初一数学·暑·直升班·教师版·第12讲 乘法公式(二)
七年级数学乘法公式及应用
乘法是数学中的一种基本运算方法，用于计算两个或多个数的乘积。
在七年级的数学课程中，学生将学习乘法的基本公式和其在实际中的应用。
本文将介绍七年级数学中的乘法公式及其应用。
一、乘法的基本概念在数学中，乘法是将两个数相乘得到一个新数的运算。
乘法可以表示为"×"或者使用小括号表示两数相乘的关系。
例如，3×4=12，表示3乘以4得到12乘法遵循以下基本性质：1.交换性：两个数相乘的结果与它们的顺序无关。
即a×b=b×a。
2.结合性：多个数相乘的结果与它们的相乘顺序无关。
即(a×b)×c=a×(b×c)。
3.分配性：两个数相乘后再相加的结果等于它们分别相加后再相乘的结果。
即a×(b+c)=a×b+a×c。
二、乘法的应用1.乘法表：乘法表是显示一个数的乘法表达式及其结果的表格。
通过乘法表，学生可以了解并记住一些常用的乘法结果。
乘法表可以通过竖式计算或者更简单的方法来完成。
2. 计算长方形的面积：利用乘法可以计算长方形的面积。
长方形的面积等于底边长乘以高。
例如，一个长方形的底边长为5cm，高为3cm，则它的面积为5cm × 3cm = 15cm²。
3. 计算正方形的面积：正方形是四边相等的图形，可以通过乘法计算其面积。
正方形的面积等于边长的平方。
例如，一个正方形的边长为4cm，则它的面积为4cm × 4cm = 16cm²。
4.计算单位换算：乘法可以用于不同单位之间的换算。
例如，1小时有60分钟，可以用乘法计算出2小时有多少分钟，即2小时×60分钟/小时=120分钟。
5.计算百分比：百分比可以通过乘法来计算。
例如，将一个数乘以0.5，即可得到该数的50%。
同样，将一个数乘以0.25，可以得到该数的25%。
6.解决实际问题：乘法可以应用于解决实际生活中的问题。
七年级数学乘法公式知识点
七年级数学乘法公式知识点在七年级的数学学习中，乘法公式是数学中十分重要和基础的知识点。
本文将就七年级数学乘法公式的内容进行详细的论述，力图使读者能够深入理解乘法公式的相关知识。
1. 基础概念首先，我们需要明确乘法公式的基础概念。
在数学中，乘法公式是指用于计算两个或多个数的乘积。
乘法公式中包含多个要素，如乘数、被乘数和积，它们三者之间的关系为：乘数×被乘数=积。
在七年级数学学习中，乘法公式中乘数和被乘数都是整数或分数，而积可以是一个整数或分数，也可以是一个代数式。
2. 乘法的交换律其次，七年级数学中学习的第一个乘法公式是乘法的交换律。
乘法的交换律指的是：两个数相乘，交换两个数的顺序，乘积不变。
具体来说，对于任意的两个数a和b，都有a×b=b×a。
比如说，对于两个数7和3，7×3=21，同时3×7也等于21。
这说明乘法具有交换律，即乘积的大小不受乘数顺序影响。
3. 乘法的结合律接着，第二个乘法公式是乘法的结合律。
乘法的结合律指的是：三个或多个数相乘，可以任意改变它们的相对位置，乘积不变。
具体来说，对于任意的三个数a、b和c，都有(a×b)×c=a×(b×c)。
比如说，对于三个数2、3和4，(2×3)×4=24，同时2×(3×4)也等于24。
这说明乘法具有结合律，即乘积的大小不受因子的相对位置影响。
4. 乘法的分配律然后，第三个乘法公式是乘法的分配律。
乘法的分配律指的是：一个数与两个或两个以上的数相加或相减的和或差，可先将这个数与每一个加数或减数分别相乘，再把它们的积相加或相减。
具体来说，对于任意的三个数a、b和c，都有a×(b+c)=a×b+a×c和a×(b-c)=a×b-a×c。
比如说，对于三个数2、3和4，2×(3+4)=14，而2×3+2×4也等于14。
初中数学乘法公式
初中数学乘法公式乘法公式是数学中非常重要的概念，是学习乘法的基础。
乘法公式可以帮助我们更加快速和准确地计算乘法运算。
在初中数学中，有很多乘法公式需要我们掌握和应用。
本文将详细介绍乘法公式(二)的概念和应用。
乘法公式(二)是乘法公式的一个重要组成部分。
它是指两个大数相乘时，我们可以通过将其中一个数进行分解，分别与另一个数相乘，然后再把结果相加得到最终的乘积。
