同角三角函数关系教案
同角三角函数的基本关系教学设计
同角三角函数的基本关系教学设计一、引言同角三角函数是初中数学中的重要内容，也是高中数学和大学数学的基础。
本文将介绍同角三角函数的基本关系教学设计。
二、教学目标1. 理解同角三角函数的定义及其意义；2. 掌握正弦、余弦、正切、余切四种同角三角函数的基本关系；3. 能够运用同角三角函数解决实际问题。
三、教学过程1. 同角三角函数的定义及其意义1.1 定义：对于任意一个锐角∠A，其正弦值sinA等于∠A所在直角三角形中对边与斜边之比，余弦值cosA等于邻边与斜边之比，正切值tanA等于对边与邻边之比，余切值cotA等于邻边与对边之比。
1.2 意义：同一锐角所对应的四个函数值互相依赖，其中一个确定时其他三个也随之确定。
因此，在求解某些几何问题时可以通过已知一个函数值来求出其他函数值。
2. 正弦、余弦、正切、余切四种同角三角函数的基本关系2.1 正弦和余弦：sin²A + cos²A = 1证明：根据勾股定理可得sin²A + cos²A = 1 - sin²A，即sin²A + sin²A = 1，故sin²A + cos²A = 1。
2.2 正切和余切：tan A × cot A = 1证明：tan A × cot A = (sin A / cos A) × (cos A / sin A) = 1。
2.3 正弦和余切：sin A × cot A = cos A证明：sin A × cot A = sin A × (cos A / sin A) = cos A。
2.4 余弦和正切：cos A × tan A = sin A证明：cos A × tan A = cos A × (sin A / cos A) = sin A。
3. 运用同角三角函数解决实际问题3.1 求解直角三角形的边长对于一个已知锐角∠A及其对边a或邻边b，可以通过正弦、余弦、正切、余切四种函数求出其他两个未知量。
同角三角函数基本关系式教案
第一章 三角函数任意角的三角函数同角三角函数的基本关系教学目标1.掌握三种基本关系式之间的联系;2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法;3.牢固掌握同角三角函数的关系式,并能灵活运用于解题,提高分析、解决三角函数的思维能力;4.灵活运用同角三角函数关系式的不同变形,提高三角恒等变形的能力. 教学重难点 重点：同角三角函数基本关系式：22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==的运用； 难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式运用. 教学设计一、自主学习问题1:任意角的三角函数是怎样定义的?问题2:sinα,cosα,tanα之间有什么关系?这个关系对于任意角都成立吗?问题3:设P(x,y)是角α的终边与单位圆的交点,x 和y 之间有什么关系?sinα和cosα之间有什么关系?这个关系对于任意角都成立吗?二、自主探究同角三角函数的基本关系式:1.平方关系:2.商的关系:同角三角函数的基本关系式的变形:三、合作探究、典例精析【例1】已知sinα=13,并且α是第二象限角,求cosα,tanα.【例2】已知sinα=-35,求cosα,tanα的值【例3】已知cosα=-817,求sinα,tanα的值.【例4】已知tanα=2,求下列各式的值:(1)sinα+cosαsinα-cosα;(2)sinαcosαsin 2α-cos 2α;(3)sinαcosα.【例5】求证:cosx 1-sinx =1+sinx cosx. 四、课堂练习、巩固基础1.(1)已知sinα=1213,并且α是第二象限角,求cosα,tanα.(2)已知cosα=-45,求sinα,tanα.2.已知tanα=5,求下列各式的值.(1)5sinα-3cosα7sinα+9cosα;(2)cos 2α4sin 2α+2sinαcosα-3; (3)2sin 2α-3cosαsinα+5cos 2α.五、课堂小结1.通过观察、归纳,发现同角三角函数的基本关系.2.同角三角函数关系的基本关系的应用.3.应用同角三角函数的基本关系式的基本关系的变形解决计算和证明问题.六、达标检测+cos 22022等于( )D.不能确定 2.已知sinα=-34,α是第四象限角,则tanα的值为( )A.3√77B.√74 3√77 √743.已知tanα=4,求(1)sinα-2cosα2sinα+5cosα;(2)1sin 2α+2sinαcosα.4.已知tanα=√3,π<α<3π2,求cosα-sinα的值.5.已知tanα=-34,求sinα,cosα的值.。
