加法乘法法则教师版
初升高数学衔接课程-- 分式运算 (教师版含解析)
第2章 分式运算【知识衔接】————初中知识回顾————(一)分式的运算规律1、加减法 同分母分式加减法：c b a c b c a ±=± 异分母分式加减法：bc bd ac c d b a ±=±2、乘法：bd ac d c b a =⋅3、除法：bc ad c d b a d c b a =⋅=÷4、乘方：n nn ba b a =)( (二)分式的基本性质1、)0(≠=m bm am b a2、)0(≠÷÷=m mb m a b a ————高中知识链接————比例的性质(1)若d c ba=则bc ad = (2)若d c ba =则d d c b b a ±=±(合比性质) (3)若d c ba =(0≠-db )则d b d bc a c a -+=-+(合分比性质) (4)若d c b a =＝…＝n m ，且0≠+++n d b 则b a n d b m c a =++++++ (等比性质) 分式求解的基本技巧1、分组通分2、拆项添项后通分3、取倒数或利用倒数关系4、换元化简5、局部代入6、整体代入7、引入参数8、运用比例性质【经典题型】初中经典题型1．若代数式4x x -有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ． x =0 B ． x =4 C ． x ≠0 D ． x ≠4【答案】D【解析】由分式有意义的条件:分母不为0，即x-4≠0，解得x≠4，故选D ．2．化简：，结果正确的是( )A ． 1B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：原式==．故选B ．3．当x =______时，分式523x x -+的值为零． 【答案】5． 【解析】解：由题意得：x ﹣5=0且2x +3≠0，解得：x =5，故答案为：5．4．先化简，再求值： 22121x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x =22． 【答案】21x -，7． 【解析】试题分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．试题解析：原式=()22121x x x x x x ++-⋅+=()2211x x x x x +-⋅+=()()2111x x x x x-+⋅+=21x - 当x =22=(2221-=8-1=7．高中经典题型例1：化简232||211x x x x x +-+-- 解：原式＝22|)|1()1()1(x x x -+- 当0≥x 且1≠x 时，原式＝x +1当0<x 且1-≠x 时，原式＝xx +-1)1(2 例2：化简：++++3223bab b a a a 442222223223311b a b a a b b a b ab b a a b -+-+--+-+-例3：计算2)(32222233332222-++÷---++nm m n n m m n n m m n n m m n n m m n 解：设a m n =，b nm =，则1=ab ∴原式＝2)(32223322-++÷---++b a b a b a b a b a ＝ba ab b a b a ab b a ab b a +-+----++2)(32223322＝2222232)()()(nm n m b a b a b a b a b a b a -+-=-+=+-⋅-+ 例4：计算abbc ac c b a ac ab bc b a c bc ac ab a c b +---++----+---222 解：既不便于分式通分，又不适合分组通分，试图考察其中一项，从中发现规律ca b a c a b a b a c a c a b a bc bc ac ab a c b ---=-----=--=+---11))(()()())((2 因此不难看出，拆项后通分更容易 ∴原式＝))(())(())((b c a c b a a b c b a c c a b a c b ---+------- ＝))(()()())(()()())(()()(b c a c a c b c a b c b c b a b c a b a b a c a -----+----------- ＝ac b c a c a b c b c a b a -=---+-+-----2111111 例5：若1=abc ，求111++++++++c ac c b bc b a ab a 解：∵1=abc ，∴bc a 1=，将式中的a 全换成bc1 ∴原式＝11111++++++++c bcc c b bc b bc bc b bc ＝11111=++++++++bc b bc bc b b bc b 例6：已知x z y x y z y x z z y x ++-=+-=-+且0≠xyz ，求分式xyzx z z y y x ))()((+++的值 解：分析：已知条件以连比的形式出现，可引进一个参数来表示这个连比，从而将分式化成整式。
2019秋季08-五年级奥数基础版-有理数的计算-教师版
教师姓名 学生姓名年 级小学五年级上课时间学 科数学课题名称有理数的计算一、有理数运算法则 1、加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）异号两数相加，绝对值相等时和为0。
绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号， 并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
（3）一个数同相0加，仍得这个数。
2、减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3、乘、除法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数同相0乘，都得0。
