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分布函数、均匀分布、指数分布函数-精品文档
所以 X 的分布律为
X pk
3
0 .1
4
0 .3
5
0 .6
例4、 向[0,1]区间随机抛一质点，以 X表示质点坐标. 假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间 长度成正比，求 X的分布函数. 解：F x P { X x } 当 x 时 0,
F x 0 ;
1, 当 x 时
F A B 0 1 1 2 A B 2 A F B 1 2
1 1 所以 F r c t a n x x a 2
例2. 已知随机变量X 的分布律为 求分布函数 F ( x )
X
pk
0 1 3
1
2
1 2
1 6
F ( x ) P { X x } 解:
F x 1
当0 时 , x 1
F ( x ) P { X x } P { 0 X x } kx
特别,令 x 1, P k 1 { 0 X 1 } k 1 1
, x0 0 F (x ) ＝ P { X x } ＝ , 0x1 x 1 x1 ,
F ( x ) F ( x ) P { X x } 2 1 1
同理，还可以写出 P P { x X x } { x X x }, 1 2 1 2
二、分布函数的性质
，则 F ⑴ 单调不减性： ( x ) F ( x ) 若 x 1 2 1 < x2
F ( x ) 1，且 F ( ) l i m F () x 0 , ⑵ 0
一般地，设离散型随机变量 X 的分布律为
P { X x } p , k 1 , 2 , 3 , k k
X pk
3
0 .1
4
0 .3
5
0 .6
例4、 向[0,1]区间随机抛一质点，以 X表示质点坐标. 假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间 长度成正比，求 X的分布函数. 解：F x P { X x } 当 x 时 0,
F x 0 ;
1, 当 x 时
F A B 0 1 1 2 A B 2 A F B 1 2
1 1 所以 F r c t a n x x a 2
例2. 已知随机变量X 的分布律为 求分布函数 F ( x )
X
pk
0 1 3
1
2
1 2
1 6
F ( x ) P { X x } 解:
F x 1
当0 时 , x 1
F ( x ) P { X x } P { 0 X x } kx
特别,令 x 1, P k 1 { 0 X 1 } k 1 1
, x0 0 F (x ) ＝ P { X x } ＝ , 0x1 x 1 x1 ,
F ( x ) F ( x ) P { X x } 2 1 1
同理，还可以写出 P P { x X x } { x X x }, 1 2 1 2
二、分布函数的性质
，则 F ⑴ 单调不减性： ( x ) F ( x ) 若 x 1 2 1 < x2
F ( x ) 1，且 F ( ) l i m F () x 0 , ⑵ 0
一般地，设离散型随机变量 X 的分布律为
P { X x } p , k 1 , 2 , 3 , k k
概率统计第二章 一维随机变量及其分布
例23设随机变量将每次射击看成一次随机试验所需考查的试验结果只有击中目标和没有击中目标因此整个射击过程为424设某射手独立地向一目标射击4次每次击中目标的概率为0求该射手在4次射击中命中目标次数x分布律并问x取何值时的概率最大
第二章 一维随机变量及其分布
1
§1 随机变量及其分布函数
一、随机变量的概念
P{X xi} pi ， i 1, 2, ．
就称上式为离散型随机变量 X 的分布律或概率分布．
14
10P1X 2
离散型随机变量 X 的分布律或概率分布也记为
X
x1
x2
xi
P
p1
p2
pi
或
X
~
x1 p1
x2 p2
xi pi
，
其中 x1, x2 , , xi , 互不相同，且可能为有限个 x1, x2 , , xn ．
P{X 2} C42 0.62 0.42 0.3456 ，
P{X 3} C43 0.63 0.41 0.3456 ，
P{X 4} C44 0.64 0.40 0.1296 。
O 1234 x
例 2.5 设某机械产品的次品率为 0.005，试分别求任意1000 个产品中恰有10个次品的概率和不多于 5 个次品的概率．
所以 X 取奇数的概率为
1
i 1
P{X
2i 1}
1 2
1 23
2 2． 1 (1)2 3
20
2
二、几种常见的离散型随机变量的概率分布 1． 0 1两点分布
定义 2.3 如果随机变量 X 的分布律为 P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1 ， 0 p 1
即
X
0
