《概率统计教学资料》第2章随机变量及其分布9节
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P ( X ln y ) F (ln y ) X 当 y e 时， F （ y ） P ( Y y ) 1 Y
上式对y求导数，得Y的概率密度为 1 1 (ln F y )(ln y ) fX (ln y) , 1 X y e y y fY ( y) F ( y ) Y
第九节 随机变量函数的分布
一、一维随机变量函数的分布
例1 设随机变量X的分布律如下， X -2 1 2 pk 0.3 0.2 0.1 3 0.4
求Y=X2-1的分布律 解：Y的所有可能取值为0,3,8 P ( Y 0 ) P ( X 1 ) 0 . 2
P ( Y 3 ) P ( X 2 ) P ( X 2 ) 0 . 3 0 . 1 0 . 4
P ( Y 8 ) P ( X 3 ) 0 . 4
2019/3/16 1
例2. 一提炼纯糖的生产过程，一天可生产纯糖1吨，但由 于机器损坏和减速，一天实际产量X是一个随机变量,设X 的概率密度为 2 x , 0x1
一天的利润Y=3X-1，Y也是随机变量，求Y的概率密度。
fX(x ) , 其他 0
0 ,
y 1 , 或 y e
4
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例3. 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布， (2)求Y=-2lnX的概率密度。 解: (1)因为X在(0, 1)上取值，所以Y=-2lnX 在 当 y 0 时， F （ y ） P ( Y y ) 0 ; (0，+∞)上取值。 Y 当 y 0 时， F （ y ） P ( Yy )P ( 2 ln X y ) Y
( 2 ) 当 1 y4 时，有
概率统计和随机过程课件第二章随机变量及其分布
n 重Bernoulli 试验概型感兴趣的问题为： 在 n 次试验中事件 A 出现 k 次的概率，记为
Pn (k) 一般地，若 P (A ) p ,0 p 1 则 P n ( k ) C n k p k ( 1 p ) n k ,k 0 , 1 , 2 , , n
10
第二章 随机变量及其分布
A, B, C 两两独立
7
常利用独立事件的性质计算它们的并事件 的概率
若 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立，则
n
n
P( Ai ) 1(1P(Ai))
i 1
i1
n
P ( A i)P (A 1 A 2 A n)
i 1 1 P (A 1 A 2 A n )
n
1P(A 1A 2 A n)1P(Ai )
n B i
B1 AB1
A
ABn
Bn i 1 BiB j
AB2
n
A AB i
i 1
B2
( AB i )( AB j )
4
n
n
P(A)P(ABi) P(Bi)P(ABi)全概率公式
i1
i1
意 义 ： 事 件 组 B n 一 般 是 导 致 A 发 生 的 所 有 可 能 的 “ 原 因 ”
13
引入随机变量后，用随机变量的等式或不 等式表达随机事件
在同一个样本空间可以同时定义多个随机 变量
随机变量的函数一般也是随机变量
可以根据随机事件定义随机变量
设 A 为随机事件，则可定义
XA 10,,
A A
称 XA 为事件A 的示性变量
14
如，若用X 表示电话总机在9:00~10:00接到 的电话次数，则
第二章 随机变量及其分布 《概率论》PPT课件
P(x1<X x2 ) = P(X x2 ) – P( X x1 )= F(x2)-F(x1)
概率论与数理统计 §2.1 随机变量与分布函数
P(
X
2)
C 31 C
C
3 5
2 2
3 10
概率论与数理统计 §2.1 随机变量与分布函数
定义1 设离散型随机变量X所有可能取值为
x1 , x2 , ,称 P(X xk ) pk , k 1,2, 为离
散型随机变量X的分布律.
[注] 1） 其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0, k=1,2, …
性质2 分布函数关于 x是单调不减函数;
性质3 lim F ( x) 1, lim F ( x) 0
x
x
性质4 F ( x) 至多有可列个间断点，且 F ( x)
在间断点上F ( x)右连续。即
。
F (x 0) F(x)
概率论与数理统计 §2.1 随机变量与分布函数
概率论与数理统计 §2.1 随机变量与分布函数
这个实值函数 X ( ) 为定义在 上的
随机变量，简记为R.V. X。
这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函
数. .