同角三角函数的基本关系教学设计
同角三角函数的基本关系教学设计一、教学目标1.理解同角三角函数的概念和性质。
2.掌握同角三角函数的基本关系。
3.能够运用同角三角函数的基本关系解决实际问题。
二、教学重点1.同角三角函数的定义和基本关系。
2.弧度和角度的换算。
三、教学难点1.弧度制和角度制的换算。
2.同角三角函数的基本关系的运用。
四、教学过程1.导入新知识（10分钟）通过提问和讨论，复习学生已掌握的角度制与弧度制的换算方法，以及三角函数的定义和性质。
2.概念解释和理解（10分钟）教师简要解释同角三角函数的概念，并引导学生理解同角三角函数的定义。
让学生思考同角三角函数的定义与普通三角函数的区别。
3.同角三角函数的基本关系的介绍（20分钟）引导学生自主探究同角三角函数的基本关系，包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数之间的关系。
鼓励学生在小组合作中发现规律，并在黑板上总结出同角三角函数之间的基本关系。
4.同角三角函数的基本关系的证明（30分钟）通过几何证明和代数证明的方法，引导学生证明同角三角函数之间的基本关系。
通过几何证明，让学生感受同角三角函数之间的几何含义，加深对基本关系的理解。
通过代数证明，让学生运用三角恒等式和函数关系式，推导出同角三角函数的基本关系。
5.基本关系的运用与实际问题解决（30分钟）提供一些简单的实际问题，让学生运用同角三角函数的基本关系进行计算和解决问题。
通过实际问题的解决，巩固同角三角函数的基本关系的运用能力。
6.总结与归纳（10分钟）对本节课的学习进行总结与归纳，帮助学生理清同角三角函数的基本关系。
五、教学方法和手段1.导入：通过提问与讨论，引导学生复习以前学习的知识，激发学生学习的兴趣。
2.自主探究：通过小组合作的形式，让学生自主发现和总结同角三角函数的基本关系。
3.示范演示：通过具体的实例和计算过程，演示同角三角函数的基本关系的运用方法。
4.互动讨论：鼓励学生提问和回答问题，促进学生思维的活跃和交流合作。
《同角三角函数的基本关系》教案与导学案
《同角三角函数的基本关系》教案与导学案同角三角函数的基本关系是指在一个锐角三角形中，其三个内角的三角函数之间的关系。
教案教学目标：1.了解同角三角函数的概念和基本关系。
2.熟练运用同角三角函数的基本关系，解决相关问题。
教学重点：同角三角函数的基本关系。
教学难点：熟练运用同角三角函数的基本关系，解决相关问题。
教学方法：讲授、演示、练习。
教学过程：Step 1 引入新知引导学生回顾正弦定理、余弦定理的内容，由此引入同角三角函数的概念，解释同角三角函数的意义。
Step 2 基本关系的演示通过投影仪或黑板等教具，演示同角三角函数的基本关系。
1) 演示正弦定理的推导，得到sinA=opposite/hypotenuse。
2) 演示余弦定理的推导，得到cosA=adjacent/hypotenuse。
3) 演示正切比例的推导，得到tanA=opposite/adjacent。
Step 3 列示基本关系向学生展示同角三角函数的基本关系，并要求学生背诵这些关系。
Step 4 发现规律通过解决一些具体问题，引导学生发现同角三角函数之间的一些规律和特点。
Step 5 综合运用结合实际问题，进行综合运用，让学生熟练应用同角三角函数的基本关系解决相关问题。
Step 6 归纳总结复习同角三角函数的基本关系，并帮助学生归纳总结相关知识点。
Step 7 学以致用通过一些挑战性问题，提高学生运用同角三角函数的基本关系解决问题的能力。
导学案学习目标：1.了解同角三角函数的概念和基本关系。
2.熟练运用同角三角函数的基本关系，解决相关问题。
学习重点：同角三角函数的基本关系。
学习难点：熟练运用同角三角函数的基本关系，解决相关问题。
学习方法：自主学习、思维导图。
