第二章 一维随机变量及其分布1
上海交通大学概率论与数理统计学习指导与课外习题
(A) P{X ≤ 0} = P{X ≥ 0} = 0.5
(B) f (x) = f (−x)
(C) P{X ≤ 1} = P{X ≥ 1} = 0.5
(D) F (x) = 1 − F (−x)
5. 设随机变量 X 的密度函数为ϕ(x) ，且ϕ(−x) = ϕ(x) ， F (x) 是 X 的分布函数，
一元件损坏仪器即停止工作，求仪器正常工作 1000 小时以上的概率。
解：设 Ai 表示第 i 个元件的寿命( i = 1,2,",5 )，则 Ai 相互独立，且
{ } P
Ai
> 1000
=
∫+∞
1000
f
(x)dx
=
∫+∞
1000
1 1000
e −x 1000 dx
=
−e −x 1000
+∞ 1000
上海交通大学概率论与数理统计学习指导与课外习题第二章第二章第二章一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布一内容提要与大纲要求一内容提要与大纲要求内容提要内容提要1
上海交通大学《概率论与数理统计》学习指导与课外习题 第二章
第二章 一维随机变量及其分布
一、内容提要与大纲要求
内容提要
1. 随机变量及其概率分布； 2. 随机变量分布函数的概念及性质； 3. 离散型随机变量的分布； 4. 连续型随机变量的概率密度； 5. 常见随机变量的概率分布； 6. 随机变量函数的概率分布。
= 1 − 0.98400 − 400 × 0.02 × 0.98399 ≈ 0.997165 。
或：用泊松近似， λ = np = 8 ，
P{X ≥ 2} = 1− P{X < 2} = 1− (P{X = 0}+ P{X = 1})
一维随机变量及其分布
第二章一维随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。
2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0—1分布、二项分布B （n,p）、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布P（）及其应用。
3．了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。
4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布U（a,b）、正态分布N（）、指数分布及其应用，其中参数为的指数分布E（）的概率密度为会求随机变量函数的分布。
本章导读本章的核心内容是8大分布函数及其对应的模型；如何根据定义求的函数分布一般方法。
介绍了作者用于分布函数求一维分布的直角分割法秘技。
分布函数的定义历来是使读者感到迷茫的知识点，如为什么要求分布函数必须右连续等问题？目前的教材和参考书的讲法都不清晰，作者系统地揭开了这一神秘数学面纱。
一、随机变量1概念随机试验的每一个可能的结果（即每一基本事件），对应样本间的集合中每一元素，我们都可以设令一个实数来表示该元素，显然，为实值单值函数，称为随机变量。
对，我们试验前无法确定，也就无法事先确定的值，只有在试验后才会知道的值，但取值一定服从某种确定的分布。
随机变量与普通函数区别有三，第一，随机变量定义域为样本空间的基本事件；第二，随机变量取值是随机的，只有它取每一个可能值有确定的概率；第三，随即变量是随机事件的人为数量化，而且这种数值只是一种符号表示。
比如：将一枚硬币抛三次，以表示三次投掷中出现正面的总次数，那么，对于样本空间中的每一个样本点，都有一个值与之对应，即二、随机变量的分布函数2.1 随机变量的分布函数（适合任何类型的随即变量）陈氏第2技随机变量的分布函数的全新揭秘。
● 分布函数定义形式的渊源一般情况下，人们只对某个区间内的概率感兴趣，即研究下列四种可能的区间的概率由于当所以，我们只须定义一个形式就可以了，其他区间形式都可以用它表示出来。
第二章一维随机变量及其分布
第⼆章⼀维随机变量及其分布第⼆章⼀维随机变量及其分布⼀、填空题1.已知F （x ）=P {}X x ≤,则P {}a2.设随机变量 X 的分布函数为,()0,x A Be F x -?+=?00x x >≤ 则A= ,B= （A,B 均为常数）3.设X 的分布函数为0,11,116()1,1221,2x x F x x x <--≤≤则{}1P X <= ，{}12P X <<= . 4.当常数C= 时，{},1,2,(1)CP X n n n n ===+ 为X 的分布律.5.设X 的密度函数为2,()0,x ke f x -?=??00x x >≤则{}12P X -<<= . 6.设X 服从参数为λ的泊松分布，且{}{}122p X P X ===，则{}3P X == . 7.设(1,4)X N ，则{}1P X <= .8.设X 的分布律为101211114436X -??，则2X 的分布律为 .9.设X 服从[]0,1上的均匀分布，则21Y X =-的密度函数为 .10.设X 的密度函数为f(x)，则XY e-=的密度函数为 .⼆、选择题1.设连续型随机变量X 的密度函数为f(x)，分布函数为F （x ），则下列结论正确的是（）<+=()D 当12x x <时，12()()F x F x <2.设X 的分布函数为F(x)，则下列函数中，仍为分布函数的是( )()(21)A F x - ()(1)B F x -3()()C F x ()1()D F x --3.设X 的分布函数为20,()F x x b c ??