概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布
概率论知识点一维随机变量
一维随机变量是概率论中一个重要的概念。
在概率论中，我们经常需要研究各种随机现象，而一维随机变量是对这些现象进行建模和描述的工具之一。
通过一维随机变量，我们可以从数学的角度来分析和研究随机现象的规律性和不确定性。
一维随机变量是指只有一个自变量的随机变量。
在概率论中，我们将这个自变量通常记作X，并且我们通常定义了一个函数P(X=x)，表示随机变量X取到某个特定值x的概率。
这个函数通常被称为概率密度函数（Probability Density Function，PDF）或者概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）。
在研究一维随机变量时，我们通常会关注一些重要的性质和特征。
下面，我将逐步介绍一些常见的概率论知识点和相关概念。
第一步：随机变量的定义我们首先需要明确一维随机变量的定义。
一维随机变量可以是离散的，也可以是连续的。
离散随机变量是指取值有限或者可数的随机变量，而连续随机变量是指取值是一个区间或者整个实数集的随机变量。
对于离散随机变量，我们可以通过概率质量函数（PMF）来描述。
PMF可以给出随机变量取各个值的概率。
对于连续随机变量，我们则需要使用概率密度函数（PDF）来描述。
PDF是一个非负函数，且满足积分为1的条件。
它可以用来描述随机变量落在某个区间的概率。
第二步：一维随机变量的期望和方差一维随机变量的期望和方差是对随机变量的中心位置和离散程度进行度量的重要指标。
期望是对随机变量的平均值的度量。
对于离散随机变量，期望可以通过求加权平均值得到，其中权重是每个值的概率。
对于连续随机变量，期望可以通过对概率密度函数乘以自变量后积分得到。
方差是对随机变量离散程度的度量。
它描述了随机变量取值与其期望的偏离程度。
方差可以通过计算每个值与期望的差的平方后加权平均得到。
第三步：一维随机变量的分布一维随机变量的分布是描述随机变量取值的概率分布情况的重要工具。
常见的离散分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
概率论与数理统计：2-1 一维随机变量及其分布
o• o
x0 x
•
2
o
x
x
小结一下：
1. 随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数. 2. 两类重要的随机变量:离散型、连续型. 3. 随机变量的分布函数描述随机变量的取值规律.
F(x) P{X x}, x R.
4. 分布函数的性质： 有界性、单调不减、规范性、处处右连续.
三、离散型随机变量的分布律
四、常见离散型随机变量的概率分布
1.退化分布(单点分布）
若随机变量X取常数值C的概率为1,即
P(X C) 1
则称X服从退化分布.
2.两点分布
设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为
X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布.记为X~B(1,p)
3.均匀分布
如果随机变量 X 的分布律为
(2) F(x1) F(x2), (x1 x2); (单调不减性)
(3) F() lim F(x) 0, F() lim F(x) 1;
x
x
(4)
lim
xx0
F
(x)
F
( x0
),
( x0 ).(右连续性)
反过来,如果一个函数具有上述性质，则一定是
某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(4)是鉴
X
a1
a2 an
pk
1 11 nn n
其中(ai a j ), (i j) ,则称 X 服从均匀分布.
实例 抛掷匀质骰子并记出现的点数为 X,
则有 X pk
12 11
66
34 11
66
56 11 66
概率论与数理统计第三章
x y 1
y=x G D O 1 x+y=1 x
f ( x, y )dxdy
(2)
P(Y X )
2
dx
0
1
x
2
x
2dy 1 / 3 .
y 1 0
y = x2
y=x G
1 x
(3) P(| X | 0.3) P(0.3 X 0.3)
pij P( X xi ) P(Y y j X xi ) .