第二章 一维随机变量及其分布
1
§1 随机变量及其分布函数
一、随机变量的概念
P{X xi} pi ， i 1, 2, ．
就称上式为离散型随机变量 X 的分布律或概率分布．
14
10P1X 2
离散型随机变量 X 的分布律或概率分布也记为
X
x1
x2
xi
P
p1
p2
pi
或
X
~
x1 p1
x2 p2
xi pi
，
其中 x1, x2 , , xi , 互不相同，且可能为有限个 x1, x2 , , xn ．
P{X 2} C42 0.62 0.42 0.3456 ，
P{X 3} C43 0.63 0.41 0.3456 ，
P{X 4} C44 0.64 0.40 0.1296 。
O 1234 x
例 2.5 设某机械产品的次品率为 0.005，试分别求任意1000 个产品中恰有10个次品的概率和不多于 5 个次品的概率．
所以 X 取奇数的概率为
1
i 1
P{X
2i 1}
1 2
1 23
2 2． 1 (1)2 3
20
2
二、几种常见的离散型随机变量的概率分布 1． 0 1两点分布
定义 2.3 如果随机变量 X 的分布律为 P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1 ， 0 p 1
即
X
0
2.3一维连续型随机变量及其概率密度
2 解： (1) f ( x ) dx 0 (ax b)dx 2a 2b 1
P{1 X 3}
3 1 f
( x )dx
2 1 (ax b)dx
1.5a b 0.25
a 0.5, b 1
0.5 x 1 0 x 2 f ( x) 其他 0
0t 2 其他
t f (t ) 2 0
F ( x)
x
f ( t )dt
定义2.3.1 设随机变量X 的分布函数为F (x), 若存 在非负函数 f (x), 使得对 x R 有
x F ( x) f ( t )dt
则称X 为连续型随机变量, f (x)为X 的概率密度函数,
u
x
t
1 e 2
( t )2 2 2
dt
x dt du
( x )
1 2
u2 e 2
du
* X ~ N ( , 2 ),
x X x F ( x ) P{ X x } P b a P {a X b} a P{ X a } 2 1
b a
f ( x )dx
(4) 在 f ( x ) 的连续点x 上，F ( x ) f ( x )；
(5) c R,
P{ X c} 0.
性质（4）： 在 f (x)的连续点 x 处
F ( x x ) F ( x ) f ( x ) lim x 0 x P { x X x x } lim x 0 x
P{1 X 3}
3 1 f
( x )dx
2 1 (ax b)dx
1.5a b 0.25
a 0.5, b 1
0.5 x 1 0 x 2 f ( x) 其他 0
0t 2 其他
t f (t ) 2 0
F ( x)
x
f ( t )dt
定义2.3.1 设随机变量X 的分布函数为F (x), 若存 在非负函数 f (x), 使得对 x R 有
x F ( x) f ( t )dt
则称X 为连续型随机变量, f (x)为X 的概率密度函数,
u
x
t
1 e 2
( t )2 2 2
dt
x dt du
( x )
1 2
u2 e 2
du
* X ~ N ( , 2 ),
x X x F ( x ) P{ X x } P b a P {a X b} a P{ X a } 2 1
b a
f ( x )dx
(4) 在 f ( x ) 的连续点x 上，F ( x ) f ( x )；
(5) c R,
P{ X c} 0.
性质（4）： 在 f (x)的连续点 x 处
F ( x x ) F ( x ) f ( x ) lim x 0 x P { x X x x } lim x 0 x
分布函数及其基本性质ppt课件
0, x 1
F
(x)
0.2,1
0.7,2
x2 x4
，
1, x 4
(1)
求 P(X
3)
,
P(
1 2
X
3) 及 P(X
2)
;
(2) 求 X 的分布律.
解 (1) P (X3 )F (3 )0 .7
P(1 X 3) F(3)F(1)0.70.20.5
2
2
.
P (X 2 ) 1 P (X 2 ) 1 P (X 2 ) P (X 2 )
1 F ( 2 ) F ( 2 0 ) F ( 2 0 )
1 0 .7 0 .5 0 .8
(2) 由于 P(X X 0 ) F(x0 0) F(x0 0) ,可得
P (X 1 ) 0 .2 0 0 .2 ,
P (X 2 ) 0 .7 0 .2 0 .5 ,
P (X 4 ) 1 0 .7 0 .3
或者
F()limF(x)0 x
不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是随机变量的 分布函数.
.