=-，，x a a x x ≤<≤>则常数a,b,c 的值为( )()A -1,1,1. ()B 1,1,1. ()C 1,0,1. ()D 1,1,0.4.设离散型随机变量X 的分布律为{},1,2,kP X k b k λ=== ，则常数b,λ应满⾜( )()A b>0 ()B 0<λ<1 ()C b=11λ-- ()D 以上都应满⾜5.设X 服从参数为λ的泊松分布，s 表⽰X 取偶数的概率，t 表⽰X 取奇数的概率，则有( )()A s=t ()B st ()D s 与t 的⼤⼩关系不定6.某公司汽车站从上午6点起，每15分钟有⼀班车⽤过，若某乘客到达该站的时间在 8:00到9:00服从均匀分布，则他候车的时间少于5分钟的概率是( )()A 13 ()B 23 ()C 14 ()D 127.设2X N(0,)σ，则对任⼀实数λ，下列结论正确的是( ){}{}()1A P X P x λλ<=-<- {}{}()B P X P X λλ<=> 22()X (0,)C N λλσ 22()(,)D X N λλλσ++8.设22()x xf x CeB ()C ()D9.设X 在[],a b 上服从均匀分布，,λµ的任意两实数，则下列命题正确的是( )()A X 服从均匀分布 ()B 2X 服从均匀分布()C 2(1)X λµ++服从均匀分布 ()D 2(1)X λµ-+服从均匀分布10.设X 为⼀随机变量，Y 为X 的单值函数，则下列命题不正确的是( )()A 若X 为连续型时，Y 未必为连续型 ()B 若X 为连续型时，Y 未必为离散型 ()C 若X 为离散型时，Y 未必为连续型 ()D 若X 为离散型时，Y 未必为离散型三、解答题1．盒中有4只⽩球1只⿊球，现⼀只⼀只地将球取出来，取出后不放回，设X 表⽰取到⿊球的取球次数，求X 的分布律. 2.设甲，⼄，丙三⼈同时向⼀⽬标射击⼀次，命中率分别为0.4，0.5，0.7，设X 表⽰击中，⽬标的⼈数，求X 的分布律. 3.设1cos ,0221()sin ,0220,x x f x x x ππ-≤其它试问f(x)是否为某随机变量X 的密度函数？如果是，求X 的分布函数. 4.设X 的密度函数为2(),0,k xf x Ae k x -=>-∞<<+∞,试求：(1)常数A (2){}(1,0)P X ∈- (3)X 的分布函数()F x5.设X 服从参数为1的泊松分布，{}{}2,50Y X P Y k P Y k ===+≠，k 为某⾮负整数.求{}{}5P Y k P Y k =-=+.⾍卵是否发育成幼⾍是相互独⽴的.证明昆⾍所产的幼⾍数η服从参数为p λ的泊松分布.7.设X 是[]0,1上的连续型随机变量， {}0.290.75,1P X Y X ≤==-，试决定y ，使得{}0.25P Y y ≤=.8.某班有40名学⽣，某次考试的成绩()72,64X N ,已知⼀学⽣成绩为80分.问该学⽣在全班⼤概排到多少位？9.某⼚⽣产的电⼦管寿命()()2N 1600X σ以⼩时计，，若电⼦管寿命在1200⼩时以上的概率不⼩于0.96，求σ的范围.10.已知某电⼦管元件的寿命(X ⼩时）的概率密度为110001,0()10000,0e xf x x -?>?=??≤?求 (1)这种元件能使⽤1200⼩时以上的概率； (2)5个这种元件中⾄少有3个能使⽤1200⼩时以上的概率.11.已知测量误差N 7.5,100X （⽶）（），问必须测量多少次才能使⾄少有⼀次误差的绝对值不超过10⽶的概率⼤于0.9？12设13,3X B ??，Y 服从[]0,3上的均匀分布，且X 与Y 独⽴，问⾏列式1102011X X Y -->的概率是多少？ 13.设连续型随机变量X 的密度函数为(),()0,x a x b e f x -?-=??00x x >≤期中,a b 为常数，已知曲线()y f x =在2x =时取得拐点. (1)求,a b 的值;(2)设{}()1(0)g t P t X t t =<<+>，问t 为何值时，()g t 取得最⼤值？ 14.(1)设ξ服从参数为λ的泊松分布，证明当[]k λ=时，{}P k ξ==最⼤； (2)设(,)B n p ξ，证明当[](1)k n p =+时，{}P k ξ=最⼤. 15.设X 服从指数分布，证明当,0s t >时，{}{}P X s t X s P X t >+>=>.16.设连续型随机变量X 的密度函数()f x 为偶函数，()F X 为X 的分布函数，证明()(),02x F x f t dt x -=->?.17.设X 的分布律为{}1,1,2,2k P X k k === ，求sin 2Y X π=的分布律.18对圆⽚直径进⾏测量，测量值X 在[]5,6上服从均匀的分布，求圆⽚⾯积Y 的概率密度()Y f y .19.设2(,)X N µσ ,求Y X =的概率密度()Y f y .20.设X 在[]0,2π上服从均匀分布，求Y sinX =的密度函数()Y f y21.设X 在[],a b 上服从均匀分布，Y cx d =+(0)c ≠，证明Y 仍服从均匀分布. 22.设连续型随机变量X 的分布函数为()F x ，若对任意{},(),(,)0a b a b P X a b <∈>，证明()Y F X =服从[]0,1上的均匀分布.23.设Z 为连续型随机变量，分布函数为()Z F z ，且对任意{},(),(,)0a b a b P Z a b <∈>，X 服从[]0,1上的均匀分布，证明1()Z Y F X -=与Z 同分布.24.设X 与Y 独⽴，X 的密度函数为()f x ，1ab Y p p ?? ?-??，证明X Y +的密度函数为()()(1)()h x p x a p f x b =-+--.