具体来说，乘法公式(二)可以表示为：(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c其中，a、b、c是任意实数。
这个公式意味着，当我们需要计算一个数与两个数的和的乘积时，可以先计算这个数与每个加数的乘积，然后再将结果相加得到最终的乘积。
乘法公式(二)的应用非常广泛，可以用于解决各种实际问题。
下面我们通过几个例题来具体说明乘法公式(二)的应用。
例题1：计算(3+4)⋅2根据乘法公式(二)，我们可以先计算3⋅2和4⋅2，然后再将结果相加。
所以：(3+4)⋅2=3⋅2+4⋅2=6+8=14所以，(3+4)⋅2的结果是14例题2：班级里有36个男生和42个女生，每个男生需要发放3个铅笔盒，每个女生需要发放2个铅笔盒，那么一共需要发放多少个铅笔盒？首先，我们可以根据乘法公式(二)分别计算男生需要的铅笔盒和女生需要的铅笔盒，然后再将结果相加。
所以：男生需要的铅笔盒数量=36⋅3=108女生需要的铅笔盒数量=42⋅2=84一共需要发放的铅笔盒数量=男生需要的铅笔盒数量+女生需要的铅笔盒数量=108+84=192所以，一共需要发放的铅笔盒数量是192个。
通过以上两个例题，我们可以看到乘法公式(二)的应用非常灵活。
无论是计算简单的数学题，还是解决实际生活中的问题，都可以通过乘法公式(二)来简化计算过程。
除了乘法公式(二)，还有其他一些乘法公式也非常重要，比如乘法公式(一)和乘法公式(三)。
乘法公式(一)指的是两个负数相乘，结果为正数。
乘法公式(三)指的是一个数与一个带有括号的加法式相乘，可以先将该加法式中的每一项都与这个数相乘，然后再将结果相加。
初中数学7年级乘法公式
乘法是数学中非常重要的运算之一、在初中数学7年级的课程中，学生会学习到乘法公式，以及如何正确应用乘法公式解决问题。
一、乘法的定义及性质乘法是一种加快计算速度的运算方法。
在数学中，乘法是指把两个数的乘法操作称为乘积。
例如，将3和4相乘，结果为12，我们可以写成3×4=12、乘法操作符号“×”表示乘法。
乘法具有一些特殊的性质。
其中，乘法结合律是指三个数相乘的结果不受先后顺序的影响。
例如，(3×4)×5=3×(4×5)=60。
乘法交换律是指两个数相乘的结果也不受先后顺序的影响。
例如，3×4=4×3=12乘法还有一个特别重要的性质是乘法公式。
二、乘法公式乘法公式是用于展开乘法式子的一个重要工具。
在初中数学7年级的课程中，学生将学习到以下几个常见的乘法公式：1.两个一位数相乘的乘法公式：当两个个位数相乘时，可应用如下乘法公式：ab × cd = ad × 10 + ad × b + bc × 10 + bc × d例如：27×36=20×30+20×6+7×30+7×6=9722.一个两位数与一个一位数相乘的乘法公式：当一个两位数与一个个位数相乘时，可应用如下乘法公式：ab × c = c × 10a + c × b3.两个两位数相乘的乘法公式：当两个两位数相乘时，可应用如下乘法公式：ab × cd = ac × 100 + ad × 10 + bc × 10 + bd例如：27×38=20×100+20×8+7×100+7×8=1026三、应用乘法公式解决问题乘法公式在解决实际问题时非常有用。
下面举几个例子，看看如何应用乘法公式解决问题。
初中数学 乘法公式
初中数学乘法公式初中数学里的乘法公式，那可是相当重要和有趣的家伙！就像我们生活中的万能钥匙，能帮我们轻松打开好多数学难题的大门。
先来说说完全平方公式吧，（a+b）² = a² + 2ab + b²，（a - b）² = a²- 2ab + b²。
这两个公式看起来有点复杂，但其实理解起来并不难。
记得有一次，我在课堂上讲这个知识点，有个同学就一脸懵地看着我，好像在说：“老师，这都是啥呀？”我就笑着跟他说：“来，咱们想象一下，你有一块正方形的土地，边长是 a 米，现在你要在它相邻的两条边上分别增加 b 米，那新的土地面积不就是（a+b）²嘛。
”这么一说，他好像有点开窍了。
咱们再看平方差公式，a² - b² = (a + b)(a - b) 。
这个公式在解题的时候可好用啦。
比如说，计算 101×99，我们就可以把它变成 (100 +1)×(100 - 1) ，然后套用平方差公式，一下子就能得出答案 9999。
