）．由tan（α—β）＝错误!>0，得α—β∈错误!，所以２α—β∈（—π，0）．又tan（２α—β）＝１，所以２α—β＝—错误!.（１）先求tanα＝tan[（α—β）＋β]（２）再求tan（２α—β）＝tan[α＋（α—β）]（３）由已知求２α—β的范围，最后求值易错易误忽略条件中隐含的角的范围而致错例已知tan２α＋6tan α＋7＝0，tan２β＋6tan β＋7＝0，α，β∈（0，π），且α≠β，求α＋β的值．【错解】由题意知tan α，tan β是方程x２＋6x＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：错误!∴tan（α＋β）＝错误!＝错误!＝１．∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<２π，∴α＋β＝错误!或α＋β＝错误!π.【错因分析】由１２知tan α<0，tan β<0．角α，β都是钝角，上述解法忽视了这一隐含条件．【正解】由错误!易知tan α<0，tan β<0．∵α，β∈（0，π）∴错误!<α<π，错误!<β<π.∴π<α＋β<２π.又∵tan（α＋β）＝１，∴α＋β＝错误!π.【点评】在给值求角或给式求角时，由于三角函数知识间及与其他知识间都有较为密切的联系，一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大．解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误．课时作业３8一、选择题１．sin １0５°的值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：sin １0５°＝sin（４５°＋60°）＝sin ４５°cos 60°＋cos ４５°sin 60°＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.答案：D２．sin ２0°cos １0°—cos １60°sin １0°＝（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．错误!解析：原式＝sin ２0°cos １0°＋cos ２0°sin １0°＝sin（２0°＋１0°）＝错误!.答案：D３．若cos α＝—错误!，α是第三象限的角，则sin错误!＝（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．错误!解析：因为cos α＝—错误!，α是第三象限的角，所以sin α＝—错误!，由两角和的正弦公式可得sin错误!＝sin αcos错误!＋cos αsin错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝—错误!.答案：A４．若错误!＝错误!，则tan错误!＝（）Ａ．—２Ｂ．２Ｃ．—错误!Ｄ．错误!解析：因为错误!＝错误!，所以错误!＝错误!，因为错误!＝错误!＝—tan错误!＝错误!，所以tan错误!＝—错误!.答案：C二、填空题５．已知cos错误!＝错误!错误!，则cos α＝________.解析：由于0<α—错误!<错误!，cos错误!＝错误!，所以sin错误!＝错误!.所以cos α＝cos错误!＝cos错误!cos错误!—sin错误!sin错误!＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.答案：错误!6．若tan α＝３，则tan错误!＝________.解析：因为tan α＝３，所以tan错误!＝错误!＝错误!＝—２．答案：—２7．已知sin α＋cos β＝１，cos α＋sin β＝0，则sin（α＋β）＝________.解析：∵sin α＋cos β＝１，cos α＋sin β＝0，∴sin２α＋cos２β＋２sin αcos β＝１１，cos２α＋sin２β＋２cos αsin β＝0 ２，１２两式相加可得sin２α＋cos２α＋sin２β＋cos２β＋２（sin αcos β＋cos αsin β）＝１，∴sin（α＋β）＝—错误!.答案：—错误!三、解答题8．求下列各式的值．（１）sin ３４7°cos １４8°＋sin 77°cos ５8°；（２）错误!sin错误!＋cos错误!；（３）tan ２３°＋tan ３7°＋错误!tan ２３°tan ３7°.解析：（１）原式＝sin（３60°—１３°）·cos（１80°—３２°）＋sin（90°—１３°）cos（90°—３２°）＝sin １３°cos３２°＋cos １３°sin ３２°＝sin（１３°＋３２°）＝sin ４５°＝错误!.（２）原式＝２错误!＝２错误!＝２sin错误!＝２sin错误!＝错误!.（３）∵tan 60°＝错误!＝错误!，∴tan ２３°＋tan ３7°＝错误!—错误!tan ２３°tan ３7°，∴tan ２３°＋tan ３7°＋错误!tan ２３°tan ３7°＝错误!.9．已知△ABC，若sin（A＋B）＝错误!，cos B＝—错误!，求cos A的值．解析：∵cos B＝—错误!，∴错误!<B<π，错误!<A＋B<π，∴sin B＝错误!＝错误!，cos（A＋B）＝—错误!＝—错误!，∴cos A＝cos[（A＋B）—B]＝cos（A＋B）cos B＋sin（A＋B）sin B＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.[尖子生题库]１0．已知tan α＝错误!，sin β＝错误!，且α，β为锐角，求α＋２β的值．解析：∵tan α＝错误!<１且α为锐角，∴0<α<错误!.又∵sin β＝错误!<错误!＝错误!且β为锐角．∴0<β<错误!，∴0<α＋２β<错误!.１由sin β＝错误!，β为锐角，得cos β＝错误!，∴tan β＝错误!.∴tan（α＋β）＝错误!＝错误!＝错误!.∴tan（α＋２β）＝错误!＝错误!＝１．２由１２可得α＋２β＝错误!.。
人教A版高一数学：必修4 122 122同角三角函数的基本关系教学课件PPT(共9张PPT)
学以致用
变 式 练 习 2 ： （ 1 ） 化 简 1 2 c o 2 s s 2 i n 2 1 （ P 2 0 练 习 3 题 ） ； （ 2 ） 已 知 t a n = - 2 , 求 s i n c o s .