学习过程：Step 1 学习概念自主学习同角三角函数的概念，并在思维导图中整理相关知识点。
Step 2 学习基本关系自主学习同角三角函数的基本关系，并在思维导图中整理相关公式和关系。
1_2_2 同角三角函数的基本关系 教案
1.2.2同角三角函数的基本关系三维目标：一. 知识与技能：理解并掌握同角三角函数的基本关系式平方关系：1cos sin 22=+αα；商数关系：αααcos sin tan =，准确使用同角三角函数的基本关系式实行三角函数的求值；二. 过程与方法：通过提出问题，从而对特殊角的三角函数值的计算观察，找出规律，并利用几何画板软件用大量的实验数据说明这个规律的普遍存有性，进而尝试用三角函数的定义给出证明，最终得到同角三角函数的两个基本关系式；这表达了由特殊到一般的认知规律，由感性理解升华到理性思考的数学过程；完全符合提出问题、分析问题、解决问题的科学方法的要求；三. 情感、态度与价值观：通过本节内容的学习探究，让学生体会到发现数学、感知数学、研究数学、利用数学并处理数学问题的愉悦；培养学生科学地研究问题的习惯，融会贯通前后数学知识的水平，进一步挖掘知识、感受数学的内在美.教学重点：同角三角函数的基本关系式的发现、推导及其应用。
教学难点：已知一个三角函数值（但不知角的范围）求出其它三角函数值（结果不惟一时的分类讨论）。
教学过程：一、知识回顾：1．任意角的三角函数的定义： 比值ry 叫做α的正弦, 记作：r y =αsin ；比值r x叫做α的余弦, 记作：r x=αcos ； 比值x y叫做α的正切, 记作：x y=αtan 。
2．已知角的象限确定三角函数值的符号及三角函数的定义域.二、问题情境：当角α确定后，α的正弦、余弦、正切值也随之确定了，他们之间究竟有何关系呢？三、学生活动：1.求值：（1）22sin 30cos 30+= （2）22sin 45cos 45+=（3）22sin 60cos 60+= （4）22sin 90cos 90+=你能猜想出αsin 与αcos 之间的关系吗？2.求值：（1） sin 6cos 6ππ= ,tan 6π= （2）sin 4cos 4ππ= ，tan 4π=（3） sin 3cos 3ππ= ，tan 3π= （4）3sin43cos 4ππ= ，3tan 4π=你能猜想出sin α，cos α与αtan 之间的关系吗？四、数学建构：1.猜想：1cos sin 22=+αα，α=ααtan cos sin 。
同角三角函数的基本关系教案
同角三角函数的基本关系教案教案：同角三角函数的基本关系教学目标：1.理解同角三角函数的概念和性质。
2.掌握同角三角函数之间的基本关系式。
3.能够灵活运用同角三角函数的基本关系进行计算和证明。
教学重点：教学难点：教学准备：教材、白板、彩色笔。
教学过程：Step 1：引入概念（10分钟）1.引导学生回顾正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和性质。
2.提问：是否存在一个三角函数，它的值恰好是一个角的正弦值的倒数？反余弦的倒数？正切的相反数？引出同角三角函数的概念。
Step 2：同角三角函数的定义和性质（20分钟）1.讲解同角三角函数的定义：正割函数、余割函数、余切函数。
2.指导学生进行练习，求特定角的正割值、余割值和余切值。
3.总结同角三角函数的定义和性质，并进行板书记录。
Step 3：同角三角函数的基本关系（30分钟）1.引导学生根据同角三角函数的定义，设获得正弦函数、余弦函数和正切函数的倒数的关系式，并进行推导。
2.引导学生利用同角三角函数的定义，进一步推导同角三角函数之间的基本关系式，并进行证明。
3.提醒学生注意数学符号的运用，确保表述的准确性。
4.分步解释和板书同角三角函数的基本关系。
Step 4：经典例题演练（30分钟）1.带领学生进行同角三角函数的基本关系的例题演练，注重每一步计算过程的意义和结果的解释。
2.引导学生归纳总结同角三角函数的基本关系式，并进行笔记整理。
Step 5：综合案例分析（20分钟）1.给出一个综合案例，要求学生结合所学的同角三角函数的基本关系进行证明和计算。
2.引导学生合理安排解题思路，按照步骤进行推导和计算。
3.引导学生进行思考和讨论，根据解题过程中出现的问题和困难进行解释和总结。
4.学生互相讨论和交流解题思路和方法。