在实际生活中，乘法公式也有大用处呢。
有一次我去买布料，店家说每米布料的价格是根据面积计算的。
一块长方形布料，长是 (x + 3) 米，宽是 (x - 3) 米，单价是每平方米 y 元。
那这块布料的总价不就是 y × [(x + 3)(x - 3)] 嘛，这不就是平方差公式的应用嘛。
乘法公式还经常和其他的数学知识结合在一起，给我们出难题。
但只要我们掌握了它们的本质，就不怕这些小怪兽。
比如说在代数方程里，有时候需要通过乘法公式来变形、化简，找到方程的解。
而且啊，乘法公式也是数学思维训练的好帮手。
通过对这些公式的推导和应用，能锻炼我们的逻辑思维和空间想象能力。
就像搭积木一样，一块一块地搭建起我们的数学大厦。
总之，初中数学的乘法公式虽然只是数学海洋里的一小部分，但它们的作用可不容小觑。
只要我们认真学习，多多练习，就能让它们成为我们解题的得力工具，在数学的世界里畅游无阻！。
七年级乘法公式
七年级乘法公式七年级的同学们，咱们今天来好好聊聊乘法公式！乘法公式可是咱们数学学习中的重要“武器”，掌握好了，那做题就像开了“外挂”一样顺溜。
先来说说完全平方公式，（a+b）² = a² + 2ab + b²，（a - b）² = a² - 2ab + b²。
这两个公式看起来有点复杂，但其实就像是搭积木一样，只要把各项按照规则拼凑起来，就能得到正确的结果。
给大家举个例子啊，咱们班小明同学的妈妈开了一家水果店。
有一天，妈妈进了一批苹果，准备做一个促销活动。
假设每个苹果的进价是 a 元，小明妈妈打算每个苹果在进价的基础上增加 b 元出售。
如果卖出的苹果数量为（a + b）个，那么总销售额是多少呢？咱们就可以用完全平方公式来计算啦！总销售额 = （a + b）²元。
展开这个式子，就是 a² + 2ab + b²元。
这就意味着总销售额由进价的平方 a²元，加上两倍进价和增加价格的乘积 2ab 元，再加上增加价格的平方 b²元组成。
通过这个例子，是不是觉得完全平方公式一下子就生动起来啦？再说说平方差公式，（a + b）（a - b） = a² - b²。
这个公式就像是一个神奇的“魔法咒语”，能让一些复杂的计算变得简单。
比如说，学校组织大家去农场劳动，农场有一块长方形的土地，长为（a + b）米，宽为（a - b）米，那这块土地的面积是多少呢？这时候就可以用平方差公式来计算啦，面积 = （a + b）（a - b） = a² - b²平方米。
在实际运用中，乘法公式能帮咱们快速解决很多问题。
比如说化简式子、计算数值等等。
但要注意哦，使用乘法公式的时候可别马虎大意，要认真看清各项的符号和系数。
同学们，乘法公式虽然重要，但也别被它们吓到。
只要咱们多做练习，多思考，多联系实际生活中的例子，就一定能把它们掌握得牢牢的！相信大家在今后的学习中，都能熟练运用乘法公式，让数学学习变得更加轻松有趣！。
七年级乘法公式知识点
七年级乘法公式知识点乘法是数学中的基本运算之一，乘法公式是乘法中的基本规则。
在学习乘法过程中，学生需要了解一些基本的乘法公式知识点。
那么，我们应该学习什么样的乘法公式知识点呢？本文将为您详细介绍七年级乘法公式知识点。
1. 两数相乘两个数相乘的结果是这两个数的积。
比如，2和3相乘的结果是6，用数学公式来表示为2×3=6。
对于任意两个整数a和b，它们的积为ab。
2. 乘法交换律乘法交换律是指，两个数相乘的结果不受它们的顺序影响。
比如，2×3=6和3×2=6是等价的。
因此，乘法满足交换律。
即a×b=b×a。
3. 乘法结合律乘法结合律是指，多个数相乘的结果不受它们相乘的顺序影响。
比如，2×3×4=24和3×2×4=24是等价的。
因此，乘法满足结合律。
即(a×b)×c=a×(b×c)。
4. 幂的乘法如果要求一个数的n次方乘以它的m次方，可以通过将它们的底数相乘，指数相加来求得它的乘积。
比如2的3次方乘以2的4次方等于2的7次方，即2³×2⁴=2⁷。
5. 指数的分配律如果要求一个数的n次方乘以另一个数的n次方，可以通过将它们的底数相乘，同时将它们的指数分别相加来求得它们的乘积。
比如2的3次方乘以3的3次方等于2×3的3次方，即2³×3³=(2×3)³。