X( )
R
概率论与数理统计 §2.1 随机变量与分布函数
[注] ① 随机变量是定义在样本空间的一个实 值函数，但和普通函数又有本质的差异：
随机变量的随机性 随机变量的取值由试验结果而定，由于试验
[注] 1）若将 X 看作数轴上随机点的坐标，那
概率论与数理统计图文课件最新版-第2章-随机变量及其分布
函数 f ( x)，使得对于任意实数 x 有:
x
F ( x) f (t)dt ( P( X x))
则称 X 为连续型变量，f ( x)为 X 的概率密度函数 注 ▲ 连续型随机变量与离散型随机变量的区别
离散型： P( X xk ) 0 连续型：P( X xk ) 0
机
多，而且还不能一 一列
变 连续型随机变量 量
举，而是充满一个区间
例如，“电视机的寿命”，实际中
常 遇到的“测量误差”等等.
概率统计
第二章知识结构图
随机变量
离散型随 机变量
连续型随 机变量
分布律
分布 函数
函数的 分布
概率 密度
分布 函数
函数的 分布
定义 常用分布
概率统计
定义 常用分布
第四节 连续型随机变量及其概率密度
0 x 0
则称 X 为服从参数 的指数分布.
概率统计
二 . 连续型随机变量的分布函数
定义: 若定义在 (, )上的可积函数 f ( x)
满足： (1). f ( x) 0
(2). f ( x)dx 1
f (x)确定了 分布函数F(x)，
则称 F ( x)
x
f ( x)dx
f (x)是F(x)的 导函数， F(x)是f (x)的一
(2) 某段时间内候车室的旅客数目为 X , 则它也是一个随机变量，它可以取 0 及一切 自然数。X 是定义在样本空间，则：
S e {人数 人数 0}
X X (e)的值域RX [0, )
概率统计
二. 随机变量的分类 离散型随机变量
概率论与数理统计 第二章 随机变量及其分布
6 6 X ~ ( ), 且 P X 0 e 即 e e 6
P { X 2 } 1 P { X 2 } 1 P { X 0 } P { X 1 }
6 6 1 e 6 e 0 . 9826
A={X=1}，B={X=2}，C={X=0}
② 设Y为进行5次试验中成功的次数，则 D={Y=1}，F={Y1},G={Y3}
随机变量的分类
离散型随机变量 随机变量 连续型 非离散型 奇异型（混合型）
§2 离散型随机变量的分布律(P27)
定义 若随机变量X取值x1, x2, …, xn, … ，且取这些 值的概率依次为p1, p2, …, pn, …, 则称 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) 为X的分布律。 可表为 X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )， 或…
k k n
k 0 , 1 , , n
若以X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数， P(A)=p, 则称X服从参数为n,p的二项分布。 记作X~b(n,p), 其分布律为：
P { X k } p ( 1 p ), ( k 0 , 1 ... n ) C n
kk
n k
例2 掷一颗骰子10次，求（1）双数点出现6次的概率？ （2）“3”点出现两次的概率？ 解：(1)设X表出现双数点的次数，则X~b(10，1/2） 6 6 10 6 6 10 1 1 1 所求概率： P ( X 6 ) C ( ) ( ) C ( ) 10 10 2 2 2 (2) 设Y表出现“3”点的次数，则Y~b(10，1/6） 2 1258 所求概率为： P ( Y 2 ) C () () 10
第2章 随机变量及其分布 ppt课件
2.1.3 离散随机变量的分布列
➢ 设离散随机变量 X 的可能取值为： x1，x2，……，xn，……
称 pi=P(X=xi)， i =1, 2, …… 为 X 的分布列.
➢ 分布列也可用表格形式表示：
X x1 P p1
x2 …… xn …… p2 …… pn ……
2.11
分布列的基本性质 (1) pi 0， (非负性)
(2) pi 1. (正则性)
i
2.12
注 意 点 (1)
求离散随机变量的分布列应注意： (1) 确定随机变量的所有可能取值; (2) 计算每个取值点的概率.
2.13
例2.1.1 从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令
X：取出的5个数字中的最大值．
试求 X 的分布列．
解：X 的取值为5，6，7，8，9，10．
第二章 随机变量及其分布
§2.1 随机变量及其分布 §2.2 随机变量的数学期望 §2.3 随机变量的方差与标准差 §2.4 常用离散分布 §2.5 常用连续分布 §2.6 随机变量函数的分布 §2.7 分布的其他特征数
2.1
§2.1 随机变量及其分布
(1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X 1，2，…，6.