二、五种运算（加、减、乘、除、乘方） ※※※※常考点※※※※ ①确定结果的符号 例(2)2--=±．②去、添括号③运算律的应用：加法和乘法的交换律 、结合律，加法对乘法的分配律 ④求和技巧（等差数列、等比数列、可裂项数列）1、有理数加减运算 有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． ③一个数同0相加，仍得这个数． 有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： ①确定和的符号；②确定是两个加数的绝对值的和或差．有理数的计算有理数加法的运算律：①两个数相加，交换加数的位置，和不变．a b b a +=+（加法交换律）②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．()()a b c a b c ++=++ 有理数加法的运算技巧：①分数与小数均有时，应先化为统一形式． ②带分数可分为整数与分数两部分参与运算．③多个数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零． ④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加． ⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起． ⑥符号相同的数可以先结合在一起．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．()a b a b -=+-有理数减法的运算步骤：①把减号变为加号（改变运算符号）②把减数变为它的相反数（改变性质符号）③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算． 有理数加减混合运算的步骤： ①把算式中的减法转化为加法； ②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算，求出结果．注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个数的和，这个和称为代数和．为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式．例如：(3)(0.15)(9)(5)(11)30.159511++-+-+++-=--+-，它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和．2、有理数乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，都得0． 有理数乘法运算律：①两个数相乘，交换因数的位置，积相等． ab ba =（乘法交换律） ②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． ()abc a bc =（乘法结合律）③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． ()a b c ab ac +=+（乘法分配律）有理数乘法法则的推广：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数．先确定符号，再绝对值相乘． ②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0．③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算．3、有理数的除法有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．1a b a b ÷=⋅，（）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0．有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值．4、有理数乘方概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在na 中，a 叫做底数，n 叫做指数． 含义：n a 中，a 为底数，n 为指数，即表示a 的个数，na 表示有n 个a 相乘．例如：53表示33333⨯⨯⨯⨯，5(3)-表示(3)(3)(3)(3)(3)-⨯-⨯-⨯-⨯-，53-表示(33333)-⨯⨯⨯⨯52()7表示2222277777⨯⨯⨯⨯，527表示222227⨯⨯⨯⨯．特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号．“奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点： ⑴ 多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”的个数， 例如：[](3)3---=-；[](3)3-+-=．⑵ 有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：(3)(2)(6)36-⨯-⨯-=-，而(3)(2)(6)36-⨯-⨯+=．⑶ 有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：2(3)9-=，3(3)27-=-．特别地：当n 为奇数时，()n n a a -=-；而当n 为偶数时，()n na a -=．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”． 有理数混合运算的运算顺序：⑴ 先乘方，再乘除，最后加减； ⑵ 同级运算，从左到右进行；⑶ 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算．同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，应先算三级运算，然后二级，最后一级；如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的． 以上运算顺序可以简记为：“从小（括号）到大（括号），从高（级）到低（级），从左到右”．※※※※两数比较大小※※※※ 常用方法：① 代数法：正数大于非正数，零大于负数，对于两个负数，绝对值大的反而小． ② 数轴法：数轴右边的数比左边的数大．③ 作差法：0a b a b ->⇔>，0a b a b -=⇔=，0a b a b -<⇔<．④ 作商法：若0a >，0b >，1a a b b >⇔>，1a a b b =⇔=，1a a bb <⇔<．⑤ 取倒法：分子一样，通过比较分母从而判定两数的大小．有理数的计算与大小比较1. 