第⼆章习题答案⼀、填空题1.(0)(),()(0)F b F a F b F a ----.2.1,1A B ==-.3.由题意可得X 的分布律为112111632X -??，故116P X ??<=，{}120X <<=4.由111(1)n cc n n ∞==?=+∑ 5.由20()12x f x dx ke dx k +∞+∞12()21x P X f x dx e dx e ---<<===-??6.12211!2!e e λλλλλ--=?=.{}1136P X e -==7.{}{}111110(0)(1)2X P X P X φφ-?<=-<<==-<<=--[]1111(1)(1)0.84130.3413222φφ=--=-=-= 8.24011176412X ?? ? ?9.2(1)Y X =-服从[]0,2上的均匀分布，故有：1, 02()20,Y y f y ?≤≤?=其他10.1(ln ),0()0,0Y f y y yf y y ?->?=??≤?⼆、选择题1.C6.A7.A8.B9.C 10.D 三、解答题 1.设A i 表⽰第i 次取到⿊球，1,2,3,4,5.i ={}111()5P X P A ==={}{}()()()()()()112112341213124123512344112()()()545543211154325P X P A A P A A A P X P A A A A AP A P A A P A A A P A A A A P A A A A A ====?======所以X 的分布律为X 1 2 3 4 5P15 15 15 15 152.设,,A B C 分别表⽰甲，⼄，丙击中⽬标，由题意知,,A B C 相互独⽴，则{}{}{}{}00.50.30.091230.40.50.70.14P X P ABC P A P B P C P X P ABC ABC ABC P X P ABC ABC ABC P X P ABC ==??===++==+==??=（）=（）（）（）=0.6(）=0.36（+）=0.41（）=所以X 的分布律为X 0 1 2 3 P 0.06 0.36 0.41 0.143.显然()f x ⾮负可积，且2201111()cos sin 12222f x dx xdx xdx ππ+∞故()f x 可为某随机变量X 的密度函数220202()()(),210cos ,022110cos sin ,022210,2xx x x xF x f t dtf t dt x dt tdt x dt tdt tdt x dt x ππππππππ-∞-∞--∞---∞-+∞=?<-+-≤-≥0,21sin ,0221cos ,021,2x x x x x x ππ<-+?-≤4.(1)由()1f x dx +∞-∞=?，得21k xAAedx k+∞--∞==?，所以A k =(2){}0022111(1,0)()(1)2k xk P X f x dx kedx e ----∈-===-??(3)20220,0()(),x kt xxktkt ke dt x F x f t dtp ke dt ke dt x -∞-∞--∞=??+≥221,0211,0kx e x e x -?-≥5.由题意知2k m =，25k n +=，,m n 为两个⾮负整数，225m n -=.()()5n m n m +-=.进⽽得5,1n m n m +=-=.解得3n =，2m =.即有4k =. {}{}{}{}{}{}54923P Y k P Y k P Y P Y P X P X =-=+==-===-=2311111112!3!33e e e e---=-==. 6.{},0,1,2!rP r e r r λλξ-==={}(1),0k k r k r P k r C p p r k ηξ-===-≥≥由全概率公式可得{}{}{}(1)!rk k r k r r kr kP k P r P k r e C p p r λληξηξ∞∞--========-∑∑(1)!(1)!!()!!()!r k rk k r k k r kr kp r e p p e p r k r k k r k λλλλλ-∞∞---==??-??=-=--∑∑(1)()(),0,1,2,!!k k p p p p e e e k k k λλλλλ---===即η服从参数为p λ的泊松分布.7.{}{}{}110.25P Y y P X y P X y ≤=-≤=≥-=.有对⽴事件的概率公式8.{}72807287280111888X P X P P --->=>==-≤1(1)10.84130.1587φ=-=-=400.1587 6.348?= 因此该学⽣在全班排在⼤约第七位.9.{}16001200160040012000.96X P X P σσσ--??>=>=-≥?16004004000.04,()0.04X P φσσσ-??≤-≤-≤?，即得400400400()0.96,1.75228.61.75φσσσ≥≥?≤≈ 10.(1){}6100051200112000.30121000x P X e dx e --+∞>==≈?(2)5个元件中⾄少有3个能使⽤1200⼩时以上的概率为6618612555555553()(1)101560.1674iiii C ee ee e -----=??-=-+≈∑ 11.设测量n 次，则有{}1(17.510)0.9n P X ---≤>解得2n >，故n ⾄少取3.12.{}1120(1)(2)0101XX P Y P X Y ?