注意点
(1) 随机变量X()是样本点的函数， 其定义域为 ，其值域为R = (，) 若 X 表示掷一颗骰子出现的点数， 则 {X=1.5} 是不可能事件.
(2) 若X为随机变量，则 {X = k} 、 {a < X b} 、……
均为随机事件. 即 {a < X b} ={；a < X() b }
2.16
例2.1.3
已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布列.
概率论与数理统计教案随机变量及其分布
概率论与数理统计教案-随机变量及其分布教案章节一：随机变量的概念1.1 教学目标了解随机变量的定义与分类理解随机变量分布函数的概念掌握随机变量期望的计算方法1.2 教学内容随机变量的定义随机变量的分类：离散型与连续型随机变量分布函数的定义与性质随机变量期望的计算方法1.3 教学方法采用讲授法，讲解随机变量的概念及其分类通过例题，讲解随机变量期望的计算方法开展小组讨论，巩固随机变量分布函数的理解教案章节二：离散型随机变量的概率分布2.1 教学目标掌握离散型随机变量的概率分布的定义与性质学会计算离散型随机变量的概率分布理解离散型随机变量期望与方差的计算方法2.2 教学内容离散型随机变量的概率分布的定义与性质几种常见的离散型随机变量概率分布：伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布离散型随机变量期望与方差的计算方法2.3 教学方法采用讲授法，讲解离散型随机变量的概率分布的定义与性质通过例题，讲解几种常见的离散型随机变量概率分布的计算方法开展小组讨论，巩固离散型随机变量期望与方差的计算方法教案章节三：连续型随机变量的概率密度3.1 教学目标理解连续型随机变量的概念掌握连续型随机变量的概率密度的定义与性质学会计算连续型随机变量的概率密度3.2 教学内容连续型随机变量的概念连续型随机变量的概率密度的定义与性质几种常见的连续型随机变量概率密度：均匀分布、正态分布、指数分布3.3 教学方法采用讲授法，讲解连续型随机变量的概念及其概率密度的定义与性质通过例题，讲解几种常见的连续型随机变量概率密度的计算方法开展小组讨论，巩固连续型随机变量概率密度的理解教案章节四：随机变量的期望与方差4.1 教学目标理解随机变量期望与方差的概念与性质掌握计算随机变量期望与方差的方法学会运用期望与方差描述随机变量的特征4.2 教学内容随机变量期望与方差的概念与性质计算随机变量期望与方差的方法期望与方差在描述随机变量特征中的应用4.3 教学方法采用讲授法，讲解随机变量期望与方差的概念与性质通过例题，讲解计算随机变量期望与方差的方法开展小组讨论，巩固期望与方差在描述随机变量特征中的应用教案章节五：随机变量及其分布的综合应用5.1 教学目标掌握随机变量及其分布的基本知识学会运用随机变量及其分布解决实际问题培养运用概率论与数理统计思维分析问题的能力5.2 教学内容随机变量及其分布的综合应用实例实际问题中随机变量及其分布的建模方法运用概率论与数理统计思维分析问题的方法5.3 教学方法采用案例教学法，讲解随机变量及其分布的综合应用实例通过实际问题，讲解随机变量及其分布的建模方法开展小组讨论，培养运用概率论与数理统计思维分析问题的能力教案章节六：大数定律与中心极限定理6.1 教学目标理解大数定律的含义及其在实际中的应用掌握中心极限定理的条件及其意义学会运用大数定律和中心极限定理分析随机变量序列的性质6.2 教学内容大数定律的定义及其表述中心极限定理的定义及其表述大数定律和中心极限定理在实际中的应用6.3 教学方法采用讲授法，讲解大数定律和中心极限定理的定义及其表述通过例题，讲解大数定律和中心极限定理在实际中的应用开展小组讨论，巩固大数定律和中心极限定理的理解教案章节七：随机样本及抽样分布7.1 教学目标理解随机样本的概念掌握抽样分布的定义及其性质学会计算样本统计量的分布7.2 教学内容随机样本的概念抽样分布的定义及其性质样本统计量的分布的计算7.3 教学方法采用讲授法，讲解随机样本的概念和抽样分布的定义及其性质通过例题，讲解计算样本统计量的分布的方法开展小组讨论，巩固抽样分布的理解教案章节八：假设检验与置信区间8.1 教学目标理解假设检验的基本原理掌握构造检验统计量的方法学会判断假设检验的结果8.2 教学内容假设检验的基本原理构造检验统计量的方法假设检验的结果的判断8.3 教学方法采用讲授法，讲解假设检验的基本原理和构造检验统计量的方法通过例题，讲解判断假设检验结果的方法开展小组讨论，巩固假设检验的理解教案章节九：回归分析与相关分析9.1 教学目标理解回归分析的概念及其应用掌握线性回归模型的建立与估计学会利用回归分析解决实际问题9.2 教学内容回归分析的概念及其应用线性回归模型的建立与估计利用回归分析解决实际问题9.3 教学方法采用讲授法，讲解回归分析的概念及其应用和线性回归模型的建立与估计通过例题，讲解利用回归分析解决实际问题的方法开展小组讨论，巩固回归分析的理解教案章节十：总结与展望10.1 教学目标总结本门课程的主要内容和知识点了解概率论与数理统计在实际中的应用激发学生继续学习概率论与数理统计的兴趣10.2 教学内容本门课程的主要内容和知识点的总结概率论与数理统计在实际中的应用对未来学习的展望10.3 教学方法采用讲授法，总结本门课程的主要内容和知识点通过案例分析，讲解概率论与数理统计在实际中的应用鼓励学生发表对概率论与数理统计学习的看法和展望重点和难点解析：1. 随机变量的概念与分类：理解随机变量的定义以及离散型和连续型随机变量的区别是本章节的核心。