把下列各式写成乘方运算的形式：⑴ 111111444444⨯⨯⨯⨯⨯ ⑵ ()()()()()1333335⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⑶()()()()n a ba b a b a b a b +++++个 ⑷ ()()66666-⨯⨯-⨯⨯-【分析】 ⑴ 614⎛⎫ ⎪⎝⎭；⑵ ()5135⨯-；⑶ ()n a b +；⑷ 原式5666666=-⨯⨯⨯⨯=-．注意：底数是分数、负数或代数式时，均用括号括起来．2. 计算：（1）154221134545⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）123456...99100+-++-++-+++-（）（）（）（）；（3）1725105（-）-（-）-（-）-; （4）33(-8)38244⎛⎫+++- ⎪⎝⎭ 【分析】 （1）154221134545⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 152142134455=+-+（） 365545=- 2=-（2）1(2)3(4)5(6)...99(100)+-++-++-+++-[][][][]1(2)3(4)5(6)7...(98)99(100)=+-++-++-+++-++-149(100)=++-50=-（3）()()()1725105------1725105=-++- 185=- 13=（4）33(-8)38244⎛⎫+++- ⎪⎝⎭ 33(8)83244⎛⎫=-+++- ⎪⎝⎭1=3. ⑴计算：5116( 2.39)( 1.57)(3)(5)(2)(7.61)(32)( 1.57)6767-+-+++-+-+-+-++⑵出租车司机小李某天下午的营运全都是在东西方向的人民大街上进行的，如果规定向东为正， 向西为负，他这天下午行车里程表示如下：（单位/千米）15+，2-，5+，1-，10+，3-，2-，12+，4+，5-，6+，①将最后一名乘客送到目的地时，小李距离下午出车时的出发点多远? ② 如果汽车耗油量为0.5升/千米，这天下午小李共耗油多少升?【分析】 ⑴原式21(10)0138)4633=-++=-+(-． ⑵①(15)(2)(5)(1)(10)(3)(2)(12)(+4)+(5)+(+6)=39++-+++-+++-+-+++- 所以小李距离出发点为39千米；②不管向哪个方向行驶都要耗油的，所以根据题意有： 共走了+15+2++5+1++10+3+2++12++4+5++6 =65-----（千米）的里程，所以耗油为650.532.5⨯=（升）．4. 计算下列各题：⑴()30.250.57045⎛⎫-⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭ ⑵ ()110.0333323⎛⎫⎛⎫-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⑶ 735(1)(36)1246⎡⎤-+---⨯-⎢⎥⎣⎦ ⑷ 111(0.25)(5)( 3.5)()2244-⨯-+⨯-+-⨯⑸ 114()1()16845-⨯⨯-⨯ ⑹ 11171113()71113⨯⨯⨯++ ⑺ 1113.55 2.87()() 6.42333⨯-⨯-+-⨯ ⑻1111136()23469⨯+--- 【分析】 ⑴ 小数结合相乘凑成整数．原式()()()330.250.54700.2527055⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯⨯-=-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()313533530.57052510⎛⎫⎛⎫=-⨯-=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑵ 小数化成分数，互为倒数结合相乘为1．原式31001133100322⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦； ⑶ 原式=()735(36)(36)36(1)(36)21273036121246⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯-+-⨯---⨯-=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑷ 原式111111()(5)()( 3.5)()2()(5 3.52)0424442=-⨯---⨯-+-⨯=-⨯-++=；⑸ 原式154()16()2845⎡⎤⎡⎤=-⨯⨯⨯-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；⑹ 原式1113713711311=⨯+⨯+⨯=；⑺ 原式1(3.55 2.87 6.42)03=+-⨯=；⑻ 原式181296411=+---=．5.（1）221( 4.5)(0.25) 3.50.252--÷--÷-（2）()211110.51233⎡⎤⎛⎫⎡⎤----⨯⨯--⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦（3）()()()() 3331113323326⎛⎫⎛⎫--+---⨯-÷---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）()22112 450.85 253⎡⎤⎛⎫+--⨯-÷⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【分析】（1）221( 4.5)(0.25) 3.50.25162--÷--÷-=（2）()213 1110.512332⎡⎤⎛⎫⎡⎤----⨯⨯--=-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦（3）()()()() 333111332311326⎛⎫⎛⎫--+---⨯-÷---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）()2211281 450.85 253170⎡⎤⎛⎫+--⨯-÷=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦6.