例 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标. 设这个质点落在 [0, a]中任意小区间内的概率与这个小区间的 长度成正比，试求 X 的分布函数.
解：设 F(x) 为 X 的分布函数， 0
F(x)
1
1 2
12
16
O
13
O
16
O
0
1
2
x
.
已知 X 的分布律为
X 1 0 1 2 求X的分布函数，
1 1 1 1 并画出它的图形。
P 2 3 12 12
0
(x 1)
一维随机变量函数的分布(PPT课件)
y}
①
1 2π
y
y
e
x2 2
dx
2 2π
y
0
e
x2 2
dx
所以 当y 0时, fY ( y ) FY ( y )
y0 0, y 即 fY ( y ) 1 2 e ,y0 2 πy
概率统计（ZYH）
y 1 e 2 2πy
②
y =0时可任 意规定其值
概率统计（ZYH）
例2 设随机变量X的分布律为
1 P{ X k } k , k 1, 2, 2
求随机变量函数 Y sin X 的分布律． 解
2 1 2 P{Y 1} P{ X 4k 1} 4 k 1 15 k 1 k 1 2 1 1 P{Y 0} P{ X 2k } 2 k 3 k 1 k 1 2 1 8 P{Y 1} P{ X 4k 3} 4 k 3 15 k 1 k 1 2
yb a
e
( x ) 2 2
dx
[ y ( a b )]2 2 ( a ) 2
所以 fY ( y ) FY ( y )
1 e 2π a
定理1 的推论
亦即Y=aX+b 服从正态分布N( a+b, a2 2)
定理2 X ~ N ( , )
2
Y
X
本例正是连续型随机变量函数分布密度的计算方法
定理1 设 X 服从正态分布N( , 2), 则随机变
量Y=aX+b 服从正态分布N( a+b, a2 2)
证 （以a >0为例证明）
概率论与数理统计 --- 第二章{一维随机变量及其分布} 第三节：随机变量的分布函数
概率论
F ( ) lim F x 1
x
o X
x x
x
4. F(x) 右连续, 即: lim F ( x ) F ( x0 )
x x0
如果一个函数具有上述性质, 则一定是某个r.v. X 的分布函数. 也就是说，
性质1-4是鉴别一个函数是否是某 r.v. 的分布函数的充分必要条件.
x 0 X
x1 X
2
x
1 x < 2 时， 1 1 1 F (x) = P{X=0}+ P{X=1}= + = 6 3 2 当 x 2 时， F (x) = P{X=0} + P{X=1} + P{X=2}= 1
当
概率论
0
0, 1 , 3 故: F ( x ) 1 , 2 1,
P{ x1<X x2} =P{ X x2 } - P{ X x1 } = F(x2)-F(x1)
x x o X1 X X2 X
x
例1 设 随机变量 X 的分布律为 X
pk
概率论
0
1
2
12
13 16
求 X 的分布函数 F (x) .
解:
F(x) = P(X x) 当 x<0 时，{ X x } = ， 故 F(x) =0 当 0 x < 1 时， 1 F(x) = P{X x} = P(X=0) = 3
1
x 2X x X x
x0 0 x 1 1 x 2 x2
注意右连续
概率论
F ( x )的分布函数图
y11 21 Nhomakorabea 13O
§2.3 一维分布函数
显然，当 t 0时，F (t ) P (T t ) 0, 从而
1 e , t 0, F (t ) t 0. 0,
t
（2）所求概率为
P (T 12, T 6) p P (T 12 | T 6) P (T 6) P (T 12) 1 F (12) e 12 6 6 e . P (T 6) 1 F (6) e
F ( x ) P ( X x ), x
称F(x)为随机变量X的分布函数，有时也记为
FX ( x ).
由此定义可知，若F(x)是X的分布函数，
则有
P (a X b) P ( X b) P ( X a ) F (b) F (a ).