例3.1.1 设随机变量X在1,2,3三个整数中等可能取值，另一个随机 变量Y在1~X中等可能地取一整数值，求(X,Y)的概率分布。
解：由假设，随机变量X的可能取值为1,2,3. 而Y≤X，故Y 的可能取值范围也 为1,2,3. 首先，当 j>i 时，{X=i,Y=j} 为不可能事件，故 P(X=i,Y=j)=0，j>i. 当 j≤i 时，根据概率的乘法公式，有 P(X=i,Y=j)=P(X=i)•P(Y=j | X=i) =1/i • 1/3，i=1,2,3. 由此得(X, Y)的概率分布如下：
3.2 边缘分布
二维随机变量的联合分布是把(X，Y)看作一个整体的 分布。其中分量X和Y都是一维随机变量，也有各自的 分布，分别称X和Y的分布为二维随机变量(X，Y)关于 X和Y的边缘分布。 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，分别记 关于X和Y的边缘分布函数为Fx(x)和Fy(y)，由于 Fx(x)=P(X≤x,Y<+∞ )=F(x,+∞ ), 同理，有 Fy(y)=F(+∞ ,y). 由此看出，边缘分布函数Fx(x)，Fy(y)完全由联合分布 函数F(x，y)来确定。
概率论与数理统计第3章
试求常数a和b。
π F xlim F x a b 2 0 解： F lim F x a b π 1 x 2
1 1 a , b 2 π
P ( 2 4) P ( 2) P ( 2 4) 0.3 0.6 0.5 0.4
P ( 3) 1 P ( 3) 1 0.5 0.5
6
例3：设r.v. 的分布函数
F x a b arctan x
b a
因此求概率可从分布函数与密度函数两条途径入手。
5、密度的图像称分布曲线，相应有两个特征： ⑴ 曲线在x轴上方；
概率面积
y
f(x)分布曲线
⑵ 曲线于x轴之间的 面积是1。
x c o d
10
例4：设 的密度在[a,b]以外为0，在[a,b]内为
一常数 ，
， a x b f ( x) 0， 其它
x2 2
16
⑶ f(x)符合密度函数的两性质： ① f(x) > 0；②
f x d x 1。
x2 2
以标准正态分布为例， e
e d t e
t2 2 2 x2 2
d x 称为高斯积分。
dy
r2 2 0
从F(x)求f(x)： f x F x 从f(x)求F(x)： F x f t d t
x
9
4、对于连续型随机变量 ，
⑴ P a 0 ，即某指定点的概率为0； ⑵ Pa b Pa b
Pa b Pa b f x d x
概率论与数理统计总结之第三章
第三章 多维随机变量及其分布第一节二维随机变量的概念1.二维随机变量定义：设(X,Y)是二维随机变量，记为:(,){()()}=≤⋂≤F x y P X x Y y (,)=≤≤P X x Y y (,)-∞<<∞-∞<<∞x y称(,)F x y 为X 与Y 的分布函数，或称X 与Y 的联合分布函数}}(){{(,lim (,)→+∞=≤=≤≤+∞=X y F x P X x P X x Y F x y}}(){{,lim (,)→+∞=≤=≤+∞≤=Y x F y P Y y P X Y y F x y分布函数(,)F x y 性质:1）(,)F x y 是变量x 和变量y 的不减函数，(分别关于x 和y 有单调不减性) 2）0(,)1≤≤F x y ，任意一边趋于-∞＝０.F(∞，∞)=1（用来确定未知参数）.3）(,)(0,)(0,0)=+=++F x y F x y F x y ，即(,)F x y 分别关于x 右连续，关于y 也右连续,4）对于任意11221212(,),(,),,,<<x y x y x x y y 下述不等式成立(可用于判定二元函数(,)F x y 是不是某二维随机变量的分布函数):22211112(,)(,)(,)(,)0-+-≥F x y F x y F x y F x y 2.二维离散型随机变量:定义:如果二维随机变量(X,Y)只取有限对或可列无穷多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量其概率{,},,1,2,====i i ij P X x Y y p i j …为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X 和Y 是联合分布律 性质:1.0,(i,j 1.2.....)≥=ij P2.1≤≤=∑∑i i ijx x y yp满足以上两条，即为二维离散型随机变量的分布律. 注；步骤:定取值,求概率,验证1.离散型随机变量X 和Y 的联合分布函数为(,)≤≤=∑∑i i ijx x y yF x y p，其中和式是对一切满足,≤≤i i x x y y 的i,j 来求和的边缘分布定义:对于离散型随机变量(X,Y)，分量X 和Y 的分布律(), 1.2...(), 1.2..的边缘分布律：的边缘分布律：••========∑∑i i ij jJ i ij iX p P X x p i Y p P Y y p i ，0,0(, 1.2....)1•••≥≥===∑∑i j jiip p i j pi p联合确定边缘，但一般情况，边缘不能确定的联合，除非相互独立. 