-->=-->{}{}{}{}{}{}223300333310,2010,201212121112223(()())()()333333381P X Y P X Y P X P Y P X P Y C C C =->->+-<-<=>>+<<=++=13.(1)当0x >时，()(1),()(2)x x f x a b x e f x a x b e --'''=+-=--，由当2x =时，()y f x =取得拐点知(2)0f ''=，得0b =.⼜()11x f x a xe dx a +∞+∞--∞=?==?，即 1a =所以,0,()0,0.x xe x f x x -?>=?≤?(2)111()()()t t t x tttg t f x dx f x dx xe dx +++-===?[](1)(1)()(1)1(1)tt tg t t e t e ee t -+--+'=+-=-- 令()0g t '=，得11t e =-，且易知当11t e =-时，()g t 取得最⼤值.14.{}{}11,(1)1,!(1)!11,kk k P k ee k k k P k k k λλλξλλλλξλ--->?表明{}P k ξ=随着k 的增⼤，由递增变成递减，若λ为整数，则k λ=及1λ-时，{}P k ξ=最⼤；若λ不为整数，则[]k λ=时，{}P k ξ=最⼤. (2)⽅法同上.15.设X 的密度函数为,()0,x e f x λλ-?=??00x x >≤{}{}{}{}{},P X s t X s P X s t P X s t X s P X s P X s >+>>+>+>==>>()x s t t s t s x se dxe e e e dxλλλλλλλ+∞--+-++∞--===??{}x t tP X t e dx e λλλ+∞-->==?所以{}{}P X s t X s P X t >+>=> 16.(1)()()()x xF x f t dt t uf u du --∞+∞-==---?()1()1()x xf u du f t dt F x +∞-∞==-=-?所以 ()()1F x F x +-=(2)01()()()()()2xx xF x f t dt f t dt f t dt f t dt --∞-∞--==-=-?17.由于1,sin 0,21,n π-??=??412241n m n m m =-==+故Y 只取1,0,1-三个值.{}{}{}{}{}41121121412151102232181115315m m mm P Y P X m P Y P X m P Y ∞-=∞==-==-=========--=∑∑所以Y 的分布律为Y 1- 0 1P215 13 81518.2224X Y X ππ??==,且X 在[]5,6上服从均匀分布.{}2()4Y F y P Y y P X y π??=≤=≤.当254y π<时，()0Y F y =；当9y π>时，()1Y F y =；当2594y ππ<<时，()55Y F y P X P X =-≤≤=≤≤=??2594()()0,Y Y y f y F y ππ<<'==?其他19.{}{}{}()X Y F y P Y y P y P y X y =≤=≤=-≤≤ 当0y ≤时，()0Y F y =；当0y >时，()Y y X y y y F y P µµµµµσσσσσ-------=≤≤=Φ-Φ?? ? ???????，1,0()()0,0Y Y y y y f y F y y µµ??σσσ??---?+>? ? ???'==???≤20.{}{}()sin Y F y P Y y P X y =≤=≤. 当1y ≤-时，()0Y F y =；当1y ≥时，()1Y F y = 当1a y ≤<时，arcsin 20arcsin 111()(2arcsin )222yY y F y dx dx y ππππππ-=+=+?；当10y -<<时，2arcsin arcsin 11()(2arcsin )22yY yF y dx y πππππ+-==+?.11()()0,Y Y y F y F y -<<'==?其他22.由(){},0P X a b ∈>知，()F x 单增，进⽽有反函数.由于0()1F x ≤≤，故当0y <时，()0Y F y =；当1y >时，()1Y F y =；01y ≤≤时，{}11()()(()).Y F y P X F y F F y y --=≤==1,01()()0,Y y y F y F y ≤≤?'==?其他23.本题只须证明Z ()()Y F y F y =.{}{}{}1Z ()(X)()()Y Z Z F y P Y y P F y P X F y F y -=≤=≤=≤=.24.{}{}{},,P X Y x P Y a X Y x P Y b X Y x +≤==+≤+=+≤{}{}{}{}{}{},,()(1)()x a x bP Y a X x a P Y b X x b P Y a P X x a P Y b P X x b p f t dt p f t dt ---∞-∞==≤-+=≤-==≤-+=≤-=+-?求导便得X Y +的密度函数为()()(1)()h x pf x a p f x b =-+--.。
第2章一维随机变量
第2章 一维随机变量2.1 内容框图2.2 基本要求(1) 理解随机变量及其分布函数的概念，掌握分布函数的性质。
(2) 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，会求简单的离散概率模型中随机变量的概率分布，掌握常用分布及其特性，并能用以解决具体问题。