6. 指数的乘法如果要求一个数的n次方乘以它的m次方，可以通过将它们的底数相乘，指数相加来求得它们的积。
比如2的3次方乘以2的4次方等于2的7次方，即2³×2⁴=2⁷。
7. 乘法的分配律乘法的分配律说明，一个数乘以另一个数的和，等于这个数分别乘以这两个数的和的积。
比如a乘以(b+c)等于a乘以b加上a 乘以c，即a×(b+c)=a×b+a×c。
七年级数学下册 第12章 乘法公式与因式分解 12.4 用公式法进行因式分解教学课件
数学(shùxué) 七年级下册 青岛版
2021/12/11
第一页，共十三页。
第12章 乘法(chéngfǎ)公式与因式分解
12.4 用公式法进行因式分解
2021/12/11
第二页，共十三页。
复习(fùxí)回顾
1 还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？
平方差公式(gōngshì)：a ba b a 2 b 2
内容(nèiróng)总结
教学课件。数学 七年级下册 青岛版。第12章 乘法公式与因式分解。12.4 用公式 法进行因式分解。还记得学过的两个最基本的乘法公式吗。我们学过的因式分解的方法
No 是什么(shén me)。２、对比（一）和（二）你有什么(shén me)发现。继续。某些多项式
进行因式分解，这种因式分解的方。法叫做公式法。——探究公式的结构特征。（1） 左边是二项式，每项都是平方的形。写成平方的形式，另一项是刚才写成平方项两。 （2）右边是两平方项底数和的平方
我的结论
平方差公式的结构特征：
（1）左边是二项式，每项都是平方的形 式，两项的符号相反；
（2）右边是两个(liǎnɡ ɡè)多项式的积，一个因式 是两数的和，另一个因式是这两数的差。
2021/12/11
第七页，共十三页。
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探索 新知 (tàn suǒ)
——探究(tànjiū)公式的结构特征
我的结论
＝___________；
１、（二）中四个多项式的变形是因式分解吗？
２、对比（一）和（二）你有什么发现？
后2退021/12/11
第四页，共十三页。
继续
乘法(chéngfǎ)公式：
因式分解(yīn shìfēn jiě)：
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例题2 （1）已知 x2 + y2 = 25 ， x + y =7 ，且 x > y ，则 x − y =____________． （2）已知 a − b =3 ， ab = −1，则 a2 + b2 = _______． 【解析】（1）1；（2）7．
例题3
（1）已知 x2 + y2 + xy = 19 ， x + y =5 ，求 x − y ．
（2） a2 + b2 = (a − b)2 + ________；
——用科技推动教育进步 111
笔记
区
初一数学目标名校直升班
（3） a= 2 + b2 1 [_______+ _______] ；
2
（4） (a − b)2 =(a + b)2 − _______ ；
= （5） ab _= _______ __= _______ ________ ．
【解析】（1） ±3；（2）17，5． 【 提 示 】注意和基本的知二推二的区别在于正负的取值．
例题5
（1）已知： x − y =5， xy = 3，求：① (x − 3)( y + 3) ；② x2 + y2 ；③ x4 + y4 ．
（2）已知 x + y =4 ， xy = 2 ，求 x4 + y4 ．
② (a − b)2 = (a2 + b2 ) − 2ab = (a + b)2 − 4ab = 2(a2 + b2 ) − (a + b)2
= ③ ab (= a + b)2 − (a2 + b2 ) (= a2 + b2 ) − (a − b)2 (a + b)2 − (a − b)2
2
2
4
④ (a + b)2 = (a2 + b2 ) + 2ab = (a − b)2 + 4ab = 2(a2 + b2 ) − (a − b)2
（2） (x + y)2 = 17 ， (x − y)2 = 3
