河北省衡水中学2018-2019学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
2018-2019学年河北省衡水市武邑中学高二(上)期中数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（）A. {x|2<x<5}B. {x|x<4或x>5}C. {x|2<x<3}D. {x|x<2或x>5}2.已知等差数列{a n}中，a2+a6=8，则2a3+2a4+2a5=（）A. 8B. 16C. 24D. 483.椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，椭圆上的点到左焦点F1的距离的最大值为8，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为20，则椭圆C 的方程为（）A. y225+x216=1 B. x225+y216=1 C. x225+y29=1 D. x216+y29=14.“1＜m＜4”是“方程x2m−1+y24−m=1表示椭圆”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.如图是抛物线形拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽（）米．A. 22B. 4C. 43D. 26.平面向量a与b的夹角为2π3，a=(2，0)，|a+2b|=23，则a⋅b=（）A. 2B. −2C. −2D. 27.若圆x2+y2=4与圆x2+y2-2ax+a2-1=0相内切，则a的值为（）A. 1B. −1C. ±1D. 08.已知a，b均为正实数，且直线ax+y-6=0与直线（b-1）x-y+5=0互相平行，则ab的最大值为（）A. 1B. 12C. 14D. 189.设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则OA⋅OB等于（）A. 34B. −34C. 3D. −310.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中E、F分别在A1D、AC上，且A1E=23A1D，AF=13AC，则（）A. EF至多与A1D、AC之一垂直B. EF是A1D、AC的公垂线C. EF与BD1相交D. EF与BD1异面11.在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件：“2x2-3x≤0”发生的概率为（）A. 23B. 34C. 13D. 1412.如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD=100米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A. 100米B. 503米C. 502米D. 50(3+1)米二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数y=sin（2x+π4）的最小正周期是______．14.若k进制数132（k）与二进制数11110（2）相等，则k=______．15.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取______名学生．16.已知数列{a n}的通项公式为a n=3n，记数列{a n}的前n项和为S n，若∃n∈N*使得（S n+32）k≥3n-6成立，则实数k的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知圆C的圆心在直线x-2y-3=0上，并且经过A（2，-3）和B（-2，-5），求圆C的标准方程．18.某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2cos（B-C）+1=4cos B cos C．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=27，△ABC的面积为23，求b+c．20.已知数列{a n}是首项为a1=14，公比q=14的等比数列．设b n+2=3log14a n（n∈N*），数列{c n}满足c n=a n•b n．（1）求证：数列{b n}成等差数列；（2）求数列{c n}的前n项和S n；（3）若c n≤14m2+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．21.已知函数f（x）=23sin(x+π4)cos(x+π4)+sin2x+a的最大值为1．（Ⅰ）求常数a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．22.已知点A（-1，0），B（1，0），动点P满足|PA|+|PB|=23，记动点P的轨迹为曲线T，（1）求动点P的轨迹T的方程；（2）直线y=kx+1与曲线T交于不同的两点C，D，若存在点M（m，0），使得|CM|=|DM|成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，∴A∩B={x|2＜x＜3}．故选：C．由已知条件利用交集的定义能求出A∩B．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用．2.【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n}中，a2+a6=8，∴a2+a6=2a4=8，解得a4=4，∴2a3+2a4+2a5=2（a3+a4+a5）=6a4=24．故选：C．由等差数列{a n}中，a2+a6=8，求出a4=4，由此利用2a3+2a4+2a5=2（a3+a4+a5）=6a4，能求出结果．本题考查等差数列的三项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】B【解析】解：依题意设椭圆方程为：（a＞b＞0），∵椭圆上的点到左焦点F1的距离的最大值为8，∴a+c=8，∵△ABF2的周长为20，∴4a=20，∴a=5，c=3，b=4，∴椭圆C的方程为，故选：B．依题意设椭圆方程为：（a＞b＞0，由a+c=8，△ABF2的周长为4a=20．求得a、b，即可得到所求椭圆方程．本题考查了椭圆的方程及性质，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：方程表示椭圆的充要分条件是，解得即1＜m＜4，且m≠由题意可故“1＜m＜4”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，故选：B．由条件根据椭圆的标准方程，求得方程表示椭圆的充要条件所对应的m的范围，再根据充分必要条件的定义判断即可本题主要考查椭圆的标准方程，充分条件、必要条件，要条件的定义，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，-2）代入x2=my，得m=-2∴x2=-2y，代入B（x0，-4）得x0=2，故水面宽为4m．故选：B．先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=-4代入抛物线方程求得x0进而得到答案．得到答案．本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．6.【答案】C【解析】解：平面向量与的夹角为，，，则||=2，•=2||•cos=-||，（+2）2=12，即为2+4+42=4-4||+4||2=12，解得||=2（-1舍去），则=-2．故选：C．运用向量数量积的定义和向量的平方即为模的平方，解方程计算即可得到所求值．本题考查向量数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，以及运算能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：由圆x2+y2-2ax+a2-1=0得（x-a）2+y2=1，得圆心为（a，0）半径为1，又由于两圆内切，所以圆心距等于两圆半径之差，即=2-1，解得：a=±1，故选：C．先求出两圆圆心和半径，再根据两圆内切等价于圆心距等于半径之差列式可解得．本题考查了圆与圆的位置关系及其判定．属基础题．8.【答案】C【解析】解：a，b均为正实数，且直线ax+y-6=0与直线（b-1）x-y+5=0互相平行，则-a=b-1，即a+b=1，∴ab≤（）2=，当且仅当a=b=时取等号，故选：C．利用两条直线平行，列出a、b的方程，然后利用基本不等式求解即可．本题考查直线的平行的应用，基本不等式的应用，考查计算能力．9.【答案】B【解析】解：抛物线y2=2x的焦点F（，0 ），当AB的斜率不存在时，可得A（，1），B（，-1），∴=（，1）•（，-1）=-1=-，另解：设过焦点的直线为x=my+，代入抛物线的方程可得y2-2my-1=0，可得y1y2=-1，=x1x2+y1y2=+y1y2=-1=-，故选：B．根据抛物线的标准方程，求出焦点F（，0），当AB的斜率不存在时，可得A（，1），B（，-1），求得的值，结合填空题的特点，得出结论．本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，两个向量的数量积公式，通过给变量取特殊值，检验所给的选项，是一种简单有效的方法．10.【答案】B【解析】解：如图所示设AC∩BD=O，AD1∩A1D=O1，作EG⊥AD于G，FK⊥AD于K，由平几知识，GF∥DO，DO⊥AC，∴GF⊥AC，∵EG⊥面ABCD，∴由三垂线逆定理EF⊥AC．同理EF⊥A1D，∴EF是A1D、AC公垂线故选：B．设AC∩BD=O，AD1∩A1D=O1，作EG⊥AD于G，FK⊥AD于K，证明EF⊥AC，EF⊥A1D，即可求得结论．本题考查线面垂直，考查线线位置关系，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：解不等式2x2-3x≤0，得0≤x≤；∴区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件：“2x2-3x≤0”发生的概率为P==．故选：B．解不等式2x2-3x≤0，利用区间长度比计算所求的概率值．本题考查了解不等式以及几何概型的概率计算问题，是基础题．12.【答案】D【解析】解：设AB=xm，则由题意，∠D=30°，∠ACB=45°，在Rt△ABC中，BC=AB=x，在Rt△ADB中，DB=CD+BC=100+x，∴DB=AB，即100+x=x，解得x=50（+1）m．∴山AB的高度为50（+1）米．故选：D．设AB=xm，根据俯角的定义得到∠MAC=45°，∠MAD=30°，由平行线的性质得到∠D=30°，∠ACB=45°，再根据等腰三角形的性质得BC=AB=x，根据含30度的直角三角形三边的关系得DB=AB，即100+x=x，解出x即可．此题考查了仰角的知识．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意数形结合思想与方程思想的应用．13.【答案】π【解析】解：函数y=sin（2x+）的最小正周期是=π，故答案为：π．由题意根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，得出结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，属于基础题．14.【答案】4【解析】解：将这两个数都化为十进制数，可得：132=k2+3k+2，（k）=24+23+22+21=30．11110（2）∴k2+3k+2=30，解得k=-7（舍去）或k=4．故答案为：4．将这两个数都化为十进制数，由题意可得k2+3k+2=30，进而解得k的值．本题主要考察了进制数之间的互化，属于基本知识的考查．15.【答案】60【解析】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，故答案为：60．先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．16.【答案】[−2，+∞)3【解析】解：∵数列{a n }的通项公式为a n =3n，∴数列{a n }是等比数列，公比为3，首项为3．∴S n ==-，∴（S n +）k≥3n -6化为：k≥，∵∃n ∈N *使得（S n +）k≥3n -6成立，∴k≥． 令b n =，则b n+1-b n =-=，n≤2时，b n+1>b n ；n≥3时，b n+1＜b n ． ∴b 1＜b 2=0，b 3＞b 4＞b 5＞ 0∴=b 1=．∴．故答案为：．利用等比数列的求和公式可得S n ，代入（S n +）k≥3n -6，化简利用数列的单调性即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、不等式的化简、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：由已知，线段AB 的中垂线所在直线与直线x -2y -3=0的交点即为圆C的圆心．线段AB 的斜率为：K AB =−3+52−(−2)=12，∴线段AB 的中垂线所在直线的斜率为-1K AB=-2，又∵线段AB 的中点为（0，-4），∴线段AB 的中垂线所在直线方程为：y +4=-2x ，即2x +y +4=0． 由 2x +y +4=0x−2y−3=0，求得 y =−2x =−1，∴圆C 的圆心坐标为（-1，-2） ∴圆C 的半径r 满足：r 2=（2+1）2+（-3+2）2=10，∴圆C 的标准方程为（x +1）2+（y +2）2=10． 【解析】线段AB 的中垂线所在直线与直线x-2y-3=0的交点即为圆C 的圆心，再求出半径CA 的值，即可求得圆的标准方程．本题主要考查求圆的标准方程，直线的斜率公式，两条直线垂直的性质，求出圆心坐标及半径，是解题的关键，属于基础题．18.【答案】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是220+2402=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为1125+15+10+5=1 5，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×15=5户．【解析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）∵2cos（B-C）+1=4cos B cos C，∴2（cos B cos C+sin B sin C）+1=4cos B cos C，即2（cos B cos C-sin B sin C）=1，可得2cos（B+C）=1，∴cos（B+C）=12．∵0＜B+C＜π，可得B+C=π3．∴A=π-（B+C）=2π3．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ），得A=2π3．∵S△ABC=23，∴12bc sin2π3=23，解得bc=8．①由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A，得（27）2=b2+c2-2bc cos2π3，即b2+c2+bc=28，∴（b+c）2-bc=28．②将①代入②，得（b+c）2-8=28，∴（b+c）2=36，可得b+c=6．…（12分）【解析】（I）利用三角恒等变换，化简已知等式可得cos（B+C）=，结合三角形内角的范围算出B+C=，再利用三角形内角和即可得到A的大小；（II）根据三角形面积公式，结合△ABC的面积为2算出bc=8．再由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，代入数据化简可得（b+c）2-bc=28，两式联解即可算出b+c的值．本题给出三角形的角满足的条件，求A的大小，并在已知三角形面积的情况下求边长．着重考查了三角恒等变换、正余弦定理和三角形面积公式等知识，属于中档题．20.【答案】（1）证明：由已知可得，a n=14×(14)n−1=(14)n，b n+2=3log14(14)n=3n，∴b n=3n-2，b n+1-b n=3，∴数列{b n}为等差数列，其中b1=1，d=3．（2）解：c n=a n•b n=(3n−2)⋅(14)n，∴S n=1×14+4×(14)2+…+(3n−2)⋅(14)n，1 4S n=1×(14)2+4×(14)3+…+(3n−5)⋅(14)n+(3n−2)⋅(14)n+1，两式相减可得：34S n=14+3[(14)2+(14)3+…+(14)n]-(3n−2)⋅(14)n+1=12+3×14(14n−1)1−1-(3n−2)×(14)n+1=12−(3n+2)⋅(14)n+1，∴S n=23−12n+83×(14)n+1．