计算：1111111111111 (1)()(1)()2462468248246 +++⨯+++-+++⨯++【分析】设111246x++=，则原式11111(1)()(1)(1)()(1)886824x x x x x x x x=++-++-=++-+-1111111(1)(1)(1)824882468x x x x x x x x x=+++-++=++=+，∵1112x=，原式518=．7.计算：1111111111()(1)(1)()2320052200422005232004+++⨯+++-+++⨯+++【分析】 设1111232004a ++++=，原式111(1)()(1)200520052005a a a a =-+-+-=8. ⑴写出34-，56-，78-的大小顺序．⑵若a b 、是正数，且满足()()12345111111a b =+-，那么a b 、哪个更大？⑶若2000199920012000A =-，1999199820001999B =-，试比较A 与B 的大小．【分析】 ⑴ 357468->->-． 根据负数比较大小的法则，我们可以先比较34，56， 78的大小．法一：做差法两两比较大小，而后得到答案． 法二：做商法两两比较大小，而后得到答案． 法三：以上两种方法在多者比较大小时比较麻烦，捷径：311()44+-=，511()66+-=，711()88+-=，易得：111468>>， 进而得到答案： 357468->->-．法四：取倒数比较法：41133=，61155=，81177=易得：468357>>，所以：357468<<，进而得到答案．小结：从中可以发现规律：对于真分数m n ，有m m kn n k +<+（,,m n k 为正整数）．⑵212345(111)(111)111111(),a b a b ab =+-=+--即得2111()12345111240a b ab ab -=-+=+> 点评：一般同学们会因数分解12345，取特殊值来判断．⑶ 此题若直接算出A 、B 的值，再比较大小很麻烦．若将A 、B 分别拆项：20001999111111120012000200120002000200120002001A ⎛⎫⎛⎫=-=---=-= ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭，同理可得，1999199812000199919992000B =-=⨯，显然，A B <．9. ⑴已知3181a =，4127b =，619c =，比较a ，b ，c 的大小．⑵设a ，b ，c 均为正数，若c a b a b b c c a <<+++，比较a ，b ，c 的大小．⑶比较22222001200220002003++，22222002200320012004++和22222003200420022005++的大小．⑷设123,,,a a a …，2000a 都是有理数，令121999()M a a a =++⋯+23(a a ++⋯2000)a +，122000231999()()N a a a a a a =++⋯+++⋯，试比较M 、N 的大小．【分析】 ⑴ 因为3143112481(3)3a ===，4134112327(3)3b ===，612611229(3)3c ===，所以a b c >>．⑵ 因为a ，b ，c 均为正数，c a b a b b c c a <<+++，a b b c c ac a b +++>>，各加1得 a b c a b c a b cc a b ++++++>>，所以111c a b >>，所以c a b <<． ⑶ 22222222222220012002200020032001200241200020032000200320002003++---==+++ 22222222222220022003200120042002200341200120042001200420012004++---==+++显然22222001200420002003+>+，则222222222001200220022003112000200320012004++->-++ 即有2222222220012002200220032000200320012004++<++，同理有2222222220022003200320042001200420022005++<++ 即222222222222200120022002200320032004200020032001200420022005+++<<+++．⑷ 设121999x a a a =++⋯，232000y a a a =++⋯，则220002000[()]M N xy xy x y a a -=----2220002000120002000200012000()()x y a a a a a a a a =-+=-+=①若12000a a 0>，则M >N ； ②若12000a a 0=，则M =N ； ③若12000a a 0<，则M <N ．10. ⑴设503a =，404b =，305c =，比较a ，b ，c 的大小．⑵如果10a -<<，那么，请用“<”将a ，a -，2a ，2a -，1a ，1a -连接起来．⑶已知1,0,1b a ab a b <<<+<-用“＜”连接11,,,a b a a b +． 【分析】 ⑴∵50510103(3)243a ===，40410104(4)256b ===，30310105(5)125c ===，∴c a b <<．⑵可以理论推导，也可以用设数法．2211a a a a aa <<-<<-<-⑶由条件0ab <知a ，b 异号；再由1b a <<知a 是小于1的正数，b 是负数；结合1a b +<-则知道b 小于1-，因此1b 是大于1-的负数．综合以上的分析，我们知道01a <<，1b <-，11a >，11a a b -<+<因此有11b a a b a <+<<．1. (1) 若22(1)(1)0a b -++=，则20042005a b += ．第11页(2) 如果2339.48 1.5610=⨯，则20.3948=（ ）A ．1.56B ．0.156C ．0.0156D ．0.00156【分析】 (1) 由题意得2(1)0a -≥，2(1)0b +≥，22(1)(1)0a b -++=，∴1a =，1b =-， ∴200420050ab +=．(2) B ．2. 