(3) 理解连续型随机变量及其概率密度函数的概念，掌握概率密度函数的性质及概率密度函数与分布函数的关系，能运用常用分布及其特性解决具体问题。
(4) 会根据随机变量的概率分布求其简单函数的概率分布。
2.3 内容概要1）随机变量的分布函数：(1) 定义：随机变量ξ的分布函数(){}F x P x ξ≤@，x ∈（-∞，+∞）。
(2) 性质：①F (x )是单调不减函数：2121()()x x F x F x ∀>⇒≥； ②F (x )是有界函数：0≤F (x )≤1，且F (+∞)=1，F (-∞)=0； ③F (x )是右连续的：F (x +0) = F (x )。
(3) 用F (x )表示概率：①{}1()P x F x ξ>=- ②{}()()P a b F b F a ξ<≤=- ③{}P x ξ<=(0)F x -④{}()(0)P x F x F x ξ==--2）离散型随机变量：(1) 定义：所有可能取值为有限多个或可列无穷多个的随机变量称为离散型随机变量。
(2) 概率分布： {}i i P x p ξ==（i =1,2,…）或表示为：1212{}n i n x x x P x p p p ξξ=L L LL满足：① p i ≥0（i =1,2,…）； ②1ni i p =∑=1。
(3) 分布函数F (x ) =i ix xp ≤∑。
注 离散型随机变量ξ的分布函数F (x )是阶梯状的，ξ的每个可能取值点都是F (x )的跳跃间断点，而在其他点处F (x )连续。
3）连续型随机变量(1) 定义：设随机变量ξ的分布函数为F (x )，若存在非负函数φ(x )，使对一切实数x 成立 F (x )=()xx dx ϕ-∞⎰则称ξ为连续型随机变量，φ(x ) 称为ξ的概率密度函数。
概率论与数理统计第二章测习题
第 2 章一维随机变量及其分布一、选择题1．设 F(x)是随机变量X的分布函数，则以下结论不正确的选项是（A）若 F(a)=0 ，则对任意 x≤a 有 F(x)=0（B）若 F(a)=1 ，则对任意 x≥a 有 F(x)=1（C）若 F(a)=1/2 ，则 P( x≤a)=1/2（D）若 F(a)=1/2 ，则 P( x≥a)=1/22．设随机变量 X 的概率密度 f(x) 是偶函数，分布函数为 F(x) ，则（A）F(x)是偶函数（B）F(x) 是奇函数（C）F(x)+F(-x)=1（D）2F(x)-F(-x)=1 3．设随机变量 X1, X 2的分布函数、概率密度分别为 F1 (x) 、F2 (x) ，f 1 (x)、f 2 (x) ，若 a>0, b>0, c>0，则以下结论中不正确的选项是（A）aF (x)+bF2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是a+b=11（B）cF1(x) F 2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是c=1（C）af 1(x)+bf2(x)是某一随机变量概率密度的充要条件是a+b=1（D）cf 1(x) f 2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是c=14．设随机变量 X1, X2是任意两个独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f 1 (x)和 f 2 (x) ，分布函数分别为 F1 (x) 和 F2 (x) ，则（A）f 1 (x) +f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度（B）f 1(x) f 2(x)必为某一随机变量的概率密度（C）F1(x)+F 2(x)必为某一随机变量的分布函数（D）F1(x)F 2 (x)必为某一随机变量的分布函数5．设随机变量 X 遵从正态分布N (1,12)，Y遵从正态分布N (2,22) ，且P(|X1| 1) P(|Y 2| 1) ，则必有（A）1 2（B）1 2（C）1 2（D）1 26．设随机变量 X 遵从正态分布N ( ,2 ) ，则随σ的增大，概率P(|X|)（A）单调增大（B）单调减小（C）保持不变（D）增减不定7．设随机变量 X1,X2的分布函数分别为 F1 (x) 、F2(x) ，为使 aF1 (x) －bF2 (x)是某一随机变量分布函数，在以下给定的各组数值中应取（A）a3 , b2（B）a2 , b2（C）a1 , b3（D）a1 , b3 553322228．设 f(x)是连续型随机变量 X 的概率密度，则 f(x)必然是（A）可积函数（B）单调函数（C）连续函数（D）可导函数9．以下陈述正确的命题是（A）若P(X1) P(X 1), 则 P(X 1)12（B）若 X~b(n, p),则 P(X=k)=P(X=n-k), k=0,1,2,,n（C）若 X 遵从正态分布 , 则 F(x)=1-F(-x)（D）lim [ F (x) F ( x)]1x10．假设随机变量X遵从指数分布，则随机变量Y=min{X,2} 的分布函数（A）是连续函数（B）最少有两其中止点（C）是阶梯函数（D）恰好有一其中止点二、填空题1．一实习生用同一台机器连接独立的制造了 3 个同种零件，第i个零件不合格的概率为 p i1个零件中合格品的个数，则 P X2i 1,2,3 ，以 X 表示3i12．设随机变量X的概率密度函数为 f x2x0 x 1以 Y 表示对 X 的三次重复观察中0其他事件 X 1出现的次数，则 P Y2 23．设连续型随机变量X的分布密度为 f x axe 3x x 0，则 a，X的分布0x0函数为4．设随机变量的分布函数b , x0, 则 a =， b =，cF ( x)ax) 2(1c,x 0,=。