（3）解：c n=a n•b n=(3n−2)⋅(14)n，∴c n+1-c n=(3n+1)⋅(14)n+1−(3n−2)⋅(14)n=-9(14)n+1(n−1)．当n=1时，c2=c1；当n≥2时，c n+1＜c n，∴（c n）max=c1=c2=14．∵c n≤14m2+m-1对一切正整数n恒成立，∴14m2+m-1≥14，化为m2+4m-5≥0，解得m≤-5或m≥1．∴实数m的取值范围是m≤-5或m≥1．【解析】（1）由等比数列的通项公式可得，=，b n+2=3=3n，即可得出b n ，进而证明{b n }为等差数列． （2）c n =a n •b n =，利用“错位相减法”即可得出；（3）c n =a n •b n =，可得c n+1-c n =-9．即可得出（c n ）max ，由于c n ≤+m-1对一切正整数n 恒成立，可得+m-1≥（c n ）max ，解出即可．本题考查了等比数列的通项公式及其前n 项和公式、“错位相减法”，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 21.【答案】解：（Ⅰ）∵f (x )= 3sin (2x +π2)+sin 2x +a = 3cos 2x +sin 2x +a =2sin (2x +π3)+a ≤1， ∴2+a =1， ∴a =-1．（Ⅱ）由−π2+2kπ≤2x +π3≤π2+2kπ，解得−5π12+kπ≤x ≤π12+kπ， 所以函数的单调递增区间[−5π12+kπ，π12+kπ]，k ∈Z ． 【解析】（Ⅰ）利用两角和的正弦函数公式化简可得：f （x ）=，利用正弦函数的性质即可得解a 的值． （Ⅱ）由，即可解得函数的单调递增区间．本题主要考查了两角和的正弦函数公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．22.【答案】解：（1）|AB |=2，|PA |+|PB |=2 3＞2，∴点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆， 且c =1，a = 3， ∴b 2=2，曲线T 的方程是x 23+y 22=1．（2）设C ，D 两点坐标分别为C （x 1，y 1）、D （x 2，y 2），C ，D 中点为N （x 0，y 0）．由 2x 2+3y 2=6y =kx +1，得 （3k 2+2）x 2+6kx -3=0． ∵△=36k 2+12（3k 2+2）＞0∴x 1+x 2=−6k 2+3k 2，x 1x 2=−32+3k ， ∴y 1+y 2=k （x 1+x 2）+2=−6k 22+3k+2=42+3k ，∴x0=12（x1+x2）=−3k2+3k2，y0=12（y1+y2）=22+3k2∴N（−3k2+3k2，22+3k），∵|CM|=|DM|，∴MN⊥CD，∴y0 x0−m =-1k（k≠0），韦达定理代入，化简得3mk2+k+2m=0，∵△=21-24m2＞0，解得-612＜m＜612且m≠0，当m=0时，k=0也满足题意．综上所述，m的取值范围是（-612，612）【解析】（1）依题意，点P到两定点A、B的距离之和为定值2，且此值大于两定点间的距离2，由椭圆定义可知动点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为2的椭圆，从而写出T的标准方程（2）先将直线方程与曲线W的方程联立，得关于x的一元二次方程，利用韦达定理，写出交点C、D的横坐标的和与积，求出中点坐标，再根据|CM|=|DM|成立可得3mk2+k+2m=0，根据判别式即可求出本题考查了椭圆的定义及椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，特别是直线与椭圆相交时，利用韦达定理设而不求的技巧解决几何问题，是本题考查的重点，属于难题。
精品解析：河北省衡水中学2018-2019学年高二上学期期中考试(含听力)英语试题(原卷版)
2018—2019学年度上学期期中模块检测高二英语试题本试题卷共8页，全卷满分分，考试用时120分钟。
注意事项:1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第一卷选择题(共95分)第一部分听力(共两节，满分30分)第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.【此处有音频，请去附件查看】What is the weather like row?A. Sunny.B. Cloudy.C. Rainy.2.【此处有音频，请去附件查看】What does the man want to order?A. French fries.B. A large soft drink.C. A bacon sandwich.3.【此处有音频，请去附件查看】Where is Jacob now?A. At home.B. At school.C. At a supermarket.4.【此处有音频，请去附件查看】What do the speakers mainly talk about?A. Have a class reunion.B. Plan a birthday gift.C. Visit a family member.5.【此处有音频，请去附件查看】What is the man’s job?A. He is a model.B. He is a designer.C. He is a salesman.第二节(共15小题；每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。
河北省衡水中学2019届高三上学期期中考试理科数学试卷(含答案)
2018-2019学年度第一学期期中考试高三理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 抛物线24y x =的焦点坐标是A. (0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(0,116) 2. 已知圆221236F x y ++=（:），定点220F （，），A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是A. 22143x y +=B.22195x y +=C.22134x y +=D.22159x y +=3.将函数y=3sin （2x+3π）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（12π-，0）中心对称 A. 向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位C.向左平移6π个单位D.向右平移6π个单位4.函数21e x y x =-（）的图象是5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.83π B. 3π C.103π D.6π6.已知A B P 、、是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上不同的三点，且A B 、连线经过坐标原点，若直线PA PB 、的斜率乘积3PA PB k k =g，则该双曲线的离心率为 A.2 B.3 C. 2 D.37.已知抛物线24x y =上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为 A.34 B.32C.1D.2 8. 如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为A. 8B.4C.42D.439.在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，2CA =u u u r，点P 为三角形ABC 所在平面上一动点，且满足BP u u u r =1，则()BP CA CB +u u u r u u u r u u u rg 的取值范围是A. [22,0]-B. [0,22]C. [-2,2]D.[22,22]-10.已知12,F F 是椭圆2211612x y +=的左、右焦点，点M （2，3），则∠12F MF 的角平分线的斜率为 A. 1 B.2 C. 2 D.511.如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为下图中的12.已知球O 与棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -的所有棱都相切，点M 是球O 上一点，点N 是△1ACB 的外接圆上的一点，则线段MN 的取值范围是A. [62,62]-+B. [62,62]-+C.[2322,2322]-+D.[32,32]-+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
2019学年河北省高二上期中数学试卷【含答案及解析】
2019学年河北省高二上期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设，则是成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 命题“存在使得”的否定是（）A. 不存在使得________B. 存在使得C. 对任意_________________________________D. 对任意3. 双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（）A．______________________________ B．___________________________________ C．_________________________________ D．4. 设是等差数列. 下列结论中正确的是（）A．若，则___________________________________ B．若，则C．若，则___________________________________ D．若，则5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为（）A. _________________________________B._________________________________ C. D.6. 执行此程序框图，若输入的分别为1，2，3，则输出的（）A. ______________________________B._________________________________ C. ___________________________________ D.7. 若满足约束条件，则的最大值为（）A. _________________________________B._________________________________ C. D.8. 已知双曲线：的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）A. ____________________________B. ______________________________C.___________________________________ D.9. 已知若 ,则的值为（）A. ____________________________B. ____________________________C.D.10. 在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（）A. ____________________________B. ____________________________C.____________________ D.11. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且 ,则此棱锥的体积为（）A. ________________________B. ____________________________C.___________________________________ D.12. 已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）A．______________________________ B．______________________________ C．___________________________________ D．二、填空题13. 曲线在点处的切线平行于轴,则________________________ .14. 双曲线的离心率为 , 则等于________________________ .15. 一个几何体的三视图如图所示（其中侧视图的下部是一个半圆），则该几何体的表面积为________________________ .16. 已知函数，对函数，定义关于的“对称函数”为函数，满足：对任意，两个点关于点对称，若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是________________________ .三、解答题17. 设的内角的对边分别为，若，且，求及的面积.18. 设数列的前n项和为 .已知 .（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前n项和 .19. 某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；（2）从测试成绩在内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为，求事件“ ”概率．20. 已知函数在处取得极值.（1）确定的值；（2）若，讨论的单调性.21. 直三棱柱中，，分别是的中点，，为棱上的点．（1）证明：；（2）是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点的位置，若不存在，说明理由．22. 已知椭圆过点，离心率为，点分别为其左右焦点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若上存在两个点，椭圆上有两个点满足三点共线，三点共线，且 ,求四边形面积的最小值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
河北省衡水中学2018学年高二上学期期中数学试卷理科 含解析