Step 6：课堂小结（10分钟）1.整理同角三角函数的基本关系的要点。
2.概述同角三角函数的应用领域和意义。
拓展延伸：1.探究其他同角三角函数之间的关系，如正割函数和余割函数的关系等。
数学《同角三角函数的基本关系》教案
数学《同角三角函数的基本关系》教案教案：同角三角函数的基本关系一、教学目标：1.理解同角三角函数的概念及意义。
2.掌握正弦、余弦和正切函数之间的基本关系。
3.能够在给定角度范围内计算同角三角函数的值。
二、教学重点与难点：1.理解同角三角函数的概念及意义。
2.掌握正弦、余弦和正切函数之间的基本关系。
三、教学准备：1.教材、课件、黑板、粉笔。
2.学生课前复习笔记。
四、教学过程：1.引入（10分钟）教师可通过提问的方式引导学生复习和回忆上节课所学的三角函数概念及性质，例如：“什么是三角函数？它们有什么特点？”2.概念讲解（10分钟）教师介绍同角三角函数的概念和意义，同角三角函数是以角度的大小和方向为自变量，以比值为因变量的一类函数。
其中，正弦函数、余弦函数和正切函数是最常用和基础的三角函数。
通过图示的方式向学生展示正弦函数、余弦函数和正切函数的形象及它们之间的关系。
3.基本关系的推导（15分钟）3.1正弦函数与余弦函数的基本关系：教师指导学生通过绘制各象限内角度相同的锐角三角形，并利用其定义推导出正弦函数和余弦函数的基本关系：sin^2θ + cos^2θ = 13.2正切函数与正弦函数、余弦函数的基本关系：教师指导学生通过绘制直角三角形，利用其定义推导出正切函数、正弦函数和余弦函数的基本关系：tanθ = sinθ / cosθ。
4.同角三角函数的计算及性质（25分钟）4.1计算角度对应的三角函数值：教师引导学生通过练习，掌握计算给定角度对应的正弦、余弦和正切函数值的方法和技巧。
4.2使用同角三角函数的性质：教师讲解同角三角函数的周期性和奇偶性，并指导学生根据这些性质简化计算，例如，sin(180° + θ) = -sinθ，cos(π + θ) = -cosθ，等等。
5.练习与巩固（20分钟）教师提供一系列基础练习题，让学生在课堂上进行计算和解答，以巩固所学的同角三角函数的基本关系和计算方法。
同角三角函数的基本关系（教案）
1.2.2 同角三角函数的基本关系（教案）吴川一中 陈亮 任教班级：高一47、48班一、教学目标：1. 知识与能力理解同角三角函数的基本关系式，会用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与证明.2. 过程与方法通过在单位圆中构造出以任意角的正弦线、余弦线为直角边的直角三角形得出三角函数基本关系式. 3. 情感、态度与价值观培养学生用数形结合思想方法解决问题的能力.二、教学重点：同角三角函数的基本关系式的推导及其应用(求值、化简、恒等式证明).三、教学难点：关系式在解题中的灵活运用和对学生思维灵活性的培养.四、教学方法与手段：本节主要涉及到两个公式，均由三角函数定义和勾股定理推出．在教学过程中，要注意引导学生理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并灵活运用.要给学生提供展示自己思路的平台，营造自主探究解决问题的环境，把鼓励带进课堂，把方法带进课堂，充分发挥学生的主体作用．五、教学过程： 【探究引入】 思考1：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P ，那么，正弦线MP 和余弦线OM 的长度有什么内在联系？由此你能得到什么结论？分析：221MP OM +=22sin cos 1αα+=.思考2：上述关系反映了角α方关系.那么当角α的终边在坐标轴上时，上述关系成立吗？ 分析：当角α的终边在坐标轴上时，上述关系也成立.思考3：设角α的终边与单位圆交于点 P （x ，y ），根据三角函数定义，有tan (0)yx xα=≠，由此可得sin α、cos α、tan α之间满足什么关系？分析：sin tan cos ααα=. 思考4：上述关系称为商数关系，那么商数关系成立的条件是什么？分析：()2a k k Z ππ≠+∈.【讲授新课】 1.