比如；有放回的摸球，就是X ，Y 相互独立. 不放回地摸球，是条件分布.3.二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度. 对比一维的: 概率密度:()()1∞-∞==⎰f x f x dx ，分布律:{}(),≤≤=⎰b aP a x b f x dx 分布函数:()()-∞=⎰xF x f t dt二维:定义:设二维随机变量(X,Y)的分布函数为(,)F x y ，若存在非负可积函数(,)f x y ，使得对于任意实数x,y 有(,)(,)-∞-∞=⎰⎰xyF x y f u v dudv ，则称(X,Y)为二维连续型随机变量，(,)f x y 称为(X,Y)的概率密度，或联合概率密度.概率密度的性质: 1.(,)F x y ≥0 2.(,)1∞∞-∞-∞=⎰⎰f x y dxdy只要具有以下两条性质，必可作为某二维随机变量的概率密度.3.已知(X,Y)的概率密度(,)f x y ，则(X,Y)在平面区域D 内取值的概率为:{(,)}(,)∈=⎰⎰DP X Y D f x y dxdy (作二重积分)(随机点(X,Y)落在平面区域D 上的概率等于以平面区域D 为底，以曲面(,)=z f x y 顶的典顶的体积) 4.若(,)F x y 在点(x,y)连续，则有2(,)(,)∂=∂∂F x y f x y x y(连续就能根据分布律求概率密度)1） 当求()=P X Y 时，它只是一条线，所以：()0＝=P X Y2） 一个方程有无实根：20++=ax bx c ，即求：22240,40,40,一个实根无实根两个实根+=+<+>b ac b ac b ac均匀分布：定义:设D 为平面上的有界区域，其面积为S ，且0>S ,如果二维随机变量(X,Y)的概率密度为1,(x,y)(,)0,其它⎧∈⎪=⎨⎪⎩Df x y S，则称(X,Y)服从区域D 上的均匀分布(或叫(X,Y)在D 上服从均匀分布，记作（X,Y ）D U . 两种特殊情形:1） D 为矩形，,c )≤≤≤≤a x b y d 时，1,()()(,),c )0,其它⎧⎪--=≤≤≤≤⎨⎪⎩b a dc f x y a x b y d2） D 为圆形，如(X,Y)在以原点为圆心，R 为半径的圆域上服从均匀分布，则(X,Y)的概率密度为:22221,(,))0,其它π⎧⎪=+≤⎨⎪⎩f x y x y R R定义:对连续型随机变量(X,Y),分量X,Y 的概率密度称为(X,Y)关于X 或Y 的边缘概率密度,记作(),X f x ().Y f y X 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰xX F x F x f u v dv du （让Ｙ趋于正无穷） Y 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰yY F y F y f u v du dv （让Ｘ趋于正无穷） X 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰X f x f x y dy xY 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰Y f y f x y dx y（二维的边缘概率密度是直接以联合概率密度在负无穷到正无穷对对应元素积分，其间需要对划分区间的作分别积分）(X,Y)的概率密度:(,)(,)[(,)]-∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰x yx yf x y f u v dudv f u v dv du二维正态分布： 二维正态221212(,)(,,,,)σσρX Y N u u 分布函数的性质:1.211()(,)σX N u ,222()(,)σY N u 边缘服从一维正态分布2.0,ρ=⇔xy X Y 独立（相关系数为Ｏ，则两个随机变量独立）3.212()()σ++k X k Y N u (线性组合按一维正态处理)4. 1212()，±±k X k Y c X c Y 服从二维正态（如：(,)+-X Y X Y ） 条件分布:设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j ，若{}0=>j P Y y ，则称{=i P X x ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij j j jP X x Y y p Y y i P Y y p …为在=j Y y 条件下随机变量X 的条件分布律同样地，若{}0,=>i P X x 则称{=j P Y y ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij i i i P X x Y y p X x j P X x p …为=i X x 条件下随机变量Y 的条件分布律 变形，即得求联合分布律的方法.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y 的边缘概率密度为()Y f y .