1.一维随机变量及其分布列
§2.1一维随机变量及分布列一．随机变量及其分类1．概念在Ch1里，我们研究了随机事件及其概率，细心的同学可能会注意到在某些例子中，随机事件与实数之间存在某种客观的联系。
例如袋中有五个球（三白两黑）从中任取三球，则取到的黑球数可能为0，1，2本身就是数量且随着随机试验结果的变化而变化的。
又如在“n重贝努里试验中，事件A出现k次”这一事件的概率，若记ξ=n重贝努里试验中A出现的次数，则上述“n重贝努里试验中，事件A出现k次”这一事件可以简记为（ξ=k）,从而有P(ξ=k)= C p q q=1-p并且ξ的所有可能取值就是事件A可能出现的次数0，1，2，……n，有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。
例如抛掷一枚均匀的硬币可能出现正面，也可能出现反面，约定若试验结果出现正面, 令η=1, 从而{试验结果出现正面}=（η=1）；若试验结果出现反面, 令η=0, 从而{试验结果出现反面}=（η=0）。
为了计算n次投掷中出现正面数就只需计算其中“1”出现的次数了。
一般地，若A为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生联系在上面的例子中，我们遇到了两个随机变量ξ，η，这两个变量取什么值，在每次试验之前是不确定的，因为它的取值依赖于试验的结果，也就是说它的取值是随机的，通常称这种量为随机变量。
从上面例子可以发现，有了随机变量，至少使随机事件的表达在形式上简洁得多了。
在上述前两个例子中，对每一个随机试验的结果自然地对应着一个实数，而在后两个例子中，这种对应关系是人为地建立起来，由此可见，无论哪一种性质，所谓随机变量，不过是随机试验的结果（即样本点）和实数之间的一一对应关系。
这与数学分析中函数的概念本质上是一致的。
只不过在函数概念中，f(x)的自变量x为实数，而随机变量的概念中，随机变量ξ（ω）的自变量为样本点ω，因为对每个试验结果ω都有函数ξ（ω）与之对应，所以ξ（ω）的定义域是样本空间，值域是实数域。
一维随机变量
2. 二项分布 在伯努利试验中，事件A在一次试验中发生的概率为
P，则在n次试验中A发生的次数X是一个随机变量，且
P { X k } C n p (1 p )
k k n k
, k 0 ,1, 2 , , n
则称 X 服从参数为 n，p的二项分布，记作
X ~ B (n, p )
特别当 n=1时，二项分布为
1, X X ( ) 0,
1 2
2.2 离散型随机变量
如果随机变量的所有可能取值为有限个或无 限可列个，这样的随机变量称为离散型随机变量．
一、离散型随机变量的分布律
定义 设离散型随机变量X所有可能的取值为 x1 , x2 , … , xn , … X取各个值的概率，即事件{X=xi}的概率为
p
X p
1/6
-2 1/6
2/6
0 1/6
-1/6
1 1/6
3/6
2 1/6
1/6
3 1/6
分布列具有如下性质：
（1）非负性： pi ≥ 0 （2）规范性： （i=1,2，…）
i 1
pi 1
例2 已知随机变量X的概率分布为：
p k P{ X k } ak ( k 1, 2 ,3, 4 ,5 ) , 求常数a.
399
] 0.997
n k
X ~ B (n, p )
P { X k } C n p (1 p )
3. 泊松分布
X ~ B (n, p )
P { X k } C n p (1 p )
k k
n k
, k 0 ,1, 2 , , n
当n很大（n≥10）p很小（p≤0.1）时，令np＝λ
第二章 一维随机变量
F (b) F (a ) f ( x ) dx ．(几何上表示曲边梯形的面积)
a
b
【例 2.3】 （2002,I）设 X 1 和 X 2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别 它们的概率密度分别 为 f1 ( x ) 和 f 2 ( x ) ，分布函数分别为 分布函数分别为 F1 ( x ) 和 F2 ( x ) ，则（ （A） f1 ( x ) f 2 ( x ) 必为某一随机变量的概率密度 （B） f1 ( x ) f 2 ( x ) 必为某一随机变量的概率密度 （C） F1 ( x ) F2 ( x ) 必为某一随机变量的分布函数 （D） F1 ( x )F2 ( x ) 必为某一随机变量的分布函数 【解】选（D） ． 由于 ） ．
1 ， a x b, (1) f ( x ) b a 其它. . 0，
x a, 0, xa (2) F ( x ) ， a x b, ba x b. 1,
(3) 若 X ~ U [a , b],[c , d ] [a , b] ，则 P {c X d }
x 1 f ( t )dt 0 2
0
f ( x )dx
0
f ( x )dx
1 2
【解】选“ （B） ”.
F ( x )
x
t u
f ( t )dt
x
f ( u)du
x
x
f ( u)du
f ( u)du
f ( u)du 1 F ( x ) ，故 F ( x ) F ( x ) 1 ．
(A)正确， （B）不正确;
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两点分布（贝努里分布）
若随机变量只有两个可能的取值 0和1，其概率分布为
01
则称X服从参数为p的两点分布.