Hale Waihona Puke 同角三角函数的基本关系— 人教A版必修四
sin 2 cos2 1 sin tan cos
温故知新
如 图 ， 是 任 意 角 ， 终 边 与 单 位 圆 交 于 点 P（ x,y） ,那 么 sin__ y__M P ,cosx_ O_ M__,tan （ （ yx ） ） _ A_ T__
课堂总结
（2）x等于0，即α的终边在Y轴时，正切无意义.
学到了
Word教程： 教程： 同角三角函数的基本关系
什么？
注意三角函数符号的判断，对公式灵活变形，熟练掌握弦切互化，学会构造齐次式解题。
注意三角函数符号的判断，对公式灵活变形，熟练掌握弦切互化，学会构造齐次式解题。
Word教程： 教程：
注意三角函数符号的判断，对公式灵活变形，熟练掌握弦切互化，学会构造齐次式解题。
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下课，谢谢！
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总结与思考 — 人教A版必修四
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数学方 法？
高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系教案 新人教A版必修4
同角三角函数的基本关系教材分析:《同角三角函数的基本关系》是高中新教材人教A版必修4第1章1.2.2的内容，本节内容是学习了三角函数定义后，安排的一节继续深入学习的内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，在教材中起承上启下的作用。
同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。
教学目标：教学重点：同角三角函数的基本关系式的推导及在解决一类三角求值方面的应用教学难点：基本关系式的选取及学生思维灵活性的培养上教学方法：指导讨论、讲练结合等学情分析：这节课的主要任务是引导学生根据三角函数的定义探索出同角三角函数的两个基本关系式: sin2a+co s2a=1及sina/cosa=ta na . ,并进行初步的应用.由于该节内容比较容易,所以,课堂上无论是关系式的探索还是例题、习题的解决都可以让学生独立完成,即由学生自己把要学的知识探索出来,并用以解决新的问题.必要时,教师可以在以下几点上加以强调:(1)"同角"二字的含义.(2)关系式的适用条件.(3)化简题最后结果的形式.(4)怎样优化解题过程.教学设计：一、创设情境教师出示问题:上一节内容,我们学习了任意角α的三个三角函数及正弦线、余弦线和正切线,你知道它们之间有什么联系吗?你能得出它们之间的直接关系吗?二．推导同角三角函数基本关系式1．引导学生写出任意角α的三个三角函数,并探索它们之间的关系。
在角α的终边上任取一点P(x,y),它与原点的距离是r(r>0),则角α的三个三角函数值是:sina=y/r ;cosa=x/y; tana=y/x .2．引导学生通过观察、分析和讨论,消元(消去x,y,r),从而获取下述基本关系(1)平方关系: sin2a+cos2a=1.(2)商数关系: sina/cosa=tana .说明:①当放手让学生推导同角三角函数的基本关系时,部分学生可能会利用三角函数线,借助勾股定理及相似三角形的知识来得出结论.对于这种推导方法,教师也应给以充分肯定,并进一步引导学生得出|si nα|+|cosα|≥1. ②除以上两个关系式外,也许部分学生还会得出其它关系式，但最基本的还是(1)和(2),故为了减少大家的记忆负担,只须记住(1)和(2)即可.以上关系式均为同角三角函数的基本关系式.教师启发:(1)对"同角"二字,大家是怎样理解的?(2)这两个基本关系式中的角α有没有范围限制?(3)自然界的万物都有着千丝万缕的联系,大家只要养成善于观察的习惯,也许每天都会有新的发现.刚才我们发现了同角三角函数的基本关系式,那么这些关系式能用于解决哪些问题呢?3．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系: sin2a+cos2a=1.(2)商数关系: sina/cosa=tana .4. 变式sin2a=1- cos2acos2a=1- sin2asina= cosa tana5．应用举例例1:已知sin a=4/5且a是第二象限的角，求角a的余弦值和正切值．先由学生独立思考后，由一学生起来回答其解题思路，教师板书配合，培养学生解题规范的习惯。
高中数学必修第一册人教A版5.2.2同角三角函数的基本关系课件
自主预习，回答问题
阅读课本182-183页，思考并完成以下问题
1．同角三角函数的基本关系式有哪两种？ 2．同角三角函数的基本关系式合适任意角吗？
•要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
知识清单
同角三角函数的基本关系
答案： (1)√ (2)× (3)×
2．化简 A．cosπ5 C．sin5π
1－sin2π5的结果是(
)
B．－cosπ5
D．－sin5π
解析： 1－sin2π＝ 5
答案：A
| | cos2π＝ cosπ5 ＝cosπ.