计算：⑴ 1137(9)32-+- ⑵ 11.254-+【分析】 ⑴1137(9)32-+-11(37)(9)()()32=-+-+-+-5466=-；⑵ 1151.25()1444-+=-+=．3. ⑴ 231(4)()324+÷⨯÷- ⑵ 71()2(3)93-÷⨯+⑶ 11111()()234560-+-÷- ⑷ 44192()77÷- ⑸ 19(7)128(7)33(7)÷--÷-+÷- ⑹5315()( 1.25)(3) 1.4()24423--÷÷-⨯-÷⨯-【分析】 在进行有理数混合运算时，常常将小数化为假分数方便计算．（1）36-；（2）1-；（3）13-；（4）337-；（5）767；（6）2527-．4. 计算下列各题：（1）21293()12323÷+-⨯+（2）221( 4.5)(0.25) 3.50.252--÷--÷-（3）23220072006(2)100(2)(5)(0.25)4-+÷-÷-+⨯（4）()211110.51233⎡⎤⎛⎫⎡⎤----⨯⨯-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦第12页【分析】 （1）21293()1231023÷+-⨯+= （2）221( 4.5)(0.25) 3.50.25162--÷--÷-=（3）2322007200615(2)100(2)(5)(0.25)44-+÷-÷-+⨯=（4）()2131110.512332⎡⎤⎛⎫⎡⎤----⨯⨯--=-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦5. （1）如果10a -<<，那么，请用“<”将a ，a -，2a ，2a -，1a ，1a -连接起来．（2）已知1,0,1b a ab a b <<<+<-用“＜”连接11,,,a b a a b +． 【分析】 （1）可以理论推导，也可以用设数法．2211a a a a aa <<-<<-<-（2）由条件0ab <知a ，b 异号；再由1b a <<知a 是小于1的正数，b 是负数；结合1a b +<- 则知道b 小于1-，因此1b 是大于1-的负数．综合以上的分析，我们知道01a <<，1b <-，11a >，11a a b -<+<因此有11b a a b a <+<<．。
基本运算法则(加减乘除)
基本运算法则（加减乘除）数学是一门基础学科，而基本运算法则则是数学学习的基石。
在数学运算中，加减乘除是最基本的运算符号，掌握好这些运算法则，对于解决实际问题和进一步学习数学都是至关重要的。
本文将详细介绍加减乘除的运算法则，并给出一些例题进行实践应用。
一、加法运算法则加法是最简单的运算方式，它用于计算两个数的和。
在加法运算中，有以下几个基本法则：1. 交换律：两个数相加，可以按照任意顺序进行加法运算，结果是相同的。
即：a + b = b + a。
2. 结合律：如果有多个数进行加法运算，可以先任选两个数进行加法运算，然后再将结果与剩余的数进行加法运算，结果是相同的。
即：(a + b) + c = a + (b + c)。
3. 零元素：任何数与0相加，结果都等于这个数本身。
即：a + 0 = a。
二、减法运算法则减法是从一个数中去掉另一个数的运算方式。
在减法运算中，有以下几个基本法则：1. 减去一个数等于加上该数的相反数。
即：a - b = a + (-b)。
2. 减法不满足交换律和结合律。
即：a - b ≠ b - a，(a - b) - c ≠ a - (b -c)。
三、乘法运算法则乘法是将两个数相乘得到一个新的数的运算方式。
在乘法运算中，有以下几个基本法则：1. 交换律：两个数相乘，可以按照任意顺序进行乘法运算，结果是相同的。
即：a × b = b × a。
2. 结合律：如果有多个数进行乘法运算，可以先任选两个数进行乘法运算，然后再将结果与剩余的数进行乘法运算，结果是相同的。
即：(a × b) × c = a × (b × c)。
3. 单位元素：任何数与1相乘，结果都等于这个数本身。
即：a × 1 = a。
4. 零元素：任何数与0相乘，结果都等于0。
即：a × 0 = 0。
四、除法运算法则除法是将一个数分为若干等份的运算方式。
加减乘除运算法则
加减乘除运算法则1.加法法则：加法是将两个或多个数值相加得到一个运算结果的数学运算。
加法运算遵循以下法则：-交换律：若a、b为任意实数，则a+b=b+a。
这意味着加法可以交换操作数的顺序。
-结合律：若a、b、c为任意实数，则(a+b)+c=a+(b+c)。
这意味着加法可以适用于任意数量的操作数。
2.减法法则：减法是从一个数中减去另一个数得到一个结果的数学运算。
减法运算遵循以下法则：-减法的定义：a-b=a+(-b)。
即减法可以转化为加法运算，通过加上一个负数来实现。
3.乘法法则：乘法是将两个数相乘得到一个运算结果的数学运算。
乘法运算遵循以下法则：-交换律：若a、b为任意实数，则a*b=b*a。
这意味着乘法可以交换操作数的顺序。
-结合律：若a、b、c为任意实数，则(a*b)*c=a*(b*c)。
这意味着乘法可以适用于任意数量的操作数。
-分配律：若a、b、c为任意实数，则a*(b+c)=a*b+a*c。
这意味着乘法可以与加法进行分配运算。
4.除法法则：除法是将一个数分割成若干等分得到一个运算结果的数学运算。
除法运算遵循以下法则：-除法的定义：a/b=c，其中a为被除数，b为除数，c为商。
商乘以除数等于被除数。
-除法的乘法关系：a=b*c，当且仅当a/b=c或a=b/c。
即除法可以通过乘法来定义和计算。
除了以上的基本法则，还有一些其他与加减乘除运算相关的重要概念和法则：-负数和零的运算法则：负数和零与正数的加减乘除运算有一些特殊的规则，如负数与正数相加为负数，负数与负数相乘为正数等。
-运算顺序法则：多个加减乘除运算同时出现时，需要按照一定的顺序进行计算。
一般遵循先乘除后加减的顺序，也可以使用括号来改变运算的顺序。
总之，加减乘除运算法则是数学中最基本和常用的运算法则，它们为我们解决各种数学问题提供了基础和方法。
在进行数学运算时，我们需要牢记这些法则，并在实践中不断巩固和应用它们。
四则运算的法则和规则
四则运算的法则和规则在数学中，四则运算是最基本、最常见的计算方法，包括加法、减法、乘法和除法。
掌握四则运算的法则和规则对于数学学习和实际应用都非常重要。
本文将详细介绍四则运算的法则和规则，以帮助读者更好地理解和运用这些基本运算。
一、加法的法则和规则加法是指将两个或多个数字相加得到它们的和。