若对于固定的y,()0,>Y f y 则称(,)()Y f x y f y 为在Y=y 的条件下X 的条件概率密度称|(,)(|)()-∞-∞=⎰⎰xxX Y Y f x y f x y dx dx f y 为在Y=y 的条件下，X 的条件分布函数，记为P{X ≤x|Y=y}或|(|)X Y F x y ，即|(,)(|){|}()-∞=≤==⎰x X Y Y f x y F x y P X x Y y dx f y 设F(x,y)及(),()X Y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x,y 有P{X ≤x,Y ≤y}=P{X ≤x}P{Y ≤y},即(,)()()=X Y F x y F x F y ，则称随机变量X 和Y 是相互独立的设(X,Y)是连续型随机变量，(,),(),()X Y f x y f x f y 分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度，则X 和Y 相互独立的条件等价于(,)()()=X Y f x y f x f y 在平面上几乎处处成立(除去面积为0的集合以外，处处成立)第二节随机变量的独立性1. 两个随机变量的独立性 定义:设(,),().()X Y F x y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数和两个边缘分布函数，若对任意实数,x y 有(,)().()=X Y F x y F x F y ，则称X 与Y 相互独立.可用于判断独立性(随机变量独立,对任意实数x,y,事件X ,Y ≤≤x y 相互独立) 以上公式等价于:(X ,Y )(X ).()≤≤=≤≤X Y P x y P x P Y y 可类推至多个函数的情况.1)如果X,Y 随机变量独立，().()连续f x g y ，(通过函数作用)则().()f x g y 也独立.(可类推至多个随机变量的情况)例:X,Y 独立，则22,x y 独立.2)如果1212,...,...，ＹＹＹm m X X X 相互独立，12m 121()()...()()()....()和，f x f x f x g y g y g y 也相互独立。
一维随机变量函数的分布
如果随机变量的取值范围是某个区间上的所有实 数，则称该随机变量为连续随机变量。
随机变量的分类
离散型随机变量
根据其取值特点，可以分为二项 式、泊松、几何、超几何等类型 。
连续型随机变量
根据其概率密度函数的特点，可 以分为均匀、指数、正态等类型 。
随机变量的分布函数
分布函数
对于任意实数x，分布函数F(x)表示随机变量 X小于或等于x的概率。
性质的应用
这些性质在概率论和统计学中有着广泛的应用，如概率密度函数的计算、随机变量的期望和方差的计 算等。
05
CATALOGUE
随机变量的运算性质
随机变量的和与积
要点一
随机变量的和
若X和Y是两个随机变量，则X+Y也是一个随机变量。其分 布依赖于X和Y的联合概率分布。
要点二
随机变量的积
若X和Y是两个随机变量，则X×Y也是一个随机变量。其分 布依赖于X和Y的联合概率分布。
均匀分布
均匀分布是一种特殊的连续随机 变量，其概率密度函数在一定区 间内保持恒定，常用于描述某些 物理量在一定范围内的均匀分布 情况。
04
CATALOGUE
随机变量的函数
随机变量函数的定义
随机变量函数的定义
随机变量函数是指将一个或多个随机 变量作为输入，经过某种运算或变换 后得到另一个随机变量。
离散随机变量的所有可能取 值的集合。
离散随机变量的值域
离散随机变量取到的所有可 能值的集合。
离散随机变量的分布律
01
分布律
描述离散随机变量取各个可能值 的概率的表格。
02
分布律的性质
分布律中的概率值总和为1，即 所有概率值的和等于1。
一维随机变量及其分布
X 表示“抽取的产品中次品的个数”， X~B(15,01)
所以则， PBPX2C1250.120.913
PC1PC1PX0PX1
1C1050.100.915C1150.10.914
M.T.
2021/5/27
15
例3:一个完全不懂英语的人去参加英语考试.假设此考 试有5个选择题，每题有4重选择，其中只有一个答案 正确.试求：他居然能答对3题以上而及格的概率.
我们常利用此性质检验一个函数能否作为连续
性随机变量的密度函数，或求其中的未知参数。
3、在 f ( x ) 的连续点处，
f(x)F(x)
f ( x ) 描述了X 在 x 点分布函数值的变化率。
4、对任意的a<b,有
b
P (a X b ) F (b ) F (a )f(x )d x
a
M.T.
2021/5/27
0, x0.
而 X的分布函数为
x
1e3x, x0;
F(x) f(t)d t
0, x0.
2021/5/27
M.T.
26
二、常见的连续性随机变量的分布
(1) 均匀分布
若X 的密度函数为 f (x)b1a, 0,
axb 其他
则称 X 服从区间( a , b)上的均匀分布,记作
X~U(a,b)
0,
2021/5/27
M.T.