第二章 随机变量及其概率分布
X 345 136
P
10 10 10
例2-4 已知一批零件共１０个，其中３个不合格，现 任取一件使用，若取到不合格零件，则丢弃，再重新 抽取一件，如此下去，试求取到合格零件之前取出的 不合格零件个数Ｘ的分布率.
解 Ｘ的可能取值为０，１，２，３
设Ai (i = ０,１,２,３)表示“第i次取出的零件不合格”
则称{pk}为离散型随机变量X的分布律。
说明 (1) pk ? 0, k
¥
(2) å pk = 1.
k=1
1, 2,L ;
离散型随机变量的分布律也可表示为
X ~ 骣 ççç桫px11
x2 L p2 L
xn pn
L L
÷÷÷÷
X x1 x2 xn
pk
p1 p2 pn
例2-2 掷一枚质地均匀的骰子，记X为出 现的点数，求X的分布律。
0, 1, 2.
实例2 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次, 则
X (e) 射中目标的次数, 是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可能取值为:
0, 1, 2, 3, , 30.
实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止,则
将 E 独立地重复地进行n 次,则称这一串重 复的独立试验为n 重伯努利试验. 实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬
币抛 n 次,就是n重伯努利试验. 实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就
是 n重伯努利试验.
(3) 二项分布
若 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数, 则 X 所有可能取的值为 0, 1, 2, , n. 当 X k (0 k n) 时, 即 A 在 n 次试验中发生了 k 次.
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按f X (x), fY ( y)的定义知， 0 z y 1且 y 0
P(Y 8) P(X 3) 0.4
4/22/2020
1
例2. 一提炼纯糖的生产过程，一天可生产纯糖1吨，但由
于机器损坏和减速，一天实际产量X是一个随机变量,设X
的概率密度为
2x, 0 x 1
fX (x)
0,
其他
一天的利润Y=3X-1，Y也是随机变量，求Y的概率密度。
解：分别记X，Y的分布函数为 FX (x), FY ( y)
fZ z fX x * fY y
fห้องสมุดไป่ตู้Z z f X z y fY ydy
4/22/2020
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例5. 设随机变量X与Y相互独立，概率密y度分别是
1, 0 x 1
e y , y 0
f X (x) 0, x 0
;
fY ( y)
0,
; y 0O
1
z
求Z=X+Y的概率密度。
解: 利用卷积公式 f Z z f X z y fY ydy
当y 0时，FY（y） P(Y y) P(2ln X y)
y
y
P(X e 2 ) 1 P(X e 2 )
y
1 FX (e 2 )
上式对y求导数，得Y的概率密度为
fY
(
y)
FY (
y)
FX
0,
(e
y
2 )(e
y
y
2 )
0
1 2
e
y 2
f
X
(e
y 2
)
1
e
y 2
,
2
y0
4/22/2020
4/22/2020
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fZ z fX x fY z xdx fX z y fY ydy
我们称上式 为函数 f X x与 fY y的卷积，记作
fX x * fY y
因此，我们有以下结论：
如果随机变量X 与Y 相互独立，则它们的和
Z X Y的密度函数等于X 与Y 密度函数的
卷积：
fZ z f X x fY z xdx
5
二、多维随机变量函数的分布
在实际问题中，常常会遇到需要求随机变量函