2018-2018学年河北省衡水中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b等于（）A．B．1 C．D．23．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率是，则E的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x4．已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．p∨q D．p∨（￢q）5．抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是（）A．（1，1）B．（）C．D．（2，4）6．命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*，f（n）＞n C．∃n∈N*，f（n）＞n D．∀n ∉N*，f（n）＞n7．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B 两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（）A．B．C．D．8．已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．9．焦点在x轴上的椭圆方程为+=1（a＞b＞0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥011．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|=2，则抛物线的方程为（）A．y2=2x B．y2=3x C．y2=4x D．y2=x12．设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题若命题“∃x0∈R，x18+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是…14．已知直线l：x+3y﹣2b=0过双曲线的右焦点F，则双曲线的渐近线方程为．15．已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．16．给出下列结论：动点M（x，y）分别到两定点（﹣3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中：（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；（2）若∠F1MF2=90°，则S=32；（3）当x＜0时，△F1MF2的内切圆圆心在直线x=﹣3上；（4）设A（6，1），则|MA|+|MF2|的最小值为；其中正确命题的序号是：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在某次考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示．（1）求甲班的平均分；（2）从甲班和乙班成绩90～100的学生中抽取两人，求至少含有甲班一名同学的概率．18．（12分）在公务员招聘中，既有笔试又有面试，某单位在2018年公务员考试中随机抽取100名考生的笔试成绩，按成绩分为5组[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求a值及这100名考生的平均成绩；（2）若该单位决定在成绩较高的第三、四、五组中按分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试，现从这6名考生中抽取3名考生接受单位领导面试，设第四组中恰有1名考生接受领导面试的概率．19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线x﹣my﹣6=0与抛物线C交于A、B两点，若∠AFB=90°，求实数m 的值．20．（12分）F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A，B两点，C的准线与x轴的交点为E，动点P满足=+．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）当四边形EAPB的面积最小时，求直线l的方程．21．（12分）已知两点A（﹣2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．（1）求点M的轨迹方程；（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q，R，求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．22．（12分）已知A（2，0），O为坐标原点，动点P满足|+|+|﹣|=4（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点A且不垂直于坐标轴的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，求的取值范围．2018-2018学年河北省衡水中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解．【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了不等式，充分必要条件的定义，属于容易题．2．若以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b等于（）A．B．1 C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，可得（1﹣c，）•（1+c，）=0，求出c，即可求出b．【解答】解：由题意，以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，∴（1﹣c，）•（1+c，）=0，∴1﹣c2+2=0，∴c=，∵a=，∴b=1．故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，正确求出c是关键．3．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率是，则E的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的离心率，求出=即可得到结论．【解答】解：∵双曲线的离心率是，∴e==，即==1+（）2=，即（）2=﹣1=，则=，即双曲线的渐近线方程为y═±x=±x，故选：C．【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，根据双曲线离心率的关系进行求解是解决本题的关键．4．已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．p∨q D．p∨（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】对于m命题p：方程x2﹣mx﹣1=0，则△=m2+4＞0，即可判断出命题p的真假．对于命题q：由x2﹣x﹣1≤0，解得≤x≤，即可判断出命题q的真假．【解答】解：对于m命题p：方程x2﹣mx﹣1=0，则△=m2+4＞0，因此：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，可得：命题p是真命题．对于命题q：由x2﹣x﹣1≤0，解得≤x≤，因此存在x=0，1∈N，使得x2﹣x﹣1≤0成立，因此是真命题．∴下列选项中是假命题的为p∧（￢q），故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是（）A．（1，1）B．（）C．D．（2，4）【考点】抛物线的简单性质．【分析】设抛物线y=x2上一点为A（x0，），点A（x0，）到直线2x﹣y﹣4=0的距离d==，由此能求出抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标．【解答】解：设抛物线y=x2上一点为A（x0，），点A（x0，）到直线2x﹣y﹣4=0的距离d==，∴当x0=1时，即当A（1，1）时，抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短．故选A．【点评】本题考查抛物线上的点到直线的距离最短的点的坐标的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6．命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*，f（n）＞n C．∃n∈N*，f（n）＞n D．∀n ∉N*，f（n）＞n【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式：∃n∈N*，f（n）＞n．故选：C．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．7．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B 两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】可以求出抛物线的焦点坐标，从而可以写出弦AB所在直线方程为，可设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程和抛物线方程联立消去x可得到关于y的一元二次方程，由韦达定理即可求出弦AB的中点坐标为，而弦AB的垂直平分线方程可写出为y﹣2=﹣x，弦中点坐标带入该方程便可求出p的值．【解答】解：，过焦点F且倾斜角为的直线方程为：，设A （x1，y1），B（x2，y2）；由得，y2﹣2py﹣p2=0；∴y1+y2=2p，x1+x2=3p；∴弦AB的中点坐标为；弦AB的垂直平分线方程为y﹣2=﹣x，弦AB的中点在该直线上；∴；解得．故选：C．【点评】考查抛物线的标准方程，抛物线的焦点，以及根据直线的倾斜角求斜率，直线的点斜式方程，韦达定理．8．已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆方程求出F和A的坐标，由对称性设出B、C的坐标，根据菱形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出B的纵坐标，将点B的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率e的方程，即可得到该椭圆的离心率．【解答】解：由题意得，椭圆（a＞b＞0，c为半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，则A（a，0），F（﹣c，0），∵抛物线y2=（a+c）x于椭圆交于B，C两点，∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，﹣n）∵四边形ABFC是菱形，∴BC⊥AF，2m=a﹣c，则m=（a﹣c），将B（m，n）代入抛物线方程得，n2=（a+c）m=（a+c）（a﹣c）=（a2﹣c2），∴n2=b2，则不妨设B（（a﹣c），b），再代入椭圆方程得，+=1，化简得=，由e=，即有4e2﹣8e+3=0，解得e=或（舍去）．故选D．【点评】本题考查椭圆、抛物线的标准方程，以及它们的简单几何性质，菱形的性质，主要考查了椭圆的离心率e，属于中档题．9．焦点在x轴上的椭圆方程为+=1（a＞b＞0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的性质AB=2c，AC=AB=a，OC=b，根据三角形面积相等求得a和c的关系，由e=，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由椭圆的性质可知：AB=2c，AC=AB=a，OC=b，S ABC=AB•OC=•2c•b=bc，S ABC=（a+a+2c）•r=•（2a+2c）×=，∴=bc，a=2c，由e==，故答案选：C．【点评】本题主要考察椭圆的基本性质，考察三角形的面积公式，离心率公式，属于基础题．10．以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0【考点】命题的真假判断与应用；四种命题．【分析】A．根据逆否命题的定义进行判断B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断C．根据四种命题真假之间的关系进行判断D．根据含有量词的命题的否定进行判断【解答】解：A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确，B．由x2﹣3x+2=0得x=1或x=2，即“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，正确C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为“在△ABC中，若sinA ＞sinB，则A＞B，若sinA＞sinB，由正弦定理得a＞b，即等价为A＞B，即逆否命题为真命题，故C 判断错误．D．命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0，正确，故选：C【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的真假关系，充分条件和必要条件的判断以及含有量词的命题的否定，综合性较强．11．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|=2，则抛物线的方程为（）A．y2=2x B．y2=3x C．y2=4x D．y2=x【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义和双曲线的定义，不妨设直线AB为y=（x﹣），设A（x0，y0）得到|AF|=x0+，表示出x0，y0，代入到抛物线的解析式，求出p 的值，需要验证【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的坐标为（，0），准线方程为x=﹣，双曲线x2﹣=1的渐近线方程为y=x，由于过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，不妨设直线AB为y=（x﹣），设A（x0，y0），∴|AF|=x0+，∵|AF|＞|BF|，且|AF|=2，∴x0=2﹣，x0＞，∴0＜p＜2∴y0=（2﹣p），∴3（2﹣p）2=2p（2﹣），整理得p2﹣4p+3=0，解的p=1或p=3（舍去），故抛物线的方程为y2=2x，故选：A．【点评】本题考查了直线和抛物线的关系，以及抛物线和双曲线的定义和性质，属于中档题．12．设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出M，N的坐标，再利用余弦定理，求出a，c之间的关系，即可得出双曲线的离心率．【解答】解：不妨设圆与y=x相交且点M的坐标为（x0，y0）（x0＞0），则N 点的坐标为（﹣x0，﹣y0），联立y0=x0，得M（a，b），N（﹣a，﹣b），又A（﹣a，0）且∠MAN=120°，所以由余弦定理得4c2=（a+a）2+b2+b2﹣2•bcos 120°，化简得7a2=3c2，求得e=．故选A．【点评】本题主要考查双曲线的离心率．解决本题的关键在于求出a，c的关系．二、填空题（2018•湖南模拟）若命题“∃x0∈R，x18+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是…【考点】特称命题；复合命题的真假．【分析】由于命题P：“”为假命题，可得￢P：“∀x∈R，x2+mx+2m﹣3≥0”为真命题，因此△≤0，解出即可．【解答】解：∵命题P：“”为假命题，∴￢P：“∀x∈R，x2+mx+2m﹣3≥0”为真命题，∴△≤0，即m2﹣4（2m﹣3）≤0，解得2≤m≤6．∴实数m的取值范围是[2，6]．故答案为：[2，6]．【点评】本题考查了非命题、一元二次不等式恒成立与判别式的关系，属于基础题．14．已知直线l：x+3y﹣2b=0过双曲线的右焦点F，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可设F（c，0），代入直线x+3y﹣2b=0，可得c=2b，再由a，b，c的关系，可得a，b的关系，即可得到所求渐近线方程．【解答】解：由题意可设F（c，0），代入直线l：x+3y﹣2b=0，可得：c﹣2b=0，即c=2b，即有a===b，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故答案为：y=±x．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用直线经过双曲线的焦点，考查运算能力，属于基础题．15．已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．【考点】抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；抛物线的定义．【分析】设BF=m，由抛物线的定义知AA1和BB1，进而可推断出AC和AB，及直线AB的斜率，则直线AB的方程可得，与抛物线方程联立消去y，进而跟韦达定理求得x1+x2的值，则根据抛物线的定义求得弦AB的中点到准线的距离．【解答】解：设BF=m，由抛物线的定义知AA1=3m，BB1=m∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，直线AB方程为与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0所以AB中点到准线距离为故答案为【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题．常需要利用抛物线的定义来解决．16．给出下列结论：动点M（x，y）分别到两定点（﹣3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中：（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；（2）若∠F1MF2=90°，则S=32；（3）当x＜0时，△F1MF2的内切圆圆心在直线x=﹣3上；（4）设A（6，1），则|MA|+|MF2|的最小值为；其中正确命题的序号是：（1）（3）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由题意可得：，化为（x≠±3）．（1）由曲线C的标准方程可得=5，即可得出曲线C的焦点坐标；（2）设|F1M|=m，|F1M|=n，m＞n，由于∠F1MF2=90°，可得，mn=16；（3）设A为内切圆与x轴的切点，由于|F2M|﹣|F1M|=|F2A|﹣|F1A|=2a=6，|F2A|+|F1A|=2c=10，可得|F2A|=8，|F1A|=2，解得x A，即可判断出；（4）不妨设点M在双曲线的右支上，根据定义可得|MF1|﹣|MF2|=2a=6，可得|MA|+|MF2|=|MA|+|MF1|﹣6，当A、M、F1三点共线时，|MA|+|MF2|的最小值为|AF1|﹣6．