同角三角函数基本关系： （1）平方关系：22sin cos 1αα+=；（2）商数关系：sin tan cos ααα=，()2a k k Z ππ≠+∈. Ⅰ、【新知理解训练】判断以下等式是否恒成立：①()22sin cos 1;αβαβ+=≠ ②22sin cos 122αα+=； ③sin 2tan 2.cos 2ααα=Ⅱ、说明：① 注意这里“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角（在使得函数有意义的前提下）关系式都成立.② 2sin α是()2sin α的简写，读作“sin α的平方”，不能写成“2sin α或sin 2α”.③ 对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、逆用、变形用），如：22sin 1cos αα=-， cos α= ()212sin cos sin cos αααα±⋅=± sin cos tan ααα=， s i n c o s t a n ααα=⋅. 2、典型例题 题型一、化简 例1. 化简下列各式:(1) 2422sin cos sin cos ββββ++; (2 ) 222cos 112sin αα--.分析：（1）一提取公因式2cos β，便“柳暗花明”； （2）逆用平方关系：式子中的“1”用22"sin cos "αα+一代，结果不打自招.解：（1）原式=()222222sin cos cos sin sin cos 1.ββββββ++=+=（2）原式=()22222222222cos sin cos cos sin 1.sin cos 2sin cos sin αααααααααα-+-==+-- 【点评】灵活运用平方关系、商数关系及其变式是解决化简问题的灵丹妙药.变式训练：化简下列各式: (1) ()221tan cos αα+⋅ (2) 1sin cos 2sin cos 1sin cos αααααα+--⋅+-.答案：（1）1； （2）sin cos αα-. 题型二、已知一个三角函数值，求另外两个三角函数值（简称“知一求二”）例2．（1）已知12sin 13α=，并且α是第二象限角，求cos ,tan αα．（2）已知4cos 5α=-，求sin ,tan αα．分析：由已知条件和sin α的值可依平方关系求得cos α的值，再由商数关系可求得tan α的值，但不知α所在象限时要对α所在象限进行分类讨论.解：（1）∵22sin cos 1αα+=， ∴2222125cos 1sin 1()()1313αα=-=-=，又∵α是第二象限角，∴cos 0α<，即有5cos 13α=-，从而 sin 12tan cos 5ααα==-．（2）∵22sin cos 1αα+=， ∴222243sin 1cos 1()()55αα=-=--=，又∵4cos 05α=-<， ∴α在第二或三象限.① 当α在第二象限时，即有sin 0α>，从而3sin 5α=，sin 3tan cos 4ααα==-；② 当α在第四象限时，即有sin 0α<，从而3sin 5α=-，sin 3tan cos 4ααα==．【点评】三角函数的结果都要用分情况叙述的形式表达出来，而不用cos a α=±或sin b α=±或tan c α=±的书写形式，因为三角函数值的符号受限制，不是无条件的，这不同于“由21x =可以推出1x =±”的情形.变式训练：《中》191P-变.（07全国Ⅰ）已知α是第四象限角，5tan12α=-，则s i nα等于( D )A.15B.15- C.513D.513-六、板书设计1.同角三角函数基本关系：（1）平方关系.（2）商数关系.2、题型一、化简例1.变式训练：3、题型二、知一求二例2．变式训练：七、小结1. 同角三角函数基本关系及其变式.2. 化简.3. 求值：①知一求二；②弦化切.八、作业课本第20页练习题第2题，22页B组第2、3题.九、教学后记本节真正体现“高、大、优”的课堂教学特色，但内容多、时间紧，要合理安排、讲练结合.。
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① x2 y2 r2 且 sin y , cos x sin2 cos2 1
r
r
②当 k (k Z )时， sin y x y r y tan
2
cos r r r x x
3．点题：这两种关系，称为同角三角函数的基本关系． 4.四个注意点：