20
分布函数 F (x) 与密度函数 f (x) 的几何意义: 建立坐标系,给出f(x)的图像。
f (x)
F (x)
0.08 0.06 0.04 0.02
y f (x)
-10
-5
5
x
x
2021/5/27
概率论与数理统计一维随机变量及其分布17页PPT
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
概率论与数理统计一维随机变量及其 分布
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
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b
f x dx
a
f x dx f x dx
b a
一、连续型随机变量概念
例7 假设X是连续型随机变量，其密度函数为
cx 2 , 0 x 2; f x 其他． 0,
求：⑴c的值；⑵ P 1 X 1
解 (1)
c
2
0
x 2dx 1
因此代入即得结论。
三、常用的离散型分布
4.超几何分布 设N，M，k为正整数，且 , 布律为 ,若随机变量X的分
k n k CM CN M P( X k ) ,0 k n n CN
则称X服从参数为n，M，N的超几何分布(Hype-geometric distribution)，记作 X ~ H n, M , N
则称X服从参数为p的几何分布(Geometricdistribution)，
记作 X ~ G p
三、常用的离散型分布
几何分布具有下列无记忆性：
P( X m n X m) P( X n), m, n N
P( X m n) (1 p)mn ,
P( X n) (1 p)n
因此，至少有两个急诊病人前来就诊的概率为
三、常用的离散型分布
定理1（泊松定理）
k k lim Cn p (1 p)n k n
k e
k!
k k Cn p (1 p)n k
k e
k!
三、常用的离散型分布
例5 设某人进行射击，每次射击的命中率为0.005，独 立射击1000次，试求1 000次射击中集中次数不超过10次 的概率．
P X 0 P抽到白球＝ n mn
于是X的分布律为
二、离散型随机变量的分布律
例2 设随机变量 的分布律为：
求
(1) (2)
Y ( X 1) 2
Y=2X+3 的分布律。
二、离散型随机变量的分布律
解：由X的分布律可列出下表
二、离散型随机变量的分布律
由上表可定出
2 Y ( X 1 ) (1) 的分布律为：
均匀分布的分布函数为
x a, 0, x a F x , a x b, b a x b. 1,
三、常见的连续型分布
例10 试用均匀分布来求解下题：
某城际轻轨从上午7时起，每隔15分钟来一趟车，一乘客 在9:00到9:30之间随机到达该车站， ⑴该乘客等候不到5分钟乘上车的概率；
个数值，这样的随机变量称为离散型随机变量，它的分 布称为离散型分布．
二、离散型随机变量的分布律
设X为一个离散型随机变量，它可能取的值为 x1, x2 , ， 事件 X xi 的概率为
pi i 1,2,
，那么，可以用下列表
格来表达X取值的规律：
其中
N ．这个表格所表示的函数称
为离散型随机变量X的分布律（或称为概率分布）．
1
分布函数的概念 分布函数的性质
2
一、分布函数的概念
定义3 设X是一个随机变量，称定义域为 , ，函数 值在区间[0,1]上的实值函数
F x P X x
x
为随机变量X的分布函数（Distribution function）．
一、分布函数的概念
二、连续型随机变量函数的分布
例9 设随机变量X的密度函数为
求：Y=2X+3的密度函数。
二、连续型随机变量函数的分布
解：由分布函数的定义得Y的分布函数为：
FY ( y)
=
PY y
y3 y3
-3 y2 3 x2 = 0 x e dx, 0,
由此可得Y的密度函数
3 2 ) 1 y 3 3 ( y 2 ）e , ( y) = （ FY 2 2 0,
二、离散型随机变量的分布律
例1 在装有m个红球，n个白球的袋子中，随机取一球， 观察取出球的颜色，此时观察对象为球的颜色，因而是 定性的，我们可引进如下的量化指标（记之为X）：
1, 当取到的是红球； X 0， 当取到的是白球．
二、离散型随机变量的分布律
则有
m P X 1 P抽到红球＝ mn
三、常用的离散型分布
解 设X服从参数为 的泊松分布，由题意知
P X 0 P X 1
即
0
0!
e
1
1!
e
可解得
1
P X 2 1 P X 0 P X 1 10 1 11 1 1 e e 0! 1! 1 2e1.