【解答】解：由题意可得：，化为（x≠±3）．（1）由曲线C的标准方程可得=5，∴曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0），正确；（2）设|F1M|=m，|F1M|=n，m＞n，∵∠F1MF2=90°，∴，∴S=mn=16；（3）设A为内切圆与x轴的切点，∵|F2M|﹣|F1M|=|F2A|﹣|F1A|=2a=6，|F2A|+|F1A|=2c=10，∴|F2A|=8，|F1A|=2，∴5﹣x A=8，解得x A=﹣3．设圆心P，则PO⊥x轴，从而可得圆心在直线x=﹣3上，因此正确；（4）不妨设点M在双曲线的右支上，∵|MF1|﹣|MF2|=2a=6，∴|MA|+|MF2|=|MA|+|MF1|﹣6，当A、M、F1三点共线时，|MA|+|MF2|的最小值为|AF1|﹣6=﹣6．因此不正确．综上可得：正确命题的序号是（1）（3）．故答案为：（1）（3）．【点评】本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、三角形的内切圆的性质、斜率计算公式，考查了转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2018秋•桃城区校级期中）在某次考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示．（1）求甲班的平均分；（2）从甲班和乙班成绩90～100的学生中抽取两人，求至少含有甲班一名同学的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数．【分析】（1）由茎叶图能求出甲班的平均分．（2）甲班90﹣100的学生有2个，设为A，B；乙班90﹣100的学生有4个，设为a，b，c，d，从甲班和乙班90﹣100的学生中抽取两人，利用列举法能求出至少含有甲班一名同学的概率．【解答】解：（1）甲班的平均分为：；（2）甲班90﹣100的学生有2个，设为A，B；乙班90﹣100的学生有4个，设为a，b，c，d，从甲班和乙班90﹣100的学生中抽取两人，共包含：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）15个基本事件，设事件M=“至少含有甲班一名同学”，则事件M包含：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），9个事件，所以事件M的概率为．【点评】本题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．18．（12分）（2018•内江模拟）在公务员招聘中，既有笔试又有面试，某单位在2018年公务员考试中随机抽取100名考生的笔试成绩，按成绩分为5组[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求a值及这100名考生的平均成绩；（2）若该单位决定在成绩较高的第三、四、五组中按分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试，现从这6名考生中抽取3名考生接受单位领导面试，设第四组中恰有1名考生接受领导面试的概率．【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）根据频率之和为1，即可求出a的值，再根据平均数的定义即可求出．（2）根据分层抽样，即可求出各组的人数，分别记第3组中3人为a1，a2，a3，第4组中2人为b1，b2，第5组中1人为c，一一列举所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．【解答】解：（1）由（0.018+0.185+a+0.18+0.01）×10=1，得a=0.18．平均成绩约为（55×0.018+65×0.185+75×0.18+85×0.18+95×0.01）×10=74.5．（2）第3，4，5组考生分别有30、20、10人，按分层抽样，各组抽取人数为3，2，1记第3组中3人为a1，a2，a3，第4组中2人为b1，b2，第5组中1人为c，则抽取3人的所有情形为：（a1，a2，a3），（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，c），（a1，a3，b1），（a1，a3，b2），（a1，a3，c），（a1，a3，b1），（a2，a3，b2），（a2，a3，c），（a1，b1，b2），（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，b1，b2），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，b2），（a3，b1，c），（a3，b2，c），（b1，b2，c）共20种第4组中恰有1人的情形有12种∴．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，古典概型概率的求法，是基础题．19．（12分）（2018秋•石家庄期末）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线x﹣my﹣6=0与抛物线C交于A、B两点，若∠AFB=90°，求实数m 的值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）抛物线上横坐标为的点的坐标为（，±），利用抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，求出p，即可求抛物线的方程；（2）由题意，直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y2﹣4my﹣24=0，利用∠AFB=90°，可得FA⊥FB，即•=0，可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0，即可求实数m的值．【解答】解：（1）抛物线上横坐标为的点的坐标为（，±），到抛物线顶点的距离的平方为+p，∵抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，∴+p=（+）2，∴p=2抛物线的方程为：y2=4x．…（2）由题意，直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y2﹣4my﹣24=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣24，∵∠AFB=90°，∴FA⊥FB，即•=0可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0∴（1+m2）y1y2+5m（y1+y2）+25=0∴﹣24（1+m2）+20m2+25=0，解得：m=±．【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）（2018•山西模拟）F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过点F 的直线l与C 交于A ，B 两点，C 的准线与x 轴的交点为E ，动点P 满足=+．（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）当四边形EAPB 的面积最小时，求直线l 的方程． 【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I ）求出F ，E 的坐标，设l 方程为x ﹣my ﹣1=0，联立方程组消元，根据根与系数的关系求出AB 中点坐标，由向量加法的几何意义可知AB 的中点也是EP 的中点，利用中点坐标公式得出P 的轨迹关于m 的参数方程，转化为普通方程即可；（II ）利用弦长公式和点到直线的距离公式计算|AB |，E 到l 的距离d ，得出S 关于m 的函数，求出S 取得最小值时的m ，代入x ﹣my ﹣1=0得出l 的方程． 【解答】解：（I ）抛物线y 2=4x 的焦点为F （1，0），∴E （﹣1，0）． 设直线l 的方程为x ﹣my ﹣1=0．联立方程组，消元得：y 2﹣4my ﹣4=0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x ，y ），则y 1+y 2=4m ，x 1+x 2=m （y 1+y 2）+2=4m 2+2．∴AB 的中点坐标为M （2m 2+1，2m ）．∵=+=2，∴M 为EP 的中点．∴，∴，即y 2=4x ﹣12．∴点P 的轨迹方程为y 2=4x ﹣12． （II ）由（I ）得y 1+y 2=4m ，y 1y 2=﹣4．∴|AB |===4（m 2+1）．E 到直线l ：x ﹣my ﹣1=0的距离d=，=•|AB|•d=4，∴S△ABE∵=+，∴四边形EAPB是平行四边形，=8．∴平行四边形EAPB的面积S=2S△ABE∴当m=0时，S取得最小值8．此时直线l的方程为x﹣1=0．【点评】本题考查了抛物线的性质，轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题．21．（12分）（2018•晋中模拟）已知两点A（﹣2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．（1）求点M的轨迹方程；（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q，R，求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（1）设点M（x，y），通过K AM•K BM=﹣，即可求出所在的曲线C的方程．（2）求出，设直线PQ的方程，与椭圆方程联立消去y，通过x=1是方程的一个解，求出方程的另一解，求出直线RQ的斜率，把直线RQ的方程，求解最代入椭圆方程，求出|PQ原点O到直线RQ的距离，表示出面积S△OQR值．【解答】解：（1）设点M（x，y），∵K AM•K BM=﹣，∴，整理得点所在的曲线C的方程：．（2）由题意可得点，直线PQ与直线PR的斜率互为相反数，设直线PQ的方程为，与椭圆方程联立消去y，得：（4k2+3）x2+（12k﹣8k2）x+（4k2﹣12k﹣3）=0，由于x=1是方程的一个解，所以方程的另一解为，同理，故直线RQ的斜率为，把直线RQ的方程代入椭圆方程，消去y整理得x2+bx+b2﹣3=0，所以|PQ|==原点O到直线RQ的距离为，S△OQR==≤=．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．22．（12分）（2018秋•唐山期末）已知A（2，0），O为坐标原点，动点P满足|+|+|﹣|=4（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点A且不垂直于坐标轴的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，求的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设P（x，y），由已知得+=＞4，由椭圆的定义可得所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l的斜率为k（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则l的方程为y=k（x﹣2），将其代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及中点坐标公式，两点的距离公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），由已知得+=＞4，根据椭圆定义知P点轨迹为以（2，0）和（﹣2，0）为焦点，长轴长为的椭圆，即有a=2，c=2，b=2，则动点P的轨迹C的方程为+=1；（Ⅱ）设直线l的斜率为k（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则l的方程为y=k（x﹣2），将其代入+=1，整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，由于A在椭圆内，当然对任意实数k都有△＞0，根据韦达定理得x1+x2=，x1x2=，那么|MN|==•=，y1+y2=k（x1﹣2）+k（x2﹣2）=k（x1+x2）﹣4k=，线段MN中点H的坐标为（，），那么线段MN的垂直平分线方程为y+=﹣（x﹣），令y=0，得D（，0），|DH|==，则=•=•，由k≠0，可得1+∈（1，+∞），于是∈（0，）．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及弦长公式，中点坐标公式以及直线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．。
河北省衡水市枣强中学2017-2018学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年河北省衡水市枣强中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=02．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”3．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则样本方差为（）A．2 B．2.3 C．3 D．3.54．为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图，那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是（）A．30 B．60 C．70 D．805．设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a=（）A．3 B．C．5 D．6．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.457．在2011年“西博会”会展中心的眉山展区，欲展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件，不同的绘画作品2件，标志性建筑设计作品1件，展出时将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该展台展出这5件作品不同的排法有（）A．12种B．36种C．24种D．48种8．某商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了4由表中数据算出线性回归方程=bx+a中的b=﹣2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）件．A．46 B．40 C．38 D．589．如图，该程序运行后输出的结果S为（）A．28 B．19 C．10 D．110．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则等于（）A．﹣+B．﹣++C．D．11．已知实数x，y满足约束条件：，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．212．设a1，a2，…，a n是1，2，…，n的一个排列，把排在a i的左边且比a i小的数的个数称为a i的顺序数（i=1，2，…，n）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为（）A．48 B．96 C．144 D．192二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．海州市育才中学高一（8）班共有学生56人，编号依次为1，2，3，…56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6，34，48号的同学已在样本中，那么还有一个同学的编号是．14．已知直线l在y轴上的截距为1，且垂直于直线y=x，则l的方程是．15．从的展开式中任选一项，则字母x的幂指数为整数的概率为．16．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．安排6名志愿者去做3项不同的工作，每项工作需要2人，由于工作需要，A，B二人必须做同一项工作，C，D二人不能做同﹣项工作，那么不同的安棑方案有多少种．18．一同学投篮每次命中的概率是，该同学连续投蓝5次，每次投篮相互独立．（1）求连续命中4次的概率；（2）求恰好命中4次的概率．19．已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3=0和4x﹣3y﹣5=0的交点，且与直线x+y﹣2=0垂直．