应用： 0-1分布 只有“成功”和“失败” 两种对立结局的试验称做伯努 利试验；伯努利试验成功的次数X服从0-1分布，参数——成功的概率， ——失败的概率．例如产品抽样验收：抽到不合格品——成功，抽到合 格品──失败；射击：命中──成功，脱靶──失败……
查泊松分布表可得，，于是这家商店只要在月底保证存货不少于15件就 能以95%以上的把握保证下月该商品不会脱销.
例5 在500个人组成的团体中，恰有5个人的生日是元旦的概率是多 少？
解：该团体中每个人的生日恰好是元旦的概率都是，则该团体中生 日为元旦的人数，恰有5个人的生日是元旦的概率为
泊松定理：设随机变量序列服从二项分布（这里概率与n有关），若 满足（为常数），则有：
x 0.10 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 0.53 0.579 0.655 0.726 0.788 0.841 0.885 0.919
解：设A1={ 电压不超过200伏}，A2={ 电压在200伏~240伏}，A3={电 压超过240伏}，B={电子元件损坏} 由于 所以， 又知： 所以 Ⅲ、典型例题分析
则的分布密度为 例3 设随机变量的概率密度为
求：的分布密度函数. 解：由分布函数的定义 当时， 当时， 当即时， 当即时， 因此 分布密度为
例４. 已知Ｘ服从区间[0,1]上的均匀分布, 求Ｘ的函数Ｙ=3Ｘ+1的概率分 布. 解: 根据题意知Ｘ的概率密度为： 则Ｙ的分布函数为 对其求导得Ｙ的概率密度与Ｘ的概率密度间的关系为 即Y服从在区间[1,4]上的均匀分布. 例５. 已知Ｘ～, , 求Ｙ的概率密度. 解: Ｙ的分布函数 因ey总大于0, 而当y大于0时FX(x)为 因此有: 则Y的概率密度为其分布函数的求导:
X
……
……
p 求函数的分布. 例1 设随机变量X的概率分布为
X -2 -1
…… 01
…… 23
p 0.05 0.15 0.20 0.25 0.2 0.15
求和的概率分布. 先将的值代入函数，求随机变量Y相应的取值
如果的值各不相等，则Y的概率分布为
Y
……
……
p
……
……
如果中出现相同的函数值，如，则在Y的分布列中，取的概率为. 2、连续型随机变量函数的分布 例2 设的分布密度为，求随机变量（，均为常数，且）的概率密度. 解：用来表示随机变量的分布函数，由分布函数的定义 当时， 当时，
定义：假如一个变量的取值取决于随机试验（现象）的基本结果， 则该变量称为随机变量. 随机变量常用大写字母X、Y、Z等表示，其取 值用小写字母x、y、z等表示.
例1 （1）若用表示某厂10台车床在一天内需要维修的数目， X是一 个随机变量，它可能取0，1，…，10中的任一个值；
（2）某传呼台单位时间内接到传唤的次数是一个随机变量，它可能 取一切非负整数；
例1 假设某篮球运动员投篮命中率为0.8，表示他投篮一次命中的次 数，求的概率分布. 二项分布B（n,p）
特点： （1）n次重复试验相互独立； （2）每次试验只有两个可能的结果：A发生或发生； （3）每次试验事件A出现的概率相同，都等于p.
设X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数，则X所有可能的取值为 0，1，…，n，且相应的概率为
（4）在的连续点处，有.
对于连续型随机变量：（1）是连续函数； （2）（a为任意实数）.
例 已知随机变量的密度函数,求X的分布函数.
解: f(x)可重新写为,根据性质, 又因φ(x)为偶函数, 因此有
, 则有A=1/2
因此
.