例 2.3.1 求例2.2.1中随机变量X的分布函数。
0702100630027一般地若x是离散型随机变量且具有分布律对每个例设随机变量x的分布函数为各组数值中应取布函数在下列给出的使是某随机变量的分函数为的分布例设一大型设备在任何长度为t的时间内发生故障的次数nt服从参数为t的泊松分布
§2.3 一维分布函数
定义2.3.1 设X是一随机变量(包括离散及 非离散型)，对任意实数x，定义
作业 P19-20
例 已知患色盲者占0.25%，则为发现一例患 色盲患者至少要检查25人的概率？
检查24人无一人患色盲
3 2 ( A) a , b 5 5 1 3 (C ) a , b 2 2
2 2 ( B) a , b 3 3 1 3 ( D) a , b 2 2
例 设一大型设备在任何长度为t的时间内 发生故障的次数N(t)服从参数为t的泊松分布. 求相继两次故障时间间隔T的分布函数；
2.3 一维分布函数
∞<X≤b} - {∞ <X≤a} 且 {∞ <X≤a} {∞<X≤b} 因此， P{a<X≤b}= P {X≤b}-P {X≤a}
例 设随机变量X具分布律如下表 试求出X的分布函数。 解
F ( x )＝ P ( X x )
0, 0 . 1, ＝ 0 .7 , 1, x 1, 0 x 1, 1 x 2, x 2.
1
F (x)
X
0
1
2
P 0.1 0.6 0.3
0
1
2
x
分布函数的性质：
1
2
3
0 F ( x ) 1,
x ( , );
F ( x ) 是 x 的单调不减函数；
F ( ) lim F ( x ) 0 , F ( ) lim F ( x ) 1;
x x
(1)若 P{X=xk}=pk (k=1,2,…), 则
F ( x ) P { X x} P {a X b}
xk x
pk ;
a xk b
pk .
(2) 已知分布函数F(x), 则 P{X= xk} = F(xk)- F(xk-0) (k=1,2,…) ; P{a< X≤ b} = F(b)- F(a) ; P{a ≤X< b} = F(b)- F(a) + P{X=a}-P{X=b} ≠ F(b)- F(a).
例 设离散型随机变量X的分布函数为
0, 0 . 1, F ( x ) 0 .4 , 0 .8, 1, x 0; 0 x 1; 1 x 2; 2 x 3; x 3.
例 设随机变量X具分布律如下表 试求出X的分布函数。 解
F ( x )＝ P ( X x )
0, 0 . 1, ＝ 0 .7 , 1, x 1, 0 x 1, 1 x 2, x 2.
1
F (x)
X
0
1
2
P 0.1 0.6 0.3
0
1
2
x
分布函数的性质：
1
2
3
0 F ( x ) 1,
x ( , );
F ( x ) 是 x 的单调不减函数；
F ( ) lim F ( x ) 0 , F ( ) lim F ( x ) 1;
x x
(1)若 P{X=xk}=pk (k=1,2,…), 则
F ( x ) P { X x} P {a X b}
xk x
pk ;
a xk b
pk .
(2) 已知分布函数F(x), 则 P{X= xk} = F(xk)- F(xk-0) (k=1,2,…) ; P{a< X≤ b} = F(b)- F(a) ; P{a ≤X< b} = F(b)- F(a) + P{X=a}-P{X=b} ≠ F(b)- F(a).
例 设离散型随机变量X的分布函数为
0, 0 . 1, F ( x ) 0 .4 , 0 .8, 1, x 0; 0 x 1; 1 x 2; 2 x 3; x 3.
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4° F(x)至多有可列个间断点，且在间断点 处右连续。 已知 F(x)时，求概率： P{a < X ≤b} F (b) F (a )
P{X x } F (x ) F (x 0) 0 0 0
注：事件(X=c)并非不可能事件，它是会发生 的，也就是说零概率事件也是有可能发生的。 如X为被测灯泡的寿命。若灯泡寿命都在1000 小时以上，而P(X=1000)=0，但事件(X=1000) 是一定会发生的，否则不会出现事件(X>1000)， 所以 不可能事件的概率为零，但概率为零的事 件不一定是不可能事件。 同样，必然事件的概率为1，但概率为1的事件 不一定是必然事件。
x 0; 0 x 1; 1 x 2; x 2.
1
F ( x)
(2)
P{0 ≤ X≤1.5} = P{0< X≤1.5}+P{X=0} = F(1.5)-F(0)+ P{X=0} = 0.8-0.3+0.3= 0.8.