5
5
3．若 sin α＝45，且 α 是第二象限角，则 tan α 的值等于(
左边= cos x(1 sin x) (1 sin x)(1 sin x)
cos x(1 sin x) 1 sin2 x
cos x(1 sin x) cos2 x
1 sin x 右边 cos x
所以，原式成立.
解题方法（三角函数式解题思路及解题技能）
1．证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁 到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差， 作比法)．
(1)平方关系：sin2 α＋cos2 α＝ 1 .
商数关系： sin cos
αα＝__ta_n__α____
α≠kπ＋π，k∈Z 2
.
(2)语言叙述：同一个角α 的正弦、余弦的 平方和 等于 1，商 等
于角α的正切．
思考：“同角”一词的含义是什么？
[提示] 一是“角相同”，如 sin2α＋cos2β＝1 就不一定成立．二
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江苏省连云港灌云县第一中学高中数学 1.2.2 同角三角函数关系教
案 新人教A版必修1
教学目的：
1．理解并掌握同角三角函数的基本关系式；
2．正确运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值运算；
3．通过利用三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式，培养学生融会贯通前后
数学知识的能力，进一步感受数学的整体性、连贯性．
教学重点：
同角三角函数的基本关系式的推导及其应用．
教学难点：
已知一个三角函数值（但不知角的范围），求出其他三角函数值结果不惟一
时的分类讨论．
教学方式：
问题链导学．
教学过程：
一、问题情境
1.（1）任意角的三角函数的定义：
比值ry叫做的正弦 记作：rysin．
比值rx叫做的余弦 记作：rxcos．
比值xy叫做的正切 记作：xytan ．
（2）三角函数的定义与点P在终边上的位置无关．
2．情境：计算下列各式的值：
90cos90sin.122
30cos30sin.222
30cos
30sin
.3
4cos4sin.4
二、学生活动
问题：通过上述几个问题的计算，你能归纳出sin与cos，cos,sin与tan，
之间有什么关系吗？
三、数学建构
1．猜想： 1cossin22 tancossin
2．理论证明：（采用定义）
22222sin,cossincos1sin()tan2cosyxxyrrryxyrykkZrrrxx①且②当时，
3．点题：这两种关系，称为同角三角函数的基本关系．
4． 四个注意点：
（1）同角三角基本关系式1cossin22，对一切R恒成立；
tancossin，仅对)(2Zkk
时成立，即三角恒等式就是指这个意义下的恒等
式；
（2）同角三角关系式反映的是“同角”三角函数之间的内在联系；这里的“同角”与
角的表达形式无关．如：13cos3sin22， 2tan2cos2sin，
1)75(cos)75(sin22
等．
（3）应用同角三角函数基本关系式，根据问题的需要，应注意他们的如下变形形式：
如22cos1sin，22sin1cos，22cossin1，
sintancos
，sincostan．
（4）同角三角函数基本关系式在三个方面的应用．
① “知二求一”即根据一个角的某一三角函数值，求出这个角的其他三角函数值；
② 化简三角函数式；
③ 证明有关的三角恒等式．
四、数学应用
1. 例题．
例1 已知54sin，且是第二象限角，求tan,cos的值．
变式：已知54sin，求tan,cos的值．
例2 已知512tan，求cos,sin的值．
例3化简1sin1tan2，其中α是第二象限角．
2．课堂练习
（1）已知54cos，且是第三象限角，求tan,cos的值．
（2）已知21sin，求tan,cos的值
（3）已知tan2，求sin，cos的值
五、要点归纳与方法小结
本节课我们通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式，讨论了各个基本关
系式恒成立时的条件，并进行了 “知二求一”的应用，当时结果不惟一时，需要分象限进
行讨论．