当x<0时, 有
当x≥0时, 有
所以
五、一维随机变量函数的分布
1、离散型随机变量函数的分布 如果X是离散型随机变量，则也是离散型随机变量. 设X的概率分布为
分布函数的基本性质： （1） 对于任意实数，；
（2）； ；. （3）是单调非减函数，即对于任意，有； （4）右连续，即. (5) 任意给定实数a，b（a < b），有 根据分布函数求事件的概率，例如 三、 离散型随机变量的分布 若的所有可能取值为有限个或可列个，则称为离散型随机变量.称 为随机变量的概率分布或分布列. 或表示为
，0，1，…，n. 1) 独立重复试验成功次数的分布 设X是n次伯努利试验成功的次 数，则，参数是每次试验成功的概率．例如，n次独立重复射击命中的 次数X服从二项分布，参数是每次射击的命中率． 2) 自有限总体的还原抽样 设总体含N个个体，其中M个具有某种特 征A（如不合格品）．设X是n次还原抽样具有特征A的个体出现的次 数，则布，其中（如不合格品率）． 例2 甲、乙两名棋手约定进行10盘比赛，以赢的盘数较多者为胜. 假设 每盘棋甲赢的概率都为0.6，乙赢的概率为0.4，且各盘比赛相互独立，问 甲、乙获胜的概率各为多少？甲平均赢得的盘数是多少？ 解： ，即
= 故一般正态分布可以通过线性变换转化为标准正态分布，再利用标 准正态分布表求相应的概率，即 例10 设随机变量，求 解：
例11 设，求,；
例12（91数4）（7分）在电压不超过200伏、在200伏~240伏和超过 240伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为：0.1，0.001和 0.2，假设电源电压X服从正态分布，试求：（1）该电子元件损坏的概 率；（2）该电子元件损坏时，电源在200伏~240伏的概率。（附正态分 布表）
．
分析 先求X的概率分布．易见，X有1,2,3等3个可能值，且
p 0.6624 0.3011 0.0354 0.0011
函数是阶梯形右连续函数， 在处有间断点. 四、连续型随机变量的分布
定义：如果对于随机变量X的分布函数，存在函数，使得对于任意实 数x，有 则称X为连续型随机变量，函数称为X的概率密度函数（简称密度函 数）. 它的性质：
（1）非负性：（）； （2）=1； （3）对于任意实数和，有；
二项分布概率的近似计算 设服从二项分布，参数充分大、p充分小 而p适中，则有如下近似公式——泊松定理：
实际中，当时即可利用此式，不过应尽量地大，否则近似效果不 佳．
例5中，，满足泊松定理条件，可以用的泊松分布来近似计算： 例6 为保证设备正常工作，需要配备一些维修工. 若设备是否发生故 障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0.01. （每台设备发 生故障可由1人排除）. 试求： （1）若一名维修工负责维修20台设备，求设备发生故障而不能及时 维修的概率； （2）若3人负责80台设备，求设备发生故障而不能及时维修的概率；
解：（1）设表示20台设备中同时发生故障的台数，则，根据泊松定 理，X又可近似地看作服从泊松分布，其中参数.
20台设备中只配备一个维修人员，则只要有两台或两台以上设备同 时发生故障，就不能得到及时维修. 故所求概率为
（2）80台设备中同时发生故障的台数，类似的，可用的泊松分布来近 似，于是所求概率为
（3）电视机的寿命有长有短，是一个随机变量X（单位：小时），它 可以在（0，+∞）
（4）汽车司机刹车时，轮胎接触地面的点的位置可能是轮胎圆周上 的任一点，是在[0，]上取值的随机变量，其中是轮胎的半径. 二、 随机变量的概率分布函数
定义：设X是一个随机变量，对于任意实数x，令 称为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数.
3、特别，设是严格单调的连续函数，是函数的值域，是的惟一反函 数；是连续型随机变量，其概率密度为，则也是连续型随机变量，其概 率密度通过表示为 例3中 是严格单调函数在x >0时，值域，反函数
例４中Ｙ=3Ｘ+1的值域为[１,４],严格单调，其反函数为. 解:Ｘ的概率密度，所以 例5中. 的值域，且严格单调，其反函数，所以
均匀分布 随机变量X，如果其密度函数为
则称X服从上的均匀分布，其分布函数为： 对于任意，有
例7 某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过，可将车站上侯车的乘客 全部运走. 设乘客在两趟车之间的任何时刻到站都是等可能的，求乘客 侯车时间不超过3分钟的概率. 指数分布
设是在服从参数为的泊松分布的随机质点流中，相继出现的两个随 机质点时间间隔——等待时间（例如，设备无故障运转的时间、设备的 使用寿命或维修时间、设备相继出现两次故障的时间间隔），则等待时 间服从参数为的指数分布．密度函数为
例1 (87数4)(是非题2分) 判断：连续型随机变量取任何给定实数值的概
率为0。(正确)
例2（连续型分布）假设X是在区间（0,1）内取值的连续型随机变量，
而．已知，则满足的常数k= ．
例3（分布函数） 设10件产品中恰好有2件不合格品，从中一件一件地
抽出产品直到抽到合格品为止，则最后抽出产品件数X的分布函数为
其中为参数，则称X服从参数为的指数分布，指数分布的密度函数为 例8 假设某种热水器首次发生故障的时间X（单位：小时）服从指
数分布，求：（1）该热水器在100小时内需要维修的概率是多少？
正态分布 随机变量X密度函数为
其中为常数，，，则称X服从参数为和的正态分布，其特性： （1）具有钟形的图象，密度曲线关于均值对称； （2）当时，密度函数达到最大值， 并且x离越远，的值就越小. （3）在处曲线有拐点. 曲线以轴为水平渐近线； （4）若固定，改变值，则的图形沿轴平行移动，但不改变其形状，
内容提要
一、 随机变量的定义 （1）质量检验员检验100件产品，若用表示这100件产品中次品的件
数，则变量X所有可能的取值为0，1，2，…，100. “检验出10件次 品”， 则该随机事件对应着“X=10”； “次品数不超过20件”就可以表示 为“X≤20”，
（2）掷一枚硬币一次，试验只有两种可能的结果：正面向上或反面 向上，令：
第二章 随机变量及其概率分布