下面是加法的法则和规则：1. 加法的交换律：对于任意两个数a和b，它们的和a + b与b + a相等。
换句话说，加法运算的顺序不影响最终的结果。
2. 加法的结合律：对于任意三个数a、b和c，它们的和(a + b) + c与a + (b + c)相等。
换句话说，加法运算可以按照任意顺序进行，最终结果不变。
3. 加法的零元素：任何数与0相加，结果都等于其自身。
例如，对于任意数a，a + 0 = a。
二、减法的法则和规则减法是指将一个数减去另一个数得到差。
下面是减法的法则和规则：1. 减法的定义：对于任意两个数a和b，a - b等于a加上b的相反数。
即 a - b = a + (-b)。
三、乘法的法则和规则乘法是指将两个或多个数字相乘得到它们的积。
下面是乘法的法则和规则：1. 乘法的交换律：对于任意两个数a和b，它们的积a × b与b × a相等。
换句话说，乘法运算的顺序不影响最终的结果。
2. 乘法的结合律：对于任意三个数a、b和c，它们的积(a × b) × c与a × (b × c)相等。
换句话说，乘法运算可以按照任意顺序进行，最终结果不变。
3. 乘法的零元素：任何数与0相乘，结果都等于0。
例如，对于任意数a，a × 0 = 0。
4. 乘法的单位元素：任何数与1相乘，结果都等于其自身。
例如，对于任意数a，a × 1 = a。
四、除法的法则和规则除法是指将一个数除以另一个数得到商。
下面是除法的法则和规则：1. 除法的定义：对于任意两个数a和b（其中b不等于0），a除以b等于a乘以b的倒数。
《加法交换律和乘法交换律》(教学设计)北师大版四年级上册数学
在本节课之前，学生已经学习了加法和乘法的基础知识，对基本的算术运算有一定的掌握。他们在三年级时已经接触过简单的逻辑推理和归纳总结的概念，这为本次课程的学习奠定了基础。然而，学生在理解和运用交换律方面存在差异，有的学生可能对抽象概念的理解不够深入，而有的学生可能在实际运用中缺乏灵活性。
在知识层面，大部分学生已经具备了加法和乘法的基本运算能力，但对交换律的理解和应用还不够熟练。在能力层面，学生的逻辑推理能力和数学建模能力有待提高，他们需要通过实例和练习来进一步培养这些能力。在素质方面，学生的观察力、思考力和创新力需要进一步培养，这将有助于他们在学习过程中发现和理解交换律的本质。
《加法交换律和乘法交换律》（教学设计）北师大版四年级上册数学
课题：
科目：
班级：
课时：计划1课时
教师：
单位：
一、教学内容
《加法交换律和乘法交换律》（教学设计）北师大版四年级上册数学。本节课主要内容是让学生掌握加法交换律和乘法交换律的概念及应用。教材中通过实例和练习引导学生发现并证明这两个交换律，使学生能够理解并熟练运用它们进行简便计算。具体内容包括：
（4）数学阅读：推荐学生阅读一些与数学相关的书籍、文章，拓宽知识面，培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
（5）数学游戏：引导学生玩一些与数学相关的游戏，如数独、数学接龙等，让学生在游戏中锻炼数学思维，提高数学素养。
（6）社会实践活动：组织学生参加一些数学实践活动，如数学讲座、实地考察等，让学生感受数学在实际生活中的应用，提高学生的实践能力。
5. 在你的学校里，参加篮球比赛的人数是参加足球比赛人数的两倍。如果参加足球比赛的人数是80人，那么参加篮球比赛的人数是多少？
答案：
1. （1） 23 + 45 = 68
《加法结合律和乘法结合律》(教案)四年级上册数学北师大版
《加法结合律和乘法结合律》（教案）四年级上册数学北师大版教案：《加法结合律和乘法结合律》四年级上册数学北师大版作为一名经验丰富的教师，我深知教学内容的重要性，因此，我精心准备了这份教案，希望能帮助学生们更好地理解和掌握加法结合律和乘法结合律。
一、教学内容本节课的教学内容主要包括教材中关于加法结合律和乘法结合律的章节。
具体内容包括：1. 加法结合律：三个数相加，可以先把前两个数相加，再和第三个数相加，也可以先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。
2. 乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再和第三个数相乘，也可以先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变。
二、教学目标1. 理解加法结合律和乘法结合律的概念。
2. 能够运用加法结合律和乘法结合律进行简便计算。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
三、教学难点与重点本节课的教学难点和重点是理解和掌握加法结合律和乘法结合律的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、PPT2. 学具：练习本、笔五、教学过程1. 实践情景引入：我通过一个简单的实践情景引入本节课的内容。
例如，我可以提出一个问题：“小明有2个苹果，小华给了小明3个苹果，小红又给了小明5个苹果，请问小明一共有多少个苹果？”2. 例题讲解：例1：2 + 3 + 4 = (2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9例2：2 × 3 × 4 = (2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 243. 随堂练习：在讲解完例题后，我会给出一些随堂练习题，让学生们运用所学的知识进行计算。
例如：练习1：4 + 5 + 6 = ？练习2：7 × 8 × 9 = ？4. 小组讨论：我会将学生们分成小组，让他们讨论如何运用加法结合律和乘法结合律进行简便计算。
每个小组需要选出一个代表进行汇报。
拓展1：加法结合律和乘法结合律还有哪些应用场景？拓展2：你能找出加法结合律和乘法结合律的逆运算吗？六、板书设计加法结合律：a +b +c = (a + b) + c = a + (b + c)乘法结合律：a ×b ×c = (a × b) × c = a × (b × c)七、作业设计1. 完成练习本上的相关练习题。
北师大版数学四年级上册加法交换律和乘法交换律教学设计
加法交换律和乘法交换律1教学目标知识技能：1、理解并掌握加法、乘法交换律，知道减法和除法没有交换律，能根据交换律解决简单的问题。
2、经历视察、猜想、计算、验证、联想、归纳等数学活动过程，能有条理、清楚地阐述自己的观点，发展实践精神和创新能力，掌握科学探究的一般方法。