0
1
2
x
离散型随机变量的分布函数
离散型随机变量X的分布函数的图形是阶梯曲 线,它在X的一切有正概率的点xk处都有一个跳 跃，其跃度为X取值xk的概率pk , 而在分布函数 的任何一个连续点x上, X取值x的概率都是0,
例 设离散型随机变量X的分布函数为
x 0; 0, 0.1, 0 x 1; F ( x ) 0.4, 1 x 2; 0.8, 2 x 3; x 3. 1, (1) 求X的概率分布；
(2) 求P{X≤2| X≠0}.
解：(1) 由已知，X的可能值为：0,1,2,3， 由P{X= xk} = F(xk)- F(xk-0) 得 P{X=0} = F(0)- F(0-0)=0.1， P{X=1} = F(1)- F(1-0)=0.4-0.1=0.3， P{X=2} = F(2)- F(2-0)=0.8-0.4=0.4， P{X=3} = F(3)- F(3-0)=1-0.8=0.2。 概率分布表为
x x1 0, p, x1 x x2 1 p1 p2 , x2 x x3 F ( x) k pi , xk x xk 1 i 1
离散型随机变量X的概率分布与分布函 数及事件概率的关系：
(1)若 P{X=xk}=pk (k=1,2,…), 则
定义 设X是一个随机变量, x是任意实数, 记 F(x)=P{X≤x} 称F(x)为随机变量X的分布函数。 特别地，(1) P{a<X≤b}= F(b)-F(a)。 (2) 若X是取值为xk的离散随机变量，则
F ( x) p{ X xk }.
xk x
在这个意义上可以说，分布函数完整地描述了随机 变量的统计规律性，或者说，分布函数完整地表示了 随机变量的概率分布情况。
X p 0 0.1 1 0.3 2 0.4 3 0.2
(2)
P{ X 2 | X 0}
P{ X 2, X 0} P{ X 0} P{ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱX 1} P{ X 2} P{ X 0} 7 . 9
由于 {a<X≤b}= {∞<X≤b} - {∞ <X≤a} 且 {∞ <X≤a} {∞<X≤b} 因此， P{a<X≤b}= P {X≤b}-P {X≤a}
例 设随机变量X具分布律如下表 试求出X的分布函数。 解
X 0 1 2
F ( x)＝P( X x)
x 1, 0, 0.1, 0 x 1, ＝ 0.7, 1 x 2, x 2. 1,
第二章
2.3
一维分布函数
一维分布函数
前一节介绍的离散型随机变量，我们可用分布律来完整地描 述。而对于非离散型随机变量，由于其取值不可能一个一个 列举出来，而且它们取某个值的概率可能是零。例如：在测 试灯泡的寿命时，可以认为寿命X的取值充满了区间[0,+∞)， 事件X=x0表示灯泡的寿命正好是x0,在实际中，即使测试数百 万只灯泡的寿命，可能也不会有一只的寿命正好是x0，也就 是说，事件(X=x0)发生的频率在零附近波动，自然可以认为 P(X=x0)=0。 由于许多随机变量的概率分布情况不能以其取某个值的概率 来表示，因此我们往往关心随机变量X取值落在某区间 (a,b] 上的概率P(a<X≤b)。 由于{a<x≤b}={x≤b}-{x≤a},(a≤b)，因此对任意x∈R，只要 知道事件{X≤x}发生的概率，则X落在(a,b]的概率就立刻可得。 因此我们用P(X≤x)来讨论随机变量X的概率分布情况。 P(X≤x)：“随机变量X取值不超过x的概率”。
P 0.1 0.6 0.3
F ( x)
1
0
1
2
x
分布函数的性质：
1 0 F ( x ) 1, x (,); 2 F ( x )是x的单调不减函数；
3
F () x lim F ( x ) 0 , F ( ) lim F ( x ) 1 ; x
练习 设随机变量X的分布律为
X p 0 0.3 1 0.5 2 0.2
求X的分布函数F(x)及概率P{0 ≤ X≤1.5}。
分析： X是一个离散型随机变量，其取值 为0，1，2，可用
F ( x)
求解F(x).
xk x
p{ X x }
k
解：
0, 0.3, (1) F ( x ) 0.8, 1,
F ( x) P{X x} pk ;
xk x
P{a X b}
a xk b
pk .
(2) 已知分布函数F(x), 则 P{X= xk} = F(xk)- F(xk-0) (k=1,2,…) ; P{a< X≤ b} = F(b)- F(a) ; P{a ≤X< b} = F(b)- F(a) + P{X=a}-P{X=b} ≠ F(b)- F(a).