（1）求直线l的方程；（2）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程．20．已知矩形ABCD，AD=2AB=2，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D’EC的位置，使二面角D'﹣EC﹣B是直二面角．（1）证明：BE⊥CD’；（2）求二面角D'﹣BC﹣E的余弦值．21．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某1610方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程=bx+a；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（2）中所得线性回归方程是否理想？参考公式：b==，a=．22．第13届夏季奥林匹克运动会2016年8月5日到2016年8月21日在巴西里约热内卢举行，为了解我校学生“收看奥运会足球赛”是否与性別有关，从全校学生中随机抽取30名进行了问卷调查，得到2×2列联表，从这30名同学中随机抽取1人，抽到“收看奥运会足球赛”的学生的概率是．（1）请将上面的2×2列联表补充完整，并据此资料分析“收看奥运会足球赛”与性別是否有关；（2）若从这30名同学中的男同学中随机抽取2人参加有奖竞猜活动，记抽到“收看奥运会足球赛”的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d2016-2017学年河北省衡水市枣强中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=0【考点】两条直线平行的判定；直线的一般式方程．【分析】因为所求直线与直线x﹣2y﹣2=0平行，所以设平行直线系方程为x﹣2y+c=0，代入此直线所过的点的坐标，得参数值【解答】解：设直线方程为x﹣2y+c=0，又经过（1，0），∴1﹣0+c=0故c=﹣1，∴所求方程为x﹣2y﹣1=0；故选A．2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”【考点】互斥事件与对立事件．【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可【解答】解：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，∴D正确故选D3．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则样本方差为（）A．2 B．2.3 C．3 D．3.5【考点】极差、方差与标准差．【分析】先由数据的平均数公式求得a，再根据方差的公式计算．【解答】解：∵由题可知样本的平均值为1，∴（a+0+1+2+3）=1，解得a=﹣1，∴样本的方差为 [（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=2．故选A．4．为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图，那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是（）A．30 B．60 C．70 D．80【考点】频率分布直方图．【分析】由图分析，易得底部周长小于110cm段的频率，根据频率与频数的关系可得频数．【解答】解：由图可知：则底部周长小于110cm段的频率为（0.01+0.02+0.04）×10=0.7，则频数为100×0.7=70人．故选C．5．设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a=（）A．3 B．C．5 D．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，4），∵P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），∴2a﹣3与a+2关于x=3对称，∴2a﹣3+a+2=6，∴3a=7，∴a=，故选：D．6．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p 的值．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则有题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．7．在2011年“西博会”会展中心的眉山展区，欲展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件，不同的绘画作品2件，标志性建筑设计作品1件，展出时将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该展台展出这5件作品不同的排法有（）A．12种B．36种C．24种D．48种【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】相邻问题用捆绑法，不相邻问题利用插空法，进而根据乘法原理，即可求得该展台展出这5件作品不同的排法．【解答】解：由于2件书法作品必须相邻，则捆绑在一起，与标志性建筑设计作品，进行全排，有种排法，而2件书法作品有种排法，将排好的作品，形成三个空，插入2件绘画作品，有种排法根据乘法原理可得该展台展出这5件作品不同的排法有故选C．8．某商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了4由表中数据算出线性回归方程=bx6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）件．A．46 B．40 C．38 D．58【考点】线性回归方程．【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，可得线性回归方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．【解答】解：由表格得（，）为：（10，38），又（，）在回归方程=bx+a中的b=﹣2，∴38=10×（﹣2）+a，解得：a=58，∴=﹣2x+58，当x=6时，=﹣2×6+58=46．故选：A．9．如图，该程序运行后输出的结果S为（）A．28 B．19 C．10 D．1【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出输出的S值是什么．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；A=0，S=1，1≤2，是；S=1+9=10，A=1，1≤2，是；S=10+9=19，A=2，2≤2，是；S=19+9=28，A=3，3≤2，否；输出S=28．故选：A．10．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则等于（）A．﹣+B．﹣++C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】由题意结合图形，直接利用，求出，然后即可解答．【解答】解：因为空间四边形OABC如图，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，所以=．所以=．故选B．11．已知实数x，y满足约束条件：，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z=2x+y可得y=﹣2x+z，则z表示直线y=﹣2x+z 在y轴上的截距，截距越小，z越小，结合图象可求z的最小值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分由z=2x+y可得y=﹣2x+z，则z表示直线y=﹣2x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小由题意可得，当y=﹣2x+z经过点A时，z最小由可得A（﹣2，2），此时Z=﹣2故选B．12．设a1，a2，…，a n是1，2，…，n的一个排列，把排在a i的左边且比a i小的数的个数称为a i的顺序数（i=1，2，…，n）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为（）A．48 B．96 C．144 D．192【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】8必在第3位，7必在第第5位；5可以在第6位，5也可以在第7位，分2种情况进行讨论．【解答】解：由题意知，8必在第3位，7必在第第5位；5可以在第6位，5也可以在第7位．若5在第6位，则5前面有3个空位，需从1、2、3、4中选出3个填上，把剩下的2个数填在5后面的2个空位上，则有：A43A22=48种，若5在第7位，则5前面有4个空位，6应填在其中的一个空位上，其它4个数填在剩余的4个位上，则有C41A44=96种，合计为48+96=144种，故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．海州市育才中学高一（8）班共有学生56人，编号依次为1，2，3，…56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6，34，48号的同学已在样本中，那么还有一个同学的编号是20．【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义，求出对应的组距即可得到结论．【解答】解：56人中抽取样本容量为4的样本，则样本组距为56÷4=14，则6+14=20，故另外一个同学的学号为20，故答案为：20．14．已知直线l在y轴上的截距为1，且垂直于直线y=x，则l的方程是y=﹣2x+1．【考点】直线的斜截式方程．【分析】要求的直线垂直于直线y=x，可得要求直线的斜率为﹣2，利用斜截式即可得出．【解答】解：∵要求的直线垂直于直线y=x，∴要求直线的斜率为﹣2，由斜截式可求得l的方程为：y=﹣2x+1．故答案为：y=﹣2x+1．15．从的展开式中任选一项，则字母x的幂指数为整数的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】根据﹣的特点求出满足条件的概率即可．【解答】解：若字母x的幂指数为整数，只需﹣的指数是偶数即可，而二项式的展开式是6项，其中﹣的指数是0，2，4时满足条件，故满足条件的概率是=，故答案为：．16．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，所求的概率即P（A|B）．先求出P（AB）和P（B）的值，再根据P（A|B）=，运算求得结果．【解答】解：设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即P（A|B）．又P（AB）=P（A）==，P（B）==，∴P（A|B）===，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．安排6名志愿者去做3项不同的工作，每项工作需要2人，由于工作需要，A，B二人必须做同一项工作，C，D二人不能做同﹣项工作，那么不同的安棑方案有多少种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】把6个人分成3组，每组两人，由条件知：与C结组的方法有两种，剩下那人只能与D结组，将3组分配给3项工作，即可得出结论．【解答】解：把6个人分成3组，每组两人，由条件知：与C结组的方法有两种，剩下那人只能与D结组，将3组分配给3项工作，有种情况．所以不同的安排方案有：2×6=12种．18．一同学投篮每次命中的概率是，该同学连续投蓝5次，每次投篮相互独立．（1）求连续命中4次的概率；（2）求恰好命中4次的概率．【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】（1）设“连续命中4次”的为事件A，则A包含“第1至第4次命中第5次没有命中”和“第1次没有命中，第2至第5次命中”，两种情况；（2）利用独立重复试验概率公式，即可求解．【解答】解：（1）设“连续命中4次”的为事件A，则A包含“第1至第4次命中第5次没有命中”和“第1次没有命中，第2至第5次命中”，两种情况，P（A）==；（2）5次独立重复试验，恰好命中4次的概率为．19．已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3=0和4x﹣3y﹣5=0的交点，且与直线x+y﹣2=0垂直．（1）求直线l的方程；（2）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程．【考点】圆的标准方程．【分析】（1）求出两直线交点，直线l的斜率，即可求直线l的方程；（2）利用待定系数法求圆C的标准方程．【解答】解：（1）由已知得：，解得两直线交点为（2，1），∵l与x+y﹣2=0垂直，∴k1=1．∵l过点（2，1），∴l的方程y﹣1=（x﹣2）即y=x﹣1．（2）设圆的标准方程为（x﹣a）2+y2=r2，则，解得a=3，r=2．∴圆的标准方程为（x﹣3）2+y2=4．20．已知矩形ABCD，AD=2AB=2，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D’EC的位置，使二面角D'﹣EC﹣B是直二面角．（1）证明：BE⊥CD’；（2）求二面角D'﹣BC﹣E的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）一般是通过证明线面垂直得到线线垂直，即证明其中一条直线与另一条直线所在的平面垂直．（2）利用向量法求二面角的平面角，建立空间直角坐标系利用向量的一个运算求出两个平面的法向量，进而求出二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵AD=2AB=2，E是AD的中点，∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∠BEC=90°，又∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC∴BE⊥面D'EC，∴BE⊥CD’．（2）如图，以EB，EC为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系．则设平面BEC的法向量为；平面D'BC的法向量为，代入整理可得：不妨取x2=l得，∴∴二面角D'﹣BC﹣E的余弦值为．21．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程=bx+a；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（2）中所得线性回归方程是否理想？参考公式：b==，a=．【考点】线性回归方程．【分析】（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，根据古典概型的概率公式得到结果．（2）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．（3）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想．【解答】解：（1）设柚到相邻两个月的教据为事件A．因为从6组教据中选取2组教据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的其中，抽到相邻两个月份的教据的情况有5种，所以．（2）由教据求得，由公式求得，再由．所以y关于x的线性回归方程为．（3）当x=10时，；同样，当x=6时，，所以该小组所得线性回归方程是理想的．22．第13届夏季奥林匹克运动会2016年8月5日到2016年8月21日在巴西里约热内卢举行，为了解我校学生“收看奥运会足球赛”是否与性別有关，从全校学生中随机抽取30名进行了问卷调查，得到2×2列联表，从这30名同学中随机抽取1人，抽到“收看奥运会足球赛”的学生的概率是．“收看奥运会足球赛”与性別是否有关；（2）若从这30名同学中的男同学中随机抽取2人参加有奖竞猜活动，记抽到“收看奥运会足球赛”的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）由已知数据可求得2×2列联表，计算观测值，把求得的观测值同临界值进行比较，得到没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关；（2）X的可能取值为0，1，2，结合变量对应的事件利用等可能事件的概率公式做出概率，写出分布列和期望．1由已知数据得：，所以，没有充足的理由认为“收看奥运会足球赛”与性別有关．（2）X的可能取值为0，1，2，则，XX的数学期望为：．2016年12月18日。