（1）同角三角基本关系式 sin 2 cos2 1，对一切 R 恒成立；
学习重点：同角三角函数的基本关系式的推导及其应用．
学习难点：已知一个三角函数值（但不知角的范围），求出其他三角函数值结果不惟一时的分 类讨论．
学习过程
一、问题情境
1.（1）任意角的三角函数的定义：
比值 y 叫做 的正弦 记作： sin y ．
r
r
比值 x 叫做 的余弦 记作： cos x ．
r
r
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学习反思：
____年____月____日 第____课时
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等．
c os
2
7
7Байду номын сангаас
2
（3）应用同角三角函数基本关系式，根据问题的需要，应注意他们的如
下 变 形 形 式 ： 如 sin 2 1 cos2 ， cos2 1 sin 2 ，
1 sin 2 cos2 ， sin tan cos ， cos sin ．
tan
（4）同角三角函数基本关系式在三个方面的应用． ①“知二求一”即根据一个角的某一三角函数值，求出这个角的其他三角 函数值； ②化简三角函数式；
问题：通过上述几个问题的计算，你能归纳出 sin 与 cos ，sin, cos
与 tan ，之间有什么关系吗？
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三、数学建构
1．猜想： sin 2 cos2 1
2．理论证明：（采用定义）
sin tan cos
____年____月____日 第____课时
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课题 学习目标：
1.2.2 同角三角函数关系
1．理解并掌握同角三角函数的基本关系式；
____年____月____日 第____课时
课型
新授
2．正确运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值运算；
3．通过利用三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式，培养学生融会贯通前后数学知 识的能力，进一步感受数学的整体性、连贯性．
o
比值 y 叫做 的正切 记作： tan y ．
x
x
P (x,y)
r
x
（2）三角函数的定义与点 P 在 终边上的位置无关．
学习札记
2．情境：计算下列各式的值：
1.sin 2 90 cos2 90 3. sin 30
cos30
2.sin 2 30 cos2 30
sin
4.
cos
4
4
二、学生活动
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③证明有关的三角恒等式．
____年____月____日 第____课时
四、数学应用 1. 例题．
例 1 已知 sin 4 ，且 是第二象限角，求 cos, tan 的值． 5
变式：已知 sin 4 ，求 cos, tan 的值． 5
例 2 已知 tan 12 ，求 sin, cos 的值． 5
例 3 化简 tan
1 sin 2
1 ，其中
α
是第二象限角．
2．课堂练习
（1）已知 cos 4 ，且 是第三象限角，求 cos, tan 的值． 5
（2）已知 sin 1 ，求 cos, tan 的值 2
（3）已知 tan 2 ，求 sin ， cos 的值
五、要点归纳与方法小结 本节课我们通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式，讨论 了各个基本关系式恒成立时的条件，并进行了 “知二求一”的应用，当 时结果不惟一时，需要分象限进行讨论．
sin tan ，仅对 k (k Z ) 时成立，即三角恒等式就是指
cos
2
这个意义下的恒等式；
（2）同角三角关系式反映的是“同角”三角函数之间的内在联系；这里
的 “ 同 角 ” 与 角 的 表 达 形 式 无 关 ． 如 ： sin 2 3 cos2 3 1 ，
sin 2
tan ， sin 2 (5 ) cos2 (5 ) 1