数的分布问题。例如：在下列系统中，每个元件的 寿命分别为随机变量 X,Y ，它们相互独立同分布。 我们想知道系统寿命 Z 的分布。
1）
Z min(X ,Y )
2）
Z max(X ,Y )
3）
Z X Y
这就是求随机变量函数的分布问题。
1 y)
y 1) 3
y 2 2
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2
例3. 设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布，
求随机变量Y=X2的概率密度。 解: 当X在区间[-1,2]上取值时,Y在[0,1]或[1,4]取值 由于y=x2不是单调的，
(1)当0 y 1时，有
FY ( y) P(Y y) P( X 2 y) P( y X y)
fY
(
y
)
FY
(
y)
FX
(ln
y)(ln
y)
1 y
f X (ln
y)
1, y
1
y
e
0, y 1, 或 y e
4/22/2020
4
例3. 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布，
(2)求Y=-2lnX的概率密度。
解: (1)因为X在(0, 1)上取值，所以Y=-2lnX 在
(0，+∞)上取值。当y 0时，FY（y） P(Y y) 0;
f Z z FZ z
f x， z xdx
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由于 X , Y 的对称性可得
f Z z f z y， ydy
特别地，如果随机变量X 与Y 相互独立，则有
f x， y f X x fY y.
此时，我们有
或者
f Z z f X x fY z xdx
f Z z f X z y fY ydy
y y
13dx
2 3
y
(2)当1 y 4时，有
1 ( y 1) 3
FY ( y) P(Y y) P( X 2 y) P( y X y)
1
y
P(
y X 1) P(1 X
y)
0dx
y
1
13dx
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3
例3. 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布， (1)求随机变量Y=eX的概率密度;
解: (1)因为X在(0, 1)上取值，所以Y=eX 在(1，e)
上取值。 当y 1时，FY（y） P(Y y) 0;
当1 y e时，FY（y） P(Y y) P(e X y)
P(X ln y) FX (ln y) 当y e时，FY（y） P(Y y) 1
上式对y求导数，得Y的概率密度为
第九节 随机变量函数的分布
一、一维随机变量函数的分布
例1 设随机变量X的分布律如下， X -2 1 2 3 pk 0.3 0.2 0.1 0.4
求Y=X2-1的分布律 解：Y的所有可能取值为0,3,8
P(Y 0) P(X 1) 0.2
P(Y 3) P(X 2) P(X 2) 0.3 0.1 0.4
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6
1.一般情形问题
已知二维随机变量（X,Y）的联合密度为 f ( x , y ), g ( x , y ) 是二元连续函数，欲求随机变量 Z=g (X,Y) 的概率密度。
解题步骤：
先求随机变量函数 Z gX ,Y 的分布函数 FZ z， 再求随机变量函数Z gX ,Y 的密度函数
当X [0,1]时，Y [1,2]
当y 1时，FY ( y) P(Y y) 0
f将 当 当Y (FyyY)(1y2F时)关 Y，y(于y)FyY求 2(f时yX导)(，y数31，F1)Y(得(y3yY)1的) 概PP(率(2XY2(密(yy3度91yy为0)310),13)其,1，，其 )P他1(1他 F3XXy(
fZ z FZz
4/22/2020
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2）连续型随机变量和的分布
设 X ,Y 是二维连续型随机变量,其联合密度函数
为 f x, y ，下面计算 Z X Y 的密度函数 fZ z．
首先计算随机变量Z X Y 的分布函数 FZ z．
FZ z PZ z PX Y z
f x， ydxdy x yz
zx
dx f x， ydy
y x
O
4/22/2020
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zx
作变换：y u x, 则有 Fz (z) dx f x， ydy
z
FZ z dx f x， u xdu
z
du f x， u xdx
由分布函数与密度函数之间的关系，上式对z 求 导，可得Z X Y 的密度函数为