高考数学不等式知识点及相关题型

不等式一、比较大小作差法：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果。

000a b a b a b a b a b a b ->⇔>⎧⎪-=⇔=⎨⎪-<⇔<⎩【例1】比较61x +和42x x +的大小，其中x R ∈【例2】设x R ∈，比较11x+与1x -的大小 作商法：常用于分数指数幂的代数式。

111a a bb a a b ba ab b ⎧>⇔>⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪<⇔<⎪⎩【例3】设0,0a b >>，且a b ≠，比较a b a b 与b a a b 的大小二、不等式的性质：①a b b a >⇔<； ②,a b b c a c >>⇒>； ③a b a c b c >⇒+>+；④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+；⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>； ⑦()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >；⑧)0,1a b n n >>>∈N >．【例4】若,a b R ∈且a b >，则下列不等式恒成立的是22.A a b > .1a B b> .22a b C > .lg()0D a b -> 【例5】下列命题中正确的是 22.,,.,.,.,,A a b c b ac bdB ac bc a ba b C a b c cD a b c d a c b d>>>>><<>>->-若则若则若则若则三、性质的应用，待定系数法【例6】不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D 。

有下面四个命题：1:(,),22,2:(,),22,3:(,),234:(,),21p x y D x y p x y D x y p x y D x y p x y D x y ∀∈+≥-∃∈+≥∀∈+≤∃∈+≤- 其中的真命题是.2,3A p p B.1,2p p C.1,4p p D.1,3p p四、不等式的解法，对题目条件的领悟【例7】已知函数32()f x x ax bx c =+++且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤，则A.c ≤3B.3＜c ≤6C.6＜c ≤9D.c ＞9【例8】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，2()4f x x x =-，则不等式()x f x >的解集用区间表示为：五、不同形式不等式解法1、一元一次不等式ax>b ，分别对a 、b 的正负情况进行讨论2、一元二次不等式解法：图像法、因式分解法（1）化成标准式：20,(0)ax bx c a ++>>；（2）求出对应的一元二次方程的根；（3）画出对应的二次函数的图象； （4）根据不等号方向取出相应的解集。

解含参数的一元二次不等式时，要把握好分类讨论的顺序①根据二次项系数的符号进行讨论②根据一元二次方程的根是否存在，即∆的符号进行讨论③在根存在时，根据根的大小进行讨论【例8】已知不等式210ax bx -->的解集是11(,)23-，则不等式20x bx a --≥的解集是.(2,3)A {}.|x 2,x 3B x ≤≥ 11.(,)32C 11.|,32D x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭3、简单的一元高次不等式的解法：标根法步骤（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。

4、解分式不等式不能轻意去分母通常采用：移项（化一边为零）→通分→转化为整式不等式→化所有因式中的变量系数为正，（即不等式两边同除以变量系数，若它的符号不能确定即需要讨论）→“标根”（注意比较各个根的大小，不能比较时即需要讨论）；[特别关注] 求一个变量的范围时，讨论的也是这个变量，结果要并；讨论的若是另一个变量，结果不能并。

【例9】关于x 的不等式ax-b >0的解集是(1,+∞)，则关于x 的不等式02ax b x +>-的解集是（ ）A ．(-∞,-1)∪(2,+∞)B ．(-1,2)C ．(1,2)D ．(-∞,1)∪(2,+∞)【例10】解关于x 的不等式：12)1(>--x x a 5、解绝对值不等式：关键是“去绝对值”，①利用绝对值不等式的性质：若M>0则|f(x)|>M ⇔f(x)>M 或f(x)<-M ；②平方（不等式两边同正）；③讨论（绝对值内的式子为0）。

方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。

方法四：两边平方。

【例11】设p ：x 2－x －20>0,q ：212--x x <0,则p 是q 的 ( ) （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件6、分段函数形成的不等式一般分段解，再取并集；对较为复杂的分段函数问题可以借助于图象解决。