数学思考与问题解决：通过枚举、视察、比较、推理等活动，培养学生不完全归纳法的演绎推理能力和运用较公道的数学语言进行归纳表达的能力。
情感态度：通过视察、合作、自主探索活动增强学生的简化思想，提高学生的探索兴趣，培养学生团结协作的策略意识。
2学情分析四年级的学生经历了四年的学习经验，他们具有一定的发现问题、提出问题的能力。
同学之间能够较好地合作交流与倾听。
能比较主动地探究新知，运用已有的知识经验学习新知。
学生学习了三位数乘两位数的乘法，初次探索了一些算式的规律，通过计算、比较能够探索出这些规律。
3重点难点重点：经历视察、归纳、猜想、验证的过程，培养学生的视察、概括能力，渗透归纳猜想的数学思想方法。
难点：归纳猜想的数学思想方法渗透。
4教学过程活动1【导入】复习导入激发兴趣投影出示数学书第50页主题图的两组算式：4+6= 3×5=6+4= 5×3=请学生口答算式结果。
我们利用我们学过的知识快速的计算出了结果，那么关于加法和乘法，还有很多有趣的知识等待我们去学习，你们愿意吗？活动2【讲授】探求新知1、视察并猜想。
（1）视察上面的算式，说说你有哪些发现。
学生根据直观视察，不难得出每组算式的得数都相同。
（2）引发思考：为什么每组算式的得数相同。
请同学们以小组为单位展开深入的研究。
教师投影出示探究活动具体要求：①看清每组算式中的运算符号。
②视察每组算式中的两个数，思考：什么变了，什么没变？③小组讨论并思考：为什么结果没变？（3）学生小组学习后，有序汇报。
2、举例验证（一）（1）通过视察上面一组算式，我们感受到如果交换加数和乘数的位置，它们的结果都是一样的。
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加法乘法法则起源——枚举法分类加法法则（关键词：互斥，讨论）1. 一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是_______ ;2. 从A 地到B 地,可乘汽车、火车、轮船三种交通工具,如果一天内汽车发3次,火车发4次,轮船发2次,那么一天内从A 地到B 地乘坐这三种交通工具的不同走法为( )A.1+1+=3B.3+4+2=9C.3×4×2=24D.以上都不对 【答案】B【解析】根据选择工具的不同，分三类，利用分类计数原理，选B 。
3. 一幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有()A ．45种B ．36种C ．28种D ．25种 【答案】C【解析】因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C 28＝28种走法．4. 在1到20这20个整数中，任取两个数相减，差大于10，共有几种取法？ 【答案】45(种) 【解析】由题意知，被减数可以是12,13,14,15,16,17,18,19,20共9种情况，当被减数依次取12,13，…，20时，减数分别有1,2,3，…，9种情况，由分类加法计数原理可知，共有1＋2＋3＋…＋9＝45(种)不同的取法．分部乘法法则（关键词：独立）5. 6名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有种。
【答案】729【解析】根据分步乘法计数原理获得冠军的可能性有72933333336==⨯⨯⨯⨯⨯。
考点：分步乘法计数原理的应用，6. 有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有( )种A ．21 B.315 C. 143 D.153 【答案】C【解析】根据题意，从中选出不属于同一学科的书2本，包括3种情况： ①一本语文、一本数学，有9×7=63种取法， ②一本语文、一本英语，有9×5=45种取法，③一本数学、一本英语，有7×5=35种取法， 则不同的选法有63+45+35=143种； 故选C ．7. 9名乒乓球运动员，男5名，女4名，现要从中选出2名男队员、2名女队员进行混合双打比赛，不同的配对方法共有（ ） A ．60种 B ．84种 C ．120种 D ．240种 【答案】C【解析】解：根据题意，首先从9名球运动员中选出2名男队员、2名女队员，有C 52•C 42=10×6=60种； 再对选出的4人进行分组，进行混双比赛，有2种方法； 则不同的配对方法有60×2=120种； 故答案为C8. 给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A ，B ，后两个字符用a ，b ，c （允许重复），则不同编号的书共有（）A. 8本B. 9本C. 12本D. 18本 【答案】D【解析】因为利用分步计数乘法原理可知，那么先安排首字符有2种，结合安排后面的两个字符有9种，则不同的编号共有12种，选D 9. 4张卡片的正、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成________个不同的三位数． 【答案】168【解析】要组成三位数，根据首位、十位、个位应分三步： 第一步：首位可放8－1＝7(个)数； 第二步：十位可放6个数； 第三步：个位可放4个数．故由分步计数原理，得共可组成7×6×4＝168(个)不同的三位数．10. 某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了五种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同选择，则餐厅至少还需准备多少不同的素菜品种？（要求写出必要的解答过程）【答案】至少应有7种素菜【解析】本试题主要是考查了正确应用乘法计数原理，组合数以及不等式运算，n 为最小正整数。