2018-2019学年河北省衡水中学高三(上)期中数学试卷(理科)(精编含解析)
则双曲线
C
������2
的方程为 4
‒
������2 12
=
1，
故选：D． 根据圆的性质，求出圆心坐标，即������ = 4求出 A 的坐标，代入圆的方程进行求解即可． 本题主要考查双曲线方程的求解，根据圆的性质先求出半径������ = 4是解决本题的关键．
9. 已知过点������(������,0)作曲线 C：������ = ������ ⋅ ������������的切线有且仅有两条，则实数 a 的取值范围是( )
故选：D．
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5. 已知命题 p：若������ > 2且������ > 2，则������ + ������ < ������������；命题 q：∃������ > 0，使(������ ‒ 1) ⋅ 2������ = 1，则下列命题中为真命题的是(
可得������
=
������2 ������ +
1，即方程������2
‒
������������
‒
������
=
0有两个解，
则有 △= ������2 + 4������ > 0可得������ > 0或������ <‒ 4．
即 a 的取值范围是( ‒ ∞, ‒ 4) ∪ (0, + ∞)．
故选：A． 设切点为(������,������������������)，求得������ = ������ ⋅ ������������的导数，可得切线的斜率，求出切线方程，代入 A 的坐标，整理为 m 的二次方程，
河北省衡水市武邑中学2018-2019学年高二(上)第一次月考数学试卷(理科)
2018-2019 学年河北省衡水市武邑中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5 分）计算：cos75°cos15°﹣sin75°sin15°的值为（ ）A ．0B ．1C ．12D ．22．（5 分）已知tan()44πα-=，则 sin2α=（ ）A ．79-B ．79C ．19-D ．193．（5 分）已知命题 p ：∃ x ∈R ，x 2+1＜2x ；命题 q ：若 mx 2﹣mx ﹣1＜0 恒成立，则﹣4＜m ≤0，那么（ ） A ．“￢p ”是假命题 B ．“q ”是假命题 C ．“p ∧q ”为真命题D ．“p ∨q ”为真命题4．（5 分）若a =220x dx ⎰, b =230x dx ⎰, c =20sin xdx ⎰，则 a ，b ，c 大小关系是 （ ） A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b5．（5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．2π+4D ．3π+46．（5 分）已知过定点 P （2，0）的直线 l 相交于 A ，B 两点，O为坐标原点，当△A O B 的面积最大时，直线 l 的倾斜角为（ ）A ．150°B ．135°C ．120°D ．30°7．（5 分）若( x 321x)n二项展开式中的系数只有第 6 项最小，则展开式的常数项的值为（ ） A ．﹣252B ．﹣210C ．210D ．108．（5 分）已知集合 A={x |x 2﹣2x ＜0}，B={x |y =l g （x ﹣1）}，则 A ∪B=（ ） A ．（0，+∞）B ．（1，2）C ．（2，+∞）D ．（﹣∞，0）9．（5 分）如图所示，正方形 O ′A ′B ′C ′的边长为 1，它是水平放置的一个平面图形 的直观图，则原图形的周长是（ ）A ．6B ．8C ．2+D ．2+10．（5 分）已知 a ，b ，c 分别是△AB C 的三个内角 A ，B ，C 所对的边，若 a=1，A +C=2B ，则 sinC=（ ）A ．1B ．12C．2 D．2 11．（5 分）函数 f （x ）=14x 4 + 13a - x3 - 12a 2 x 2+ (a 3 - a 2 ) x + 1，已知 f （x ）在 x=0时取得极值，则 a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．0 和 1D ．以上都不正确12．（5 分）角 A ，B 是△AB C 的两个内角．下列六个条件中，“A ＞B ”的充分必要 条件的个数是（ ） ①sinA ＞sinB ；②cosA ＜cosB ；③tanA ＞tanB ；④sin 2A ＞sin 2B ； ⑤cos 2A ＜cos 2B ； ⑥t an 2A ＞t an 2B ． A ．5B ．6C ．3D ．4二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．（5 分）由 y 2=4x 与直线 y=2x ﹣4 所围成图形的面积为．14．（5 分）已知 f （x ）=alnx +12x 2（a ＞0），若对任意两个不等的正实数 x 1、x 2都有1212()()2f x f x x x --恒成立，则 a 的取值范围是 ．15．（5 分）已知抛物线 y 2=8x 的准线过双曲线2222-1x y a b =(a > 0, b > 0)的左焦点，且被双曲线解得的线段长为 6，则双曲线的渐近线方程为 ．16．（5 分）已知某种商品的广告费支出 x （单位：万元）与销售额 y （单位：万 元）之间有如下对应数据：根据上表可得回归方程y bx a =+，其中b =7，据此估计，当投入 10 万元广告费 时，销售额为万元；三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本题共 6 小题，其 中 17 题 10 分，18-22 题每小题 10 分，共 70 分）17．（10 分）已知命题1:(0,),()102x p x m ∀∈+∞+-；命题2:(0,),410q x mx x ∃∈+∞+-=．若“p 且 q ”为真命题，求实数 m 的取值范围．18．（12 分）已知直线 l ：x ﹣my +3=0 和圆 C ：x 2+y 2﹣6x +5=0 （1）当直线 l 与圆 C 相切时，求实数 m 的值；（2）当直线 l 与圆 C 时，求实数 m 的值． 19．（12 分）已知 sin （α﹣β）=35，sin （α+β）=﹣35，且(,)2παβπ-∈，3(,2)2παβπ+∈，求cos2β 的值．20．（12 分）（1）化简求值：222cos 12tan()sin ()44x x x ππ--+（20000sin 20sin 40cos 20cos 40-+-21．（12 分）已知椭圆22221x y a b +=(a > b > 0)的离心率为12，它的一个焦点到 短轴顶点的距离为 2，动直线 l ：y=kx +m 交椭圆 E 于 A 、B 两点，设直线 OA 、OB 的斜率都存在，且34OA OB k k =-．（1）求椭圆 E 的方程；（2）求证：2m 2=4k 2+3； （3）求|AB |的最大值．22．（12 分）已知函数f ( x ) = ln( x - 1) - k ( x - 1) + 1 （1）求函数 f （x ）的单调区间；（2）若 f （x ）≤0 恒成立，试确定实数 k 的取值范围。
衡水中学2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(理科) 含解析
2016—2017学年河北省衡水中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设a,b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．若以双曲线﹣=1(b＞0）的左、右焦点和点(1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b等于（）A．B．1 C．D．23．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率是,则E的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x4．已知p：∀m∈R,x2﹣mx﹣1=0有解，q:∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．p∨q D．p∨（￢q）5．抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是( ）A．（1，1） B．（）C．D．(2，4)6．命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*,f（n)＞n C．∃n∈N*，f(n)＞n D．∀n∉N＊，f(n)＞n7．过抛物线y2=2px（p＞0)的焦点F,且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2）,则p等于（)A．B． C． D．8．已知椭圆(a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0）,左焦点为F,右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是（)A．B．C． D．9．焦点在x轴上的椭圆方程为+=1（a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为,则椭圆的离心率为（）A．B． C． D．10．以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB"的逆命题为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p:∀x∈R,则x2+x+1≥011．过抛物线y2=2px(p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，若|AF｜＞|BF|，且|AF｜=2，则抛物线的方程为（）A．y2=2x B．y2=3x C．y2=4x D．y2=x12．设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1(a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C． D．二、填空题若命题“∃x0∈R，x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是…14．已知直线l：x+3y﹣2b=0过双曲线的右焦点F,则双曲线的渐近线方程为．15．已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．16．给出下列结论:动点M（x，y)分别到两定点（﹣3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为，设M(x,y)的轨迹为曲线C,F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中：（1)曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；（2）若∠F1MF2=90°,则S=32；(3）当x＜0时，△F1MF2的内切圆圆心在直线x=﹣3上；（4)设A（6,1)，则|MA｜+｜MF2｜的最小值为;其中正确命题的序号是：．三、解答题(本大题共6小题，共70分。
2019学年河北衡水中学高二上二调考试理科数学试卷(解析版)
2019学年河北衡水中学高二上二调考试理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二三总分得分一、选择题1. 若，则下列不等关系正确的是A ．B ．C ．D ．2. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的的比值A ．______________B ．______________C ．______________D ．3. 已知实数满足，则的最小值为A ．_________________________________B ．______________________________ C ． D ．4. 下列函数中，最小值为的是A ．B ．C ．D ．5. 将参加夏令营的名学生编号为：．采用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本，且随机抽得的号码为．这名学生分住在三个营区，从到在第 I 营区，从到在第 II 营区，从496到600在第III 营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A ． 26,16,8________________________B ． 25,17,8____________________________C ． 25,16,9________________________D ． 24,17,96. 图1是某市2015年高考学生身高条形图统计图，从左到右的各小长方形表示学生人数，依次记为（如表示身高（单位：cm ）在内的人数），图2是统计图1中身高在一定范围内的学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm （含160cm,不含180cm ）的学生人数，那么流程图中的判断框内应填写的条件是：A ．________________________B ．____________________________C ．_________________________________D ．7. 设不等式组所表示的平面区域是，平面区域与关于直线对称，对于中的任意点与中的任意点，的最小值等于A ．________________________B ．________________________C ．____________________ D ．8. 执行如图所示的程序框图，输出的值为A ． 4________________________B ． 5________________________C ． 6________________________D ． 79. 用辗转相除法求与的最大公约数时，需做的除法次数为A ． 3________________________B ． 4________________________C ． 5________________________D ． 610. 如图是将二进位制数化为十进位制的一个程序框图，判断框内应填入的条件是A ．________________________B ．________________________C ．________________________D ．11. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是A ． 3015________________________B ． 3016________________________C ． 3017________________________D ． 301812. 若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是A ．________________________B ．C ．____________________________D ．二、填空题13. 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如下图所示，直方图中的值为___________________________________ ．14. 已知，，，则有，当且仅当时等号成立，用此结论，可求函数最小值为______________________________ ．15. 已知正实数满足，则的最小值为___________________________________ ．16. 若，且当时，恒有，则以为坐标的点所形成的平面区域的面积等于．17. 已知数列的首项是，前项和为，且，设，若存在常数，使不等式恒成立，则的最小值为____________________________ ．18. 已知为正实数，且，则的最小值为______________________________ ．三、解答题19. （本小题满分12分）某学校1800名学生在一次一百米测试中，全部介于13秒与18秒之间，抽取其中的50个样本，将测试结果按如下方式分成五组，第一组，第二组，第三组，…，第五组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（ 1 ）若成绩小于15秒认为良好，求该样本在这在这次百米测试中成绩良好的人数；（ 2 ）请估计学校1800 名学生中，成绩属于第四组的人数；（ 3 ）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数与平均数；（ 4 ）请根据频率分布直方图，求样本数据的中位数．（保留两小数）20. （本小题满分12分）已知数列的各项均为正数，观察流程图，当时，；当时，，（ 1 ）写出时，的表达式（用等来表示）；（ 2 ）求的通项公式；（ 3 ）令，求．21. （本小题满分12分）某工厂生产某种产品，每日的成本（单位：万元）与日产量（单位：吨）满足函数关系式，每日的销售（单位：万元）与日产量的函数关系式为，已知每日的利润，且当时，．（ 1 ）求的值；（ 2 ）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求此最大值．22. （本小题满分12分）已知数列和满足，若为等比数列，且，．（ 1 ）求与；（ 2 ）设（），记数列的前项和为，（ I ）求；（ II ）求正整数，使得对任意均有．23. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，（ 1 ）求证：数列是等比数列；（ 2 ）设数列的前项和为，，试比较与的大小．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。