c
3 8
(2)
P 1 X 1
1 8
二、连续型随机变量函数的分布
定理2 设连续型随机变量X的密度函数为 f X ( x) ，y g ( x) 是
是一个单调函数，且具有一阶连续导数， 的反函数，则 Y g ( X ) 的密度函数为
f Y (y) f X (h( y)) h( y)
三、常用的离散型分布
一个袋子装有N个球，其中有N1个白球，N2个黑球 （N=N1+N2）,从中不放回地抽取n个球，设X表示取得白 球的数目，则X的分布为超几何分布。即
P( X k )
k nk CN C N2 1
C
n N
,0 k n
三、常用的离散型分布
5.泊松分布 设随机变量X的分布律为
概率得到x取k值的概率
因此，X的分布律为
称这个离散型分布为参数为n,p的二项分布(Binomial
distribution)，记作 X ~ Bn, p ，这里
三、常用的离散型分布
例3 一个袋子中装有4个球，3个白球，1个黑球。从中 任意取出1球，观察其颜色，放回袋中。共取出三次。设 为取出黑球的次数，求随机变量 的分布律及至多取出一
解 设X为1 000次射击中的击中次数，对每次射击而言，
相当于做一次伯努利试验，1 000次就是做1 000重伯努 利试验，因此 X
~ B 1000 ,0.005
，而这1 000次射击中击中
次数不超过10次的概率为
5k 5 P X 10 e 0.986 k! k 0
10
第二节 随机变量的分布函数
例6 设一口袋有六个球，其中一个白球、3个红球、2个 黑球．从中任取一球，记随机变量 为取得球上的颜色 （白色、红色、黑色一次记为1、2、3），求X的分布函
数．
解 X可能取的值为1,2,3，由古典概型的计算公式，可知 取这些值的概率依次为
1 1 1 , , 6 2 3
．
一、分布函数的概念
F(x)点表达式为
x x0
x0
即任一分布函数是一个右连续函数
第三节 连续型随机变量
1
连续型随机变量概念
2
连续型随机变量函数的分布
常见的连续型分布
3
一、连续型随机变量概念
定义4 如果随机变量X的分布函数可表示为
F x f t dt
x
其中 f x 0 ，则称X为连续型随机变量，f x 为X的概率密
P X k
k
k!
e
k 0,1,2,
P( )
其中 0 ，则称随机变量X服从参数为 的泊松分布
(Poisson distribution)，记作 X
三、常用的离散型分布
例4 设每分钟来到某医院就诊的急诊病人数X服从泊松
分布，且已知在一分钟内没有急诊病人与恰有一个急诊 病人的概率相同，求在一分钟内至少有两个急诊病人前 来就诊的概率．
0, 1/ 6, F x 2 / 3, 1,
x 1; 1 x 2; 2 x 3; 3 x.
一、分布函数的概念
F(x) 1
-1 0
1
2
3
x
图4-1
按分布函数的定义可知
Pa X b P X b P X a F b F a
概率论与数理统计
第三章 一维随机变量及其分布
第三章 一维随机变量及其分布
1 离散型随机变量 2 随机变量的分布函数
3 连续型随机变量
第一节 离散型随机变量
1
随机变量的概念 离散型随机变量的分布律 常用的离散型分布
2
3
一、随机变量的概念
定义1
Ω 是其样本空间，对Ω 中 对于给定的随机试验，
每一样本点 ，有且只有一个实数 X 与之对应，则称 此定义在上Ω 的实值函数X为随机变量（Random variable）．通常用大写英文字母表示随机变量，用小
次黑球的概率．
解 每次取出黑球的概率为1/4，可认为做3次重复独立的 试验，每次试验中事件发生的概率为1/4，因此取出黑球
3, ，其分布律为 的次数X服从参数为3,1/4的二项分布B 4 1
k 1 3 P X k 3 4 4
⑵该乘客等候时间超过10分钟才乘上车的概率．
三、常见的连续型分布
解 设该乘客于上午9时过X分钟到达该车站，由于乘客 在9:00到9:30之间随机到达，因此X服从区间(0，30)上 的均匀分布，即X的密度函数为
1 , 0 x 30; f x 30 其他. 0,
⑴该乘客等候时间不到5分钟，必须且只需在9:10到9:15 之间或在9:25到9:30之间到达车站，因此所求概率为
⑵同⑴的分析方法类似可得到所求概率为
P0 X 5 P15 X 20 1 3
三、常见的连续型分布
2.指数分布 如果X的密度函数为
二、连续型随机变量函数的分布