本题关键在于2菜2素有无顺序．解：在5种不同的荤菜中取出2种的选择方式应有1025=C 种，设素菜为x 种，则200252≥⋅C C x 解得7≥x ， 答：至少应有7种素菜乘法加法综合应用 区别分类和分步11. 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母 A ～G 或 U ～Z , 后两个要求用数字1～9，问最多可以给多少个程序命名？分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第 1 步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符．而首字符又可以分为两类．【解析】先计算首字符的选法．由分类加法计数原理，首字符共有7 + 6 = 13 种选法．再计算可能的不同程序名称．由分步乘法计数原理，最多可以有 13×9×9 = = 1053个不同的名称，即最多可以给1053个程序命名． 12. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ ③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？【解析】(1) 从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4 种方法；第2 类方法是从第2 层取1本文艺书，有3 种方法；第3类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是123N m m m =++=4+3+2=9;( 2 ）从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书，可以分成3个步骤完成：第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取1本文艺书，有 3 种方法；第 3 步从第3层取1 本体育书，有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是123N m m m =⨯⨯=4×3×2=24 .（3）26232434=⨯+⨯+⨯=N 。
13. 随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字，并且 3 个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？ 【解析】将汽车牌照分为 2 类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右．字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；第2步，从剩下的25个字母中选 1个，放在第2位，有25种选法； 第3步，从剩下的24个字母中选 1个，放在第3位，有24种选法； 第4步，从10个数字中选1个，放在第 4 位，有10种选法； 第5步，从剩下的 9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法； 第6步，从剩下的 8个字母中选1个，放在第6位，有8种选法． 根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有 26 ×25×24×10×9×8=11 232 000（个） . 同理，字母组合在右的牌照也有11232 000 个． 所以，共能给11232 000 + 11232 000 = 22464 000（个） . 辆汽车上牌照．涂色问题14. 如图,要给地图A 、B 、C 、D 四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步, m1 = 3 种,第二步, m2 = 2 种,第三步, m3 = 1 种,第四步, m4 = 1 种,所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有N = 3 × 2 ×1×1 = 615. （1）如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？（2）若颜色是2种，4种，5种又会什么样的结果呢？16. 如图所示，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种．【答案】180【解析】按区域分四步：第一步A区域有5种颜色可选；第二步B区域有4种颜色可选；第三步C区域有3种颜色可选；第四步由于D区域可以重复使用区域A中已有过的颜色，故也有3种颜色可选．由分步计数原理知，共有5×4×3×3＝180(种)涂色方法．人员分配问题17. 2012年山东文博会期间,某班有甲、乙、丙、丁四名学生参加了志愿者服务工作.将这四名学生分配到A,B,C三个不同的展馆服务,每个展馆至少分配一人.若甲要求不到A馆,则不同的分配方案有( ) (A)36种 (B)30种 (C)24种 (D)20种【答案】C【解析】甲要求不到A馆,分三种情况:一是A馆只有1人,甲不是单独的,则有3×2×2=12种;二是A 馆只有1人,甲是单独的,则有3×2=6(种);三是A 馆有2人,共有3×2=6(种),由分类加法计数原理知,共有12+6+6=24种不同的分配方案. 18. a,b,c,d,e 共5个人,从中选1名组长1名副组长,但a 不能当副组长,不同的选法总数是( ) (A)20 (B)16 (C)10 (D)6 【答案】B【解析】分步完成此事:第一步选副组长有4种选法;第二步选组长有4种选法,由分步乘法计数原理知共有4×4=16(种)不同的选法.19. 某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车。
每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有种； 【答案】24【解析】由题意，第一类，大一的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的年级，从三个年级中选两个为23C ，然后分别从选择的年级中再选择一个学生，为1122C C ，故有23C 1122C C =3×2×2=12种． 第二类，大一的孪生姐妹不在甲车上，则从剩下的3个年级中选择一个年级的两名同学在甲车上，为13C ，然后再从剩下的两个年级中分别选择一人（同第一类情况），这时共有13C 1122C C =3×2×2=12种因此共有24种不同的乘车方式，故选B ．20. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班级，每个班级至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班级，则不同分法的总数为. 【答案】30【解析】第一步：将四名学生分成3组且甲乙不在同一组有2415C -=种方法；第二步：将3组分配到三个班级有336A =种方法。