= ∴ xy (x += y)2 − (x − y)2 7
4
2
x2 + y2 = (x + y)2 − 2xy = 10
y x y2 + x2 20 ∴ = + =
x y xy 7
【 提 示 】知二推二的基本应用，结合公式求解．
112 ——用科技推动教育进步
【解析】（1）2ab；
（2）2ab；
（3） a2 + b2=
1 [(a
+
b)2
+
(a
−
b)2 ] ；
2
（4）4ab；
（5） 1 [(a + b)2 − a2 − b2 ] ， 1 [a2 + b2 − (a − b)2 ] ， 1 [(a + b)2 − (a − b)2 ]．
2
2
4
【提示】回归完全平方公式，从中总结出的以下四个量： a + b 、 a − b 、 a2 + b2 、ab．
三 、 倒 数型的知二推 二（知一推二）
①
a
−
1 a
2
=
2
−
4
=
a2
+
1 a2
−2
② a2
+
1 a2
=
a
+
1 a
2
−
2
=
a
−
1 a
2
+
2
③
a
+
1 a
2
=
a
−
1 a
2
+
4
=
a2
+
1 a2
+
2
1
a
2
−2
4
③ (a2 + b2 ) = (a4 + b4 ) + 2a2b2 = (a2 − b2 )2 + 4a2b2 = 2(a4 + b4 ) − (a2 − b2 )2
④ (a2 − b2 ) = (a4 + b4 ) − 2a2b2 = (a2 + b2 )2 − 4a2b2 = 2(a4 + b4 ) − (a2 + b2 )2
【 提 示 】从一次到二次再到高次．
第十二讲
乘法公式（二）
模块一 知二推二 模块二 高次型的知二推二 模块三 倒数型的知二推二
第十二讲 乘法公式（二）
笔
一 、 知 二推二
知二推二是完全平方公式的经典应用，其中蕴含了方程的思想． ab
ab
a2 b2
ab
① a2 + b2= (a + b)2 + (a − b)2= (a + b)2 − 2ab= (a − b)2 + 2ab 2
（2）已知 (x + y)2 = 17 ， (x − y)2 = 3 ，求 y + x ． xy
【解析】（1） x2 + y2 + xy = 19 ，∴(x + y)2 − xy = 19 x + y =5 ，∴ xy =6 ∴(x − y)2 = (x + y)2 − 4xy =1 ，∴ x − y = ±1；
第十二讲 乘法公式（二）
笔
记区
模块二
高次型的知二推二
例题4
（1）已知 x4 + y4 = 17 ， x2 + y2 = 5 ，则 x2 − y2 = ____________．
（2）已知 a2 − b2 =3 ， ab = −2 ，则 a4 + b4 = _______， a2 + b2 = ______．
a
1
a2
1 a2
1
a
a
【注】关于 a + 1 的变形中有一个隐含条件 a ⋅ 1 =1，因此已知 a2 + 1 、a + 1 和 a − 1
a
a
a2
a
a
中的任意一个，就可以得出其他两个，故也称之为“知一推二”．
模块一
知二推二
记区
例题1 填空：（1） a2 + b2 = (a + b)2 − ________；
二 、 高 次型的知二推 二
a2 b2
a2b2
a4 b4
a2 b2
① a4 + b4 = (a2 + b2 )2 +(a2 − b2 )2 = (a2 + b2 )2 − 2a2b2 = (a2 − b2 )2 + 2a2b2 2
= ② a2b2 (= a2 + b2 )2 − (a4 + b4 ) (= a2 − b2）2 − (a4 + b4 ) (a2 + b2 )2 − (a2 − b2 )2
【解析】（1）① (x − 3)( y + 3) = xy + 3(x − y) − 9 = 9 ； ② x2 + y2 = (x − y)2 + 2xy = 31 ； ③ x4 + y4 = (x2 + y2 )2 − 2x2 y2 = 943．
（2） x + y =4 ，∴ x2 + y2 = (x + y)2 − 2xy = 12 ， xy = 2 ，∴ x4 + y4 = (x2 + y2 )2 − 2x2 y2 = 136 ．