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2018-2019学年河北省衡水中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个最温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。
新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b等于（）A．B．1 C．D．23．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率是，则E的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x4．已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．p∨q D．p∨（￢q）5．抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是（）A．（1，1）B．（）C．D．（2，4）6．命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*，f（n）＞n C．∃n∈N*，f（n）＞n D．∀n ∉N*，f（n）＞n7．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B 两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（）A．B．C．D．8．已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．9．焦点在x轴上的椭圆方程为+=1（a＞b＞0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥011．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|=2，则抛物线的方程为（）A．y2=2x B．y2=3x C．y2=4x D．y2=x12．设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题若命题“∃x0∈R，x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是…14．已知直线l：x+3y﹣2b=0过双曲线的右焦点F，则双曲线的渐近线方程为．15．已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．16．给出下列结论：动点M（x，y）分别到两定点（﹣3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中：（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；（2）若∠F1MF2=90°，则S=32；（3）当x＜0时，△F1MF2的内切圆圆心在直线x=﹣3上；（4）设A（6，1），则|MA|+|MF2|的最小值为；其中正确命题的序号是：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在某次考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示．（1）求甲班的平均分；（2）从甲班和乙班成绩90～100的学生中抽取两人，求至少含有甲班一名同学的概率．18．（12分）在公务员招聘中，既有笔试又有面试，某单位在2015年公务员考试中随机抽取100名考生的笔试成绩，按成绩分为5组[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求a值及这100名考生的平均成绩；（2）若该单位决定在成绩较高的第三、四、五组中按分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试，现从这6名考生中抽取3名考生接受单位领导面试，设第四组中恰有1名考生接受领导面试的概率．19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线x﹣my﹣6=0与抛物线C交于A、B两点，若∠AFB=90°，求实数m 的值．20．（12分）F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A，B两点，C的准线与x轴的交点为E，动点P满足=+．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）当四边形EAPB的面积最小时，求直线l的方程．21．（12分）已知两点A（﹣2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．（1）求点M的轨迹方程；（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q，R，求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．22．（12分）已知A（2，0），O为坐标原点，动点P满足|+|+|﹣|=4（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点A且不垂直于坐标轴的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，求的取值范围．2018-2019学年河北省衡水中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解．【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了不等式，充分必要条件的定义，属于容易题．2．若以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b等于（）A．B．1 C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，可得（1﹣c，）•（1+c，）=0，求出c，即可求出b．【解答】解：由题意，以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，∴（1﹣c，）•（1+c，）=0，∴1﹣c2+2=0，∴c=，∵a=，∴b=1．故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，正确求出c是关键．3．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率是，则E的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的离心率，求出=即可得到结论．【解答】解：∵双曲线的离心率是，∴e==，即==1+（）2=，即（）2=﹣1=，则=，即双曲线的渐近线方程为y═±x=±x，故选：C．【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，根据双曲线离心率的关系进行求解是解决本题的关键．4．已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．p∨q D．p∨（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】对于m命题p：方程x2﹣mx﹣1=0，则△=m2+4＞0，即可判断出命题p 的真假．对于命题q：由x2﹣x﹣1≤0，解得≤x≤，即可判断出命题q的真假．【解答】解：对于m命题p：方程x2﹣mx﹣1=0，则△=m2+4＞0，因此：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，可得：命题p是真命题．对于命题q：由x2﹣x﹣1≤0，解得≤x≤，因此存在x=0，1∈N，使得x2﹣x﹣1≤0成立，因此是真命题．∴下列选项中是假命题的为p∧（￢q），故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是（）A．（1，1）B．（）C．D．（2，4）【考点】抛物线的简单性质．【分析】设抛物线y=x2上一点为A（x0，），点A（x0，）到直线2x﹣y ﹣4=0的距离d==，由此能求出抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标．【解答】解：设抛物线y=x2上一点为A（x0，），点A（x0，）到直线2x﹣y﹣4=0的距离d==，∴当x0=1时，即当A（1，1）时，抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短．故选A．【点评】本题考查抛物线上的点到直线的距离最短的点的坐标的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6．命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*，f（n）＞n C．∃n∈N*，f（n）＞n D．∀n ∉N*，f（n）＞n【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式：∃n∈N*，f（n）＞n．故选：C．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．7．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B 两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】可以求出抛物线的焦点坐标，从而可以写出弦AB所在直线方程为，可设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程和抛物线方程联立消去x可得到关于y的一元二次方程，由韦达定理即可求出弦AB的中点坐标为，而弦AB的垂直平分线方程可写出为y﹣2=﹣x，弦中点坐标带入该方程便可求出p的值．【解答】解：，过焦点F且倾斜角为的直线方程为：，设A （x1，y1），B（x2，y2）；由得，y2﹣2py﹣p2=0；∴y1+y2=2p，x1+x2=3p；∴弦AB的中点坐标为；弦AB的垂直平分线方程为y﹣2=﹣x，弦AB的中点在该直线上；∴；解得．故选：C．【点评】考查抛物线的标准方程，抛物线的焦点，以及根据直线的倾斜角求斜率，直线的点斜式方程，韦达定理．8．已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆方程求出F和A的坐标，由对称性设出B、C的坐标，根据菱形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出B的纵坐标，将点B的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率e的方程，即可得到该椭圆的离心率．【解答】解：由题意得，椭圆（a＞b＞0，c为半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，则A（a，0），F（﹣c，0），∵抛物线y2=（a+c）x于椭圆交于B，C两点，∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，﹣n）∵四边形ABFC是菱形，∴BC⊥AF，2m=a﹣c，则m=（a﹣c），将B（m，n）代入抛物线方程得，n2=（a+c）m=（a+c）（a﹣c）=（a2﹣c2），∴n2=b2，则不妨设B（（a﹣c），b），再代入椭圆方程得，+=1，化简得=，由e=，即有4e2﹣8e+3=0，解得e=或（舍去）．故选D．【点评】本题考查椭圆、抛物线的标准方程，以及它们的简单几何性质，菱形的性质，主要考查了椭圆的离心率e，属于中档题．9．焦点在x轴上的椭圆方程为+=1（a＞b＞0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的性质AB=2c，AC=AB=a，OC=b，根据三角形面积相等求得a 和c的关系，由e=，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由椭圆的性质可知：AB=2c，AC=AB=a，OC=b，S ABC=AB•OC=•2c•b=bc，S ABC=（a+a+2c）•r=•（2a+2c）×=，∴=bc，a=2c，由e==，故答案选：C．【点评】本题主要考察椭圆的基本性质，考察三角形的面积公式，离心率公式，属于基础题．10．以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0【考点】命题的真假判断与应用；四种命题．【分析】A．根据逆否命题的定义进行判断B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断C．根据四种命题真假之间的关系进行判断D．根据含有量词的命题的否定进行判断【解答】解：A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确，B．由x2﹣3x+2=0得x=1或x=2，即“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，正确C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为“在△ABC中，若sinA ＞sinB，则A＞B，若sinA＞sinB，由正弦定理得a＞b，即等价为A＞B，即逆否命题为真命题，故C 判断错误．D．命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0，正确，故选：C【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的真假关系，充分条件和必要条件的判断以及含有量词的命题的否定，综合性较强．11．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|=2，则抛物线的方程为（）A．y2=2x B．y2=3x C．y2=4x D．y2=x【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义和双曲线的定义，不妨设直线AB为y=（x﹣），设A（x0，y0）得到|AF|=x0+，表示出x0，y0，代入到抛物线的解析式，求出p 的值，需要验证【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的坐标为（，0），准线方程为x=﹣，双曲线x2﹣=1的渐近线方程为y=x，由于过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，不妨设直线AB为y=（x﹣），设A（x0，y0），∴|AF|=x0+，∵|AF|＞|BF|，且|AF|=2，∴x0=2﹣，x0＞，∴0＜p＜2∴y0=（2﹣p），∴3（2﹣p）2=2p（2﹣），整理得p2﹣4p+3=0，解的p=1或p=3（舍去），故抛物线的方程为y2=2x，故选：A．【点评】本题考查了直线和抛物线的关系，以及抛物线和双曲线的定义和性质，属于中档题．12．设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出M，N的坐标，再利用余弦定理，求出a，c之间的关系，即可得出双曲线的离心率．