【例12】解不等式|1||1|32x x +--≥ 【例13】已知：函数,0(),0a x x f x a x -≤⎧=⎨>⎩（0>a ）．解不等式：()12f x x <-． 7、抽象函数的不等式离不开函数的单调性。

抽象函数的不等式反映出的函数值的大小，需借助于函数的单调性化归为自变量的大小，特别注意定义域。

画抽象函数的“概念图”是化抽象为形象的有效途径；对某些有具体函数背景的抽象函数，可以从该具体函数中寻找解题线索。

【例12】已知奇函数f(x)在(,0)-∞为减函数，f(2)=0则不等式(x-1)f(x-1)<0的解集为：【例13】已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＋2＝f （x ）＋f （y ），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝5，求不等式 f （a 2－2a －2）<3的解.8、含参变量无理不等式、含参变量的绝对值不等式、含参变量的指（对数）数不等式问题时常用数形结合。

【例14x a <+在[-1，1]上恒成立，则a 的取值范围是【例152(0)x a a +>的解集是（ ） A{}a x x <<0 B {}a x x ≤<0 C ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>a x x x 540或 D φ 9、含参不等式恒成立通常采用分离参数法，转化为求某函数的最大值（或最小值）具体地：g(a)>f(x)在x ∈A 上恒成立⇔ g(a)>f(x)max ，g(a)<f(x)在x ∈A 上恒成立⇔ g(a)<f(x)min ，(x ∈A)。

当参变量难以分离时，也可以用：f(a,x)>0在x ∈A 上恒成立⇔f(a,x)min >0, (x ∈A)及f(a,x)<0在x ∈A 上恒成立⇔f(a,x)max >0, (x ∈A)来转化；还可以借助于函数图象解决问题。

特别关注：“不等式f(a,x)≥0对所有x ∈M 恒成立”与 “不等式f(a,x)≥0对所有a ∈M 恒成立”是两个不同的问题，前者是关于x 的不等式，而后者则应视为是关于a 的不等式。

特别提醒：“判别式”只能用于“二次函数对一切实数恒成立”的问题，其它场合，概不适用。

【例16】定义在R 上的函数f(x)为奇函数，且在[0,)+∞为增函数，对任意θ∈R ，不等式f(cos2θ-3)+f(2m-sin θ)>0恒成立，则实数m 的取值范围是【例17】设奇函数()f x 在[-1，1]上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-及所有的[1,1]a ∈-都成立，则t 的取值范围是 ； 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <2). 能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >；若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B<.如 已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围____ （答：1a >）3). 恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ； 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D .【例18】已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若()f x ax ≥，则a 的取值范围是 .(,0]A -∞ .(,1]B -∞ .[2,1]C - .[2,0]D -六、重要不等式1.（1）若,a b R ∈，则222a b ab +≥ (2)若,a b R ∈，则222a b ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,a b R ∈，则2a b +≥ (2)若*,a b R ∈，则a b +≥b a =时取“=”） (3)若*,a b R ∈，则22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 若0>ab ，则2a b b a +≥ (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则222()22a b a b ++≤（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”一正：各项都是正数二定：和或积为定值三相等：等号能取到（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．5.a 3+b 3+c 3≥3abc （a,b,c ∈ R +）, a +b +c 3 ≥3abc （当且仅当a =b =c 时取等号）；6. 1n (a 1+a 2+……+a n )≥12n n a a a (a i ∈ R +,i=1,2,…，n)，当且仅当a 1=a 2=…=a n 取等号；变式：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ab ≤( a +b 2 )2 (a,b ∈ R +) ; abc ≤( a +b +c 3 )3(a,b,c ∈ R +)a ≤ 2ab a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 22 ≤b.(0<a ≤b)7.浓度不等式：b －n a －n < b a< b +m a +m ,a>b>n>0,m>0; 解题技巧：技巧一：凑项已知 54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。