【解答】解：不妨设圆与y=x相交且点M的坐标为（x0，y0）（x0＞0），则N 点的坐标为（﹣x0，﹣y0），联立y0=x0，得M（a，b），N（﹣a，﹣b），又A（﹣a，0）且∠MAN=120°，所以由余弦定理得4c2=（a+a）2+b2+b2﹣2•bcos 120°，化简得7a2=3c2，求得e=．故选A．【点评】本题主要考查双曲线的离心率．解决本题的关键在于求出a，c的关系．二、填空题（2014•湖南模拟）若命题“∃x0∈R，x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是…【考点】特称命题；复合命题的真假．【分析】由于命题P：“”为假命题，可得￢P：“∀x∈R，x2+mx+2m﹣3≥0”为真命题，因此△≤0，解出即可．【解答】解：∵命题P：“”为假命题，∴￢P：“∀x∈R，x2+mx+2m﹣3≥0”为真命题，∴△≤0，即m2﹣4（2m﹣3）≤0，解得2≤m≤6．∴实数m的取值范围是[2，6]．故答案为：[2，6]．【点评】本题考查了非命题、一元二次不等式恒成立与判别式的关系，属于基础题．14．已知直线l：x+3y﹣2b=0过双曲线的右焦点F，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可设F（c，0），代入直线x+3y﹣2b=0，可得c=2b，再由a，b，c的关系，可得a，b的关系，即可得到所求渐近线方程．【解答】解：由题意可设F（c，0），代入直线l：x+3y﹣2b=0，可得：c﹣2b=0，即c=2b，即有a===b，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故答案为：y=±x．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用直线经过双曲线的焦点，考查运算能力，属于基础题．15．已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．【考点】抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；抛物线的定义．【分析】设BF=m，由抛物线的定义知AA1和BB1，进而可推断出AC和AB，及直线AB的斜率，则直线AB的方程可得，与抛物线方程联立消去y，进而跟韦达定理求得x1+x2的值，则根据抛物线的定义求得弦AB的中点到准线的距离．【解答】解：设BF=m，由抛物线的定义知AA1=3m，BB1=m∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，直线AB方程为与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0所以AB中点到准线距离为故答案为【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题．常需要利用抛物线的定义来解决．16．给出下列结论：动点M（x，y）分别到两定点（﹣3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中：（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；（2）若∠F1MF2=90°，则S=32；（3）当x＜0时，△F1MF2的内切圆圆心在直线x=﹣3上；（4）设A（6，1），则|MA|+|MF2|的最小值为；其中正确命题的序号是：（1）（3）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由题意可得：，化为（x≠±3）．（1）由曲线C的标准方程可得=5，即可得出曲线C的焦点坐标；（2）设|F1M|=m，|F1M|=n，m＞n，由于∠F1MF2=90°，可得，mn=16；（3）设A为内切圆与x轴的切点，由于|F2M|﹣|F1M|=|F2A|﹣|F1A|=2a=6，|F2A|+|F1A|=2c=10，可得|F2A|=8，|F1A|=2，解得x A，即可判断出；（4）不妨设点M在双曲线的右支上，根据定义可得|MF1|﹣|MF2|=2a=6，可得|MA|+|MF2|=|MA|+|MF1|﹣6，当A、M、F1三点共线时，|MA|+|MF2|的最小值为|AF1|﹣6．【解答】解：由题意可得：，化为（x≠±3）．（1）由曲线C的标准方程可得=5，∴曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0），正确；（2）设|F1M|=m，|F1M|=n，m＞n，∵∠F1MF2=90°，∴，∴S=mn=16；（3）设A为内切圆与x轴的切点，∵|F2M|﹣|F1M|=|F2A|﹣|F1A|=2a=6，|F2A|+|F1A|=2c=10，∴|F2A|=8，|F1A|=2，∴5﹣x A=8，解得x A=﹣3．设圆心P，则PO⊥x轴，从而可得圆心在直线x=﹣3上，因此正确；（4）不妨设点M在双曲线的右支上，∵|MF1|﹣|MF2|=2a=6，∴|MA|+|MF2|=|MA|+|MF1|﹣6，当A、M、F1三点共线时，|MA|+|MF2|的最小值为|AF1|﹣6=﹣6．因此不正确．综上可得：正确命题的序号是（1）（3）．故答案为：（1）（3）．【点评】本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、三角形的内切圆的性质、斜率计算公式，考查了转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2016秋•桃城区校级期中）在某次考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示．（1）求甲班的平均分；（2）从甲班和乙班成绩90～100的学生中抽取两人，求至少含有甲班一名同学的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数．【分析】（1）由茎叶图能求出甲班的平均分．（2）甲班90﹣100的学生有2个，设为A，B；乙班90﹣100的学生有4个，设为a，b，c，d，从甲班和乙班90﹣100的学生中抽取两人，利用列举法能求出至少含有甲班一名同学的概率．【解答】解：（1）甲班的平均分为：；（2）甲班90﹣100的学生有2个，设为A，B；乙班90﹣100的学生有4个，设为a，b，c，d，从甲班和乙班90﹣100的学生中抽取两人，共包含：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）15个基本事件，设事件M=“至少含有甲班一名同学”，则事件M包含：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），9个事件，所以事件M的概率为．【点评】本题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．18．（12分）（2016•内江模拟）在公务员招聘中，既有笔试又有面试，某单位在2015年公务员考试中随机抽取100名考生的笔试成绩，按成绩分为5组[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求a值及这100名考生的平均成绩；（2）若该单位决定在成绩较高的第三、四、五组中按分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试，现从这6名考生中抽取3名考生接受单位领导面试，设第四组中恰有1名考生接受领导面试的概率．【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）根据频率之和为1，即可求出a的值，再根据平均数的定义即可求出．（2）根据分层抽样，即可求出各组的人数，分别记第3组中3人为a1，a2，a3，第4组中2人为b1，b2，第5组中1人为c，一一列举所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．【解答】解：（1）由（0.005+0.035+a+0.02+0.01）×10=1，得a=0.03．平均成绩约为（55×0.005+65×0.035+75×0.03+85×0.02+95×0.01）×10=74.5．（2）第3，4，5组考生分别有30、20、10人，按分层抽样，各组抽取人数为3，2，1记第3组中3人为a1，a2，a3，第4组中2人为b1，b2，第5组中1人为c，则抽取3人的所有情形为：（a1，a2，a3），（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，c），（a1，a3，b1），（a1，a3，b2），（a1，a3，c），（a1，a3，b1），（a2，a3，b2），（a2，a3，c），（a1，b1，b2），（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，b1，b2），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，b2），（a3，b1，c），（a3，b2，c），（b1，b2，c）共20种第4组中恰有1人的情形有12种∴．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，古典概型概率的求法，是基础题．19．（12分）（2015秋•石家庄期末）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线x﹣my﹣6=0与抛物线C交于A、B两点，若∠AFB=90°，求实数m 的值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）抛物线上横坐标为的点的坐标为（，±），利用抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，求出p，即可求抛物线的方程；（2）由题意，直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y2﹣4my﹣24=0，利用∠AFB=90°，可得FA⊥FB，即•=0，可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0，即可求实数m的值．【解答】解：（1）抛物线上横坐标为的点的坐标为（，±），到抛物线顶点的距离的平方为+p，∵抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，∴+p=（+）2，∴p=2抛物线的方程为：y2=4x．…（2）由题意，直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y2﹣4my﹣24=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣24，∵∠AFB=90°，∴FA⊥FB，即•=0可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0∴（1+m2）y1y2+5m（y1+y2）+25=0∴﹣24（1+m2）+20m2+25=0，解得：m=±．【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）（2016•山西模拟）F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l 与C交于A，B两点，C的准线与x轴的交点为E，动点P满足=+．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）当四边形EAPB的面积最小时，求直线l的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）求出F，E的坐标，设l方程为x﹣my﹣1=0，联立方程组消元，根据根与系数的关系求出AB中点坐标，由向量加法的几何意义可知AB的中点也是EP的中点，利用中点坐标公式得出P的轨迹关于m的参数方程，转化为普通方程即可；（II）利用弦长公式和点到直线的距离公式计算|AB|，E到l的距离d，得出S关于m的函数，求出S取得最小值时的m，代入x﹣my﹣1=0得出l的方程．【解答】解：（I）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），∴E（﹣1，0）．设直线l的方程为x﹣my﹣1=0．联立方程组，消元得：y2﹣4my﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），则y1+y2=4m，x1+x2=m（y1+y2）+2=4m2+2．∴AB的中点坐标为M（2m2+1，2m）．∵=+=2，∴M为EP的中点．∴，∴，即y2=4x﹣12．∴点P的轨迹方程为y2=4x﹣12．（II）由（I）得y1+y2=4m，y1y2=﹣4．∴|AB|===4（m2+1）．E到直线l：x﹣my﹣1=0的距离d=，=•|AB|•d=4，∴S△ABE∵=+，∴四边形EAPB是平行四边形，=8．∴平行四边形EAPB的面积S=2S△ABE∴当m=0时，S取得最小值8．此时直线l的方程为x﹣1=0．【点评】本题考查了抛物线的性质，轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题．21．（12分）（2016•晋中模拟）已知两点A（﹣2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．（1）求点M的轨迹方程；（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q，R，求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（1）设点M（x，y），通过K AM•K BM=﹣，即可求出所在的曲线C的方程．（2）求出，设直线PQ的方程，与椭圆方程联立消去y，通过x=1是方程的一个解，求出方程的另一解，求出直线RQ的斜率，把直线RQ的方程，求解最代入椭圆方程，求出|PQ原点O到直线RQ的距离，表示出面积S△OQR值．【解答】解：（1）设点M（x，y），∵K AM•K BM=﹣，∴，整理得点所在的曲线C的方程：．（2）由题意可得点，直线PQ与直线PR的斜率互为相反数，设直线PQ的方程为，与椭圆方程联立消去y，得：（4k2+3）x2+（12k﹣8k2）x+（4k2﹣12k﹣3）=0，由于x=1是方程的一个解，所以方程的另一解为，同理，故直线RQ的斜率为，把直线RQ的方程代入椭圆方程，消去y整理得x2+bx+b2﹣3=0，所以|PQ|==原点O到直线RQ的距离为，S△OQR==≤=．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．22．（12分）（2015秋•唐山期末）已知A（2，0），O为坐标原点，动点P满足|+|+|﹣|=4（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点A且不垂直于坐标轴的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，求的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设P（x，y），由已知得+=＞4，由椭圆的定义可得所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l的斜率为k（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则l的方程为y=k（x﹣2），将其代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及中点坐标公式，两点的距离公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），由已知得+=＞4，根据椭圆定义知P点轨迹为以（2，0）和（﹣2，0）为焦点，长轴长为的椭圆，即有a=2，c=2，b=2，则动点P的轨迹C的方程为+=1；（Ⅱ）设直线l的斜率为k（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则l的方程为y=k（x﹣2），将其代入+=1，整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，由于A在椭圆内，当然对任意实数k都有△＞0，根据韦达定理得x1+x2=，x1x2=，那么|MN|==•=，y1+y2=k（x1﹣2）+k（x2﹣2）=k（x1+x2）﹣4k=，线段MN中点H的坐标为（，），那么线段MN的垂直平分线方程为y+=﹣（x﹣），令y=0，得D（，0），|DH|==，则=•=•，由k≠0，可得1+∈（1，+∞），于是∈（0，）．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及弦长公式，中点坐标公式以及直线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．。